(Luận văn thạc sĩ) phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thông qua dạy học quan hệ song song trong không gian hình học 11

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẮM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHÔNG GIAN - HÌNH HỌC 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẮM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TỐN CHO HỌC SINH
THƠNG QUA DẠY HỌC QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHÔNG GIAN - HÌNH HỌC 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN

CHUN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(Bộ mơn Tốn)
Mã số: 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tơi. Với tình
cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới các Thầy, các Cô trong Trường
Đại học Giáo dục – ĐHQG Hà Nội đã quan tâm, giúp đỡ tơi trong q trình học tập và
thực hiện đề tài này.
Đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS.TS Bùi Văn Nghị, Thầy
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong q trình hồn thành Luận văn này. Nhân
dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn đến Sở Giáo dục và Đào tạo Bắc Ninh, cảm ơn Ban
giám hiệu, thầy cơ trong tổ Tốn trường THPT Thuận Thành số 2 – Bắc Ninh, cảm
ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và Phương pháp dạy học Bộ mơn Tốn khóa
8, các em học sinh, người thân trong gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên
tôi thực hiện đề tài này.
Cuối cùng, dù rất tâm huyết và hết sức cố gắng song bản luận văn chắc chắn
cịn nhiều thiếu sót. Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và các bạn
đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Thắm

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

: Ý nghĩa

ĐC

: Đối chứng

GV

: Giáo viên

HHKG

: Hình học khơng gian

HS

: Học sinh

NXB

: Nhà xuất bản

SGK

: Sách giáo khoa

TDTT

: Tư duy thuật toán

THPT

: Trung học phổ thông

TN

: Thực nghiệm

TNSP

: Thực nghiệm sư phạm

ii


MỤC LỤC
Lời cảm ơn ...............................................................................................................i
Danh mục các chữ viết tắt........................................................................................ii
Mục lục ................................................................................................................. iii
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................... 5
1.1. Quy trình thuật tốn và quy trình tựa thuật tốn ............................................... 5
1.1.1. Quy trình thuật tốn ....................................................................................... 5
1.1.2. Quy trình tựa thuật tốn ................................................................................. 7
1.2. Tư duy, tư duy thuật toán ................................................................................ 13
1.2.1. Tư duy ......................................................................................................... 13
1.2.2. Tư duy thuật toán ......................................................................................... 14
1.3. Dạy học giải bài tập tốn trong trường phổ thơng ........................................... 15
1.3.1. Vai trị của bài tập trong q trình dạy học. .................................................. 15

1.3.2. Vai trị của tư duy thuật tốn trong dạy học mơn tốn .................................. 15
1.3.3. Rèn luyện tư duy thuật toán trong dạy học giải bài tập toán ......................... 16
1.4. Một số thực tiễn dạy học quan hệ song song trong không gian ở trường THPT ........ 16
1.4.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian,
quan hệ song song ................................................................................................. 16
1.4.2. Nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song. 18
1.4.3. Một số khó khăn của học sinh khi học nội dung đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian, quan hệ song song ..................................................................... 20
1.5. Tiểu kết chương 1 ........................................................................................... 22
Chương 2: TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ VẬN DỤNG MỘT
SỐ TỰA THUẬT TOÁN TRONG GIẢI TỐN VỀ QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHƠNG GIAN ....................................................................................... 23
2.1. Phương hướng phát triển tư duy thuật toán cho học sinh ................................. 23
2.2. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng một số quy trình tựa thuật toán
để giải những bài toán về quan hệ song song trong không gian .............................. 25
2.2.1. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai điểm chung phân biệt ................................... 25
iii


2.2.2. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng bằng cách tìm một điểm chung và phương của đường thẳng đó 34
2.2.3. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định giao điểm
của đường thẳng và mặt phẳng .............................................................................. 45
2.2.4. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình xác định thiết diện
của hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng ................................................................. 52
2.2.5. Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng quy trình chứng minh đường
thẳng song song với mặt phẳng.............................................................................. 73
2.3. Tiểu kết chương 2 ........................................................................................... 78
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................... 80

3.1. Mục đích, nhiệm vụ, kế hoạch thực nghiệm sư phạm ...................................... 80
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 80
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .................................................................. 80
3.1.3. Kế hoạch thực nghiệm sư phạm ................................................................... 80
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 80
3.2.1. Các giáo án thực nghiệm .............................................................................. 80
3.2.2. Giáo án cụ thể .............................................................................................. 81
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm .......................................................... 96
3.3.1. Phiếu đánh giá giờ dạy thực nghiệm sư phạm của giáo viên ......................... 96
3.3.2. Đề bài kiểm tra đánh giá sau giờ dạy thực nghiệm sư phạm ......................... 97
3.3.3. Kết quả bài kiểm tra ..................................................................................... 98
3.4. Tiểu kết chương 3 ........................................................................................... 99
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ...................................................................... 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 101
PHỤ LỤC............................................................................................................ 103

