Luận văn thạc sỹ: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh qua dạy học bất đẳng thức

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc
biệt trong dạy học toán. Trong môn toán, có nhiều dạng toán được giải quyết
nhờ thuật giải. Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán có
thuật giải, có qui tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh
dễ tiếp thu lĩnh hội. Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được
giảm dần phù hợp với khả năng của học sinh, nó là định hướng để học sinh
giải quyết bài toán đó.
Qua việc tìm tòi thuật giải, qui tắc tựa thuật giải để giải từng bài toán,
từng dạng toán, nó thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học
sinh như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá,…Hơn
nữa, nó còn hình thành cho học sinh những phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn
thận chi tiết, tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo, kích thích sự ham muốn
khám phá,…các phẩm chất tốt đẹp của người lao động như: Tính ngăn nắp
cẩn thận, tính kỷ luật, ý thức tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc…
Mặt khác qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêu cầu của xã hội,
của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá hiện đại hoá, đáp ứng yêu
cầu của con người mới trong nền sản xuất tự động hoá và bối cảnh công nghệ
thông tin, tin học đang có ảnh hưởng mạnh mẽ, sâu rộng tới mọi lĩnh vực của
cuộc sống.
Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề rèn luyện và phát triển
TDTG chưa được quan tâm đúng mức, nó chỉ diễn ra một cách tự phát, chưa
có sự chỉ đạo và tài liệu hướng dẫn GV thực hiện. Do đó, GV chưa biết cách
khai thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằm rèn luyện và phát triển
TDTG cho học sinh.
1
Khi dạy một nội dung toán học, ngoài việc giúp học sinh nắm vững nội
dung đó, ta cần giúp học sinh biết vận dụng nó để học và giải quyết các bài
tập, các nội dung khác có liên quan.
BĐT được giảng dạy cho học sinh THPT ở lớp 10. Tuy thời gian có ít

và các lớp tiếp theo không được đề cập lại nhưng nó có nhiều ứng dụng để
giải nhiều dạng toán khác. Nội dung BĐT phong phú, đa dạng, nó thu hút
được sự quan tâm đặc biệt của cả giáo viên và học sinh. Tuy nhiên ở trường
THPT, việc khai thác các ứng dụng của BĐT còn gặp nhiều khó khăn và hạn
chế. Một trong những nguyên nhân của tình trạng này là GV và HS chưa biết
cách khai thác, xây dựng các thuật giải và các qui tắc tựa thuật giải để giải
quyết dạng toán này.
Đó chính là những lý do mà chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Rèn
luyện tư duy thuật giải thông qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng
thức ở trường trung học phổ thông.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh khi dạy học nội dung: Ứng
dụng bất đẳng thức trong giải toán.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
+ Tổng hợp lí luận về phát triển TDTG qua môn toán.
+ Tìm hiểu thực tiễn về việc rèn luyện và phát triển TDTG của môn
toán ở trường THPT.
+ Đề ra giải pháp nhằm rèn luyện và phát triển TDTG thông qua dạy
học nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu chúng ta tăng cường việc rèn luyện TDTG cho học sinh khi dạy
học nội dung giải toán có ứng dụng bất đẳng thức thông qua một giải pháp
dạy học dựa trên hệ thống các bài toán chọn lọc thì không những giúp học
2
sinh học tốt nội dung đó mà còn góp phần phát triển tư duy thuật giải, kỹ
năng, năng lực giải toán.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, các sách giáo khoa, sách
giáo viên, các tài liệu tham khảo có liên quan.

5.2. Phương pháp quan sát điều tra:
+ Điều tra chất lượng học sinh trước và sau thử nghiệm
+ Quan sát giờ dạy để tìm hiểu thực trạng về rèn luyện tư duy thuật giải
của giáo viên và học sinh.
+ Sưu tầm các bài toán, các vấn đề có liên quan. Những kinh nghiệm
của bản thân và của các đồng nghiệp.
+ Chọn lọc phân loại các vấn đề sưu tầm được.
5.3. Thực nghiệm sư phạm:
Tác giả trực tiếp dạy và phối hợp với đồng nghiệp dạy và kiểm tra học
sinh ở trường THPT Yên Dũng số I và THPT Yên Dũng số II.
6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN:
Ngoài phần mở đầu, mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương:
Chưong 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông
qua dạy học giải toán có ứng dụng bất đẳng thức.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

