Các câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát P2

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

52

0
0
1
2
1
2 .
2 2
x
x


  
= hằng số
3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất:
Gọi
1
(2 ,5 )A a a
a
  
( a > 0) và
1
(2 ,5 )B b b
b
  
(b > 0) là hai điểm thuộc 2 nhánh của
(C).
Ta có:

2
2 2
1 1
( ) ( )AB b a b a
b a
     


2
2 2
2
2
1 2 1 4
( ) ( ) 1 4 4 1 8 8
4 4
8 8 8 2 8 . 8 8 2
b a b a ab ab ab
ab ab ab
a b
ab ab
ab ab
   
           
   
   
      

khi:
2 2
4 4

4
2 2(1 2)
min( ) 2 2(1 2)
4 1
8
2
1 1
2
2
AB
AB
a b a b
ab
a b
ab
a b a b
  
  
 
 
 

 


 

     

Vậy:

4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
A
 
  
 
 


4
4 4
1 1
2 ,5 2
2 2
B
 
  
 
 

Câu 41:

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:

2
x
y (C)

x 1



 TXĐ: D = R\{1}

2
2
x 2x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2





 




 Tiệm cận đứng:
x = 1 vì
1
lim y
x
 

Ta có:
1
y x 1
x 1
  


 Tiệm cận xiên:
y = x + 1 vì
1
lim 0
x 1
x



Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

53
 BBT:

 Đồ thò:


2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới
(C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 45
0
.
- Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M

đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 45
0

 Hệ số góc tiếp tuyến tại M
0
(x
0
, y
0
)  (C) là f’(x
0
) = ± 1

2
0 0
0
2
0
2
0 0
0
2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2x

f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm)
(x 1)
x 2x
f'(x ) 1 = 1
(x 1)
2
x 1
2
2x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 


   


 



 




 



Phương trình tiếp tuyến tại M
0
là:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

54

0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   

   



    


(d
1
) qua M(a, 4) 
4 a 3 2 2 a 1 2 2       

(d
2
) qua M(a, 4) 
4 a 3 2 2 a 1 2 2       

Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán.

1 2
M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)   

Câu42:

1) Khảo sát hàm số:
y=
3
3x x
(1)
TXĐ: D = R
y’=
2
3 3x 

1
1
y'=0
x
x





y”=6x
y”=0
 x=0 =>y=0
=> điểm uốn O(0, 0)
BBT:




Đồ thò:


2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thò (1)
tại 1 điểm cố đònh A:
* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố đònh A(-1, 2).
Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A

đồ thò (1).

Vậy: (d) luôn cắt đồ thò (1) tại điểm cố đònh A(-1, 2).
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

55
Đònh m để (d) cắt đồ thò (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và
C vuông góc với nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

3
3x x
= m(x + 1) + 2

(x+1)(
2
x
- x – 2 - m) = 0
(d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt.
1
2
2 0
(2)
x
x x m




 
   



(2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1.

0
( 1) 0g

 
 


1 4 (2 ) 0
0
m
m

  


9
4
0
m
m










Khi đó (2) có 2 nghiệm
B
x
,
C
x
=> hệ số tiếp tuyến tại B và C là: f’(
B
x
), f’(
C
x
)
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau

f’(
B
x
).f’(
C
x
) = -1

(3
2
B
x

-3)(3
2
C
x
- 3) = -1

9
2
B
x
2
C
x
- 9(
2
B
x
+
2
C
x
) + 9 = -1

9
2
P
-9(
2
S
- 2P) +10 = 0

Mà:
1
2
b
S
a
P m

  



  


=> 9
2
( 2 )m 
- 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0
=> 9
2
m
+18m – 9 = 0
=>
2
m
+2m-1=0
1 2
1 2
m

m




 
 
(loại)
So với điều kiện: m > -
9
4
và m

-1+
2
.


