Lý thuyết và bài tập tĩnh điện

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG

TRẦN VĂN HÙNG
ONG THẾ HÙNG
HÀ VĂN OÁNH

HỆ THỐNG LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
PHẦN TĨNH ĐIỆN

Tổ: Vật lí – KTCN
Năm học: 2013 – 2014
Mã số:……………………………

Bắc Giang, tháng 04 năm 2014

1


MỤC LỤC
Mở đầu
Phần thứ nhất
ĐIỆN TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI TRONG CHÂN KHÔNG
I. ĐIỆN TÍCH..………………………………………….….……………………….….…….2
I.1. Cấu tạo của vật chất..………………………………….……………….……….….…….2
I.2. Định luật bảo toàn điện tích……..……...…………………...………….………….…….2
I.3. Chất dẫn điện và chất cách điện…..………………………….…………….…….....……2
II. LỰC ĐIỆN..………………………………….…………………………….…….….…….3
II.1. Quy tắc cơ banrcuar sự tương tác giữa các điện tích…………………….….……..……3
II.2. Định luật Cu - lông…………….……...………………………………….….……..…...3
II.3. Nguyên lý chồng chất….……….……...…………………………………….….…..….4

III. ĐIỆN TRƯỜNG….……….……...………..…………………………..………….…..…4
III.1. Điện trường…......…………….……...…………………………….………….…..…..4
III.2. Điện trường của điện tích điểm……...…………………………………...…..…...…..5
III.3. Điện trường của một lưỡng cực điện..………………………………………..…...…..5
III.4. Điện trường của các vật tích điện…...………………………………………..…...…..6
IV. ĐIỆN TÍCH VÀ LƯỠNG CỰC ĐIỆN TRONG ĐIỆN TRƯỜNG………...….…...…..9
IV.1. Điện tích trong điện trường.....…………….……...……………………................…..9
IV.2. Lưỡng cực điện trong điện trường.....……………..………………...………..…..…..9
V. ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI.……...…………………..…………..….10
V.1. Chất điện môi phân cực và chất điện môi không phân cực……………………..…….10
V.2. Sự phân cực của chất điện môi...…………….……...……………………………..….11
V.3. Vectơ phân cực ……………......…………….……...……………………………..….11
VI. ĐỊNH LUẬT GAU - XƠ…….......…………….……...……………………………..…13
VI.1. Đường sức điện trường……………......…………….……...……………………..….14
VI.2. Thông lượng điện trường……………......…………….……...……….…………..….14
VI.3. Định luật Gau – xơ cho điện trường trong chân không..…...……………………..….14
VI.4. Áp dụng định luật Gau – xơ ………......…………….……...……………………..….16
VI.5. Định luật Gau – xơ cho chất điện môi………......………..…………………………..19
Phần thứ hai
HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT..……………………….....21
I. Điện tích – điện trường..……………………………………………………………….....21
II. Lưỡng cực điện – điện thế - Điện trường………………………………………….….....47
III. Phương pháp ảnh điện – Lực điện – Điện thế - Điện trường...………………………....58
IV. Chuyển động của điện tích trong điện trường...…………………………………….......86
KẾT LUẬN.........................................................................................................................100
Tài liệu tham khảo.............................................................................................................101

2

MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tĩnh điện học là một trong những phân môn đặc biệt quan trọng trong Vật lí học
nói chung và trong giảng dạy nói riêng. Tĩnh điện học được xây dựng trên nền tảng từ
việc quan sát các hiện tượng thường thấy trong tự nhiên và sử dụng các kết quả quan
trọng của lí thuyết toán lí thể hiện qua các định luật tổng quát.
Việc nghiên cứu các hiện tượng về tĩnh điện học luôn là một thách thức thật sự đối
với những ai đang quan tâm và tìm hiểu về nó. Với vai trò của một người hướng dẫn học
sinh tìm hiểu các hiện tượng về điện để rút ngắn phần nào đó thời gian nghiên cứu và
tăng hiệu quả của việc nghiên cứu đồng thời trên cơ sở của yêu cầu hiện tại cần thiết cho
mục đích làm tốt hơn nhiệm vụ của mình chúng tôi đã chọn: “Hệ thống lí thuyết và bài
tập phần tĩnh điện” làm đề tài nghiên cứu.

II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Hệ thống lý thuyết và bài tập nâng cao về điện trường tĩnh trong chân không.

III. MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
- Khái quát hóa một số kiến thức cơ bản phần tĩnh điện học và các kiến thức toán học cần
sử dụng.
- Xây dựng được các dạng bài tập chất lượng cao theo một hệ thống nhất định phục vụ
cho việc giảng dạy lớp chuyên và đội tuyển.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
IV.1. Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
- Phân tích và tổng hợp lí thuyết.
- Xây dựng hệ thống bài tập chọn lọc nhằm đáp ứng được yêu cầu đã đề ra.

IV.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Sử dụng trực tiếp cho các lớp 11 chuyên lí, cho đội dự tuyển, đội tuyển HSG Quốc gia
và dần đi tới hoàn thiện đề tài.

3


Phần thứ nhất
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
ĐIỆN TRƯỜNG KHÔNG ĐỔI TRONG CHÂN KHÔNG
I. ĐIỆN TÍCH
I.1. Cấu tạo của vật chất
Mọi chất đều được tạo nên từ các nguyên tử hoặc phân tử. Theo mô hình đơn giản,
nguyên tử gồm có proton và neutron tạo nên hạt nhân của nó và các electron chuyển động
quanh hạt nhân. Điện tích của 1 proton và của 1 electron có cùng độ lớn nhưng khác nhau
về dấu. Proton, theo quy ước, tích điện dương còn electron tích điện âm. Neutron trung
hoà điện. Một nguyên tử trung hoà về điện vì có số electron và proton bằng nhau. Mọi vật
đều chứa một số rất lớn các diện tích nhưng điều đó thường bị che dấu vì chúng chứa hai
loại điện tích (điện tích dương và điện tích âm) với số lượng bằng nhau: Vật trung hoà về
điện. Một vật tích điện khi có sự mất cân bằng về điện tích.
Thực nghiệm cho thấy, mọi điện tích q dương hoặc âm phát hiện được trong mọi
vật đều là bội của một lượng điện tích cơ bản e: q = n e
(1)
với n =  1,  2,  3,…
và điện tích cơ bản: e = 1,60.10-19 C
(2)
Các hạt quark (tạo nên proton và neutron) có điện tích  hoặc  nhưng vì các hạt đó
không thể tồn tại một cách riêng lẻ nên người ta không lấy điện tích của chúng làm điện
tích cơ bản có thể phát hiện được. Culông (C), là đơn vị SI của điện tích.
Điện tích của một proton bằng + e và của neutron bằng 0.
Như vậy, điện tích chỉ có các giá trị gián đoạn mà không phải liên tục. Ta nói điện
tích bị lượng tử hoá. Lượng tử của điện tích rất nhỏ. Ta không cảm thấy sự gián đoạn đó
với các hiện tượng thường gặp trong thực tế. Ngoài điện tích, còn có các đại lượng vật lí

khác cũng bị lượng tử hoá (năng lượng, động lượng).

I.2. Định luật bảo toàn điện tích
Các điện tích không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, chúng chỉ được truyền từ
vật này sang vật khác hoặc di chuyển ở bên trong một vật. Như vậy, trong một hệ cô lập,
điện tích được bảo toàn. Định luật này đúng cho mọi trường hợp từ các vật khổng lồ cho
đến các nguyên tử, hạt nhân và hạt cơ bản.

I.3. Các chất dẫn điện và chất cách điện.
Trong một số vật liệu như kim loại, nước sinh hoạt, cơ thể người,… các điện tích
âm có thể chuyển động tự do. Các vật liệu đó được gọi là các chất dẫn điện. Trong một số
chất khác, như thuỷ tinh, nước tinh khiết,… không có điện tích chuyển động tự do. Đó là
các chất cách điện hay chất điện môi.

4


Khi các nguyên tử của một chất dẫn điện, như kim loại đồng chẳng hạn, tiến gần
đến nhau để tạo nên chất rắn, electron ở lớp vỏ ngoài không còn liên kết với các nguyên
tử lẻ mà trở thành tự do, có thể di chuyển dễ dàng trong tinh thể. Các electron đó được
gọi là electron dẫn. Trong các chất điện môi, có rất ít các electron tự do, hầu hết các
electron đều liên kết chặt với các nguyên tử.

II. LỰC ĐIỆN
II.1. Quy tắc cơ bản của sự tương tác giữa các điện tích.
Các vật tích điện tương tác với nhau bằng cách tác dụng lực lên nhau. Các điện
tích cùng dấu đẩy nhau và các điện tích trái dấu hút nhau. Các lực đó được gọi là lực tĩnh
điện hay lực điện. Thuật ngữ "tĩnh điện" được dùng ở đây để nhấn mạnh các điện tích
hoặc đứng yên hoặc chuyển động rất chậm đối với nhau.

II.2. Định luật Cu - lông.
Lực tĩnh điện (đẩy hoặc hút) giữa hai điện tích điểm q1 và q2 ở trong chân không
qq
và cách nhau một khoảng r có độ lớn bằng F  k 1 2 2
(3)
r
trong đó k là một hằng số, được gọi là hằng số tĩnh điện, phụ thuộc vào môi trường chứa
các điện tích… Để các công thức suy ra từ hệ thức trên có dạng đơn giản người ta dùng
1
hệ đơn vị k 
,  là một hằng số, được đưa vào để đảm bảo cho vế phải có thứ nguyên
4
là lực. Nó có tên là hằng số điện môi của môi trường. Khi các điện tích được đặt trong
chân không.
1
k
= 8,99 . 109 N.m2 / C2
4 0
ε o được gọi là hằng số điện môi của chân không
ε o = 8,85 . 10-12 C2 / N.m2

(4)

Với cách chọn k như vừa nói, (3) có dạng:
* Khi các điện tích ở trong môi trường.
1 q1q2
F
4 r 2
* Khi các điện tích ở trong chân không
qq

1 q1q2
F
 8,89.109. 1 2 2
2
4 0 r
r

(5)

(6)

Trong hệ đơn vị SI, F được đo bằng niutơn (N), q bằng culông (C) và r bằng mét (m).
Trong chương này, ta xét các điện tích ở trong chân không nên ta sẽ dùng (6).
Để tính đến chiều của lực, định luật Cu – lông được viết dưới dạng
F 12 

1 q1q2
r
4 0 r 2

(7)

trong đó F 12 là lực mà điện tích q1 tác dụng lên điện tích q2 và r là vectơ đơn vị hướng
theo chiều từ q1 đến q2 bất kể dấu của các điện tích như thế nào. Nếu hai điện tích cùng
5


dấu (hoặc đều âm hoặc đều dương), tích q1q2 dương và lực F 12 cùng chiều với r : q1 đẩy
q2. Nếu hai điện tích trái dấu, q1q2 âm và lực F 12 ngược chiều với r , nghĩa là q1 hút q2.
Lực F 21 mà điện tích q2 tác dụng lên q1 cũng có cùng độ lớn như F 12 và có chiều được

xác định theo cùng quy tắc như với F 12 . Như vậy, điện lực cũng tuân theo định luật thứ
ba Niu – tơn.
Định luật Cu - lông đã được kiểm tra bằng thực nghiệm. Nó đúng cho mọi trường
ngay với nguyên tử là nơi mà cơ học cổ điển không còn đúng nữa. Định luật Cu - lông
cho phép tính lực tương tác giữa các electron và hạt nhân trong nguyên tử, lực liên kết
giữa các nguyên tử và phân tử để tạo thành chất lỏng, chất rắn. Bản thân chúng ta là tập
hợp của các hạt nhân và electron liên kết với nhau bởi các lực tĩnh điện.
Lực hút và đẩy giữa các vật tích điện có nhiều ứng dụng trong thực tế: sơn tĩnh điện, lọc
bụi trong các ống khói, in bằng phương pháp phun mực, photocopy,…

II.3. Nguyên lý chồng chất.
Định luật Cu - lông xác định lực tác dụng giữa hai điện tích. Khi ta có nhiều hơn
hai điện tích thì lực tác dụng lên một điện tích được tính như thế nào? Giả sử có 3 điện
tích. Để tính lực tác dụng lên điện tích q3 từ hai điện tích kia, ta tính lực F 13 và F 23 nhờ
công thức (7) rồi cộng vectơ của hai lực đó.
Ta tính được như vậy vì lực mà q1 tác dụng lên q3 không bị ảnh hưởng bởi sự có mặt của
q2 và lực mà q2 tác dụng lên q3 độc lập với sự hiện diện của q1. Tính chất đó được thực
nghiệm xác nhận. Ta nói các lực điện tuân theo nguyên lí chồng chất.
Tổng quát, sự tương tác giữa bất kỳ hai điện tích nào là độc lập với sự có mặt của
các điện tích khác. Cụ thể hơn, khi có n hạt tích điện, chúng tương tác với nhau theo từng
đôi một cách độc lập với nhau và lực tác dụng lên một hạt nào đó (hạt 1 chẳng hạn) được
xác định bởi tổng vectơ.
F 1  F 21  F 31  F 41  ...  F nl

(8)
Nhờ có nguyên lí này, ta có thể giải các bài toán khá phức tạp bằng cách phân tích chúng
thành các phần đơn giản hơn.

III. ĐIỆN TRƯỜNG
III.1. Điện trường

Nhờ định luật Cu - lông, ta có thể xác định lực tác dụng giữa hai điện tích ở cách
nhau một khoảng cách nào đó. Khi các điện tích ở cách xa nhau, bằng cách nào chúng có
thể tương tác với nhau? Ở phần cơ học, ta đã biết khái niệm về trường hấp dẫn. Nhờ nó ta
đã hiểu được cơ chế tác dụng từ xa là thông qua trường hấp dẫn. Chẳng hạn, Trái Đất có
thể hút Mặt Trăng là nhờ nó đã tạo ra quanh nó một trường và Mặt Trăng tác dụng với
trường đó ở tại vị trí của nó. Người ta cũng đưa ra khái niệm trường tương tự để giải
quyết bài toán tác dụng từ xa giữa các điện tích. Theo đó, điện tích q thiết lập trong
không gian bao quanh nó một điện trường. Ở một điểm xác định P trong không gian đó,
điện trường có thể được biểu thị bởi một vectơ. Độ lớn của vectơ đó phụ thuộc vào độ
lớn của q và khoảng cách giữa điện tích q và điểm P. Chiều của vectơ phụ thuộc vào

6


chiều từ q đến P và dấu của điện tích q. Khi đặt điện tích q0 ở P, q tương tác với q0 thông
qua điện trường ở P. Độ lớn và chiều của điện trường ở P xác định độ lớn và chiều của
lực tác dụng lên q0. Nếu điện tích q dịch chuyển, do khoảng cách đến P thay đổi, lực
điện tác dụng lên q0 thay đổi. Sự thay đổi này của lực không thay đổi tức thời mà chậm
hơn so với sự dịch chuyển của điện tích q.
Để xác định điện trường của một vật tích điện nào đó, ta dùng một điện tích thử
dương q0 và đặt nó tại một số điểm quanh vật. Ở mỗi vị trí đó, ta đo lực điện F tác dụng
lên điện tích thử. Điện trường E ở một điểm nào đó được định nghĩa bằng
F
E=
(9)
q0
Đơn vị SI của điện trường là vôn/m (V/m).

III.2. Điện trường của điện tích điểm.
Để tìm điện trường do một điện tích điểm q, ta đặt một điện tích thử dương q0 ở

một điểm cách q một khoảng r. Theo định luật Cu - lông, độ lớn của lực điện tác dụng lên
1 qq0
q0 bằng F 
4 0 r 2
(10)
Lực F hướng ra xa điện tích điểm nếu điện tích của nó là dương và hướng vào điện tích
điểm nếu điện tích của nó là âm.
F
1 q
Vectơ điện trường E , theo, có độ lớn bằng E  
(11)
q0 4 0 r 2
và có chiều trùng với chiều của lực tác dụng lên điện tích thử.
Điện trường của một điện tích điểm có thể xác định nhờ nguyên lí chồng chất. Giả sử có
n điện tích điểm q1, q2, q3, …, qn. Đặt một điện tích thử q0 gần các điện tích đó. Theo (8),
lực tổng cộng F 0 mà n điện tích điểm tác dụng lên điện tích thử bằng
F 0 = F 10  F 20  F 30  ...  F n 0

Do đó, theo (9), điện trường tổng cộng ở vị trí của điện tích thử bằng.
E

F0
 E 1  E 2  E 3  ...  E n
q0

(12)

trong đó E i là điện trường do điện tích thứ i sinh ra tại vị trí của điện tích thử khi chỉ có
một mình nó.

III.3. Điện trường của một lưỡng cực điện.
Hai điện tích có cùng độ lớn q nhưng ngược dấu ở cách nhau một khoảng d. Cấu
hình này được gọi là lưỡng cực điện. Ta hãy tính điện trường của lưỡng cực ở điểm P
nằm trên trục của lưỡng cực và cách trung điểm của nó một khoảng bằng z.
Điện tích +q tạo ở P điện trường E(+) còn
z
P
O
điện tích - q điện trường E(-). Hai điện
-q
trường này đều hướng dọc theo trục của
+q
lưỡng cực điện nhưng ngược chiều nhau. Áp
d
Hình 1
7


dụng nguyên lí chồng chất cho các điện trường này, ta tính được độ lớn của điện trường
tổng cộng E ở điểm P.
E = E(+)
E(-)
1
q
1
q
q 
d 2
d 2 



(1

)

(1

)
=
4 0 ( z  d ) 2 4 0 ( z  d ) 2 4 0 
2z
2 z 
2
2
Thường người ta quan tâm đến tác dụng điện của một lưỡng cực điện chỉ ở các
khoảng cách đủ lớn so với kích thước của nó, nghĩa là z >> d. Khi đó, d/2z << l nên có
thể khai triển hai đại lượng trong dấu ngoặc của (12).
E

d
d


(1   ...)  (1   ...) 

4 0 z 
z
z

q

2

trong đó ta không viết các số hạng bậc cao của d/z vì chúng rất nhỏ.
Như vậy, ở các khoảng cách lớn, gần đúng ta có.
E

q

2d
qd

4 0 z z 2 0 z 3

(13)

2

Tích qd được gọi là momen lưỡng cực điện p
p=qd
Công thức (13) trở thành
E

(14)

1

p
2 0 z 3

(15)
Momen lưỡng cực điện là một vectơ p có độ
lớn bằng qd và có chiều hướng dọc theo trục
của lưỡng cực từ điện tích âm đến điện tích
dương (hình 2).

p
z

P

+q

-q

Hình 2

Phương trình (15) cho thấy nếu đo điện trường của một lưỡng cực điện ở một
điểm khá xa nó, ta không thể xác định q và d một cách riêng biệt mà chỉ biết được tích
của chúng. Momen lưỡng cực là một tính chất cơ bản của lưỡng cực điện. Công thức (15)
được suy cho một điểm nằm trên trục và cách xa tâm của lưỡng cực. Trên thực tế, E của
1
một lưỡng cực điện thay đổi theo 3 (r là khoảng cách từ điểm đang xét đến tâm của
r
lưỡng cực) cho mọi điểm ở xa không kể chúng có nằm trên trục lưỡng cực hay không. Từ
1
đây, ta có nhận xét: điện trường của lưỡng cực điện giảm theo khoảng cách theo 3 , trong
r
1
khi đó điện trường của điện tích điểm giảm theo 2 . Nguyên nhân của sự giảm nhanh của

r
điện trường lưỡng cực theo khoảng cách là do với các điểm ở xa, một lưỡng cực được
xem gồm hai điện tích bằng và ngược dấu và gần như - nhưng không hoàn toàn - trùng
nhau. Do đó, điện trường tổng cộng ở các điểm xa lưỡng cực gần như - chứ không hoàn
toàn - bị triệt tiêu.

8


III.4. Điện trường của các vật tích điện
Các vật tích điện gồm một số rất lớn các điện tích điểm phân bố một cách gần như
liên tục dọc theo một trường, trên một mặt hoặc trong một thể tích nào đó.
Để tính điện trường của các vật đó tại một điểm P, ta chia một cách tưởng tượng sự phân
bố của các điện tích thành các yếu tố điện tích vi phân đủ nhỏ để xem chúng là các điện
tích điểm, nhờ đó có thể áp dụng (10) để tính điện trường cho mỗi yếu tố đó. Sau đó, theo
nguyên lí chồng chất, ta tính tổng vectơ của chúng để được điện trường do vật tạo ra ở P.
Khi thực hiện tính toán nói trên, ta cần chú ý đến các điểm sau:
+) Căn cứ vào tính đối xứng của sự phân bố điện tích mà chọn các yếu tố điện tích vi
phân dq để tính toán được đơn giản nhất.
+) Để xác định điện tích của yếu tố vi phân, thuận lợi hơn cả là dùng các đại lượng mật
độ điện tích được ký hiệu và định nghĩa như sau:
Ký hiệu

Định nghĩa

Mật độ điện tích dài



Mật độ điện tích mặt



Mật độ điện tích thể tích



dq
dl
dq
 =
dS
dq
 =
dV

Tên

Đơn vị

 =

C/m
C/m2
C/m3

trong đó dl, dS và dV lần lượt là yếu tố dài, yếu tố diện tích và thể tích của vật tích điện.
+) Nói chung, cộng vectơ điện trường của các yếu tố điện tích thường khá phức tạp. Ta có
thể chuyển cộng vectơ thành cộng đại số bằng cách chiếu các vectơ lên các trục toạ độ.
III.4.1.Ví dụ 1:

Để cộng vectơ E 1 và E 2 , trước hết ta chiếu hai vectơ đó lên các trục toạ độ (E1x,
E1y) và (E2x, E2y) . Sau đó cộng đại số các thành phần nằm trên cùng trục toạ độ.
Ex = E1x + E2x
Ey = E1y + E2y .
Độ lớn của vectơ tổng cộng E =

E x2  E y2

III.4.2.Ví dụ 2: Tính điện trường cho một số vật tích điện đối xứng đơn giản.
a) Vòng dây tròn tích điện
dE i E
Giả sử vòng dây được tích điện đều với mật độ điện
tích dài  . Tính điện trường ở điểm P (hình 3). Yếu tố dài
dli (có điện tích dqi =  dli) tạo điện trường d Ei ở P.

P

Theo (10), độ lớn của d Ei bằng
dEi 

ri

1  dli
4 0 ri 2

(16)

dli

Ta có hai thành phần của vectơ d Ei

a
9
Hình 3


dEi = dEi sin  = dEi

a
ri

d E i  = dEi cos  = dEi

z
ri

(17)

Để có điện trường do toàn vòng dây, cần cộng vectơ các vectơ d Ei do tất cả các
yếu tố của vòng dây gây ra tại P. Các thành phần chiếu của chúng trên cùng 1 trục được
cộng đại số với nhau:
E =  dEi // = 0 do đối xứng
i

E  =  dEi  
i

i

 dli z

4 0 ri 2 ri

Chú ý: ri2 = a2 + z2 = const
nghĩa là mọi yếu tố dài nằm trên vòng tròn đều cách đều điểm P ri = r. Do đó (17) thành
z
z
 az
E 
dl 
.2 a 
(vì  dli = 2  a)
3  i
2
2 3/2
4 0 r i
4 0 (a  z )
2 0 (a 2  z 2 )3/2
i
Điện trường do vòng dây gây ra ở P có độ lớn bằng
 az
E  E/2/  E2 
2 0 (a 2  z 2 )3/2

(18)

Chiều của vectơ E hướng dọc theo trục vuông góc của vòng dây.
Từ (18)
Khi z = 0,
E=0
2 a

E
Khi z >> a,
bằng điện trường do một điện tích điểm có
4 0 z 2
điện tích q =  .2  a ở điểm cách nó một khoảng z.
b) Đĩa tích điện.
Hình 4 cho thấy một đĩa nhựa tròn, bán kính R
được tích điện dương đều ở mặt trên với mật độ điện tích
điện mặt  . Tính điện trường ở điểm P nằm trên trục đi
qua tâm đĩa và ở cách nó một khoảng z.
Từ tính đối xứng của bài toán, ta chọn yếu tố diện tích
dSi là hình vành khăn có bán kính ri. Khi đó, yếu tố điện
tích dqi =  .2  ri.dri nằm trên một vòng tròn.

P

dSi
O

Ở trên ra đã tính điện trường của 1 vòng điện tích (18). Ở
đây, yếu tố điện tích dqi tạo ở điểm P điện trường.
dEi 

zdqi
 z 2 ri dri
 z 2ri dri


2
2 3/2

2
2 3/2
4 0 (zi  z )
4 0 (ri  z )
4 0 (ri2  z 2 )3/2

10

Hình 4

R


Vì các vòng điện tích với các bán kính ri khác nhau đều tạo điện trường hướng
theo cùng một chiều (thẳng đứng) nên độ lớn của điện trường tổng cộng do toàn bộ điện
tích có trên mặt gây ra tại P bằng tổng đại số.
 z 2ri dri
E =  dEi 
4 0 ( z 2  ri 2 )3 / 2
i
Ở đây ri thay đổi liên tục từ giá trị 0 đến R nên tổng trên có thể thay bằng tích phân
z
2rdr
 z R 2 2 3 / 2

0 4 0 ( z 2  r 2 )3 / 2 4 0 0 ( z  r ) 2rdr
R

E=

Để tính tích phân này, ta đưa nó về dạng

X

m

(19)

dX bằng cách đặt X = (z2 + r2) và m = -3/2.

Khi đó dX = 2r dr.
R

Xm+1
 z  (z 2  r 2 )1/2 
Ta biết,  X dX =
nên (19) => E 
m+1
4 0  1/ 2  0
m

Thay các giới hạn lấy tích phân vào, ta được độ lớn của điện trường tạo ra bởi một đĩa
tròn phẳng tại một điểm nằm trên trục đi qua tâm của nó.

z
E=
(20)
(1 
2 0
z 2  R2

Nếu cho R   khi vẫn z hữu hạn, số hạng thứ hai ở trong ngoặc của (20) tiến đến
không và (20) rút trở thành

E=
(21)
2 0
Đó là điện trường tạo nên bởi một bản phẳng rất lớn, có điện tích được phân bố đều trên
một phía. Khi z  0 và R hữu hạn trong (20) ta cũng được (21). Ở các điểm rất xa đĩa,
hiện trường tạo ra bởi đĩa giống như điện trường của điện tích điểm.

IV. ĐIỆN TÍCH VÀ LƯỠNG CỰC ĐIỆN TRONG ĐIỆN TRƯỜNG
IV.1. Điện tích điểm trong điện trường.
Giả sử có một điện trường E do các vật tích điện đứng yên hoặc chuyển động sinh
ra. Bây giờ, nếu có một hạt tích điện q rơi vào trường đó, nó sẽ chịu một lực tĩnh điện tác
dụng. Lực đó bằng F  q E

(22)

trong đó E là điện trường do các điện tích khác sinh ra tại vị trí của hạt tích điện q. Điện
trường này không phải là điện trường so chính hạt sinh ra.
Vì (22) là phương trình vectơ nên q ở đây phải bao gồm cả dấu của điện tích. Phương
trình (22) cho biết F và E cùng chiều nếu q là dương và ngược chiều nếu q âm.

IV.2. Lưỡng cực điện trong điện trường
Ta hãy xét một lưỡng cực điện được đặt trong một điện trường ngoài đều E . Giả
sử momen lưỡng cực p tạo một góc  với E (hình 5).
Ở các điện tích của lưỡng cực có các lực điện F và E tác dụng theo các chiều ngược
nhau và với cùng độ lớn F = qE. Do đó, tổng hợp các lực do điện trường tác dụng lên
11

lưỡng cực bằng 0. Nhưng các lực đó tác dụng một momen ngẫu lực tổng cộng  quanh
trọng tâm O của lưỡng cực.
Độ lớn của momen  đó bằng:
d
d
 = F sin  + F sin  = F d sin  (23)
2
2
Có thể viết lại (23) thông qua độ lớn
của điện trường E và momen lưỡng cực
p = qd. Muốn vậy, trong (23) thay F
bằng qE và d bằng p /q:
 = p E sin 

E

F

-q


p

P

+q

O
F

Hình 5

(24)

 = px E

Dưới dạng vectơ

(25)

Momen ngẫu lực có xu hướng làm quay p cho đến khi trùng với chiều của E , nói một
cách khác, cho đến khi  giảm đến 0.
Tuỳ theo sự định hướng của lưỡng cực trong điện trường, nó có thể có thế năng khác
nhau. Lưỡng cực có thế năng thấp nhất khi ở trong sự định hướng cân bằng. Khi đó
momen lưỡng cực. p hướng theo chiều của điện trường E (  = p x E = 0). Với các định
hướng khác, thế năng của lưỡng cực đều lớn hơn, để quay lưỡng cực lệch khỏi sự định
hướng cân bằng cần tốn công.
Khi xét về thế năng, ta hoàn toàn tự do chọn giá trị 0 cho nó, vì chỉ có hiệu thế
năng mới có ý nghĩa vật lí. Vì vậy, để cho biểu thức của thế năng của một lưỡng cực điện
trong điện trường ngoài được đơn giản nhất, ta chọn thế năng bằng 0 khi góc  bằng 900.
Từ cơ học ta đã biết, thế năng U có thể tính theo công thức U = - W, với W là công mà
trường thực hiện trên lưỡng cực khi nó quay từ góc 900 đến góc  .
U=-W=





90

90

 d   pE sin d   pE cos

Ta có thể viết công thức của U dưới dạng vectơ.
U = - p.E

(26)

Từ đây ta thấy, thế năng của lưỡng cực nhỏ nhất (bằng - pE) khi  = 180 , nghĩa là khi
0

p và E ngược chiều nhau.

V. ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI
V.1. Chất điện môi phân cực và chất điện môi không phân cực.
Các chất điện môi là các chất mà trong các điều kiện bình thường gần như không
có các hạt tích điện có thể di chuyển tự do. Các chất điện môi bao gồm tất cả các chất khi
khi không bị ion hoá, một số chất lỏng và một số chất rắn. Tất cả các phân tử của chất
điện môi đều trung hoà về điện: số điện tích âm của các electron bằng số điện tích dương
của hạt nhân nguyên tử có trong phân tử. Tuy nhiên, sự phân bố của các electron trong
phân tử của chất điện môi có momen lưỡng cực điện hay không.

12


+) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng
tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm" của các
điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử không trùng

nhau mà cách nhau một khoảng d (hình 6) thì mỗi phân

+q

d

-q

Hình 6

tử có thể xem như một lưỡng cực điện với momen điện
pe  qd , trong đó q là điện tích dương tổng cộng của tất cả các hạt nhân nguyên tử trong

phân tử, d là vectơ vẽ từ "trọng tâm" của electron trong phân tử đến "trọng tâm" của các
điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử. Ví dụ cho các phân tử loại này là các phân
tử H2O, rượu,…
Các chất điện môi trong đó các phân tử có sẵn momen điện như vậy được gọi là
các chất điện môi có phân tử phân cực (hay chất điện môi phân cực). Trong chất điện môi
thuộc loại này, tuy từng phân tử có thể xem là một lưỡng cực điện, nhưng do chuyển
động nhiệt hỗn loạn, sự định hướng của các lưỡng cực đó hoàn toàn ngẫu nhiên. Kết quả
là momen điện tổng cộng của tất cả các phân tử khi không có điện trường ngoài bằng 0.
+) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng tâm" của electron trong phân tử
và "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử trùng nhau d = 0. Khi
đó, các phân tử không có momen điện. Ví dụ cho các phân tử thuộc loại này là các phân
tử H2, N2, O2, CCl4, Si,…Các chất điện môi có các phân tử như vậy được gọi là các chất
điện môi có các phân tử không phân cực hay chất điện môi không phân cực.

V.2. Sự phân cực của chất điện môi.
Khi không có điện trường ngoài, chất điện môi, bất kể thuộc loại nào, không có
momen điện tổng cộng bằng không. Bây giờ, ta hãy xét một chất điện môi khi đặt nó vào

trong một điện trường ngoài. Dưới tác dụng của điện trường, chất điện môi sẽ có momen
điện tổng cộng khác không. Hiện tượng xuất hiện momen điện tổng cộng trong chất điện
môi khi đặt nó trong điện trường ngoài được gọi là sự phân cực điện môi.
Khi đặt một chất kim loại hoặc một chất điện môi vào trong một điện trường, ở
trên mặt của chúng đều xuất hiện các điện tính cảm ứng. Tuy nhiên có một sự khác nhau
quan trọng giữa hai trường hợp này. Đó là, trong các kim loại, các điện tích âm tồn tại
dưới dạng linh động (electron tự do) có thể di chuyển khá xa. Do đó, các điện tích cảm
ứng trong kim loại có thể tách nhau ra. Trong các chất điện môi, các điện tích trái dấu
liên kết với nhau và chỉ có thể dịch chuyển một khoảng cách rất ngắn. Có hai cơ chế phân
cực trong chất điện môi.
V.2.1. Chất điện môi được cấu tạo từ các phân tử vốn không bị phân cực
(không có momen lưỡng cực điện).
Trong điện trường ngoài, sự phân bố của các điện tích bị thay đổi, "trọng tâm" của
electron trong phân tử và "trọng tâm"của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử
trỡ nên không trùng nhau nữa mà dịch đi một khoảng d. Như vậy, phân tử vốn không có
13


momen điện, trong điện trường ngoài đã trở thành một lưỡng cực điện với momen điện
cảm ứng p e tỷ lệ với cường độ điện trường ngoài E . Chuyển động nhiệt của các phân tử
không ảnh hưởng đến các momen lưỡng cực điện cảm ứng: vectơ p e bao giờ cũng cùng
chiều với E và độ phân cực không phụ thuộc nhiệt độ.
V.2.2. Chất điện môi phân cực, gồm các phân tử có momen lưỡng cực điện
xác định (pe = const).
Trong điện trường ngoài đều, các lưỡng cực điện chịu tác dụng của momen ngẫu
lực  = [ p e  E ] làm cho chúng định hướng theo chiều của E . Ở T = 0K ngay với điện
trường yếu, tất cả các lưỡng cực điện đều định hướng theo chiều của điện trường. Tuy
nhiên, khi T  0 K, năng lượng nhiệt của các lưỡng cực điện có thể làm cho chúng quay
đi một góc nào đó so với chiều của điện trường ngoài. Khi đó, nhìn chung các lưỡng cực
điện định hướng có tự hơn theo hướng ưu tiên dọc theo chiều của điện trường. Mức độ

trật tự của sự sắp xếp các lưỡng cực điện quyết định đến độ lớn của momen điện tổng
cộng của chất điện môi. Như vậy, khi đặt chất điện môi phân cực vào trong một điện
trường ngoài, momen điện tổng cộng xuất hiện khi có độ lớn phụ thuộc vào nhiệt độ.

V.3. Vectơ phân cực.
Để đặc trưng cho sự phân cực của một chất điện môi, người ta dùng một đại lượng
vật lí, được gọi là vectơ phân cực. Vectơ phân cực p của một chất điện môi được định
nghĩa là momen lưỡng cực điện của một đơn vị thể tích chất điện môi. Nếu chất điện môi
có thể tích bằng V trong đó chứa N nguyên tử (hay phân tử), thì
P

1 N
 P ei
V il

(27)

trong đó P ei là momen lưỡng cực điện của nguyên tử (phân tử) thứ i.
Nếu chất điện môi là đồng nhất, và độ dịch chuyển d của các điện tích là như nhau ở mọi
điểm, vectơ phân cực p có cùng độ lớn và cùng chiều tại mọi điểm của chất điện môi. Sự
phân cực như vậy được gọi là sự phân cực đều.
Với cả hai cơ chế phân cực vừa nói đến ở trên, ta thấy: trong điện trường ngoài, mỗi phân
từ có thể xem như một lưỡng cực điện với momen lưỡng cực điện.
pe = q d

(28)

Ở trong thể tích chất điện môi, các điện tích dương và âm triệt tiêu lẫn nhau. Chỉ có hai
mặt đối diện dọc theo phương của điện trường, hiệu ứng dịch chuyển đó mới được thể
hiện bởi sự xuất hiện của các điện tích phân cực mặt ngoài. Các điện tích đó liên kết chặt

với các phân tử của chất điện môi do đó được gọi là điện tích liên kết. Khác với các điện
tích tự do, các điện tích liên kết không tham gia vào quá trình dẫn điện. Tuy nhiên, các
điện tích liên kết không cân bằng đó cũng tạo nên điện trường như các điện tích tự do
không cân bằng. Ta có thể dễ dàng tính mật độ điện tích mặt  của các điện tích đó với

14


chất điện môi có phân tử không phân cực vì trong chất này, tất cả các lưỡng cực đều như
nhau và đều định hướng theo chiều của điện trường ngoài.
Xét một yếu tố thể tích dV ở mặt ngoài có chiều dài d và tiết diện dS và giả sử trong yếu
tố đó có dN phân tử và các vectơ p ei vuông góc với mặt ngoài (hình 9.11a)
Với sự phân cực đều, từ (27) và (28), ta có
p 

1
dV

p

ei

i



dN
qd hay
NV

P = qd

(29)

qdN
là mật độ điện tích thể tích
dV
Điện tích ở trong lớp mặt ngoài dày d bằng dQ =  dS d
trong đó  =

Do đó, mật độ điện tích mặt  =

dQ
=  d
dS

(30)

Từ định nghĩa của p , ta thấy trong trường hợp đang xét, vectơ p  mặt. Kết hợp (30) và
(29), ta có mật độ điện tích mặt  = p = p

(31)

Trong trường hợp tổng quát hơn, khi p không vuông góc với mặt ngoài, ta hãy
xét một yếu tố thể tích dưới dạng một khối hình hộp xiên có đáy bằng dS và cạnh d song
song với p .
Giả sử trên một đáy có điện tích phân cực âm với mật độ -  và ở đáy đối diện
điện tích dương với mật độ +  . Momen điện của khối chất điện môi bằng
p =  dS d
Nếu góc giữa pháp tuyến của đáy và vectơ p là  , thể tích của yếu tố thể tích

dV = dS d cos 
Số lưỡng cực có trong yếu tố thể tích đó dN = n.d.cos  .dS (n là nồng độ của phân tử
trong chất điện môi) và điện tích phân cực mặt ngoài có trong yếu tố thể tích.
dQ = q dN = n.q.d.cos  .dS = p dS
trong đó p = p.cos  .
Do đó, mật độ điện tích mặt của điện tích phân cực mặt ngoài
dQ
 =
= p
dS

(32)

trong đó P là thành phần của p vuông góc với mặt.
Như vậy, mật độ mặt của điện tích phân cực ở một điểm bằng thành phần vuông góc của
vectơ phân cực p ở điểm đó.

VI. ĐỊNH LUẬT GAU - XƠ
Về nguyên tắc ta có thể tính điện trường của một sự phân bố điện tích bất kỳ bằng
cách lấy tổng các phần đóng góp của các điện tích trong phân bố đó. Tuy nhiên, trong
thực tế cách tính đó bao gồm việc lấy tích phân các đại lượng vectơ gây khó khăn cho
việc tính. Trong phần này, ta sẽ xét một cách tính điện trường khác khá đơn giản, đặc biệt
là cho các sự phân bố đối xứng của điện tích.

15


VI.1. Đường sức điện trường.
Ở trên, để biểu diễn điện trường, ta vẽ các vectơ E được xác định từ (9) tại các
điểm khác nhau của không gian. Một cách khác để biểu diễn điện trường là dùng các

đường sức điện trường. Các đường sức được vẽ theo cách sau.
+) Ở một điểm nào đó, đường sức có tiếp tuyến trùng với phương của E ở điểm đó.
+) Số đường sức đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với chúng bằng độ lớn của vectơ E .
Đường sức điện có các tính chất sau:
- Các đường sức đi ra từ các điện tích dương và đi vào các điện tích âm.
- Hai đường sức không bao giờ cắt nhau.
- Đường sức điện vuông góc với bề mặt của vật dẫn trong điều kiện vật dẫn đó cân
bằng tĩnh điện.

VI.2. Thông lượng điện trường.
Xét một mặt bất kỳ trong một điện trường
không đều (hình 7). Ta hãy chia mặt đó thành các
hình vuông với điện tích  S đủ nhỏ để có thể xem
các hình vuông đó là phẳng. Với mỗi yếu tố diện

E



S

tích đó, ta định nghĩa một vectơ diện tích  S có độ
lớn bằng diện tích  S và có phương vuông góc với
mặt và hướng ra xa nó.
Vì các hình vuông được lấy nhỏ tùy ý nên điện
trường E có thể xem là không đổi cho mọi điểm
nằm trên một hình vuông. Với mỗi hình vuông,

Hình 7

vectơ  S và E hợp với nhau một góc  nào đó. Tạm thời ta định nghĩa thông lượng 
của điện trường cho mặt ở hình 7 bằng

 E . S

 =

i

(33)

i

Có thể diễn tả phương trình này như sau: lần lượt xét mỗi hình vuông ở trên mặt, xác
định E i và  S i ở đó rồi tính tích vô hướng E i .  S i , xong cộng đại số (có tính đến dấu)
các kết quả thu được từ tất cả các hình vuông tạo thành mặt. Dấu của mỗi tích vô hướng
trong (33) có thể dương, âm hoặc bằng 0 tuỳ theo sự định hướng tương đối giữa E và
S .

Định nghĩa đúng của thông lượng điện trường qua một mặt kín có được bằng cách
thu nhỏ dần diện tích của các hình vuông ở hình 7 đến giới hạn vi phân dS. Khi đó, vectơ
diện tích  S tiến đến giới hạn vi phân d S và tổng ở (33) trở thành tích phân
   Ed S

(34)

S

Vòng tròn ở dấu tích phân chỉ ra rằng tích phân được lấy trên một mặt kín S.
Thông lượng của điện trường là một đại lượng vô hương và đơn vị SI của nó là

16

Nm2
.
C


Vì số đường sức đi qua một đơn vị diện tích vuông góc với chúng có số trị bằng
độ lớn của điện trường E, nên từ định nghĩa (34) cũng có thể phát biểu như sau: Thông
lượng của điện trường  (gọi tắt là điện thông) qua một mặt nào đó có số trị bằng số
đường sức đi qua mặt đó.
Với mặt kín, đường sức đi ra khỏi mặt được xem là dương, ngược lại xem là âm
(vì góc giữa E và d S là tù).

VI.3. Định luật Gau - xơ cho điện trường trong chân không.
Cho một điện tích điểm dương q. Xét một mặt cầu bán kính r bao quanh điện tích
có tâm trùng với điện tích điểm (hình 8). Mặt này, chỉ là một
E
mặt tưởng tượng để tính toán không có ý nghĩa vật lí gì, được
r
gọi là mặt Gau - xơ.
dS
r
Ta hãy tính điện thông  (hay số đường sức) qua mặt
r
q
cầu đó. Theo định nghĩa  =  Ed S
(34)
Với bài toán này, E có độ lớn như nhau tại mọi điểm nằm trên

mặt cầu (đều cách điện tích một khoảng r) và hướng theo bán
kính của mặt cầu nên E cùng chiều với dS (cos  = 1)
Do đó

Hình 8

 =  Ed S =  EdS  E  dS
q

Từ (9) E 
Nên  

4 0 r
q

4 0 r

2

2

và  dS  4r 2 là diện tích của mặt cầu Gau - xơ.

.4 r 2 

q

(35)

0

Nhận xét:  0
+) Điện thông qua mặt Gau - xơ hình cầu không phụ thuộc vào bán kính r của mặt.
+) Có

q

0

đường sức đi ra khỏi mặt Gau - xơ (với bán kính tuỳ ý). Do đó, có tất cả

đường sức đi ra từ một điện tích dương và

q

0

q

0

đường sức đi vào một điện tích âm.

Nếu có các điện tích q1, q2, q3, …, qn nằm trong một mặt Gau - xơ kín, tổng số các đường
sức đi ra từ các điện tích đó bằng

q1  q2  ...  qn

0

Đó cũng là số đường sức đi ra khỏi mặt

Gau - xơ.
Từ đó ta có

 Ed S 

1

0

n

q

(36)

i

il

trong đó tích phân được lấy theo một mặt kín và tổng được lấy theo tất cả các điện tích có
trong mặt kín đó.

17


Chú ý:
Nếu các điện tích không nằm trong mặt kín thì điện thông qua mặt đó bằng 0 vì số
đường sức đi ra bằng số đường sức đi vào mặt.

(36) là biểu thức toán học của định luật Gau - xơ. Ta có thể phát biểu định luật Gau - xơ
như sau: Thông lượng điện trường qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích
có trong mặt đó chia cho  0 .
Ở trên ta đã suy định luật Gau - xơ từ định luật Cu - lông (dùng công thức 9). Vì
vậy, với các bài toán tĩnh điện hai định luật này hoàn toàn tương đương nhau. Tuỳ theo
trường hợp cụ thể mà ta dùng định luật Cu - lông hay định luật Gau - xơ. Với các bài toán
trong đó có ít hoặc không có yếu tố đối xứng ta dùng định luật Cu - lông. Ta sẽ dùng định
luật Gau - xơ để giải các bài toán có tính đối xứng cao. Trong các bài toán như vậy, định
luật Gau - xơ không những làm đơn giản đáng kể việc giải mà nhiều khi, nhờ sự đơn
giản, còn cho những hiểu biết sâu sắc mới.

VI.4. Áp dụng định luật Gau - xơ
VI.4.1 Vật dẫn cô lập tích điện.
Định luật Gau - xơ cho phép chứng minh một tính chất quan trọng của các vật dẫn
cô lập sau đây: Nếu điện tích dư (điện tích không được trung hoà bởi điện tích trái dấu)
được đưa vào một vật dẫn cô lập, điện tích đó sẽ di chuyển hoàn toàn ra mặt ngoài của
vật dẫn. Một cách định tính, ta có thể hiểu được điều đó là do các điện tích cùng dấu đẩy
nhau. Bằng cách di chuyển ra mặt ngoài, các điện tích có thể ở xa nhau nhất mà chúng có
thể. Bây giờ, ta hãy dùng định luật Gau - xơ để kiểm tra đoán nhận đó.
Trong kim loại và trong các vật dẫn có các electron dẫn tự do. Nếu không có dòng
chạy trong vật dẫn thì điện trường phải bằng 0 trong vật dẫn đó. Nếu E  0, các
electron chuyển động có hướng dưới tác dụng của điện trường đó và tạo nên dòng điện,
trái với điều kiện cân bằng tĩnh điện.
Chú ý: Khi nói điện trường E = 0 là nói ở tại các vị trí trong vật dẫn mà ở đó có
electron tự do. Như vậy, trong hốc của vật dẫn, điện trường có thể khác không.
Xét một vật dẫn có mang điện tích dư Q. Áp dụng định luật Gau - xơ với mặt nằm sát
mặt ngoài của vật.
1

