(Luận văn thạc sĩ) Phương trình tích phân

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

▲■❊◆P❍❖◆❊ ❈❍❊❯❈❍❖❯❚❍❖❘

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚➑❈❍ P❍❹◆

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✻


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
▲■❊◆P❍❖◆❊ ❈❍❊❯❈❍❖❯❚❍❖❘

P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ❚➑❈❍ P❍❹◆

❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ◆●❹◆

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✻


▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣

t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♠å✐
sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣
t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✻

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

▲■❊◆P❍❖◆❊ ❈❍❊❯❈❍❖❯❚❍❖❘

✐


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳
✶✳✷✳✶ ❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2ρ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ❚♦→♥ tû ✤è✐ ①ù♥❣ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✶ P❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✷ ❚♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✸ ❚♦→♥ tû ✤è✐ ①ù♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✹ ❚♦→♥ tû ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳✺ ❚♦→♥ tû ✤è✐ ①ù♥❣ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳

✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥

✷✳✶ ❚♦→♥ tû t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥
✷✳✷✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❋r❡❞❤♦♠ ✳
✷✳✷✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❱♦❧t❡rr❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✐✐

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✐
✐✐
✶
✹

✹
✽
✽
✾
✶✵
✶✶
✶✶
✶✸
✶✻
✷✵
✷✷

✷✻

✷✻
✸✵

✸✵
✸✶
✸✶


✷✳✸ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦ý ❞à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✶ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦ý ❞à ❧♦↕✐ ♠ët
✷✳✸✳✷ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦ý ❞à ❧♦↕✐ ❤❛✐ ✳
✷✳✹ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✈î✐ ❤↕❝❤ ✤è✐ ①ù♥❣ ✳ ✳
✷✳✺ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✈î✐ ❤↕❝❤ s✉② ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳
✷✳✻ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❋r❡❞❤♦♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✻✳✶ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✻✳✷ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ❋r❡❞❤♦♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✼ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ❧✐➯♥ t✐➳♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✸✷
✸✷
✸✸

✸✹
✸✻
✸✽
✸✽
✹✵
✹✵

✹✺

✐✐✐


▼ð ✤➛✉
◆❤✐➲✉ ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✱ ❝ì ❤å❝✱ ✈➟t ❧þ ✤➣ ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ tr♦♥❣ ✤â ❤➔♠ ❝❤÷❛ ❜✐➳t ð ❞÷î✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ ◆❤ú♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
➜② ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣
♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö t♦→♥ ❤å❝ ❤ú✉ ➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ t♦→♥ ❤å❝ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔
❣✐↔✐ t➼❝❤ ù♥❣ ❞ö♥❣✳
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤♦➦❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❋r❡❞❤♦♠ ❧♦↕✐ ♠ët ❧➔ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣✿
b

f (x) =

K (x, y)φ (y) dy,

a < x < b,

a

tr♦♥❣ ✤â f (x)✱K (x, y) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❤➔♠ ❝❤♦ tr÷î❝✳ ◆➳✉ φ (x) ❧➔ ❤➔♠ ❝❤÷❛
❜✐➳t ❝â ♠➦t ð ❝↔ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥
➜② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❋r❡❞❤♦♠ ❧♦↕✐ ❤❛✐✿
b

φ (x) =

K (x, y)φ (y) dy + f (x) ,

a < x < b.

a

◆➳✉ ❝➟♥ ❞÷î✐ ❝õ❛ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ➜② ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❱♦❧t❡rr❛ ❧♦↕✐ ♠ët ✈➔ ❧♦↕✐ ❤❛✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝â ❞↕♥❣✿
x

f (x) =

K (x, y)φ (y) dy,

a < x < b.

a
x

φ (x) =

K (x, y)φ (y) dy + f (x) ,
a

a < x < b.

