Chương 2 kéo (nén) đúng tâm

1
Ch-ơng 2


kéo (nén) đúng tâm
1 Khái niệm
1-Định nghĩa:
Xét 1 thanh chịu tác dụng kéo bởi 2 lực cân bằng nh- hình vẽ.
P 1 P N
z
P
1
Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh, ta thấy trên mặt cắt xuất hiện nội lực cân bằng, đó là
lực dọc N
z
. Từ đó ta có định nghĩa sau:
Một thanh chịu kéo nén đúng tâm , khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ xuất hiện 1
thành phần nội lực là lực dọc N
z
.
Trong thực tế, có nhiều tr-ờng hợp chịu kéo nén đúng tâm nh-: ống khói lò cao,
tay biên, dây cáp kéo...
2-Biểu đồ nội lực: Nh- ta đã biết, nội lực xuất hiện khi kéo nén đúng tâm là lực
dọc N
z
.
Lực dọc đ-ợc quy -ớc dấu nh- sau:
+ Mang dấu d-ơng (+) khi h-ớng ra ngoài mặt cắt (chịu kéo).
+ Mang dấu âm (-) khi h-ớng vào trong mặt cắt (chịu nén).
Biểu đồ nội lực
là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc theo chiều trục

thanh.
Cách vẽ:
dùng ph-ơng pháp mặt cắt:
- Chia thanh làm nhiều đoạn tuỳ theo vị trí đặt các lực.
- Xét từng đoạn thanh:
. Dùng mặt cắt cắt chia làm 2 phần, giữ lại 1 phần để khảo sát. Tại mặt cắt, đặt lực
dọc có chiều giả thiết.
. Lập các ph-ơng trình cân bằng và giải ra ta đ-ợc giá trị nội lực
- Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến thiên theo các giá trị đã xác định
- Đề dấu và gạch gạch các đ-ờng vuông góc với đ-ờng chuẩn.
Ví dụ:
Vẽ biểu đồ lực dọc cho thanh chịu lực sau:
3P *Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh, giữ phần bên trái
2 1 P
N
z
P
1
2
P
2P _
Ta có ph-ơng trình cân bằng:
N
z
-P=0 cho nên N
z
=P (mang dấu d-ơng)
N
z
3P P

2
*Dùng mặt cắt 2-2, giữ phần bên phải.
Ta có ph-ơng trình cân bằng:
N
z
+3P-P=0 N
z
=-2P
Ta có biểu đồ nh- trên hình vẽ
*Nhận xét:
- Nội lực không phụ thuộc vào tiết diện của mặt cắt.
- Tại điểm có lực tập trung, biểu đồ có b-ớc nhảy. Giá trị b-ớc nhảy chính bằng
giá trị lực tập trung.

2 ứng suất trên mặt cắt ngang
1- Thí nghiệm và giả thuyết
a)Thí nghiệm : Trên mẫu thí nghiệm, ta làm nh- sau:
Vạch các đ-ờng song song với trục của thanh, đặc tr-ng cho thớ dọc
Vạch các đ-ờng vuông góc với trục của thanh, đặc tr-ng cho mặt cắt ngang
Các đ-ờng này tạo nên l-ới hình ô vuông.
Lắp mẫu vào máy và tiến hành kéo, ta
1 2
thấy:
Các đ-ờng song song với trục thanh vẫn
song song. Các đ-ờng vuông góc với trục
1 2
thanh vẫn vuông góc. L-ới ô vuông trở
1 2
thành l-ới hình chữ nhật. Làm nhiều lần

ta vẫn đ-ợc kết quả nh- trên. Từ đó
ng-ời ta đ-a ra các giả thuyết sau:
1 2
b) Giả thuyết:
* Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang tr-ớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với
trục của thanh.
* Giả thuyết 2: Các thớ dọc trong quá trình biến dạng không chèn ép hoặc đẩy xa
nhau.
Ngoài ra ng-ời ta còn giả thiết: vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi, nghĩa
là tuân theo định luật Húc:

E
và

G
.
2-Thành lập công thức ứng suất pháp trên mặt cắt ngang
* Dựa vào giả thuyết ta thấy:
Theo giả thuyết 1, ta thấy trên mặt cắt ngang không có ứng suất pháp là vì các góc
vuông vẫn bảo toàn.

x
N
z




z
z

y
3
Theo giả thuyết 2 ta thấy trên mặt cắt song song với trục của thanh không có ứng
suất vì các thớ dọc không tác dụng lẫn nhau. Sau nay ta sẽ biêt, phân tố ở trạng thái
ứng suất đơn.
*Thành lập ph-ơng trình:
1 2 2
Xét một mặt cắt ngang, trên mặt cắt
có lực dọc N
z
. Tại 1 điểm K bất kỳ dz
có ứng suất pháp là

z
. Lấy xung

dz
quanh K 1 phân tố diện tích dF.
Hợp nội lực trên phân tố diện tích
dF là

z
.dF. Tổng của chúng chính là tích phân trên toàn bộ diện tích F của mặt
cắt ngang. Ta có:
N
z
=

F

z
.dF (2-1)
Ta xét quy luật biến thiên của

z
.
Ta cắt 1 đoạn thanh có chiều dài vô cùng bé dz. Sau khi biến dạng, chiều dài đoạn
thanh thay đổi thêm 1 đoạn là

dz (hình vẽ). Vì mặt cắt tr-ớc và sau biến dạng
vẫn song song với nhau, cho nên


dz=const. Vì vậy:

z
dz
dz


=const. Theo định luật Húc thì:

z z
E
=const
Nghĩa là: ứng suất pháp trên mặt cắt ngang phân bố đều. Từ (2-1), ta có:
N
z
=

z
.F hay


z
z
N
F

(2-2)
Dấu của -s pháp khi kéo nén, phụ thuộc vào dấu của lực dọc.
Theo (2-2) thì ứng suất pháp khi kéo nén không phụ thuộc vào hình dáng của mặt
cắt ngang mà chỉ phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang, và đ-ợc phân bố đều
trên mặt cắt ngang, nghĩa là: tại mọi điểm trên mặt cắt ngang, ứng suất đều có giá
trị nh- nhau.

