(Luận văn thạc sĩ) rèn luyện kỹ năng giải phương trình diophant dạng phân thức cho học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỲNH ANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT
DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Hà Nội, 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
——————–o0o——————–

NGUYỄN QUỲNH ANH

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT
DẠNG PHÂN THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học
bộ mơn Tốn
Mã số:
8 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội, 2020


LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm
túc, em đã hoàn thành luận văn này.
Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến
GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu − trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã
quan tâm sát sao và tận tình hướng dẫn, động viên và góp ý để em hồn
thành tốt luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo trường Đại
học Giáo dục − Đại học Quốc gia Hà Nội đã giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý
và cho em những lời khuyên bổ ích suốt quá trình phấn đấu, học tập và
nghiên cứu tại trường.
Em đã rất cố gắng đầu tư nhiều công sức và thời gian nghiên cứu
song luận văn khó có thể tránh được những thiếu sót. Em rất mong nhận
được nhận xét và góp ý của các thầy, cơ giáo để em có những định hướng
tốt hơn trong quá trình làm luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng năm 2020
Tác giả

Nguyễn Quỳnh Anh

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt
GV
HOMC
HS
NXB
SGK
tr
THCS
THPT

Viết đầy đủ
Giáo viên
Hanoi Open Mathematics Competition
Học sinh
Nhà xuất bản
Sách giáo khoa
Trang
Trung học cơ sở
Trung học phổ thông

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1. Đặc điểm học sinh các nhóm đối chứng - nhóm thực nghiệm . 59
Bảng 3.2. Kết quả điểm kiểm tra của các nhóm .............................. 73
Bảng 3.3. So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 sau

q trình thực nghiệm .............................................................. 74
Bảng 3.4. So sánh kết quả bài kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 sau
q trình thực nghiệm............................................................... 75

iii


DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 1, nhóm 2 ........ 74
Biểu đồ 3.2. So sánh điểm kiểm tra 45 phút của nhóm 3, nhóm 4 ........ 75

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

5. Câu hỏi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

6. Giả thuyết nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

8. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

9. Mẫu khảo sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

10. Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN . . . . . . . . . .

5

1.1. Các vấn đề chung về kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Khái niệm kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Đặc điểm kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Sự hình thành của kỹ năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng . . . . . . . . .
1.2. Kỹ
1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.

5
5
5
5
6

năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Khái niệm kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Vai trò của kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Các thành phần liên quan kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . 8
Các mức độ trong kỹ năng giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

v


1.3. Những khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi giải phương trình
Diophant dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Khó khăn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Các sai lầm thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

CHƯƠNG 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ THƠNG QUA CHUN ĐỀ
“PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC” . .

13

2.1. Phương trình Diophant tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Phương trình Diophant tuyến tính nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3. Nghiệm nguyên dương trong các phương trình Dipophant tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Phương trình Diophant dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Các dạng toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Biểu diễn đơn vị theo các phân số Ai Cập . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
29
41

2.3. Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức
học sinh khá, giỏi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Phương pháp đưa về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Phương pháp dùng tính chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Phương pháp dùng các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Phương pháp tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6. Phương pháp sử dụng nguyên tắc cực hạn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7. Phương pháp quy nạp toán học. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

cho
45
45
47
48

50
51
51
52

2.4. Một số đề thi tuyển chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1. Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi

58
58
58


3.2. Hoạt động thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Nội dung thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58
58
60

3.3. Kết quả thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Đánh giá định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Đánh giá định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73
73
76

Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

2. Khuyến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giáo dục hiện nay luôn nhận được rất nhiều sự quan tâm bởi lẽ ngành
giáo dục không trực tiếp tạo ra của cải vật chất nhưng là nhân tố quan
trọng trong việc đào tạo ra một thế hệ tương lai mà từ đó ảnh hưởng trực
tiếp đến sự phát triển trong hai mươi đến ba mươi năm của cả một quốc
gia, một dân tộc.
Trong hệ thống giáo dục, Tốn học là một mơn khoa học cơ bản đóng
vai trị quan trọng trong việc phát triển năng lực tư duy và phát huy sáng
tạo để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Những kiến thức, kỹ năng
toán học giúp giải quyết các vấn đề trong khoa học, sản xuất và thực tế
cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác. Dạy học giải toán là một
trong những vấn đề trọng tâm của dạy học mơn Tốn ở trường THCS vì
việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học giúp học sinh
phát triển tư duy, tính sáng tạo. Một trong những điều kiện để thực hiện
được mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng là việc tổ chức dạy học
giải tốn; nó có tác dụng phát triển tư duy, phát huy sự sáng tạo, yêu cầu
học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống cụ thể, có khả
năng phát hiện và giải quyết vấn đề, độc lập suy nghĩ và lựa chọn phương
án tối ưu. Do vậy việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học
sinh là việc làm hết sức cần thiết, từ đó tác động đến tình cảm và đem lại
niềm vui, sự hứng thú học tập cho học sinh.
Việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh trong các trường THCS
đã và đang được quan tâm, cụ thể: nhiều buổi tập huấn được tổ chức, đổi

mới cách thức sinh hoạt tổ nhóm chun mơn, đổi mới phương pháp giảng
dạy khi coi người học là trung tâm. . . Tuy nhiên do chương trình tốn học
trải dài với nhiều mảng kiến thức và nội dung khác nhau đảm bảo cho
từng trình độ, độ tuổi nên việc dạy và học nhằm phát triển năng lực cho
học sinh còn chưa đáp ứng được yêu cầu học tập và nhu cầu của xã hội.
Số nguyên là một mảng kiến thức số học cơ bản và vơ cùng quan
trọng của Tốn học. Thực tế học sinh đã làm việc với số nguyên không âm
(số tự nhiên) từ chương trình tiểu học. Từ lớp 6, học sinh đã bước đầu làm
1


quen với bài tốn tìm các số ngun thỏa mãn những điều kiện nhất định.
Ở lớp 8, 9 học sinh đã giải quyết các bài tốn về giải phương trình nghiệm
ngun. Phương trình Diophant hay cịn được gọi là phương trình nghiệm
ngun là một trong những dạng tốn lâu đời nhất của Toán học và trải
qua một lịch sử phát triển lâu dài. Từ thế kỉ XVII trước công nguyên, các
nhà toán học Babylon cổ đại đã nắm được sự liên hệ trong phương trình
x2 + y 2 = z 2 với ba cạnh của tam giác vng (phương trình Pythagore)
và tìm ra các bộ số tự nhiên thỏa mãn phương trình này. Nhà tốn học
người Hy Lạp cổ đại Diophant (thế kỉ III sau công nguyên) là người đầu
tiên nghiên cứu một cách có hệ thống phương trình nghiệm ngun và
ơng đã giải được một số phương trình có nghiệm ngun dương. Vì thế
người ta đặt tên ơng cho phương trình nghiệm nguyên. Trong các kỳ thi
vào lớp 10 các trường THPT chuyên, THPT năng khiếu, kì thi học sinh
giỏi thành phố, quốc gia và quốc tế, phương trình Diophant nói chung và
phương trình Diophant dạng phân thức nói riêng vẫn thường xuyên xuất
hiện dưới các hình thức khác nhau và ln được đánh giá là khó do tính
khơng mẫu mực của nó, các bài tập biến đổi linh hoạt và đa dạng.
Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận
văn là: “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân thức cho

học sinh khá, giỏi ở trường trung học cơ sở”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu và phát triển năng
lực, kỹ năng giải các tốn đưa về giải bằng phương trình Diophant; góp
phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn tại các trường THCS, đặc
biệt trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp học sinh rèn luyện, củng
cố năng lực và giải quyết các bài tốn có nội dung hay và khó trong các
kì thi học sinh giỏi, thi vào các trường THPT chuyên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa cơ sở lý luận về dạy học phương trình Diophant dạng
phân thức.
- Đóng góp những biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng giải
tốn cho học sinh thơng qua dạy học nội dung giải phương trình Diophant
ở trường THCS.
2


- Xây dựng hệ thống bài tập vận dụng về phương trình Diophant dạng
phân thức trong các hoạt động học tập ở trường THCS.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giải thuyết khoa học và đánh
giá tính khả thi, hiệu quả trong vận dụng dạy học mơn tốn theo chuyên
đề bồi dưỡng ở trường THCS.
4. Đối tượng, khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng
và phát triển tư duy giải phương trình Diophant dạng phân thức.
- Khách thể nghiên cứu: Học sinh có trình độ khá, giỏi tại các trường
THCS.
5. Câu hỏi nghiên cứu
- Phương trình Diophant dạng phân thức thể hiện qua các bài toán
cụ thể nào?