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❧➔ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö t♦→♥ ❤å❝ ❤ú✉ ➼❝❤
♥❤➜t ✤÷ñ❝ sû ❞ö♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❧þ t❤✉②➳t ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ù♥❣s ❞ö♥❣✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ♥â
✶


ỏ ú ồ t ự trữớ
ồ
r ữỡ tr ồ tổ ữủ t ổ
ợ t ữỡ tr t trỏ ừ õ ố ợ ở ổ
t ồ ữủ t ổ ợ t tổ t ữỡ
tr t rt q trồ ợ t q trồ õ ũ ợ sỹ ữợ
ú ù t t ừ t ổ tr ở ổ t tổ
ồ t Pữỡ tr t tốt
tổ ố ự ởt số ỵ tt ỡ ừ
ữỡ tr t
t t ỗ
ữỡ
ữỡ r ởt số tự ỡ ổ Lp ổ
rt t tỷ tr ổ rt ữ t tỷ
ủ t tỷ ố ự t tỷ t tử t tỷ ố ự
t tử ỳ tự tt ữỡ
ừ
ữỡ ở ừ r ữỡ
ú tổ tr ởt số tự ỡ ữỡ tr t
ữ t tỷ t ữỡ tr t ữỡ
tr t ợ ố ự ữỡ tr t ợ s
ữỡ tr t ợ t ý ỵ r

ữỡ t
ữủ t ữợ sỹ ữợ t t ừ
ữủ tọ ỏ t ỡ s s tợ ổ
ữớ t t ữợ ú ù tổ tr sốt q tr
ự t
r q tr tỹ tổ ữủ rt sỹ ú ù
ở ừ t ổ tr rữớ ồ ữ
ồ ồ ồ ổ ữủ tọ



❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ r➧♥ ❧✉②➺♥ t↕✐ ❑❤♦❛✱ ❚r÷í♥❣✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❞♦ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❧✉➟♥
✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ tæ✐ r➜t ♠♦♥❣
♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ❝❤➾ ❜↔♦✱ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛②✱ ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝
❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝❛♦ ❤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

✸


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✶✳✶ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❬✷❪✱❬✸❪ ❈❤♦ (X, M, µ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ë ✤♦✱ tr♦♥❣

✤â ❳ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ ▼ ❧➔ ♠ët σ✲✤↕✐ sè ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❳✱ µ ❧➔ ♠ët ✤ë ✤♦
tr➯♥ ▼✳ ❈❤♦ ♣∈ [1; +∞) ❧➔ ♠ët sè t❤ü❝✳ ❍å t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ sè ❢✭①✮ ❝â ❧ô②

t❤ø❛ ❜➟❝ ♣ ❦❤↔ t➼❝❤ tr➯♥ ❳ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp(X, µ).
◆❤÷ ✈➟②
Lp (X, µ) = {f : X −→ R :

|f |p dµ < ∞}.
x

❑❤✐ ❳ ❧➔ t➟♣ ✤♦ ✤÷ñ❝ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ▲❡❜❡s❣✉❡ tr♦♥❣
▲❡❜❡❣s✉❡ t❤➻ t❛ ✈✐➳t Lp(X) t❤❛② ❝❤♦ Lp(X, µ).
❱î✐ p = ∞✱ ❦þ ❤✐➺✉

Rk

✈➔ µ ❧➔ ✤ë ✤♦

L∞ (X) = {f : X −→ R|ess sup|f (x)| < +∞}.

tr♦♥❣ ✤â
ess sup |f (x)| = inf {M > 0|µ{x ∈ X||f (x)| > M } = 0}.
x∈X

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ [2] , [3]❚➟♣ ❤ñ♣ Lp(X, µ)✱ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣ t♦→♥ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣
tr➯♥ ❤➔♠ sè✱ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

f (x)

Lp (X,µ)

|f |p dµ

=

1
p

✈î✐ ♠é✐ f ∈ Lp (X, µ)

X

❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✳
✹


ự

t r ợ ồ f, g Lp(X, à), ợ ồ k K, t

õ |f + g| 2max{|f |, |g|}.
ứ õ s r

|f + g|p 2p max{|f |p , |g|p 2p (|f |p + |g|p ) .

f + g Lp(X, à). r kf Lp(X, à). ữ Lp(X, à) õ
ố ợ t tổ tữớ tr số õ ởt ổ
t t
t r |f |pdà = 0 f = 0 ỡ tr
X
tự t ừ ữủ tọ tự
t ữủ s r tứ t tự s
ữủ ự

ỵ [2] , [3] Lp(X, à) ổ

ự

sỷ {fn} ởt tr Lp(X, à) tự
fn fm = 0.

lim

m,n

õ ợ ộ
m, n nk

k N

tỗ t ởt số

||fm fn || <

t

nk N

s ợ ồ

1
.
2k

ợ ồ n nk .
ổ t t tờ qt t õ t tt n1 < n2 < ... < nk < ...
õ
||fm fn || <

1
2k

||fn+1 fn || <

ợ ồ s N t

1
.
2k

s

|fnk+1 (x) fnk (x)| Lp (X, à).

