(Luận văn thạc sĩ) dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá, giỏi ở THPT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG
TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

Hà Nội - 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THÀNH TRUNG

DẠY HỌC ĐA THỨC BẬC BỐN VÀ CÁC DẠNG
TOÁN LIÊN QUAN CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
Ở TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN
(BỘ MƠN TỐN)
Mã số: 60.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn
đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội cùng
các thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn
Văn Mậu – người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong
quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo
trường THPT chuyên Bắc Giang, trường THPT Yên Dũng số 2, gia đình và
bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong quá trình học tập và hồn thành luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thành Trung.


Danh mục các kí hiệu, chữ cái viết
tắt
THPT: Trung học phổ thông
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
SGK: Sách giáo khoa
NXB: Nhà xuất bản

Mục lục
Mở đầu

1

1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

4

1.1

Đặc điểm công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở trường trung
học phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi . . . . . . . .

4

1.1.2

Khó khăn trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở
trường THPT không chuyên . . . . . . . . . . . . . .

5

Tư duy và vai trò của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Khái niệm về tư duy

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Các bước hoạt động của quá trình tư duy . . . . . . .

7

1.2.3

Vai trò của tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển tư duy sáng tạo

8

1.4.1

Các quan điểm về tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . .

8

1.4.2

Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo . . . . .

9

1.4.3

Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy

1.2

sáng tạo thông qua dạy học mơn Tốn . . . . . . . . .
1.5
1.6

Thực trạng việc dạy và học đa thức bậc bốn và các dạng toán
liên quan ở một số trường trung học phổ thông . . . . . . . .

19

Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Dạy học đa thức bậc bốn và một số dạng toán liên quan
2.1

13

23

Các hệ thức lượng giác liên quan đến công thức khai triển góc
nhân ba, nhân bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1

23

Công thức khai triển góc nhân ba, nhân bốn . . . . .


2.1.2
2.2

Các hệ thức đại số liên quan đến công thức khai triển

góc nhân ba, nhân bốn . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Phương pháp giải phương trình đa thức bậc bốn . . . . . . .

27

2.2.1

Phương trình đa thức bậc bốn có hai nghiệm “đẹp” . .

28

2.2.2

Phương trình đa thức bậc bốn chỉ có một nghiệm “đẹp” 28

2.2.3

Một số phương trình đa thức bậc bốn có dạng đặc biệt

2.2.4

Phương trình đa thức bậc bốn khơng có nghiệm “đẹp”
và khơng có dạng đặc biệt

2.3

2.4

33

. . . . . . . . . . . . . . .

37

Một số bài toán liên quan đến đa thức bậc bốn . . . . . . . .

43

2.3.1

Phương pháp giải hệ bậc hai tổng quát . . . . . . . .

43

2.3.2

Một số bài toán liên quan đến định lý Viet của phương
trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.3

Đa thức bậc bốn với các yếu tố cạnh trong tứ giác . .

64

2.3.4

Một số bất đẳng thức và cực trị theo đa thức đối xứng
bốn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3 Thực nghiệm sư phạm

92

3.1

Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . . . . . .

92

3.2

Phương pháp thức nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

3.3

Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.4

Giáo án thực nghiệm và đề kiểm tra . . . . . . . . . . . . . .