3
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. TƯ DUY THUẬT GIẢI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG
1.1.1. Một số vấn đề về tư duy
* Khái niệm
“Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những bản chất, những mối
quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa
biết” [13, tr.1].
Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính ở
góc độ trực quan, cụ thể, bề ngoài, các mối quan hệ về mặt không gian, thời
gian và trạng thái vận động của sự vật hiện tượng, phản ánh trực tiếp bằng

giác quan cái đang tác động. Còn tư duy thường bắt đầu từ nhận thức lí tính,
trên cơ sở của nhận thức cảm tính. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên
trong, những mối quan hệ có tính chất qui luật của hàng loạt sự vật hiện
tượng, những điều mà con người chưa biết, cần phải tìm tòi, khám phá và
giải quyết.
* Các thao tác tư duy
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác
trí tuệ. Các thao tác trí tuệ cơ bản là:
- Phân tích, tổng hợp.
- So sánh, tương tự.
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa.
- Trừu tượng hóa.
* Một số loại hình tư duy toán học
Hoạt động tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy. Trong toán học có
một số loại hình tư duy sau:
- Tư duy hình thức và tư duy biện chứng.
4
- Tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo.
- Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp.
- Tư duy thuật giải.
- Tư duy hàm.
Sự phân chia các loại hình tư duy toán học chỉ mang tính tương đối.
Hiện nay chưa có sự phân loại nào triệt để và thống nhất. Mặc dù mỗi loại
hình tư duy có những đặc điểm, đặc trưng khác nhau nhưng chúng không
hoàn toàn độc lập với nhau, giữa chúng cũng có sự liên hệ, hỗ trợ nhau.
TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học. Rèn
luyện tư duy thuật giải trong môn toán sẽ góp phần phát triển tư duy toán học
cho học sinh.
1.1.2. Tư duy thuật giải
1.1.2.1. Thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

1.1.2.1.1. Thuật giải
Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến
phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả
quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, người ta đi đến khái niệm trực
giác về thuật giải.
Theo [10, tr. 378 ]: “Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một
dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một
số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của
một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài
toán đó”
Theo [9, tr. 51] thì: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy
định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên
những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được
kết quả mong muốn”
5
Những khái niệm trên đều thống nhất rằng mỗi thuật giải đều có những
tính chất cơ bản và quan trọng sau:
* Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải
đơn trị. Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên
cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả. Tính chất này nói lên tính
hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự
động thực hiện thuật giải thay thế con người.
Ví dụ: Thuật giải hệ phương trình bậc nhất:



=+
=+
''' cybxa

cbyax
Bước 1: Xác định các hệ số: a, b, c, a’, b’, c’.
Bước 2: Tính các định thức:
D = ab’- a’b; Dx = cb’- c’b; Dy = ac’- a’c.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện: D = 0
Nếu đúng thì chuyển sang bước 4 nếu sai chuyển sang bước 5.
Bước 4: Kiểm tra: Dx = Dy = 0
Nếu đúng thì kết luận mọi cặp số (x ; y) đều là nghiệm của hệ;
Nếu sai thì kết luận hệ vô nghiệm.
Bước 5: Kết luận:
Hệ có nghiệm duy nhất: (x ; y) =
( ; )
Dx Dy
D D
Trong ví dụ trên tính đơn trị thể hiện: Chẳng hạn trong một bước 4 nếu
ta cho lần lượt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu được của
các học sinh là như nhau.
* Tính dừng
Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các
thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu được kết quả như mong muốn.
6
Tính dừng của thuật giải không quy định cụ thể mỗi thuật giải phải có
bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bài toán
nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi.
Ví dụ:
Thuật giải tìm ƯCLN của hai số x, y.
Bước 1:
Phân tích x, y ra thừa số nguyên tố.
Bước 2:
Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất.