- Thực trạng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn, đặc biệt là
chuyên đề giải phương trình Diophant dạng phân thức ở trường phổ thông
hiện nay ra sao?
- Các biện pháp sư phạm nào có thể sử dụng để rèn luyện kỹ năng và
phát triển năng lực giải phương trình Diophant cho học sinh?
6. Giả thuyết nghiên cứu
Khi dạy học phương trình Diophant dạng phân thức, nếu có thể xây
dựng một hệ thống các nội dung kiến thức cơ bản và quan trọng đồng thời
định hướng các biện pháp giải cho từng dạng bài tập và các biện pháp dạy
học phù hợp thì sẽ phát huy được kỹ năng và năng lực giải toán cho học
sinh, giúp học sinh ghi nhớ sâu những kiến thức đã học, nhạy bén và linh
hoạt hơn, phát huy tính tích cực trong dạy và học toán ở trường THCS.
7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
- Nội dung kiến thức của mơn tốn ở THCS.
- Thời gian nghiên cứu từ 25/2/2019 - 8/11/2019.
8. Phương pháp nghiên cứu
a) Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Tìm hiểu, nghiên cứu, phân tích, khái qt hóa và hệ thống hóa các
tài liệu về giáo dục học mơn tốn, tâm lý học, lý luận dạy học mơn tốn.

3


- Nghiên cứu nội dung, xu hướng của các đề thi học sinh giỏi, đề thi
tuyển sinh THPT.
- Nghiên cứu các bài viết khoa học mơn tốn, sách báo phục vụ cho
đề tài, tìm hiểu các cơng trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực
tiếp tới đề tài.
- Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu tham khảo ở trong và ngoài nước về
các vấn đề của đề tài luận văn.

- Nghiên cứu hệ thống chương trình Tốn học bậc THCS – Phần Số
học và Đại số nhằm phục vụ hoàn thành luận văn.
b) Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra giáo dục
- Quan sát và nhận định ở các hoạt động dạy và học thực tế.
- Tham khảo ý kiến trực tiếp của người dạy và người học.
- Tổng hợp ý kiến và kinh nghiệm của các chuyên gia.
c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
- Dạy thực nghiệm, kiểm tra kết quả trước và sau khi thực nghiệm
của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, đặc biệt trong các tiết học tự chọn
và tăng cường Toán hoặc tiết bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS.
d) Phương pháp thống kê toán học:
- Sử dụng các phần mềm thống kê tốn học nhằm xử lí các số liệu
điều tra khảo sát thực tế.
9. Mẫu khảo sát
- Học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi toán khối 8 trường THCS Lê
Quý Đôn, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội.
- Học sinh câu lạc bộ Toán 8 trường THCS Cự Khối, quận Long Biên,
thành phố Hà Nội.
10. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo trong
đó nội dung cụ thể sẽ được trình bày trong 3 chương chính:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Rèn luyện kỹ năng cho học sinh THCS thơng qua chun
đề “Phương trình Diophant dạng phân thức”
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
4


CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Các vấn đề chung về kỹ năng
1.1.1. Khái niệm kỹ năng
Theo từ điển tiếng Việt: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [11, tr246]
Theo giáo trình Tâm lý học giáo dục: “Kỹ năng là khả năng vận dụng
kiến thức (khái niệm, tri thức, phương pháp. . . ) để giải quyết một nhiệm
vụ mới”. [7, tr102]
Các định nghĩa trên tuy khác nhau về cách diễn đạt tuy nhiên đều có
chung một nhận định kỹ năng là khả năng vận dụng các kiến thức để giải
quyết những công việc đề ra.
Phân loại kỹ năng: xét theo tổng quan thì kỹ năng chia làm ba loại
là kỹ năng chuyên môn, kỹ năng sống và kỹ năng làm việc.
1.1.2. Đặc điểm kỹ năng
- Ý chí cá nhân có sự tham gia ở mức độ cao.
- Chưa bao quát được một cách có hệ thống các hành động.
- Thị giác đóng vai trò kiểm tra các hành động diễn ra.
- Chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với phản xạ. Phản xạ là
phản ứng của cơ thể với môi trường và mang tính thụ động, trong khi đó
kỹ năng là phản ứng có ý thức và mang tính chủ động.
1.1.3. Sự hình thành của kỹ năng
- Hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao
tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, tìm đường hướng giải quyết để đạt được mục tiêu cụ thể theo yêu cầu
đặt ra.
- Giáo viên cần chú ý khi tổ chức hoạt động nhằm hình thành kỹ năng
cho học sinh ở các điểm sau:
+ Giúp học sinh biết cách phân tích, tìm hiểu để nhận ra yếu tố đã
cho, yếu tố phải tìm là gì cùng mối quan hệ giữa chúng.
+ Giúp học sinh hình thành khả năng khái qt hóa để giải quyết

