(Luận văn thạc sĩ) Bài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ CAO KIÊN

BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC

THÁI NGUN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ CAO KIÊN

BÀI TỐNỔN ĐỊNH HỮU HẠN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số

: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. VŨ NGỌC PHÁT

THÁI NGUN – 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung
thực và khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Ngun, tháng 5 năm 2013
Người viết Luận văn

Lê Cao Kiên

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Lời cảm ơn

Để hồn thành được luận văn một cách hồn chỉnh, tơi ln nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Tốn
học Việt Nam). Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và
xin gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều thầy đã dành cho tơi.
Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, q thầy cơ
giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học
Thái Ngun đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu cũng như tạo
điều kiện cho tơi hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người
đã ln động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tơi trong suốt q trình
học tập và thực hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 5 năm 2014
Người viết Luận văn

Lê Cao Kiên

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

Kí hiệu tốn học

1

1 Cơ sở tốn học

2

1.1

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân . . . . .

4

1.2.2

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. . . . . . .

7

2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân.
2.1

2.2

Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính . .

9
9

2.1.1

Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu 12

2.1.2

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ . . .

18

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu
và có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Kết luận chung

25

Tài liệu tham khảo

26

iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Mở đầu
Lý thuyết ổn định hữu hạn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định
tính phương trình vi phân. Bài tốn ổn định hữu hạn được khởi xướng từ
những năm 1970 nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động, của một hệ
thống mơ tả bởi hệ phương trình vi phân. Một cách hình tượng, một hệ thống
được gọi là ổn định hữu hạn nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu
trúc ban đầu của hệ là bị chặn thì tồn bộ hệ bị chặn. Do đó, lý thuyết ổn

định hữu hạn được nghiên cứu xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu phát triển
của một số ngành khoa học thực tế: tốn kinh tế, tốn thống kê, vật lý tốn,
.... Đã hơn một nửa thế kỷ trơi qua lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực tốn
học được nghiên cứu sơi nổi nhất và đạt được nhiều kết quả sâu sắc phong
phú và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý tốn, kinh
tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và mơi trường, .... Nội dung của bản luận
văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày những kiến thức
cơ sở về hệ phương trình vi phân, khái niệm về tính ổn định hữu hạn nghiệm
của hệ phương trình vi phân. Chương 2 giới thiệu các tiêu chuẩn về ổn định
hữu hạn hệ phương trình vi phân.
Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát người
thầy đã tận tình chỉ bảo cho tơi trong q trình làm luận văn và các thày cơ
trong trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN cũng như các thầy cơ đã giảng dậy
lớp cao học khóa 2012-2014.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này khơng thể tránh
khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong có được những ý kiến đóng góp của các
thày cơ và các ban.

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Kí hiệu tốn học
Tập số thực.

R
R+

Tập số thực khơng âm.

n

R

Khơng gian véctơ Euclide n chiều.

Rn×n

Khơng gian các ma trận thực.

I
AT
P >0
λ(P )
λ(Q)
λmax (P )
λmin (P )
C([a; b], Rn )

Ma trận đơn vị.
Ma trận chuyển vị của ma trận A.
Ma trận xác định dương.
Các giá trị riêng thực của ma trận P .
Các giá trị riêng của ma trận Q.
Giá trị riêng lớn nhất của ma trận P .
Giá trị riêng thực nhỏ nhất của ma trận Q.
Khơng gian các hàm liên tục đi từ [a; b] vào Rn .

1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 1

Cơ sở tốn học
Trong chương này chúng tơi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phương
trình vi phân nhằm mục đích sử dụng cho chương sau. Nội dung của chương
này bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lý cơ bản về hệ phương
trình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov và tính ổn định hữu hạn
của hệ phương trình vi phân. Những nội dung chương này được trình bày từ

[1] − [3].
1.1

Hệ phương trình vi phân

Hệ phương trình vi phân dạng tổng qt có dạng

x(t)
˙
= f (t, x),
x(t0 ) = x0 ,

t≥0

t0 ≥ 0

(1.1)

trong đó f : R+ × Rn −→ Rn . Nếu vế phải của (1.1) khơng phụ thuộc t thì ta
nói hệ (1.1) là hệ ơtơnơm, ngược lại ta nói hệ là khơng ơtơnơm. Nghiệm của
hệ phương trình vi phân (1.1) là hàm số x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:

i) (t, x(t)) ∈ R+ × Rn .
ii)
x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1).
Khi hàm f(t,x) liên tục trên I × D thì nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân
sau:
t
x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân (1.1).
Định lý 1.1. (Định lý Picard-Lindeloff ). Xét hệ phương trình vi phân (1.1)
trong đó D là tập tất cả những x ∈ Rn sao cho ||x − x0 || < a với a > 0 ,