gs (x) = |fn1 (x)| +
k=1




❑❤✐ ✤â {gs}s∈N ❧➔ ♠ët ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉ t➠♥❣ ❝→❝ ❤➔♠ sè ✤♦ ✤÷ñ❝✱ ❦❤æ♥❣ ➙♠✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❜ê ✤➲ ❋❛t♦✉ ❝❤♦ ❞➣② ❤➔♠ {gs} t❛ s✉② r❛ tç♥ t↕✐ s→∞
lim gs (x) ✈➔

∗

lim (gs (x))p dµ ≤ lim inf

s→∞

(gs (x))p dµ = lim inf gs

s→∞

X

s→∞

p

.

X

▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❝â
s

s

gs ≤ fn1 +

fn+1 − fnk < fn1 +
k=1

k=1

1
< fn1 + 1,
2k

♥➯♥
lim inf gs

p

s→∞

❉♦ ✤â

< +∞.

lim (gs (x))p dµ < +∞.

s→∞
X

✣✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦s→∞
lim (gs (x))p dµ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✱ s✉② r❛ lim gs (x)
s→∞
tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✳ ◆❤÷ ✈➟② ❝❤✉é✐
∞

fn1 (x) +
k=1

(f n+1 (x) − fnk (x)) ,

❤ë✐ tö t✉②➺t ✤è✐ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✱ ❞♦ ✤â ❤ë✐ tö ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐✱ tù❝ ❧➔ ❦❤✐ s → ∞
s➩ tç♥ t↕✐ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ ❝õ❛ ❤➔♠
s

(f nk+1 (x) − fnk (x)) .

fns+1 (x) = fn1 (x) +
k=1

●å✐ f0 (x) ❧➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ ❝õ❛ ❤➔♠ fn

k+1

(x)✱

❦❤✐ s → ∞. ❱➻

fnk+1 (x) ≤ lim gs (x) ∈ Lp (X, µ) ,
s→∞

♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ❤ë✐ tö ❝❤➦♥✱ t❛ ❝â
p

|f0 (x)p | dµ = lim

fns+1 (x) dµ,

s→∞

X

X

✻


tự f0 Lp (X, à) . ử ờ t ởt ỳ t õ
f0 fnk =
lim

s X

p

lim fnk+1 (x) fnk (x) dà

X s

fnt+1 fn1

s

t=k

s
s t=k

1
2t

s
s

p

s

= lim inf
lim

p

fnk+1 (x) fnk (x) dà = lim inf fnk+1 fnk



=
t=k

lim

fnt+1 fn1

s t=k

p

p

1
2t .

ứ s r k
lim f0 fn = 0. õ ợ ồ > 0, tỗ t m1 N
s ợ ồ nk m1 t õ
k


f0 = fnk < .
2

t {fn} tỗ t m2 s n, nk m2
t fn fn < 2 ồ n0 = max {m1, m2} õ ợ ồ n n0
nk n0 t õ
k

f0 fn f0 fnk + fnk fn < .

ữ t fn ở tử tợ f0 t Lp (X, à) ổ
ỵ ữủ ự

ỵ [2] , [3] à ở ỳ 1 p q < + t ợ
ộ số f Lp (X, à)

f

p

f

1



1

pq ,
p .à (X)

tứ õ s r Lq (X, à) Lp (X, à) Ll (X, à) .

t t tự ú tr trữớ
q
ủ q = p t trữớ ủ p < q pq > 1 (qp)
> 1 pq + qp
q = 1
t t tự r t õ
ự

X



pq

|f.g|dà

|f | p dà

q

X

X



qp
q
q

|g| qp dà

.


ợ ồ f, g ữủ tr X ồ g 1 t f |f |p t t
ữủ



p
q

|f |p dà
X

q

(|f |p ) p dà

dà

,

X

X

tữỡ ữỡ ợ

qp
q



p1



|f |p dà

1q



|f |q dà à (X)

qp 1
q ãp

.

