Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức giải tích cho học sinh trung học phổ thông chuyên

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE

2012, Vol. 57, No. 10, pp. 26-32

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG TRONG VIỆC DẠY HỌC TÌM TÒI,
KHÁM PHÁ KIẾN THỨC GIẢI TÍCH CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN

Phạm Sỹ Nam

Trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An
E-mail:
Tóm tắt. Việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá kiến thức cho học
sinh (HS) Trung học Phổ thông (THPT) chuyên là điều cần thiết - bởi cách làm này
mang mục đích kép vừa hình thành cho HS cách tự học, vừa giúp HS phát huy vốn
kiến thức, kinh nghiệm để kiến tạo, phát triển kiến thức cho bản thân. Cách làm
này sẽ giúp HS chiếm lĩnh được kiến thức nhiều hơn. Bài viết này tác giả để xuất
một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức Giải tích cho HS
THPT chuyên nhằm mục đích nâng cao hiệu quả trong dạy học.
Từ khóa: Dạy học kiến tạo, dạy học khám phá, dạy học Giải tích.

1.

Đặt vấn đề

Dạy học tìm tòi khám phá là một phương pháp dạy học trong đó hoạt động học được
cấu trúc để khuyến khích người học học cho chính mình, để học, được học và được khám
phá. Trong cách dạy học này, tìm tòi là con đường, là tiến trình, còn khám phá là điểm
đến, là kết quả. Vì vây, việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá kiến thức cho
HS THPT chuyên là điều cần thiết - bởi cách làm này mang mục đích kép vừa hình thành
cho HS cách tự học, vừa giúp HS phát huy vốn kiến thức, kinh nghiệm để kiến tạo, phát

triển kiến thức cho bản thân.

2.
2.1.

Nội dung nghiên cứu
Cơ sở lý thuyết hình thành cách tiếp cận tìm tòi khám phá

Trước hết, việc học của mỗi cá nhân HS là trung tâm của tiến trình dạy học, mà
việc học ấy chỉ thực sự diễn ra khi mỗi HS là những thực thể hoạt động kiến tạo hơn là
thụ động. Nói cách khác, lí thuyết kiến tạo là một trong những cơ sở lí thuyết của cách dạy
học theo hướng tìm tòi, khám phá.
Lí thuyết kiến tạo khuyến khích HS tự xây dựng kiến thức cho bản thân mình dựa
trên những thực nghiệm cá nhân và áp dụng trực tiếp vào môi trường học tập của các em.
Lí thuyết kiến tạo nhấn mạnh vai trò chủ động của người học. Môi trường học tập với
26


Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức...

nhiều loại tiện ích của công nghệ thông tin ngày nay cho phép HS được khám phá và tìm
kiếm thông tin, tạo ra các liên kết và kiến tạo tri thức.
Triết gia, nhà giáo dục hàng đầu của Mỹ, Mortimer J. Adler, đã khẳng định sự học
chân chính xuất phát từ sự phát triển của tâm trí, chứ không phải là sự hình thành ký ức.
Sự học chân chính bao gồm sự thu nhập kiến thức và thấu hiểu, chứ không phải chỉ là
chấp nhận những ý kiến được quy phạm sẵn. Chính sự thấu hiểu về kiến thức mới đem lại
cho người học những ý nghĩa kiến thức đó. Từ đó, nhận ra được vai trò, những ứng dụng
của kiến thức đó trong nội bộ toán học và trong thực tiễn.

2.2.