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

f : R+ × D −→ Rn liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:
∃K > 0 : ||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ K||x1 − x2 ||, ∀t ≥ 0.
Khi đó, với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được một số d > 0 sao cho hệ phương
trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất trên khoảng [x0 − d, x0 + d].
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính ơtơnơm dạng

x(t)
˙
= Ax(t) + g(t),
x(t0 ) = x0 ,

t ≥ 0,
t0 ≥ 0.

(1.2)

trong đó A ∈ Rn×n và g : [0; +∞) −→ Rn là hàm liên tục.
Hệ phương trình (1.2) ln có nghiệm (duy nhất) xác định trên [0, +∞)
cho bởi cơng thức Cauchy
t

x(t) = x0 e

A(t−t0 )

eA(t−s) g(s)ds.

+
t0

Đối với hệ phương trình vi phân khơng ơtơnơm tuyến tính dạng

x(t)
˙
= A(t)x(t) + g(t),
x(t0 ) = x0 ,

t≥0
t0 ≥ 0.

trong đó A(t) ∈ Rn×n các hàm số liên tục trên R+ và

g : R+ −→ Rn
là hàm liên tục. Khi A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| ≤ m(t) trong đó g(t) và

m(t) là các hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm (duy nhất) trên [0; ∞).
Nghiệm của hệ này biểu diễn thơng qua ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của
hệ thuần nhất
x(t)
˙
= A(t)x(t), t ≥ 0,
và được cho bởi cơng thức :
t

x(t) = φ(t, t0 )x0 +

φ(t, s)g(s)ds.
t0

Trong đó ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của hệ tuyến tính trên thỏa mãn hệ
phương trình
d
dt φ(t, s)

= A(t)φ(t, s), t ≥ s ≥ 0
φ(t, t) = I.
Ví dụ 1.1. Xét hệ phương trình vi phân

x˙1 = 1,
x˙2 = 2tx1 + et ,

t≥0

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Ta có

0 0
2t 0

A(t) =

, g(t) =

1
et

ma trận nghiệm cơ bản

1
0
2
t −s 1

φ(t, s) =

2

khi đó nghiệm tổng qt của hệ có dạng

x(t) =

t

1
0
2
2
t − t0 1

1
0
2
t −s 1

x0 +

2

t0

1
et

ds,

với

2
1

x(0) =

.

Vậy nghiệm tổng qt của hệ đã cho được biểu diễn dưới dạng

x(t) =

1.2
1.2.1

2 3
3t

t+2
+ 2t2 + et

Bài tốn ổn định hệ phương trình vi phân
Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân :

x(t)
˙
= f (t, x),

t ≥ 0,

(1.3)

trong đó

f : R+ × Rn −→ Rn
thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ (1.3) với điều kiện ban đầu

x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0
ln có nghiệm trên [0; ∞). Điều kiện ban đầu này thường có được bằng cách
đo lường nên khơng thể tránh khỏi việc phạm một sai số nào đó. Một câu hỏi
đặt ra là sai số đó sẽ ảnh hưởng ít hay nhiều đến nghiệm phải tìm ?.
Nếu ảnh hưởng đó là nhiều tức một sự thay đổi khá bé của điều kiện ban
đầu lại gây nên một sự thay đổi lớn đối với nghiệm tìm được thì nghiệm này
nói chung ít có giá trị về phương diện ứng dụng và khơng thể dùng để mơ tả
gần đúng hiện tượng đang xét.

