(Luận văn thạc sĩ) điều khiển ổn định một số hệ phương trình có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– o0o ————-

TÔ THỊ PHƯƠNG

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Hà Nội, 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————– o0o ————-

TÔ THỊ PHƯƠNG

ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH MỘT SỐ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHẬM

Chun ngành:

TỐN GIẢI TÍCH

Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY

Hà Nội, 2014


1

Mục lục
1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Hệ điều khiển khơng có chậm . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một vài định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hệ điều khiển có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm .
1.2.3 Hệ tuyến tính khơng dừng và phương trình Riccati

2 Bài tốn điều khiển có nhớ
2.1 Giới thiệu bài tốn . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dấu hiệu ổn định hóa được . . . . . . . . . .
2.2.1 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển
2.2.2 Trường hợp hệ có bộ phận điều khiển
3

Bài toán điều khiển H∞

3.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . .
3.1.1 Giới thiệu bài toán . . . . .
3.1.2 Một số định nghĩa, mệnh đề
3.2 Dấu hiệu để bài tốn có nghiệm . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
10
11
11
14
18

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
dạng phi tuyến
dạng tuyến tính

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

25
25
26
26
30

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

34
34
34
35
38

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

2

Bảng các ký hiệu, chữ viết tắt
.
R - tập các số thực.
R+ - tập các số thực không âm.
X - không gian Banach của các trạng thái.
U - không gian Banach của các điều khiển.
Rn - không gian véc tơ n-chiều.
(A, B ) - một cặp ma trận điều khiển.
Φ(t, s) - ma trận cơ bản của x(t)
˙
= Ax(t).
GC - điều khiển được hoàn toàn.
GR - đạt được hoàn toàn.
GNC - điều khiển được hoàn toàn về 0.
ROE - phương trình tốn tử Riccati.


3

Mở Đầu
Các hệ thống có mặt ở khắp nơi. Độ phức tạp của các hệ thống nói chung là
khơng có giới hạn. Mỗi hệ thống hoạt động theo một cơ chế riêng của mình nếu
như khơng có các tác động ngoại lai (thường gọi là nhiễu hay là yếu tố khơng chắc
chắn). Tính khơng chắc chắn có thể làm cho hệ thống sa vào các tình huống ngồi
mong muốn. Để giảm thiểu ảnh hưởng của yếu tố không chắc chắn người ta thường
đưa thêm vào hệ thống một thành phần gọi là bộ phận điều khiển. Với các tác
động thích hợp và đúng lúc, hiệu quả hoạt động của hệ thống sẽ cao hơn. Điều đó

được đảm bảo bởi một tính chất quan trọng gọi là tính ổn định của hệ thống.
Lý thuyết ổn định các phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng của Toán học. Ngày nay, việc nghiên cứu không chỉ dừng lại trên
các phương trình vi phân thường mà cịn được mở rộng sang các phương trình vi
phân có chậm.
Luận văn này nghiên cứu chủ yếu về tính ổn định của các phương trình vi phân
có chậm. Tính ổn định được duy trì nhờ các tác động điều khiển nên bài tốn có
tên gọi là "ổn định hố" các hệ điều khiển. Một vài định tính khác của các hệ điều
khiển và một số kiến thức cơ bản về hệ khơng có chậm cũng được nhắc tới, tuỳ
theo mức độ liên quan.
Luận văn gồm phần mở đầu, một chương chuẩn bị kiến thức, hai chương nội
dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày một số kiến thức cơ sở về hệ điều khiển và về các phương
trình vi phân khơng có chậm và có chậm.
Chương hai trình bày một kết quả về ổn định hóa hệ có chậm với hàm điều
khiển được xây dựng từ các thông tin chậm về trạng thái hệ thống cũng như thơng
tin về các hành vi điều khiển đã có trong quá khứ.
Chương ba trình bày một kết quả cho bài toán điều khiển H∞ . Kết quả nhận
được từ giả thiết điều khiển được hồn tồn về khơng của hệ thống xuất phát
(chưa kể nhiễu và điều khiển).
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh
Bảy. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn,
giúp đỡ, kiểm tra để tơi có thể hồn thành bản luận văn.


4

Tơi xin cám ơn các thầy cơ trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho
tôi trong thời gian học tập tại trường. Tơi xin cảm ơn tới phịng Sau Đại học về

những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận
văn.
Cám ơn ban giám hiệu trường THPT Diêm Điền huyện Thái Thụy, tỉnh Thái
Bình về sự tạo điều kiện thuận lợi cho tơi có thể hồn thành khố học.
Cuối cùng, tơi muốn nói lời cám ơn gia đình, người thân - chỗ dựa về tinh thần
và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tô Thị Phương


5

SUMMARY

Thesis title : “Stability control of some delayed systems”.
Full name : To Thi Phuong
Specialization: Analysis
Spec. code : 60 46 01 02
Supervisor : Ass. Prof. Nguyen Sinh Bay
The systems are everywhere. In general, the complexity of the systems has not
the limit. Every system is operating under one of their own mechanisms if there are
not exotic impacts from outside (often referred noise or perturbation or uncertain
factor). There may be that, under perturbations the system can gradually away
from the best designed state. To decrease damages due this exotic impacts from
outside there are often supplied an additional inside component which is called control unit. By timely and efficient control operation, in general the system should be
considered better. It is ensured by a critical property, which is called “the stability”
of this system.