Bước 3:
Kiểm tra xem trong số thứ hai xem thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhất
của số thứ nhất không?
Nếu có chuyển sang bước 4.
Nếu không chuyển sang bước 5.
Bước 4:
Viết riêng thừa số đó, xoá thừa số đó trong cả hai số.
Bước 5:
Xóa thừa số nhỏ nhất ra khỏi số thứ nhất.
Bước 6:
Kiểm tra trong thừa số thứ nhất còn lại thừa số nào chưa xoá không?
Nếu còn thì trở lại: Bước 1 Bước 2 Bước 3 Bước 4
Bước 5 Bước 6.
Nếu không chuyển sang bước 7.
Bước 7:
Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng. Tích của các số đó chính là ƯCLN
của hai số x và y.
7
Trong thuật giải trên mỗi số x, y chỉ phân tích được thành tích của một
số hữu hạn các thừa số nguyên tố.
Với các thao tác xóa dần các số nguyên tố trong số x, đảm bảo sau một
số hữu hạn bước trong x, không còn số nguyên tố nào. Khi đó thuật giải thu
được kết quả mong muốn.
* Tính đúng đắn
Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn
đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép
kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trường hợp.
Ví dụ:
Giải phương trình ax + b = 0.
Bước 1: Xác định các số a, b.

Bước 2: Chuyển số hạng tự do sang vế phải: ax = -b.
Bước 3: Chia 2 vế của phương trình cho a.
Bước 4: Kết luận phương trình có nghiêm duy nhất x =
a
b
2
−
(kết thúc).
Các bước giải trên không thoả mãn yêu cầu của một thuật giải. Nó
không đầy đủ, vì bỏ sót trường hợp a = 0. Khi đó, ta không chia hai vế được
cho a. Ta cần có bước kiểm tra trường hợp a = 0.
* Tính phổ dụng
Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc
với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này, người ta sáng tạo ra
những thuật giải, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp
bài toán.
Ví dụ:
Thuật giải tìm ƯCLN áp dụng cho mọi cặp số nguyên (x,y), thuật giải
8
phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) áp dụng cho mọi phương trình
bậc 2
* Tính hiệu quả
Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ưu. Tiêu chuẩn tối ưu được
hiểu là:
+ Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
+ Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian.

+ Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn. Đặc biệt trong điều kiện hiện
nay khi mà có nhiều phương tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải.
* Các hình thức biểu diễn thuật giải
Thuật giải tồn tại dưới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và
trong thực tế người ta thường gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau:
Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng
trình và các ngôn ngữ lập trình.
Ta lấy ví dụ giải phương trình bậc hai: ax
2
+ bx +c = 0 (a
≠
0) để minh
hoạ cho các hình thức biểu diễn thuật giải.
Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
Bước 1: Bắt đầu (Xác định a, b, c).
Bước 2: Tính
∆
= b
2
- 4ac.
Bước 3:
+ Nếu
∆
= 0 thì kết luận phương trình có nghiệm kép x =
a
b
2
−
.
+ Nếu

∆
< 0 thì kết luận phương trình vô nghiệm.
+ Nếu
∆
> 0 thì chuyển sang bước 4.
Bước 4: Kết luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆−−
; x
2
=
a
b
2
∆+−
.
Kết thúc.
9
Dạng 2: Sơ đồ khối
Dạng 3: Ngôn ngữ phỏng trình
Thuật giải phương trình bậc hai:
Biến a, b, c, D, x
1
, x
2

: thực; y: văn bản;
Bắt đầu
D: = b
2
- 4ac;
Nếu D < 0 thì y := “phương trình vô nghiệm”
Còn nếu D = 0 thì bắt đầu
y := “phương trình có một nghiệm kép”;
x
1
:= -b/(2a); x
2
:= x
1
; kết thúc
Còn bắt đầu
y:= “pt có hai nghiệm phân biệt”;
x
1
:= (-b +
D
)/(2a); x
2
:= (-b -
D
)/(2a); kết thúc
Kết thúc.
Dạng 4: Ngôn ngữ PASCAL
Sau khi biểu diễn thuật giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ phỏng
trình như trên, ta mới viết chương trình trong ngôn ngữ cấp cao, chẳng hạn