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Bảng thống kê điểm........................................................................... 98
Bảng 3.2. Bảng tần số........................................................................................ 98

v


DANH MỤC CÁC BIỂU, CÁC HÌNH
Hình 1.1 .................................................................................................................. 8
Hình 1.2 .................................................................................................................. 8
Hình 1.3 ................................................................................................................ 10

Hình 2.1 ................................................................................................................ 26
Hình 2.2 ................................................................................................................ 28
Hình 2.3 ................................................................................................................ 32
Hình 2.4 ................................................................................................................ 32
Hình 2.5 ................................................................................................................ 33
Hình 2.6 ................................................................................................................ 34
Hình 2.7 ................................................................................................................ 35
Hình 2.8 ................................................................................................................ 35
Hình 2.9 ................................................................................................................ 36
Hình 2.10............................................................................................................... 36
Hình 2.11............................................................................................................... 37
Hình 2.12............................................................................................................... 37
Hình 2.13............................................................................................................... 39
Hình 2.14............................................................................................................... 42
Hình 2.15............................................................................................................... 44
Hình 2.16............................................................................................................... 44
Hình 2.17............................................................................................................... 45
Hình 2.18............................................................................................................... 46
Hình 2.19............................................................................................................... 48
Hình 2.20............................................................................................................... 51
Hình 2.21............................................................................................................... 51
Hình 2.22............................................................................................................... 53
Hình 2.23............................................................................................................... 54
Hình 2.24............................................................................................................... 56
Hình 2.25............................................................................................................... 60
Hình 2.26............................................................................................................... 61
Hình 2.27............................................................................................................... 62
vi

Hình 2.28............................................................................................................... 63
Hình 2.29............................................................................................................... 64
Hình 2.30............................................................................................................... 65
Hình 2.31............................................................................................................... 68
Hình 2.32 ............................................................................................................. 69
Hình 2.33 ............................................................................................................. 69
Hình 2.34............................................................................................................... 69
Hình 2.35............................................................................................................... 70
Hình 2.36 ............................................................................................................. 71
Hình 2.37 ............................................................................................................. 71
Hình 2.38............................................................................................................... 71
Hình 2.39............................................................................................................... 71
Hình 2.40............................................................................................................... 72
Hình 2.41............................................................................................................... 72
Hình 2.42............................................................................................................... 74
Hình 2.43............................................................................................................... 77
Hình 2.44............................................................................................................... 77
Hình 2.45............................................................................................................... 78
Hình 3.1 ................................................................................................................ 82
Hình 3.2 ................................................................................................................ 84
Hình 3.3 ................................................................................................................ 88
Hình 3.4 ................................................................................................................ 90
Hình 3.5 ................................................................................................................ 92
Hình 3.6 ................................................................................................................ 94
Sơ đồ 2.1. Các bước hình thành một quy trình tựa thuật tốn ................................. 24
Sơ đồ 2.2: Sơ đồ khối quy trình tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng ...... 50