Stability theory of differential equations is one important research area of Mathematics. Today, the researchers not only to stop again on the ordinary differential
equations, but also deal many attention on delayed equations. For the delayed differential equations, the state spaces much be considered as the functional spaces.
This thesis deals on illustration on stability of delayed differential equations. The
stability of systems is supported by control, therefore the problem is referred by
the term “stabilization control systems”. Some other properties of control systems
are also reminded, depending on the relevant level.
The dissertation consists of the introduction, a preparation outline of the basic
knowledge, two chapters of main contents, conclusion and list of references.
Chapter one presents some basic knowledge of control systems and on the equations without delay and with delay.


6

Chapter two presents the results of memory stabilization on delayed systems
with control functions built from the late information about status and from information about the driver behavior in the past.
Chapter three presents the results for the problem control H∞ . Results received
from assuming complete control of the system is not derived (excluding interference
and control).
In the total, this thesis presents the concept of control systems without delay
and with delay, some of the basic properties of the control system. The thesis also
presents the sufficient conditions for the stabilizability of delayed control systems
by feedback control functions built from delayed information of systems and information about previous behavior control. Finally, the thesis presents condition for
existence of solution for problem strong H∞ stabilization for the delayed systems
with uncertain from outside impacts. Feedback control function is formed on the
basis of the test operator Riccati equation.


7

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ điều khiển không có chậm

Mỗi hệ điều khiển có thể chứa nhiều biến, trong đó hai biến cơ bản là biến trạng
thái, kí hiệu là x và biến điều khiển, kí hiệu là u. Biến x nhận giá trị trong một
không gian Banach X nào đó được gọi là khơng gian trạng thái. Biến u nhận giá
trị trong không gian Banach U nào đó, gọi là khơng gian điều khiển. Trong nhiều
trường hợp bài tốn được xét trong khơng gian đặc biệt hơn, đó là các khơng gian
Hilbert hoặc đơn giản: X = Rn , U = Rm .

1.1.1

Hệ điều khiển khơng có chậm

Hệ điều khiển dạng tổng quát

Xét hệ thống được mô tả bởi một phương trình vi phân thường (xem [1], [2]):
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0

(1.1)

trong đó t ∈ R+ := [0; +∞), x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Ω ⊆ Rm , f : R+ × Rn × Ω → Rn , x(t)
là trạng thái (state) của hệ thống tại thời điểm t, u(t) là hàm điều khiển tại t.
Nếu Ω = Rm thì hệ điều khiển là bị hạn chế.
Nếu Ω = Rm thì hệ điều khiển là không bị hạn chế.

Hàm điều khiển được xây dựng như một hàm của trạng thái
u(t) = ϕ(x(t))

gọi là hàm điều khiển phản hồi (hoặc điều khiển feedback). Trong trường hợp đó
ta có phương trình
x(t)
˙
= f (t, x(t), ϕ(x(t))) := h(t, x(t)).


8

Hệ điều khiển dạng tuyến tính

Xét hệ điều khiển (xem [2])
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t).

trong đó A(t) là ma trận cỡ n × n, B(t) là ma trận cỡ n × m, u(t) là véc tơ m-chiều.
Trong trường hợp A, B là các ma trận hằng ta có hệ điều khiển tuyến tính dừng.
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t).

(1.2)

Khi đó, với bất kì trạng thái ban đầu x(t0 ) = x0 và điều khiển u(t) thì nghiệm của
hệ được xác định bởi cơng thức
t

x(t) = x(t0 , x0 , t) = S(t − t0 )x0 +

S(t − s)Bu(s)ds,
t0

trong đó, S(t) = eAt .
Trường hợp hệ không dừng, nghĩa là khi A(t), B(t) là các ma trận phụ thuộc t:
x(t)
˙
= A(t)x(t) + B(t)u(t)

với điều kiện ban đầu (t0 , x0 ), công thức Cauchy (xem [1],[2]) cho nghiệm thỏa mãn
điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 của phương trình là
t

Φ(t, s)B(s)u(s)ds.

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +
t0

Ở đây:
Φ(t, s) là ma trận cơ bản của hệ thuần nhất x(t)
˙
= A(t)x(t). Ma trận này có các

tính chất:
˙ s) = A(t)Φ(t, s),
(i) Φ(t,

(ii) Φ(t, t) = I,
(iii) Φ(t, r)Φ(r, s) = Φ(t, s).
Trường hợp hàm điều khiển có dạng phi tuyến:
x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0.

(1.3)

Nghiệm của hệ này với hàm điều khiển u và điểm xuất phát (t0 , x0 ) được cho bởi
t

x(t) = x(t0 , x0 , u, t) = x0 +

f (s, x(s), u(s))ds.
t0


9

Hệ điều khiển có hàm quan sát

Khi một hệ thống đang hoạt động có rất nhiều thơng số để xác định trạng thái
của nó. Tuy nhiên người ta thường chỉ quan tâm đến một lượng thơng số vừa đủ
để có thể khơi phục được tồn bộ trạng thái hệ thống khi cần thiết. Xét hệ động
lực được mô tả bởi hệ phương trình

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t),

(1.4)

y(t) = Cx(t).
A, B, C là các ma trận thực tương ứng có cỡ là n × n, n × m, r × n,
x(t) - véc tơ n chiều biểu thị trạng thái hệ thống tại thời điểm t,
u(t) - véc tơ m chiều biểu thị tác động đầu vào, thường gọi là hàm điều khiển,
y(t) - véc tơ r chiều biểu thị đầu ra của biến trạng thái (output).

