Luận Văn thạc sĩ DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Trịnh Ngọc Ẩn (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trịnh Ngọc Ẩn

DẠY HỌC KHÁI NIỆM VI PHÂN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG

Chun ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu
trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên
Trung, người đã ln động viên, tận tình hướng dẫn tơi về mặt nghiên cứu khoa học và
góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn này.
Tơi cũng trân trọng kính lời cảm ơn đến:
 PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh,
TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Vũ Như Thư Hương. Mỗi thầy cơ đã tận tình giảng dạy,
truyền thụ những tri thức q báu cho chúng tơi về didactic Tốn thật sinh động,
cụ thể và đầy ý nghĩa.
 Đặc biệt, TS. Vũ Như Thư Hương, sau chuyên đề Hợp đồng Didactic, cô còn dành
một buổi làm việc để hướng dẫn cho lớp tơi các kỹ năng cần thiết về tin học khi
trình bày một luận văn.
Và tôi cũng chân thành biết ơn:
 Phịng Sau Đại Học, Khoa Tốn - Tin trường ĐH Sư Phạm TP HCM đã tạo điều
kiện thuận lợi cho chúng tôi trong thời gian học tập tại đây.
 Các bạn trong lớp cao học khóa 24 đã chia sẻ, động viên nhau để hoàn thành luận
văn.
 Sở GD&ĐT tỉnh Tiền Giang, Ban Giám Hiệu, thầy cô trường THPT Vĩnh Kim –
Tiền Giang đã tạo điều kiện về mọi mặt giúp tơi được tham gia khóa học. Đặc
biệt, thầy Hồ Quang Đức đã hỗ trợ tôi rất nhiều về mặt chuyên môn.
 Thầy cô và học sinh trường THPT Nguyễn Đình Chiểu – Tiền Giang và trường
THPT Chợ Gạo – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực
nghiệm.

Cuối cùng, tôi không thể quên công ơn của những người thân trong gia đình. Đó là,
cha mẹ và hai em tôi đã tạo mọi điều kiện tốt nhất, là hậu phương vững chắc giúp tơi n
tâm hồn thành khóa học.
Trịnh Ngọc Ẩn


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

Trang

Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ ................ 10
1.1. Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx .................................................................. 13
1.2. Tiếp cận định nghĩa vi phân ............................................................................ 14
1.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 14
1.2.2. Định nghĩa các vi phân ............................................................................. 17
1.3. Phân tích các tổ chức toán học ........................................................................ 20
1.4. Kết luận chương 1 ........................................................................................... 30
Chương 2. PHÂN TÍCH CÁC SÁCH GIÁO KHOA TOÁN PHỔ THƠNG ....... 34
2.1. Phân tích chương trình .................................................................................... 34
2.2. Phân tích sách giáo khoa ................................................................................. 35
2.2.1. Hoạt động tiếp cận.................................................................................... 35
2.2.2. Định nghĩa vi phân ................................................................................... 36

2.2.3. Ứng dụng của vi phân vào tính gần đúng .................................................. 39
2.3. Phân tích các tổ chức tốn học ........................................................................ 41
2.3.1. Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình chuẩn............................................ 41
2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ trong chương trình nâng cao ....................................... 45
2.3.3. Các kiểu nhiệm vụ trong sách giáo khoa Việt Nam tham chiếu với giáo
trình Mỹ.................................................................................................. 48


2.4. Kết luận chương 2 ........................................................................................... 52
Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ......................................................... 55
3.1. Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm ........................................... 55
3.2. Nội dung thực nghiệm ..................................................................................... 55
3.2.1. Thực nghiệm 1 ......................................................................................... 56
3.2.2. Thực nghiệm 2 ......................................................................................... 57
3.3. Phân tích a priori ............................................................................................. 62
3.3.1. Tổ chức thực nghiệm ................................................................................ 62
3.3.2. Phân tích a priori thực nghiệm 1 ............................................................... 62
3.3.3. Phân tích a priori thực nghiệm 2 ............................................................... 65
3.4. Phân tích a posteriori ....................................................................................... 68
3.4.1. Phân tích a posteriori thực nghiệm 1 ......................................................... 68
3.4.2. Phân tích a posteriori thực nghiệm 2 ......................................................... 80
3.5. Kết luận chương 3 ........................................................................................... 88
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

CT:

Chương trình

GT_M:

Giáo trình Mỹ

HS:

Học sinh

KNV:

Kiểu nhiệm vụ

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

SGK_CB:

Sách giáo khoa giải tích 11 cơ bản

SGK_NC:

Sách giáo khoa giải tích 11 nâng cao

SGK_VN:

Sách giáo khoa Việt Nam

SGV:

Sách giáo viên

THPT:

Trung học phổ thông

tr. :

Trang


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 1.1. Thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ trong GT_M .. 31
Bảng 1.2. Bảng liệt kê ý nghĩa của vi phân qua phân tích tổ chức tốn học ................ 32
Bảng 2.1. Bảng tham chiếu việc thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu
nhiệm vụ trong GT_M và SGK_VN ......................................................... 49
Bảng 2.2. Bảng tham chiếu ý nghĩa của vi phân có thể xuất hiện thơng qua các tổ chức
tốn học .................................................................................................... 50
Bảng 3.1. Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 1a ....................................... 69
Bảng 3.2. Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑥 trong câu hỏi 1b .................... 71
Bảng 3.3. Thống kê câu trả lời của HS về việc tính 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b .................... 73
Bảng 3.4. Thống kê câu trả lời của HS về ý nghĩa của 𝑑𝑥 𝑣à 𝑑𝑦 trong câu hỏi 1b ...... 74

Bảng 3.5. Thống kê câu trả lời của HS trong câu hỏi 1c ............................................. 76
Bảng 3.6. Thống kê câu trả lời của HS cho đề về tính gần đúng trong câu hỏi 1c .... .. 77
Bảng 3.7. Thống kê các câu trả lời của HS trong câu hỏi 2 ........................................ 79
Bảng 3.8. Thống kê các chiến lược giải của các nhóm ở pha 1 ................................... 81


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Trang
Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài tốn xác định tiếp tuyến ............................................ 3
Hình 1.1. Qui trình mơ hình tốn học ......................................................................... 11
Hình 1.2. Minh họa định nghĩa các vi phân ................................................................ 19


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
 Từ các kết quả khoa học luận
Theo tác phẩm Giới thiệu lịch sử tốn học của Howard Eves (1969) “phép lấy vi
phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài tốn vẽ các tiếp tuyến của các đường cong
và tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của một hàm số” [5, tr.375].
Theo Lê Thị Hoài Châu, Trần Thị Mỹ Dung (2004) “mặc dầu có nhiều nhà tốn
học dần tiếp cận với các phép tính vi – tích phân, nhưng Newton – Leibniz mới được
coi là người phát minh ra phép tính vi – tích phân một cách độc lập” [1, tr.23].
Tiếp tuyến và đạo hàm cổ điển đi đôi với nhau và gắn liền với hai nhà toán học
Newton, Leibniz. Tuy nhiên tiến trình xây dựng hai khái niệm này của hai nhà toán
học khác nhau:
-

Newton xây dựng khái niệm đạo hàm từ bài toán vận tốc tức thời và từ khái
niệm này, ơng giải quyết bài tốn tiếp tuyến.

-

Leibniz xuất phát từ việc giải quyết bài toán tiếp tuyến đã đưa ra khái niệm vi
phân và xây dựng đạo hàm theo khái niệm này. Leibniz được cho là người
đầu tiên dùng kí hiệu

dy
để chỉ đạo hàm.
dx

Chúng tơi tìm được một số nghiên cứu đề cập đến các kết quả tri thức luận liên
quan đến mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
-

Khóa luận nghiệp vụ của N.Chaboud và D.Hedde (2000) với nhan đề: Tiếp
tuyến và đạo hàm phải chăng là một cặp?

-

Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007) với nhan đề: Mối liên hệ giữa
tiếp tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm.
Từ đó các câu hỏi có thể được đặt ra:


2
Đâu là mối liên hệ giữa tiếp tuyến và vi phân? Bài tốn tiếp tuyến có thể nảy

sinh khái niệm vi phân như thế nào?
 Từ các kết quả nghiên cứu thể chế Việt Nam
Sách giáo viên Đại số và Giải tích lớp 11 (bộ cơ bản) của tác giả Trần Văn Hạo
(tổng chủ biên) (2010) có đoạn viết như sau: “Theo quy định của chương trình, trong
sách giáo khoa khái niệm này chỉ được đưa ra một cách nhẹ nhàng, chủ yếu là để có
kí hiệu sử dụng sau này” [6, tr.175]. Như vậy làm sao để giới thiệu vi phân “một cách
nhẹ nhàng”? Những ý nghĩa nào học sinh sẽ hình thành với cách tiếp cận “nhẹ nhàng”
của SGK về khái niệm này?
Khi tìm vi phân của một hàm số y  f  x  , ta chỉ cần áp dụng công thức
dy  f '  x  dx một cách hình thức. Như vậy, vi phân và đạo hàm có gì khác nhau?

