(Luận văn thạc sĩ) một số phương pháp chiếu giải bài toán chấp nhận tách luận văn ths toán học 84601

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NINH THỊ THU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU
GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội - 2018


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NINH THỊ THU

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU
GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112.01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2018

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc tới GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh người đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy để
tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Khoa Tốn- Cơ- Tin học,
Phịng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội − Đại học Quốc
gia Hà Nội, cũng như quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 20162018 đã dạy bảo tơi tận tình trong suốt q trình học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè- những người đã
ln hỗ trợ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận văn này.
Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2018
Học viên

Ninh Thị Thu


Mục lục
1

2

Kiến thức chuẩn bị

11

1.1

Một số khái niệm và mệnh đề cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1

Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2

Ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.3

Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.4

Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Một số phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán chấp nhận tách 20
2.1

Phương pháp đạo hàm tăng cường tìm nghiệm của bài tốn chấp
nhận tách

2.2

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Phương pháp đạo hàm tăng cường nới lỏng tìm nghiệm có chuẩn
nhỏ nhất của bài tốn chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.4

Bài tốn điều khiển tối ưu tuyến tính-tồn phương rời rạc . . . . .

40

Một số phương pháp dạng CQ giải bài toán chấp nhận tách

43

3.1

Thuật toán CQ gốc giải bài toán chấp nhận tách và sự hội tụ . . .

43

3.2

Thuật tốn CQ tự thích nghi và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3

Thuật toán CQ lai ghép và sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . .

51

3.4

Thuật toán CQ nới lỏng tự thích nghi . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.5

Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

4


Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60

5


DANH MỤC KÝ HIỆU

CFP

Bài toán chấp nhận lồi

Fix( T )

Tập điểm bất động của ánh xạ T

NK (v)

Nón pháp tuyến của K tại v ∈ K

PC ( x )

Phép chiếu trực giao (metric) của x ∈ H lên C
PC ( x ) = inf{ x − y : y ∈ C }

SFP

Bài toán chấp nhận tách

VIP(F, C)

Bài toán bất đẳng thức biến phân đối với ánh xạ F và tập C

VI(F, C)

Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân đối với
ánh xạ F và tập C

ism

Đơn điệu mạnh ngược

H

Không gian Hilbert thực

Γ

Tập nghiệm của SFP

ωw

(xk )

tập điểm tụ yếu của { x k }

xn → x

xn hội tụ mạnh đến x

xn

xn hội tụ yếu đến x

x

T1 ◦ T2
f

Hợp của hai ánh xạ T1 và T2
Toán tử đạo hàm của f

6

LỜI MỞ ĐẦU
Cho C và Q là các tập con lồi, đóng, khác rỗng của các khơng gian Hilbert
thực H1 và H2 tương tứng, A : H1 −→ H2 là tốn tử tuyến tính bị chặn. Bài tốn
chấp nhận tách (SFP: split feasibility problem) được phát biểu như sau:
Tìm x ∗ ∈ C sao cho Ax ∗ ∈ Q.

(0.0.1)

Bài toán chấp nhận tách xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học và đóng vai
trị đặc biệt quan trọng trong việc mơ hình hóa nhiều bài tốn ngược xuất hiện
trong thực tế, chẳng hạn, bài tốn khơi phục ảnh, trong liệu pháp xạ trị điều
chỉnh cường độ, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, ... Tính ứng dụng cao
của lớp bài tốn này chính là động lực để các nhà toán học nghiên cứu phương
pháp giải. Một trong những phương pháp đã và đang được nhiều tác giả sử dụng
để giải bài toán chấp nhận tách là phương pháp chiếu gradient. Thuật toán đầu
tiên giải SFP được Censor và Elfving [8] đề xuất. Để thực hiện được thuật toán
này ta cần phải tính nghịch đảo A−1 (với giả thiết tồn tại nghịch đảo của A), và
do đó thuật tốn này khơng được sử dụng rộng rãi. Tiếp theo đó, Byrne đã đề
xuất một thuật toán phổ biến hơn, gọi là thuật tốn CQ ([4], [5]). Thay vì giải bài
tốn chấp nhận tách SFP một cách trực tiếp, tác giả đã chuyển bài toán gốc thành
bài toán tối ưu tương ứng: giả sử rằng SFP có nghiệm x ∗ , ta đặt:
f ( x ) :=

1
Ax − PQ Ax 2 ,
2

x ∈ H1 .

Ta có hàm mục tiêu lồi f ( x ) là khả vi với gradient liên tục Lipschitz được cho

bởi
f = A∗ ( I − PQ ) Ax,
và x ∗ là nghiệm của bài toán cực tiểu với giá trị tối ưu 0
min f ( x ).
x ∈C

7

(0.0.2)


Hơn nữa, ta biết rằng x ∗ cũng là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân:
tìm x ∈ C thỏa mãn
f ( x ), y − x ≥ 0,

∀y ∈ C.

