Phát triển sản xuất chè bền vững trên địa bàn huyện thanh sơn tỉnh phú thọ

.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

TRẦN VĂN ĐÔNG

CÁC ĐƯỜNG THẲNG BẬC n
CỦA TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2020


3

Danh mục các hình

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14

Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 của đường thẳng đẳng giác
Định lý Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A2 , B2 , C2 thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các đường thẳng đẳng giác đồng quy . . . . . . . . .
AH là đường thẳng đối trung xuất phát từ A . . . .
Quỹ tích đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . .
Tứ giác điều hòa và đường đối trung . . . . . . . . .
Hai đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Đường đối trung chia đôi cạnh đối song . . . . . . . .
Đường đối trung ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ba đường đối phân giác AA2 , BB2 , CC2 . . . . . . .
Quỹ tích các điểm K mà KN : KM = c−2 : b−2 . . . .
Khoảng cách từ tâm đối phân giác đến các cạnh . . .
DL = HE = F K = abc : (bc + ca + ab) . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.7
.9
.10
.11
.14
.16
.17
.19
.20
.21
.23
.24
.25
.26

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

2.7
2.8
2.9

Một số cát tuyến đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
sin α : sin β = cn−1 : bn−1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Quỹ tích các điểm M mà M M2 : M M1 = cn−1 : bn−1
M F : P N : KD = an+1 : bn+1 : cn+1 . . . . . . . . . .
Chuyển từ bậc n sang bậc n + 2 . . . . . . . . . . .
Chuyển từ bậc n sang bậc n + 1 . . . . . . . . . . .
Chia đoạn thẳng BC bởi D . . . . . . . . . . . . . .
Chuyển từ bậc n sang bậc n + m . . . . . . . . . . .
A1 B1 C1 là tam giác hình chiếu của M . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.

.27
.28
.29
.32
.35
.36
.37
.40
.41

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12

AD là đường đối trung của ABC . . .
P thuộc đường thẳng cố định AM . . .
AF đi qua trung điểm của HK . . . . .

Ba đường thẳng AH, BN, CM đồng quy
HIP và IKQ là các tam giác cân .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.45
.46
.47
.49
.50
.52
.53
.55
.56
.57
.58
.60

.
.
.
.
.
Chứng minh đẳng thức (3.5) . . . . . . .
Vẽ đường thẳng "một nửa" . . . . . . . .
VN-TST 2001, bài 2 . . . . . . . . . . . .
Thi chọn đội tuyển PTNK, 2010, TP. Hồ
IMO shortlist 2003, bài 2 . . . . . . . . .
USA-TST-2007, bài 5 . . . . . . . . . . .
Thi toàn Liên bang Nga, 2010, bài 5 . .

. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Chí Minh
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .


4

3.13 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
3.14 RGO in honour of I.F.Sharygin 2013, Final round . . . . . . . . . . . . . . . .62


1

Mục lục
Chương 1. Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác
1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự . . . . . . . . . .
1.2. Các đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Các đường đối trung của tam giác . . . . . . . . .
1.2.2. Đường đối trung và đường đối song . . . . . . . .
1.2.3. Độ dài đường đối trung và đường đối trung ngoài

1.3. Các đường đối phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

6
.6
.13
.13
.18
.20
.22

Chương 2. Đường thẳng bậc n
27
2.1. Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.2. Chuyển đường thẳng n sang đường thẳng n + m . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.3. Tam giác hình chiếu và các đường thẳng bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
Chương 3. Một số ứng dụng
44
3.1. Ứng dụng giải các bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
3.2. Ứng dụng giải các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic . . . . . . . . . . .54
Tài liệu tham khảo

65


2

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải. Tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương pháp
nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều
thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô
giảng dạy lớp Cao học K11B trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho
tôi hoàn thành khóa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Trung tâm Nghiên cứu Giáo dục và
Đào tạo Hải Phòng đã giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K11B đã luôn
động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã giúp
đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2020
Tác giả