Các bước tổ chức thực hiện

2.2.1. Bước 1: Chuẩn bị
- GV xác định nội dung kiến thức có thể tổ chức cho HS khám phá.
- GV xác định những định hướng khám phá.
2.2.2. Bước 2: Tổ chức thực hiện
- GV đưa ra vấn đề và giao nhiệm vụ khám phá. Học sinh tiếp nhận nhiệm vụ.
- Học sinh tìm kiếm, khám phá (Nếu HS không giải quyết được nhiệm vụ, GV gợi
ý hướng dẫn hay nói cách khác HS khám phá dưới sự hướng dẫn và điều khiển của GV).
- Học sinh báo cáo kết qủa trước lớp, có sự chất vấn và thảo luận của cả lớp.
- Phân tích và đánh giá kết quả (HS tự đánh giá, GV đánh giá).
- Kết luận về kiến thức mới.
Có thể mô tả quá trình này bằng sơ đồ sau (Hình 1):

Hình 1. Sơ đồ quá trình khám phá

2.3.

Một số định hướng trong việc tiếp cận dạy học tìm tòi, khám phá

Paul Ernest cho rằng "Các kiến thức khách quan được xác định đồng nhất với một
tập hợp các mệnh đề (MĐ) và phát biểu, đó là phần cốt yếu của của kiến thức được diễn
đạt bằng ngôn ngữ" [3;50]. Từ đây, để hình thành kiến thức mới, chúng tôi xác định hai
hướng tác động:
27


Phạm Sỹ Nam

2.3.1. Hướng thứ nhất: Từ MĐ đúng đã có kiến tạo MĐ mới bằng cách sử dụng các
phép toán tạo MĐ
Cơ sở của hướng tác động: Kiến thức được xác định bởi tập hợp các MĐ, do đó
để kiến tạo kiến thức mới, ta có thể kiến tạo các MĐ mới từ MĐ đã cho. Để giúp HS tìm
tòi, khám phá theo ý tưởng này chúng tôi thực hiện theo các định hướng sau:
Định hướng 1: Xác định "nghĩa của kiến thức" từ đó kiến tạo phương pháp, kiến
thức mới.
Để hình thành "nghĩa của kiến thức" trong dạy học, điều quan trọng nhất là phải
làm cho mỗi tri thức được người học tiếp thu phải có một “nghĩa kiến thức” như thế nào
đó đối với họ. Chức năng giáo dục của dạy học được thực hiện chính trong quá trình này.
“Nghĩa kiến thức” chỉ có thể được hình thành trong quá trình hoạt động của HS, thông
qua hoạt động của HS, thông qua việc nhận ra vai trò của kiến thức đó. Cũng tương tự như
đọc một quyển sách, cái hay của quyển sách được cảm nhận bởi người đọc và cảm nhận
của mỗi người về cái hay của quyển sách có thể theo những khía cạnh khác nhau.
Có thể mô tả quá trình kiến tạo kiến thức theo hình thức này như sau:
Kiến thức vừa học → "Nghĩa của kiến thức" → Vận dụng → kiến tạo kiến
thức mới
Ví dụ: Tổ chức dạy học tìm tòi, khám phá kiến tạo kiến thức mới, phương pháp mới
từ định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Trợ giúp của GV (nếu cần):
- Có thể sử dụng công thức
f (x) − f (x0 )
= f ′ (x0 )
x→x0
x − x0
lim

f (x) − f (x0 )
)
x − x0

GV đặt vấn đề yêu cầu HS vận dụng phương pháp vừa tìm được để tính giới hạn
hàm số dạng
f (x) − f (x0 )
lim
x→x0 g(x) − g(x0 )
trong đó
lim f (x) = f (x0 )

để giải những bài toán gì? (tính giới hạn dạng limx→x0

x→x0

lim g(x) = g(x0 )

x→x0

thông qua việc thực hiện hoạt động, để HS phát hiện ra kết quả
f ′ (x0 )
f (x) − f (x0 )
= ′
x→x0 g(x) − g(x0 )
g (x0 )
lim

trong đó

g ′ (x0 ) = 0
28

Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức...