X

X

ứ õ s r t tự
à (X) < t tự s r r f Lq (X, à) t
f Lp (X, à) ợ ồ 1 p q < +. t tự
ự
ỵ ữủ ự

ỵ [2] , [3] ộ ồ s trũ t tr ổ Lp
ồ số ỡ tr [0; 1]
ồ số tử tr [0; 1]

ỵ [2] , [3] ổ Lp ổ
ởt số tự ỡ ổ rt
ổ ữợ

[1] , [2] , [3] X ởt ổ t t tr
K

số

, :X ìX K

(x, y) x, y ,

tọ ợ ồ x, y, z X, K
(1)
(2)
(3)
(4)

y, x = x, y ;
x + y, z = x, z + y, z ;
x, y = x, y ;
x, x 0; x, x = 0 x = 0.



ữủ ồ t ổ ữợ tr X ố
tỷ x, y tr X

[1] , [2] , [3]
ợ ồ x, y X t õ

x, y

ữủ ồ t ổ ữợ ừ

, ởt t ổ ữợ tr X õ
| x, y |2 x, x y, y .

số ã : X R+

x, x , x X,

x =
ởt tr X

[1] , [2] , [3]
x+y

2

, t ổ ữợ tr X õ

+ xy

2

=2

x

2

+ y

2

,

tr õ ã s t ổ ữợ

ổ rt

[1] , [2] , [3] (X,

, )

tr õ X ởt ổ
t t , t ổ ữợ tr X ữủ ồ ổ t
rt ổ t rt ừ ợ tr s
ồ ổ rt

ỵ [1] , [2] , [3] X ởt ổ t rt õ
t ổ ữợ ởt số tử tr X ì X

sỷ { xn, yn } ởt tỷ ở tử x0, y0
tr X ì X tự n
lim xn = x0 X, lim yn = y0 X. õ ợ ộ
n

ự

n N ,

| xn , yn x0 , y0 | | xn , yn xn , y0 | + | xn , y0 x0 , y0 |
= | xn , yn y0 | + | xn x0 , y0 |
xn yn y0 + y0 xn x0 .

xn x0 {xn} ợ ở tự tỗ t k > 0 s

ợ ồ n N ứ t õ
lim xn , yn = x0 , y0 .

n





xn K


✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ❧➔ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝✳
✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2 (X, µ)✿ ❈❤♦ (X, M, µ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤ë
✤♦✳
❱î✐ f, g ∈ L2(X, µ)✱ ✤➦t
✭✶✳✹✮
f, g = f gdµ.
X

❚❛ t❤➜② r➡♥❣ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✈➳ ♣❤↔✐ ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ ✈➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➻ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r✿


 12 

|f g|dµ ≤ 

|f |2 dµ 

X

 12

|g|2 dµ < +∞.

X

X

❉➵ t❤➜② ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✶✳✹✮ ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ✈æ
❤÷î♥❣ tr➯♥ L2(X, µ)✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❞➵ t❤➜② ✈î✐ ♠é✐ f ∈ L2(X, µ)✱
 12



f =

f, f = 

f gdµ = 

X

 21



|f |2 dµ .

X

✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ L2(X, µ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✶✳✷✳✸ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ L2ρ

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ [1] , [2] , [3] ❱î✐ a < x < b ①➨t ❤➔♠ trå♥❣
ρ (x) = (x − a)α (b − x)β , α, β > −1✳

❑þ ❤✐➺✉ L2ρ(a, b) ❧➔ t➟♣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ u(x) ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❦❤↔ t➼❝❤ ✈î✐
❤➔♠ trå♥❣ ρ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔
 21

b



ρ (x) |u (x)|2 dx < ∞.

u := 
a

❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ tr♦♥❣ L2ρ (a, b)

✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝æ♥❣ t❤ù❝
b

u, v

ρ

✭✶✳✺✮

ρ (x) u (x) v(x)dx.