Trần Văn Đông


3

Mở đầu
1. Mục đích của đề tài luận văn

Các đường thẳng như trung tuyến, phân giác, đường đối trung. . . của tam
giác đóng vai trò quan trọng trong hình học tam giác. Đó cũng chính là các
trường hợp đặc biệt của đường thẳng bậc n của tam giác. Ngoài các đường
thẳng bậc n đặc biệt đã biết còn có những đường thẳng nào khác? Các đường
thẳng bậc n có những tính chất đặc trưng gì? Cách dựng chúng như thế nào?
Có thể áp dụng chúng để giải các bài toán như thế nào?. . . Đó là lý do mà chúng
tôi chọn đề tài "Các đường thẳng bậc n của tam giác". Mục đích của đề
tài là:
− Trình bày khái niệm về các đường thẳng đặc biệt đi qua các đỉnh của
tam giác: Trung tuyến, đường đối trung, đường phân giác, đường đối phân
giác. . . Các đường thẳng này đều có tính chất đặc trưng và liên quan đến
các điểm đặc biệt trong tam giác. Tài liệu tham khảo chính ở đây là [2].
− Tổng quát hóa của các đường thẳng đặc biệt nói trên là các đường thẳng
bậc n của tam giác. Từ các tính chất của đường thẳng bậc n có thể đưa ra
cách dựng đường thẳng bậc n với n là số tùy ý. Các ứng dụng của đường
thẳng bậc n rất phong phú, xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh giỏi,
thi Olympic trong nước và quốc tế.
− Bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thông có năng khiếu Toán, nâng cao và khai
thác các chuyên đề hình học hay và khó, chưa được giới thiệu trong chương

trình Hình học phổ thông, kể cả trong các giáo trình Hình học sơ cấp.


4

2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết
Dựa vào các tài liệu chính [1], [2] và [6], luận văn nhắc lại và bổ sung các
định nghĩa, tính chất của các cát tuyến đặc biệt trong tam giác. Từ đó tổng
quát hóa thành các đường thẳng bậc n của tam giác. Các bài toán dành cho
học sinh giỏi được trình bày dưới dạng các ví dụ áp dụng của nội dung đề tài.
Nội dung luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1. Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác
Trình bày một số đường thẳng đi qua đỉnh tam giác có những tính chất đặc
biệt: đường thẳng đẳng giác, đường thẳng đẳng cự, đường thẳng đối trung cùng
các tính chất đặc trưng của chúng. Mối liên hệ giữa các cát tuyến này và các
đường thẳng quen thuộc được thể hiện qua các định nghĩa và các mệnh đề.
Chương này bao gồm 3 mục sau (có tham khảo và chọn lọc trong [2], [6]):
1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự
1.2. Đường đối trung
1.3. Các đường đối phân giác

Chương 2. Các đường thẳng bậc n
Chương này là nội dung trọng tâm của luận văn. Các đường thẳng bậc n
được tổng quát hóa từ các đường thẳng đã có: trung tuyến, đường đối trung,
đường đối phân giác,. . . Ở đây cũng giới thiệu những đặc trưng chung của đường
thẳng bậc n trong tam giác. Từ các tính chất đó lại đưa ra được cách dựng các
đường thẳng bậc n và cách chuyển từ đường thẳng bậc n sang đường thẳng bậc
n + 1, . . .
Chương này có tham khảo, chọn lọc trong các tài liệu ([1], [3]) và bổ sung

các ví dụ tường minh. Nội dung bao gồm
2.1. Định nghĩa và các tính chất


5

2.2. Chuyển đường thẳng bậc n thành đường thẳng bậc n + m
2.3. Tam giác hình chiếu và các đường thẳng bậc n
Chương 3. Một số ứng dụng
Có thể tách thành hai nội dung nhỏ: ứng dụng vào các bài toán hình học
phổ thông và đề cập tới các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước
và ngoài nước. Khi trình bày cách giải tác giả cố gắng làm rõ tính ưu việt của
lời giải có ứng dụng các đường thẳng bậc n của tam giác. Nội dung bao gồm
(tham khảo trong [3], [4]):
3.1. Ứng dụng vào giải các bài toán phổ thông
3.2. Các bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic các nước


6

Chương 1
Một số cát tuyến đặc biệt của tam giác
Một đường thẳng cắt một hình gọi là cát tuyến của hình đó. Nếu hình là
một đa giác thì cát tuyến có thể cắt không những các cạnh của hình mà còn
cắt cả phần kéo dài của cạnh đó. Các trung tuyến, đường cao, đường phân giác
trong,...là các ví dụ về cát tuyến trong tam giác. Chương này sẽ trình bày thêm
một số cát tuyến đặc biệt khác đi qua đỉnh tam giác.