Thuật toán CQ cho bài toán cực tiểu hóa (0.0.2) được tác giả Byrne đề xuất
như sau
x0 ∈ H1 được chọn tùy ý,
x k+1 = PC ( x k − λk
f ( x k )),

k∈N

hay
x0 ∈ H1 được chọn tùy ý,
x k+1 = PC ( I − λk A∗ ( I − PQ ) A) x k ,

k∈N

(0.0.3)

trong đó A∗ là liên hợp của A, PC và PQ là phép chiếu trực giao lên C và Q tương
1
ứng, λk được chọn trong khoảng 0,
, với L = A 2 là hằng số Lipschitz của
L
f . Hạn chế của thuật tốn (0.0.3) là địi hỏi phải tính tốn (hoặc ước lượng)
được A để xây dựng vòng lặp tiếp theo. Tuy nhiên, trong thực tế việc tính
tốn (ước lượng) chuẩn không phải lúc nào cũng dễ dàng thực hiện. Đồng thời,
thuật tốn này cịn bao gồm tính tốn phép chiếu PC và PQ trên tập C và Q tương
ứng. Do đó nó có thể thực hiện được trong trường hợp PC và PQ dễ dàng tính
được (ví dụ C và Q là những hình cầu đóng hoặc nửa khơng gian hay những
siêu hộp, ...).
Bài toán đầu tiên mà luận văn quan tâm là tìm một phần tử chung của tập
nghiệm của bài toán SFP (0.0.1) và tập điểm bất động Fix(S) của ánh xạ không
giãn S trong không gian Hilbert thực cho trước. Được gợi ý bởi ý tưởng của
phương pháp đạo hàm tăng cường để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức
biến phân, Nadezhkina và Takahashi [11] đã giới thiệu thuật tốn lặp để tìm
nghiệm chung của bài tốn điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và bài toán bất
đẳng thức biến phân của một ánh xạ đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không
gian Hilbert thực. Từ đó các tác giả L.C.Ceng, Q.H.Ansari, J.C.Yao đã nghiên
cứu và đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường giải SFP thơng qua việc tìm
8


một điểm chung của tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách và tập điểm bất
động của một ánh xạ khơng giãn. Sau đó, cũng xuất phát từ ý tưởng này các tác
giả xây dựng một thuật toán đạo hàm tăng cường nới lỏng để tìm nghiệm có

chuẩn nhỏ nhất của SFP.
Gần đây, các nhà toán học đã tiếp tục nghiên cứu, cải thiện, mở rộng và phát
triển thuật toán CQ và sự hội tụ của nó. Chẳng hạn, López và các cộng sự [10]
đã giới thiệu thuật toán dưới đây:
x0 ∈ H1 được chọn tùy ý
x k+1 = PC ( I − τk A∗ ( I − PQ ) A) x k ,

k ∈ N,

(0.0.4)

trong đó τk được chọn như sau
τk :=

ρk f ( x k )
f (xk )

2

với 0 < ρk < 4 và inf ρk (4 − ρk ) > 0. Họ đã chứng minh được rằng dãy { x k }
được tạo bởi thuật toán (0.0.4) hội tụ yếu đến nghiệm x ∗ của SFP (0.0.1).
Đáng chú ý rằng thuật tốn (0.0.4) có thể khá đắt vì mỗi bước cần phải tính
giá trị của f ( x k ) và

f ( x k ) để xác định độ dài bước. Câu hỏi đặt ra là có thể

xây dựng được một thuật toán CQ rẻ hơn thuật tốn (0.0.4) ở trên hay khơng?
Trong luận văn này, tơi tìm hiểu và trình bày chi tiết lại thuật tốn CQ- tự thích
nghi, được đề xuất bởi các tác giả P.K. Anh, N.T. Vinh và V.T. Dũng, nhằm giải
đáp cho câu hỏi trên.

Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Phần kiến thức này dựa vào tài liệu tham khảo
[1], [3], [6], [7], [15].
Chương 2. Một số phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán chấp nhận
tách. Phần kiến thức này dựa vào các tài liệu tham khảo [2], [6], [7], [12], [15],
trong đó bài báo [6], [7] là chủ yếu.
Chương 3. Một số phương pháp dạng CQ giải bài toán chấp nhận tách. Phần
kiến thức này dựa vào tài liệu tham khảo [3], [4], [5].
9


Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn vẫn khơng tránh khỏi
những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những nhận xét, góp ý của quý thầy cơ
và các bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2018
Học viên
Ninh Thị Thu

10


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm và mệnh đề cơ bản

Cho H là không gian Hilbert thực với tích trong ·, · và chuẩn · . Sự hội tụ
mạnh (yếu) của dãy { x k } đến x được ký hiệu tương ứng bởi x k −→ x (x k

x).

Cho dãy { x k } ⊂ H, ωw ( x k ) được định nghĩa là tập các điểm tụ yếu của { x k }, tức
là
ωw ( x k ) : = { x ∈ H : x k j

x với {k j } là dãy con của {k }}.