Như vậy x(t), u(t), y(t) khi t ∈ R cho ta các dãy véc tơ trong các không gian tương
ứng là Rn , Rm và Rr .
Từ (1.4) ta thấy nếu cho trạng thái ban đầu x0 và đầu vào u(t) thì các trạng thái
x(t) và đầu ra y(t) xác định duy nhất.
Nghiệm của hệ (1.4) được hiểu là mọi bộ (x(t), u(t), y(t)) của các dãy véc tơ {x(t)}, {u(t)}, {y(t)},
thỏa mãn hệ phương trình với mọi t
Hệ khơng chắc chắn.

Xét hệ phương trình ([3], [4])

x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t) + C(t)w(t),

(1.5)

y(t) = D(t)x(t) + E(t)u(t).
Ở đây, w(t) là đầu vào khơng chắc chắn hay cịn gọi là nhiễu. Khi nhiễu là q lớn
thì nói chung hệ thống sẽ hoạt động không đúng với ý định đặt ra ban đầu.

Các loại hạn chế

Ở phần trên ta đã nói đến các hệ điều khiển có hạn chế. Dưới đây, ta phân biệt
một vài loại hạn chế thường gặp ([2], [12]):
• Hạn chế kiểu tập hợp: Cho tập Ω ⊆ Rm . Hàm điều kiện cần thỏa mãn u ∈ Ω.
• Hạn chế theo chuẩn: Cho trước một số M > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn
u ≤ M.


10

• Hạn chế hầu khắp nơi: Cho p > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn

+∞
0

u(t) p dt ≤

+∞. Thông thường chỉ xét cho p = 2. Nói cách khác u(t) là các hàm bình

phương khả tích trên [0; +∞).

• Hạn chế kiểu H∞ : Cho trước một số γ > 0. Hàm điều kiện cần thỏa mãn
+∞
0
+∞
0

y(t) 2 dt
w(t) 2 dt

≤ γ, ∀x0 .

Điều kiện này nói lên rằng, các hàm điều khiển cần được chọn sao cho tỷ số
của tổng tích luỹ của bình phương sai số đầu ra (quan sát được) so với tổng
tích luỹ của các bình phương của nhiễu khơng được q lớn (bị chặn trên bởi
hằng số γ ). Dĩ nhiên, γ càng nhỏ thì càng tốt, nhưng khi đó tập hạn chế sẽ
hẹp đi, khả năng chọn hàm u cũng bị giảm bớt.

• Hạn chế kiểu H∞ kết hợp hạn chế sai số đầu vào: Cho trước một số γ > 0 và

điều kiện ban đầu (0, x0 ). Việc khởi động đúng với điều kiện ban đầu là khó.
Trong thực tế ln là các trạng thái xấp xỉ. Sai số khởi động không được phép
quá lớn. Vậy, hàm điều kiện cần thỏa mãn
+∞
0

c x0 +
1.1.2

y(t) 2 dt
+∞
0

w(t) 2 dt

≤ γ, ∀x0 .

Một vài định tính

Tính điều khiển được hồn tồn của hệ tuyến tính otonom

Xét hệ điều khiển tuyến tính otonom (1.2):
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t).

Định nghĩa 1.1. ([2], [12])
• Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn (GC) nếu với bất kì t0 ∈ R+ ,

bất kì trạng thái ban đầu x0 , bất kì trạng thái kết thúc xf , tồn tại thời gian
hữu hạn T > t0 và một biến điều khiển u(t), sao cho x(t0 ) = x0 và x(T ) = xf .
• Hệ (1.2) được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC) nếu với bất kì
t0 ∈ R+ , x(t0 ) = x0 ∈ Rn , tồn tại thời gian hữu hạn T và một điều khiển u(t),

sao cho x(T ) = 0.
• Hệ (1.2) được gọi là đạt được hồn tồn (GR) nếu với trạng thái ban đầu
x(t0 ) = 0, bất kì trạng thái kết thúc xf , tồn tại thời gian hữu hạn T > t0 và

một điều khiển u(t), sao cho x(T ) = xf .


11

Định nghĩa trên cũng được phát biểu tương tự cho các hệ không otonom cũng
như các hệ dạng phi tuyến.
Nhận xét 1.1. Một hệ là điều khiển được hoàn toàn (GC) thì hệ đó là đạt được
hồn tồn (GR) và điều khiển được hoàn toàn về 0 (GNC).

Hệ (1.2) hoàn toàn xác định bởi ma trận A, B nên chúng ta có thể nói về tính
điều khiển được của cặp (A, B).

Chúng ta xây dựng ma trận điều khiển của hệ là ma trận cỡ n × nm
W = [B, AB, A2 B, ..., An−1 B].

Định lý 1.1. ([2]) Hệ (1.2) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi rankW = n.

Dấu hiệu để hệ tuyến tính otonom là điều khiển được hoàn cũng thường được
phát biểu qua định lý Hautus dưới đây. Ở đây, σ(A) là kí hiệu tập phổ của ma trận
hằng A.

Định lý 1.2. ([2]) Xét hệ điều khiển (1.2)
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t), t ∈ R+ , x ∈ Rn

và hàm điều khiển phản hồi
u(t) = Kx(t).

(1.6)

Hệ (1.2) là điều khiển được hoàn toàn bằng hàm điều khiển dạng (1.6) khi và chỉ
khi
rank(λi I − (A, B)) = n, ∀λi ∈ σ(A).

