Đề, đáp án HKI Toán 12 hiện hành./.

Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Bài 1 ( 3 điểm)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( ) ( )
3 2
1
2 3 1
3
y f x x x x C= = − + −
( 2 điểm)
b. Tìm
m
để đường thẳng
( )
2 1d y mx= −
cắt
( )
C
tại 3 điểm phân biệt? ( 1 điểm)
Bài 2 ( 3 điểm)
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( )
1 2
2 2sin
2 3
f x cos x x
= + −
, với
0;
2

x
π
 
∈
 
 
( 1 điểm)
b. Giải phương trình
2
1 9
3
log 6log 1 0x x
− − =
( 1 điểm)
c. Giải hệ phương trình
2
3 2 0
27 3 .9 0
x y x
x y

− + =


− =


( 1 điểm)
Bài 3 ( 1 điểm)
Cho hàm số

( )
( )
2
1 1

1
m
x m x m
y C
x
+ + + +
=
+
,
m
là tham số.
Chứng minh rằng
m
∀
bất kỳ, đồ thị
( )
m
C
luôn có cực đại, cực tiểu. Tìm
m
để khoảng
cách từ điểm cực đại của đồ thị
( )
m
C

đến đường thẳng
( )
3 4 2 0x y
∆ − + =
bằng
4
?
( 1 điểm)
Bài 4 (3 điểm)
Cho hình chóp
.S ABC
có
( )
SA ABC⊥
, đáy là
ABC∆
vuông cân tại
A
.
Biết
2 , 3, 3SA a AB a AC a= = =

a. Tính thể tích của khối chóp
.S ABC
. ( 1,5 điểm)
b. Xác định tâm
I
, tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.

Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và thể tích khối cầu ngoại tiếp
hình chóp
.S ABC
. ( 1 điểm)
c. Gọi
, , M N P
lần lượt là trung điểm của
, , SB SC AC
. Mặt phẳng
( )
MNP
cắt
AB
tại
Q
.
Tính diện tích toàn phần của khối đa diện
MNPQBC
. ( 0,5 điểm)
--------------------------------------------------Hết ----------------------------------------------
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên
Năm học 2010- 2011
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề chẵn
ĐỀ THI HỌC KỲ I- MÔN TOÁN Lớp 12- Ban khoa học tự nhiên
Năm học 2010- 2011

Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề chẵn
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Bài 1 ( 3 điểm)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( ) ( )
3 2
1
2 3 1
3
y f x x x x C= = − + −
Tập xác định
D R=
( 0,25 điểm)
Giới hạn
3 2 3 2
1 1
lim 2 3 1 ; lim 2 3 1
3 3
x x
x x x x x x
→+∞ →−∞
   
− + − = +∞ − + − = −∞
 ÷  ÷
   
( 0,25 điểm)
Ta có
2 2
1

1
' 4 3; ' 0 4 3 0
3
3
1
x
y
y x x y x x
x
y

=
=


= − + = ⇔ − + = ⇔ ⇒


=

= −

( 0,25 điểm)
Bảng biến thiên

( 0,5 điểm)
Hàm số nghịch biến trên
( )
1;3
, đồng biến trên

( )
;1−∞
và
( )
3;+∞
Điểm cực tiểu
( )
1
3; 1I −
, điểm cực đại
2
1
1;
3
I
 
 ÷
 
Ta có
'' 2 4; '' 0 2 4 0 2y x y x x= − = ⇔ − = ⇔ =
.
Điểm uốn
1
2;
3
I
 
−
 ÷
 

( 0,25 điểm)
Điểm đặc biệt:
( )
0; 1A −
,
1
4;
3
B
 
 ÷
 
.
Đồ thị hàm số nhận
điểm uốn
1
2;
3
I
 
−
 ÷
 
làm
tâm đối xứng. ( 0,5 điểm)
b. Tìm
m
để đường thẳng
( )
2 1d y mx= −

cắt
( )
C
tại 3 điểm phân biệt?
2
1
3
1
−
+
0
1
− ∞
3
0
+∞
+∞
− ∞
+-
x
( )
'f x
( )
f x
.
0
-2
A
2
-1

x
y
I
1
-2
3
4
.
.
.
.
.
.
.
.
B
.
-1
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Phương trình hoành độ giao điểm của
( )
C
và
( )
d
là:

3 2 3 2 2
2
1 1 1

2 3 1 = 2 1 2 3 2 0 2 3 2 0
3 3 3
0
1
2 3 2 0
3
x x x mx x x x mx x x x m
x
x x m
 
− + − − ⇔ − + − = ⇔ − + − =
 ÷
 
=


⇔

− + − =

Đặt
( )
3
1
2 3 2
3
g x x x m= − + −
( 0,5 điểm)
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình
( )

0g x =
có 2 nghiệm phân
biệt khác
0

( )
( )
1
0
1 3 2 0
' 0
3
3
0 0
3
2
2
m
m
g
m
m

>
− − >


∆ >

  

⇔ ⇔ ⇒
  
≠
≠


 
≠



( 0,5 điểm)
Bài 2 ( 3 điểm)
a..Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( )
1 2
2 + 2sin
2 3
f x cos x x
= −
, với
0;
2
x
π
 
∈
 
 

Ta có
( )
( )
( )
2 2
1 2 1
1 2sin 2 sin 2sin , 0;
2 3 6 2
f x x sinx f x x x x
π
 
= − + − ⇔ = − + − ∈
 
 
( 0,25 điểm)
Đặt
( )
[ ]
2
1
sin , 0 t 1 2 , 0;1
6
t x f t t t t= ≤ ≤ ⇒ = − + − ∈
. ( 0,25 điểm)