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Nếu t biến thiên trong đoạn hữu hạn t0 ≤ t ≤ T thì từ định lý về sự phụ
thuộc nghiệm theo điều kiện ban đầu ta suy ra rằng nếu điều kiện ban đầu
thay đổi ít thì nghiệm sẽ thay đổi ít. Nhưng nếu t có thể nhận giá trị lớn
tùy ý thì vấn đề đó cần phải xét và đó chính là mục đích của lý thuyết ổn
định. Vào khoảng cuối thế kỷ XIX nhà tốn học Nga A. M. Lyapunov đã
đưa ra định nghĩa khái niệm ổn định và đã đề ra những phương pháp hữu
hiệu để giải bài tốn ổn định. Xét hệ (1.3) với giả thiết hệ có nghiệm 0 tức là

f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 và ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định nếu với mọi số

t0 ≥ 0

ε > 0,

sẽ tồn tại số δ > 0 phụ thuộc ε và t0 sao cho bất kỳ nghiệm

x(t),

x(t0 ) = x0

của hệ thỏa mãn ||x0 || < δ thì nghiệm đúng bất đẳng thức

||x(t)|| < ε ∀t ≥ t0
Định nghĩa 1.2. Nghiệm 0 của hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn
định và tồn tại số δ > 0 sao cho ||x0 || < δ thì

lim ||x(t)|| = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.3. Hệ (1.4) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0 δ > 0 sao
cho mọi nghiệm của hệ (1.4) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn

||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 ) ,

∀t ≥ t0 .

Để ngắn gọn từ nay ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định thay vào nói nghiệm 0 của
hệ là ổn định.
Ví dụ 1.2. Xét phương trình vi phân sau trong R

x(t)
˙
= ax(t), t ≥ 0.
Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi cơng thức

x(t) = x0 eαt , t ≥ 0.
• Nếu a < 0, thì hệ là ổn định tiệm cận. Thật vậy, theo định nghĩa nếu
||x0 || ≤ δ thì ta có ||x(t)|| ≤ ||x0 eat || ≤ ||x0 ||eat . Chọn δ = ε và eat ≤ 1
ta có ||x(t)|| < ε, hơn nữa vì ||x(t)|| → 0 khi t → +∞
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

• Nếu a = 0 thì hệ là ổn định, khơng ổn định tiệm cận vì ||x(t)|| = ||x0 ||
• Nếu a > 0, hiển nhiên hệ khơng ổn định.
Xét hệ phương trình vi phân có dạng

x(t)
˙
= f (x(t)),
f (0) = 0.

t ≥ 0,

(1.4)

Định nghĩa 1.4. Hàm khả vi liên tục V (x) : R+ −→ R, gọi là hàm Lyapunov
của hệ (1.4) nếu
i) V (x) là hàm xác định dương theo nghĩa

V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn , V (x) = 0
ii) Df V (x(t)) :=

∂V
∂x(t) f (x(t))

≤ 0, với nghiệm x(t) và

Df V (x(t))

d
V (x(t))
dt
∂V (x(t)) ∂x
=
∂x(t) ∂t
∂V (x(t))
=
f (x(t)).
∂x(t)
=

Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và thêm
vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (ii) là thực sự âm, với mọi x nằm ngồi
một lân cận 0 nào đó, nói cách khác :

∃c > 0 :

Df V (x(t)) ≤ −c||x(t)||,

với mọi nghiệm x(t).
Định lý 1.2. [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định.
Ví dụ 1.3. Xét tính ổn định của hệ phương trình vi phân

x˙1 = −x42 x1
t≥0
4
x˙2 = x1 x2

.
Lấy hàm Lyapunov V (x) = x41 + x42 , ta có

Df V (x)

= 4x31 x˙1 + 4x32 x˙2
= −4x41 x42 + 4x41 x42 = 0

khi đó ta có tính ổn định của hệ đã cho.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Định lý 1.3. [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm
cận.
Ví dụ 1.4. Xét tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình vi phân

x˙1 = −x2 − x31 , t ≥ 0
.
x˙2 = x1 − x32
.
Lấy hàm Lyapunov V (x) = x21 + x22 ta có

Df V (x) = 2x1 x˙1 + 2x2 x˙2
suy ra

= 2x1 (−x2 − x31 ) + 2x2 (x1 − x32 )

Df V (x)

= −2(x41 + x42 )

do đó

Df V (x) < −2||x|| < 0, ∀x ∈ R+ \{0}.
khi đó ta có tính ổn định tiệm cận của hệ đã cho.
1.2.2

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân.