1.1. Các đường thẳng đẳng giác và đẳng cự
Định nghĩa 1.1. Cho một góc xOy, hai đường thẳng đi qua đỉnh O tạo với

phân giác góc đó những góc bằng nhau, gọi là các đường thẳng đẳng giác đối
với các cạnh của góc.
Các đường thẳng đẳng giác có các tính chất sau:
Tính chất 1.1.1. Với hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng đẳng giác ta có
tích khoảng cách từ hai điểm đó đến một cạnh góc bằng tích hai khoảng cách
đến cạnh kia.
Tính chất 1.1.2. Hai điểm bất kỳ trên 2 đường thẳng đẳng giác chiếu lên 2
cạnh góc tạo thành bốn điểm đồng viên.
Chứng minh. Trên Hình 1.1 ta phải chứng minh M M1 .N N1 = M M2 .N2 . Từ sự
đồng dạng của các tam giác vuông:

OM1 M ∼

ON2 N ;

ON2 N ∼

OM2 M


7

ta có:
M M2 OM1
OM2
M M1
OM
OM
=
=

=
;
=
.
N N1
ON
N N1 ON2
ON
ON1

Hình 1.1: Các tính chất 1.1.1, 1.1.2 của đường thẳng đẳng giác

Từ đó,
M M1 .N N1 = M M2 .N N2 ; OM1 .ON1 = OM2 .ON2

(1.1)

Đẳng thức đầu trong (1.1) chứng minh Ttính chất 1.1.1; đẳng thức thứ hai cho
Tính chất 1.1.2 do tính chất của phương tích.
Tâm đường tròn đi qua N1 , M1 , N2 , M2 là giao điểm của 2 đường trung trực
đoạn thẳng M1 , N1 , M2 , N2 .
Tính chất 1.1.3. Đường thẳng nối 2 hình chiếu trên các cạnh của góc của một
trong hai điểm trên, vuông góc với đường nối đỉnh góc với điểm thứ hai.
Chứng minh. Tứ giác OM1 M M2 nội tiếp được, ta có M1 OM = M2 ON . Vì
M1 OM = M1 M2 M (các góc nội tiếp chắn cùng 1 cung trên đường tròn) nên
M1 M2 M = M2 ON và vì M2 M ⊥ OM2 ta suy ra: M1 M2 ⊥ ON . Tương tự,
N1 N2 ⊥ OM .
Tính chất 1.1.4. Mệnh đề đảo của Tính chất 1.1.1 cũng đúng.

8

Chứng minh. Giả sử ta có M M1 .N N1 = M M2 .N N2 (Hình 1.1) ta cần chứng
minh các điểm M, N nằm trên các đường thẳng đẳng giác đối với các cạnh
OX, Oy.
M M1
M M2
=
và M1 M M2 = N1 N N2 .
N N2
N N1
M1 M M2 ∼ N1 N N2 . Do đó,

Theo giả thiết,
Vậy

M M2
M1 M2
M M1
=
=
N N2
N N1
N2 N1

(1.2)

Tiếp theo, OM2 M1 = 900 − M M2 M1 = 900 − N N1 N2 . Ta lại có
OM1 M2 ∼

ON1 N2 vì có góc O chung và OM2 M1 = ON1 N2 . Vậy,
M1 M2
OM1
OM2
=
=
.
N2 N1
ON2
ON1

(1.3)

So sánh 2 đẳng thức (1.2) và (1.3) ta có
OM1
OM2
M M1
M M2
=
=
=
.
ON2
ON1
N N2
N N1
Ta suy ra tứ giác OM1 M M2 và tứ giác ON2 N N1 đồng dạng. Do đó, các
đường chéo OM và ON chia chúng thành các tam giác đồng dạng. Đặc biệt là
OM1 M ∼

ON2 N và M1 OM = N2 ON .

Định nghĩa 1.2. Các đường thẳng đẳng giác đối với các góc của tam giác được
gọi là các đường thẳng đẳng giác của tam giác.
Ví dụ 1.1.1. Đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp với đỉnh tam giác thì
đẳng giác với đường cao của tam giác xuất phát từ đỉnh đó.
Chứng minh.
Hiển nhiên với chú ý phân giác trong góc A đi qua điểm giữa cung BC.
Tính chất 1.1.5. (Đinh lý Steiner (1796-1863)) Cho tam giác ABC, F, K là
hai chân các đường đẳng giác từ đỉnh A. Khi đó ta có:
BK BF
c2
.
= 2
CK CF
b

(1.4)


9

Hình 1.2: Định lý Steiner

Chứng minh. Hình 1.2
Điều kiện cần. Giả sử AF và AK là các đường thẳng đẳng giác của tam giác
ABC. Ta có
SBAF
AB.AF
SBAF

BF
=
và
=
.
SKAC
AK.AC
SKAC
KC
Suy ra
BF
AB.AF
=
KC
AK.AC
Tương tự, xét diện tích các tam giác BAK và CAF :

(1.5)