như PASCAL.
Program pt2
Var a, b, c, d: real;
Begin
Writeln (
’
Cho biet ba he so a, b, c
’
); readln (a, b, c);
d:= b*b – 4*a*c;
if d < 0
then write (
’
Phưong trinh vo nghiem
’
)
else if d = 0
10
Bắt đầu
Nhập
a,b,c
acb 4
2
−=∆
0∆ <
PT vô ngiệm
0=∆
Pt có nghiệm
kép
Pt có 2 nghiệm

phân biệt :
x =(-b -)/(2a)
x= (-b+)/(2a)
Kết thúc
+
_
+
-
then wreti (
’
nghiem kep
’
, -b/(2*a) :8 : 2)
else
begin
write (
’
x
1
=
’
, (-b+sqrt(d))/(2*a) :9 :2);
write (
’
x
2
=
’
, (-b-sqrt(d))/(2*a) :9 :2)
end;

end.
1.1.2.1.2. Quy tắc tựa thuật giải
Như đã trình bày ở trên, đặc trưng của thuật giải là hệ thống các quy
định nghiêm ngặt được thực hiện theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên trong
quá trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy
chưa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trưng của thuật giải nhưng có một số
trong các đặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hướng dẫn học
sinh giải toán.
* Khái niệm quy tắc tựa thuật giải
+ Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy
hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến
đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp
bài toán đó” [10, tr. 379].
Ví dụ: Quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x).
Bước 1: Cho số gia của đối số tại điểm x là
∆
x. Tính số gia của hàm số:
∆
y = f(x +
∆
x) – f(x)
Bước 2:
Lập tỉ số
x
y
∆
∆
.
Bước 3: Tính giới hạn:
Δx 0

lim
→
x
y
∆
∆
.
11
Giới hạn (nếu có) của tỉ số trên gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại
điểm x. Trong quy tắc này, học sinh dễ hình dung và nắm được quy tắc, các
bước tiến hành để tính đạo hàm của hàm số tại điểm x. Tuy nhiên có những
chỉ dẫn chưa mô tả một cách xác định công việc, chẳng hạn: chỉ dẫn ở bước 3
về việc tìm lim
Δx 0
lim
→
x
y
∆
∆
. Do vậy, có học sinh mặc dù áp dụng đúng trình tự
trên nhưng vẫn không tìm được đạo hàm của hàm số cụ thể, mặc dù giới hạn
này tồn tại.
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải như sau:
+ Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chưa mô tả hành động một cách
xác định.
+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị.
+ Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì
đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật

giải cũng vẫn là tri thức phương pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt
động và giải toán.
1.1.2.2. Tư duy thuật giải
Một trong những luận điểm cơ bản của giáo dục học là: Con người phát
triển trong hoạt động, học tập diễn ra trong hoạt động.
Quan điểm định hướng đổi mới phương pháp dạy học chỉ ra rằng:
Phương pháp dạy học cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động và sáng tạo.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa nội dung dạy học với hoạt động cho thấy:
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định tương thích
12
với nó. Đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và
vận dụng nội dung này.
Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học được thể hiện ở
những tư tưởng chủ đạo sau:
+ Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học.
+ Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động học tập.
+ Dẫn dắt học sinh kiến tạo tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp như
phương tiện và kết quả của hoạt động.
+ Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học.
Tương thích với khái niệm thuật giải ta cần khai thác các dạng hoạt
động sau:
T1: Thực hiện các thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một
thuật giải.
T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo
một trình tự xác định.
T3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng.
T4: Mô tả chính xác một quá trình tiến hành một hoạt động.