1.2
1.2.1

Hệ điều khiển có chậm
Phương trình vi phân có chậm

Chúng ta nhắc lại rằng đẳng thức

x(t)
˙
= f (t, x(t)), x ∈ Rn , t ∈ R+


12

gọi là một phương trình vi phân thường trong khơng gian Rn (xem [1,2,11,12 ]).
Ở đẳng thức này ta thấy tốc độ thay đổi của hệ thống (đối tượng nghiên cứu) tại
thời điểm t (đặc trưng bởi x(t)
˙ ) chỉ phụ thuộc vào t và trạng thái tức thời x(t) của
chính hệ thống đó. Sau đây, ta sẽ đề cập đến một loại phương trình vi phân trong
đó ngồi sự phụ thuộc như trên tốc độ thay đổi x(t)
˙
còn phụ thuộc vào trạng thái
của hệ thống trong quá khứ (xem [2,3,4,7,8, 9,10] ). Ta xét phương trình sau
x(t)
˙
= f (t, x(t − h(t)),

(1.7)

trong đó x ∈ Rn , t ∈ R+ := [0, +∞), f : R+ × R −→ Rn , f là liên tục, h(t) là hàm
không âm, bị chặn trên R+ bởi h > 0. Khi đó phương trình (1.7) được gọi là một
phương trình vi phân có chậm. Sau đây là một số kiến thức mở đầu về loại phương
trình này.
Xét phương trình (1.7) với độ chậm là h > 0. Ký hiệu C := C([−h, 0], Rn ) là
không gian Banach của các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0] và nhận giá trị trong
Rn . Chuẩn của hàm φ ∈ C xác định như sau
||φ||C =

sup ||φ(θ)||Rn .

−h≤θ≤0

Giả sử x = x(t) là một hàm liên tục trên R+ . Với mỗi t ∈ R+ , bằng cách đặt
xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]

ta sẽ có hàm xt ∈ C([−h, 0], Rn ). Như vậy, xt là cung từ t − h đến t của đường cong
x = x(t). Khi s chạy trên [−h, 0] ta thấy x(t + s) chạy trên [t − h, t]. Có thể thấy
đại lượng này mang các thông tin về trạng thái x(s) với s ∈ [t − h, t]. Các thông tin
này là "chậm" theo nghĩa đã xảy ra trước thời điểm t. Khi x(t)
˙
phụ thuộc vào các
trạng thái này, ta sẽ có một quan hệ hàm được mô tả như sau ([7])
x(t)
˙
= f (t, xt ),

(1.8)

trong đó
f : D ⊂ R × C −→ Rn .

Đây là phương trình tổng quát của các phương trình có chậm với độ chậm h.
Nghiệm và định lý tồn tại duy nhất nghiệm

Định nghĩa 1.2. ([7]) Hàm liên tục x = x(t) có đạo hàm phải hầu khắp nơi trên
R+ mà khi thay vào (1.8) được đẳng thức được gọi là một nghiệm của phương
trình có chậm (1.8).

Điều kiện ban đầu.


13

Định nghĩa 1.3. ([7]) Cho trước φ ∈ C và t0 ∈ R+ . Nghiệm x(.) của (1.8) thỏa
mãn điều kiện
x(s) = φ(s), ∀s ∈ [t0 − h, t0 ]

gọi là nghiệm đựợc xác định bởi điều kiện ban đầu (t0 , φ) (hay là nghiệm đi qua
(t0 , φ)).
Nghiệm này thường được ký hiệu là x(t0 , φ, t) hoặc nếu khơng có khả năng nhầm
lẫn thỉ có thể kí hiệu đơn giản là x(t).
Định lý tồn tại, duy nhất nghiệm
Định lý 1.3. ([7], tr 41) Giả sử D là một tập mở trong R+ × C và f ∈ C(D, Rn ).
Nếu (t0 , φ) ∈ D thì phương trình (1.8) có nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu
(t0 , φ). Nếu hàm f là Lipschitz theo biến φ thì nghiệm nói trên xác định duy nhất.
Định lý trên đây được chứng minh ở [7], dựa vào bổ đề sau đây:
Bổ đề 1.1. ([7]) Nếu t0 ∈ R+ , φ ∈ C cho trước và f (t, φ) là liên tục thì việc tìm
nghiệm của phương trình (1.8) qua (t0 , φ) tương đương với việc giải phương trình
tích phân sau
xt 0 = φ

(1.9)

t

x(t) = φ(t0 ) +

f (s, xs )ds,

t ≥ t0 .

t0

Lưu ý rằng hàm x(t) thỏa mãn phương trình tích phân trong Bổ đề 1.1 chỉ cần
khả vi bên phải hầu khắp nơi, không cần phải khả vi (hai phía) khắp nơi như khái
niệm nghiệm cổ điển của các phương trình vi phân thường.
Hệ điều khiển có chậm trên trạng thái

Xét hệ điều khiển (xem [2,3,10])
x(t)
˙
= f (t, xt , u(t)),

(1.10)

trong đó t ∈ R+ , x(t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rm , xt ∈ C := C([−h, 0], Rn ) và hàm điều khiển có
dạng tuyến tính.
Có nhiều cách xây dựng hàm điều khiển nhưng ở đây ta chỉ quan tâm đến các
hàm điều khiển phản hồi, nghĩa là hàm điều khiển tại thời điểm t ∈ R+ được xây
dựng trên cơ sở các thông tin về trạng thái hệ thống tại thời điểm t và trong các
thời điểm trước đó khơng lâu hơn một khoảng thời gian h > 0:
u(t) = φ(xt ).