SBAK
AB.AK SBAK
BK
=
;
=
.
SCAF
AF.AC SKAC
FC
Suy ra

BK
AB.AK
=
.
FC
AF.AC
Nhân vế với vế của đẳng thức (1.5) với đẳng thức (1.6) thì được
AB 2
b2
BK.BF
=
= 2.
F C.KC
AC 2
c

(1.6)

(1.7)

BK BF
c2
Đẳng thức (1.7) có thể viết lại thành
.
= 2.
CK CF
b
Điều kiện đủ. Giả sử hai đường AF, AK thỏa mãn (1.4). Gọi AF là đường
BK BF
c2

thẳng đẳng giác của AK. Theo kết quả phần thuận ta có
.
= 2 . Kết
CK CF
b
BF
BF
hợp với hệ thức (1.7) ta được
=
, suy ra F ≡ F (F, F ở trong đoạn
CF
CF
BC). Từ đây ta nhận được cặp AF, AK là cặp đẳng giác của góc BAC.


10

F B.F C
AF 2
Hệ quả 1.1.1. Ta có đẳng thức
=
hay viết dưới dạng tích các
KB.KC
AK 2
AF 2
.
tỷ số đơn: (F KB).(F KC) =
AK 2
Chứng minh.
Ta coi AB và AC là các đường đẳng giác của tam giác

F AK.

Tính chất 1.1.6. Nếu 3 đường thẳng vẽ từ 3 đỉnh tam giác cắt các cạnh đối
diện tại 3 điểm thẳng hàng thì các đường thẳng đẳng giác với chúng cắt các
cạnh tam giác tại 3 điểm thẳng hàng.
Chứng minh. Ký hiệu A1 , B1 , C1 là chân của các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 ,
nằm trên đường thẳng. Gọi AA2 , BB2 , CC2 là các đường thẳng đẳng giác tương
ứng của AA1 , BB1 , CC1 .
Theo Tính chất 1.1.5:
CA1 .CA2
b2 AB1 .AB2
c2 BC1 .BC2
a2
= 2.
= 2;
= 2.
BA1 .BA2
c CB1 .CB2
a AC1 .AC2
b
Nhân vế với vế các đẳng thức đó ta có
CA1 .CA2 .AB1 .AB2 .BC1 .BC2
= 1.
BA1 .BA2 .CB1 .CB2 .AC1 .AC2
Theo định lý Menelaus đảo ta có A2 , B2 , C2 thẳng hàng.

Hình 1.3: A2 , B2 , C2 thẳng hàng

11

Tính chất 1.1.7. Nếu các đường thẳng vẽ từ các đỉnh của tam giác đồng quy
thì các đường thẳng đẳng giác với chúng cũng đồng quy.
Chứng minh. Giả sử AM , BM đẳng giác với các đường thẳng AM, BM .
Chiếu vuông góc các điểm M, M lên các cạnh, lần lượt được các điểm:
D, D , G, G , E, E (Hình 1.4). Dựa trên tính chất các đường thẳng đẳng giác
xuất phát từ A, ta có
MD
MG
=
MG
MD
Tương tự đối với các đường thẳng đẳng giác xuất phát từ B:
MD
ME
=
ME
MD

(1.8)

(1.9)

Chia vế với vế đẳng thức (1.8) và (1.10) ta có
ME
MG
=
.
MG M E

Hình 1.4: Các đường thẳng đẳng giác đồng quy

Vậy các đường thẳng GM và G M đẳng giác.
Tính chất 1.1.8. Gọi A, B, C, D là 4 điểm trên một đường thẳng theo thứ tự
đó. P là điểm sao cho AP B = CP D, P M là phân giác góc BP C, nói cách
khác: P B, P C là hai đường thẳng đẳng giác của

P AD. Khi đó

1
1
1
1
+
=
+
MA MC
MB MD

(1.10)


12

Chứng minh.
Ta có nhận xét sau: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm D thì ta luôn
có

sin BAD. sin ACB

BD
=
. Thật vậy,
DC
sin ADC. sin ABC

SABD
AB.AD. sin BAD
sin BAD. sin ACB
=
=
SADC
AD.AC. sin DAC
sin ADC. sin ABC
Đặt AB = a, BM = b, CM = c, CD = d thì (1.10) tương đương với
1 1
1
1
+ = +
⇐⇒ bd(a + b) = ac(c + d)
a+b c
b c+d

(1.11)

Bây giờ, đặt AP B = CP D = α; BP M = M P C = β; P AD = ϕ; P DA = γ;
P M A = δ. Áp dụng nhận xét trên vào các tam giác

P AM ,

P DM ,

P AD

ta có:
a sin α. sin β
=
,
b
sin β. sin ϕ
c
sin β. sin γ
=
,
d
sin δ. sin α
c + d sin(α + β). sin ϕ sin ϕ
=
=
.
a+b
sin(α + β). sin γ
sin γ
ac(c + d)
sin α. sin δ. sin β. sin γ. sin ϕ
=
= 1. Đẳng thức đó tương đương
bd(a + b) sin β. sin ϕ. sin β. sin α. sin γ
với (1.10). Tính chất 1.1.8 được chứng minh.

