Đề tài lịch sử toán phần giải tích nhóm 2

Phụ lục
I/ Lịch sử phát triển của giải tích từ thế kỷ XVIII đến nay………...
II/ Một số nhà toán học tiêu biểu ………………………………….
III/ Một số câu nói, giai thoại liên quan đến một số nhà toán học ……
1. Một số câu nói của các nhà tốn học…………………………….
2. Một số câu chuyện toán học ……………………………………
IV. Một số ứng dụng LST vào chương trình PT…………………..
1.Bài tốn cổ hình thành khái niệm đạo hàm……………………
2.Bài tốn cổ hình thành khái niệm ngun hàm………………….
3. Một số tình huống dạy học PT:………………………………………..
4. Tổ chức hoạt động ngoại khóa…………………………………………..

1


LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN GIẢI TÍCH TỪ THẾ KỶ XVIII ĐẾN NAY

I/ Lịch sử phát triển của giải tích từ thế kỷ XVIII đến nay.
Trong thế kỷ XVIII, người ta dành nhiều cho việc tìm tịi các phương
pháp mới và có hiệu lực của phép tính vi – tính phân, trong thế kỷ này đa
phần toán học là mục tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học.
Trong thế kỷ XIX đã có ba sự kiện nổi bật đó là: một trong lĩnh vực hình
học, một trong lĩnh vực đại số học và một trong lĩnh vực giải tích. Sự kiện
xảy ra trong lĩnh vực giải tích đó là việc số hố giải tích. Ngay từ thế kỷ
XVIII, các nhà toán học đã bắt đầu báo động về sự khủng hoảng về cơ sở của
giải tích. Năm 1754, D’Alembert đã thấy được rằng cần đạt tới lý thuyết các
giới hạn. Vào năm 1797, Lagrange đã nỗ lực làm cho giải tích chặt chẽ hơn.
Năm 1821, nhà tốn học Pháp Augustin – Luois Cauchy đã đạt một
bước tiến khổng lồ khi thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng cách
phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận được rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ,
tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định bằng lý thuyết về giới hạn. Các

định nghĩa này hiện chúng ta đang sử dụng trong sách giáo khoa. Những nỗ
lực của Cauchy cũng chỉ xây dựng lý thuyết giới hạn trên cơ sở những “trực
giác” đơn giản về hệ thống số thực.
Năm 1874, Karl Weierstrass đưa ra ví dụ về hàm liên tục mà khơng có
đạo hàm, nói cách khác là đường mà khơng có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào
của nó.
Georg Bernhard Rienmann thì đưa ra một hàm liên tục tại số vô tỉ nhưng
gián đoạn tại số hữu tỉ. Từ đó, người ta thấy rằng lý thuyết giới hạn, tính liên
tục và tính khả vi lại phụ thuộc vào những tính chất khó hiểu của hệ thống số
thực. Do đó, Weierstrass ủng hộ một chương trình trong đó bản thân hệ thống
số thực phải làm cho chặt chẽ rồi sau đó tất cả các quan niệm cơ bản về giải
tích sẽ được rút ra từ hệ thống số này.
2


Các nhà tốn học cịn đi xa hơn nữa so với việc xác lập hệ thống số
thực làm cơ sở cho giải tích. Hình học Euclid thơng qua cách biểu thị bằng
giải tích cũng có thể thực hiện được trên hệ thống số thực và các nhà toán
học cũng phát hiện rằng đại bộ phận các ngành hình học nhất quán nếu hình
học Euclid nhất quán.
Chương trình nổi tiếng này được gọi là chương trình số hố học giải
tích và đã được Weierstrass và các học trị của ơng hồn thành tốt đẹp. Ngày
nay, mọi thứ trong giải tích đều có thể rút ra hợp lý từ tập hợp tiên đề đặc
trưng cho hệ thống số thực.
Vào cuối thế kỷ XIX Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor
(1845-1918) và Giuseppi Peano (1858- 1932) thiết lập cơ sở này trên hệ
thống các số tự nhiên đơn giản và cơ bản hơn nhiều so với cơ sở trên hệ
thống số thực. Các nhà toán học này đã cho thấy hệ thống số thực và một bộ
phận lớn của tốn học có thể rút ra được như thế nào từ tập hợp tiên đề cho
hệ thống số tự nhiên.