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết một công việc.
Hoạt động T1 thể hiện năng lực thực hiện thuật giải.
Các hoạt động từ T2 đến T5 thể hiện năng lực xây dựng thuật giải. Cả 5
hoạt động trên đươc gọi là các hoạt động của TDTG.
13
Như vậy có thể phát biểu rằng: “TDTG là phương thức tư duy biểu thị
khả năng tiến hành các hoạt động thực hiện và xây dựng thuật giải”.
1.2. MỘT SỐ YẾU TỐ CỦA TDTG TRONG MÔN TOÁN
TDTG được rèn luyện ở trường phổ thông thông qua dạy học thực hiện,
xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải. Qua các tình huống điển
hình trong dạy học toán. TDTG có mặt ở các cấp học, các môn trong bộ môn
toán: Khi học môn số học, HS được biết các thuật giải tìm ƯCLN , BCNN …
Khi học các Hệ thống số, các quy tắc tính toán, so sánh thường mang tính
thuật giải. Trong Đại số, HS được học các thuật giải phương trình bậc nhất,
phương trình bậc 2, thuật giải hệ phương trình bậc nhất…Trong dạy học giải
toán có ứng dụng BĐT có thể rèn luyện TDTG cho HS thông qua việc hướng
dẫn HS phát hiện , xây dựng các thuật giải và quy tắc tựa thuật giải để giải
một số bài toán, dạng toán (Các dạng toán này sẽ được trình bày ở chương 2).
* Thực hiện thuật giải
Trong chương trình toán phổ thông, HS được học, thực hiện nhiều thuật
giải như: Thuật giải tìm ƯCLN, BCNN, thuật giải phương trình, hệ phương
trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc nhất với sinx và cosx:
asinx + bcosx = c,…
Ví dụ:
Áp dụng thuật giải phương trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) để giải
phương trình: x

2
- 5x +6 = 0
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c.
a = 1; b = -5; c = 6
Bước 2: Tính
∆

∆
= 5
2
– 4.1.6 = 1
Bước 3: Xét dấu
∆
14
∆
> 0
Bước 4 : Kết luận:
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
5 1
2
2
−
=
; x
2
=
5 1

3
2
+
=
Khi dạy học thực hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cần lưu ý:
+ Cho HS biết nhiều hình thức thể hiện thuật giải, quy tắc tựa thuật giải
tạo điều kiện cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự các bước của
thuật giải đó.
+ Mặc dù các bước của thuật giải đã được trình bày rõ theo một trình tự
xác định tuy nhiên, cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu.
Nếu HS không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc các
quy tắc tổng quát cũng không thể áp dụng nó vào trường hợp cụ thể, vẫn
không giải quyết được yêu cầu của công việc.
* Xây dựng thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải
Bên cạnh việc học và thực hiện các thuật giải có sẵn, HS cũng cần được
rèn luyện cách xây dựng các thuật giải, quy tắc tựa thuật giải. Đặc biệt, trong
giải toán nếu ta xây dựng được nhiều các thuật giải và các quy tắc tựa thuật
giải sẽ giúp HS sử dụng chúng thực hiện tốt , nhanh gọn , chính xác yêu cầu
của bài toán.
Ví dụ: Hướng dẫn HS xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho dạng toán:
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là hai điểm lần lượt trên AB và AC
sao cho MN cắt BC. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng
(BCD).
Phân tích :
Gọi K là giao điểm của MN và (BCD)
15
⇒
K
∈

(BCD). Mặt khác K
∈
MN
⊂
(ABC)
⇒
K
∈
(ABC)
⇒
K
∈
(BCD)
∩
(ABC).
Mà (BCD)
∩
(ABC) = BC
⇒
K chính là giao điểm của BC và MN.
* GV hướng dẫn HS phân tích quá trình tìm điểm K.
•
K được xác định bởi: K = BC
∩
MN.
•
Muốn có K phải tìm BC.
•
BC là giao tuyến (BCD) và mặt phẳng chứa MN nên muốn có BC
phải tìm mặt phẳng chứa MN.

* Từ phân tích trong ví dụ trên, GV giúp học sinh xây dựng quy tắc tựa
thuật giải cho bài toán: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán:
Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Quy tắc tựa thuật giải:
Bước 1: Chọn một mặt phẳng (Q) chứa a.
Bước 2: Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
Bước 3: Tìm giao điểm M của a và b.
Bước 4: Kết luận M là giao điểm cần tìm.