Định nghĩa 1.1.1. ([3]). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Với mọi phần tử
x ∈ H, tồn tại duy nhất một phần tử trong C, ký hiệu là PC x, thỏa mãn
x − PC x = inf{ x − y : y ∈ C }.
Khi đó PC được gọi là phép chiếu trực giao (metric) của H lên C.
Một số tính chất quan trọng của phép chiếu trực giao được nhắc lại trong
mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.1.1. ([3]). Phép chiếu trực giao PC có một số tính chất cơ bản sau:
(i) x − PC x, y − PC x ≤ 0,
2

(ii)

PC x − y

(iii)

PC x − PC y

≤ x−y
2

2

∀ x ∈ H, y ∈ C.
− x − PC x 2 ,

≤ x − y, PC x − PC y ,
11

∀ x ∈ H, y ∈ C.
∀ x, y ∈ H.


(iv)

( I − PC ) x

2

≤ x − z, x − PC x ,

∀ x ∈ H, z ∈ C.

Định nghĩa 1.1.2. ([3]). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Dãy { x k } ⊂ H
được gọi là dãy đơn điệu Fejér đối với C nếu với mọi k ≥ 1 và z ∈ C ta có
x k +1 − z ≤ x k − z .
Mệnh đề 1.1.2. ([3]). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Nếu dãy { x k } là dãy
đơn điệu Fejér đối với C, thì x k

x ∗ ∈ C nếu và chỉ nếu ωw ( x k ) ⊂ C.

Mệnh đề 1.1.3. ([3]). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, { x k } ⊂ H và q ∈ H.
Đặt q = PC u. Nếu tập điểm tụ yếu ωw ( x k ) ⊂ C và

xk − u ≤ u − q ,
với mọi k, thì x k −→ q.
Định nghĩa 1.1.3. ([6]). Một ánh xạ T : H −→ H được gọi là:
(i) ánh xạ không giãn nếu
Tx − Ty ≤ x − y ,

∀ x, y ∈ H;

(ii) ánh xạ không giãn vững nếu 2T − I là ánh xạ không giãn, hoặc tương đương
x − y, Tx − Ty ≥ Tx − Ty 2 ,

∀ x, y ∈ H.

T là ánh xạ không giãn vững nếu và chỉ nếu T có thể biểu diễn dưới dạng
1
T = ( I + S ),
2
trong đó S : H −→ H là ánh xạ khơng giãn.
Từ tính chất của phép chiếu metric PC ta ngay lập tức suy ra được PC là ánh
xạ không giãn vững.

12


Định nghĩa 1.1.4. ([6]). Cho T là tốn tử khơng nhất thiết tuyến tính với miền xác định
D ( T ) ⊂ H và miền giá trị R( T ) ⊂ H, β > 0, ν > 0 là các hằng số cho trước. Toán tử
T được gọi là:
(i) đơn điệu nếu
x − y, Tx − Ty ≥ 0,

∀ x, y ∈ D ( T ).

(ii) β- đơn điệu mạnh nếu
x − y, Tx − Ty ≥ β x − y 2 ,

∀ x, y ∈ D ( T ).

(iii) ν- đơn điệu mạnh ngược (ν- ism ) nếu
x − y, Tx − Ty ≥ ν Tx − Ty 2 ,

∀ x, y ∈ D ( T ).

Dễ thấy rằng, nếu S là ánh xạ khơng giãn thì I − S là ánh xạ đơn điệu, và phép
chiếu PC là 1-ism.
Định nghĩa 1.1.5. ([6]). Ánh xạ T : H −→ H được gọi là ánh xạ trung bình nếu nó có
thể được viết dưới dạng trung bình của ánh xạ đồng nhất I và một ánh xạ không giãn,
tức là
T ≡ (1 − α) I + αS,

(1.1.1)

trong đó α ∈ (0, 1) và S : H −→ H là ánh xạ khơng giãn. Chính xác hơn, khi có (1.1.1)
ta nói rằng T là α-trung bình. Do đó, ánh xạ khơng giãn vững (trường hợp đặc biệt là
1
phép chiếu) là ánh xạ -trung bình.
2
Bổ đề 1.1.1. ([6]). Cho T : H −→ H là ánh xạ cho trước.
1
(i) T là không giãn nếu và chỉ nếu I − T là -ism.
2

ν
(ii) Nếu T là ν-ism thì với γ > 0, γT là -ism.
γ
1
(iii) T là trung bình nếu và chỉ nếu I − T là ν-ism với ν > . Hơn nữa, với α ∈ (0, 1),
2
1
T là α-trung bình nếu và chỉ nếu I − T là -ism.
2α
13