( ) ( )
[ ]
' 2 2, ' 0 1, 0;1f t t f t t t= − + = ⇔ = ∀ ∈
. ( 0,25 điểm)
Ta có:

( ) ( )
1 5
0 ; 1
6 6
f f= − =
Gía trị lớn nhất là :
[ ]
( ) ( ) ( )
0;1
0;
2
5 5
max 1 t 1 max ;
6 6 2
f t f khi f x khi x
π
π
 
 
 
= = = ⇔ = =
Giá trị nhỏ nhất là:
[ ]
( ) ( ) ( )
0;1
0;
2
1 1
min 0 t 0 min 0
6 6

f t f khi f x khi x
π
 
 
 
= = − = ⇔ = − =
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
1
6
−
khi
0x =
, đạt giá trị lớn nhất là
1

6 2
khi x
π
=
( 0,25 điểm)
b. Phương trình
2
1 9
3
log 6log 1 0x x− − =
. Điều kiện
0x
>
( 0,25 điểm)
Phương trình tương đương:

2
3 3
4log 3log 1 0x x
− − =
Đặt
3
logt x=
, ta có phương trình: ( 0,25 điểm)
3
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin

3
2
3
4
3
log 1
1
4 3 1 0
1
1
1
log
3
4
4
x
x
t
t t

x
t
x
=
= 
=





− − = ⇔ ⇔ ⇒



=
= −
= −




( 0,5 điểm)
c. Giải hệ phương trình
( )
( )
2
3 +2 = 0 1

27 3 .9 0 2

x x
x y
y

−


− =


( )
2 2
2
2 27 3 .9 3 3
x y x y x
x y⇔ = ⇔ = ⇔ =
thay vào phương trình
( )
1
ta được:

2
1
1
1 1
3 2 0
2 4
2
2
y

y
y x
y y
y x
y
y
=



=
= − =


− + = ⇔ ⇔ ⇒



= =
=




= −

( 0,5 điểm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( ) ( ) ( ) ( )
1;1 ; 1; 1 ; 4;2 ; 4; 2− −

( 0,5 điểm)
Bài 3 ( 1 điểm)
Tập xác định
{ }
\ 2D R= −
( 0,25 điểm)
Ta có

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 1 1 1 1
2
' '
1 1
x m x x x m x m
x x
y y
x x
 
 
+ + + − + + + +
+
 
 
= ⇔ =
+ +

2
0 1
' 0 2 0
2 3
x y m
y x x
x y m
= = +
 
= ⇔ + = ⇔ ⇒
 
= − = −
 
( 0,25 điểm)
Dựa vào đồ thị, điểm cực đại là:
( )
1
2; 3I m− −
( 0,25 điểm)
Phương trình đường thẳng
( )
3 4 2 0x y∆ − + =
.
Khoảng cách từ điểm cực đại
( )
1
2; 3I m− −
của hàm số đến đường thẳng
( )
3 4 2 0x y∆ − + =

là:

( )
( )
( ) ( )
( )
1
2
2
3. 2 4 3 2
8 4
; 4 2 5 3 7
5
3 4
m
m
d I m m m
− − − +
−
∆ = = = ⇔ − = ⇔ = − ∨ =
+ −
( 0,25 điểm)
4
2
−
3m
−
1m
+
+

0
− ∞
0
0
+∞
+∞
− ∞
+-
x
( )
'f x
( )
f x
-
1
−
Trường T.H.P.T Ngọc Hồi Tổ Toán -Tin
Bài 4 (3 điểm)

Vẽ hình đúng ( 0,5 điểm)
a. Do
( )
SA ABC⊥
nên
SA
là đường cao
của hình chóp
.S ABC
.
Thể tích của khối chóp là:

( )
1
.
3
V SA dt ABC= ∆
( 0,25 điểm)
Mà
ABC
∆
vuông cân tại
C


( )
2
1 1 3
. 3. 3
2 2 2
a
dt ABC AC AB a a
∆ = = =

( 0,25 điểm)
Suy ra
2 3
1 3
2 .
3 2
V a a a= =
. ( 0,5 điểm)

b. Gọi
H
là trung điểm
BC
. Ta có:
HA HB HC= =
(do
ABC∆
vuông tại
A
)
Từ
H
dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
. Suy ra d là trục mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
.S ABC
.
Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh
SA
đi qua trung điểm
E
của
SA
, cắt d tại điểm
I
.
Ta có

( )
1IA IS=
Tương tự, dựng mặt phẳng trung trực các cạnh
,SB SC
. Ta có:
( )
2IC IB IS= =
Từ
( ) ( )
1 , 2
suy ra
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S ABC
. Bán kính
R IA=
.
Ta có
2 2
10
2
a
IA IH AH= + =
( 0,5 điểm)
Diện tích mặt cầu là:
2 2
4 10S R a
π π
= =
. Thể tích khối cầu là:

3 3
4 5 10
3 3
V R a
π π
= =
( 0,5 điểm)
c. Mặt phẳng
( )
MNP
cắt
( )
ABC
theo giao tuyến
PQ
song song với
BC
, với
Q
là trung
điểm của
AB
. ( 0,25 điểm)
Diện tích toàn phần của khối đa diện
MNPQBC
bằng:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2

6 3 3 9 3 33 6 3 9 3 33
2 4 4 8 8 2 2 8 8
dt MNPQ dt BMQ dt PNC dt BCPQ dt MNBC
a a a a a
a
+ + + + =
 
+ + + + = + + +
 ÷
 ÷
 
( 0,25 điểm)
-------------------------------------------------------------------------------------------------
5
C
S
A
B
K
E
M
N
Q
P I
H
d