Vi phân là một bài cuối cùng của chương trình 11 và ứng dụng của vi phân là
tính gần đúng của hàm. Trong khi đó, hiện nay cơng cụ máy tính hỗ trợ việc tính gần
đúng, như vậy tại sao học sinh phải học vi phân?
1.2. Tổng quan về các cơng trình nghiên cứu liên quan đến đề tài
Đầu tiên, chúng tôi xem xét một số nghiên cứu về khái niệm đạo hàm (chủ đề
gần với nghiên cứu của chúng tôi) trong một số luận văn thạc sĩ cùng chuyên ngành.


Luận văn thạc sĩ của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp

tuyến và đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm
Trước hết, tác giả nêu đặc trưng khoa học luận về mối quan hệ của tiếp tuyến và
đạo hàm qua 4 giai đoạn. Kết quả nghiên cứu của tác giả đã cho thấy Leibniz xây dựng
các vi phân từ bài toán xác định tiếp tuyến như sau:


3

Hình 0. Xây dựng vi phân từ bài tốn xác định tiếp tuyến

Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 0). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành
độ 𝐴𝑋 = 𝑥 và tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu 𝑑𝑥 đơn giản là đoạn thẳng được
lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ
với 𝑑𝑥 cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh) được gọi là dy.
Như vậy, vi phân của hàm số dy được xác định bởi đẳng thức

dy
y
.

dx XD

Sau đó, Leibniz đã đưa ra các quy tắc tính tốn liên quan đến việc lấy vi phân của
hằng số, tổng, hiệu, tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng
các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số

dy
, từ đó xác định được tiếp ảnh XD.
dx

Như vậy, Leibniz quan niệm “tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến và hệ số
góc của tiếp tuyến là tỉ số các vi phân

dy
” [9, tr.11].
dx

Tiếp theo, tác giả phân tích mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở
cấp độ tri thức cần giảng dạy thơng qua phân tích chương trình SGK Pháp (bộ SGK
Déclic Maths – Hachette livre 2002) và SGK_VN (SGK chỉnh lí hợp nhất 2000, SGK

thí điểm bộ 2 lớp 11 và SGK thí điểm bộ 2 lớp 12).
Cuối cùng, tác giả nghiên cứu thực nghiệm kiểm chứng tính thích đáng của giả
thuyết nghiên cứu: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,
giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine
không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ”.


Luận văn thạc sĩ của Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về

khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông


4
Tác giả nghiên cứu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong một số giáo trình bậc
đại học. Tiếp theo, tác giả phân tích chương trình và sách giáo khoa Tốn phổ thơng
của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái niệm
này qua các thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp nhất (năm 2000) và lớp 11, 12 hiện hành để
thấy được những ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam trên khái niệm đạo hàm.
Bên cạnh đó, chúng tơi cịn tìm thấy những kết quả liên quan đến luận văn của chúng
tơi, đó là hai kiểu nhiệm vụ sau:
Kiểu nhiệm vụ T4: “Tìm vi phân của hàm số y = f(x)”.
Kiểu nhiệm vụ T5: “Tính gần đúng một giá trị”.

Đối với kiểu nhiệm vụ “tính gần đúng một giá trị”, tác giả nhận xét như sau:
Vấn đề tính gần đúng nhờ vi phân chưa thực sự được thể chế quan tâm. SGK_CB
đưa ra khái niệm vi phân chỉ nhằm mục đích giới thiệu kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥, nhằm
phục vụ cho chương tiếp theo là Nguyên hàm và Tích phân. Trong các lời giải mà
SGK và SBT đề nghị cũng không nêu rõ cách chọn x0 và x thế nào [13, tr.51]?

Chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả này trong phần phân tích các tổ chức tốn học liên

quan đến khái niệm vi phân trong chương trình hiện hành.


Luận văn thạc sĩ của Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong

dạy học Tốn và Vật lí ở trường trung học phổ thông
- Tác giả đã chỉ ra được hai đặc trưng cơ bản của khái niệm đạo hàm là đặc trưng
tốc độ biến thiên và đặc trưng xấp xỉ, cùng với nó là vai trị của hai đặc trưng này
trong các ứng dụng của vật lí.
- Tác giả đã một lần nữa khẳng định: Theo kết quả nghiên cứu của các tác giả
trước thì mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine cũng không được hình thành trong
quan hệ cá nhân của học sinh, thế nên nghĩa xấp xỉ cũng không thể xuất hiện.
Chúng tơi tìm được một số kết quả liên quan đến luận văn như sau:
- Về chứng minh công thức vi phân một tích của Leibniz
Leibniz nói rằng: " d ( xy) có thể xem như hiệu của hai tích xy liên tiếp, một cái là

xy còn cái kia là ( x  dx)( y  dy) , vậy nên:


5
d ( xy)  ( x  dx)( y  dy)  xy  xdy  ydx  dx.dy

Số hạng dx.dy mà theo Leibniz thì “nhỏ khơng đáng kể so với các số hạng còn
lại” nên sẽ được “khử” đi. Vì vậy, ta sẽ có cơng thức vi phân của một tích là:
d ( xy)  xdy  ydx [4, tr.20].