Nhưng đến thế kỷ XX, số tự nhiên lại được định nghĩa theo quan điểm
của lý thuyết tập hợp, như vậy đại bộ phận của toán học lại có thể thực hiện
trên cơ sở của lý thuyết tập hợp và mọi ngành toán học đều bị ảnh hưởng bởi
lý thuyết này. Các khái niệm trong giải tích cũng được trình bày theo ngơn
ngữ và tư tưởng của lý thuyết tập hợp.
Ngoài ra, hệ thống số thực hay một bộ phận của nó có thể dùng để biểu
thị nhiều ngành đại số nên tính nhất quán của nhiều ngành đại số có thể thực
hiện được nhờ vào hệ thống số thực. Thực ra, ngày nay có thể nói rằng (về cơ
bản): mọi toán học hiện hữu đều nhất quán nếu hệ thống số thực là nhất quán.
Đó là tầm quan trọng to lớn của hệ thống số thực trong việc xây dựng cơ sở
cho toán học. Một vấn đề tự nhiên được đặt ra có thể xây dựng cơ sở cho các
ngành toán học trên một tập con thực sự nào của tập số thực hay không?
II/ Một số nhà toán học tiêu biểu
3


Một trong những dòng họ nổi bật nhất trong lịch sử tốn học và khoa
học là dịng họ Bernoulli ở Thuỵ Sĩ, họ có những đóng góp cho rất lớn cho
toán học và khoa học từ sau thế kỷ XVII. Dịng họ này có 9 nhà tốn học
trong đó có 5 viện sĩ.
Jakob Bernoulli (27/12/1654 – 16/8/1705) là người mở đầu cho dịng
học Bernoulli trong nghiên cứu tốn học. Cống hiến chủ yếu của ơng là
vào hình học giải tích, lý thuyết xác suất, phép tính tích phân. Bất đẳng thức
Bernoulli thường được dạy trong thường phổ thông mang tên này để vinh
danh ông. Bernoulli cùng với Newton và Leibniz là một trong những người
đầu tiên phát triển phép tính vi phân và tích phân và ơng đã áp dụng thành
cơng cơng cụ này cho nhiều bài tốn lớn khác nhau.
Có nhiều bài tốn học mang tên ơng như: phương trình Bernoulli
trong phương trình vi phân,... Trong cách giải của Jakob Bernoulli cho bài
tốn đẳng thời cơng bố trong Acta eruditorum năm 1690, lần đầu tiên người

ta gặp từ “tích phân” hiểu theo nghĩa của phép tính vi – tích phân. Leibniz
gọi phép vi – tích phân là calculus summatorius (phép tổng); năm 1696,
Leibnez và Johann Bernoulli thống nhất gọi nó là calculus integralis (phép
tính tích phân).
Johann Bernoulli (27/7/1667 – 1/1/1748)

có đóng góp hơn cả người anh của mình là Jakob Bernoulli. Ông đã làm
phong phú rất nhiều cho phép tính vi – tích phân. L’hospital (1661 – 1704) đã
biên tập tài liệu của ông thành sách giáo khoa “giải tích vơ cùng để nghiên
cứu các đường cong” đầu tiên về phép tính vi – tích phân cơng bố năm 1696.
4


Quy tắc L’hospital dùng đánh giá dạng vô định 0/0 thật chất là của Johann.
Năm 1742, ông xuất bản quyển “giáo trình phép tính tích phân”.
Những nghiên cứu của ơng gồm giải tích tốn học, lý thuyết phương
trình vi phân, và cơ học giải tích. Ơng đã khám phá: lý thuyết hàm mũ, tích
phân các phân thức hữu tỉ.... Ơng cũng đặt ra cơ sở của phép tính biến phân
cùng với người anh mình...
Jahann Bernoulli có ba người con trai, Nicolaus (1695 – 1726), Daniel
(1700 – 1782) và Jahann (II) (1710 – 1790) tất cả điều là những nhà toán học
nổi tiếng của thế kỷ XVIII và một số con cháu của họ cùng những đóng góp
nhất định cho tốn học.
De Moivre (1667 – 1754)

De Moivre sinh ra ở Pháp nhưng phần lớn cuộc đời của ông sống ở Anh
và trở thành bạn thân của Isaac Newton. Tập kí về giải tích của ơng đóng góp
cho các chuỗi lặp, xác suất và lượng giác học giải tích. Cơng thức quen
n
thuộc: (cos x + i sin x) = cosnx + i sinnx

được gọi là công thức De Moivre được thấy trong các sách giáo khoa về lý
thuyết các phương trình. Cơng thức này trở thành nguyên tắc cơ bản của
lượng giác học giải tích.
Euler (1707-1783)

5


Leonhard Euler, người Thuỵ Sĩ, là học trò của Johann Bernnoulli. Euler
la nhà bác học vĩ đại thế kỷ XVIII. Euler viết rất nhiều về tốn. Ơng có một
năng lực làm việc kỳ lạ. Do làm việc quá nhiều ông bị hỏng một mắt năm
1735 và hư một con mắt còn lại năm 1766. Khi còn sống, Euler đã cho đăng
khoảng 600 cơng trình quan trọng và nhiều sách chun khảo, trong đó có
khoảng 60 sách quan trọng nhất.
Cơng trình của Euler là một ví dụ nổi bật về hình thức luận của thế kỷ
XVIII, tức là làm việc trên các cơng thức về các q trình vơ hạn mà khơng
quan tâm thực sự đến tính hội tụ và sự tồn tại của tốn học. Ơng đã đưa ra
các ký hiệu toán học như: e (cơ số của loarit tự nhiên), a,b,c (các cạnh của
tam giác), s (nửa chu vi),... Euler cịn đưa ra cơng thức nổi tiếng:

eix = cos x + i sin x
Trong toán học, Euler nghiên cứu cả toán học lý thuyết và toán học ứng
dụng. Những kết quả của ông đặt cơ sở cho nhiều hướng khoa học, đặc biệt
là lý thuyết hàm phức, phép tính biến phân và lý thuyết hàm đặc biệt. Ông
viết ba tác phẩm về giải tích và đóng góp rất quan trọng cho sự hồn thiện
mơn khoa học này. Các tác phẩm về phép tính vi tích phân có rất nhiều nội
dung vẫn giữ nguyên giá trị cho đến ngày nay.
Maclaurin (1698 – 1746)