94

3.5

Kết quả thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.6

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Kết luận

107

Tài liệu tham khảo

109


Danh sách bảng


1

Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong các môn học luôn được ưu tiên và chú trọng phát
triển hàng đầu trong mỗi nền giáo dục. Bởi ngoài những ứng dụng thiết thực
trong cuộc sống hay khi mang vai trị là cơng cụ khơng thể thiếu cho nhiều
mơn học khác thì Tốn học cịn là mơn học giúp rèn khả năng tư duy cho
học sinh. Trong Hội nghị lần thứ 8 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khố
XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tào đã nêu rõ “Đối với
giáo dục phổ thơng, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm
chất năng lực công dân, phát huy và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề
nghiệp cho học sinh...Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích
học tập suốt đời”. Nhiệm vụ của dạy học mơn Tốn là trang bị những kiến
thức cơ bản cần thiết cho học sinh, từ đó phát triển năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực tự học Tốn, năng lực tính tốn...Qua đó hình thành và phát
triển phẩm chất con người mới đáp ứng yêu cầu ngày càng cao trong xã hội.
Đặc biệt đối với một số học sinh có tố chất về mơn Toán, các trường tập hợp
quan tâm, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước chuẩn bị cho việc đào tạo nhân
tài nhằm học tập, tiếp cận, sáng tạo những công nghệ mới, tiên tiến có giá
trị cao trên thế giới. Những học sinh giỏi này là đầu tàu phát triển đất nước
trong tương lai.
Để tạo ra những con người lao động mới, một năng lực khơng thể thiếu
đó là năng lực sáng tạo. Khi đó cần phải có phương pháp dạy học phù hợp để
khơi gợi và phát huy năng lực người học. Cũng trong Hội nghị Trung ương
lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương tiếp tục khẳng định “Cần tiếp tục đổi
mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tích
cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc
phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách

2

học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và
đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên
lớp sang hình thức tổ chức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội,
ngoại khoá, nghiên cứu khoa học". Chính vì vậy, nhiệm vụ của người dạy là
mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng và định hướng phát triển đạo
đức cho học sinh, chứ khơng phải làm đầy trí tuệ cho học sinh bằng cách
truyền thụ tri thức đã có. Việc mở rộng trí tuệ địi hỏi người dạy phải vận
dụng các phương pháp dạy học tích cực kết hợp với các phương pháp dạy
học truyền thống để định hướng cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo,
giải quyết vấn đề trong điều kiện cụ thể và tình hình thực tế cuộc sống.
Các bài toán về đa thức bậc bốn và các vấn đề liên quan đến nó là một
nội dung cần được khai thác và mở rộng hơn nữa trong việc bồi dưỡng học
sinh giỏi ở cấp THPT. Với mục đích giúp học sinh nắm vững được các kiến
thức cơ bản về đa thức; định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyết
một số bài toán liên quan đến nó đồng thời cũng thơng qua việc học chủ đề
này giúp người học hình thành năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ra
những bài toán mới.
Nhận thức được tầm quan trọng của vấn đề nêu trên, tác giả chọn đề
tài “Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá,
giỏi ở trung học phổ thơng” làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2 Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh định hướng tư duy trong việc tiếp cận và giải quyết một
số bài toán về đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan. Từ đó hình thành
năng lực giải quyết vấn đề, sáng tạo ra các bài toán mới.
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những vấn đề về đến đa thức bậc bốn và các dạng toán liên
quan; thực trạng cũng như những khó khăn của giáo viên và học sinh khi
dạy học chủ đề này.

- Nghiên cứu tài liệu làm sáng tỏ một số vấn đề cơ bản của tư duy, đặc
biệt là tư duy sáng tạo. Nghiên cứu những biểu hiện của tư duy sáng tạo của
học sinh THPT, đặc biệt là học sinh của các trường THPT không chuyên;
sự cần thiết phải rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc giải
quyết vấn đề và sáng tạo các bài toán mới.


3

- Tổ chức dạy thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Giáo viên và học sinh trung học phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu: Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở
trung học phổ thông.
5 Phạm vi nghiên cứu
Đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan ở bậc trung học phổ thông
trong trường trung học phổ thông.
6 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục
học mơn tốn, tâm lý học, lý luận dạy học mơn tốn. Các sách báo, các bài
viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài. Các cơng trình nghiên cứu có các
vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Tiến hành thực nghiệm sư phạm
với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng.
7 Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài toán về chủ đề đa thức bậc bốn và các dạng
tốn liên quan giúp hình thành năng lực tư duy sáng tạo, khả năng tự học,
tự nghiên cứu của học sinh. Từ đó hình thành năng lực giải giải quyết vấn
đề và sáng tạo các bài tốn mới.

8 Đóng góp của đề tài
Đề tài sử dụng làm chuyên đề giảng dạy cho các trường THPT chuyên
và các lớp chọn trong các trường THPT không chuyên.
9 Cấu trúc của luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: Phần mở đầu, phân nội dung và phần
kết luận.
Nội dung của luận văn gồm ba chương
Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2 Dạy học đa thức bậc bốn và các dạng toán liên quan.
Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.