Từ đó,

Định nghĩa 1.3. Hai điểm gọi là đẳng giác nếu các đường thẳng nối chúng với
mỗi đỉnh của tam giác là những đường thẳng đẳng giác.
Từ những kết quả trên ta có các tính chất sau của điểm đẳng giác:
• Tích các khoảng cách từ các điểm đẳng giác đến mỗi cạnh của tam giác là
hằng số.
• Hình chiếu của các điểm đẳng giác của tam giác trên mỗi cạnh của nó
nằm trên một đường tròn.
Chứng minh. Ta chiếu các điểm đẳng giác M và M lên các cạnh tam giác (Hình
1.4). Theo tính chất các đường đẳng giác AM, AM thì D, D , G, G nằm trên
một đường tròn, tâm đường tròn là trung điểm của M M .


13

Theo tính chất các đường thẳng đẳng giác BM, BM thì D, D , E, E nằm
trên một đường tròn, tâm đường tròn là trung điểm của M M . Vậy 2 đường
tròn trùng nhau và 6 hình chiếu của M, M trên các cạnh của tam giác nằm
trên một đường tròn.
Định nghĩa 1.4. Hai điểm nằm trên cạnh của một tam giác, cách đều trung
điểm cạnh đó gọi là các điểm đẳng cự. Hai đường thẳng nối đỉnh một tam giác
với các điểm đẳng cự trên một cạnh đối diện, gọi là các đường thẳng đẳng cự.
Các điểm và đường thẳng đẳng cự có tính chất sau:
• Cho tam giác ABC và các cặp điểm đẳng cự: C1 và C2 ; B1 và B2 ; A1 và
B2 . Nếu C1 , A1 , B1 thẳng hàng thì các điểm C2 , A2 , B2 cũng thẳng hàng.
Chứng minh. Áp dụng định lý Menelaus.
• Nếu 3 đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 xuất phát từ các đỉnh của tam giác
đồng quy thì các đường thẳng đẳng cự của chúng là AA2 , BB2 , CC2 cũng
đồng quy.

Chứng minh. Áp dụng định lý Ce’va.

1.2. Các đường đối trung
1.2.1. Các đường đối trung của tam giác
Định nghĩa 1.5. Các đường thằng đối xứng với đường trung tuyến đối với phân
giác trong của góc tại đỉnh, gọi là đường đối trung. Nói cách khác, đường thẳng
đẳng giác với trung tuyến là đường đối trung.
Ví dụ 1.2.1. Đường cao của tam giác vuông hạ từ đỉnh góc vuông là một đường
đối trung của tam giác.
Lời giải. AH ⊥ BC suy ra BAH = ACB. Theo giả thiết AD là trung tuyến
nên DB = DC = AD, từ đó, DAC = DCA. Ta suy ra, BAH = CAD. Vậy
AH và AD đối xứng qua phân giác góc A. Theo định nghĩa, đường cao AH là


14

đường đối trung. Vì đường đối trung là đường thẳng đẳng giác với trung tuyến
nên ta có các tính chất theo các tính chất của cặp đường thẳng đẳng giác, chẳng
hạn các Tính chất 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 ngay sau đây.
Tính chất 1.2.1. Đường đối trung chia trong cạnh đối diện ra thành các phần
tỷ lệ với bình phương các cạnh kề.
Tính chất 1.2.2. Đường đối trung chia góc ở đỉnh xuất phát thành hai phần
có các sin tỷ lệ với các cạnh kề.
Tính chất 1.2.3. Các đường đối trung của tam giác thì đồng quy

Hình 1.5: AH là đường thẳng đối trung xuất phát từ A

Định nghĩa 1.6. Điểm đồng quy của ba đường đối trung đó được gọi là điểm
Lemoine (còn gọi là điểm Grebe hay tâm đối trung) của tam giác.
Chú ý rằng:

i. Tính chất 1.2.3 được nhà toán học người Pháp Lemoine (1840-1912) chứng
minh năm 1873. Chính vì thế điểm đồng quy gọi là điểm Lemoine,
ii. Trong mọi tam giác điểm Lemoine và trọng tâm là 2 điểm đẳng giác,
iii. Điểm Lemoine có nhiều tính chất được khảo sát trong các tài liệu [1], [2].
Ngoài định nghĩa ta có các điều kiện cần và đủ của đường đối trung:Mệnh đề
1.1, mệnh đề 1.2, mệnh đề 1.3.