2 Biến dạng
1-Biến dạng dọc:
Trong khi chứng minh công thức ứng suất trên mặt cắt ngang, ta đã biết:



z
z
dz
dz E



z

z
N
EF

(3-2).
(Vì theo 2-2 thì

z
z
N
F

)
Kết hợp với 3-2 ta có:
dz
N
EF
dz
z

Tích phân 2 vế ta đ-ợc:

l
N
EF
dz
z
l

0
(4-2)
4
Nếu trong đoạn thanh có chiều dài l có N
z
, E, F là hằng số thì ta có:

l
N l
EF
z

(5-2)
Nếu có nhiều đoạn thanh có N
zi
, E
i
, F
i
là hằng số thì ta có:

l
N l
E F
zi i
i i
i
n

1
(6-2)
Trong đó EF gọi là độ cứng khi kéo nén.
Theo biểu thức 5.2 ta thấy dấu của biến dạng phụ thuộc vào dấu của lực dọc.
Nghĩa là:
- Nếu N
z
d-ơng(kéo) thì

l cũng d-ơng(dãn)
- Néu N
z
âm (nén) thì

l cũng âm(co).
2-Biến dạng ngang:
y
N
z
N
z
x z
Nếu gọi

z
là biến dạng dọc tỉ đối theo ph-ơng dọc thanh. Gọi

x y,
là biến dạng tỉ

đối theo ph-ơng ngang, khi đó ta có quan hệ:


x y z

(7-2)
Trong đó

là hằng số của vật liệu gọi là hệ số Poát sông.
Hệ số Poát-sông của 1 số vật liệu th-ờng dùng nh- sau:
Thép
=0,25
33,0
Đồng đen
35,032,0

Gang
27,023,0

Đá hộc
34,016,0

Nhôm
36,032,0

Bê tông
18,008,0

Đồng
34,031,0

Cao su
47,0

3 ứng suất trên mặt cắt xiên
Phần trên, ta đã tìm đ-ợc giá trị và quy luật phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang
vuông góc với trục của thanh. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị và quy luật phân bố ứng
suất trên mặt cắt xiên bất kỳ nào đó có pháp tuyến làm với trục thanh 1 góc

.
T-ởng t-ợng qua điểm A, ta tách ra một phân tố vô cùng bé mà các mặt của nó là
các mặt cắt ngang và mặt cắt song song với trục của thanh có chiều dài là dx, dy,
dz. Trên mặt cắt vuông góc với trục của thanh chỉ có ứng suất pháp là
z

Dùng một
mặt cắt xiên đi qua A tách phân tố chia làm 2 phần, trên mặt cắt xiên xuất hiện các
thành phần ứng suất pháp là



,
(hình vẽ).
P

P
5

Gọi diện tích mặt cắt xiên là dF thì mặt cắt ngang của phân tố là dF.cos

và mặt
cắt còn lại của phân tố song song trục của thanh là dF.sin

. Ta viết ph-ơng trình
cân bằng:
Chiếu theo ph-ơng của


ta có:



2
cos.0cos.cos..
zz

dFdF
Chiếu lên ph-ơng của


, ta có:





2sin
2
0sin.cos..
z
z
dFdF
Nh- vậy,ta thấy ứng suất trên mặt cắt xiên phụ thuộc vào vị trí của mặt cắt xiên.
Trên mặt cắt ngang, ứng với
o
0

thì ứng suất pháp đạt cực trị:
z


max
Trên mặt cắt nghiêng 45
o
thì ứng suất tiếp đạt cực trị có:
2

max
z



4 Đặc tr-ng cơ học của vật liệu
Đặc tr-ng cơ học của vật liệu là các thông số cơ bản để xác định các tính chất cơ
học của vật liêụ. Để xác đinh chúng, ng-ời ta phải làm các thí nghiệm kéo nén phá
hỏng mẫu vật liệu dẻo và dòn.
Vật liệu dẻo là vật liệu bị phá hỏng khi biến dạng đã khá lớn.
Vật liệu dòn là vật liệu bị phá hỏng khi biến dạng còn rất bé.
1-Thí nghiệm kéo phá hỏng vật liệu dẻo
Mẫu thí nghiệm là một thanh nh- hình vẽ
d
o
l
o


Hai đầu để kẹp vào máy để kéo. Còn phần chịu lực có kích th-ớc tiêu chuẩn là:
d
o
=10 mm; l
o
=100 mm.
Kẹp mẫu vào máy và tiến hành tăng lực từ từ cho đến khi mẫu bị đứt, ta thu đ-ợc
biểu đồ quan hệ giữa lực tác dụng và biến dạng tuyệt đối nh- sau: