bài tập lớn xác suất thống kê chương 2

Bài 1: Cho 2 đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là ( sử dụng phần mềm
Mathematica )

0.x   0;9
f ( x)   2
a( x  k1 x  k2 9  x  k1 ), x   0;9

a) Tìm a và tính P ( X  5), P ( X  1, 6), P (5  X  8)
b) Tính E ( X ), D( X ), D( k1 X ), E (k1 X  k2 ), D(k1 X  k2 )
c) Hỏi trong 500 lần quan sát X , trung bình có bao nhiêu lần X nhận giá trị trên 5;8
d) Tính xác suất trong 200 lần quan sát X , có từ 40 đến 160 lần X nhận giá trị lớn hơn
5
e) Tìm hàm mật độ xác suất g ( y ) của đại lượng ngẫu nhiên Y  k2 X  k1
LỜI GIẢI
Lời giải


Ta có

f ( x)dx  1 



Kết quả





 a( x

2

 k1 x  k2 9  x  k1 )dx  1


5

P( X  5) 

f ( x)dx 



a
P ( X  5) 
P ( X  1, 6) 
P (5  X  8) 



a



P( X  1,6) 

f ( x)dx 



1,6
8

P (5  X  8)   f ( x) dx 
5



E( X ) 

 x. f ( x)dx 



D( X ) 

2

 x . f ( x)dx  (E ( X ))

2





b

D (  k1 X )  k12 D ( X ) 


E (k1 X  k2 ) 

 (k X  k ). f ( x)dx 
1

2




D (k1 X  k2 ) 

2

 (k X  k ) . f ( x)dx   E (k X  k ) 
1

2

1

2

2





Xác xuất mà X nhận giá trị trên 5;8 là
8

c

p  P (5  X  8)   f ( x) dx 
5

Vậy trong 500 lần quan sát X trung bình số lần X nhận
giá trị trên 5;8 là
np 

d

Xác xuất mà X nhận giá trị lớn hơn 5 là




p  P( X  5) 



f ( x) dx 

5

q  1 p 

Xác xuất trong 200 lần quan sát X , có từ 40 đến 160 X

nhận giá trị lớn hơn 5 là
160

C

k
200

. p k .(1  p ) 200 k 

40

Y  k1
k2
/
x  k1
1
 1 ( y ) 
   1 ( y )  
k2
k2

Ta có Y  k2 X  k1  X 

e

Vậy hàm mật độ xác xuất g ( y ) là

0 khi y   k1 ;9k2  k1 
g ( y)  

'
1
1
 f ( ( y )).  ( y )  khi y   k1 ;9k2  k1 

Bài 2: Khối lượng của bao gạo là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với khối
lượng trung bình là 50kg và độ lệch chuẩn là 0,8+0,01k1 (kg)
a) Tính xác suất để trong 400 bao gạo có từ 150 đến 300 bao gạo có khối lượng
rơi vào khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2)
b) Lấy ngẫu nhiên 200 bao gạo. Hỏi khả năng lớn nhất lấy được bao nhiêu bao
gạo có khối lượng nhỏ hơn 51+0,01k2
c) Trong 500 bao gạo lấy ra trung bình có bao nhiêu bao có khối lượng nhỏ hơn
49+0,05k2
LỜI GIẢI
Gọi X là khối lượng của 1 bao gạo, do X là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn
a  50

 X  N (a,  2 ) trong đó 
  0,8  0,01k1

a. Xác suất để bao gạo có khối lượng rơi vào khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2) là
 51  0, 01k2  a 
 48  0, 02k2 
p  P (48  0, 02k2 ;51  0, 01k2 )   
  









( Sử dụng excel dùng lệnh normsdist để tính  (..) )


Vậy xác suất để trong 400 bao gạo có từ 150 đến 300 bao gạo có khối lượng rơi vào
khoảng (48+0,02k2;51+0,01k2) là
300

C

k
400

. p k .(1  p ) 400 k 

150

b. Xác suất để bao gạo có khối lượng nhỏ hơn 51+0,01k2 là
 51  0, 01k2  a 
p  P( X  51  0, 01k2 )   





Lấy ngẫu nhiên 200 bao gạo. Khả năng lớn nhất lấy được bao nhiêu bao gạo có
khối lượng nhỏ hơn 51+0,01k2 là np  (1  p)  1
c. Xác suất để bao gạo có khối lượng nhỏ hơn 49+0,05k2 là

 49  0, 05k2  a 
p  P ( X  49  0, 05k2 )   





Trong 500 bao gạo lấy ra trung bình số bao gạo có khối lượng nhỏ hơn 49+0,05k2
là
np  500. p 

Bài 3 Một tổng đài chăm sóc khách hàng của 1 tập đoàn có các cuộc điện thoại gọi
đến 1 cách ngẫu nhiên, độc lập với nhau và có tốc độ trung bình k1+2 trong 1 phút.
Tính xác suất để
a) Có đúng k2+1 cuộc gọi trong 2 phút
b) Không có cuộc gọi nào trong khoảng thời gian 30 giây
c) Có ít nhất 1 cuộc gọi điện thoại trong 10 giây
LỜI GIẢI
a. Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong 2 phút . X  P (  2(k1  2))
Xác suất để có đúng k2+1cuộc gọi trong 2 phút là P( X  k2  1) 

e   . k2 1
(k2  1)!

b. Gọi X là số cuộc gói nhận được trong 30 giây. X  P (  (k1  2) / 2
Xác suất để không có cuộc gọi nào trong 30 giây là P( X  0) 
c. p  1  P( X  0)

e   . 0
(0)!