vii

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tư duy thuật toán (TDTT) có vai trị quan trọng trong q trình giải quyết các
cơng việc. Trong mơn tốn, có nhiều dạng tốn được giải quyết nhờ thuật tốn và
các quy trình tựa thuật tốn, như thuật tốn giải phương trình bậc hai, quy trình bốn
bước giải bài tốn của Polya.... Thực tế dạy học mơn Tốn cho thấy những dạng
tốn có thuật tốn, có quy trình giải tốn, có sự phân chia thành các bước để giải
quyết thì học sinh dễ dàng tiếp thu lĩnh hội tri thức, kỹ năng hơn.
“Trong phần lớn các trường hợp, kết quả hoạt động của con người phụ thuộc
vào mức độ thuật tốn hóa các hoạt động của mình. Nhờ kinh nghiệm có được, khi
giải quyết một loại cơng việc, người ta biết: Cần phải có những hoạt động gì? Mỗi
hoạt động có những thao tác gì? Thứ tự các thao tác như thế nào? Việc tìm ra một
dãy các hoạt động, các thao tác, theo đó giải quyết được vấn đề, có thể xem như đã
xây dựng được được một thuật tốn nào đó, mà việc tuân theo nó một cách “máy
móc” sẽ dẫn đến kết quả” (Dẫn theo Bùi Văn Nghị [9, tr 18 - 25]).
Việc tìm ra thuật tốn, quy trình tựa thuật toán để giải một dạng toán nào đấy,
vừa phát triển tư duy thuật tốn, vừa góp phần rèn luyện các thao tác trí tuệ cho học
sinh, như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, …. Hơn nữa,
nó cịn hình thành cho học sinh những phẩm chất chất trí tuệ và những phẩm chất
tốt đẹp của người lao động.
Tuy nhiên ở trong nhà trường phổ thông hiện nay, vấn đề phát triển TDTT
chưa được quan tâm đúng mức. Nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa có sự chỉ đạo
và tài liệu hướng dẫn cho giáo viên thực hiện. Do đó, đa số giáo viên chưa biết cách
khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm phát triển TDTT cho học sinh.
Hình học khơng gian (HHKG) là một nội dung khó đối với học sinh và là nội
dung khó giảng dạy đối với nhiều giáo viên. Có một tỷ lệ khá lớn học sinh học kém
về HHKG, có tư tưởng ngại và sợ bài tập HHKG. Nguyên nhân là học sinh thường
yếu về trí tưởng tượng khơng gian, khó khăn trong việc vận dụng lý thuyết đã học
để giải quyết các bài tập, giáo viên cũng chưa quan tâm, đầu tư cho giờ dạy. Đặc
biệt, giáo viên và học sinh chưa biết cách khai thác, xây dựng các thuật toán và các

quy tắc tựa thuật toán để giải quyết về các bài toán HHKG.
1


Nội dung chương quan hệ song song trong HHKG trong chương trình mơn
tốn THPT có chứa nhiều dạng tốn có thể giải được nhờ những quy trình tựa thuật
tốn. Đó là những quy trình dể xác định hình, để chứng minh về quan hệ song song.
Đó là những điều kiện thuận lợi để phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.
Theo Nguyễn Bá Kim (1994): “Hiện nay định nghĩa thuật tốn, những tính
chất và những hình thức biểu diễn thuật toán đang được nghiên cứu để đưa vào dạy
tường minh trong nhà trường phổ thơng. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc
phát triển tư duy thuật tốn, chuẩn bị cho việc học về máy tính điện tử và làm việc
với công cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp khái niệm thuật toán chưa
được đưa ra một cách tường minh vào chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học
sinh tư duy thuật tốn theo phương hướng rèn luyện cho họ những khả năng nhất
định như những thành tố của phương pháp tư duy này” [3].
Trong sách giáo khoa Hình học 11 hiện hành, tuy khơng có dạng tốn nào
được nêu cách giải theo quy trình thuật tốn, nhưng đã có những câu hỏi gợi ra việc
tìm các quy trình thuật tốn, như: “Nêu phương pháp chứng minh đường thẳng song
song với đường thẳng; đường thẳng song song với mặt phẳng; mặt phẳng song song
với mặt phẳng.” [16, tr 77]
Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài, cơng trình nghiên cứu về việc phát
triển tư duy thuật toán cho học sinh thơng qua dạy học mơn tốn ở trường THPT.
Chẳng hạn như:
- Luận án Tiến sĩ “Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học
các hệ thống số ở trường phổ thông” của Dương Vương Minh năm 1996.
- Bài báo “Khả năng phát triển tư duy thuật giải trong giải toán HHKG” của
Bùi Văn Nghị, đăng trên Tạp chí NCGD tháng 10/1996.
- Luận văn thạc sĩ “Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh THPT
thông qua dạy học nội dung lượng giác 11” của Nguyễn Thanh Bình năm 2000.

- Luận văn thạc sĩ “Rèn luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải tốn
có ứng dụng bất đẳng thức ở trương trung học phổ thơng” của Lê Đình Khương
năm 2007.
- Luận văn thạc sĩ “Phát triển tư duy thuật toán cho học sinh thơng qua dạy
học dạng tốn về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11 nâng cao THPT”
của Nguyễn Thị Loan năm 2009.
2


- Luận văn thạc sĩ “ Phát triển tư duy thuật tốn cho học sinh thơng qua dạy học
giải tốn tổ hợp chương trình lớp 11, ban nâng cao” của Kiều Văn Vượng năm 2013.
Với những lý do nêu trên và để không trùng lặp với những đề tài đã công bố,
đề tài được chọn là: “Phát triển tư duy thuật tốn cho học sinh thơng qua dạy học
quan hệ song song trong khơng gian- hình học 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh lớp 11 phát hiện và vận dụng một
số quy trình tựa thuật toán để giải những bài toán về quan hệ song song trong không
gian nhằm phát triển tư duy thuật tốn cho học sinh.
3. Khách thể nghiên cứu
Chương trình SGK Hình học 11 và thực tiễn bồi dưỡng và phát triển tư duy
thuật toán cho học sinh.
4. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình phát triển TDTT cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học quan hệ
song song trong không gian.
5. Giả thuyết nghiên cứu
Nếu khai thác được những quy trình tựa thuật tốn để giải những lớp bài tốn
về quan hệ song song trong không gian và vận dụng chúng trong dạy học một cách
thích hợp thì sẽ góp phần phát triển tư duy thuật toán cho học sinh lớp 11 THPT.
6. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu nội dung quan hệ song song trong khơng gian theo chương