 Ed S    q

i

0

i

Vì E = 0 ở trong vật dẫn nên điện trường cũng phải bằng 0 tại mọi điểm trên mặt Gau xơ vì mặt này tuy rất sát với mặt ngoài vẫn hoàn toàn nằm trong vật dẫn. Điều đó có
nghĩa là thông lượng điện trường qua mặt Gau - xơ bằng 0 và do đó, theo định luật Gau xơ, điện tích tổng cộng ở trong mặt Gau - xơ cũng phải bằng 0. Điều đó chứng tỏ điện
tích dư nằm hết ở mặt ngoài.
Bây giờ, ta khoét bỏ một phần ở bên trong vật dẫn để tạo thành một hốc. Nhờ định
luật Gau - xơ với mặt Gau - xơ bao quanh hốc và nằm ở phí trong vật dẫn ta có thể kết
luận rằng không có điện tích dư trên các cách của hốc, chúng vẫn nằm hết ở ngoài mặt

18


của vật dẫn. Sự phân bố của điện tích và hình ảnh của điện trường vẫn giống như khi
chưa khoét rỗng vật.
Chúng ta đã biết, điện tích bao giờ cũng sinh ra điện trường ở xung quanh nó. Vậy
tại sao các điện tích dư ở trên mặt của vật dẫn tại không tạo ra điện trường ở bên trong
vật dẫn? Thực ra thì các điện tích dư có tạo ra điện trường ở đó, nhưng các điện tích dư tự
chúng đã tự động sắp xếp ở trên mặt của vật dẫn sao cho điện điện trường tổng cộng của
chúng ở mọi điểm trong vật dẫn bằng 0.
VI.4.2. Vỏ cầu tích điện.
Xét một vỏ cầu có điện tích tổng cộng q và bán kính R. Tính điện trường ở một
điểm cách tâm của vỏ cầu một khoảng r, với r < R và r > R (hình 9).
Đây là bài toán trong đó sự phân bố của điện tích có
M
sự đối xứng cầu. Do đó ta sẽ sử dụng mặt Gau - xơ có

dạng cầu đồng tâm với lớp vỏ tích điện.
+) Với r  R, áp dụng định luật Gau - xơ với mặt S2 ta
được.
R
S2
O
q

 Ed S  

S2

0

Tại mọi điểm trên mặt đó, điện trường có độ lớn bằng
nhau và có chiều vuông góc với mặt, nên.

 Ed S  E  dS  E.4r
S2

S2

Do đó: E(r) =

2



q

0

Hình 9

1 q
4  0 r2

Đây cũng là điện trường của một điện tích điểm q đặt ở tâm của vỏ. Điều này chứng minh
cho định lí: Một vỏ cầu tích điện đều hút hoặc đẩy một hạt tích điện nằm ở ngoài vỏ như
thể là tất cả điện tích của nó đều tập trung ở tâm của vỏ.
+)Với các điểm có r < R, áp dụng định luật Gau - xơ với mặt S1, ta suy được E = 0 vì mặt
đó không chứa điện tích ở trong. Điều này xác nhận cho định lí: một vỏ cầu có điện tích
phân bố đều không tác dụng lực tĩnh điện lên hạt tích điện nằm ở trong lớp vỏ đó.
VI.4.3. Thanh trụ dài tích điện
Giả sử ta có một thanh trụ rất dài có điện tích phân bố
đều dọc theo thanh với mật độ điện tích dài  . Ta hãy xác định
r
điện trường do thanh ở tại một điểm P cách trục của nó một
khoảng r.
Với bài toán có tính đối xứng trụ này, ta chọn mặt Gau
E
r
- xơ có dạng trụ qua điểm P như ở hình 10. Tại mọi điểm ở
dS

mặt bên của mặt trụ, điện trường E đều bằng nhau về độ lớn

r

và có phương vuông góc với mặt (nghĩa là, với mặt bên E //

19

Hình 10


d S ). Trong khi đó, với hai đáy trái và phải, E  d S nên E . d S = 0.
Điện tích có trong mặt Gau - xơ bằng  q  L áp dụng định luật Gau - xơ, ta có.



EdS 

MÆt trô kÝn







EdS 

MÆt bªn

dS  2 E rL 

MÆt bªn

EdS 

MÆt ®¸y tr¸i

1

0

Từ đây suy ra E(r) =



EdS

MÆt ®¸y ph¶i

L


2  0 r

E

VI.4.4. Bảng phẳng không dẫn điện
Giả sử ta có một bản chất dẻo, mỏng, rất rộng được
tích điện đều trên một mặt cho đến mật độ điện tích mặt  .

dS

Ta hãy tính điện trường E ở một điểm cách mặt bản một
khoảng r. Với bài toán này, mặt Gau - xơ thích hợp có thể là

mặt trụ hoặc hình hộp chữ nhật. Ở đây, ta chọn mặt trụ như ở
hình 11 với hai mặt đáy có điện tích bằng S.
Với mặt đã chọn, áp dụng định luật Gau - xơ, ta có.



EdS 

MÆt trô kÝn


MÆt bªn

 0  ES  ES 

E



EdS cos 90 

EdS cos 0 

MÆt ®¸y tr¸i

1

0



EdS cos 0 

MÆt ®¸y ph¶i

S
1

0

q
Hình 11

. S


2 0

(38)

VI.4.5. Bản phẳng dẫn điện
Bằng cách áp dụng định luật Gau - xơ, ta có thể dễ dàng suy ra rằng: điện trường E
giữa hai bản kim loại phẳng, rộng đặt song song với nhau và được tích điện trái dấu là

đều và có độ lớn bằng E 
0
(39)

VI.5. Định luật Gau - xơ cho chất điện môi.
Ở trên, ta đã biết định luật Gau - xơ cho trường tĩnh điện trong chân không được

viết dưới dạng.
1

 Ed S    q
S

0

trong đó tích phân được lấy theo một mặt kín S và tổng là tổng đại của tất cả điện
tích nằm trong mặt kín đó.
Điện trường trong chất điện môi được tạo nên bởi cả hai loại điện tích: Điện tích
tự do và điện tích cảm ứng liên kết. Tuy nhiên, nguồn gốc ban đầu của điện trường trong

20


chất điện môi là điện tích tự do vì điện trường tạo nên bởi các electron liên kết xuất hiện
do sự phân cực chất điện môi khi đặt nó trong điện trường được tạo nên bởi hệ điện tích
tự do. Theo nguyên lí chồng chất, cường độ điện trường
E  E tự do + E liên kết

Do đó, định luật Gau - xơ cho điện trường tĩnh điện trong chân không có thể mở
rộng cho điện trường trong chất điện môi nếu chú ý là ngoài điện tích tự do q còn có điện
tích cảm ứng liên kết qlk tạo nên điện trường trong chất điện môi.
Như vậy, nếu trong mặt Gau - xơ vừa có điện tích tự do q, vừa có điện tích cảm ứng q lk,
thì định luật Gau - xơ có dạng.
1

 Ed S   ( q   q

lk

(40)

)

0

trong đó điện tích cảm ứng mặt ngoài qlk có thể tính từ lập luận sau.
Vì các lưỡng cực điện của phân tử trung hoà về điện, nên chỉ có các lưỡng cực nào bị mặt
Gau - xơ cắt với chiều của điện trường ngoài cho thấy một yếu tố diện tích dS của mặt
Gau - xơ là S.
Vectơ E tại mọi điểm trên yếu tố dS đều bằng nhau và lập một góc  với pháp tuyến
ngoài của yếu tố đó.
dN = n.d.dS.cos 
Điện tích tương ứng với các lưỡng cực đó bằng
dqlk = - q.dN = - n.pe.dS.cos  = -  pdS
Do đó

q

lk

   Pd S

(41)

S

Thay (41) vào (40), ta được.