- Về đặc trưng xấp xỉ của đạo hàm
Ý nghĩa hình học của đạo hàm như là hệ số góc của tiếp tuyến lại được trình bày
tách rời với đặc trưng xấp xỉ của nó. Cơng thức f ( x 0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x để
tính gần đúng khơng được xây dựng qua con đường xấp xỉ hình học mà lại đi từ

định nghĩa đạo hàm theo giới hạn. Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường
thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn
giản hơn khơng được làm rõ [4, tr.55].


Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Cẩm Trinh (2010), Nghiên cứu

didactic về x trong toán học và trong vật lý
Sau khi phân tích chương trình và các bộ sách giáo khoa tốn học (Đại số và Giải
tích 11 ban cơ bản và ban nâng cao, Giải tích 12 ban cơ bản và ban nâng cao của
chương trình hiện hành) và bộ SGK vật lý (chương trình cơ bản và nâng cao), tác giả
đưa ra hai giả thuyết sau:
H1: Trong các bài tập có mặt x, học sinh thao tác x như là một đại lượng phụ thuộc
vào x bằng cách dựa vào 2 đẳng thức
x = .x
x = x - xo
H2: Tồn tại các quy tắc
R1: x có giá trị vơ cùng bé
R2: Nếu nằm trong mơ hình vật lý, dấu của x là dấu của đại lượng vật lý liên quan.
Nếu nằm ngồi mơ hình vật lý, dấu của x là dấu dương.

Trong thể chế Vật lí, tác giả đưa ra kết luận rằng: x được đưa vào khi học cơ học
nghiên cứu các chuyển động của chất điểm, x được dùng để chỉ số gia của một đại


6
lượng nào đó và có thể được định nghĩa x = x2 - x1, x = x – xo. Nói chung, x xuất
hiện trong vật lí chủ yếu đóng vai trị kí hiệu.
Trong thể chế dạy học tốn, tác giả lại chỉ ra: x mặc dù xuất hiện với vai trị cơng cụ
trong việc tính đạo hàm bằng định nghĩa và tính gần đúng bằng vi phân, tuy nhiên vai

trị cơng cụ của x trong tốn học là khá mờ nhạt.
Bên cạnh đó, tác giả đã chỉ ra được sự hợp lí của kí hiệu ∆𝑥 = 𝑑𝑥 trong vi phân
Khi đề cập đến khái niệm vi phân ta lại có x = dx mà dx là kí hiệu viết tắt xuất
phát từ tiếng Latin differentia có nghĩa là “hiệu” dùng để chỉ hiệu hai giá trị của
biến số x. Do đó, mặc dù việc dùng kí hiệu x trong chương trình trung học phổ
thơng gây ra một số nhầm lẫn nhưng nó vẫn được sử dụng vì lý do lịch sử và phù
hợp với kiến thức đã biết về x trong vật lý. Hơn nữa, kí hiệu này nhấn mạnh số
gia đang xét tại điểm x, phù hợp với ý nghĩa của việc đưa vào định nghĩa đạo hàm
và trình độ của học sinh phổ thơng trung học [14, tr.45].



Luận án của Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale

dans l’enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la
France et le Vietnam.
Trong cơng trình này, tác giả đã thực hiện một nghiên cứu so sánh về dạy học đối
tượng tích phân ở Pháp và Việt Nam. Sau đây là một số kết quả mà chúng tôi quan
tâm:
- Leibniz (1675) đã dùng kí hiệu 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 để chỉ các lượng vơ cùng bé của 𝑥 và 𝑦
khi chưa có khái niệm giới hạn và dùng

dy
để chỉ tỉ số giữa dy và dx, trong đó dy và
dx

dx là hai lượng vô cùng bé của y và của x.
- Việc xem xét một số sách chuyên khảo cho thấy ý nghĩa của các kí hiệu vi phân
như sau:
+ Bourbaki (1949) xem 𝑑𝑥 chính là ∆𝑥 số gia của biến 𝑥.

+ Fiktengolz (1968) định nghĩa 𝑑𝑥 là vi phân của hàm y  x và 𝑑𝑦 = 𝑦𝑥′ 𝑑𝑥. Các
sách giáo khoa hiện hành của Việt Nam định nghĩa vi phân theo cách này.


