Đề thi cao học Vinh

Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. 1) Giả sử hàm RRf
2
: cho bởi công thức
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2

yx
yx
yx
yx
yxf
nếu
nếu
a) Xét tính liên tục của f trên
2
R .
b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm
( )
0,0 .
2) Tìm miền hội tụ của chuỗi

n
n
n
x
x






+

+

=
1
1
12
1
0
Câu 2. Kí hiệu
1
l =
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
;
( )
,,
1
1

=
=
n
nn
yxyxd
( )
2
1
1
2
2
,





=


=n
nn
yxyxd
với
{ }
n
xx = ;
{ }

n
yy = thuộc
1
l .
Chứng minh rằng
a)
1
d ,
2
d lần lượt là các mêtric trên
1
l ;
b) không gian
( )
11
,dl đầy đủ ; khả li.
c) Không gian
( )
21
,dl không đầy đủ.
Câu 3. Giả sử
[ ]
1,0
C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên
[ ]
1,0 với chuẩn sup
và A:
[ ]

1,0

C
[ ]
1,0
C biến x thành
Ax
cho bởi
( )( ) ( )
txttAx
2
= với mọi x
[ ]
1,0
C và
[ ]
1,0t
a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A
b) Chứng tỏ rằng
[ ]
( )
1,0
CA là không gian con đóng của
[ ]
1,0
C .
Câu 4. ánh xạ YXf : từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với
tập đóng A bất kì ta có
( )
Af đóng trong Y. Chứng minh rằng YXf : là đóng khi và chỉ khi
( )
( )

fAfA
với mọi XA .
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Gọi
1+n
E Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực. Trong
1+n
E cho các đa thức
( )
xu
k
với
nk
0
được xác định như sau:
0
0
=u ;

( )
xu
k
=
( )( ) ( )
121 + kxxxx L với
nk
0
.
a) Chứng minh rằng các đa thức
{ }
n
k
k
u
0=
lập thành một cơ sở của
1+n
E .
b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính
của
1+n
E tho mãn
1
+n
điều kiện
( )
k
k
ux = , nk ,,2,1,0

K= . Và là một song ánh.
c) Xác định ánh xạ

:
1+n
E
1+n
E bởi điều kiện

( )
[ ]
( ) ( )
xpxpxp += 1 ;
( )
1n
pxE
+
.
Hãy chứng minh

là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của

. Tìm các đa thức
( )( )
xu
k
; nk ,,2,1,0 K= .
Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi
x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng

cấu với G.
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic.
Câu 3. Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ
Ô và trường các lớp đồng dư
p
 (với p là số
nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố.
b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì. Chứng tỏ rằng X Ô hoặc X
p
 (với p là một số
nguyên tố nào đó).
Câu 4. Giả sử phép biến đổi tuyến tính
của không gian R
3
đối với cơ sở đơn vị có ma trn là:

815
231
411
A



=




a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của .

b) Tìm một cơ sở của R
3
mà đối với nó ma trận của
có dạng tam giác . Viết ma trận đó.
c) Giá trị riêng của có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
3
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. Cho hàm số
( )





=+
+
+
=
0 0
0

,
22
22
22
2
yx
yx
yx
yx
yxf
nếu
nếu
Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đã chi trên miền xác định của nó.
Câu 2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
( )
( )


=



1
1
3
2
1
n
n
n

n
x
.
Câu 3. Giả sử
( ){ }
niRxxxxR
in
n
,,2,1,:,,,
21
LK == } và
( )
1,0p . Vói mỗi tập
( )
n
xxx ,,
1
K= ;
( )
n
yyy ,,
1
K= ta đặt
( )

=
=
n
i
p

ii
yxyxd
1
, ;
( )

=
=
n
i
ii
yxyx
1
, Chứng minh
rằng:
a) ( dR
n
, ) là không gian mêtric đầy đủ.
b) ánh xạ đồng nhất :
d
i ( dR
n
, )
( )
,
n
R liên tục.
Câu 4. Cho hàm :f
ĂĂ xác định bởi
()

(
]











+
=

=
nn
Axifn
xif
xf
n
1
,
1
1

1,0 0
,
K,2,1=n

Với mỗi

Nn ta đặt

=
=
n
k
An
n
kf
1
(
n
A
là hàm đặc trưng của A
n
).
Chứng minh rằng
a) ff
n
trên Ă .
b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe
( )
fxdx