các đối tượng cùng loại, các bài tập tương tự.
5


+ Xác lập mối quan hệ giữa các kiến thức tương ứng cần dùng cho
các bài tập khái quát đó.
1.1.4. Những yếu tố tác động đến sự hình thành kỹ năng
- Nội dung chính của bài tập và nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa
hay bị các yếu tố phụ che khuất làm lệch hướng tư duy, ảnh hưởng đến sự
hình thành kỹ năng.
- Tâm thế, thói quen cũng đóng vai trị ảnh hưởng đến sự hình thành
kỹ năng. Cần chú ý rằng kỹ năng hoàn toàn khác so với thói quen, hầu hết
thói quen hình thành một cách vơ thức, khi diễn ra thường khó kiểm sốt
trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức trong quá trình
luyện tập.
- Mức độ khái quát, tổng hợp, nhìn đối tượng hay sự việc một các
tổng thể, bao quát.
1.2. Kỹ năng giải toán
1.2.1. Khái niệm kỹ năng giải toán
- Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng kiến thức của bộ mơn Tốn
và kinh nghiệm đã có nhằm thực hiện các hành động học tập toán học để
đi đến những lời giải một cách chính xác và hiệu quả.
- So với kiến thức thuần túy thì kỹ năng trong tốn học được nhận
định quan trọng hơn. Có thể nói, kỹ năng là kiến thức trong hành động vì
kỹ năng giải tốn có bản chất là cách thức, thủ thuật và thể hiện trình tự
thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã đặt ra.
- Để đạt được kỹ năng giải tốn khơng đơn thuần chỉ là việc học sinh
cung cấp lời giải cho học sinh bởi biết lời giải không quan trọng bằng làm
thế nào để phát hiện được lời giải đó. Để tăng hiệu quả và hứng thú học
tập cho học sinh, giáo viên cần định hướng để học sinh hình thành một

cách thức chung khi giải quyết một bài toán.
- Khi giải tốn thường có các bước sau:
+ Bước 1: Tìm hiểu đề bài của bài toán.
Để giải được một bài tốn trước hết cần hiểu bài tốn có gì và cần
gì, đâu là ẩn và các dữ kiện liên quan, có thể kí hiệu, phân biệt các thành
phần khác nhau của các đại lượng, có thể diễn đạt các dữ kiện đó dưới
cơng thức tốn học nào khơng.
6


+ Bước 2: Xây dựng phương hướng giải.
Cần phải phân tích bài tốn thành nhiều phần nhỏ, trong đó học sinh
đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa, có định lý nào liên quan hay
khơng. Chú ý cần phân chia các khả năng xảy ra, thậm chí trường hợp
đặc biệt và phải sử dụng toàn bộ dữ kiện của đề bài. Ngoài ra cũng cần
lưu ý các yếu tố phụ có thể bổ sung từ các yếu tố ban đầu.
Nhiều khi chưa phát hiện được cách thức giải, có thể giải các trường
hợp cụ thể, đặc biệt hóa trước rồi mới xây dựng trường hợp tổng quát.
+ Bước 3: Thực hiện thao tác giải toán.
Thực hiện lời giải đã đề ra, có thể chứng minh các bước giải đó là
đúng, quy trình giải logic khơng có vấn đề phát sinh.
+ Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu mở rộng lời giải.
Kiểm tra lại kết quả, xem lại lập luận giữa các bước giải. Có thể nhìn
lại tồn bộ bước giải để đưa ra một phương pháp chung nhất cho các bài
tốn tương tự. Ngồi ra có thể từ kết quả này suy luận được cách giải khác
cho bài toán hoặc tiếp tục khai thác bài toán này trở thành bài toán khác
ở mức độ cao hơn hay ở một khía cạnh khác.
- Kỹ năng giải tốn có mối quan hệ mật thiết với năng lực giải quyết
vấn đề toán học. Cụ thể: ở cấp THCS, “năng lực giải quyết vấn đề toán
học thể hiện qua việc phát hiện được vấn đề cần giải quyết; xác định được

cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; sử dụng được các kiến thức, kỹ
năng tốn học tương thích để giải quyết vấn đề; giải thích được giải pháp
đã thực hiện”. [1,tr12]
1.2.2. Vai trị của kỹ năng giải tốn
- Hoạt động giải tốn là điều kiện cần thiết và là hình thức chủ yếu
để thực hiện tốt các mục đích của việc dạy học mơn Tốn trong trường
phổ thơng. Kỹ năng vận dụng tri thức một cách hiệu quả vào hoạt động
giải tốn của học sinh được huấn luyện trong q trình học, tìm tịi lời
giải của bài tốn, xây dựng chương trình giải, thực hiện chương trình giải,
kiểm tra và nghiên cứu mở rộng lời giải vừa tìm được.
- Muốn đạt được kỹ năng đầu tiên cần phải có kiến thức. Kiến thức
phản ánh đầy đủ các thuộc tính cơ bản của đối tượng và được thử nghiệm
trong thực tiễn. Từ thực tiễn này học sinh phát hiện và nắm được kỹ năng
7


giải tốn sẽ có thái độ hứng thú, say mê hơn với bộ Tốn, từ đó kích thích
sự tìm tịi, khám phá của học sinh. Học sinh sẽ tiếp tục tìm đến những
kiến thức sâu hơn, tiếp thu được kiến thức mới, chinh phục kỹ năng giải
toán của phần kiến thức này và tiếp tục quy trình học tập bộ mơn Tốn.
Như vậy ta cũng có thể thấy được mối quan hệ mật thiết tác động qua lại
của kỹ năng với kiến thức và thái độ học tập.
1.2.3. Các thành phần liên quan kỹ năng giải toán
- Kỹ năng nhận thức trong mơn Tốn
+ Kỹ năng nắm vững khái niệm: Học sinh cần hiểu được các dấu hiệu
bản chất, đặc trưng của một khái niệm; nhận dạng và phát hiện một đối
tượng cho trước có thuộc phạm vi khái niệm đó hay khơng; đồng thời thể
hiện khái niệm qua các đối tượng cụ thể. Trên cơ sở đó, học sinh có thể
nắm được mối quan hệ và liên kết giữa các khái niệm.
+ Kỹ năng nắm vững định lý: Để nắm vững một định lý học sinh cần

phân biệt được phần giả thiết và phần kết luận của định lý đó hoặc phát
biểu định lý dưới dạng khác tương đương, hiểu được mối liên hệ giữa các
định lý với nhau.
+ Kỹ năng vận dụng các quy tắc: Mỗi quy tắc cần được vận dụng
thành thạo trong đó yêu cầu khi áp dụng phải linh hoạt, tránh máy móc,
rập khn. Trong quá trình giảng dạy cần chú ý lựa chọn, khai thác những
ví dụ nổi bật, những bài tập điển hình có cách giải quyết linh hoạt, đơn
giản hoặc giải quyết bằng nhiều cách hơn là áp dụng các quy tắc tổng
quát nhằm rèn luyện tính linh hoạt của tư duy. Mặt khác, cũng cần chú
ý luyện tập cho học sinh tư duy sáng tạo và phản biện khi chuyển từ loại
đối tượng này sang loại đối tượng khác.
+ Kỹ năng dự đốn và suy đốn logic: Có thể luyện tập cho học sinh
kỹ năng dự đốn và suy đốn thơng qua quan sát, so sánh, tương tự, đặc
biệt hóa, khái quát hóa,...nhằm phản ánh các quy luật, phát hiện vấn đề
và tự phát biểu các vấn đề đó.
- Kỹ năng thực hành
Bao gồm:
+ Kỹ năng vận dụng: Để giải quyết bài toán, sử dụng kiến thức đã
biết để đạt được mục đích u cầu của bài tốn đó.
8


+ Kỹ năng tốn học hóa các tình huống thực tiễn: Nhiều bài toán nảy
sinh từ thực tế đời sống địi hỏi sử dụng những kiến thức tốn học trong
nhà trường để giải quyết. Học sinh cần biến những dữ kiện đã có trong đề
bài thành các kiến thức tốn học cụ thể. Việc này góp phần gây hứng thú
học tập, giúp học sinh nắm được bản chất nội dung vấn đề và tránh hiểu
các yếu tố toán học một cách hình thức, đưa kiến thức khoa học của mơn
tốn trở nên gần gũi hơn và và phục vụ cuộc sống.
- Kỹ năng tổ chức hoạt động