Trong thực tế người ta thường gặp bài tốn xét dáng điệu nghiệm cân bằng
hệ phương trình vi phân khơng trên tồn bộ [0; +∞] mà chỉ trên đoạn hữu
hạn [0; T ]. Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi
nhiễu các giá trị ban đầu cũng bị chặn bởi một số cho trước. Đây cũng là nội
dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn [3]. Xét hệ phương trình vi phân
dạng:

x˙ = f (t, x(t)),
x(0) = 0.

t ∈ [0; T ]

(1.5)

Định nghĩa 1.5. Cho c1 > 0, c2 > 0, c1 < c2 , ma trận đối xứng xác định
dương R, và thời gian T > 0. Hệ (1.5) gọi là ổn định hữu hạn (f inite − time stable)
đối với (c1 , c2 , T, R) nếu từ

xT0 Rx0 ≤ c1 ,
suy ra

xT (t)Rx(t) < c2 ,

∀ ∈ [0; T ]

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Tính ổn định hữu hạn là khái niệm độc lập với tính ổn định Lyapunov. Hệ
có thể ổn định hữu hạn nhưng khơng ổn định Lyapunov và ngược lại.
Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình vi phân sau: x(t)
˙
= cost, nghiệm của hệ là

x(t) = sint + x0 . Rõ ràng hệ trên khơng ổn định tiệm cận nhưng ổn định hữu
hạn đối với ( 12 , 32 , π, I).
Ví dụ 1.6. Xét hệ phương trình sau: x(t)
˙
= −ax(t), a > 0. Nghiệm của hệ
là x(t) = e−at x0 . Hệ là ổn định Lyapunov và cũng ổn định hữu hạn đối với

(c1 , c2 , T, I), với mọi c1 , c2 , c1 < c2 , T > 0.
Ví dụ 1.7. Xét hệ phương trình vi phân mà nghiệm x(t) liên tục tuyệt đối

được xác định bởi

x(t) =

sint + 1 0 ≤ t ≤ π,
e−(t−π)
t > π.

Ta thấy x(t) → 0, khi t → +∞ như vậy hệ ổn định Lyapunov nhưng hệ
khơng ổn định hữu hạn đối với ( 32 , 2, π, I)

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 2

Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn
hệ phương trình vi phân.
Nội dung của chương này là giới thiệu một số kết quả cơ bản về điều kiện
đủ tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân. Nội dung chương này được
trình bày trong các kết quả của [3], [6].

2.1

Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:

x(t)
˙
= Ax(t),
x(0) = x0 .

t ≥ 0,

(2.1)

trong đó A ∈ Rn×n , x(t) ∈ Rn , x0 ∈ Rn
Định lý 2.1. Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại số

α > 0 và ma trận Q ∈ Rn×n đối xứng xác định dương sao cho các điều kiện
sau thỏa mãn:
˜ + QA
˜ T − αQ
˜<0
AQ

(2.2)

λmax (Q) c2 −αT
< e
,
λmin (Q)
c1

(2.3)

˜ = R− 12 QR− 12 .
trong đó Q
˜ −1 x(t). Lấy đạo hàm cả hai vế theo
Chứng minh. Lấy hàm V (x(t)) = xT (t)Q
t ta được
V˙ (x(t))

˙ x(t) = 2 Q
˜ −1 x(t),
˜ −1 Ax(t), x(t)
=2 Q
˜ −1 A + AT Q
˜ −1 )x(t), x(t) − αV (x(t)) + αV (x(t))
= (Q
˜ −1 + Q
˜ −1 A − αQ
˜ −1 )x(t), x(t) + αV (x(t)).
= (AT Q
(2.4)
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Từ (2.2) suy ra

˜ −1 + Q
˜ −1 A − αQ
˜ −1 < 0,
AT Q
nên ta có

V˙ (x(t)) < αV (x(t)),

∀t ∈ [0; T ],

(2.5)

suy ra

V˙ (x(t))
< α.
V (x(t))
Lấy tích phân từ 0 tới t ∀t ∈ [0; T ] ta được

V (x(t)) < eαt V (x(0)),

∀t ∈ [0; T ]

(2.6)

Đặt

P =

Q−1 0

0 Q−1

1

,

Từ

M=

R2 0
0 I

,

z=

x
0

.

V˙ (x(t))
<α
V (x(t))

ta có

z T (t)M P M z(t) < z T (0)M P M z(0)eαt

(2.7)

Ta có

z T (t)M P M z(t)

1

1

= xT (t)R 2 Q−1 R 2 x(t)
≥ λmin (Q−1 )xT (t)Rx(t)

(2.8)

và

z T (0)M P M z(0)

1

1

= (xT (0)R 2 Q−1 R 2 x(0))eαt
≤ λmax (Q−1 )xT (0)Rx(0)eαt
≤ λmax (Q−1 )c1 eαt .