Câu43:

Cho hàm số: y=
2 2
2
2
x x m
x
 


1) Tìm giá trò của m sao cho

y


2 với mọi x

-2
Ta có:
y


2

y

-2

y

2


2 2
maxy 2 min 2
x x
y
 
    

Mà: y’=
2 2

2
4 4
( 2)
x x m
x
  


y’= 0
2 2
4 4 0x x m    


( 0)
1 2
2 2
m
x m
x m
 
 
 

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

56
( 0)
'( )
1
2 2

Ð
'( )
1
'( )
2
2 2
'( )
2
m
u x
y m
C
v x
u x
y m
CT
v x



 




  
  

Ta có:
max 2

2
min 2
2
y
x
y
x









2 2 2
2 2 2
m
m




  
  

0
2 2
m

m m





  
2 2m m    

Vậy:
2, 2 2 2y x khi m m       

2) Khảo sát hàm số với m = 1:
2
2 1 1
2 2
x x
y x
x x
 
  
 

 TXĐ: D = R\{-2}
2
2
4 3
'
( 2)
x x

y
x
 



' 0
3
1
y
x
x

 





 Tiệm cận đứng:
x = -2 vì
2
lim
x
y

 

 Tiệm cận xiên:
y = x vì

1
lim 0
2
x
x




 BBT:


 Đồ thò:
Cho x=0, y =
1
2

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

57

Câu 44:
Cho hàm số: y =
2
8
8( )
x x
x m



(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số (1) với m = 1:
y=
2
8
8( 1)
x x
x



 TXĐ: D = R\{-1}
y’=
2
2
8 16 64
64( 1)
x x
x
 

=
2
2
2 8
8( 1)
x x
x
 


y’= 0
4
2
x
x







 Tiệm cận đứng:
x = -1 vì
1
lim
x
y

 

 Ta có: y=
1
8
x -
9
8
+
9

8( 1)x 

 Tiệm cận xiên:
y=
1
8
x-
9
8
vì
9
lim 0
8( 1)
x
x




 BBT:

 Đồ thò:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

58



2) Tìm m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1,


)
Ta có:
2
8
(1)
8( )
x x
y
x m




D = R\{-m}

2 2
8 16 64 2 8
'
2 2
64( ) 8( )
x mx m x mx m
y
x m x m
   
 
 

Hàm số (1) đồng biến trên [1,

)

' 0, [1; )y x    


2
2 8 0, [1; )x mx m x      



2
' 0 8 0
1 0
1 1
m m
m
m m


   
    

  



Hay

' 0
1
' 0
'(1) 0 0

1
6
1 2
1 0
2
af m
x x
S


 


 
     

 


 



ĐS:
1
1
6
m  

Câu 45:

1) Khảo sát hàm số :

2
( 1) ( 2)y x x  
(C)

3
3 2y x x  

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

59
 TXĐ: D = R
2
' 3 3y x 

y’=0
1
1
x
x







y”=6x
y”= 0


x= 0

x = 0

y=

2

điểm uốn I(0, -2)
 BBT:

 Đồ thò: Cho x =

2 , y =

4
x = 2, y = 0


2) Xác đònh k để đường thẳng (

) qua M(2, 0) và có hệ số góc k cắt đồ thò hàm số sau
tại 4 điểm phân biệt:

3
3 2
1
y x x  
(

1
C
)
Ta có:
 
1
y f x

Đây là hàm số chẵn nên đồ thò (
1
C
) nhận Oy làm trục đối xứng.
Đồ thò (
1
C
) suy từ ( C) như sau:
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

60

- Phần của (C) bên phải Oy giữ nguyên, bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối
xứng của phần bên phải của (C) qua Oy.
Xét đưòng thẳng
( )
1
d
qua 2 điểm M(2, 0) và I(0, -2)

Hệ số góc
2

1
1
2
M I
M I
y y
k
x x

  


Xét đường thẳng
2
( )d
qua 2 điểm M(2, 0) và A(-1, -4):

Hệ số góc
2
4
3
M A
M A
y y
k
x x

 


Nếu
( )
qua M và nằm giữa
( )
1
d
và
2
( )d
thì
( )
cắt
1
( )C
tại 4 điểm phân biệt.
4
1
3
k  

Câu 46:

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :

3 1
3
x
y
x




(1)
 TXĐ: D = R \{3}

2
10
' 0
( 3)
y
x

 




Hàm số giảm trên từng khoảng xác đònh .
 Tiệm cận đứng :
x = 3 vì
3
lim
x
y

 

 TCN:
y = 3 vì
lim 3

x
y



 BBT:

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

61
 Điểm đặc biệt:





2) Tìm hàm số mà đồ thò của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0.
Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)
 I(3, 3)
Gọi () : x + y –3 = 0
Ta có: I và O đối xứng qua ().
Đổi trục bằng tònh tiến theo vectơ
(3,3)OI 



3
3
x X
y Y




 

 

Thay vào phương trình của (C):

3 10 10
3
X
Y Y
X X

   

Ta có:
TCĐ của (C) đối xứng qua (
) là trục Ox.
TCN của (C) đối xứng qua () là trục Oy.

Hai Đường tiệm cận của (C
1
) đôi xứng của (C) qua () là 2 trục Ox, Oy nên phương
trình của (C
1
) là :

10

y
x


3) C(a,b) là 1 điểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến tại C cắt 2 đường tiệm cận tại A và B.
Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và diện tích
IAB
không đổi.
Ta có đối với hệ trục mới:

'
2
10 10
Y= (C) Y = -
X
X


Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

62
10
( , )C a b C b
a
  

Tiếp tuyến tại C có phương trình:

2
2

2
10
'( )( ) ' ( )
10 10 10
10 20
a
a
a
Y f X X X Y Y X a b
c c c
Y X
a a
Y X
a
       
    
   

Tiếp tuyến cắt TCĐ tại A
20
0 ,A
a
 

 
 

Tiếp tuyến cắt TCN tại B
C là trung điểm AB
(2 , 0)

2
10
2
B a
X X
A B
a X
C
Y Y
A B
Y
C
a









 


 


Mặt khác:

1 1 20
. 2 . 20
2 2
S X Y a
B
IAB A
a
  
(đvdt)
Vậy: C là trung điểm đoạn AB và S
IAB
= 20 (không đổi).


Câu 47:
Cho hàm số: y = x
4
– 4x
2
+ m (C)
1) Khảo sát hàm số với m = 3:
y = x
4
– 4x
2
+ 3
 TCĐ: D = R
3 2
2
4 8 4 ( 2)

0
0
2
12 8
2 7
0
3 9
'
'
''
''
   


 

 

 
     
y x x x x
x
y
x
y x
y x y

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

63

Điểm uốn:
2 7 2 7
, , ,
3 9 3 9
   
   

   
   

 BBT:


 Đồ thò (học sinh hãy tự vẽ)
Cho
1
0
3
x
y
x
 

 

 


2) Giả sử (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Xác đònh m sao cho diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và trục Ox có diện tích phía trên và phía dưới Ox bằng nhau.

(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
4 2
4 0 (1)x x m   

có 4 nghiệm phân biệt
2
4 0 (2)t t m   

(với
2
0t x 
) có 2 nghiệm phân biệt.

0 4 0
0 0 0 4
0 4 0
m
P m m
S

   
 
 
      
 
 
 
 

Khi đó, do tính đối xứng, theo đề bài ta có : S
1
= S
2
.

0
( ) ( )
( ) (0) ( ) ( )
( ) (0)
a b
a
f x dx f x dx
F a F F b F a
F b F
  
    
 
 


Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

64
mà:
5 3
5 3
4 2
4
( )

5 3
4
0
5 3
4
0 ( 0) (1)
5 3
  
   
    
x x
F x mx
b b
mb
b b
m b


Mà điểm
4 2
2 4
( , 0) ( ) 4 0 (2)
4
    
  
b C b b m
m b b


Thay vào (1)

4 2
2 4
2 4
2
4
4 0
5 3
8 4 10 40 100 20
0
3 5 3 3 9 9
    
        
b b
b b
b b
b m



Vậy
20
9
m 

CÂU 48:
Cho hàm số :
1
3 2
1
3

y x mx x m    

1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số ứng với m = 0

1
3
1 ( )
3
y x x C  

 TXĐ : D = R

2
' 1
1
' 0
1
'' 2
'' 0 0 1
y x
x
y
x
y x
y x y
 
 