Colin Maclaurin là một nhà toán học người Scotland. Ơng là một
trong những nhà tốn học tài ba nhất thế kỷ XVIII. Những nghiên cứu của
Maclaurin tập trung nhiều vào giải tích và hình học. Trong cơng trình “Lý
thuyết phương trình vi phân” (1742), Maclaurin đã chứng minh hàng loạt các
nguyên lý và định lý cơ bản trong giải tích, giải một số bài tốn hình học, cơ
6


học và thiên văn học. Ơng tìm ra dấu hiệu hội tụ của dãy số và công thức lấy
tổng của dãy số. Ơng cũng cơng bố cơng trình về khai triển một hàm thành
chuỗi luỹ thừa.
D’Alembert (1717 – 1783)

D’Alembert sinh ra và mất ở Paris. Những cơng trình của ơng chuyên
về cơ học, thuỷ động học và toán học. Các cơng trình tốn học của ơng tập
trung vào lý thuyết phương trình vi phân. Ơng là người đầu tiên sử dụng hàm
phức để giải một trong những phương trình thuỷ động học và chứng minh
phép tính các đại lượng vơ cùng bé bằng lý thuyết giới hạn.
D’Alembert tỏ ra rất quan tâm tới cơ sở của giải tích vào năm 1754,
ơng đã có một gợi ý quan trọng là: lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần
xây dựng để có một cơ sở vững chắc cho giải tích, nhưng rất tiếc là những
người cùng thời của ông lại ít chú ý nhận định tầm cỡ của ông.
Lagrange (1736 – 1813)

Joseph Louis Lagrange là nhà toán học, cơ học và thiên văn học. Ông
sinh ra ở Ý. Năm 1787, ông di cư đến Pháp, năm 1797 là giáo sư ở trường
Bách khoa ở Paris. Năm 1772, ông là viện trưởng Viện hàn lâm Khoa học
Pháp. Cơng trình của Lagrange có một ảnh hưởng rất sâu xa trong việc
nghiên cứu tốn học về sau, bởi vì ơng là nhà tốn học hàng đầu đã sớm nhận

7


ra tình trạng hồn tồn khơng thoả đáng của cơ sở giải tích tốn học. Do đó
ơng tìm mọi cách để làm cho phép vi – tích phân được chặt chẽ.
Nỗ lực đó khơng hồn tồn thành cơng, đã được thực hiện năm
1797 trong tác phẩm “Lý thuyết các hàm giải tích có chứa đựng các ngun
lý của phép tính vi phân”. Tư tưởng chủ yếu ở đây là biểu thị một hàm f(x)
bằng một chuỗi Taylor. Cơng trình về lý thuyết phương trình vi phân và nhất
là phương trình vi phân riêng phần thì thật tầm cỡ và ơng cũng có những
đóng góp quan trọng cho phép tính biến phân. Các cơng trình của Lagrange
được viết một cách súc tích và cố sao cho chặt chẽ. Lagrange thì hiện đại về
văn phong và có thể xem là một nhà giải tích chân chính đầu tiên.
Gauss (1777 – 1855)

Carl Friedric Gauss là nhà toán học Đức vĩ đại nhất trong thế kỷ XIX
và thường được xếp ngang hàng với Archimedes và Isaac Newton. Ơng là
một trong ba nhà tốn học vĩ đại nhất mọi thời đại.
Ngay từ nhỏ Gauss đã thể hiện khả năng kỳ lạ về tính nhẫm. Ngay khi
lên ba ơng đã phát hiện trong việc kế tốn của cha mình có chỗ sai. Khi cịn
nhỏ đã biết tính nhanh tổng 1 + 2 + 3 + ….+100 bằng tích 101.50 làm kinh
ngạc thầy giáo.
Gauss nổi tiếng chủ yếu do những cơng trình tốn học, mặc dù các cơng
trình nghiên cứu về thiên văn và vật lý cũng được đánh giá rất cao. Ngày từ
khi còn học trung học, Gauss đã năm vững các cơng trình của Newton, Euler,
Lagrange và đã tìm ra phương pháp bình phương tối thiểu. Ơng là một trong
ba người khám phá ra hình học phi Euclid, khám phá ra khả năng chia một