4

Chương 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1

Đặc điểm cơng tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
ở trường trung học phổ thông
Thực tế lịch sử phát triển của xã hội lồi người nói chung và lịch sử dân

tộc Việt Nam nói riêng đã khẳng định được vai trị của người tài. Họ chính
là lực lượng khởi đầu cho sự nghiệp phát triển kinh tế xã hội, đem đến cho
mỗi quốc gia nền văn minh và những tiến bộ không ngừng của khoa học, kĩ
thuật. Ngày nay, trong thời kì cơng nghiệp hoá – hiện đại hoá đất nước, nhất
là trong nền kinh tế tri thức, vai trò của người tài càng tăng lên gấp bội.
Chính vì thế, bồi dưỡng học sinh giỏi là bước đi đầu tiên để đào tạo nhân
tài cho đất nước và là nhiệm vụ quan trọng của ngành giáo dục.

1.1.1

Học sinh giỏi và bồi dưỡng học sinh giỏi

Học sinh giỏi là những học sinh có năng khiếu, tài năng, năng lực tốt ở
một hay nhiều môn học hay lĩnh vực nào đó, ngồi ra học sinh giỏi cần có
sự sáng tạo, phải thể hiện được động cơ học tập mãnh liệt và đạt được trình
độ xuất sắc trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Bồi dưỡng học sinh giỏi chính là hoạt động nhằm nâng cao trình độ,
kiến thức, kỹ năng cho học sinh một cách có hệ thống trong một số mơn học
nhất định để phục vụ cho việc học tập ở mức cao hơn và phát huy được hết
năng lực của học sinh trong lĩnh vực đó.
Bồi dưỡng học sinh giỏi là tạo ra mơi trường và những điều kiện thích
hợp cho người học có thể phát huy hết năng lực của mình, cùng với việc tiếp
nhận một cách thông minh, hiệu quả. Với vai trò quan trọng hàng đầu của


5

người thầy mà cốt lõi phải giúp được cho người học về phương pháp học,
cách nghiên cứu, tư duy, biết tự đánh giá, đồng thời biết sử dụng các phương
tiện hiện đại để tìm kiếm, thu thập, xử lý thơng tin nhằm mục đích tự học
và tự bồi dưỡng.

1.1.2

Khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường
THPT không chuyên

Đối với các trường không chuyên, mặc dù công tác bồi dưỡng học sinh

giỏi đã được Ban giám hiệu nhà trường coi trọng, là một trong những mục
tiêu mũi nhọn nhưng còn nhiều hạn chế. Những hạn chế này được xuất phát
từ các nguyên nhân chủ yếu sau:
- Do khơng có chương trình riêng như học sinh chun, các tài liệu do
các giáo viên tự nghiên cứu, tự sưu tầm, tự soạn trong điều kiện giáo viên
dạy phải đảm bảo các u cầu khác nên cịn thiếu tính hệ thống, tính liên
thơng trong chương trình.
- Quy chế ưu tiên cho học sinh giỏi nói chung chưa có. Do đó, học sinh
chưa yên tâm, chưa đầu tư hết thời gian cơng sức cho các mơn mình có thế
mạnh mà đầu tư cho khối thi đại học.
- Phần nhiều kiến thức cịn xa lạ, nhiều kiến thức khơng có trong chương
trình sách giáo khoa, đặc biệt là các môn thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên.
Do đó, việc tiếp cận đối với học sinh gặp nhiều khó khăn.

1.2

Tư duy và vai trị của tư duy
Trong q trình dạy học nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng

thì một nội dung quan trọng bậc nhất đó là hình thành và phát triển năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh. Chính vì vậy luận văn “Dạy học đa thức
bậc bốn và các dạng toán liên quan cho học sinh khá giỏi ở THPT” chủ yếu
đi sâu vào phân tích định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh giỏi
trong việc tiếp cận và giải quyết các bài toán.