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động đòi hỏi học sinh cần tự giác, chủ
động trong việc học tập và tiếp thu kiến thức, học sinh thực sự là thành
tố trung tâm của hoạt động học. Học sinh phải đặt ra kế hoạch học tập cá
nhân và biết cách học phù hợp với điều kiện và năng lực nhằm phấn đấu
đạt được mục tiêu của mình trong từng giai đoạn cụ thể.
- Kỹ năng hợp tác và hoạt động nhóm
Hoạt động nhóm giúp phát huy tối đa ưu điểm của từng cá nhân
trong nhóm, kết hợp các ưu điểm để hồn thành nhiệm vụ một cách hiệu
quả và nhanh chóng nhất. Học sinh nào cũng có những thế mạnh riêng
đồng thời hiểu biết giới hạn ở mảng nào đó do vậy cần lắng nghe ý kiến
của người khác. Khi lắng nghe các bạn mình, học sinh sẽ học hỏi được
nhiều kiến thức hơn để bổ sung cho phần kiến thức mà mình bị thiếu. Đó
là cách hồn thiện những thiếu sót của bản thân một cách nhanh chóng.
Nhờ làm việc nhóm, các học sinh cịn có thể đề ra thêm nhiều ý tưởng để
giải bài tốn theo nhiều cách khác nhau. Ngồi ra, làm việc nhóm giúp
cho mỗi cá nhân đề cao tinh thần tập thể, nâng cao hiệu quả cơng việc và
có sự gắn bó, thơng hiểu, tơn trọng lẫn nhau.
- Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá
Học sinh khi tham gia hoạt động học tập không chỉ đơn thuần tiếp
thu kiến thức một chiều mà qua một q trình cịn có thể tự điều chỉnh để
có kết quả mong muốn. Muốn vậy, học sinh cần có kỹ năng tự kiểm tra,
đánh giá để làm căn cứ cho bản thân mà trước hết phải biết xác định rõ
từng phần kiến thức trong chương trình hoặc mục tiêu học tập cụ thể của
từng giai đoạn. Học sinh có thể căn cứ vào những lần giáo viên kiểm tra và
nhất là căn cứ vào việc đánh giá khả năng tự học tập của bản thân thông
qua việc nắm lý thuyết, giải bài tập để từ đó thấy được những điểm yếu,
9


điểm thiếu sót của bản thân về một mảng nào đó và đề ra phương hướng

giải quyết, khắc phục. Khi nào học sinh có kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá
và biết tự điều chỉnh thì khi đó kết quả học tập sẽ được nâng cao dần.
1.2.4. Các mức độ trong kỹ năng giải toán
- Mức 1 (Nhận biết): phân biệt và nhắc lại được kiến thức cơ bản đã
học.
- Mức 2 (Thông hiểu): nắm được kiến thức đã học, có thể trình bày,
giải thích kiến thức đó theo cách hiểu của bản thân.
- Mức 3 (Vận dụng): biết áp dụng kiến thức đã học nhằm giải quyết
các vấn đề quen thuộc, tương tự trong học tập, cuộc sống.
- Mức 4 (Vận dụng cao): vận dụng kiến thức đã học nhằm giải quyết
các vấn đề mới hoặc đưa ra những phản hồi linh hoạt, hợp lý trong học
tập, cuộc sống. Thậm chí vận dụng kiến thức một cách chắc chắn từ tư
duy thuận sang tư duy nghịch.
1.3. Những khó khăn, sai lầm của học sinh THCS khi giải phương
trình Diophant dạng phân thức
1.3.1. Khó khăn
- Phương trình Diophant dạng phân thức là một dạng tốn khó với
học sinh THCS vì học sinh mới nắm được những kiến thức cơ bản nhất
về số học và đại số, chưa có nhiều cơng cụ và kiến thức sâu để hỗ trợ.
- Các nội dung kiến thức để giải phương trình Diophant dạng phân
thức được học dàn trải trong tồn bộ chương trình THCS cũng là một khó
khăn cho việc dạy và học, địi hỏi cả một quá trình dài đầu tư suốt cả cấp
học. Ví dụ như số nguyên, phân số, phân số Ai Cập học sinh được học ở
lớp 6, lớp 8 học về phân thức, lớp 9 học về biến đổi căn thức bậc hai và tỉ
số lượng giác. . .
- Hơn nữa phương trình Diophant dạng phân thức thường khơng có
cách thức giải chung mà địi hỏi người dạy và người học tìm tịi các phương
pháp, mày mị thơng qua các kinh nghiệm giải các bài tương tự.
- Học sinh gặp nhiều khó khăn khi đọc hiểu đề bài và diễn giải các
bài tốn có nội dung thực tế đưa về giải bằng phương trình Diophant dạng