:=
a

✶✵

✭✶✳✻✮


ó r ợ t ổ ữợ t L2(a, b) ởt ổ
rt

tỷ ố ự t tử
P t t tử

r ú t t ổ ủ ừ ổ
rt X ởt ổ rt ỵ x, y t ổ
ữợ ừ tỷ x, y tr X t t r ợ ộ ố
y X
x (x) = x, y

ởt t t tử tr X

ỵ s [1] , [2] , [3] X ởt ổ rt
x ởt t t tử tr X t tỗ t t ởt
tỷ y X s ợ ồ x X,

x (x) = x, y
r x = y .

x = 0 t tỷ y = 0 tỷ
t tọ ỵ sỷ x = 0 õ L = ker x ởt ổ
õ tỹ sỹ ừ X tỗ t ởt tỷ ổ
z ừ X trỹ ợ L tự zx ợ ồ x L t
z : X K z (x) = x, z ợ ồ x X t z ởt
t t tử tr X
ự

Ker x Kerz

õ tỗ t K s z = x. z(z) = x, z = z 2 = 0
z = 0 t = 0 ứ õ s r x = 1 z . t = 1 t õ x = z .
t õ
x (x) = z ( x) = x, z = x, z

ợ ồ x X t y = z t õ



ợ ồ x X.
ỏ ự tỷ y t sỷ tỗ t y tọ
ỵ õ
x, y = x, y ợ ồ x X.
õ x, y y = 0 ợ ồ x X ứ õ s r y y = 0
y = y . ự ữủ x = y .
ỵ ữủ ự

t A : X X ữ s ợ ộ
tỷ y X t tữỡ ự ợ t t tử x
tr ỵ t A ởt ỹ tứ X X .
x (x) = x, y

q [1] , [2] , [3] r ổ rt {xn} ở tử
tỷ x0 lim xn , x = x0 , x ợ ồ x X.
n

sỷ X ởt ổ rt X ổ ủ ừ X.
tr X ởt t ổ ữợ ữ s
x , y = A1 x , A1 y , x , y X ,

tr õ A ỹ t t tứ X X . õ t q s

ỵ [1] , [2] , [3] ổ ủ X ừ ổ X
ởt ổ rt

t X ổ rt X
ổ õ
ự

x , x =

A1 x , A1 x = A1 x = x

A1 x , A1 x =

ợ ồ x X , A ởt s ỹ tứ X X . ữ
tr ổ X trũ ợ s t ổ ữợ tr

X X ổ rt
ỵ ữủ ự




tỷ ủ

sỷ X ổ rt A L(X). ợ ộ tỷ ố
y X t số
xy : X K,

xy (x) =
t t

Ax, y

ợ ồ x X õ xy ởt

xy (x) = | Ax, y | Ax

y A

y

x ,

ợ ồ x X. ữ xy ởt t t ợ ở tr
ổ rt X
xy A

y .

ỵ tỗ t t ởt tỷ z X s
xy (x) = x, z , x X.

t Ay = z t ữủ ởt A : X X. õ A ởt
t t ứ ỵ t ủ ợ t tự t õ
A y = z = xy A

y ,

ợ ồ y X. A ởt t tỷ t t ợ ở
A A .

tỷ A L(X) ữ tr ữủ ồ t tỷ ủ ừ
t tỷ t t tử A.

ứ t tỷ A, t s r t tỷ A ữủ
tự
Ax, y = x, A y , x, y X.

tỷ ủ ừ t tỷ A ồ t tỷ ủ tự ừ A
ữủ ỵ A.

ỵ [2] . sỷ X ổ rt A L(X). õ

A∗∗ = A, ✈➔ A∗ = A .
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ t♦→♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ t❛ ❝â

Ax, y = x, A∗ y = A∗ y, x = y, A∗∗ x = A∗∗ x, y ,

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X. ❉♦ ✤â Ax = A∗∗x,✈î✐ ♠å✐ x ∈ X, ❦➨♦ t❤❡♦ A = A∗∗.
▼➠t ❦❤→❝✱ A∗∗ ≤ A∗ ≤ A s✉② r❛ A∗∗ = A∗ = A .
✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✾✳ [2] , [3] ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➔ A, B ∈ L(X), λ ∈
K. ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â
✶✮ (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ;
✷✮ (λA)∗ = λA∗ ;
✸✮ (BA)∗ = A∗ B ∗ ;
✹✮ IX∗ = IX .

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❤➟t ✈➟②✱ ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X. ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦→♥ tû ❧✐➯♥

tö❝ t❛ ❝â✿
✶✮ x, (A + B)∗ y

= (A + B) (x) , y = Ax + Bx, y
= x, A∗ y + B ∗ y = x, (A∗ + B ∗ ) y .

❙✉② r❛ (A + B)∗ y = (A∗ + B ∗) y ✈î✐ ♠å✐ y ∈ X, ❦➨♦ t❤❡♦

(A + B)∗ = A∗ + B ∗ .