Bài 4: Biết thời gian sử dụng ( tính bằng năm ) của 1 sản phẩm của cty A là đại
lượng ngẫu nhiên có phân bố mũ với thời gian sử dụng trung bình là 2+0,1k1 năm
và mỗi sản phẩm được bảo hành 10+k2 tháng. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên
1 sản phẩm này có thời gian sử dụng vượt quá thời gian bảo hành.
LỜI GIẢI
Gọi X là thời gian sử dụng sản phẩm của cty A.
X có phân bố mũ với tham số  

1
2  0,1k1

Xác suất để sản phẩm này vượt quá thời hạn bảo hành là
P( X  10  k2 )  1  P( X  10  k2 )  1  F (10  k2 )  e   (10  k2 )

Bài 5 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là
0 khi x  0

f ( x)  
k
 2x
a (1  0, 05k1 ) 4 khi x  0

a) Tìm a và tính E ( X ), D( X ), D(k 2 X ), E (k2 X  k1 ), D(k2 X  k1 )
b) Tìm phân bố xác suất F ( x) của X và tính các xác suất
F (1, 9), P( X  1,5), P( X  1), P(0, 5  X  1, 2)

c) Tìm hàm mật độ xác suất g ( y ) của đại lượng ngẫu nhiên Y  k2 X  k1
LỜI GIẢI

a.
Ta có
a (1  0, 05k1 )

 k2
x
4

 a.e

ln(1 0,05 k1 )

 k2
x
4

 a.e

 k2
ln(1 0,05 k1 ) x
4

a

Vì f ( x) là hàm mật độ của phân bố mũ nên ta có
E( X ) 

D( X ) 

1




1



2

1
a



k22

1
a2

k22
D (k 2 X )  2  2

a

k2
ln(1  0, 05k1 )
4



E (k2 X  k1 ) 

 (k X  k ). f ( x)dx 
2

1




D (k2 X  k1 ) 

2

 (k X  k ) . f ( x)dx   E (k X  k ) 
2

1

2

2

1





( 2 ý cuối bọn e dùng máy chạy nha )
b.
 0 khi x  0
 x
1  e khi x  0

Hàm phân bố xác suất của phân bố mũ F ( X )  
F (1, 9)  1  e   .1,9  1  e  a.1,9

Các ý còn lại dùng phần mềm tính như bài 1
c.
Ta có
Y  k2 X  k1  X 

'
Y  k1
x  k1
1
  1 ( y ) 
   1 ( y )  
k2
k2
k2

0 khi y  k1

g ( y)  
'
1

1
 f ( ( y )).  ( y )  khi y  k1

Bài 6 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f ( x)  A.e x
Bằng cách biến đổi về phân bố chuẩn tìm a, E ( X ), D( X )
LỜI GIẢI
Ta có
f ( x)  A.e  x

2

 2 k1 x  k2

 A.e ( x

2

 2 k1 x  k12  k2 )

 A.e  ( x  k1 )

2

 k12  k2

2

 e k1  k2 . A.e  ( x  k1 )

2


1
Lại có phân bố chuẩn có dạng tổng quát như sau f ( x) 
.e
 2

Dùng phương pháp đồng nhất thức ta có

( x a )2
2 2

2

 2 k1 x  k2

.




2


 D( X )  1
2


a  k1
  E ( X )  k1


 2

1
1  k12  k2 
e k1  k2 A 
A 
e

 2



Bài 7 Lượng xăng tiêu thụ của 1 loại xe khi chạy trên quãng đường AB là đại lượng
ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Biết có (50+k1)% số xe tiêu thu hơn 7,9 lít khi chạy
trên quãng đường AB, (60-k2)% số xe tiêu thụ ít hơn 8,2 lít trên quãng đường AB.
Hỏi trong 500 xe trung bình có bao nhiêu xe tiêu thụ nhiều hơn 8l khi chạy trên
quãng đường AB.
LỜI GIẢI
Gọi lượng xăng tiêu thụ trên quãng đường AB là X . X  N (a,  2 )
Theo đề bài ta có hệ phương trình

 7,9  a 
1 
  (50  k1 )%

 P( X  7,9)  (50  k1 )%

  



 P( X  8, 2)  (60  k2 )%
   8, 2  a   (60  k )%
2
   

( Các em sinh viên dùng excel lệnh normsinv để sẽ tra được và giải hpt tìm a, 
)
10  a

Ví dụ  (



)  0,5 , vào excel gõ “=normsinv(0,5) =’’ máy cho ra 1 kết quả và

kết quả đó chính là

10  a


8a 

  

Sau khi tìm được a,  thì tính p  P( X  8)  1   

Trong 500 xe trung bình có số xe tiêu thụ nhiều hơn 8l khi chạy trên quãng đường
AB là 500 p