Bổ đề 1.1.2. ([6]). Cho S, T, V : H −→ H là các toán tử cho trước.
(i) Nếu T = (1 − α)S + αV với α ∈ (0, 1), S là trung bình và V là khơng giãn, thì T
là trung bình.
(ii) T là khơng giãn vững nếu và chỉ nếu I − T là không giãn vững.
(iii) Nếu T = (1 − α)S + αV với α ∈ (0, 1), S là không giãn vững và V là khơng giãn,
thì T là trung bình.
(iv) Hợp hữu hạn của các ánh xạ trung bình là ánh xạ trung bình. Nghĩa là, nếu

{ Ti }iN=1 là các ánh trung bình, thì T1 ◦ T2 ◦ · · · ◦ TN cũng là ánh xạ trung bình.
Đặc biệt, nếu T1 là α1 -trung bình và T2 là α2 -trung bình, với α1 , α2 ∈ (0, 1) thì
ánh xạ hợp T1 ◦ T2 là α-trung bình, trong đó α = α1 + α2 − α1 α2 .
(v) Nếu { Ti }iN=1 là các ánh xạ trung bình và có điểm bất động chung, thì
N

Fix( Ti ) = Fix( T1 ◦ · · · ◦ TN ),
i =1

trong đó Fix( T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T, tức là Fix( T ) = { x ∈ H :

Tx = x }.
Bổ đề 1.1.3. ([7]). Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H. Giả sử { xn } là dãy bị
chặn và có các tính chất sau:
(i) Mọi điểm tụ yếu của { xn } đều thuộc K.
(ii) lim xn − x tồn tại với mọi x ∈ K.
n→∞

Khi đó { xn } hội tụ yếu đến một điểm trong K.
Mệnh đề 1.1.4. ([6]). (Nguyên lí bán đóng) Cho K là tập con lồi, đóng, khác rỗng của
H và cho S : K −→ K là ánh xạ không giãn với Fix(S) = ∅. Nếu dãy { xn } ⊂ K hội tụ
yếu đến x và dãy {( I − S) xn } hội tụ mạnh đến y, thì ( I − S) x = y; đặc biệt, nếu y = 0
thì x ∈ Fix(S).
14


Mệnh đề 1.1.5. ([6]). Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi x, y ∈ H và
λ ∈ [0, 1], ta có
λx + (1 − λ)y

2

=λ x

2

+ (1 − λ ) y

2

− λ (1 − λ ) x − y 2 .

Mệnh đề 1.1.6. ([6]). Cho { an } là dãy số không âm thỏa mãn điều kiện
an+1 ≤ (1 − γn ) an + γn δn ,

∀n ≥ 0,

trong đó {γn }, {δn } là các dãy số thực thỏa mãn
∞

(i) {γn } ⊂ [0, 1] và ∑ γn = ∞, hoặc tương đương
n =0

∞

∏ (1 − γn ) := lim

n→∞

n =0

n

∏ ( 1 − γk ) ;

k =0

(ii) lim sup δn ≤ 0, hoặc
n→∞

∞

(ii)’ ∑ γn δn < ∞.
n =0

Khi đó, lim an = 0.
n→∞

Mệnh đề 1.1.7. ([6]). Cho { an }, {bn } và {δn } là các dãy số thực không âm thỏa mãn
an+1 ≤ (1 + δn ) an + bn ,
∞

∞

n =1

n =1

∀n ≥ 1.

Nếu ∑ δn < ∞ và ∑ bn < ∞, thì lim an tồn tại. Hơn nữa, nếu { an } có một dãy con
n→∞

hội tụ đến 0, thì lim an = 0.
n→∞

Mệnh đề 1.1.8. ([3]). Giả sử rằng { an } và {bn } là hai dãy số không âm sao cho an+1 ≤
∞

an + bn , ∀n ∈ N. Nếu ∑ bn < ∞, thì lim an tồn tại.
n =1

n→∞

1.2. Bài toán chấp nhận tách
1.2.1. Bất đẳng thức biến phân

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : H −→ H. Bài toán bất
đẳng thức biến phân (V IP( F, C )) được phát biểu như sau:
15


Tìm x ∗ ∈ C sao cho Fx ∗ , y − x ∗ ≥ 0,

∀y ∈ C.

Ta gọi V I ( F, C ) là tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Người
ta đã chứng minh được định lý về nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
sau đây.
Định lý 1.2.1. ([1]). Cho γ > 0. Một điểm x ∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân nếu và chỉ nếu x ∗ ∈ FixPC ( I − γF ).
Nghĩa là x ∗ ∈ V I ( F, C ) ⇐⇒ x ∗ = PC ( x ∗ − γFx ∗ ).
1.2.2. Ánh xạ đơn điệu cực đại

Nhắc lại rằng, một không gian Banach X được gọi là thỏa mãn điều kiện Opial
([12]) nếu với mọi dãy { xn } ⊂ X thỏa mãn điều kiện là xn

x ∈ X ta có bất

đẳng thức sau
lim inf xn − x < xn − y ,

n→∞

∀y = x.