15

Mệnh đề 1.1. (Điều kiện cần và đủ thứ nhất) S là một điểm trên cạnh BC
c2
SB
= 2.
của tam giác ABC, AS là đường đối trung khi và chỉ khi
SC
b
Chứng minh.
Phần thuận. AS là đường đối trung thì BAD = CAS. Ta suy ra:
Mặt khác,

SABD
DB
. Từ đó suy ra
=
SACS
SC

SABD
DB

=
.
SACS
SC

DB
AB.AD
=
AC.AS
SC
Ta lại có BAD = CAS = BAS = CAD nên
SABS
SB
=
, kéo theo
SACD
DC

(1.12)
AB.AS
SABS
=
và cũng có
SACD
AC.AD

SB
AB.AS
=
AC.AD

DC
SB
SB
c2
AB 2
=
, suy ra
= 2.
Nhân 2 vế của (1.12) với (1.14) ta được
AC 2
SC
SC
b

(1.13)

AB 2
Phần đảo. Theo giả thiết, (BCS) = −
. Từ A ta dựng đường đối trung
AC 2
AB 2
AS , theo kết quả Tính chất 1.2.2, (BCS ) = −
. Từ đó, (BCS) = (BCS ),
AC 2
tức S ≡ S.
Mệnh đề 1.2. (Điều kiện cần và đủ thứ hai) Đường đối trung của tam giác là
quỹ tích các điểm mà khoảng cách từ đó đến hai cạnh của tam giác tỷ lệ với độ
dài các cạnh này.
Chứng minh. Ký hiệu như trên Hình 1.6
Phần thuận. Gọi S là chân đường đối trung trên BC. Lấy S ∈ AS, vẽ các

đường SD, SD ⊥ AB và SE, SE ⊥ AC. Ta có các đẳng thức:
SASB
AB.SD
BS
AB 2
=
=
=
.
SASC
AC.SE
CS
AC 2
Vậy

SD
SD
AB
SD
=
. Mà
=
nên S thỏa mãn tính chất nêu trên.
SE
AC
SE
SE


16

Phần đảo. Gọi Q là điểm sao cho

AB
QQ1
với QQ1 ⊥ AB, QQ2 ⊥ AC. Ta
=
QQ2
AC

phải chứng minh Q ∈ AS.
Nối AQ, cắt BC ở S1 . Từ S1 ta dựng S1 Q1 ⊥ AB, S1 Q2 ⊥ AC, ta có
SAS1 B
AB.S1 D1
AB S1 D1
AB QQ1
AB 2
=
=
.
=
.
=
.
SAS1 C
AC.S1 E1
AC S1 E1
AC QQ2
AC 2
Mặt khác, do tính chất của diện tích tam giác ta có

SAS1 B
S1 B
=
, suy ra
SAS1 C
S1 C

Hình 1.6: Quỹ tích đường đối trung

AB 2
. Chứng tỏ S1 là chân đường đối trung kẻ từ A hay S1 ≡ S
(BCS1 ) = −
AC 2
và Q ∈ AS.
Kết luận: quỹ tích các điểm mà khoảng cách từ đó đến hai cạnh của tam
giác tỷ lệ với độ dài các cạnh này là đường đối trung.
Mệnh đề 1.3. (Điều kiện cần và đủ thứ ba) Cho ABCD là tứ giác nội tiếp
đường tròn (O), AC ∩ BD = M . Khi đó DM là đường đối trung của
AB
CB
khi và chỉ khi
=
, tức ABCD là tứ giác điều hòa.
AD
CD

ADC

Chứng minh. Xét tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).

Điều kiện cần. Giả sử BM là đường đối trung của

ABC, gọi H là trung điểm
CB
AB
=
. Ta có
của AC ta đi chứng minh ABCD là tứ giác điều hòa, tức
AD
CD
BA
CH
ABD = HCD, ADB = HDC nên BAD ∼ CHD. Từ đó
=
và ta
BD
CD


17

1
1
có BA.CD = BD.CH = BD.AC. Hoàn toàn tương tự, DA.CB = BD.AC.
2
2
AB
CB
Ta nhận được BA.CD = DA.CB hay
=

.
AD
CD

Hình 1.7: Tứ giác điều hòa và đường đối trung

Điều kiện đủ. ABCD là tứ giác điều hòa thì
AB
CB
1
=
⇐⇒ AB.CD = AD.CB = AC.BD nên AB.CD = CH.BD. Suy
AD
CD
2
BA
CH
ra
=
, từ đó, BAD ∼ CHD (trường hợp c.g). Hai tam giác đồng
BD
CD
dạng kéo theo BDA = CDH, tức là DH và DM đối xứng nhau qua phân giác
góc ADC. DM ≡ BD là đường đối trung của

ADC.