7
- Sau khi nghiên cứu sách giáo khoa Giải tích 12 của chương trình chỉnh lí hợp
nhất (năm 2000), tác giả đã rút ra ba giá trị công cụ và kí hiệu của vi phân dx trong kí
hiệu tích phân :
+ Giá trị kí hiệu của “thừa số đại số”,
+ Giá trị kí hiệu và cơng cụ của “chỉ dẫn biến số lấy tích phân”,
+ Giá trị cơng cụ của “thừa số vi phân”.
Như vậy kết quả của Trần Lương Cơng Khanh đã cho thấy những vai trị cơng cụ
của vi phân trong phép tính tích phân. Từ đó chúng tơi xác định rõ lại câu hỏi ban đầu
của mình theo phương diện toán học và phương diện dạy học tốn ở trường phổ thơng
như sau :
-

Phương diện tri thức luận:

Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng?
Bài tốn tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân
như thế nào? Vai trị cơng cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích
phân?
-

Phương diện dạy và học tốn:

Học sinh hiểu khái niệm vi phân như thế nào sau khi học?
1.3. Xác định lại vấn đề nghiên cứu
Qua tổng hợp các công trình nghiên cứu trên, chúng tơi nhận thấy chưa có luận

văn nào nghiên cứu đến khái niệm vi phân. Các luận văn về đạo hàm, tích phân có đề
cập đến vi phân nhưng ở một khía cạnh nào đó. Ví dụ như: kí hiệu vi phân, ứng dụng
của đạo hàm là công cụ xấp xỉ nhờ vào vi phân. Thêm vào đó, từ những ghi nhận ban
đầu trong việc nghiên cứu khoa học luận và thể chế dạy học ở Việt Nam, chúng tôi
chọn đề tài Dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông để thực hiện
nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ. Cụ thể chúng tôi nghiên cứu khái niệm vi phân trên
hai phương diện: phương diện khoa học luận và phương diện dạy học tốn ở bậc trung
học phổ thơng ở Việt Nam như đã trình bày trên đây.


8
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, chúng tơi đặt nghiên cứu
trong phạm vi của didactic tốn, mà cụ thể là thuyết nhân học trong didactic toán
(quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân), lý thuyết tình huống.
3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu
3.1. Mục tiêu nghiên cứu
- Làm rõ ý nghĩa và vai trị cơng cụ của khái niệm vi phân ở cấp độ tri thức bác học.
- Tìm hiểu quan niệm của học sinh về khái niệm vi phân.
3.2. Câu hỏi nghiên cứu
Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, câu hỏi nghiên cứu của chúng
tôi là:
CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi phân và đạo hàm?
Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong có thể làm nảy
sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trị cơng cụ nào của vi phân ngoài mối liên hệ
với phép tính tích phân?
CH2 - Về phương diện dạy học tốn bậc THPT: Đâu là mối quan hệ thể chế của khái
niệm vi phân trong thể chế dạy học toán bậc THPT hiện hành?
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích - tổng hợp :

+ Phân tích giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals
(seventh edition) Mỹ để trả lời cho các câu hỏi trong nhóm CH1- Về phương diện khoa
học luận. Các kết quả này sẽ được dùng làm tham chiếu để phân tích SGK_VN.
+ Phân tích sách giáo khoa Việt Nam (Đại số và Giải tích 11, cơ bản và nâng cao)
bằng công cụ của thuyết nhân học trong Didactic để trả lời cho câu hỏi CH2.
- Phương pháp thực nghiệm:


9
+ Với hình thức bộ câu hỏi điều tra quan niệm của học sinh về ảnh hưởng của
quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng tình huống để làm nảy sinh nghĩa
khái niệm vi phân. Việc xây dựng và phân tích thực nghiệm được thực hiện với các
cơng cụ của lí thuyết tình huống.
+ Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12, đã học khái niệm vi phân.
5. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung chính và kết luận
Trong phần mở đầu, chúng tơi trình bày: Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất
phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu, phương pháp
nghiên cứu và cuối cùng là cấu trúc của luận văn.
Trong phần nội dung chính của chúng tơi gồm 3 chương:
Chương 1. Phân tích một giáo trình Calculus của Mỹ. Trong chương này,
chúng tơi phân tích giáo trình Calculus Early Transcendentals (seventh edition, 2013)
của James Stewart, nhà xuất bản Cengage Learning, United States (gọi tắt là GT_M)
để xác định nghĩa của khái niệm vi phân, mối quan hệ với đạo hàm và các tổ chức toán
học tham chiếu xoay quanh khái niệm vi phân.
Chương 2. Phân tích các sách giáo khoa tốn phổ thơng của Việt Nam (Đại số
và Giải tích 11 cơ bản và nâng cao của chương trình hiện hành).
Chương 3. Xây dựng bộ câu hỏi khảo sát học sinh để nghiên cứu ảnh hưởng
của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân và xây dựng bài toán để làm nảy sinh nghĩa
khái niệm vi phân.