trình sách giáo khoa Hình học 11, NXB giáo dục, năm 2012.
- Vấn đề phát triển TDTT cho học sinh lớp 11.
7. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa và hiểu rõ những vấn đề liên quan tới tư duy thuật tốn.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật toán cho
học sinh về quan hệ song song trong không gian.
- Đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh lớp 11 phát hiện và vận dụng một
số quy trình tựa thuật tốn để giải những bài tốn về quan hệ song song trong khơng
gian nhằm phát triển tư duy thuật toán cho học sinh.

3


8. Phương pháp nghiên cứu
8.1. Nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lý học, giáo dục học, lý luận và phương
pháp dạy học mơn Tốn liên quan đến tư duy thuật tốn.
- Các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.
8.2. Điều tra
Sử dụng phiếu điều tra, xin ý kiến của giáo viên về các tiết dạy thực nghiệm
sư phạm với nội dung quan hệ song song trong không gian theo hướng phát triển tư
duy thuật toán cho học sinh.
8.3 Thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thực nghiệm sư phạm một số nội dung của luận văn tại trường THPT
Thuận Thành số 2, Bắc Ninh, để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Tập luyện cho học sinh phát hiện và vận dụng một số tựa thuật
toán trong giải toán về quan hệ song song trong không gian

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

4


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Quy trình thuật tốn và quy trình tựa thuật tốn
1.1.1. Quy trình thuật toán
a) Thuật toán
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức
tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mơ tả q trình
giải bài tốn đó. Từ việc mơ tả q trình ấy, người ta đi đến khái niệm trực giác về
thuật toán.
Theo Bùi Văn Nghị (1996): “Thuật toán là một khái niệm cơ bản, được hiểu
như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực
hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất
định ”. [10, trang 16 - 18]
Theo Nguyễn Bá Kim (2011): “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như
một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự, kết thúc sau một
số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp
bài tốn thành thơng tin ra (OUTPUT) mơ tả lời giải bài tốn đó.”[6, trang 376]
Theo Vương Dương Minh (1996): “Thuật giải là một quy tắc chính xác và
đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định
trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác ta thu được kết
quả mong muốn.”[7, trang 12]
Theo bách khoa toàn thư mở Wikipedia: Thuật giải là một tập hợp hữu hạn
của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số
sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt
để thì sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán.

Từ những quan niệm trên có thể thấy rằng, quan niệm về thuật tốn (thuật
giải) của các nhà khoa học có thể có sự khác nhau về mặt ngơn ngữ biểu đạt, nhưng
bản chất của chúng thống nhất với nhau, đều quan niệm rằng thuật tốn (thuật giải)
là một quy trình gồm các bước, với việc thực hiện theo các bước đó sẽ đi đến lời
giải bài toán.

5


Bởi vậy, trong luận này này chúng tôi đồng nhất thuật ngữ “thuật tốn” và
“thuật giải”.
b) Tính chất của thuật tốn
Thuật tốn có những tính chất cơ bản sau:
Tính đơn trị: Mỗi thao tác trong thuật toán phải đơn trị; nghĩa là hai chủ thể
(người/ máy) thực hiện cùng một thao tác thì phải cho cùng một kết quả. Nhờ đó ta có
thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế cho con người.
Tính dừng: Sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác phải đi đến kết
thúc, không được lặp lại mãi.
Tính phổ dụng: Thuật tốn phải áp dụng được cho một lớp các bài tốn có cùng
cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau.
Từ ba tính chất cơ bản nói trên, có thể suy ra một số tính chất sau:
Tính khách quan: Một thuật tốn dù được viết bởi nhiều người trên nhiều
máy tính vẫn phải cho kết quả như nhau.
Tính đúng đắn: Thuật tốn phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết
đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn, không cho phép kết quả
sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp.
Ngồi ra người ta thường chú ý tới tính chất nang cao của thuật tốn là tính
hiệu quả (tính tối ưu): thực hiện nhanh, tốn ít thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian,
đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn.
c) Các hình thức biểu diễn thuật tốn