Ta có nhận xét sau:
• Tương tự Mệnh đề 1.3, ABCD là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi DB
là đường đối trung của

ABD,

DAC hay AC, CA là đường đối trung của

CBD, tương ứng.

• Tứ giác điều hòa và đường đối trung thường gắn liền với nhau trong ứng
dụng giải toán.
Tiếp theo ta hãy xác định các khoảng cách x, y, z từ điểm Lemoine đến các
cạnh. Vì L là giao ba đường đối trung nên
x y
z ax by
cz
= = ; 2 = 2 = 2.
a
b
c a
b
c


18

Áp dụng tính chất các tỷ số bằng nhau, ta có
ax x
ax + by + cz
=
= .
a2 + b2 + c2
a2

a
Vì ax + by + cz = 2S nên
x
2aS
a2 ha
2S
=
;
x
=
=
.
a2 + b2 + c2
a
a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
Tương tự,
2bS
b 2 hb
y= 2
= 2
,
a + b 2 + c2
a + b2 + c2
2cS
c2 hc
z= 2
=
.
a + b2 + c2

a2 + b2 + c2
1.2.2. Đường đối trung và đường đối song
Định nghĩa 1.7. Trên cạnh AB (hay phần kéo dài) lấy một điểm D, qua D
kẻ đường thẳng DF thỏa ADF = C. Ta gọi đường thẳng DF là đối song của
đường thẳng BC trong tam giác ABC. Đoạn thẳng DF được gọi là cạnh đối
song của cạnh BC hay DF và BC là hai cạnh đối song.
Qua D ∈ AB bất kỳ nói chung có thể dựng được 2 đường đối song: DF đối
song với BC và DE đối song với AC, Hình 1.8. Trường hợp đặc biệt: Đường
cao của tam giác vuông hạ từ đỉnh của góc vuông thì đối song với 2 cạnh góc
vuông.
Mệnh đề 1.4. (Định lý về đường đối song) Đường tròn đi qua 2 đỉnh tam giác
cắt 2 cạnh tam giác tại D và F thì DF đối song với cạnh thứ ba.
Chứng minh. Trên Hình 1.8, ta có DF C + C = 2v do tứ giác BDF C là tứ giác
nội tiếp. Ta suy ra AF D + DF C = 2v nên AF D = B.

Mệnh đề 1.5. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại đỉnh tam
giác thì đối song với cạnh đối diện của đỉnh.


19

Hình 1.8: Hai đường đối song

Chứng minh. Trên Hình 1.8, góc XAB có số đo bằng một nửa cung AM B, góc
C cũng vậy. Ta suy ra XAB = C.
Từ khái niệm đường thẳng đối song ta có thêm một số tính chất của đường
đối trung.
Tính chất 1.2.4. Hai cạnh đối song bằng nhau thì đồng quy với đường đối
trung tương ứng.
Chứng minh. Giả sử P Q và DK là 2 đường đối song bằng nhau, cắt nhau tại

M , khi đó M P = M K vì tam giác M P K cân tại M . Vậy M D = M Q. Từ M
hạ M E ⊥ AB, M F ⊥ AC. Ta có M E = DE sin C; M F = M Q sin B,
DE sin C
sin C
c
ME
=
=
= .
MF
M Q sin B
sin B
b
Vì tỷ số các khoảng cách từ M đến 2 cạnh AB, AC bằng tỷ số của 2 cạnh đó
nên M năm trên đường đối trung xuất phát từ A.
Ta có nhận xét: Tiếp tuyến tại 2 đỉnh tam giác của đường tròn ngoại tiếp
cắt nhau trên đường đối trung xuất phát từ điểm thứ ba.


20

Tính chất 1.2.5. Các cạnh đối song của tam giác bị các đường đối trung tương
ứng chia làm đôi.