✷✮

x, (λA)∗ y = (λA) x, y = λ (Ax) , y = Ax, λy
= x, A∗ λy

❙✉② r❛ (λA∗) y = A∗

λy

= x, λA∗ y .

✈î✐ ♠å✐ y ∈ X ✱ ❦➨♦ t❤❡♦
(λA)∗ = λA∗ .

x, (B · A)∗ y = (B · A) x, y = B (Ax) , y = Ax, B ∗ y
✸✮
= x, A∗ (B ∗ y)
❙✉② r❛ (B · A)∗ y = A∗ (B ∗y) ✈î✐ ♠å✐ y ∈ X, ❦➨♦ t❤❡♦
(B · A)∗ = A∗ · B ∗ .

✹✮

x, IX∗ y = IX x, y .
✶✹


r x = IX x = IX = 1 ợ ồ x X
IX y = y = IX = 1 ợ ồ y X.

õ s r IX = IX .
ỵ ữủ ự
õ ởt số t q ữủ tr tr ỵ s

ỵ [2] , [3] sỷ X ởt ổ rt A L(X).
õ A ỗ ổ A ỗ ổ
ự

sỷ A ởt ỗ ổ õ
A ã A1 = A1 A = IX .

ỵ t õ


A1 ã A = A ã A1

A ã A1 = A1 ã A




= IX = IX ;
= IX = IX .

A ởt ỗ ổ (A)1 = A1 .
ữủ A ởt ỗ ổ t t ự tr A
ởt ỗ ổ A = A A ụ ởt ỗ ổ
ỵ ữủ ự

ỵ [2] , [3] X ởt ổ rt A L(X) t

X = kerA A (X) X = kerA A (X),
tr õ ỵ ừ tờ trỹ t trỹ

ú ỵ r kerA, A (X) ổ õ
ự X = kerA A (X) t ự

ự

ừ X



kerA =A (X) .

t ợ ộ x kerA t Ax = 0 t
ợ ồ y X

Ax, y = 0

x, A y = Ax, y = 0,

xAy ợ ồ y X, tự xA(X). ứ t t tử ừ
t ổ ữợ t s r xA (X). ự x A (X)



ữủ x A (X) t xA (X) s r xA (X), t
x, A y = 0 ợ ồ y X.
Ax, y = x, A y = 0,

Axy ợ ồ y X, r Ax = 0, tự x kerA.
ữ kerA = A (X), t õ tự tự t tự
ỏ tr ỵ ữủ tứ tự ự
t A A ợ ú ỵ A.
ỵ ữủ ự
tỷ ố ự

[2] , [3] sỷ X ởt ổ rt t tỷ A

ữủ ồ t tỷ ố ự t tỷ tỹ ủ A = A.
t õ t tỷ A t tỷ ố ự
Ax, y = x, Ay ợ ồ x, y X.
ử A L (Cn) t tỷ ữủ tr (aij ), i, j =
1, 2, .., n. õ A ố ự
aij = aij ợ ồ i, j = 1, 2, ..., n.

ỵ [2] , [3] sỷ X ởt ổ rt A, B L(X)

t tỷ ố ự õ
A + B t tỷ ố ự
ợ ồ R, A t tỷ ố ự
A.B = B.A t B.A t tỷ ố ự
IX t tỷ ố ự
ú ỵ r = x + iy C tr õ y = 0 A ởt t tỷ
ố ự ổ t tữớ t A ổ t tỷ ố ự

ỵ [1] , [2] , [3] X ởt ổ rt A t
tỷ ố ự ỗ ổ õ A1 t tỷ ố ự

ỵ t tỷ ủ A ừ t tỷ A
ởt ỗ ổ r (A)1 = (A1) A t tỷ ố ự
A = A t A1 = (A)1 = (A1) A1 t tỷ ố
ự ỵ ữủ ự
ự

ỵ [2] , [3] sỷ X ởt ổ rt A L(X)

t tỷ ố ự õ

A = sup {| Ax, x | : x 1} = sup {| Ax, x | : x = 1} .
ự

t à = sup {| Ax, x | :
| Ax, x | A

x 1} .
x

2

õ

,

ợ ồ x X
| Ax, x | A

ợ

x 1.