1.3. VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN TDTG TRONG MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG
1.3.1. Vai trò TDTG trong dạy học môn toán
TDTG là một trong số các loại hình tư duy cần được rèn luyện và phát
triển cho học sinh phổ thông. Phát triển TDTG của HS là góp phần nâng cao
16
chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán. Trong dạy học toán, vai trò
của TDTG được thể hiện ở các mặt sau:
+ TDTG tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các
kĩ năng toán học.
+ TDTG cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như:
Phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,…cũng như
những phẩm chất trí tuệ như: Tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo,…
+ TDTG góp phần hình thành ở học sinh một số phẩm chất tốt đẹp của
người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như tính ngăn nắp, tính kỉ luật,
ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu trong khi giải quyết công việc,…
+ TDTG giúp HS hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong
các lĩnh vực họat động khác nhau của con người trong đó có lĩnh vực sử lí
thông tin. Điều này giúp HS thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần xóa
bỏ sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội.

+ Tiến hành các hoạt động TDTG có thể dẫn đến hình thành cho HS
những tri thức phương pháp để giải quyết một vấn đề, góp phần hình thành
cho HS năng lực giải quyết vấn đề trong học tập cũng như trong cuộc sống.
* TDTG được rèn luyện, phát triển khi dạy học những tình huống điển
hình trong dạy học môn toán:
- Dạy học khái niệm
- Dạy học định lý
- Dạy học quy tắc, phương pháp
- Dạy học giải bài tập toán học
1.3.2. Rèn luyện TDTG trong dạy học khái niệm
Khi dạy học khái niệm, ta cần chú ý một khâu rất quan trọng là củng cố
và vận dụng khái niệm. Nhận dạng và thể hiện là một trong những hoạt động
17
cơ bản để củng cố, vận dụng khái niệm. Trong nhiều trường hợp ta có thể xây
dựng thuật giải để nhận dạng khái niệm.
Ví dụ:
Nhận dạng và thể hiện khái niệm hàm số.
Nội dung của khái niệm hàm số là hội của hai điều kiện như sau:
•
Điều kiện P
1
:
Với mỗi phần tử x
∈
R đều tồn tại một phần tử tương ứng y
∈
R.
•
Điều kiện P
2

:
Với mỗi phần tử x
∈
R thì phần tử tương ứng y là duy nhất.
Ta có thể hướng dẫn học sinh sử dụng thuật giải sau để nhận dạng khái
niệm hàm số:
Quy tắc đang xét là
một hàm số
P
2
Quy tắc đang xét không
là một hàm số
Kết thúc
Bắt đầu
P
1
+
+
18
Trường hợp tổng quát
Khi tính chất đặc trưng của khái niệm là hội của n điều kiện thì định
nghĩa có cấu trúc:
x
∈
A(x)
⇔
B
1
(x)
Λ

B
2
(x)
Λ
…
Λ
B
n
(x)
Ta có thể hướng dẫn học sinh dùng thuật giải sau để nhận dạng
khái niệm:
1.3.3. Rèn luyện TDTG trong dạy học định lý
Các định lí và các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của
môn toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng bộ môn, đặc biệt là khả
Bắt đầu
i : = 1
B
i
(x)
( )A x
A(x)
Kết thúc
i : = i + 1
i < n
+
+
+
19
năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư
tưởng, phẩm chất và đạo đức cho HS.

Một trong những yêu cầu của việc dạy học định lí là giúp HS nắm được
hệ thống các định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó HS có khả năng
vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong
thực tiễn.
Trong quá trình dạy học định lí, nếu giúp HS xây dựng được các thuật
giải, quy tắc tựa thuật giải để chứng minh, thể hiện định lí sẽ tạo điều kiện tốt
để HS tiếp thu, lĩnh hội, và vận dụng chúng vào trong các hoạt động giải toán.
Ví dụ :
Khi dạy học định lí dấu tam thức bậc hai ta có thể hướng dẫn, giúp HS
xây dựng quy tắc thuật giải thể hiện định lí để xét dấu của tam thức bậc hai
f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0) như sau:
Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c và dấu của a.
Bước 2: Tính biệt số
∆
= b
2
– 4ac.
Bước 3: Áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai:
•
Nếu a > 0
∆
< 0 thì kết luận f(x) > 0 với
∀
x
∈
R.