phân thức.
Ví dụ: bài toán cổ
10


“Trăm trâu, trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Lụ khụ trâu già
Ba con một bó”
Hỏi có bao nhiêu con trâu đứng, trâu nằm và trâu già?
1.3.2. Các sai lầm thường gặp
- Học sinh không dễ dàng phát hiện ra được cách thức để giới hạn
nghiệm nguyên trong những trường hợp số đó có quá nhiều ước, gây khó
khăn khi chia trường hợp và dễ dẫn đến sai lầm trong q trình tính tốn.
Ví dụ: Sau khi biến đổi phương trình ban đầu về dạng (2x+1)(y−4) = 2012
với x, y là số nguyên dương thì cần quan sát để phát hiện 2x+1 là số nguyên
dương lẻ lớn hơn 1 nên 2x + 1 chỉ có thể bằng 503.
- Học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình đánh giá chiều của bất
đẳng thức. Ví dụ: Học sinh khơng đổi chiều của bất đẳng thức khi nhân
hai vế với cùng một số âm.
- Học sinh gặp nhiều khó khăn khi đưa một bài tốn giải phương
trình Diophant dạng phân thức từ cụ thể trở thành bài toán tổng quát
hơn, hoặc từ bài tốn có hai biến thành bài tốn có nhiều hơn hai biến.

11


Kết luận chương 1
Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THCS có ý nghĩa hết sức

quan trọng, vừa phát huy những kiến thức cơ bản từ Tiểu học,vừa là nền
móng để tiếp thu những kiến thức tiếp theo ở chương trình Trung học phổ
thơng, từ đó góp phần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về
bộ mơn Tốn để đáp ứng u cầu của đời sống.
Chương 1 đã hệ thống và làm rõ hơn các vấn đề về lý luận có liên
quan trực tiếp đến đến kỹ năng nói chung và kỹ năng giải tốn nói riêng,
từ đó làm cơ sở tiền đề cho việc định hướng hoạt động dạy và học có hiệu
quả, là căn cứ để đề ra các biện pháp cụ thể nhằm nâng cao khả năng tiếp
thu và vận dụng của học sinh khi giải tốn.
Trong chương này cũng đã trình bày một số vấn đề thực tiễn về việc
dạy học giải phương trình Diophant dạng phân thức hiện nay tại trường
THCS. Thực tiễn cho thấy việc rèn luyện và phát triển kỹ năng giải phương
trình Diophant dạng phân thức chưa được quan tâm đúng mực, hiệu quả
đạt được còn chưa cao. Vì thế cần phải có những biện pháp tích cực nhằm
khắc phục tình trạng này góp phần tháo gỡ khó khăn trong học tập cho
học sinh và nâng cao chất lượng học tập nói chung cũng như chất lượng
bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi ở trường THCS.
Dựa trên những căn cứ luận trên, tác giả đã xác định phương hướng
cho giải pháp rèn luyện kỹ năng giải phương trình Diophant dạng phân
thức cho học sinh khá giỏi ở trường THCS sẽ được trình bày cụ thể trong
chương 2.

12


CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC CƠ SỞ THƠNG QUA CHUN ĐỀ
“PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANT DẠNG PHÂN THỨC”
2.1. Phương trình Diophant tuyến tính

Các dạng phương trình Diophant phi tuyến f (x, y, . . . , z) = m thường
khơng có phương pháp chung để giải. Trong chương này, trình bày một số
phương pháp tiếp cận thơng dụng giải các bài tốn đặc thù.
Định nghĩa 2.1. Phương trình Diophant tuyến tính là phương trình có
dạng
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = c,
n

trong đó các hệ số ai , c ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n,
i=1

a2i = 0, các biến số

xi ∈ Z, ∀i = 1, 2, . . . , n.
Trong chương này, ta chủ yếu xét lớp các phương trình Diophant
tuyến tính hai ẩn và ba ẩn. Đó là các dạng phương trình Diophant thường
xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và Olympic các nước.
2.1.1. Phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn
Định lý 2.1. Xét phương trình Diophant tuyến tính hai ẩn
Ax + By = C.

(2.1)

có nghiệm khi và chỉ khi d = (A, B) | C.
Nếu (x0 , y0 ) là một nghiệm của phương trình (2.1) thì mọi nghiệm
của phương trình (2.1) được cho bởi cơng thức


x = x0 + B t
d

, t ∈ Z.
A

y = y0 − t
d
Chứng minh.
i) ⇒) Giả sử (x0 , y0 ) là nghiệm của phương trình (2.1), tức là
Ax0 + By0 = C.
13



d |A
Ta có d = (A, B) nên
d |B

hay d |(Ax0 + By0 ) hay d |C .