8

đường trịn thành 17 cung bằng phương pháp Euclid. Ơng có nhiều cơng
trình về lý thuyết số.
Gauss là người chứng minh chặt chẽ định lý cơ bản của đại số học
(một phương trình đa thức bậc n và các hệ số phức thì có ít nhất một nghiệm
phức). Tác phẩm “Disquistiones Arithemeticae” (các nghiên cứu về số học)
của ông ông bố vào năm 1801 được xem là cơng trình khởi đầu của đại số
hiện đại. Gauss còn nghiên cứu lý thuyết các mặt cong, số phức, sự tương
đẳng, hình học hyperbolic và nhiều vấn đề cơ bản khác của toán học.
Cauchy (1789 – 1857)

Định nghĩa chúng ta hiện nay về giới hạn, tính liên tục, đạo hàm với
tính cách là giới hạn của tỉ số hai số gia, tích phân như là giới hạn của một
tổng, chủ yếu là do Cauchy đề nghị.
Cauchy viết rất nhiều và sâu sắc về cả hai lĩnh vực toán học thuần tuý
và toán học trừu tượng. Ông phát triển lý thuyết chuỗi, lý thuyết định thức,
phép tính tích phân, phương trình vi phân, lý thuyết hàm biến phức.
Cauchy chết đột ngột vào ngày 23 tháng 5 năm 1857. Một vài giờ
trước khi mất, Cauchy đã nói với tổng giám mục Paris: Con người sẽ mất
nhưng những cơng trình của họ vẫn ở lại.
Weierstrass (1815 – 1897)

9


Karl Weierstrass là nhà tốn học người Đức. Các cơng trình của
Weierstrass dành cho giải tích tốn học, lý thuyết các hàm giải tích, phép tính
biến phân, hình vi phân và đại số tuyến tính.
Weierstrass đã viết một số tham luận đầu tay về các tích phân siêu
elliptic, các hàm Abel, các phương trình vi phân đại số, đóng góp quan trọng

của ông là việc xây dựng cơ sở cho lý thuyết hàm biến phức trên các chuỗi
luỹ thừa.
Ông khám phá ra sự hội tụ đều, và khám phá ra cái gọi là số học hố
giải tích hay các ngun lý của giải tích về các quan niệm số thực.
Weierstrass là một nhà giáo có nhiều ảnh hưởng và những bài giảng
được chuẩn bị rất tỉ mỉ của ông là một mẫu mực cho nhiều nhà toán học
tương lai, “sự chặt chẽ kiểu Weierstrass” trở thành đồng nghĩa với “ lập luận
cực kỳ cẩn thận”. Weierstrass là một “ lương tâm tốn học tiêu biểu nhất” và
ơng được biết tới như “ người cha của giải tích hiện đại”.
Hibert (1862 – 1943)

Ơng là một nhà tốn học người Đức, được cơng nhận như là một trong
những nhà tốn học có ảnh hưởng rộng lớn nhất của thế kỉ XIX đầu thế kỉ 20.
Ông thiết lập tên tuổi như là một nhà toán học và nhà khoa học vĩ đại bằng
cách phát minh hay phát triển một loạt các ý tưởng khác nhau, chẳng hạn như
là lý thuyết bất biến, tiên đề hóa hình học, và khái niệm khơng gian Hilbert,
một trong những nền tảng của giải tích hàm, xây dựng cơ sở cho lý thuyết đa
thức, một lý thuyết có vai trị quan trọng tronh hình học đại số và đại số học.
Hilbert và học trị của ơng đã xây dựng đủ hạ tầng cơ sở toán học cần thiết
cho cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng.

10


Ông là một trong những sáng lập viên của lý thuyết chứng minh, logic
toán học và sự phân biệt giữa tốn học và meta-tốn học. Ơng sử dụng và bảo
vệ lý thuyết tập hợp của Cantor và các số siêu hạn (transfinite number). Một
ví dụ nổi tiếng về vai trị lãnh đạo thế giới toán học là bài phát biểu năm 1900
về danh sách các bài toán quyết định hướng đi của nghiên cứu toán học trong
thế kỉ thứ XX.