Thuật tốn tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong mơn tốn và trong thực
tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật tốn sau: Ngơn ngữ tự nhiên và
ngơn ngữ tốn học; sơ đồ khối; ngơn ngữ phỏng trình và các ngơn ngữ lập trình.
d) Quy trình thuật tốn
“Quy trình là một trình tự phải tn theo để tiến hành một cơng việc nào đó”. [12]
Một quy trình có thể chia thành các bước; mỗi bước là một hoạt động nhằm
một mục đích nhất định; một hoạt động có thể có nhiều thao tác.
Quy trình thuật tốn được hiểu là quy trình thực hiện các bước của một thuật
tốn nào đó.
Ví dụ 1.1. Thuật tốn giải phương trình bậc hai gồm các bước sau:
6


Bước 1: Xác định hệ số a,b, c.
Bước 2: Tính biệt thức   b 2  4ac hoặc '  b' 2  ac
Bước 3: Xét dấu  hoặc  ' từ đó kết luận.
+) Nếu   0 hoặc  '  0 thì phương trình vơ nghiệm.
+) Nếu   0 hoặc  '  0 thì phương trình có nghiệm có nghiệm kép
x1  x2 

b
b '
hoặc x1  x2 
.
2a
a

+) Nếu   0 hoặc '  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt



b  
b '  '
 x1 
 x1 
2a
a

hoặc 


b  
b '  '
.
 x1 
 x1 
2a
a



1.1.2. Quy trình tựa thuật tốn
Trong luận văn này chúng tơi đồng nhất một số thuật ngữ sau: “quy trình tựa
thuật tốn”, “quy trình có tính chất thuật tốn”, “quy trình tựa thuật giải”.
Theo Bùi Văn Nghị (1996): Trong nhà trường phổ thơng, “Một quy trình có
tính chất thuật tốn là; (1) quy trình có một trình tự xác định, các thao tác nối tiếp
nhau được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp; (2) Các thao tác được chỉ dẫn rõ
ràng, chính xác;(3) Theo quy trình, người thực hiện nhất định sẽ đi đến kết quả của
bài toán; Nếu kết quả chưa có ở thao tác này thì sẽ có ở các thao tác khác tiếp theo.
Sau một số hữu hạn các thao tác; (4) Quy trình giúp học sinh giải được tất cả các
bài toán cùng loại trong các sách giáo khoa, sách bài tập....”[6, trang 19]

Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong quá trình dạy học người ta thường gặp một số
quy tắc tuy chưa mang đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số
trong các đặc điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải
tốn. Đó là những quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ
dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thơng tin vào của một
lớp bài tốn thành những thơng tin ra mơ tả lời giải của những bài tốn đó.”
[Nguyễn Bá Kim, tr 377]
Ví dụ 1.2. Quy trình tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).

7


Hình 1.1
Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) qua A và vng góc với (P)
Bước 2: Tìm giao tuyến d  ( P)  (Q)
Bước 3: Trong (Q) hạ AH  d tại H
Bước 4: Độ dài AH là khoảng cách từ A đến (P).
Ví dụ 1.3. Cách tìm đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
trong khơng gian trong sách giáo khoa Hình học 11 [16, tr 117] có thể xem như một
quy trình tựa thuật tốn:

Hình 1.2
“Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (  ) là mặt phẳng chứa b và
song song và a, a’ là hình chiếu vng góc của a trên mặt phẳng (  ) .
Vì a // (  ) nên a // a’. Do đó a’ và b cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm này là
N. Gọi ( ) là mặt phẳng chứa a và a’, ∆ là đường thẳng đi qua N và vng góc với