Ă
.
c) Hàm
2

f không khả tích Lơ be trên Ă .
Câu 5. Kí hiệu
[ ]
1,0
C là không gian tất cả các hàm liên tục
[ ]
:0,1x Ă với bất kì
yx,
[ ]
1,0
C ta đặt
( )
[ ]
( ) ( )
0,1
,sup
t
dxyxtyt

=. Chứng minh rằng
a) ánh xạ
[ ] [ ]
1,01,0
: CCf cho bởi
()
[ ]
() ()
dssxtxf
t

=
0
, x
[ ]
1,0
C là ánh xạ tuyến tính liên
tục. Tính chuẩn của f.
b)
[ ]
( )
dC ,
1,0
không phải là không gian compact.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
4
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi:
1
(1)
ln
n

n
n

=


.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:
1
2
n
n
x
n

=

.
c) Tính tổng của chuổi lũy thừa:
2
1
(1)
n
n
nnx


=
+

Câu 2. Ký hiệu
{ }
2
2
1
:
nn
n
lxx

=


=<




C . Đặt
( )
,sup
nn
n
pxyxy

=
N
( )
1
2

2
1
,
nn
n
dxyxy

=

=



với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy = thuộc
2
l
a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên
2
l .
b) ánh xạ đồng nhất
d
I :
22
(,)(,)ldlp là ánh xạ liên tục.

Câu 3. a) Cho hàm f
0 đo được, hữu hạn h. k. n trên tập hợp A, đặt
()
f(x) f(x)n
0 f(x)n
n
fx


=



nếu
nếu
và
f
n
f h. k. n
Chứng minh rằng lim()
AnA
x
IfdLIfd
àà

= .
b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X. Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi
E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó.
Câu 4. ánh xạ f: E F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F được gọi là bị
chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho

()fxC với mọi x E mà 1x . Chứng minh
rằng để f: E F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
5
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf
: là ánh xạ tuyến tính.
a) Chứng minh
( ) ( )
nfimf =+ kerdimdim .
b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.
c) Giả sử ff =
2
. Chứng minh Vfimf = ker .
d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f
được xác định bởi
( )
xxf = ( là số thực cho trước).
Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng:
a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic.
b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con.
c) X

Y khi và chỉ khi m=n.
d) X
ì Y là nhóm Xyclic cấp mì n khi và chỉ khi (m,n)=1.
Câu 3. Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị . Một Iđêan A
X của X được gọi là Iđêan tối
đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X được
gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v
X thì tích u.v P kéo theo u P hoặc v P . Giả sử I
là Iđêan của X. Chứng minh rằng:
a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại.
b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại .
c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại.
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
6
Bộ giáo dục và đào tạo
Trường Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho chuổi hàm:
( )
( )
1
1
21

3
n
n
n
x
n

=



. (1)
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó.
Câu 2. Cho hàm số
( )
1
y cos 0
,
x
0 0
x
fxy
x



=

=

nếu
nếu
a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f.
b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R
2
nhưng mở trong tập
{ }
(0,):yyĂ .
Câu 3. Cho dãy hàm

()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0
1,0
1
=







= n
x
xnx

n
xf
n
nếu
nếu
Chứng minh rằng
a)
( )
lim
n
x
fxx

= với
[ ]
1,0x
b)
1
lim
2
n
x
If

= trong đó
n
If là tích phân Lơbe của
n
f trên R,
[ ]

nx là phần nguyên của nx .
Câu 4. Giả sử

l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ;
0
c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới
0.
a) Chứng minh rằng công thức

sup
n
n
xx

=
N
với
{ }
n
xx =

l xác định một chuẩn trên

l .
b) Chứng minh rằng
0
c là không gian con đóng trong

l với chuẩn nói trên.
c) Cho ánh xạ Rlf

: xác định bởi công thức
()
1
3
n
n
n
x
fx

=
=

, với mọi
{ }
n
xx =

l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên

l và tính
f .
Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.
Chứng minh rằng với mọi x E, đều tồn tại y B sao cho xy = d(x, B).