∆
= 0 thì kết luận f(x) > 0 với
∀
x
≠
2
b
a
−
.
∆
> 0 thì:
+ Tìm hai nghiệm x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) của f(x).
+ Kết luận f(x) > 0 với:
1
2
x x
x x
<


>


; f(x) < 0 với: x
1
< x < x
2
.
•
Nếu a < 0
∆
< 0 thì kết luận f(x) < 0 với
∀
x
∈
R.
∆
= 0 thì kết luận f(x) < 0 với
∀
x
≠
2
b
a
−
.
20
∆
> 0 thì:
+ Tìm hai nghiệm x
1
, x

2
(x
1
< x
2
) của f(x).
+ Kết luận f(x) < 0 với
1
2
x x
x x
<


>

; f(x) > 0 với x
1
< x < x
2
.
1.3.4. Rèn luyện TDTG trong dạy học giải bài tập toán
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Bởi lẽ, nó không
chỉ yêu cầu HS tiến hành những hoạt động như: Nhận dạng và thể hiện, các
hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán, các hoạt động trí tuệ chung,…mà còn
trực tiếp liên hệ thuật giải và qui tắc tựa thuật giải. Thông qua giải bài tập có
thể rèn luyện, phát triển tư duy thuật giải cho HS. Mặc dù không có thuật giải
tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán tuy nhiên, trong quá trình giải
toán việc tìm tòi, xây dựng những thuật giải, quy tắc tựa thuật giải cho một số
lớp các bài toán sẽ giúp HS dễ dàng lĩnh hội, tiếp thu kiến thức, hệ thống kiến

thức và giúp HS có những tri thức phương pháp trong giải toán.
Ví dụ:
Hướng dẫn HS xây dựng quy tắc tựa thuật giải cho bài toán: Xác định
tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD từ bài toán cụ thể sau:
Cho hình chóp đều S.ABCD: AB = a, SA = 2a. Xác định tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
* Phân tích:
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Do IA = IB = IC = ID nên
I
∈
d trong đó, d là đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại tâm O của đường
tròn ngoại tiếp đáy ABCD (d gọi là trục của đường tròn tâm O). Tứ giác
ABCD là hình vuông nên O là giao của AC và BD.
Mặt khác: IA = IB = IC = ID = IS nên I
∈
(P) trong đó (P) là mặt phẳng
trung trực của một cạnh bên. Từ đó ta có I là giao của (P) và d
Như vậy ta cần:
21
•
Tìm tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD.
•
Tìm d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
•
Tìm (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
•
Tìm giao điểm I của d và (P).
* Từ bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn xây dựng qui tắc tựa
thuật giải cho bài toán:
Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bước 1: Kiểm tra đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp.
Bước 2: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 3: Xác định đường thẳng d là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy.
Bước 4: Xác định (P) là mặt phẳng trung trực của một cạnh bên.
Bước 5: Xác định giao điểm I của d và (P); kết luận I là tâm mặt cầu.
Ví dụ 2:
Khi dạy học nội dung ứng dụng BĐT có thể hướng dẫn HS xây dựng
thuật giải để giải lớp các bài toán sau:
Bài toán:(Bài 88- Chương 2)
Cho 2 điểm phân biệt A, B không nằm trên mặt phẳng (P), tìm điểm M
trên (P) sao cho biểu thức: Q = MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
* Thuật giải:
Bước 1:
Kiểm tra A, B cùng phía hay khác phía (P).

•
Nếu A, B cùng phía với (P) thì kết luận:
minQ = AB đạt được khi M là giao điểm
của đường thẳng AB với (P).

•
Nếu A, B khác phía (P) thì chuyển bước 2.
Bước 2: Tìm A’ đối xứng A qua (P).
22
Bước 3: Tìm giao điểm I
0
của A’B với (P).
•
Dùng bất đẳng thức chứng tỏ Q đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:
M là giao điểm của A’B với (P).