8

(  ) . Khi đó ( ) vng góc với (  ) . Như vậy ∆ nằm trong ( ) nên cắt đường
thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N, đồng thời ∆ cùng vuông góc với cả a và
b. Do đó ∆ là đường vng góc chung của a và b”.
Ví dụ 1.4. Quy trình bốn bước của Polya1 để giải một bài tốn gồm các bước sau:
Bước 1: Hiểu bài toán
Để hiểu rõ bài toán chúng ta đi trả lời các câu hỏi như: Cái gì chưa biết? Cái
gì đã cho? Điều kiện của bài tốn là gì? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn
khơng?…. Nếu là bài tốn hình học, chúng ta tiến hành vẽ hình hay sử dụng các ký
hiệu thích hợp mơ tả bài tốn, viết giả thiết, kết luận….
Bước 2: Tìm lời giải
Để giúp HS xây dựng được chương trình giải, GV thường gợi ý HS bằng các
câu hỏi như:
- Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Em có biết bài tốn nào gần giống
bài tốn này khơng?
- Đây là một bài tốn có liên quan mà em đã có lần giải rồi. Có thể sử dụng
kết quả hay phương pháp của nó khơng? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ
thì mới sử dụng được nó khơng? Nếu em chưa giải được bài tốn đã đề ra, thì hãy
thử giải một bài tốn có liên quan. Em có biết bài tốn nào có liên quan mà dễ hơn
khơng? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Một bài toán tổng quát?
- Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu
trong bài toán chưa?
Bước 3: Trình bày lời giải
Khi thực hiện chương trình GV cần chú ý HS kiểm tra lại từng bước thông
qua các câu hỏi như: Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể
chứng minh là nó đúng khơng?
Bước 4: Nhìn lại
Giải xong bài tốn khơng có nghĩa là bài tốn đó đã kết thúc. GV nên hướng
dẫn HS hình thành dần thói quen xem xét lại lời giải bài tốn thơng qua các câu hỏi:
- Em có thể kiểm tra lại kết quả hay quá trình giải bài tốn khơng?
1

(G. Polya, "How to Solve It", 2nd ed., Princeton University Press, 1957, ISBN 0-691-08097-6: (1)

understanding the problem; (2) devising a plan, (3) carrying out the plan, (4) looking back).

9


- Có thể tìm được kết quả một cách khác khơng?
- Em có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài tốn nào khác
khơng?
Quy trình này được mỗi người vận dụng theo cách riêng của mình, theo kinh
nghiệm riêng của bản thân và đạt được mức độ khác nhau. Tuy rằng quy trình này
khơng hướng dẫn người giải toán một cách tỉ mỉ, chi tiết từng thao tác cụ thể, mà
chỉ là những định hướng suy nghĩ, gợi ý thao tác, song do tầm khái quát và dung
nạp được nhiều kinh nghiệm quí báu, nên đã nhiều chục năm quy trình đó đó vẫn tỏ
ra có hiệu quả.
Ví dụ 1.5 (Minh họa giải một bài tốn theo 4 bước của Polya)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là
điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.
a)

Xác định thiết diện của tứ diện với (IJK)

b)

Tính diện tích thiết diện xác định được ở câu a.

Hình 1.3
Câu a)

Có thể hướng dẫn HS giải bài toán trên theo bốn bước của Polya như sau:
Bước 1: Hiểu bài tốn:
GV: Vẽ hình, u cầu HS xác định giả thiết, kết luận của bài toán.
GV: Tứ diện đều là tứ diện như thế nào?
HS: Có các mặt là các tam giác đều bằng nhau.

10


GV: Giả thiết cho J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D
qua B nghĩa là ta có điều gì?
HS: C là trung điểm của JD, B là trung điểm của KD.
Bước 2: Tìm lời giải
GV: Để xác định thiết diện của hình tứ diện với (IJK) ta cần phải làm cơng
việc gì?
HS: Xác định các đoạn giao tuyến của (IJK) với các mặt của hình tứ diện.
GV: Dựa vào giả thiết nào để tìm các giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện?
HS: I và J thuộc (ACD); I và K thuộc (ABD)
Từ những phát hiện trên ta sẽ tìm được thiết diện.
Bước 3: Trình bày lời giải
GV: Chúng ta đã sử dụng phép phân tích để xác định giao tuyến của (IJK)
với các mặt của tứ diện ABCD. Yêu cầu HS trình bày lời giải.
Trong (ACD) gọi IJ  AC  N , trong (ABD) gọi IK  AB  M .
Khi đó ta có:

( IJK )  ( ACD)  IN

( IJK )  ( ADB)  IM  thiết diện cần tìm là tam giác IMN.
( IJK )  ( ACB)  MN


Bước 4: Nhìn lại:
GV: Qua bài tập trên ta thấy: Để xác định thiết diện của tứ diện với một mặt
phẳng, ta phải tìm được các đoạn giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của tứ
diện. Các đoạn giao tuyến phải tạo thành một đa giác đó là thiết diện cần tìm.
GV : Trong bài tập này, giao tuyến của (IJK) với (BCD) là đường nào? Vẫn
xác định được 4 giao tuyến với 4 mặt, tại sao thiết diện không là tứ giác?
GV: Cịn cách nào để xác định giao tuyến nữa khơng?
Cách 2: Trong (ACD) gọi IJ  AC  N , từ N kẻ đường thẳng song song với
BC cắt AB tại M. Thiết diện cần tìm là tam giác IMN.
Câu b)
Có thể hướng dẫn như sau:
Bước 1: Hiểu bài tốn
GV: Bài toán cho những yếu tố về độ dài nào?
11