(2.9)

suy ra

z T (0)M P M z(0) ≤ λmax (Q−1 )c1 eαt
Từ (2.7)- (2.10) suy ra

xT (t)Rx(t) <

λmax (Q) αt
c1 e < c2 , ∀t ∈ [0; T ].
λmin (Q)

Định lý được chứng minh.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
(2.10)


Ví dụ 2.1. Xét hệ phương trình

x(t)
˙
= Ax(t).
˜ = Q, chon α = 1, T = 1. Giả sử
Lấy R = I suy ra Q
q1 0
0 q2

Q=

a1 0
0 a2

,A =

.

Xét

AQ + QAT − Q < 0
hay

a1 0
0 a2

q1 0
0 q2

·

q1 0
0 q2

+

a1 0
0 a2

·

2a1 q1 − q1
0
0
2a2 q2 − q2

−

q1 0
0 q2

=

.

Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có

∀q1 > 0
⇔
∀q2 > 0

2a1 q1 < q1 ,
2a2 q2 < q2 ,

∀q1 > 0,
∀q2 > 0.

a1 < 0, 5
a2 < 0, 5

lấy

Q=

2 0
0 1

1
3

,A =

0

0
1
4

.

Khi đó λmax (Q) = 2, λmin (Q) = 1 và c2 = 3, c1 = e−1 . Khi đó hệ

x˙1 (t) = 13 x1 (t)
x˙2 (t) = 14 x2 (t)
ổn định hữu hạn đối với (e−1 , 3, 1, I)
Ví dụ 2.2. Xét hệ phương trình

x(t)
˙

= Ax(t).
˜ = Q, chon α = 1, T = 1. Giả sử
Lấy R = I suy ra Q
Q=

2 0
0 5

,A =

a1 0
a2 a3

.

Xét

AQ + QAT − Q < 0
hay

a1 a2
0 a3

·

2 0
0 5

+

2 0
0 5

·

a1 0
a2 a3

−

11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
2 0
0 5

=


4a1 − 2
a2
2a2
10a3 − 5
Theo điều kiện (2.2) của định lý ta có

a1 < 0, 5
(10a3 − 5)(4a1 − 2) − 10a22 > 0


a1 = 14

a1 = 14
a =2
 2
a3 = 5

.


a1 < 0, 5
⇔ 5a22 > 1 − 5a3

a1 = 14

lấy
1
4

0
2 5

A=

.

Khi đó λmax (Q) = 5, λmin (Q) = 2 và c2 = 6, c1 = 2e−1 . Khi đó hệ

x˙1 (t) = 14 x1 (t)

x˙2 (t) = 2x1 (t) + 5x2 (t)
ổn định hữu hạn đối với (2e−1 , 6, 1, I)
2.1.1

Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu

Xét hệ phương trình tuyến tính

x(t)
˙
= Ax(t) + Gw(t),

x(0) = x0 ,

w(t)
˙
= F w(t), w(0) = w0 ,

(2.11)
(2.12)

trong đó

A ∈ Rn×n , G ∈ Rn×r ,

F ∈ Rr×r .

Định nghĩa 2.1. Hệ (2.11) được gọi là hệ ổn định hữu hạn đối với (c1 , δ, c2 , T, R)
nếu với mọi nhiễu thỏa mãn (2.12) thì

xT0 Rx0 ≤ c1 ,

w0T Rw0 ≤ δ

suy ra

xT (t)Rx(t) < c2 ,

∀t ∈ [0; T ].

Định lý 2.2. .Hệ (2.11) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , δ, c2 , T, R) nếu tồn
tại số α ≥ 0, và số thực λi

i = 1, 2, 3, 4 và hai ma trận đối xứng xác
định dương Q1 ∈ Rn×n và Q2 ∈ Rr×r sao cho thỏa mãn điều kiện sau
AT Q˜1 + Q˜1 A − αQ˜1
Q˜1 G
<0
(2.13)
GT Q˜1
F T Q˜2 + Q˜2 F − αQ˜2
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

λ3 I < Q1 < λ1 I,

(2.14)

λ4 I < Q2 < λ2 I,

(2.15)

λ4 eλ0 −αT − λ2 < 0,

(2.16)

c1 λ1 + δλ2 − δeλ0 −αT λ4 < e−αT c2 λ3 ,

(2.17)

trong đó
1
1
1
1
Q˜1 = R− 2 Q1 R− 2 , Q˜2 = R 2 Q2 R 2 , λ0 = min λ¯0 t, λ¯0 = λmin (F T + F ).