 





    

điểm uốn I(0, 1)
 BBT:

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

65

 Đồ thò:
Cho
1
2 ,
3
x y  


5
2 ,
3
x y 


2) Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Ta có :
1
3

1
3
y x x  


2
' 1
'' 2
y x
y x
 


BXD:


min ' 1y
R
  
tại x = 0, y = 1  I(0, 1)
Vậy : Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I là nhỏ nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại I là:

2
2
' 2 1
' 0 2 1 0 (1)
y x mx
y x mx
  

    


2
' 1 0 , (1)m m     
có hai nghiệm phân biệt.
 Hàm luôn luôn có CĐ, CT.
- Tìm m sao cho khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT là nhỏ nhất.
Gọi M
1
(x
1
, y
1
) và M
2
(x
2
, y
2
) là điểm CĐ và CT của đồ thò, ta có:

2 2 2
1 2 2 1 2 1
(x x ) (y y )M M    

Để tìm y
1
, y
2

ta chia f(x) cho f ’(x) :

2
1 1 2 2
f '( ). ( 1) 1
3 3 3 3
y x x m m x m
 
     
 
 

Vì f ’(x
1
) = 0, f ’(x
2
) = 0
Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

66

2
1
2
2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 1
2 2 2
2 1
2 2

1
1
2 2
( 1) 1
3 3
2 2
( 1) 1
3 3
4
( ) ( 1 )( )
9
4
( ) ( 1) 1
9
2 ' 4
( 1) 1
9
y m x m
y m x m
M M x x m x x
x x m
m
a

    

   
     
 
   

 
 
 

 
  
 
 
 
 
 


2
1 2
52
min
9
M M 
khi m = 0

1 2
2 3
min
3
M M 
khi m = 0
Câu 49 :
1. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số :

3 2
6 9
y
x x x

 
(C)
 TXĐ : D = R

2
' 3 12 9
1
' 0
3
" 6 12
y x x
x
y
x
y x
  


 



 

" 0 2 2y x y     
điểm uốn (2,2)
 BBT :

 Đồ thò :

4
3
2
1
O
X
Y
2
4
(C)

2.a.Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò
1
( )C
của hàm số :

3
2
1
6 9y x x x  

Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý

67

Ta có :
3 2
1 1
6 9 ( )y x x x y f x    

Đây là hàm số chẳn nên đồ thò
1
( )C
nhận Oy làm trục đối xứng

3
O
X
Y
4
-3
(D)

Do đó đồ thò
1
( )C
suy từ (C) như sau :
-Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên
-Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục
Oy.
b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :

3
2
3

2
6 9 3 0
6 9 3
x x x m
x x x m
    
    

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của
1
( )C
và đường thẳng d : y = 3 – m . Số
giao điểm của
1
( )C
và d là số nghiệm của phương trình .
Biện luận :

3 0 3m m   
:vô nghiệm

3 0 3m m   
: 3 nghiệm

0 3 4 1 3m m      
: 6 nghiệm

3 4 1m m    
: 4 nghiệm

3 4 1m m    
: 2 nghiệm
Câu 50:

Cho hàm số : y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx – 5
1) Với giá trò nào của m thì hàm số có CĐ, CT:
Ta có: y’ = 3(m + 2)x
2
+ 6x + m
y’ = 0
 3(m + 2)x
2
+ 6x + m = 0 (1)
Hàm số có CĐ, CT
 (1) có 2 nghiệm phân biệt

2
2 0 2
' 0 9 3 ( 2) 0
2
2
3 1
3 6 9 0
m m
m m
m

m
m
m m
   
 
 
 
    
 
 

 


 
 
  
   




Vậy hàm số có CĐ, CT khi:
- 3 < m < 1 và m
 -2
2) Khảo sát hàm số ứng với m = 0
y = 2x
3
+ 3x
2

– 5 (C)