Hilbert nhận bằng tiến sỹ năm 1885, với một luận văn, viết dưới sự
hướng dẫn của Ferdinand, với tựa đề "Về các tính chất bất biến của các dạng
nhị phân đặc biệt, đặc biệt là các hàm vòng". Hermann Minkowski cũng là
thí sinh tiến sỹ cùng một trường đại học vào thời gian đó, và ơng và Hilbert
trở thành bạn thân, và cả hai đã ảnh hưởng lẫn nhau ở nhiều thời điểm khác
nhau trong sự nghiệp khoa học của họ.
Hilbert ở lại Đại học Konigsberg như là một giáo sư từ 1886 đến
năm 1895, với sự can thiệp của Felix Klein ơng đạt được vị trí Trưởng khoa
Tốn tại Đại học Gottingen, vào thời gian đó là trung tâm nghiên cứu tốn
học tốt nhất thế giới và ơng ở lại đó cho đến cuối đời
Cơng trình đầu tiên của Hilbert về các hàm bất biến đã dẫn đến những
kết quả trong năm 1888 về định lý hữu hạn nổi tiếng của ông.
Vào năm 1912, ba năm sau khi bạn ông Hermann Minkowski qua đời,
ông quay sang tập trung nghiên cứu mơn vật lý gần như là hầu hết thời gian.
Ơng bố trí để có một người đến giảng riêng về vật lý cho ơng[1]. Ơng bắt đầu
nghiên cứu Lý thuyết khí động và chuyển sang lý thuyết bức xạ và lý thuyết
phân tử của vật chất. Hilbert mời Einstein đến ĐH Gottingen để giảng trong
một tuần trong tháng 6 và 7 năm 1915 về lý thuyết tương đối và lý thuyết về
trọng lực mà ông đang phát triển.
Sự trao đổi các ý tưởng đã dẫn đến dạng cuối cùng của những phương
trình về trường của thuyết tương đối, đó là phương trình trường
Einstein và tác động Einstein-Hilbert.

11


Suốt cả q trình đắm chìm trong vật lý, ơng đã đặt sự chặt chẽ vào toán
học trong vật lý. Khi ông bắt đầu hiểu ra vật lý và các nhà vật lý sử dụng tốn
như thế nào, ơng phát triển một lý thuyết tốn chặt chẽ cho những gì mà ông
khám phá ra, quan trọng nhất là trong ngành phương trình tích phân.

Hilbert mất vào năm 1943. Trên bia mộ ơng, tại Gottingen, người ta có
thể đọc dịng chữ ông để lại: “Chúng ta phải biết, chúng ta sẽ biết”.
Hai mươi ba bài toán của David HILBERT(Bài toán đã có lời giải được đánh
dấu * )
Banach (1892 – 1945)

Là nhà tốn học Ba Lan. Ơng là một trong những người sáng lập ra mơn
giải tích hàm. Tên ơng được đặt cho không gian định chuẩn đầy đủ (không
gian Banach). Ông đã sử dụng phương pháp tiên đề để hợp nhất các tính chất
khác nhau của phím hàm và thiết lập các định lý khá tổng quát.
Ông thiết lập các định lý cơ bản về tính chất của các tốn tử tuyến tính
và phát triển lý thuyết đại số Banach liên quan đến khái niệm không gian
Banach Kuratovsky. Xuất phát từ continum đã chứng minh rằng khơng gian
có độ đo là duy nhất.
Kết quả này làm cơ sở cho hàng loạt nghiên cứu về vấn đề độ đo
không gian Banach bao gồm không gian Hilbert như một trường hợp riêng,
nhưng không bao gồm tất cả không gian phiếm hàm. Cùng với Tarski, ơng
nghiên cứu lý thuyết tập hợp. Ơng cịn nghiên cứu lý thuyết hàm số với biến
số thực và đề ra nhiều hướng toán học và cơ học.
III/ Một số câu nói, giai thoại liên quan đến một số nhà toán học

12


1. Một số câu nói của các nhà tốn học
Isaac Newton:
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành cơng, anh ta sẽ nói
với bạn: ngã, đứng dậy là thành cơng".
“Tơi khơng biết mình có thể làm xuất hiện được gì trên thế gian này; đối với
bản thân tơi tự thấy mình như một đứa trẻ chơi đùa trên bãi biển, vui sướng mỗi

khi nhặt được một viên sỏi xinh hoặc một cái vỏ sò đẹp, trong khi đại dương bao
la của chân lý vẫn là những bí ẩn dưới mắt tơi”.
“Tơi có được cái nhìn xa hơn người khác vì tơi biết cách đứng trên vai người
khổng lồ”.
“Tôi thường xuyên chăm chú theo dõi đối tượng nghiên cứu của mình và
kiên tâm chờ đợi, từ khi sự việc bắt đầu cho đến khi sự việc được sáng tỏ dần và
hoàn toàn rõ ràng”.
Blaise Pascal:
“Con người chỉ là một cây sậy, một vật rất yếu đuối của tự nhiên nhưng là
một cây sậy biết suy nghĩ”.
“Giữa những bộ óc thơng minh ngang nhau và trong những điều kiện tương
tự, ai có tinh thần HÌNH HỌC thì người đó sẽ thắng và thu được một cường lực
hồn tồn mới mẻ”.
“Một quả tim không lý tưởng giống như bầu trời khơng có những vì tinh tú”.
Fermat: “Tơi đã có một chứng minh thực sự tuyệt vời cho mệnh đề này, nhưng
do lề quá hẹp không thể viết hết ra được.”
Laplace: “Điều chúng ta biết thì q ít ỏi, điều chúng ta khơng biết thì bao la”.
Cauchy: “Con người sẽ mất nhưng những cơng trình của họ vẫn ở lại”
Rene Descartes:
“Mỗi vấn đề tôi giải quyết trở thành quy luật được sử dụng sau đó để giải
quyết các vấn đề khác”.
13


“Toán học là bảo vật quý giá hơn bất cứ thứ gì khác mà chúng ta được thừa
hưởng từ kho tàng tri thức của nhân loại”.
“Số hoàn hảo giống như người hồn hảo, rất hiếm có”.
“Tơi tư duy – vậy thì tơi tồn tại”
Lev Landau:
“Số ngun tố là để nhân chứ khơng phải để cộng”.