0≤t≤T

Chứng minh. Lấy V (x(t)) = xT (t)Q˜1 x(t) và gọi V˙ (x(t)) là đạo hàm của V (x)
trong q trình giải hệ (2.11). Khi đó ta có

˙
V (x(t))

= x˙ T (t)Q˜1 x(t) + xT (t)Q˜1 x(t)

˙
= xT (t)[AT Q˜1 + Q˜1 A]x(t) + wT (t)GT Q˜1 x(t) + xT (t)Q˜1 Gw(t)
=

T

x(t)
w(t)

AT Q˜1 + Q˜1 A Q˜1 G
GT Q˜1
0

x(t)
w(t)

(2.18)

Theo (2.18) và (2.13) ta có

V˙ (x(t)) < αV (x(t)) + αwT (t)Q˜2 w(t) − wT (t)(F T Q˜2 + Q˜2 F )w(t)

(2.19)

nhân cả hai vế của (2.19) với e−αt ta được

e−αt V˙ (x(t)) − e−αt αV (x(t)) < αe−αt wT (t)Q˜2 w(t)
−e−αt wT (t)(F T Q˜2 + Q˜2 F )w(t).
Do đó

d −αt
(e V (x(t))) < αe−αt wT (t)Q˜2 w(t)
dt
−e−αt wT (t)(F T Q˜2 + Q˜2 F )w(t)
Lấy tích phân cả hai vế trong (2.20) từ 0 tới t với t ∈ [0; T ] ta được

e−αt V (x(t))

t

−V (x(0)) < α

e−αs wT (s)Q˜2 w(s)ds

0
t

−

e−αs wT (s)(F T Q˜2 + Q˜2 F )w(s)ds

0
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
(2.20)

t

=α

−αs

e

= −e

0
−αt

t

w (s)Q˜2 w(s)ds −
T

e−αs d(wT (s)Q˜2 w(s))

0

w (t)Q˜2 w(t) + w (0)Q˜2 w(0)
T

T

Như vậy ta có

e−αt V (x(t)) − V (x(0)) < −e−αt wT (t)Q˜2 w(t) + wT (0)Q˜2 w(0)

(2.21)

từ (2.21) ta có
T
< eαt [V (x(0)) + wT (0)Q˜2 w(0) − e−αt wT (0)eF t Q˜2 eF t w(0)]
< eαT xT (0)Q˜1 x(0) + wT (0)Q˜2 w(0)

V (x(t))

T
− e−αT wT (0) min (eF t Q˜2 eF t )w(0) eαT

0≤t≤T

chú ý rằng
1
1
Q˜1 = R 2 Q1 R 2

1
1
Q˜2 = R 2 Q2 R 2

ta có
1

1

1

1

1

1

xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t) < eαT [xT (0)R 2 Q1 R 2 x(0) + wT (0)R 2 Q2 R 2 w(0)]
1

T

1

−eαT [e−αT wT (0) min (eF t R 2 Q2 R 2 eF t )w(0)]
0≤t≤T

1

< eαT [c1 λmax (Q1 ) + wT (0)R 2 λmax (Q2 )]
−eαT [e−αT λmin (Q2 )λmin ( min (e(F

T

+F )t

0≤t≤T

1

))R 2 w(0)].

Từ điều kiện (2.14) và (2.15) kéo theo

λ3 < λmin (Q1 ), λmax (Q1 ) < λ1 ,

λ4 < λmin (Q2 ), λmax (Q2 ) < λ2 ,
ta có
1

1

xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t)
< eαT [c1 λ1 + (λ2 − eλ0 −αT λ4 )wT (0)Rw(0)]
< eαT [c1 λ1 + δ(λ2 − eλ0 −αT λ4 )]
Vậy
1

1

xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t) < eαT [c1 λ1 + δ(λ2 − eλ0 −αT λ4 )].
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
(2.22)