Người ta đã chỉ ra rằng không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện Opial.
Định nghĩa 1.2.1. ([6]). Một ánh xạ đa trị T : H −→ 2 H được gọi là
(i) đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ H, f ∈ Tx và g ∈ Ty ta có
x − y, f − g ≥ 0.
(ii) đơn điệu cực đại nếu đồ thị G ( T ) khơng chứa trong bất kì đồ thị của ánh xạ đơn
điệu nào khác. Hoặc T được gọi là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với ( x, f ) ∈
H × H, x − y, f − g ≥ 0 với mọi (y, g) ∈ G ( T ) ta có f ∈ Tx.
Định nghĩa 1.2.2. ([6]). Cho F : K −→ H là ánh xạ đơn điệu và liên tục k-Lipschitz
và cho NK v là nón pháp tuyến của K tại v ∈ K, tức là
NK v = {w ∈ H : v − u, w ≥ 0, ∀u ∈ K }.
Ta định nghĩa
Tv =

Fv + NK v,
∅,

nếu v ∈ K,
nếu v ∈
/ K.

Khi đó, T là ánh xạ đơn điệu cực đại và 0 ∈ Tv nếu và chỉ nếu v ∈ V I ( F, K ).
16


1.2.3. Bài toán chấp nhận lồi

Cho một họ hữu hạn các tập con lồi, đóng Ci , i ∈ I, của không gian Hilbert
H cho trước. Đặt C :=
i∈ I

Ci . Nếu C = ∅, thì bài tốn chấp nhận lồi (CFP) là tìm

một điểm x ∈ C.
1.2.4. Bài tốn chấp nhận tách

Cho các không gian Hilbert thực H1 , H2 , C và Q là các tập con lồi, đóng, khác
rỗng của H1 , H2 , tương ứng. Cho A : H1 −→ H2 là tốn tử tuyến tính bị chặn.
Bài toán chấp nhận tách (SFP) được phát biểu như sau:
Tìm x ∗ ∈ C sao cho Ax ∗ ∈ Q.

(1.2.1)

Ta gọi Γ là tập nghiệm của SFP, tức là
Γ := { x ∗ ∈ C : Ax ∗ ∈ Q}
và giả sử rằng Γ = ∅.
Giả sử x ∗ ∈ Γ, ta có Ax ∗ ∈ Q. Khi đó Ax ∗ − PQ Ax ∗ = 0 hay ( I − PQ ) Ax ∗ = 0.
Do đó, x ∗ là nghiệm của bài tốn cực tiểu hóa với giá trị tối ưu 0 sau đây:
min{ f ( x ) :=
x ∈C

1
Ax − PQ Ax
2

2

}.

(1.2.2)

Một số tính chất cơ bản của hàm f ( x ) được nhắc lại trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2.1. ([3]). Cho f : H1 −→ R là hàm được định nghĩa bởi
f ( x ) :=

1
Ax − PQ Ax 2 .
2

Khi đó
1. f là hàm lồi.
2. f là hàm nửa liên tục dưới yếu trên H1 , tức là f ( x ) ≤ lim inf f ( xn ), ∀ x ∈ H1
n→∞

nếu xn

x.
17


3.

f ( x ) = A∗ ( I − PQ ) Ax, x ∈ H1 .

4.

f là A 2 - liên tục Lipschitz:

f (x) −

f (y) ≤ A

2

x−y ,

với x, y ∈ H1 .
5.

1
-ism:
A 2
với x, y ∈ H1 .
f là

f (x) −

f ( y ), x − y ≥

1
A

f (x) −

2

f (y) 2 ,

Như vậy, thay vì giải bài toán chấp nhận tách (1.2.1) một cách trực tiếp, người
ta xét bài tốn tối ưu hóa (1.2.2). Ngồi ra, chúng ta có thể sử dụng thuật tốn
điểm bất động để giải SFP (1.2.1) trên cơ sở phân tích như sau. Cho λ > 0 và
giả sử x ∗ ∈ Γ. Khi đó, Ax ∗ ∈ Q, hay ( I − PQ ) Ax ∗ = 0 và từ đó ta có λA∗ ( I −
PQ ) Ax ∗ = 0. Suy ra, ta có phương trình điểm bất động ( I − λA∗ ( I − PQ ) A) x ∗ =
x ∗ . Vì x ∗ ∈ C nên ta xét phương trình điểm bất động sau
PC ( I − λ

f ) x ∗ = PC ( I − λA∗ ( I − PQ ) A) x ∗ = x ∗ .

(1.2.3)

Ta có bổ đề về nghiệm của bài toán chấp nhận tách (1.2.1) sau đây.
Bổ đề 1.2.1. ([6]). Cho x ∗ ∈ H1 , các khẳng định sau là tương đương
1. x ∗ là nghiệm của SFP;
2. x ∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động (1.2.3);
3. x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP): tìm x ∗ ∈ C sao cho
f ( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0,

∀ x ∈ C.