Nếu xét trường hợp đặc biệt
f (x0 ) = g(x0 ) = 0
thì kết quả trên chính là nội dung quy tắc L’hospitale. Đây là một quy tắc khử dạng vô
0
định rất hiệu quả.
0
Bằng việc sử dụng định nghĩa đạo hàm HS có thể giải nhiều bài toán khó mà không
cần phải sử dụng nhiều kĩ thuật biến đổi như các phương pháp khác. Chẳng hạn: Tính các
giới hạn:
√
√
5 − x3 − 3 x2 + 7
I1 = lim
x→1
x2 − 1
√
1 − 2x + 1 − sinx
I2 = lim √
3
x→0
3x + 8 − x − 2

Xuất phát từ quan niệm "các kiến thức khách quan được xác định đồng nhất
với một tập hợp các mệnh đề và phát biểu" ta có một định hướng mới để phát triển
kiến thức.
Định hướng 2: Tiến hành phát triển mệnh đề. Để phát triển mệnh đề chúng ta sử
dụng các cách tạo mệnh đề như: sử dụng các phép kéo theo, phép hội, phép tuyển, phép
tương đương, phép phủ định,...

Ví dụ: Nội dung lựa chọn để khám phá: Tìm tòi, khám phá kiến thức mới từ định
nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: "Hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới
x0 nếu với mọi dãy (xn ) tiến tới x0 thì f (xn ) tiến tới L”.
Trợ giúp của GV (nếu cần): Nếu xem mệnh đề A là "Hàm số có giới hạn L khi
x dần tới x0 ", mệnh đề B là "với mọi dãy (xn ) tiến tới x0 thì f (xn ) tiến tới L", có thể
diễn đạt định nghĩa trên dưới dạng MĐ là "A ⇒ B". Vận dụng các cách tạo MĐ mới từ
MĐ trên?
GV gợi ý tiếp nếu HS không thực hiện được yêu cầu trên: Có nhận xét gì về MĐ
¯ ⇒ A¯ "?. Diễn đạt mệnh đề B dưới dạng kí hiệu? Xác định mệnh đề B?
¯
"A ⇒ B" và " B
Kết quả 1: Nếu tồn tại dãy (xn ) dần tới x0 mà f (xn )) không dần tới L thì hàm số
f(x) không có giới hạn L.
Trợ giúp của GV (nếu cần): Có nhận xét gì về giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
tới x0 nếu lim(xn ) = x0 , lim(x′n ) = x0 mà limf (x′n ) = limf (xn ))?
Kết quả 2: "Nếu lim xn = x0 , lim x′ = x0 mà lim f (xn ) = lim f (x′n ) thì hàm số
f(x) không có giới hạn tại x = x0 ".
Định hướng 3: Tìm mối liên hệ giữa các kiến thức đã được học. Từ mối liên hệ giữa
các kiến thức cho phép chúng ta có được những sự diễn đạt mới về một kiến thức, đây là
cơ sở để kiến tạo nên kiến thức mới.
Ví dụ: Nội dung lựa chọn để khám phá: Tìm mối liên hệ giữa các khái niệm đạo
hàm, hàm số liên tục, giới hạn hàm số, giới hạn dãy trên cơ sở đó kiến tạo kiến thức mới.
Kết quả: "Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = a
29


Phạm Sỹ Nam

⇒ Hàm số y = f (x) liên tục tại x = a
⇒ lim f (x) = f (a)