(1.11)


14

Điều khiển u có thể khơng bị hạn chế hoặc bị hạn chế, chẳng hạn u ∈ Ω ⊆ Rm .
Hệ quan sát có chậm khơng chắc chắn dạng tuyến tính (xem [5,9,10]) thường
được mơ tả bởi

x(t)
˙
= L(xt ) + Bu(t) + C(t)w(t),
(1.12)
y(t) = D(t)xt + E(t)u(t).
trong đó, L(.) là một ánh xạ tuyến tính xác định trên C .

1.2.2

Sự ổn định của các phương trình vi phân có chậm

Xét phương trình có chậm tổng qt (1.8)
x(t)
˙
= f (t, xt ), t ≥ 0
f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ .

Điều kiện f (t, 0) = 0 đảm bảm rằng hệ trên có nghiệm cân bằng tầm thường
x(t) ≡ 0. Ta luôn giả thiết hàm f đủ tốt để các điều kiện về tồn tại, duy nhất và
kéo dài nghiệm trên R+ được thỏa mãn.
Định nghĩa 1.4. ([7,10])
• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định nếu ∀t0 ∈ R+ , ∀ > 0,
∃δ = δ(t0 , ) sao cho với mọi φ ∈ C mà ||φ|| < δ thì ||x(t0 , φ, t)|| < , ∀t ≥ t0 .

• Nghiệm x = 0 của phương tình (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là

ổn định và tồn tại δ1 > 0 sao cho với ||φ|| < δ1 thì x(t0 , φ, t) → 0 khi t → +∞ .

• Nghiệm x = 0 của phương trình (1.8) được gọi là ổn định đều (hoặc ổn định

tiệm cận đều) nếu δ ( hoặc δ1 ) nói trên là khơng phụ thuộc vào t0 .

• Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ nếu với mọi φ ∈ C, tồn tại δ > 0, N > 0

sao cho
||x(t0 , φ, t)|| ≤ N ||φ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
• Với α > 0 cho trước nghiệm x = 0 ổn định mũ với chỉ số α (δ = α) thì nói

nghiệm đó là α - ổn định mũ. Khi nghiệm tầm thường x = 0 ổn định ta sẽ nói
ngắn gọn là hệ phương trình ổn định (theo các nghĩa khác nhau nói trên).


15

Định nghĩa 1.5. ([2,3,10]) Nói hệ điều khiển
x(t)
˙
= f (t, xt , u(t)), t ≥ 0, u ∈ Ω

là ổn định hoá được nếu với mỗi hàm điều khiển lấy từ Ω u(t) = φ(xt ) hệ đóng
x(t)
˙
= f (t, xt , φ(xt ))

(1.13)

là ổn định tiệm cận.
Thông thường người ta đưa thêm giả thiết f (t, 0, 0) = 0 để đưa bài tốn về việc xét
tính ổn định của điểm cân bằng x = 0.

Phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ có chậm

Phương pháp thứ nhất Lyapunov dựa vào khái niệm tập phổ rất được ưa chuộng
trong nghiên cứu ổn định các phương trình vi phân thường. Với phương trình vi
phân hàm (1.8)
x(t)
˙
= f (t, xt ),

phương pháp này hồn tồn khơng khả dụng. Lý do đơn giản là tập phổ của các
phương trình hàm quá phức tạp, khó có thể kiểm sốt hay đánh giá chúng. Hơn
nữa, sự liên hệ giữa tập phổ và hành vi tập nghiệm cũng là chưa rõ ràng. Nghiên
cứu tính ổn định của các phương trình vi phân hàm người ta chủ yếu dựa vào các
hàm bổ trợ, thường gọi là các phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii, hoạt động trong
không gian hàm. Đây là điểm khác biệt so với trường hợp phương trình vi phân
thường, nơi các hàm bổ trợ chỉ cần hoạt động trong không gian trạng thái.
Giả sử f : R × C −→ Rn với f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R và f đủ tốt để thỏa mãn các điều
kiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm.
Giả sử xác định một hàm số
V : R+ × C −→ R,

trong đó V (t, φ) liên tục theo từng biến và V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 . Giả sử x(t) = x(t0 , φ, t)
là nghiệm của phương trình (1.8).
Ký hiệu sau đây chỉ đạo hàm theo biến t của hàm V dọc theo nghiệm của phương
trình (1.8)
1

V˙ = V˙ (t, φ) = lim [V (t + h, xt+h (t, φ)) − V (t, φ)].
+
h→0 h

Định lý 1.4. ([7]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 ,
liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), w(s) : R+ −→ R+ liên tục


16

không giảm, u(s) > 0 với s > 0, u(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ)
V˙ (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.8) là ổn định.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.8) là bị chặn.
(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệm x = 0
của (1.8) là ổn định tiệm cận.
Phần chứng minh định lý này có thể xem ở [7] (J. Hale) hoặc ở [11] (Yoshizawa).
Định lý sau đây cho ta điều kiện đủ để nghiệm là ổn định đều.
Định lý 1.5. ([7]) Giả sử tồn tại hàm V : D ⊂ R+ × C −→ R, V (t, 0) = 0, ∀t ≥ t0 ,
liên tục theo từng biến trên D và tồn tại các hàm u(s), v(s), w(s) : R+ −→ R+ liên
tục không giảm, u(s), v(s) > 0 với s > 0, u(0) = v(0) = 0. Khi đó:
(i) Nếu
u(||φ(0)||) ≤ V (t, φ) ≤ v(||φ||)
V˙ (t, φ) ≤ −w(||φ(0)||)

thì nghiệm x = 0 của (1.8) là ổn định đều.
(ii) Nếu có thêm điều kiện lim u(s) = +∞ vào điều kiện của (i) thì nghiệm
s→+∞

của (1.8) là bị chặn đều.
(iii) Nếu có thêm điều kiện w(s) > 0 với s > 0 vào điều kiện (i) thì nghiệm x = 0
của (1.8) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh.
(i) Với > 0 tuỳ ý, ∃δ = δ( ), (0 < δ < ) sao cho v(δ) < u( ). Nếu ||φ|| < δ, t0 ∈ R
thì
V˙ (t, xt (t0 , φ)) ≤ 0, ∀t ≥ t0 .