Georg Cantor:
“Tinh hoa của tốn học nằm ở tự do của nó”.
“Trong tốn học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị cao hơn việc giải quyết nó”.
George Polya:
“Con đường duy nhất để học Tốn là làm Tốn”.
“Nếu có một bài tốn bạn khơng giải được thì chắc chắn cũng có một bài tốn
khác dễ hơn mà bạn có thể giải được. Hãy tìm nó”.
Siméon Denis Poisson: “Nếu được sống thêm một cuộc đời nữa, tôi lại làm
Toán”.
Sofia Vasilyevna Kovalevskaya: “Sức hấp dẫn của Toán học mãnh liệt đến nỗi
tôi bắt đầu xao lãng các môn học khác”.
David Hilbert: “Khơng có bài tốn nào khơng giải được. Chúng ta phải biết
và sẽ biết”.
Euclide: “Trong Toán học khơng có con đường nào dành riêng cho hồng
gia cả”.
Charles Darwin: “Mọi phát kiến của nhân loại đều có bàn tay hướng dẫn của
Tốn học, bởi vì chúng ta khơng thể có một người chỉ đường nào khác”.
Paul Adrien Maurice Dirac: “Tốn học là một cơng cụ đặc biệt thích hợp
để làm việc với các khái niệm trừu tượng và sức mạnh của nó trong lãnh vực
này là vơ tận”.
14


Roger Bacon: “Tốn học là cánh cửa và là chìa khóa để đi vào các ngành
khoa học khác”.
2. Một số câu chuyện toán học
Câu chuyện “Vua Ấn Độ và bàn cờ vua”
Ai cũng biết bàn cờ vua có 64 ơ. Tục truyền để thưởng cho Setxa (Sessa),
người có cơng nghĩ ra môn cờ vua, Vua Ấn Độ Sêram (Shehram) cho phép
Setxa chọn một phần thưởng tùy ý. Setxa đề nghị vua cho “đặt vào ô thứ nhất

của bàn cờ 1 hạt thóc, ơ thứ hai đặt 2 hạt, ơ thứ 3 đặt 4 hạt, ô thứ tư đặt 8 hạt ….,
ô thứ sáu mươi tư đặt 2^63 hạt. Chỉ thế thơi!”
Nhà vua q cảm động vì “đức tính khiêm tốn” của bầy tơi, truyền lệnh lấy
thóc trong kho để thực hiện ngay nguyện vọng trên.
Số hạt thóc là:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 = 264 − 1 ≈ 1,8.1019

Số thóc này lớn hay nhỏ mà viết gọn vậy?
Xin thưa, nếu 1 lít thóc chứa 18.000 hạt, thì phải cần 1013 hectoloit, tức
bằng nhiều ngàn lần số thóc gặt được trên tồn thế giới!
Truyền thuyết khơng nói tiếp là trước lượng thóc vĩ đại ấy, nhà vua phải
làm sao.
Câu chuyện “ Logarit và chúc thư của Phơrăngcơlanh”
Trong “Tuyển tập các tác phẩm của Phơrăngcơlanh” (V. Franklin) nhà hoạt
động nhà nước tài ba của nước Mĩ – có đăng chúc thư của ơng như sau:
“ Tơi tặng lại cho nhân dân Bơxtơn một nghìn bảng Anh. Nếu họ nhận một
nghìn bảng này thì phải trao số tiền đó cho Hội đồng dân biểu, và hội đồng dân
biểu sẽ cho các thợ thủ công trẻ vay với lãi suất 5% một năm. Sau một trăm năm
số tiền này sẽ tăng thành 131.000 bảng Anh. Khi đó tơi muốn dành 100.000
bảng để xây dựng các cơng trình cơng cộng, còn 31.000 bảng còn lại tiếp tục
cho vay với lãi suất như trên. Sau trăm năm thứ hai tổng số tiền tăng thành
4.060.000 bảng Anh. Tôi dành 1.060.000 bảng cho nhân dân Bơxtơn tồn quyền
15


sử dụng, cịn 3.000.000 bảng cho Hội đồng cơng xã Matxasuxet. Sau đó tơi
khơng dám tỏ ý muốn của mình nữa:
Có 1.000 bảng lúc đầu mà dự kiến tiêu bạc triều về sau! Phơ răng co lanh
có bốc đồng? Khơng, ông ta rất sáng suốt, rất thực tế