x→a

⇒ mọi dãy số xn → a thì lim f (xn )) = f (a)"
Từ chuỗi suy luận trên ta có"Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a ⇒ mọi dãy số
xn → a thì lim f (xn ) = f (a)". Kết quả này là cơ sở chuyển qua giới hạn của các hàm số
liên tục. Vận dụng kết quả mới này giúp ta giải quyết được một số vấn đề liên quan đến
hàm số liên tục. Chẳng hạn:
Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số liên tục f : R → R thỏa mãn f (x2 ) · f (x) =
1), ∀x ∈ R
Việc chuyển qua giới hạn của hàm số liên tục là cơ sở cho những phép biến đổi sau:
Với 0 x < 1 thì f (x) = f (x4 ) = f (x4n ) do đó lim f (x) = lim f (x4 ) = lim f (x4n ) = f (0)
1
1
1
1
Với x 1 thì f (x) = f (x 4 ) = f (x 4n do đó lim f (x) = lim f (x 4n ) = f (lim x 4n ) =
f (1).
Đây là những điểm mấu chốt để có được lời giải bài toán.
2.3.2. Hướng thứ hai: Chuyển dịch ngôn ngữ
Cơ sở của hướng tác động: Theo Paul Ernest "Phần cốt yếu của kiến thức được
diễn đạt bằng ngôn ngữ". Điều này có nghĩa là việc hiểu những kiến thức đó phụ thuộc
chủ yếu vào khả năng ngôn ngữ cũng như phần lớn hoạt động xã hội và nhận thức của con
người. Mặt khác ngôn ngữ là một kiến tạo xã hội. Vì vậy, để phát triển, hiểu kiến thức có
thể xuất phát từ ngôn ngữ, quan tâm đến những biến đổi ngôn ngữ và có thể kiến tạo kiến
thức mới xuất phát từ ngôn ngữ.
Để tìm tòi, khám phá một kiến thức
theo định hướng này có thể: Khám phá trực
tiếp, hoặc gián tiếp. Khám phá trực tiếp:
được tiến hành bằng cách: Từ kiến thức đã
biết, bằng các dịch chuyển ngôn ngữ để thu

nhận kiến thức mới. Khám phá gián tiếp:
Đối với các khái niệm liên quan đến hàm số,
giá mang kiến thức của nó là đồ thị hàm số.
Hình 2. Vị trí tiếp tuyến d tại cực trị
Vì vậy, có thể tổ chức cho HS phát hiện các
kiến thức mới liên quan đến hàm số từ đồ thị của nó.
Ví dụ: GV giao nhiệm vụ: Quan sát hình ảnh đồ thị và nhận xét về vị trí tương đối
của đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cực trị và đồ thị hàm số f (x) trên cơ
sở đó khám phá những kiến thức mới (Hình 2).
Cần lưu ý rằng, từ những nhận định mà HS quan sát được GV tổ chức cho HS thảo
luận, chứng minh, những kết quả khám phá được là những kết quả đã được chứng minh
chặt chẽ.
Trợ giúp của GV (nếu cần):
30


Một số định hướng trong việc dạy học tìm tòi, khám phá kiến thức...

Nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng d và đồ thị đường thẳng d và trục
hoành? Hệ số góc của đường thẳng d? Thực hiện chuyển những kết quả quan sát được từ
"ngôn ngữ đồ thị" sang "ngôn ngữ hàm số".
Kết quả 1: Nếu hàm số đạt cực trị tại x = a và hàm số có đạo hàm tại x = a thì
f ′ (a) = 0 hay tiếp tuyến tại điểm cực trị của đồ thị hàm số sẽ có phương trình y = f (a).
Trường hợp trục hoành tiếp xúc đồ thị ta có kết quả:
Kết quả 2: Điều kiện để trục hoành tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x = a
f (a) = 0
f (a) = 0
cũng có nghĩa hệ
. Điều kiện có hoành độ a thỏa mãn
là

′
f ′ (a) = 0
f (a) = 0
f (x) = 0
f ′ (x) = 0

có nghiệm. Kiểm tra điều ngược lại cũng đúng. Từ đây, ta có kết quả:

Kết quả 3: Đồ thị hàm số y = f (x) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi
f (x) = 0
có nghiệm.
f ′ (x) = 0
Bằng cách xét h(x) = f (x) − g(x) và chú ý h′ (x) = f ′ (x) − g ′(x) chúng ta có kết
quả mới:
Kết quả 4: Hai đồ thị y = f (x), y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ
f (x) = g(x)
có nghiệm.
f ′ (x) = g ′ (x)
GV dịch chuyển đường thẳng d sao cho không vuông góc với trục tung và yêu cầu
HS tiếp tục quan sát (Hình 3).
Xét đồ thị hàm số y = f (x) lồi trên (c; b), ta
thấy "tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a ∈ (c; b) luôn
nằm phía trên đồ thị" có nghĩa là xét cùng hoành độ
thì "tung độ của điểm trên tiếp tuyến luôn lớn hơn
hoặc bằng tung độ của điểm trên đồ thị", mà tung độ
của điểm trên đồ thị chính là f (x), tung độ của điểm
trên tiếp tuyến có hoành độ x là f ′ (a)(x − a) + f (a)
hay ta có bất đẳng thức
f (x)

f ′ (a)(x − a) + f (a), ∀x ∈ (c; b)

Hình 3. Vị trí của tiếp tuyến d
tại điểm có hoành độ bằng a

dấu đẳng thức xảy ra khi x = a.
Điều kiện "tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a luôn nằm phía trên đồ thị trong
(c; b) cũng có thể thay bằng "đồ thị f (x)lồi trên (c; b). Như vậy ta có kết quả:
Kết quả 5: Nếu đồ thị f (x) lồi trên (c; b) thì f (x) f ′ (a)(x−a)+f (a), ∀x ∈ (c; b)
Kết quả này là cơ
√sở để HS kiến tạo được rất nhiều bất đẳng thức mới, chẳng hạn, xét
hàm số f (x) = ln(x+ x2 + 1) trên (0; +∞). Ta có tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x)
4
3
x
3
√
< 0, ∀x >
tại điểm có hoành độ x = là y = x+ln 2− ; f ′ (x) = −
4
5
5
(x2 + 1) x2 + 1
31


Phạm Sỹ Nam

0 nên đồ thị hàm số lồi trên (0; +∞). Do đó ta có:
√

Bài toán: Chứng minh rằng ln(x + x2 + 1)

3
4
x + ln 2 − , ∀x > 0.
5
5
Bằng cách làm trên HS có thể sáng tạo được rất nhiều bất đẳng thức khác đồng thời
cách làm đó cũng cung cấp cho HS một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức.

3.

Kết luận

Việc tổ chức dạy học theo hướng tìm tòi, khám phá tạo điều kiện phát huy tối đa
vốn kiến thức, trải nghiệm, sự sáng tạo ở HS, HS thu nhận được kiến thức nhiều hơn đồng
thời cũng hình thành ở HS cách thức để tự học. Tuy nhiên, để thực hiện việc dạy học này
thành công thì vai trò của người GV cũng không nhỏ, GV phải có sự tìm tòi, khám phá
kiến thức để xác định được những nội dung có thể khám phá được, những con đường có
thể kiến tạo kiến thức mới, GV có định hướng giúp HS chứng minh những kết quả thu
được từ khám phá là đúng, hoặc có những phản ví dụ để giúp HS nhận ra được những
nhận định sai, bên cạnh đó GV cũng phải là người rất hiểu HS, hiểu năng lực của HS để
đưa ra những vấn đề phù hợp, có những hướng dẫn, gợi ý phù hợp để kích thích sự tích
cực học tập của HS, khai thác tối đa sự sáng tạo của HS.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2010. Tài liệu giáo khoa chuyên toán Đại số và Giải tích 11,
Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), 2009. Giải tích 12 nâng cao. Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[3] Paul Ernest, 1991. The Philosophy of Mathematics Education. The Falmer Press.
ABSTRACT

Enhanced teaching to enhance analysis and information acquisition
among gifted high school students
The manner of teaching which encourages student research and the personal discovery of information among specialized high school students is very important. This
approach has a double purpose in that it helps students learn on their own and encourages them to acquire more information and experience. Using this approach, students can
do creative work and gain information by themselves. Moreover, this approach will help
students learn more than ever.
In this article the author suggests enhancing ways of teaching that could result in
increased research and discovery in the area of mathematical analysis among students
enrolled in gifted high schools.

32