Nên ta có V (t, xt (t0 , φ)) ≤ V (t0 , xt0 (t0 , φ)) = V (t0 , φ).
Điều này dẫn đến
V (t, xt (t0 , φ)) ≤ V (t0 , φ) ≤ v(||φ||) < v(δ) < u( ).

Suy ra
u(||x(t0 , φ)(t)||) ≤ V (t, xt (t0 , φ)) < u( ).

Do u là hàm không giảm nên
||x(t0 , φ)(t)|| < , ∀t ≥ t0 .


17

Vậy, với ∀ > 0, ∃δ = δ( ), t0 ∈ R, ||φ|| < δ thì ||x(t0 , φ)(t)|| < , ∀t ≥ t0 .
Từ đó ta có x = 0 là ổn định đều (số δ không phụ thuộc vào t0 ).
(ii) Ta có u(0) = 0, lim u(s) = +∞ và u(.) liên tục nên với mọi số α > 0 luôn
s→+∞

tồn tại số β = β(α) sao cho u(β) = v(α).
Nếu ||φ|| ≤ α thì theo chứng minh (i) ta có
u(||x(t0 , φ)(t)||) < v(α) = u(β).

Do u là hàm không giảm nên
||x(t0 , φ)(t)|| < β.

Vậy với α > 0 nào đó, tồn tại số β = β(α) sao cho ∀t ∈ R, φ ∈ C, ||φ|| ≤ α thì
||x(t0 , φ)(t)|| < β . Do đó nghiệm x = 0 là bị chặn đều.
(iii) Theo (i) thì nghiệm x = 0 là ổn định đều. Ta kiểm tra tính hút về 0 của
nghiệm.
Giả sử = 1, δ0 = δ(1), trong đó δ(.) được định nghĩa trong (i). Ta đi chứng
minh rằng ∀ > 0, tồn tại t1 (δ0 , ) > 0 sao cho ||φ|| < δ0 thì nghiệm x(t0 , φ) thỏa
mãn ||xt (t0 , φ)|| < với t ≥ t0 + t1 (δ0 , ).
Giả sử tồn tại nghiệm x = x(t0 , φ), ||φ|| < δ0 thỏa mãn ||xt || ≥ δ, t ≥ t0 . Do đó
mỗi khoảng có độ dài h chứa một số s sao cho ||x(s)|| > δ . Vì vậy tồn tại {tk }k sao
cho
||x(tk )|| ≥ δ,

t0 + (2k − 1)h ≤ tk ≤ t0 + 2kh, k = 1, 2, ....

Do f là hàm hoàn toàn liên tục nên tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||
˙
< L, ∀t ≥ t0 .
Vì vậy, trong khoảng tk −

δ
δ
δ

≤ t ≤ tk +
ta có x(t) > .
2L
2L
2

Thật vậy, từ giả thiết của hàm f, tồn tại hằng số L sao cho ||x(t)||
˙
< L, ∀t ≥ t0 , suy
ra
tk

||

tk

x(τ
˙ )dτ || ≤
t

tk

||x(τ
˙ )||dτ ≤
t

Ldτ = L(tk − t)
t

Kéo theo,

||x(tk )|| − ||x(t)|| ≤ ||x(tk ) − x(t)|| ≤ L(tk − t)

Kéo theo,

||x(t)|| ≥ ||x(tk )|| − L(tk − t) ≥ δ −

Do đó
V˙ (t, xt ) ≤ −w(||φ(0)||) ≤ −w

δ
2

,

tk −

δ
δ
= .
2
2

δ
δ
≤ t ≤ tk +
.
2L
2L

Với L đủ lớn, nếu cần thiết ta có thể giả thiết rằng các khoảng này là khơng giao
nhau. Do đó
V (tk , xtk ) − V (t0 , φ) ≤ −w

δ
2

δ
(k − 1).
L


18

Giả sử K(δ0 , L) là số nguyên dương nhỏ nhất mà
K(δ0 , L) ≥

v(δ0 )
.
δ
δ
w
L
2

Nếu k > 1 + K(δ0 , L) thì
δ δ v(δ0 )
V (tk , xtk ) < v(δ0 ) − w( )
2 Lδ
δ

w
L
2

≤ 0.

Điều này mâu thuẫn. Do đó, tồn tại τ = τ (t0 , φ) sao cho
t0 < τ < t0 + 2hK(δ0 , L) mà ||xτ || < δ và ||xt || < với t ≥ t0 + 2hK(δ0 , L).
Định lý được chứng minh.
Định lý sau cho ta một tiêu chuẩn ổn định mũ.