Số tiền 1.000 bảng, mỗi năm tăng 1,05 lần, sau 100 năm cho ta x:

x = 1000.(1,05)100
lg x = lg1000 + 100lg(1,05) = 5,11893
x = 131000 (đúng theo di chúc!)
Sau đó, với 31.000 bảng ta có:

y =131000.(1, 05)100

suy ra, y=4076500 số tiền xấp xỉ tổng số tiền nói trong di chúc .Khơng nghi
ngờ gì nữa, Phơ răng cơ lanh đã áp dụng logarit khi làm chúc thư.
IV. Một số ứng dụng LST vào chương trình PT
1.Bài tốn cổ hình thành khái niệm đạo hàm
Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho nó rơi tự
do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Trong vật lí 10 ta đã biết:
Nếu chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc
O là vị trí ban đầu của viên bi (tại thời điểm t=0) và bỏ qua sức cản của khơng
khí thì phương trình chuyển động của viên bi là:

y = f (t) =

1 2
gt
2

(g là gia tốc rơi tự do, g=9,8m/s2)
Người ta tính được vận tốc tức thời của viên bi trong khoảng thời gian đó là
f (t1 ) − f (t 0 )
t1 − t 0

(1)

Nếu t1-t0 càng nhỏ thì tỉ số (1) càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm
của viên bi tại thời điểm t0 . Từ đó người ta xem xét giới hạn của tỉ số

16


f (t1 ) − f (t 0 )
t1 − t 0

khi t1 dần tới t0 là vận tốc tức thời tại thời điểm t 0 của viên bi, kí

hiệu v(t0) . Nói cách khác v(t0 ) = tlim
→t
1

0

f (t1 ) − f (t0 )
t1 − t0

Nhiều vấn đề của toán học, hóa học, vật lí học, sinh học…..dẫn đến bài tốn
tìm giới hạn xlim
→x

0

f ( x ) − f ( x0 )
, trong đó y=f(x) là hàm số đã cho nào đó.

x − x0

Trong tốn học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn, là đạo hàm của
hàm số y=f(x) tại điểm x0.
2.Bài tốn cổ hình thành khái niệm nguyên hàm
Vận tốc của một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng tại thời điểm t
và v(t) = 160 – 9,8t (m/s) (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên). Tính
quãng đường đi được của viên đạn kể từ khi bắn lên cho đến thời điểm t.
Gọi s(t) là quãng đường đi được của viên bi sau khi bắn được t giây.
Ta đã biết v(t) = s’(t). Do đó ta phải tìm hàm số s = s(t) thỏa mãn điều kiện:
S’(t) = 160 – 9,8t.
Nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật đã dẫn tới bài toán sau đây:
Cho hàm số f xác định trên K, ở đó K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa
khoảng nào đó. Hãy tìm hàm số F sao cho F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
3. Một số tình huống dạy học PT:
* Thực tế trong giảng dạy bộ mơn tốn chúng ta thường gặp khó khăn là làm
cho người học cảm thấy kiến thức khô khan và câu hỏi đặt ra học để làm gì
trong cuộc sống và kiến thức này bắt nguồn từ đâu dẫn đến học sinh khơng cịn
hứng thú đối với việc học tốn, từ đó khả năng lĩnh hội kiến thức của học sinh
ngày một khăn hơn.

17


* Trước thực trạng đó việc vận dụng lịch sử toán vào việc giảng dạy là một
phần quan trọng sẽ giúp cho học sinh hứng thú hơn trong học toán nhất là đối
với mơn giải tích .
* Trong thời gian có hạn chúng tơi đơn cử một số vận dụng lịch sử giải
tích vào một số tình huống sau:
Tình huống 1:

Khi dạy khái niệm tổng n số hạng đầu của cấp số nhân nhằm kích thích
sự tị mị của học sinh có thể kể cho học sinh nghe về sự tích bàn cờ vua.
Câu chuyện “Vua Ấn Độ và bàn cờ vua”
Ai cũng biết bàn cờ vua có 64 ơ. Tục truyền để thưởng cho Setxa (Sessa), người
có cơng nghĩ ra môn cờ vua, Vua Ấn Độ Sêram (Shehram) cho phép Setxa chọn
một phần thưởng tùy ý. Setxa đề nghị vua cho “đặt vào ô thứ nhất của bàn cờ 1
hạt thóc, ơ thứ hai đặt 2 hạt, ơ thứ 3 đặt 4 hạt, ô thứ tư đặt 8 hạt …., ô thứ sáu
mươi tư đặt 2^63 hạt. Chỉ thế thơi!”
Nhà vua q cảm động vì “đức tính khiêm tốn” của bầy tơi, truyền lệnh lấy
thóc trong kho để thực hiện ngay nguyện vọng trên.
Số hạt thóc là:

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263 = 264 − 1 ≈ 1,8.1019

Số thóc này lớn hay nhỏ mà viết gọn vậy?
Xin thưa, nếu 1 lít thóc chứa 18.000 hạt, thì phải cần 1013 hectoloit, tức
bằng nhiều ngàn lần số thóc gặt được trên tồn thế giới!
Truyền thuyết khơng nói tiếp là trước lượng thóc vĩ đại ấy, nhà vua phải
làm sao.
Tình huống 2:
Khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dịng sơng ta
phải tính diện tích thiết diện ngang của dịng sơng. Thiết diện đó thường là một
hình khá phức tạp .