6

1.2.1

Khái niệm về tư duy

Theo từ điển tiếng Việt (1988), tư duy là: “Giai đoạn cao nhất của quá
trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự
vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán và suy lý”.
Theo tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn, tư duy là: “Một q
trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan
mà trước đó ta chưa biết”.
Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong
quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh
thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư
duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động
và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy
của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những
kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là
q trình trừu tượng hố, phân tích và tổng hợp. Kết quả của q trình tư
duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.
Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản của tư duy:
- Tư duy là sản phẩm của bộ não người và là một quá trình phản ánh
tích cực thế giới khách quan.
- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.
- Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng
được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của
con người nhằm phản ánh đối tượng.
- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ

thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.


7

1.2.2

Các bước hoạt động của quá trình tư duy

Tư duy là một hoạt động trí tuệ với q trình gồm 4 bước cơ bản. Cụ
thể như sau:
- Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy
(tức là tìm được câu hỏi cần giải đáp).
- Bước 2: Huy động trí tuệ, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả
thuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi.
- Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn. Nếu giả thiết đúng thì
thực hiện tiếp bước sau, nếu giả thiết sai thì phủ định nó và hình thành giả
thiết mới.
- Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa vào sử dụng.

1.2.3

Vai trò của tư duy

Tư duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh thể hiện qua việc
tạo ra các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ được chọn lọc và kích thích
chúng hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định
hướng cho hành vi phù hợp với môi trường sống. Tư duy là sự hoạt động, là
sự vận động của vật chất. Tư duy cũng không phải là ý thức bởi ý thức là
kết quả của quá trình vận động của vật chất.

Cách nhìn nhận trên đây có thể cịn chưa trọn vẹn nhưng đã hàm chứa
được hai vai trò quan trọng của tư duy và một yêu cầu không thể thiếu trong
quá trình tư duy là sự ghi nhớ.
Sự ghi nhớ này là kinh nghiệm, là tri thức. Tư duy trong ghi nhớ là trả
về cho đối tượng trong sự ghi nhớ các thành phần đúng của nó, bổ sung các
thành phần cịn thiếu, phân biệt nó với các đối tượng ghi nhớ khác, tìm ra
mối liên hệ và ảnh hưởng qua lại của đối tượng với các sự vật, sự việc, đối
tượng khác. Đây là q trình nhận thức lý tính, nhận thức bằng tư duy. Nó
phân biệt với nhận thức cảm tính là nhận thức khơng có tư duy. Nhận thức
lý tính giúp cho sự hiểu biết và ghi nhớ về đối tượng nhiều hơn những cái
mà đối tượng cung cấp cho sự ghi nhớ của hệ thần kinh, đối tượng được hiểu
sâu hơn, được xem xét, đánh giá toàn diện hơn và kỹ càng hơn, được nhận
thức đúng đắn hơn. Tư duy bổ sung những cái còn thiếu trong quá trình hệ


8

thần kinh ghi nhớ về đối tượng. Sau khi giúp hệ thần kinh nhận thức đúng
về đối tượng, tư duy tiếp tục giúp hệ thần kinh định hướng điều chỉnh hành
vi đáp ứng sự tác động của đối tượng nếu cần thiết hoặc có yêu cầu.

1.3

Sáng tạo
Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng việt, sáng tạo là: “Tìm ra cái mới,

cách giải quyết vấn đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội
dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và
có lợi ích (giá trị hơn cái cũ)”.
Theo bách khoa toàn thư, sáng tạo là: “Hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã
hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người. Sáng tạo là hoạt động
có tính đặc trưng là không lặp lại, độc đáo và duy nhất”.
Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài
người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một
quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như
là một năng lực của con người.

1.4

Tư duy sáng tạo và những biện pháp phát triển
tư duy sáng tạo

1.4.1

Các quan điểm về tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm về tư duy sáng tạo.
Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán
là những điều cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những
mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ
nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện cái mới, tìm ra hướng đi mới, tạo
ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới khơng có nghĩa là coi nhẹ cái cũ”.
Theo Tơn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc
lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và
theo tác giả “Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó khơng bị gị bó phụ
thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt ra mục