(1.2.4)

Chứng minh. (1) ⇐⇒ (2). Hiển nhiên rằng nếu x ∗ là nghiệm của SFP thì x ∗ là
nghiệm của phương trình điểm bất động (1.2.3).
Ngược lại, giả sử x ∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động (1.2.3), khi
đó theo Mệnh đề 1.1.1(i) ta có

( I − λA∗ ( I − PQ ) A) x ∗ − x ∗ , z − x ∗ ≤ 0,

18

∀z ∈ C.


Nghĩa là
A∗ ( I − PQ ) Ax ∗ , z − x ∗ ≥ 0,

∀z ∈ C.

Do đó
Ax ∗ − PQ Ax ∗ , Ax ∗ − Az ≤ 0,

∀z ∈ C.

Mặt khác, theo Mệnh đề 1.1.1(iv) ta có
Ax ∗ − PQ Ax ∗ , v − Ax ∗ ≤ 0,

∀v ∈ Q.

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta có
Ax ∗ − PQ Ax ∗ , v − Az ≤ 0,

∀z ∈ C, ∀v ∈ Q.

Lấy z = x ∗ ∈ C và v = Ax ∗ ∈ Q, từ bất đẳng thức trên ta suy ra
Ax ∗ = PQ Ax ∗ ∈ Q.
Vậy ta có x ∗ là nghiệm của SFP.

(2) ⇐⇒ (3). Giả sử x ∗ là nghiệm của phương trình điểm bất động (1.2.3), ta

có
PC ( I − λA∗ ( I − PQ ) A) x ∗ = x ∗

⇐⇒ ( I − λA∗ ( I − PQ ) A) x ∗ − x ∗ , x − x ∗ ≤ 0,
⇐⇒ −λ A∗ ( I − PQ ) Ax ∗ , x − x ∗ ≤ 0,
⇐⇒

f ( x ∗ ), x − x ∗ ,

∀x ∈ C

∀x ∈ C

∀ x ∈ C.

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.2.1. Từ Bổ đề (1.2.1) suy ra, với mọi λ > 0 cho trước, ta có
Γ = Fix( PC ( I − λ
trong đó Fix( PC ( I − λ
của PC ( I − λ

f )) và VI(

f )) = VI(

f , C ),

f , C ) được định nghĩa là tập điểm bất động

f ) và tập nghiệm của VIP (1.2.4), tương ứng.

19


Chương 2
Một số phương pháp đạo hàm tăng
cường giải bài toán chấp nhận tách
Tác giả Korpelevich [9] đã giới thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường để
tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Được gợi ý bởi ý tưởng của
phương pháp đạo hàm tăng cường, các tác giả Nadezhkina và Takahashi [11]
đã đề xuất phương pháp lặp để tìm nghiệm chung của bài tốn điểm bất động
cho ánh xạ khơng giãn và bài tốn bất đẳng thức biến phân của một ánh xạ đơn
điệu, liên tục Lipschitz trong khơng gian Hilbert thực. Từ đó, người ta đã nghiên
cứu và đề xuất phương pháp giải bài toán chấp nhận tách thơng qua việc tìm
một điểm chung giữa tập nghiệm Γ của SFP và Fix(S)- tập điểm bất động của
một ánh xạ không giãn S, trong không gian Hilbert cho trước. Trong chương này,
chúng tơi tìm hiểu về 3 phương pháp để giải bài toán chấp nhận tách bao gồm
phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp đạo hàm tăng cường nới lỏng
và phương pháp đạo hàm tăng cường kết hợp với phép lặp Mann.

2.1. Phương pháp đạo hàm tăng cường tìm nghiệm của bài tốn chấp nhận tách

Để tìm nghiệm của SFP (1.2.1), ta xét bài tốn cực tiểu hóa
min{ f ( x ) :=
x ∈C

1
Ax − PQ Ax
2

2

}.

Ta thấy rằng, bài tốn cực tiểu hóa trên là đặt khơng chỉnh. Do đó, tác giả Xu
20


[15] đã xét bài toán hiệu chỉnh theo Tikhonov như sau
min{ f α ( x ) :=
x ∈C

1
Ax − PQ Ax
2

2

1
+ α x 2 },
2

(2.1.1)

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh.
Bổ đề 2.1.1. Cho f α : H1 → R là hàm được định nghĩa bởi
f α ( x ) :=

1
Ax − PQ Ax
2

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh. Khi đó,

1
+ α x 2,
2

2

fα =

f + αI là (α + A 2 )- liên tục

Lipschitz và α- đơn điệu mạnh.
f α là (α + A 2 )- liên tục Lipschitz.