⇐) Giả sử d = (A, B) |C
Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử B > 0. Vì d = (A, B) |C nên
∃a, b, c ∈ Z sao cho
A = da, B = db, C = dc, (a, b) = 1.
Khi đó (2.1) tương đương với
ax + by = c.

(2.2)

Vì (a, b) = 1 nên tập hợp {1a, 2a, . . . , ba} là một hệ thặng dư đầy đủ
modulo b nên
∃x ∈ {1, 2, . . . , b} : ax ≡ c (mod b).

Do đó
∃x ∈ {1, 2, . . . , b} : ax − c ≡ 0

(mod b),

nên
∃x ∈ {1, 2, . . . , b} , ∃y ∈ Z : ax − c = by.
Suy ra
∃x ∈ {1, 2, . . . , b} , ∃y ∈ Z : ax + by = c.
Điều đó có nghĩa là
∃x, y ∈ Z : ax + by = c.
Chứng tỏ rằng phương trình (2.2) có nghiệm ngun (x, y), tức (2.1)
có nghiệm nguyên
 (x, y).
B


x = x0 + t



d
ii) ⇐) Nếu
, t ∈ Z thì



A

y = y0 − t

d
B
A
Ax + By = A x0 + t + B y0 − t = Ax0 + By0 = C.
d
d
Chứng tỏ rằng (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1).
14


⇒) Nếu (x, y) là nghiệm của phương trình (2.1), tức phương trình
(2.2) thì
ax + by = c = ax0 + by0 hay a(x − x0 ) = b(y0 − y), suy ra
b |a(x − x0 ) .
Vì (a, b) = 1 nên
b |(x − x0 ) hay ∃t ∈ Z : x − x0 = bt ⇔ ∃t ∈ Z : x = x0 + bt.
Từ đó, suy ra
y = y0 − at.
Vậy nên

x = x + bt
0
y = y0 − at

, t∈Z


B

x = x0 + t

d

y = y − A t
0
d

, t ∈ Z.

hay

Nhận xét 2.1. Việc giải phương trình (2.1) quy về việc tìm
1. d = (A, B).
2. Một nghiệm riêng (x0 , y0 ) của phương trình (2.1).
Ta đã biết rằng phương trình (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi d =
(A, B) |C .
Trong trường hợp này, ta giả sử A = ad, B = bd, C = cd thì (a, b) = 1
và khi đó phương trình (2.1) tương đương với phương trình
ax + by = c.

(2.2)

Nếu (x0 , y0 ) là một nghiệm của (2.2) thì mọi nghiệm của (2.2) được
cho bởi cơng thức

x = x + bt
0
, t ∈ Z.
y = y0 − at
Như vậy việc giải phương trình (2.2) quy về việc tìm một nghiệm
(x0 , y0 ) của nó.

15


Xét phương trình
ax + by = 1.

(2.3)

Nếu (x1 , y1 ) là một nghiệm của (2.3) thì (cx1 , cy1 ) là một nghiệm của
(2.2). Thành thử ta quy về bài tốn: Cho (a, b) = 1. Hãy tìm một nghiệm
của phương trình (2.3).
a
Ta biểu diễn phân số
thành liên phân số hữu hạn
|b|
a
= [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] .
|b|
pn−1
pn
và Cn =
là hai giản phân cuối cùng của liên
qn−1
qn
a
pn
= , (a, b) = 1, (pn , qn ) = 1 nên a = pn , |b| = qn .
phân số này. Ta có
|b|
qn

Ta có
pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1
Gọi Cn−1 =

nên
aqn−1 − |b| pn−1 = (−1)n−1 ,
suy ra
a(−1)n−1 qn−1 − |b| (−1)n−1 pn−1 = 1.
Vậy nếu b > 0 thì phương trình (2.3) có một nghiệm là

x = (−1)n−1 .q
1
n−1
n
y1 = (−1) .pn−1 .
Nếu b < 0 thì phương trình (2.3) có một nghiệm là

x = (−1)n−1 .q
1
n−1
y1 = (−1)n−1 .pn−1 .
Trong mục này, ta trình bày hai thuật tốn tìm nghiệm riêng của
phương trình Diophant, đó là thuật tốn giản phân và thuật tốn Euclid.
Để tìm nghiệm riêng, ta tiến hành thực hiện theo các bước như sau:
- Bước 1. Tìm d = (A, B) để đưa phương trình (2.1) về phương trình
(2.2) với (a, b) = 1.
16