•
Tìm giao điểm I
0
của A’B với (P).
Bước 4: Tính A’B.
Bước 5: Kết luận: minQ = A’B đạt được khi M trùng I
0
.
1.4. TÌNH HÌNH DẠY HỌC ỨNG DỤNG BĐT ĐỂ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG THPT
Nội dung BĐT được trình bày cho học sinh THPT ở SGK Đại số 10 với
thời lượng 4 tiết (2 tiết lí thuyết và 2 tiết bài tập). Thời gian có ít tuy nhiên,
nội dung BĐT rất phong phú, đa dạng và có nhiều ứng dụng trong các hoạt
động giải toán. Qua tìm hiểu tình hình dạy học BĐT và các ứng dụng của
BĐT ở một số trường THPT chúng tôi có một số nhận xét sau:
•
Về phía giáo viên:
+ Đa số GV chưa thực sự quan tâm việc dạy học giải toán có ứng dụng
BĐT. Nhiều GV cho rằng BĐT và việc ứng dụng BĐT trong giải toán là vấn
đề khó đối với GV và HS. Mặt khác do sức ép của thời gian đứng lớp ít mà
vẫn phải hoàn thành chương trình SGK, do thói quen bảo thủ, ỷ lại vào các
công cụ khác để giải quyết vấn đề nên họ ít quan tâm nghiên cứu …Trong khi
vẫn biết có nhiều bài toán, nhiều vấn đề nếu biết ứng dụng BĐT sẽ đem lại lời
giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian, tránh được sự tính toán phức
tạp, dài dòng…
+ Có một số ít GV phải bồi dưỡng HS giỏi đã quan tâm, nghiên cứu ứng
dụng BĐT để giải toán.
+ Đa số các GV thiếu định hướng, hệ thống các bài toán có ứng dụng
BĐT.
+ Nhiều GV chưa chú trọng quan tâm đến việc dạy tri thức phương
pháp và rèn luyện TDTG cho HS.

•
Về phía học sinh:
23
Khảo sát thăm dò học sinh bằng hai bài kiểm tra 15 phút.
Bài 1: Giải phương trình:
x
2
+ 1 =
x
4
sin1−

(Thời gian kiểm tra là giờ bài tập trong bài: Các phương trình lượng
giác khác)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = x +
2
4
( 1)x −
trên khoảng (1; +
∞
)
(Thời gian kiểm tra là giờ bài tập trong bài:Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số, trong chương trình giải tích 12)
•
Kết quả:
Bài 1: Đa số HS chưa định hướng được hướng giải quyết bài toán. Một
số ít HS (khoảng 15%) biết cách giải nhờ đánh giá hai vế, tuy nhiên việc trình
bày còn chưa rõ.
Bài 2: Đa số HS sử dụng phương pháp khảo sát hàm số. Trong số đó có

nhiều em rất lúng túng trong việc lập bảng biến thiên hoặc tính toán sai. Có
một số ít biết sử dụng BĐT Côsi để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Như vậy, tình hình dạy học nội dung: Giải toán có ứng dụng BĐT ở
trường phổ thông còn có những bất cập, cả về phía GV và HS, dẫn đến chất
lượng dạy học giải toán chưa cao. HS còn gặp nhiều khó khăn khi giải những
bái toán có ứng dụng BĐT, mà nguyên nhân chủ yếu là do HS yếu cả về kiến
thức và phương pháp tư duy, chưa biết cách tìm ra những thuật giải, qui tắc
tựa thuật giải để giải quyết các bài toán đó.
1.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
TDTG là một trong những thành phần quan trọng của tư duy toán học.
TDTG có vị trí và tầm quan trọng trong môn toán của nhà trường phổ thông,
được thể hiện ở các cấp học, các môn học trong bộ môn toán.
24
Rèn luyện và phát triển TDTG góp phần phát triển tư duy toán học cho
HS, góp phần nâng cao chất lượng toàn diện của quá trình dạy học toán và
thực hiện một phương hướng giáo dục tin học trong nhà trường phổ thông.
TDTG được khai thác, rèn luyện, phát triển trong các nội dung dạy học của
quá trình dạy học. Tuy nhiên, trong dạy học toán ở trường THPT, vấn đề rèn
luyện TDTG còn có những khó khăn, tồn tại.
Vấn đề đặt ra là: Với mỗi nội dung, tình huống dạy học cụ thể việc khai
thác chúng như thế nào để rèn luyện và phát triển TDTG cho HS? Vấn đề này
sẽ được đề cập trong chương 2 khi vận dụng vào nội dung dạy học: Ứng dụng
BĐT trong giải toán.
25