Phần kết luận, chúng tôi sẽ nêu lên các kết quả đạt được từ luận văn.


10

Chương 1. PHÂN TÍCH MỘT GIÁO TRÌNH CALCULUS CỦA MỸ

Mục tiêu của chương
Ở chương này, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình James Stewart (2013),
Calculus Early Transcendentals (seventh edition) của Mỹ để đi tìm các yếu tố trả lời
cho nhóm câu hỏi: CH1 - Về phương diện khoa học luận: Đâu là sự khác nhau giữa vi
phân và đạo hàm? Đâu là mối liên hệ giữa chúng? Bài toán tìm tiếp tuyến của đường
cong có thể làm nảy sinh khái niệm vi phân như thế nào? Vai trị cơng cụ nào của vi
phân ngoài mối liên hệ với phép tính tích phân?
Các kết quả về phương diện khoa học luận ở chương này được dùng làm cơ sở
tham chiếu để chúng tơi phân tích thể chế dạy học ở Việt Nam của chương sau.
Lý do chọn giáo trình
Chúng tơi chọn giáo trình James Stewart (2013), Calculus Early Transcendentals
(seventh edition) của Mỹ để phân tích trong luận văn của mình vì đây là một trong
những cuốn giáo trình tiêu biểu của xu hướng dạy học về phép tính vi tích phân hàm
một biến bằng mơ hình hóa tốn học. Quan điểm của tác giả về mơ hình hóa tốn học
như sau:
Một mơ hình tốn học là một mơ tả tốn học (thường bằng phương tiện của một
hàm hoặc một phương trình) của một hiện tượng trong thế giới thực như: kích
thước của một dân số, nhu cầu về một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật thể, nồng
độ của một sản phẩm trong phản ứng hóa học, tuổi thọ của một người từ khi được
sinh ra, hoặc chi phí giảm giá trong kinh doanh. Mục đích của mơ hình là để hiểu
hiện tượng này và có lẽ để đưa ra dự đoán về hành vi trong tương lai [16, tr.23].

Qua mỗi lần tái bản, tác giả cập nhật những ví dụ từ thực tiễn, xây dựng một khái

niệm theo hướng mơ hình hóa qua sơ đồ minh họa dưới đây:


11

Vấn đề

Xây dựng

thực tế

Mơ hình

Giải

tốn học

Kết quả

Giải thích Dự báo

tốn học

thực tế

Kiểm tra

Hình 1.1 Qui trình mơ hình tốn học
[16, tr.23]
Hình 1.1 tác giả minh họa q trình mơ hình hóa tốn học qua bốn giai đoạn:

Giai đoạn đầu tiên, tác giả xây dựng một mơ hình tốn học từ một vấn đề thực tế bằng
cách xác định và đặt tên cho các biến độc lập và biến phụ thuộc và làm cho các giả
định đơn giản hóa các hiện tượng, đủ để làm cho nó dễ xử lý bằng toán học. Giai đoạn
hai, áp dụng các kiến thức toán học đã biết vào mơ hình tốn học mà tác giả đã xây
dựng để rút ra các kết luận toán học. Sau đó khi bước sang giai đoạn ba, tác giả dùng
những kết luận tốn học đó giải thích chúng như những thông tin ban đầu về hiện
tượng trong thế giới thực bằng cách đề nghị những lời giải thích hoặc đưa ra dự đoán.
Giai đoạn cuối cùng là kiểm tra những dự đoán với dữ liệu thực tế. Nếu những dự
đốn khơng phù hợp thực tế thì phải cải tiến mơ hình hoặc xây dựng mơ hình mới và
bắt đầu lại chu trình. Cuối cùng, tác giả đưa ra nhận xét về một mơ hình tốn học như
sau:
Một mơ hình tốn học khơng bao giờ là một đại diện hồn tồn chính xác của một
tình huống vật lý – nó chỉ là một sự lý tưởng hóa. Một mơ hình tốt giúp đơn giản
hóa thực tế nhưng đủ để thực hiện các phép tính tốn học chính xác và cũng đủ để
cung cấp các kết luận có giá trị. Điều quan trọng là nhận ra những hạn chế của mơ
hình [16, tr.23].