9

đích vừa trong việc tìm ra giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều
mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó”.
Trong cuốn: “Sáng tạo Toán học”. G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có
thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các
bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số
lượng ngày càng lớn, có dạng mn màu mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của
tư duy càng cao, thí dụ: lúc cố gắng của người giải vạch ra được các phương
thức giải áp dụng cho những bài tốn khác. Việc làm của người giải có thể
sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài tốn tuy khơng
giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ hiệu quả”.
The định nghĩa thông thường và phổ biến nhất hiện nay của tư duy
sáng tạo thì đó là sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến
những tri thức mới về thế giới và các phương tiện hoạt động. I.Lecne đã chỉ
ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng
tạo.
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”.
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.
- Kỹ năng nhình thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm
hiểu lời giải (khả năng xem đối tượng ở những phương thức đã biết thành
một phương thức mới).
- Kỹ năng kết hợp những phương thức giải đã biết thành một phương
thức mới.
- Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác (I.Lecne – Dạy học nêu vấn đề - NXBGD – 1977) Nói
chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra những ý tưởng
mới độc đáo và có hiệu quả trong giải quyết vấn đề.

1.4.2

Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoa
học giáo dục. . . về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy được năm


10

thành tố cơ bản sau:
Tím mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề,
tính hồn thiện.
Ngồi năm thành phần cơ bản đó cịn có những yếu tố quan trọng như
tính chính xác năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại. . . Trong các yếu
tố trên thì 3 yếu tố đầu (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là
ba yếu tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các cơng trình nghiên cứu về cấu
trúc của tư duy sáng tạo. Do đó tác giả cũng xin được đề cập đến ba yếu tố
đó của tư duy sáng tạo.
a. Tính mềm dẻo
Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển
từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật
hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những
mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật
và điều phán đốn. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách
dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính
mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:
- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng

hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp,
diễn dịch, tương tự.
- Suy nghĩ không dập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những
kinh nghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hồn cảnh mới trong đó
có nhiều yếu tố đã thay đổi, có khả năng thốt khỏi ảnh hưởng kìm hãm
của những kinh nghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từ
trước. . .
- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức
năng mới của đối tượng quen biết.
Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy
sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh chúng ta có thể
cho các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm
dẻo của tư duy.
b. Tính nhuần nhuyễn


11

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố
riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng sáng tạo ra một số
lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều
khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số
lượng làm nảy sinh chất lượng.
Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau
đây:
- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải tốn, khả năng tìm được nhiều
lời giải trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề
cần giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất
được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu.

- Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn
sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khơng phải nhìn
bất phiến, phiến diện, cứng nhắc.
c. Tính độc đáo
Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng:
- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài
tưởng như khơng có sự liên hệ với nhau.
- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ .
Các yếu tố cơ bản nói trên khơng thể tách rời nhau mà trái lại chúng có
quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng chuyển từ
hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, tạo điều kiện cho việc tìm
được nhiều giải pháp trên góc độ và tình huống khác nhau, nhờ đó đề xuất
được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc.
Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở học
sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Trong học tập toán mà cụ thể là trong
hoạt động giải toán, các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử
dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương
tự hoá. . .
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trưng
nhất của tư duy sáng tạo.


12

Ví dụ 1.1. Giải phương trình

2 − sin2 x + sin x 2 − sin2 x = 3.

sin x +

(1.1)

Phân tích: Đây là phương trình lượng giác đối với một hàm số lượng giác
nên học sinh có thể lựa chọn cho mình cách giải là đặt ẩn phụ t = sin x với
điều kiện kèm theo của t và chuyển phương trình lượng giác trên về phương
trình đại số quen thuộc. Đó chính là biểu hiện của tính nhuần nhuyễn trong
q trình tư duy sáng tạo.
Ta có cách giải 1:
Đặt t = sin x, với t ∈ [−1; 1]. Khi đó phương trình (1.1) trở thành:

t+

2 − t2 + t 2 − t2 = 3.