18


Khi đóng tàu, các kĩ sư cần xác định thể tích của khoang tàu có hình dạng
đặc biệt.
Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy

người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính. Sự ra đời của tích phân cho chúng ta
một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài tốn diện tích và thể tích
nói trên.
4. Tổ chức hoạt động ngoại khóa.
a/ Mục đích:
+ Gây hứng thú cho học sinh học toán.
+ Tạo sân chơi lành mạnh cho học sinh trong những giờ học căng thẳng
+ Giúp học sinh ơn tập bộ mơn tốn
b/ u cầu:
+ Câu hỏi phải phù hợp đói tượng học sinh thpt
+ Học sinh tham gia đầy đủ, nhiệt tình
c/ chuẩn bị:
chuẩn bị máy chiếu Projector, máy tính, âm thanh
d/ Luật chơi:
- Mỗi thí sinh sẽ có 15 giây suy nghĩ và chọn đáp án. Ai trả lời đúng sẽ được
1 phần thưởng.
Các câu hổi như sau:
Câu hỏi 1: Ai là người phát minh ra logarit?
A. Desargues

B. Nê-pe

C. Pythagore

D .Lagrange

Câu hỏi 2 : Kí hiệu tích phân do nhà tốn học nước nào đưa ra ?
A Pháp

B. Đức

C. Anh

Câu hỏi 3 : Niu-tơn mất năm nào ?
19

D. Mỹ


A 1601

B 1642

C. 1650

D.1727

Câu hỏi 4 : Kí hiệu lim mà ta dùng ngày nay do nhà toán học thụy sĩ Luy-lơ
(1750-1840) đưa ra vào năm nào ?
A.1786

B 1768

C. 1779

D.1797

Câu hỏi 5 : Cauchy là nhà toán học người nước nào :
A. Nga

B. Ý

C.Pháp

D. Anh

Câu hỏi 6 : Hãy điền vào khoảng trống để hồn chỉnh câu nói nổi tiếng của
Descartes : “ Tôi …….., tôi tồn tại”
A. Suy nghĩ

B. Xấu hổ

C. Tư duy

D. Suy tư

Câu hỏi 7 : Loại cờ nào được phát minh và người phát minh có phần
thưởng được tính bằng cơng thức tổng n số hạng đầu của 1 cấp số nhân:
A. Ca rô

B. Vua

C.Tướng

D. Vây

Câu hỏi 8: Trong số phức chữ cái nào được dùng kí hiệu cho đơn vị ảo
A. a

B. e

C. i

D. z

Câu hỏi 9: Giải ơ chữ. Ơ chữ gồm 6 hàng ngang tương ứng với các tên nhà toán
học ở dưới và mỗi ô

20


Vai trị của tri thức lịch sử tốn đối với giáo viên
Lịch sử tốn học có thể giúp cho thầy giáo tốn trong q trình dạy
học là biến tốn học thành một môn học hấp dẫn, lôi cuốn đối với học
sinh, làm cho các giờ học tốn khơng phải là một gánh nặng đối với học
sinh, mà là một nguồn vui, một cái gì đẹpđẽ, có thể giúp ích cho HS trong
cuộc sống, trong công tác sau này.
Để giúp HS hiểu rõ lịch sử tốn, người giáo viên có thể tích hợp vào
các bài giảng của mình lời giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét lịch sử
của vấn đề, làm cho giờ học thêm sinh động. Các buổi nói chuyện về lịch sử
toán học - lịch sử phát minh, tiểu sử các nhà tốn học lớn sẽ có tác dụng
trong việc khêu gợi khả năng sángtạo của học sinh, động viên họ, giúp họ
củng cố lòng tin ở bản thân mình.
Vai trị của tri thức lịch sử tốn đối với học sinh THPT
kiến thức về lịch sử toán học rất quan trọng, khi nắm được nguồn
gốc xuất phát những kiến thức, các em sẽ hiểu rằng: tốn học ln luôn
xuất phát từ thực tế, đời sống của con người và nó quay trở lại phục vụ
cuộc sống của con người và toán học rất gần gũi với thực tế chứ nó khơng
xa rời thực tế
Qua lịch sử tốn học, giáo dục cho HS lịng tơn trọng và u q sự

nghiệp của các nhà tốn học vĩ đại đã góp phần cống hiến cho kho tàng
văn hoá chung của nhân loại. Tiểu sử của họ thường là những gương
sáng đấu tranh cho tư tưởng tiến bộ, là những trí óc thông minh lỗi lạc,
lao động cần cù, nhẫn nại, say sưa với khoa học đã để lại cho chúng ta
những di sản văn hóa đồ sộ như ngày nay và do đó có tác dụng giáo dục
đạo đức rất lớn đối với HS.
21