Mặt khác
1

1

λmin (Q1 )xT Rx(t) ≤ xT (t)R 2 Q1 R 2 x(t),

(2.23)

từ (2.22) và (2.23) ta có

eαT [c1 λ1 + δλ2 − δeλ0 −αT λ4 ]
x (t)Rx(t) ≤
λ3
T

sử dụng (2.17) suy ra

xT (t)Rx(t) < c2
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.2.1 Điều kiện ổn định hữu hạn hệ (2.11)-(2.12) xác định bởi
nghiệm và bất đẳng thức ma trận (2.13)-(2.17). Để tính nghiệm của (2.13)(2.17) người ta sẽ cố định α > 0 rồi giải bất đẳng thức ma trận tuyến
tính (2.13) bởi phương pháp LMI Control Toolbox [5]. Xác định ma trận

A, P, A1 , Q, sau đó tìm các λi từ (2.14)-(2.17).
Ví dụ 2.3. Xét hệ phương trình

x(t)
˙

= Ax(t) + Gw(t).
Lấy R = I, α = 1, T = 1, chọn R = I khi đó Q˜1 = Q1 , Q˜2 = Q.Giả sử

Q1 =

1 0
0 3

a1 0
a2 a3

,A =

.

Xét

AT Q1 + Q1 A − Q1 < 0
có

a1 a2
0 a3

·

1 0
0 3

1 0
0 3

+

a1 0
a2 a3

·

2a1 − 1
3a2
3a2
6a3 − 3
Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có

2a1 < 1
(2a1 − 1)(2a3 − 1) − 3a22 > 0

a1 = −2

−


a1 < 0, 5
⇔ 3a22 < 5 − 10a3

a1 = −2

−2 0
3 −3

.

15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

=

.

Khi đó lấy

A=

1 0
0 3

/>
.


lấy λ1 = 4, λ3 = 0, 5. Ta đi tìm ma trận F . Gọi

Q2 =

3 0
0 4

f1 0

f2 f3

,F =

.

Xét

F T Q2 + Q2 F − Q2 < 0
có

f1 f2
0 f3

·

3 0
0 4

3 0
0 4

+

f1 0
f2 f3

·

6f1 − 3

4f2
4f2
8f3 − 4
Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có

6f1 − 3 < 0
3(2f1 − 1)(2f3 − 1) − 4f22 > 0

f1 = −3

−

3 0
0 4

=

.


f1 < 0, 5
⇔ f22 < 3(7 − 14f3 )

f1 = −3

.

Khi đó lấy lấy

−3 0

3 −1 .
√
√
λ¯0 = −4 − 13 suy ra λ0 = −4 − 13, λ2 = 5, λ4 = 2, và chọn
F =

G=

−2 0
−5 −1

.

Ta cho c1 = δ = 1 và chọn được c2 = 100e5 . Khi đó hệ

x˙1 (t) = −2x1 (t) − 2w1 (t)
x˙2 (t) = 3x1 (t) + 3x2 (t) − 5w1 (t) − w2 (t)
ổn định hữu hạn đối với (1, 1, 100e5 , 1, I)

w˙1 (t) = −3w1 (t)
w˙2 (t) = 3w1 (t) − w2 (t)
Ví dụ 2.4. Xét hệ phương trình

x(t)
˙
= Ax(t) + Gw(t).
Lấy R = I, α = 2, T = 1, chọn R = I khi đó Q˜1 = Q1 , Q˜2 = Q.Giả sử

Q1 =

1 0
0 5

,A =

a1 a2
a3 a4

.

Xét

AT Q1 + Q1 A − 2Q1 < 0
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

có

a1 a3
a2 a4

·

1 0
0 5

1 0
0 5

+

a1 a2
a3 a4

·

2a1 − 2 5a3 + a1
a2 + 5a3 10a4 − 10

−2

1 0
0 5

=

.

Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có

2a1 − 2 < 0,
20(a1 − 1)(a4 − 1) − (5a3 + a1 )(a2 + 5a3 ) > 0

a1 = −2



a1



a2
⇔
a3



a4

= −2
=1
=1
= −1

Khi đó lấy

−2 1
1 −1

A=

.

lấy λ1 = 6, λ3 = 0, 5. Ta đi tìm hai ma trận F . Gọi

Q2 =

2 0
0 4

f1 0
f2 f3

,F =

.