(1.2)

Học sinh dễ dàng nhận ra dạng tổng quát hay sử dụng với phương trình (1.2)
√
bằng cách đặt u = t + 2 − t2 .
Hướng 1: Không quan tâm đến điều kiện của u, ta có bước giải tiếp theo như
sau. Phương trình (1.2) trở thành:

u2 − 2
= 3 ⇔ u2 + 2u − 8 = 0.
2
hay hoặc u = 2 hoặc u = −4.
+) Nếu u = −4 thì ta có
u+

t+

2 − t2 = −4 ⇔

2 − t2 = −4 − t.

hay

t ≤ −4
2 − t2 = (t + 4)2 .
Hệ trên vô nghiệm do điều kiện của t là t ∈ [−1; 1] .
√
√
+) Nếu u = 2 thì ta có t + 2 − t2 = 2 ⇔ 2 − t2 = 2 − t
hay

t≤2
2 − t2 = (2 − t)2 .
do đó t = 1.
Khi đó phương trình có nghiệm x =

π
+ k2π.
2


13

Hướng 2: Nếu học sinh quan tâm đến điều kiện của ẩn phụ u thì ta có thể
loại được nghiệm u = −4.

Hướng 3: Không cần đặt ẩn phụ u mà tiến hành giải phương trình đại số ẩn

t theo phương pháp hàm số ta cũng được nghiệm duy nhất t = 1.
Hướng 4: Tính mềm dẻo, tính độc đáo trong tư duy của người làm tốn là
khả năng nhìn nhận bài tốn quen thuộc dưới góc độ mới. Tư việc tư duy đó
đẫn đến hướng giải quyết bài tốn bằng phương pháp vectơ và toạ độ. Cụ
thể:
Trong hệ toạ độ Oxy chọn các vectơ có toạ độ
→
−
u = sin x; 1;

−
2 − sin2 x , →
v = 1;

2 − sin2 x; sin x

√
−
−
Suy ra |→
u | = |→
v | = 3.
−
−
Ta có →
u .→
v = sin x + 2 − sin2 x + sin x

−
−
2 − sin2 x;|→
u | . |→
v | = 3.
−
−
−
−
Phương trình đã cho trở thành →
u .→
v = |→
u | . |→
v |. Điều này xảy ra khi và
sin x
1
2 − sin2 x
→
−
→
−
chỉ khi u và v cùng hướng hay
=
>0⇔
=
1
sin x
2 − sin2 x
π
sin x = 1 ⇔ x = + k2π.

2
Từ nội dung bài toán trên cùng các phương pháp giải quyết đặc trưng giáo
viên có thể hướng dẫn học sinh tự sáng tác các bài toán tương tự.
1.4.3

Một số biện pháp nhằm bồi dưỡng và phát triển tư duy
sáng tạo thông qua dạy học mơn Tốn

1.2.3.1. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp bồi dưỡng các hoạt động trí
tuệ khác cho học sinh
Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh cần tiến hành trong mối
quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như phân tích, tổng hợp, so
sánh, tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá, hệ thống hố trong đó hoạt
động phân tích tổng hợp đóng vai trị quan trọng.
Chẳng hạn, để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy,
học sinh cần được luyện tập thường xuyên các kỹ năng, kỹ xảo, năng lực,
tiến hành phân tích kết hợp với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều
khía cạnh khác nhau. Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép
tương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khai


14

thác mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hoá; làm rõ mối quan hệ chung
riêng, giữa quan hệ mệnh đề xuất phát với mệnh đề tìm được bằng đặc biệt
hố và hệ thống hố.
Ta có thể rèn luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu toán học, tạo
khả năng tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau;
khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngồi tưởng như
khơng có liên hệ với nhau, khả năng tìm giải pháp lạ hoặc duy nhất. Các

hoạt động này nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo của tư
duy.
1.2.3.2. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả
năng khơi dạy những ý tưởng mới, phát hiện những vấn đề mới
Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu
tạo ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức
mới. Chú ý thường xuyên rèn luyện cho học sinh suy luận có lý (thơng qua
việc quan sát, so sánh, đặc biệt hoá, khái quát hoá, quy nạp, tương tự. . . )
để học sinh có thể tự tìm tịi, tự dự đốn quy luật của thế giới khách quan;
tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, tìm ra hướng giải của bài tốn.
Việc thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ
điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tịi để phát hiện và
giải quyết vấn đề.
1.2.3.3. Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo
Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của
tư duy sáng tạo: Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo. Khai thác
từ nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất những câu hỏi có vần đề để học
sinh suy nghĩ và rèn luyện các yếu tố trên.
Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư
duy sáng tạo như: Những bài tập có cách riêng đơn giản hơn là áp dụng cơng
thức tổng qt để khắc phục “tính ỳ”; những bài tập có nhiều cách giải khác
nhau, địi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương
pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với
nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra
đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận; những bài tốn “khơng
theo mẫu”, khơng đưa được về các loại tốn giải bằng cách áp dụng các định