Bên cạnh đó, chúng tơi chọn giáo trình này vì nó được tác giả soạn theo quan
điểm dạy học giúp người học khám phá tri thức: “Nghệ thuật dạy học là nghệ thuật của
sự giúp đỡ khám phá” [16, tr.XI]. Tác giả đề cao việc hiểu khái niệm của học sinh và
xem nó là mục tiêu chính của nghiên cứu giải tích. Vì vậy tác giả tiếp cận một khái
niệm dựa trên ba yếu tố: hình học, số học và đại số. Cụ thể như sau:


12
Trọng tâm là việc hiểu khái niệm. Tôi nghĩ tất cả mọi người gần như đồng ý rằng
đây là mục tiêu chính của việc dạy giải tích. Thật ra, động lực thúc đẩy phong trào
cải cách giải tích hiện nay đến từ hội nghị Tulane vào năm 1986, đề nghị đầu tiên
được phát biểu là:
“Tập trung vào việc hiểu khái niệm”.

Tôi đã cố gắng thực hiện mục tiêu này thông qua ba quy tắc: “Các chủ đề được
trình bày về phương diện hình học, về phương diện số và phương diện đại số”.
Trực quan hóa, thực nghiệm số và đồ thị; và những cách tiếp cận khác đã làm thay
đổi cách dạy lý do tồn tại của khái niệm trong những cơ sở khác nhau [16, tr.XI].

Vì vậy, khai thác tốt giáo trình sẽ rất hữu ích cho chúng tơi trong việc thực hiện đề tài
dạy học khái niệm vi phân ở trường trung học phổ thông.
Cuối cùng, chúng tôi chọn giáo trình này để phân tích vì nó bàn sâu về các nội
dung giải tích được dạy trong chương trình phổ thơng của Việt Nam và những năm
đầu Đại học của những ngành Khoa học kĩ thuật và Kinh tế. Quyển giáo trình này
được sử dụng trong chương trình Cao đẳng Đại học hay dự bị Đại học ở Mỹ. Tuy
nhiên học sinh THPT cũng có thể chọn khóa học liên quan đến nội dung tốn trong
giáo trình này để học trước khi vào bậc Cao đẳng – Đại học.
Vị trí của khái niệm vi phân trong giáo trình
Khái niệm vi phân nằm ở chương 3 Differentiation Rules (các qui tắc tính tính vi
phân) thuộc mục 3.10 Linear approximations and differentials (phép xấp xỉ tuyến tính
và vi phân). Trước mục này, khái niệm đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm của nhiều
dạng hàm số đã được nghiên cứu.


13
1.1. Lần đầu xuất hiện kí hiệu dy và dx
Kí hiệu 𝑑𝑦 và 𝑑𝑥 không xuất hiện riêng mà đi kèm với nhau và được viết là
Giáo trình đưa kí hiệu

dy
.
dx

dy

vào chương hai Limits and Derivatives (giới hạn và đạo
dx

hàm), nó như là một kí hiệu khác của đạo hàm:
Nếu sử dụng kí hiệu truyền thống y  f  x  để chứng tỏ rằng giá trị độc lập là 𝑥 và
giá trị phụ thuộc là y, thì một số kí hiệu chung khác cho đạo hàm là như sau:
f ' x  y ' 

Kí hiệu

dy df d


f  x   Df  x   Dx f  x 
dx dx dx

dy
được giới thiệu bởi Leibniz, không nên xem như là một tỉ số (cho đến
dx

thời điểm này), nó đơn giản chỉ là đồng nghĩa với f '  x  . Tuy nhiên, nó là kí hiệu
rất hữu dụng và gợi nhớ, đặc biệt khi sử dụng kết hợp với kí hiệu số gia. Liên hệ
với phương trình 2.7.6 chúng ta có thể viết lại kí hiệu định nghĩa đạo hàm của
Leibniz dưới dạng hình thức
dy
y
 lim
[16, tr.157].

x


0
dx
x

Kí hiệu này chỉ đạo hàm tại một điểm 𝑥 bất kì mà ở đó hàm số khả vi. Đạo hàm
của hàm số tại một điểm 𝑥 = 𝑎 cụ thể được viết như sau: “Nếu chúng ta cần chỉ ra giá
trị của đạo hàm
hiệu

dy
dx

hoặc
xa

dy
trong kí hiệu của Leibniz tại một số a đặc biệt, chúng ta sử dụng kí
dx
dy 
dx  x  a

nó đồng nghĩa với f '  a  ” [16, tr.157].

Nhận xét
𝑑𝑦, 𝑑𝑥 xuất hiện trong kí hiệu

dy
được giới thiệu như một kí hiệu khác của kí
dx

hiệu đạo hàm, chứ khơng mang nghĩa là một thương.