Hình 1.9: Đường đối trung chia đôi cạnh đối song

Chứng minh. Giả sử DE là đường đối song của BC, đặt trên AB, AC lần lượt
các điểm C , B sao cho AC = AC, AB = AB. Tất nhiên các tam giác ABC
và AB C bằng nhau, Giả sử AF là phân giác trong góc A. Đường đối trung
AS của tam giác ABC là đường trung tuyến của tam giác AB C . Đường thẳng

B C đối song đối với BC và bị đường đối trung AS chia làm đôi. Vậy đường
thẳng DE ⊥ B C cũng bị đường đối trung chia làm đôi.
Mệnh đề đảo cũng đúng: Nếu một đoạn thẳng gồm giữa hai cạnh bị chia đôi
bởi đường đối trung cùng đỉnh thì nó là cạnh đối song của cạnh thứ ba tam giác.
1.2.3. Độ dài đường đối trung và đường đối trung ngoài
Gọi AS là đường đối trung, Hình 1.9. Ta sẽ tính độ dài AS bằng cách áp
dụng định lý Stuya vào tam giác ABC và điểm S ∈ BC:
c2
Ta suy ra: AS =

2
ab2
ac2
ab2
2 ac
2
+
b
−
AS
.a
=
.
.a
b2 + c2
b2 + c2
b2 + c2 b2 + c2

bc
b2 + c2

2(b2 + c2 ) − a2 .


21

Hình 1.10: Đường đối trung ngoài

Mệnh đề 1.6. Tiếp tuyến tại một đỉnh với đường tròn ngoại tiếp tam giác,
chia cạnh đối diện theo bình phương các cạnh kề.
Từ tam giác đồng dạng DAB và DCA, Hình 1.10, ta có

AC
CD
=
;
AD
AB

AC 2
b2
CD2
=
=
. Theo tính chất của phương tích AD2 = CD.BD. Bởi vậy
2
2
2
AD
AB

c
CD
b2
ta nhận được:
= 2 . Như vậy, tiếp tuyến tại mỗi đỉnh của tam giác với
BD
c
đường tròn ngoại tiếp chia ngoài cạnh đối diện theo tỷ số bình phương các cạnh
kề, cũng giống như đường đối trung (trong) đã chia trong các cạnh. Từ đó ta
định nghĩa:
Định nghĩa 1.8. Tiếp tuyến tại đỉnh của tam giác với đường tròn ngoại tiếp
được gọi là đường đối trung ngoài của tam giác.
Ví dụ 1.2.2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, tiếp tuyến tại A cắt
DC
b2
cạnh BC ở D. Chứng minh rằng
= 2.
DB
c
Chứng minh. Vì AD là tiếp tuyến nên ABC = DAC (góc nội tiếp và góc tạo
bởi tiếp tuyến và một dây cung chắn cung AC). Dễ thấy

DAC ∼

DBA,

suy ra
DA
AC
DA2

b2
=
, hay
= 2.
DB
AB
DB 2
c

(1.14)


22

Mặt khác,
DC
DA
=
, hay DC.DB = DA2 .
DB
DA

(1.15)

DC.DB
b2
DC
b2
Từ (1.14) và (1.15),
= 2 , tức là

= 2.
DB 2
c
DB
c
b2
EC
= 2 , suy ra
Chú ý. Nếu AE là đường đối trung trong của tam giác thì
EB
c
EC
DC
=
. Nghĩa là hai điểm E và D chia BC theo cùng một tỷ số, một chia
EB
DB
trong một chia ngoài. Như vậy, các đường đối trung trong và đường đối trung
ngoài xuất phát từ 1 đỉnh, cùng với hai cạnh bên tạo thành một chùm điều
hòa, Hình 1.10.
Tiếp theo ta tìm công thức tính độ dài đường đối trung ngoài. Ta có
CD
b2
= 2 . Suy ra:
BD
c
CD − BD
b2 − c2
CD
b2

=
;
=
BD
c2
CD − BD
b2 − c2
c2 a
c2 (CD − BD)
=
BD =
b2 − c2
b2 − c2
b2 (CD − BD)
b2 a
CD =
= 2
.
b 2 − c2
b − c2
a2 b2 c2
abc
Do đó, AD = BD.CD = 2
và
AD
=
.
(b − c2 )
b2 − c2
2

1.3. Các đường đối phân giác
Định nghĩa 1.9. Đường thẳng đẳng cự của phân giác trong của một tam giác
được gọi là đường đối phân giác trong.
Việc dựng đường đối phân giác là hiển nhiên và mỗi tam giác có 3 đường đối
phân giác. Ta có một số tính chất của đường đối phân giác.
Tính chất 1.3.1. Đường đối phân giác trong là đường thẳng đi qua đỉnh tam
giác, chia cạnh đối diện theo tỷ lệ nghịch của độ dài hai cạnh kề.