15

lý, quy tắc trong chương trình.
1.2.3.4. Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài cần tiến hành ở
tất cả các khâu của quá trình dạy học
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành
thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, mang tính hệ thống cao,
trong tất cả các khâu của q trình dạy học chính khố cũng như những
hoạt động trải nghiệm sáng tạo. Cần tạo cho học sinh có dịp được rèn luyện
khả năng tư duy sáng tạo trong việc tốn học hố các tình huống thực tế,
trong việc viết báo toán với những bài toán tự sáng tác cách giải mới, những
kết quả khai thác từ các bài tập đã giải. . .
Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá. Các
đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lực tư
duy sáng tạo của học sinh. Học sinh có thể hồn chỉnh các đề kiểm tra đó
trên cơ sở bộc lộ rõ nét tư duy sáng tạo của bản thân chứ không phải chỉ là
học tủ, vận dụng kiến thức thiếu sáng tạo.
1.2.3.5. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh
Tư duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và
nhiệm vụ của người thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét
các đối tương và hiện tượng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối
mẫu thuẫn và trong sự phát triển.
Tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp chúng ta giải quyết
vấn đề và định hướng tìm tịi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta củng cố lịng
tin khi trong việc tìm tịi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững
lịng tin rằng rồi sẽ có ngày thành cơng và hướng tìm đến thành cơng là cố
nhìn mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng
tốt.
Tư duy sáng tạo là loại hình tư duy đặc trưng bởi hoạt động và suy nghĩ
nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một phương diện
mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn

toàn mới, xem xét sự vật hiện tượng về mối quan hệ theo một cách mới có ý
nghĩa, có giá trị. Muốn đạt được điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng
ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó dưới nhiều khía cạnh khác


16

nhau, đặt nó vào những hồn cảnh khác nhau,. . . như thế mới giải quyết vấn
đề một cách sáng tạo được. Mặt khác tư duy biện chứng đã chỉ rõ khi xem
xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó,
tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng
thể các mối quan hệ phong phú, phức tạp và mn vẻ của nó với các sự vật
khác. Đây là cơ sở để học sịnh học tốn một cách sáng tạo, khơng gị bó, đưa
ra nhiều cách giải khác nhau. Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện
tư duy biện chứng cho học sinh hay nói cách khác là rèn luyện tư duy biện
chứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện được tư duy sáng tạo cho học sinh.
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng với mọi x ∈ [1; 3] thì

√

x−1+

√

3 − x ≤ 2.

(1.3)

Trước hết chúng ta chưa nêu lời giải của bài toán ngay mà hãy đặt trong
những mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài tốn dưới nhiều

góc độ khác nhau để tìm phương án giải quyết tối ưu nhất, sáng tạo nhất.
Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức chúng ta có thể đề xuất nhiều
phương án tiếp cận khác nhau để tìm ra lời giải cho bài tốn.
Hướng 1: Tiếp cận bằng các phương pháp chứng minh cơ bản của bất đẳng
thức như phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức trong
chương trình SGK phổ thơng.
Cách 1: Phương pháp biến đổi tương đương. Ta có (1.3) tương đương

(x − 1) (3 − x) ≤ 1 ⇔ (x − 2)2 ≥ 0.
Điều này luôn đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Cách 2: Phương pháp đánh giá.
√
√
Đặt T = x − 1 + 3 − x, ta có T 2 = 2 + 2

1 − (x − 2)2 ≤ 4 ⇒ T ≤ 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức cơ bản.
+) Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có

x

 1 (x − 1) ≤
2

 1. (3 − x) ≤ 4 − x .
2

17

√
x − 1 + 3 − x ≤ 2.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
√
√
Ta có T = x − 1 + 3 − x suy ra

Suy ra

√

T 2 = 2 + 2 (x − 1) (3 − x) ≤ 2 + (x − 1) + 3 − x = 4 ⇒ T ≤ 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
+) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