Định lý 1.6. ([7,11]) Cho

x(t)
˙
= f (t, xt ),
x(t) = φ(t), t ∈ [−h; 0].
Nếu tồn tại hàm Lyapunov- Krasovskii V (t, xt ) và số dương λ1 , λ2 , λ3 sao cho mọi
nghiệm x(t) thỏa mãn:
(i) λ1 ||xt ||2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 ||xt ||2
(ii) V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt )
thì hệ (1.8) là ổn định mũ, và nghiệm của hệ thỏa mãn
||x(t0 , φ)|| ≤
1.2.3

λ2
||φ||e−λ3 (t−t0 ) .
λ1

Hệ tuyến tính khơng dừng và phương trình Riccati

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng dừng có chậm với h > 0.

x(t)
˙
= A(t)x(t) + f (t, xt ), t ∈ R+

(1.14)

x(t) = φ(t), ∀t ∈ [−h, 0],
trong đó f là tuyến tính theo biến thứ hai. Đầu tiên ta nghiên cứu phương trình
thuần nhất tương ứng. Lưu ý rằng đó là một phương trình vi phân thường
x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ∈ R+ .

(1.15)


19

Gọi S(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất này và đặt
x(t) := S(t)y(t). Thay vào (1.15), ta được
˙
S(t)y(t)
+ S(t)y(t)
˙ = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt )

hay

˙
S(t)y(t)
˙ = A(t)S(t)y(t) + f (t, xt ) − S(t)y(t)

hay

S(t)y(t)
˙ = f (t, xt ).

˙
(do S(t) là ma trận nghiệm cơ bản nên S(t)
= A(t)S(t) ).
Suy ra
y(t)
˙ = S −1 (t)f (t, xt ).

Giả sử x0 = x(t0 ), khi đó x0 = S(t0 )y(t0 ) = Iy(t0 ) = y(t0 ). Do đó, ta có

y(t)
˙ = S −1 (t)f (t, xt )
y(t0 ) = x0 .
Suy ra
t

S −1 (τ )f (τ, xτ )dτ.

y(t) = x0 +
t0

t

Hay

S(t)S −1 (τ )f (τ, xτ )dτ

x(t) = S(t)y(t) = S(t)x0 +
t0
t

= S(t)x0 +

U (t, τ )f (τ, xτ )dτ.
t0

Với U (t, τ ) := S(t)S −1 (τ ) là tốn tử giải, ta có
t

x(t) = S(t)y(t) = S(t)S −1 (t0 )x0 +

U (t, τ )f (τ, xτ )dτ
t0

t

U (t, τ )f (τ, xτ )dτ.

= U (t, t0 )x0 +
t0

Mệnh đề 1.1. Nếu A(t) bị chặn, có nghĩa là sup ||A(t)|| ≤ M < +∞ thì tốn tử
t≥0

giải thỏa mãn
||U (t, τ )|| ≤ eM (t−τ ) ,

∀t ≥ τ ≥ 0

Chứng minh. U (t, τ ) là tốn tử giải của phương trình (1.15). Ta có
t

x(t) = x(τ ) +

A(s)x(s)ds.
τ

Suy ra
t

||x(t)|| ≤ ||x(τ )|| +

||A(s)||||x(s)||ds.
τ


20

Áp dụng bất đẳng thức Gronwal-Belman, ta được
||x(t)|| ≤ ||x(τ )||e

t
τ

||A(s)||ds

≤ ||x(τ )||e

t
τ

M ds

.

Mà x(t) = U (t, τ )x(τ ) nên
||U (t, τ )||||x(τ )|| ≤ ||x(τ )||eM (t−τ )
||U (t, τ )|| ≤ eM (t−τ ) .

kéo theo

Mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét. Ta có thể chỉ ra rằng, nếu nghiệm x(t) = 0 của hệ (1.15) là ổn định mũ
thì
∃K > 0, λ > 0 sao cho
||U (t, τ )|| ≤ Ke−λ(t−τ ) ,

∀t ≥ τ ≥ 0.

(1.16)

P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) = −Q(t),

(1.17)

Xét phương trình Riccati sau

trong đó:
A(t) là ma trận hàm cỡ n × n, liên tục, giới nội, khơng suy biến trên R+ .
Q(t) là ma trận hàm cỡ n × n, giới nội, đối xứng, xác định dương đều trên R+ ,
theo nghĩa ∃c > 0 sao cho
Q(t)x, x ≥ c ||x||2 ,

∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn .

(1.18)

P (t) là ma trận hàm cỡ n × n, đối xứng, xác định dương cần tìm.

Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.2. ([2,3]) Giả sử A(t) là ma trận hàm liên tục, bị chặn trên R+ và
toán tử giải của hệ thuần nhất (1.15) là U (t, τ ) thỏa mãn điều kiện (1.16). Khi đó
với mỗi ma trận hàm Q(t) giới nội, đối xứng, xác định dương đều trên R+ , tồn tại
ma trận hàm P(t) đối xứng, xác định dương đều trên R+ , thỏa mãn phương trình
(1.17). Khi đó P(t) được xác định như sau
+∞

U T (τ, t)Q(τ )U (τ, t)dτ

P (t) =

(1.19)

t

và thỏa mãn điều kiện
c
pK 2
||x||2 ≤ P (t)x, x ≤
||x||2 , ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn ,
2M
2λ

trong đó
M := sup ||A(t)|| ,
t∈R+

p := sup ||Q(t)|| , c > 0.
t∈R+

(1.20)


21

Ngược lại với mỗi ma trận hàm Q(t) giới nội, đối xứng, xác định dương đều
trên R+ , tồn tại ma trận hàm P (t) đối xứng, xác định dương đều của phương trình
(1.17) thỏa mãn điều kiện (1.20) thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.15) là ổn
định tiệm cận.
Chứng minh. Giả sử nghiệm x(t) = 0 của hệ (1.15 ) là ổn định tiệm cận sao cho

toán tử giải U (t, τ ) thỏa mãn điều kiện (1.16). Với mọi ma trận hàm Q(t) đối xứng,
xác định dương đều.
Xét
+∞
U T (τ, t)Q(τ )U (τ, t)dτ.