1. Chứng minh

Chứng minh.

f = A∗ ( I − PQ ) A là

Theo Mệnh đề 1.2.1, ta có
f (x) −

f ( y ), x − y ≥

1
A

2

1
A

2

- ism, nghĩa là
f (y) 2 .

f (x) −

Với mọi x, y ∈ H1 , ta có

(α + A 2 )

f α (x) −

= (α + A 2 )[α x − y
= α2 x − y

2

2

f α ( y ), x − y
f (x) −

+

f (x) −

+α

f ( y ), x − y + α A

+ A
≥ α2 x − y

2

+ 2α

= α( x − y) +
f α (x) −

=

f (x) −

f (x) −

f ( y ), x − y ]

2

f (x) −

f ( y ), x − y +

f (y)

2

≤

f α (x) −

2

x−y

2

f ( y ), x − y
f (x) −

f (y)

2

f α (y) 2 .

Suy ra
1
α+ A

2

f α (x) −

f α (y)

2

f α ( y ), x − y ,

∀ x, y ∈ H1 .
(2.1.2)

21


Nghĩa là,

f α là

1

α+ A 2
Từ (2.1.2), ∀ x, y ∈ H1 ta có
f α (x) −

f α (y)

2

- ism.

≤ (α + A 2 )

f α (x) −

f α ( y ), x − y

≤ (α + A 2 )

f α (x) −

f α (y)

x−y ,

hay
f α (y) ≤ (α + A 2 )

f α (x) −
Nghĩa là

x−y .

f α là (α + A 2 )- liên tục Lipschitz.

2. Chứng minh

f α là α- đơn điệu mạnh, tức là
f α (x) −

f α ( y ), x − y ≥ α x − y 2 .

Ta có
f α (x) −

f α ( y ), x − y =

f ( x ) + αx −

f (y) − αy, x − y

=

f (x) −

f ( y ), x − y + α ( x − y ), x − y

=

f (x) −

f ( y ), x − y + α x − y

2

≥ α x − y 2.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta sẽ trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường và chứng minh
rằng dãy tạo bởi thuật toán đề xuất là hội tụ yếu đến một phần tử của Γ ∩ Fix(S).
Định lý 2.1.1. ([6]). Cho S : C → C là ánh xạ không giãn sao cho Fix(S) ∩ Γ = ∅.
Cho { xn } và {yn } là các dãy trong C tạo ra bởi thuật toán đạo hàm tăng cường như sau


 x0 = x ∈ C, được chọn tùy ý,
yn = PC ( I − λn f αn ) xn ,
(2.1.3)
x
=
β
x
+
(
1
−
β
)
SP
(
x
−
λ
f
(
y
))
,
∀
n
≥
0.
n n
n
n

αn n
n +1
C n
∞

1
và { β n } ⊂ [c, d] với
A 2
n =0
c, d ∈ (0, 1). Khi đó, cả hai dãy { xn } và {yn } hội tụ yếu đến một phần tử x ∈ Fix(S)

trong đó ∑ αn < ∞, {λn } ⊂ [ a, b] với a, b ∈

∩ Γ.
22

0,


Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.1, ta có

1

f α = αI + A∗ ( I − PQ ) A là

α+ A

2

-ism.

1
-ism. Theo Bổ đề 1.1.1(iii), ta có I − λ f α là
λ(α + A 2 )
λ(α + A 2 )
1
- trung bình. Kết hợp điều này với chú ý rằng PC là - trung bình và
2
2
2
áp dụng Bổ đề 1.1.2 (iv), ta được với mỗi λ ∈ (0,
), PC ( I − λ f α ) là ζα+ A 2
trung bình, với
Do đó, λ

ζ=

f α là

1 λ(α + A 2 ) 1 λ(α + A 2 )
2 + λ(α + A 2 )
+
− ×
=
∈ (0, 1).
2
2
2
2
4

Suy ra PC ( I − λ
1
, ta có
0,
A 2

f α ) là khơng giãn. Hơn nữa, với {λn } ⊂ [ a, b] với a, b ∈

1
A

a ≤ inf λn ≤ sup λn ≤ b <
n ≥0

n ≥0

2

1
n→∞ αn + A

= lim

2

.

Không mất tổng quát, ta có thể giả sử
a ≤ inf λn ≤ sup λn ≤ b <

n ≥0

n ≥0

1
αn + A

Vậy, với mỗi số nguyên n ≥ 0, PC ( I − λn
ζn =

2

,

∀n ≥ 0.

f αn ) là ζ n − trung bình, với

1 λn (αn + A 2 ) 1 λn (αn + A 2 )
2 + λn (αn + A 2 )
+
− ×
=
∈ (0, 1).
2
2
2
2
4

Từ điều này, ta có ngay PC ( I − λn

f αn ) là không giãn với mọi n ≥ 0.