HS: Tất cả các cạnh của tứ diện bằng a.
Bước 2: Tìm lời giải
GV: Để tính diện tích thiết diện ta phải làm thế nào?
HS: Tính diện tích tam giác IMN.
GV: Nêu các cơng thức tính diện tích tam giác thường dùng từ đó muốn tính
diện tích tam giác IMN ta cần tính các yếu tố nào? Dựa vào giả thiết đã biết yếu tố
nào? Cần phải tìm các yếu tố nào để tính được thiết diện đó?
HS : S 

1
1
p( p  a )( p  b)( p  c)  a.ha  ab sin C.
2
2

Vậy để tính diện tích diện tích tam giác ta có thể tìm độ dài 3 cạnh hoặc một
cạnh và đường cao tương ứng, hoặc hai cạnh và góc xen giữa.
GV: Khai thác giả thiết I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng của D qua
C, K là điểm đối xứng của D qua B như thế nào?
HS: M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ suy ra tính
được MN.
GV: Tính IM, IN như thế nào?
HS: Tính IM bằng cách đưa vào tam giác AIM.
Bước 3: Trình bày lời giải
Dễ thấy M là trọng tâm của tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác
ADJ. Từ đó ta có:
AN 

2
2
2
AC , AM  AB  AM  AN  a, MN / / BC
3
3
3

2
2
Do đó: MN  CB  a
3
3

Xét tam giác AIM có:
IM 2  AI 2  AM 2  2 AI . AM .cos 600

a 2 4a 2
a 2a 1 13a 2

 2. . . 
.
4
9
2 3 2
6
a 13
 IM 
6


12


Tương tự IN 

a 13
. Tam giác IMN có IM=IN nên tam giác IMN cân tại I
6

nên đường cao tương ứng với MN có độ dài là

a
a2
 S IMN 
2
6

Bước 4: Nhìn lại
GV: Cịn cách nào để tính diện tích tam giác IMN hay không?
HS: Tam giác IMN đồng dạng với tam giác IJK.
Như vây, quy trình thuật tốn và quy trình tựa thuật tốn đều là những quy
trình có hữu hạn bước, gồm những chỉ dẫn thao tác, giúp người thực hiện hoạt động
có kết quả; khác nhau ở mức độ rõ ràng của các chỉ đẫn thao tác, ở mức độ hiệu quả
của cơng việc. Quy trình thuật tốn có thể lập trình cho máy tính điện tử chạy được,
cịn quy trình tựa thuật tốn thì khơng. Mặc dù có những hạn chế so với quy trình
thuật tốn, nhưng quy trình tựa thuật tốn cũng vẫn là những tri thức phương pháp
có ích cho q trình hoạt động và giải toán.
1.2. Tư duy, tư duy thuật toán
1.2.1. Tư duy
1.2.1.1. Khái niệm tư duy
Theo Trần Thúc Trình [14]: “Tư duy là q trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện tượng
của thế giới khách quan”.
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở góc
độ trực quan, cụ thể, bề ngồi, các mối quan hệ về mặt khơng gian, thời gian và
trạng thái vận động của sự vật, hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng giác quan cái
đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lý tính, trên cơ sở của nhận
thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ có
tính chất quy luật của hàng loạt sự vật hiện tượng, những điều mà con người chưa
biết, cần phải tìm tịi, khám phá và giải quyết.
1.2.1.2. Đặc điểm của tư duy
- Tính có vấn đề: Muốn kích thích được tư duy cần có hai điều kiện: một là,
gặp tình huống có vấn đề (tức hồn cảnh chứa mục đích mới, vấn đề mới, cách thức

13

mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả năng giải quyết); hai là, vấn đề đó phải
được cá nhân thực hiện đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ của cá nhân.
- Tính gián tiếp: Tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phương tiện, công
cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể. Ngồi ra cịn một số đặc điểm khác
như tình trừu tượng, tính khái qt, tính liên hệ chặt chẽ với ngơn ngữ, tính chất
quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính,….
1.2.1.3. Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác trí
tuệ. Các thao tác trí tuệ cơ bản là:
- Phân tích, tổng hợp.
- So sánh, tương tự.
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa.
- Trừu tượng hóa.
1.2.1.4. Một số loại hình tư duy toán học
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong tốn học có một số
loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng.
- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo.
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp.
- Tư duy thuật toán.
- Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tư duy tốn học chỉ mang tính tương đối. Hiện
nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại hình tư duy có
những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng khơng hồn tồn độc lập với
nhau, giữa chúng cũng có những sự liên hệ, hỗ trợ nhau. TDTT là một trong những
thành phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn luyện tư duy thuật giải trong toán
học sẽ góp phần phát triển tư duy tốn học cho học sinh.
1.2.2. Tư duy thuật toán
Theo Bùi Văn Nghị (2009): “Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để nhận