14
1.2. Tiếp cận định nghĩa vi phân
1.2.1. Hoạt động tiếp cận
Trước khi đưa ra khái niệm vi phân, giáo trình giới thiệu phép xấp xỉ tuyến tính
một cách trực quan thông qua việc quan sát đường cong và đường thẳng tiếp tuyến
trong khoảng lân cận của tiếp điểm có hồnh độ a.
Chúng ta nhìn thấy đường cong nằm rất gần một đường thẳng tiếp tuyến tại điểm
tiếp xúc. Thật ra, bằng cách phóng to xung quanh một điểm trên đồ thị của hàm
khả vi, chúng ta nhận thấy rằng đồ thị trông càng giống như đường thẳng tiếp
tuyến. Quan sát này là cơ sở cho một phương pháp tìm giá trị gần đúng của hàm.

Ý tưởng là ta có thể dễ dàng để tính được một giá trị 𝑓(𝑎) của một hàm, nhưng lại
khó (hoặc ngay cả khơng thể) tính các giá trị tại lân cận a của 𝑓. Vì vậy, chúng ta
chuyển sang tính một cách dễ dàng các giá trị của hàm tuyến tính L có đồ thị là
đường thẳng tiếp tuyến của 𝑓 tại (𝑎, 𝑓(𝑎)). (xem hình 1)


15
Nói cách khác, chúng tơi sử dụng đường thẳng tiếp tuyến tại (𝑎, 𝑓 (𝑎)) là một xấp
xỉ với đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) khi 𝑥 gần 𝑎. Một phương trình của đường thẳng tiếp
tuyến này là
𝑦 = 𝑓 (𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)
và xấp xỉ

f  x   f  a   f '  a  x  a 
được gọi là xấp xỉ tuyến tính hay xấp xỉ đường thẳng tiếp tuyến của 𝑓 tại 𝑎. Hàm

tuyến tính mà đồ thị là đường thẳng tiếp tuyến có phương trình là

L  x   f  a   f '  a  x  a 
được gọi là tuyến tính hóa của 𝑓 tại 𝑎 [16, tr.250 – 251].

Sau đó giáo trình đưa ra ví dụ sử dụng phép xấp xỉ tuyến tính để tính xấp xỉ một số và
giới thiệu khái niệm ước lượng trên.
Ví dụ 1. Tìm tuyến tính hóa của hàm số f  x   x  3 tại 𝑎 = 1 và sử dụng nó
để tính xấp xỉ của số

3.98 và

4.05 . Đây là những ước lượng trên hay ước

lượng dưới?
Giải
Đạo hàm của f  x   x  3 là f '  x  
và

f ' 1 

1
.
4

Thế

những

1

và vì thế chúng ta có f 1  2
2 x3

giá

trị

này

vào

phương

trình

L  x   f  a   f '  a  x  a 

Chúng ta có hàm tuyến tính hóa là
L  x   f 1  f ' 1 x  1  2 

Tương
4.05 

ứng

xấp

xỉ

7 1.05


 2.0125
4
4

tuyến

tính

là

1
7 x
 x  1  
4
4 4

3.98 

7 0.98

 1.995
4
4

và


16

Xấp xỉ tuyến tính được minh họa trong hình 2. Chúng ta thấy, trên thực tế, các
đường tiếp tuyến xấp xỉ là một xấp xỉ tốt từ hàm số đã cho khi 𝑥 gần 1. Chúng ta
cũng thấy xấp xỉ của chúng là ước lượng trên bởi vì đường tiếp tuyến nằm trên
đường cong.
Tất nhiên, một máy tính có thể cho chúng ta xấp xỉ của

3.98 và

4.05 nhưng

xấp xỉ tuyến tính cho một xấp xỉ trên tồn bộ một khoảng.
Trong bảng dưới đây chúng ta so sánh ước lượng từ xấp xỉ tuyến tính trong ví dụ
1 với giá trị đích thực. Chú ý từ bảng này và cũng từ hình 2, mà đường xấp xỉ
tuyến tính cho ước lượng tốt khi 𝑥 gần 1 nhưng tính chính xác của xấp xỉ sẽ khơng
cịn nữa khi 𝑥 xa 1
𝑥

Từ 𝐿(𝑥)

Giá trị thực

3.9

0.9

1.975

1.97484176…

3.98

0.98

1.995

1.99499373…

4

1

2

2.00000000…

4.05 1.05

2.0125

2.01246117…

4.1

1.1

2.025

2.02484567…

5

2

2.25

2.23606797…

6

3

2.5

2.44948974…
[16, tr.251]