1

 Ed S    q   Pd S
0

S

S

Chuyển vế, ta có dạng tổng quát của định luật Gau - xơ cho chất điện môi.

 (

0

E  P)d S   q

(42)

S

Từ đây ta thấy, khi xét điện trường trong một chất điện môi, sẽ rất thuận tiện nếu đưa vào
vectơ độ điện dịch D được định nghĩa bằng
D = 0 E + p

(43)

Khi đó, dạng tổng quát của định luật Gau - xơ cho chất điện môi có dạng.

 Dd S   q

(44)

Thông lượng của độ điện dịch qua một mặt kín nào đó nằm trong trường, bằng tổng đại
số của các điện tích tự do có trong mặt đó.
Như vậy, cường độ điện trường E được tạo thành bởi mọi điện tích, tự do và liên kết.
Trong khi đó, độ điện tích D chỉ do điện tích tự do gây ra, còn độ phân cực P thì chỉ liên
quan đến các điện tích phân cực liên kết.
21


Đặc trưng cơ bản cho điện trường là vectơ cường độ điện trường E . Các vectơ D và P
là các đặc trưng bổ sung hữu ích cho sự phân tích sâu hơn.
Trong chất điện môi bằng hướng, khi E không quá lớn, có hệ thức
P =  0 E

(45)

trong đó hệ số tỷ lệ  được gọi là độ cảm điện.
Từ (43) và (45), ta có
D   0 E (1   )   E

(46)

trong đó  được gọi là hằng số điện môi của chất điện môi.
 =  0 r

(47)

với hằng số điện môi tỷ đối  r  l  

(48)

Bảng 1. Hằng số điện môi của một số chất
Chất

0

Chất

0

Chân không

1,00000

Cao su

3

Không khí

1,0006

Thạch anh

3,8

Parafin

2,1

Mica

5,4

Dẫn biến thế

2,1

Sứ

6

Teflon

2,1

Thuỷ tinh

4,8 - 10

Dầu hoả

2,2

Acetone

27

Benzen

2,29

Nước (180C)

81

Polystyren

2,6

Titanat Bari

1200

Nước đá (-50C)

2,9

Kim loại



22


Phần thứ hai
HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
I. ĐIỆN TÍCH – ĐIỆN TRƯỜNG

Bài 1. Hãy tính tỷ số giữa lực tĩnh điện và lực hấp dẫn tương tác giữa hai electron, giữa
hai prôton. Với giá trị nào của điện tích riêng q/m của hạt thì các lực này có mô-đun bằng
nhau?
Lời giải
a) Giữa hai electron lực điện Fd 
Lực hấp dẫn Fh  
Tỷ số:

1 q2
, với 0 = 0,885.10-11F/m
2
 0 r

m2
với γ = 6,672.10-11m3/kg.s2.
r2

Fd
q2
(1, 6.1019 )2


 4,17.1042 lần
Fh 4 0 m2 4 0,885.1011.6, 672.1011 (9,1.1031 )2

b) Giữa hai proton
Fd
(1, 6.1019 )2

 1, 25.1036 lần

11
11
27 2
Fh 4 0,885.10 .6, 672.10 (1, 66.10 )
2

c) l 

Fd
1 q
q

4 0 
  
Fh 4 0  m 
m

Thay số q / m  4 .0,885.1011.6,672.1011  8,61.1011 C / kg
Bài 2. Hai quả cầu bằng đồng, mỗi quả có khối lượng 1g, được đặt cách nhau 1m. Tính
lực tương tác giữa chúng nếu tổng các điện tích của tất cả các electron trong mỗi quả cầu
sai khác tổng các điện tích của các hạt nhân là 1%.
Lời giải
Số hạt nhân đồng trong mỗi quả cầu là n 

m
NA ,
A

với m = 1 gam, NA = 6,022.1023 mol-1, Z của Cu là 29, A của Cu là 63,55g/mol,
e = 16.10-19C.

Lực tương tác điện giữa hai quả cầu là:
F
F

q2
4 0  m2



104 (mN 4 Ze / A) 2
4 0  m2

I

 103.6, 022.10 23.29.1, 6.10 19 
104
15
  1, 74.10 N
11 2 
3
4 .0,885.10 .l 
63,55.10




Bài 3. Hai quả cầu nhỏ tích điện giống hệt
nhau, mỗi quả có khối lượng m, được treo vào

Fđ

A

O

B



23

Hình 12

P


một điểm bằng các sợi dây cách điện độ dài l. Khoảng cách giữa các quả cầu là x << l.
Hãy tìm độ hao hụt điện tích dp/dt của mỗi quả cầu nếu vận tốc của chúng tiến lại nhau là
a
, với a là một hằng số.
v
x
Lời giải
Theo đề bài x << l    tan   sin  

x
2l

Theo hình vẽ:


x Fd
q2


2l P 4 0 x 2 mg
2 0 mg 3/2
x
l

Suy ra q 

3a 2 0 mg
2 0 mg a
dq dq
3

 .x ' 
x
2
l
dt dx
2
l
x

Bài 4. Hai điện tích dương q1 và q2 được đặt tại hai điểm có bán kính vectơ là r1 và r2 .
Hãy tìm độ lớn của một điện tích âm q3 và bán kính vectơ r3 của điểm M để khi đặt q3 tại
M thì các lực điện tác dụng lên mỗi điện tích đều bằng không.
Lời giải

qq
a) Lực q1 tác dụng lên q3: F13  1 3 2
4 0l1

Lực q2 tác dụng lên q3: F23 

q2 q3
4 0l22

r1

q
q2
q1 q2
 2  1 

2
l1
l2
l1
l2

Theo đề bài F21   F31 

q1  q2
(1)
l1  l2

Vậy q3 

I2

r2

r3

q
q2
  23
2
(l1  l2 )
l1

Hình 13

(2)
(3)

q3
q1q2

2
l12 ( q1  q2 ) 2 l1

q1q2
( q1  q2 )2

b) Từ (1) chú ý: l1  r3  r1 và l2  r2  r3 , ta có

24

B
q2

qq
q2 q1
và F31  3 1 2
2
4 0 (l1  l2 )
4 0l1

q1
l

l1  l2 l1 ( q1  q2 )

Thay (3) vào (2):

C
q3

0

Lực q2 và q3 lần lượt tác dụng lên q1 là: F21 

Từ (1):

I1

q1

Theo đề bài
F13  F23 

A


q1



r3  r1

q2



r2  r3

r3
q1



r
r1
r
 2  3
q1
q2

q2

 1
r
r
1 

  1  2  r3 ( q1  q2 )  r1 q2  r2 q1
 q
q2 
q1
q2
 1

Hay r3 

Suy ra: r3 

r2 q2  r2 q1
q1  q2

y

Bài 5. Một sợi dây đồng được uốn thành vòng
tròn bán kính r =100 mm có điện tích q =
50C. Nếu tại tâm của vòng tròn đặt một điện
tích điểm q0 = 7,0 C thì lực căng của sợi dây
sẽ tăng lên bao nhiêu?
Lời giải
Xét một đoạn dây AB, hai đầu AB chịu

tác dụng các số gia của lực căng và đoạn AB
chịu tác dụng lực culông  F . AB nằm cân

O

d

TA

B

A

bằng nên TA  TB   F  0 .
Nếu chiều xuống trục đối xứng Iy đi
qua tâm I của AB và tâm O đường tròn ta có:
2Ty 

 dF

y

 2T sin  

AB

I
Hình 14

y

AB

Tính dF là lực Culông tác dụng lên một phần tử

 dF

y

AB

qdx qd

2 r
2

q0 qd
qq
 dFy  dFcos  20 2 cos d
2
2
8  0 r
8  0 r

dF 



 2
0

q0 q

8  0 r
2

2

cos d  2

q0 q sin 
8 2 0 r 2

7.106.50.106
 50,1N
Thay vào (1): T  2 2 
8  0 r
8 .0,885.1011.0,12
q0 q

25

M
dF

 dF

dx = rd của AB phần tử dx mang điện tích dq 

TB