√
√
T 2 = 1. x − 1 + 1. 3 − x

2

≤ 12 + 12 (x − 1 + 3 − x) = 4 ⇒ T ≤ 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Hướng 2: Tiếp cận dưới góc độ đại số.
Cách 4: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình đối xứng.
√
√

Ta tìm y0 để phương trình y0 = x − 1 + 3 − x có nghiệm.
√
√
Đặt u = x − 1, v = 3 − x (u, v ≥ 0). Khi đó ta có hệ phương trình

 u + v = y0
u + v = y0
⇔
1 2
 uv =
y −2 .
u2 + v 2 = 2
2 0
Hệ phương trình có nghiệm khơng âm khi và chỉ khi phương trình t2 − y0 t +
1
2

y02 − 2 = 0 có hai nghiệm khơng âm. Điều này tương đương với

∆≥0



√
y0 ≥ 9
⇔ 2 ≤ y0 ≤ 2


 1 y2 − 2 ≥ 0
2 0

Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.
Hướng 3: Tiếp cận dưới góc độ giải tích.
√
√
Cách 5: Xét hàm số y = x − 1 + 3 − x, x ∈ [1; 3]. Ta có

y = √

x−1+

√

4 − 2x
3−x
(x − 1) (3 − x)

y =0⇔x=2
√
√
Ta có y (1) = 2, y (3) = 2, y (2) = 2.
Vậy ta có max y = 2, hay y ≤ 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2.


18

Hướng 4: Tiếp cận dưới góc độ lượng giác. Từ điều kiện 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ −1 ≤

x − 2 ≤ 1. Đặt x − 2 = cos α, α ∈ [0; π] . Khi đó ta có
√

√
√
α
α
α π
= 2 sin
+
≤ 2.
T = 1 + cos α + 1 − cos α = 2 cos + sin
2
2
2 4
α π
π
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi + = 2 ⇔ α = hay x = 2.
2 4
2
Hướng 5: Tiếp cận dưới góc độ hình học.
√
√
→
−
−
Cách 7: Đặt →
a = (1; 1) , b =
x − 1; 3 − x .
→
−
→
−

−
−
Bất đẳng thức đã cho trở thành: →
a . b = |→
a | . b (điều này luôn đúng).
→
−
−
Dấu “=” xảy ra khi và chi khi →
a , b cùng hướng.
√

√

= 3−x
> 0 ⇔ x = 2.
1
Hướng 6: Tư duy theo phương pháp phản chứng.
√
√
Cách 8: Giả sử tồn tại x0 ∈ [1; 3] sao cho x0 − 1 + 3 − x0 > 2.
√
√
Ta có x0 − 1 + 3 − x0 > 2 ⇔ (x0 − 1) (3 − x0 ) > 1 ⇔ (x0 − 2)2 < 0
(vơ lý).
Vậy điều giả sử là sai. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra
khi và chỉ khi x = 2.
Nhận xét. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khai thác bài toán (1.3)
nhằm mục đích áp dụng giải các lớp bài tốn có nội dung tương tự, linh hoạt
khi chuyển hướng tư duy để phát triển các bài tốn có nơi dung khó hơn.

+) Áp dụng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
T = x − 1 + 3 − x.
√
+) Áp dụng 2: Xác định các giá trị của m để phương trình x − 1 +
√
3 − x = m có nghiệm.
√
√
+) Áp dụng 3: Giải và biện luận phương trình x − 1 + 3 − x = m.
√
√
+) Áp dụng 4: Xác định m để bất phương trình x − 1 + 3 − x ≥ m
có nghiệm.
√
√
+) Áp dụng 5: Giải phương trình x − 1 + 3 − x = x2 − 4x + 6.
√
√
+) Áp dụng 6: Xác định m để phương trình x − 1+ 3 − x+ (x − 1) (3 − x) =
m có nghiệm.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh mở rộng bài toán 1 theo hướng tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng tổng quát hơn như:
√
√
√
√
T = n x − 1 + n 3 − x hoặc T = a x − 1 + b 3 − x hoặc
√

√
T =anx−1+bn3−x
Điều này xảy ra khi

x−1
1