Xét

F T Q2 + Q2 F − 2Q2 < 0
có

f1 f2
0 f3

·

2 0
0 4

2 0
0 4

+

·

f1 0
f2 f3

4f1 − 4
4f2
4f2
8f3 − 8
Theo điều kiện (2.13) của định lý ta có

4f1 < 4
2(f1 − 1)(f3 − 1) > f22

f1 = −2

−2

2 0
0 4

.


f1 = −2
⇔ f3 = −3

f2 = 4

.

Khi đó lấy lấy

−2 0
4 −3 .
√
√
λ¯0 = −5 − 17 suy ra λ0 = −5 − 17, λ2 = 5, λ4 = 1, và chọn
F =

G=

−3 0
−4 −1

.

Ta cho c1 = δ = 1 và chọn được c2 = 920. Khi đó hệ

x˙1 (t) = −2x1 (t) + x2 (t) − 3w1 (t)
x˙2 (t) = x1 (t) − x2 (t) − 4w1 (t) − w2 (t)
ổn định hữu hạn đối với (1, 1, 920, 2, I)
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
=


2.1.2

Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ

Xét hệ phương trình sau

x(t)
˙
= Ax(t) + A1 x(t − τ ), ∀t ∈ [0; T ],

(2.24)

với điều kiện ban đầu

−τ ≤ t ≤ 0,

x(t) = ψ(t),

(2.25)

trong đó A ∈ Rn×n và A1 ∈ Rn×n là những ma trận thực,

Ψ(t) : [−τ ; 0] −→ Rn
là hàm liên tục cho trước, τ > 0 là số cho trước.
Định nghĩa 2.2. Hệ (2.24) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu

max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1

−τ ≤t≤0

suy ra

xT (t)Rx(t) < c2 ,

∀t ∈ [0; T ].

Định lý 2.3. Hệ (2.24) là ổn định hữu hạn đối với (c1 , c2 , T, R) nếu tồn tại
số α > 0 và hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho các
điều kiện sau thỏa mãn

AT P + P A − αP P A1
< 0,
AT1 P
−Q

(2.26)

¯
λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)
c2 −αT,
<
e
c1
λmin (P¯ )

(2.27)

trong đó
1
−1
¯ = R− 12 QR− 12 .

P¯ = R− 2 P R 2 , Q

Chứng minh. Xét hàm
t

V (x(t)) = eαt P x(t), x(t) + eαt

Qx(s), x(s) ds
t−τ

lấy đạo hàm theo t hai vế ta có:

V˙ (x(t)) = eαt [ (AT P + P A + Q − αP )x(t), x(t) + 2 P A1 x(t − τ ), x(t) ]
−eαt [ Qx(t − τ ), x(t − τ ) ] + αV (x(t)).
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Ta có
T

x(t)
V˙ (x(t)) = eαt x(t − τ )

AT P + P A + Q − αP P A1
AT1 P
−Q

x(t)
x(t − τ )

+αV (x(t)).
Từ điều kiện (2.26) suy ra V˙ (x(t)) < V (x(t)),

t ∈ [0; T ], từ đó

V˙ (x)
< α, ∀t ∈ [0; T ].
V (x)
Lấy tích phân hai vế từ 0 đến t ta được

V (x(t)) < eαt V (x(0)),

∀t ∈ [0; T ].

(2.28)

Mặt khác ta có

V (x(t)) ≥ eαt P x(t), x(t) ≥ P x(t), x(t)
1

1

1

1

= xT (t)R 2 R− 2 P R− 2 R 2 x(t).

(2.29)

1
1
Đặt P¯ = R− 2 P R− 2 ta có
1
1
≥ xT (t)R 2 P¯ R 2 x(t)
≥ λmin (P¯ )xT (t)Rx(t).

V (x(t))

(2.30)

Hơn nữa ta có đánh giá

¯ max ΨT (t)RΨ(t), t ∈ [0; T ]
V (x(0)) ≤ [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]
−τ ≤t≤0

(2.31)

¯ = R− 12 QR− 12 . Theo định nghĩa nếu
trong đó Q
max ΨT (t)RΨ(t) ≤ c1

−τ ≤t≤0

thì từ (2.30) và (2.31) ta có

¯ 1 eαT .
λmin (P¯ )xT Rx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (x(0))eαt ≤ [λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)]c
Vì t ≤ T và theo điều kiện (2.27) ta có
T

αT

x (t)Rx(t) ≤ e

¯
λmax (P¯ ) + τ λmax (Q)
c1 < c2 .
λmin (P¯ )

Định lý được chứng minh.

19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>