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng dãy { xn } là bị chặn. Thật vậy, lấy điểm p ∈ Fix(S) ∩ Γ
2
tùy ý. Khi đó, ta có Sp = p và PC ( I − λ f ) p = p với λ ∈ 0,
.
A 2
Từ (2.1.3), ta có
yn − p = PC ( I − λn

f αn ) xn − PC ( I − λn

f )p

≤ PC ( I − λn

f αn ) xn − PC ( I − λn

f αn ) p

+ PC ( I − λn
≤ xn − p + ( I − λn
≤ xn − p + λn αn p .
23

f αn ) p − PC ( I − λn

f αn ) p − ( I − λn

f )p

f )p
(2.1.4)


Đặt tn = PC ( xn − λn
tn − p

2

≤ xn − λn

f αn (yn )) với n ≥ 0. Khi đó, từ Mệnh đề 1.1.1(ii), ta có
2

f αn ( yn ) − p

− xn − λn

f αn ( yn ) − tn

= xn − p

2

− xn − tn

2

+ 2λn

f α n ( y n ), p − t n

= xn − p

2

− xn − tn

2

+ 2λn (

f αn ( yn ) −

+

f α n ( p ), p − y n +

≤ xn − p

2

− xn − tn

2

= xn − p

2

− xn − tn

2

+ 2λn (

+ 2λn [ (αn I +

2

f α n ( p ), p − t n

f α n ( y n ), y n − t n )

f α n ( p ), p − y n +

f α n ( y n ), y n − t n )

f )( p), p − yn +

f α n ( y n ), y n − t n ]
f α n ( y n ), y n − t n ]

≤ xn − p

2

− xn − tn

2

+ 2λn [αn p, p − yn +

= xn − p

2

− xn − yn

2

− 2 xn − yn , yn − tn − yn − tn

+ 2λn [αn p, p − yn +
= xn − p

2

2

− xn − yn

− yn − tn

+ 2 xn − λn

2

f α n ( y n ), y n − t n ]
2

f αn (yn ) − yn , tn − yn + 2λn αn p, p − yn .

Hơn nữa, áp dụng Mệnh đề 1.1.1(i) ta có xn − λn

f αn ( xn ) − yn , tn − yn ≤ 0,

do đó
xn − λn

= xn − λn

f α n ( y n ), t n − y n
f αn ( xn ) − yn , tn − yn + λn

≤ λn

f αn ( xn ) − λn

≤ λn

f αn ( xn ) −

f αn ( xn ) − λn

f α n ( y n ), t n − y n

f α n ( y n ), t n − y n
f αn ( yn )

≤ λn (αn + A 2 ) xn − yn

tn − yn
tn − yn .

Vì vậy, ta thu được
tn − p

2

≤ xn − p

2

− xn − tn

+ 2 xn − λn

2

− yn − tn

2

f αn (yn ) − yn , tn − yn + 2λn αn p, p − yn

24

≤ xn − p

2

− xn − yn

2

− yn − tn

2

+ 2λn (αn + A 2 ) xn − yn
≤ xn − p

2

− yn − tn

2

+ λ2n (αn + A 2 )2 xn − yn

2

− xn − yn

2

tn − yn + 2λn αn p

+ yn − tn

2

p − yn

+ 2λn αn p

p − yn

= xn − p

2

+ 2λn αn p

p − yn + (λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn

≤ xn − p

2

+ 2λn αn p

p − yn .

2

Áp dụng Mệnh đề 1.2.4, từ (2.1.4) và bất đẳng thức trên, ta có
x n +1 − p

2

= β n xn + (1 − β n )Stn − p

2

= β n ( xn − p) + (1 − β n )(Stn − p)
= β n xn − p

2

+ (1 − β n ) Stn − p

≤ β n xn − p

2

+ (1 − β n ) t n − p

≤ β n xn − p

2

+ (1 − β n )[ xn − p

2

2
2

− β n (1 − β n ) xn − Stn
2

2

− β n (1 − β n ) xn − Stn

+ 2λn αn p

2

p − yn

+ (λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn 2 ] − β n (1 − β n ) xn − Stn
≤ xn − p

2

p − yn

+ 2αn λn p

+ (1 − β n )(λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn
≤ xn − p

2

+ αn (λ2n p

2

2

+ αn [λ2n p

2

2

+ αn [λ2n p

2

+ 2 xn − p

2

2

= (1 + δn ) xn − p

2

2

2

− β n (1 − β n ) xn − Stn

2

2

− β n (1 − β n ) xn − Stn

2

2

− β n (1 − β n ) xn − Stn

2

2

− β n (1 − β n ) xn − Stn

2

+ αn λ2n p 2 (1 + 2α2n )

+ (1 − β n )(λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn
≤ (1 + 2αn ) xn − p

2

+ 2λ2n α2n p 2 ]

+ (1 − β n )(λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn
= (1 + 2αn ) xn − p

− β n (1 − β n ) xn − Stn

+ ( x n − p + λ n α n p )2 ]

+ (1 − β n )(λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn
≤ xn − p

2

+ p − yn 2 )

+ (1 − β n )(λ2n (αn + A 2 )2 − 1) xn − yn
≤ xn − p

2

+ αn λ2n p 2 (1 + 2α2n )
(2.1.5)

+ bn ,
25