P (t) =
t

Do Q(t) đối xứng nên P (t) đối xứng. Từ (1.19) và giả thiết Q(t) giới nội ta có tích
phân suy rộng trên là hội tụ. Vậy P (t) là hoàn toàn xác định.
Ta chỉ ra P (t) và Q(t) thỏa mãn phương trình (1.17).
Ta có
+∞
(S T )−1 (t)S T (τ )Q(τ )S(τ )S −1 (t)dτ

P (t) =
t

+∞

P (t) = (S T )−1 (t)

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t).
t

Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có
+∞

P˙ (t) = (S˙ T )−1 (t)

S T (τ ).Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t

+ (S T )−1 (t)

+∞

d
dt

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t
+∞

+ (S T )−1 (t)

˙ −1 (t).
S T (τ ).Q(τ )S(τ )dτ (S)
t

Với x(t) = S(t)x0 là nghiệm hệ thuần nhất nên ta có
dS(t)
= A(t)S(t),
dt

dS −1 (t)
= −S −1 (t)A(t).
dt

Thật vậy, ta có x(t) = S(t)x0 . Suy ra
˙
x(t)
˙
= S(t)x
0
˙
S(t)x
0 = A(t)S(t)x0
dS(t)
= A(t)S(t).
dt
Ta có x(t) = S(t)x0 hay S −1 x(t) = x0 .

hay


22

Nên suy ra
dS −1 (t)
d
x(t) + S −1 (t) x(t) = 0
dt
dt
dS −1 (t)
d
Kéo theo,
x(t)
= −S −1 (t) x(t) = −S −1 (t)A(t)x(t)

dt
dt
−1
dS (t)
Kéo theo,
= −S −1 (t)A(t).
dt

Từ đó ta có (S˙ T )−1 (t) = −AT (t)(S T )−1 (t).
+∞

P˙ (t) = −AT (t)(S T )−1 (t)

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t

+ (S T )−1 (t)

+∞

d
dt

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t
+∞

+ (S T )−1 (t)

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ

−S −1 (t)A(t)

t
+∞

hay

S(τ )S −1 (t)

P˙ (t) = −AT (t)

T

Q(τ )S(τ )S −1 (t)dτ

t

+ (S T )−1 (t)
+∞

S(τ )S −1 (t)

−

+∞

d
dt

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t

T

Q(τ )S(τ )S −1 (t)dτ A(t)

t
+∞

hay

P˙ (t) = −AT (t)

U T (τ, t)Q(τ )U (τ, t)dτ
t

+ (S T )−1 (t)

d
dt

+∞

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t)
t

+∞

U T (τ, t)Q(τ )U (τ, t)dτ A(t)

−
t

hay

d
P˙ (t) = −AT (t)P (t) + (S T )−1 (t)
dt

+∞

S T (τ )Q(τ )S(τ )dτ S −1 (t) − P (t)A(t)
t

hay
P˙ (t) = −AT (t)P (t) − P (t)A(t) − Q(t).

Từ đó ta có (1.17).
Tiếp theo ta sẽ chỉ ra P (t) xác định dương và thỏa mãn (1.20).
Thật vậy, với x ∈ Rn , ta có
+∞

U T (τ, t)Q(τ )U (τ, t)x, x dτ

P (t)x, x =
t
+∞

=

Q(τ )U (τ, t)x, U (τ, t)x dτ.
t


23

Do Q(t) đối xứng, xác định dương nên tồn tại c > 0 sao cho
Q(t)x, x ≥ c ||x||2 , ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn .

Vì vậy P (t)x, x ≥ c
Mặt khác ta có

+∞
||U (τ, t)x||2 dτ .
t

||x|| = ||U (t, τ )U (τ, t)x|| ≤ ||U (t, τ )|| ||U (τ, t)x||

Kéo theo,
Kéo theo,

||x||
||U (t, τ )||
||x||2
||x||2
2
||U (τ, t)x|| ≥
≥ 2M |t−τ | = ||x||2 e−2M |t−τ |
2

e
||U (t, τ )||

||U (τ, t)x|| ≥

+∞
2

e−2M |t−τ | dτ

P (t)x, x ≥ c ||x||

t
2

= c ||x||

s

e2M (t−τ ) dτ

lim

s→+∞

t

2

−c ||x||

s
lim e2M (t−τ ) t
2M s→+∞
c ||x||2
, ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn , (s → +∞).
=
2M
=

Kéo theo, P (t)x, x ≥

c ||x||2
.
2M
+∞

P (t)x, x =

Q(τ )U (τ, t)x, U (τ, t)x dτ
t
+∞
2

||U (τ, t)||2 dτ

≤ p ||x|| .
t

+∞

≤ p ||x||2 .K 2

e−2λ|t−τ | dτ
t

2

= p ||x|| .K
2

2

K2

e2λ(t−τ ) dτ

lim

s→+∞

−p ||x||
2λ
p ||x||2 K 2
=
,
2λ
=

s
t

lim e2λ(t−τ )

s→+∞

s
t

∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn , (s → +∞).

p ||x||2 K 2
Kéo theo, P (t)x, x ≤
.
2λ

Ngược lại, ta chọn hàm Lyapunov cho hệ (1.15)
V (t, x) = P (t)x, x ,

(x ∈ Rn ).