à = sup | Ax, x | A .
x1

t ợ ồ x, y X, t õ
A (x + y) , x + y = Ax, x + Ax, y + Ay, x + Ay, y ;
A (x y) , x y = Ax, x Ax, y Ay, x + Ay, y .

rứ tự tr tự ữợ t ữủ
A (x + y) , x + y A (x y) , x y = 2 Ax, y + 2 Ay, x .



Ax, y = x, Ay = Ay, x ,

tứ tự tr s r


A (x + y) , x + y A (x y) , x y = 4Re Ax, y .

t r t ừ à,
| Az, z | à z 2 , ợ ồ z X.
õ tự s r r
1
|Re Ax, y | à

4

x+y

2

+ xy


2

2

1
= à
2

x

2

+ y

2

,

ú ợ ồ x, y X ồ x X s x = 1 Ax = 0 t
ồ y = Ax
Ax õ y = 1 t tự tr t


Ax à.

t tự ú tr trữớ ủ Ax = 0. ữ



A = sup Ax à.
x 1

t ủ t tự t õ
ự tữỡ tỹ t

A = à.

à = sup {| Ax, x | : x = 1} .
x 1

t ụ õ A = à.
ỵ ữủ ự

q [2] , [3] sỷ X ởt ổ rt A L(X)
ởt t tỷ ố ự ổ t tữớ õ tỗ t (A) s

|| = A , tứ õ s r (A) = .

ỵ [2, 3] . X ổ rt A L(X) ởt t
tỷ ố ự 1 , 2 tr r ừ A õ ổ
ự ợ tr r 1 , 2 trỹ ợ

t 1, 2 tr r x, y
tỡ r ự ợ ú Ax = x, Ay = ày. A ố ự
Ax, y = x, Ay x, y = à x, y ( à) x, y = 0, õ

ự

x, y = 0.

ỵ ữủ ự

[2] , [3] sỷ X ổ rt A L(X)
ởt t tỷ ố ự õ h : X ì X C
ổ tự

h(x, y) = Ax, y ,



õ t t ữ s
h(x, y) = h(x, y) ợ ồ x, y X.
h(1 x1 + 2 x2 , y) = 1 h(x1 , y) + 2 h(x2 , y) ợ ồ x1 , y2 X ợ
ồ 1 , 2 C.
|h(x, y)| K x

y ợ ồ x, y X tr õ K ởt số

P h : X ì X C tọ tr
ồ ởt s t t rt

ữ ộ t tỷ ố ự ởt s t t ợ
ở rt ữủ ữủ tr ỵ s

ỵ [2] , [3] sỷ X ổ rt h : X ì X C

ởt s t t ợ ở rt õ tỗ t t ởt
t tỷ ố ự A L(X) s



h(x, y) = x, y ,
ợ ồ x, y X.
ự

ợ ộ tỷ ố y X t
fy (x) = h x, y ,

x X.

õ fy ởt t t r
|fy (x)| = |h(x, y)| K x

y

ợ ồ x X,

fy ởt ợ ở

fy K y .

ỵ tỗ t ởt tỷ t z X s
fy (x) = x, z ,



ợ ồ x X, fy = z .
t t tỷ A : X X, Ay = z ợ ộ y X, tr õ
z



ợ ồ x X.
ự ữủ A t tỷ t t r Ay =
fy K y ợ ồ x X A ợ ở t ự A
t tỷ ố ự ợ ồ x, y X,
h(x, y) = x, Ay

x, Ay = h(x, y) = h(x, y) = y, Ax = Ax, y .

A = A A tọ tự ụ tứ tự
s r t t ừ A
ỵ ữủ ự
t h : X ì X C ởt s t t ợ ở
rt õ k tr ổ rt X
ổ tự
k(x) = h(x, y),

x X,

tr tỹ ồ t ữỡ rt ự ợ
s t t ợ ở rt h. r t ỏ õ |k (x)| K x 2 ợ
ồ x X.
tỷ t tử

A ởt t tỷ t t tử tr ổ rt X
t tứ x K s r Ax K A , A ộ t
t ởt t
[2] , [3] õ r ởt t tỷ t t A tr
ổ rt X t tỷ t tử õ ộ t
t ởt t t
t ởt t tỷ t t A t tử õ
ộ t õ t t t
ởt t tỷ t tử t tử t ởt t tỷ A
tử tr ImA ừ õ ởt ổ ỳ
ừ X t ụ t tử