thức, để giải quyết vấn đề một cách có trình tự (sắp xếp lần lượt, thứ tự trước sau).
Phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau: thực hiện những thao tác
14


theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật tốn cho trước; phân tích một hoạt
động thành phần thành những thao tác thành phần được thực hiện một trình tự xác
định; mơ tả chính xác q trình tiến hành một hoạt động; khái quát hóa một hoạt
động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng; so
sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện con
đường tối ưu” [10, tr 16 - 18].
1.3. Dạy học giải bài tập tốn trong trường phổ thơng
1.3.1. Vai trị của bài tập trong quá trình dạy học
Theo Nguyễn Bá Kim (2011): “Bài tập Tốn học có vai trị quan trọng trong
mơn Tốn”. Bài tập có vai trị giá trị mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài
tập, HS phải thực hiện các hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định
lý, quy tắc, phương pháp (thuật toán), hoạt động tốn học phức hợp, hoạt động trí
tuệ phổ biến trong toán học.... Bài tập toán học ở trường phổ thơng là một phương
tiện có hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri
thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực
tiễn”.[6, trang 386]
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phương pháp dạy học như: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc
với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,.... Đặc biệt là mặt kiểm tra, bài tập là
phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy học, khả năng làm việc độc lập và
trình độ phát triển của HS....
1.3.2. Vai trị của tư duy thuật tốn trong dạy học mơn tốn
TDTT là một trong các loại hình tư duy cần được rèn luyện cho học sinh phổ
thông. Rèn luyện TDTT cho học sinh là góp phần nâng cao chất lượng tồn diện
của q trình dạy học tốn.

Trong dạy học mơn tốn, tiến hành rèn luyện TDTT cho học sinh sẽ có
những tác dụng sau đây:
+ TDTT tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ
năng tốn học.
+ TDTT góp phần phát triển các thao tác trí tuệ (phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hóa, khái quát hóa,...) cũng như những phẩm chất trí tuệ (tính linh hoạt,
tính độc lập, sáng tạo,...).
15


+ TDTT được rèn luyện tốt sẽ góp phần hình thành ở học sinh một số phẩm
chất tốt đẹp của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như tính ngăn nắp,
tính kỷ luật, ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu trong cơng việc,....
+ TDTT giúp học sinh hình dung được q trình tự động hóa diễn ra trong các
lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người trong đó có lĩnh vực xử lý thơng tin.
+ Tiến hành các hoạt động TDTT có thể dẫn đến hình thành tri thức phương
pháp để giải quyết một vấn đề, góp phần hình thành năng lực giải quyết vấn đề ở
học sinh trong học tập cũng như ngoài cuộc sống.
TDTT được rèn luyện khi dạy học những tình huống điển hình trong dạy học
mơn Tốn:
+ Dạy học khái niệm
+ Dạy học định lý
+ Dạy học quy tắc, phương pháp
+ Dạy học giải bài tập tốn học
Tóm lại: TDTT có vai trị quan trọng trong tư duy tốn học, bởi lẽ: Đây là
con đường tương đối quen thuộc đối với người học và giải toán, thể hiện được đặc
trưng của tốn học (tính hệ thống và tính logic).
1.3.3. Rèn luyện tư duy thuật toán trong dạy học giải bài tập tốn
Bài tập tốn học có vai trị quan trọng trong mơn tốn. Bởi lẽ, nó khơng chỉ
u cầu học sinh tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện, các hoạt

động trí tuệ phổ biến trong mơn Tốn, các hoạt động trí tuệ chung,... mà cịn trực
tiếp liên hệ thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải. Thơng qua giải bài tập có thể rèn
luyện tư duy thuật tốn cho học sinh. Mặc dù khơng có thuật tốn tổng qt nào có
thể giải được mọi bài tốn, tuy nhiên trong q trình giải tốn việc tìm tịi, xây dựng
những thuật tốn, quy tắc tựa thuật tốn cho một số lớp các bài toán sẽ giúp học
sinh dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức, hệ thống kiến thức và giúp học sinh có
những tri thức phương pháp trong giải toán.
1.4. Một số thực tiễn dạy học quan hệ song song trong không gian ở trường THPT
1.4.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong khơng
gian, quan hệ song song
Việc dạy học hình học không gian ở trường THPT nhằm đạt được các mục
đích, yêu cầu sau đây:
16