thu hoạch nhóm lịch sử toán phần hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC

BÁO CÁO NHÓM

LỊCH SỬ CÁC PHÂN MƠN TỐN HỌC
CHỦ ĐỀ: LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP

GVHD:

PGS.TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

NHÓM THỰC HIỆN:

NHÓM 4

THÀNH VIÊN NHÓM:

CẦN THƠ, THÁNG 1 NĂM 2015


1

Mục lục
1. Lịch sử tổng quát của hình học sơ cấp..............................................................2
1.1. Giai đoạn phát sinh.....................................................................................3
1.1.1. Hình học Ai Cập (3000 (TCN) - 500 (TCN))......................................3
1.1.2. Hình học Babylon (2000 (TCN) - 500 (TCN))...................................4
1.2. Giai đoạn tốn học sơ cấp..........................................................................6
1.2.1. Hình học cổ Hy Lạp............................................................................6
1.2.2. Hình học Ấn Độ..................................................................................7

1.2.3. Hình học Trung Quốc..........................................................................8
1.2.4. Hình học Ả Rập...................................................................................9
2. Các nhà hình học tiêu biểu..............................................................................10
2.1. THALES (624 (TCN)- 548 (TCN)).........................................................10
2.2. PYTHAGORAS (khoảng 560 (TCN) - 480 (TCN))................................11
2.3. EUDOXUS (khoảng 408 (TCN) - 355 (TCN))........................................14
2.5. PLATON (427 (TCN) hoặc 428 (TCN) - 347 (TCN)).............................14
2.6. EUCLID (?-? khoảng năm 300 (TCN))...................................................15
2.7. ARCHIMEDES (287 (TCN) - 212 (TCN))..............................................18
2.8. APOLLONIUS (262 (TCN) - 180 (TCN))...............................................30
2.9. HERON (10 - 75 sau công nguyên).........................................................32
2.10. MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên).............................................33
2.11. AL KASHI (1380 – 22/06/1429)............................................................36
3. Trò chơi áp dụng..............................................................................................39
3.1. Tên gọi......................................................................................................39
3.2. Mục đích...................................................................................................39
3.3. Hình thức tổ chức.....................................................................................39
3.4. Thể lệ........................................................................................................39
3.5. Câu hỏi.....................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................41


2

1. Lịch sử tổng quát của hình học sơ cấp
Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) là một bộ phận tốn học nghiên cứu các hình, vị
trí tương đối và kích thước các bộ phận của các hình cũng như các phép biến đổi hình
(trong khơng gian xung quanh chúng ta).
Theo nghĩa hiện đại, HH bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau nghiên cứu
những khái niệm, quan hệ tương tự hoặc tổng quát hoá các khái niệm và quan hệ của

các hình khơng gian. Do vậy HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành toán học khác
và nhiều khi khơng có ranh giới rạch rịi giữa chúng.
Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” của Hy Lạp (có nghĩa là đo đất
đai). HH phát sinh từ rất lâu, có lẽ trước thế kỉ XVII trước cơng ngun ((TCN)). Từ
thời cổ đại, HH có nguồn gốc từ thực tế, nó là khoa học về đo đất.
Nhiều nền văn minh cổ đại như: Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc và Ai Cập đã
sở hữu các thông tin về HH. Những yếu tố HH đầu tiên có nguồn gốc trong các quan
sát đơn giản, xuất phát từ khả năng của con người để nhận ra và so sánh các hình dạng
và kích thước của sự vật.
Có rất nhiều trường hợp, người nguyên thủy đã phải đưa ra các chủ đề về HH, mặc
dù nó có thể khơng được cơng nhận là như vậy. Chẳng hạn, người đàn ông phải học
với các tình huống liên quan đến khoảng cách, ranh giới đất đai của họ, xây dựng các
bức tường và nhà cửa. Các tình huống có liên quan trực tiếp đến các khái niệm HH về
thẳng đứng, song song, vng góc.
Ngồi ra, sự xuất hiện của hình dạng với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các
kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các cơng
trình kiến trúc,… cũng đã dần dần cho con người các nhận thức về các hình HH.
Tuy nhiên, hình học trong thời kì này chỉ được tìm thấy thơng qua thử nghiệm, quan
sát sự tương tự, dự đốn, và thậm chí là trực giác. Về cơ bản, hình học trong giai đoạn
này chỉ cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho các mục đích thực tế.
Chẳng hạn, người Babylon cho rằng số có giá trị là 3; người Ai Cập cho rằng công
thức tính diện tích của một hình chữ nhật có thể được áp dụng cho một tứ giác bất kì.


3
Cùng với những kinh nghiệm về đo đạc đất đai ở Ai Cập, Babylon, Hy Lạp. Bắt đầu
khoảng từ thế kỉ VII (TCN) đến thế kỷ V (TCN). Những hiểu biết của con người về
các hình dần dần được trình bày một cách hệ thống như là một khoa học, trong đó xuất
hiện các khái niệm, mệnh đề, chứng minh.
Khoảng thế kỉ III (TCN), Euclide đã hệ thống hố tồn bộ các kiến thức HH đương

thời trong bộ sách "Cơ bản" nổi tiếng gồm 13 tập. Về cơ bản, HH trong bộ sách đó của
Euclide cũng là HH sơ cấp ngày nay. Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ ở nửa
đầu thế kỉ XVII, R. Descartes đã tạo ra một bước tiến quan trọng trong HH. Nhờ đó có
thể dùng cơng cụ đại số và giải tích để nghiên cứu HH. Trên cơ sở đó đã xuất
hiện hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh và hình học hoạ hình.
Sự ra đời của HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) ở thế kỉ XIX đã
tạo ra một bước ngoặt mới trong sự phát triển của HH. Nó phá vỡ quan niệm cũ về HH
(hay gắn với trực giác thông thường) và chứng tỏ khả năng tồn tại các loại HH (phi
Euclide) khác nhau.
Trong phần này, chúng tôi chỉ nghiên cứu lịch sử của hình học sơ cấp từ thời
nguyên thủy đến khoảng đầu thế kỉ XVII, tức là chỉ gồm giai đoạn phát sinh và giai
đoạn toán học sơ cấp.

1.1. Giai đoạn phát sinh
Thời gian: từ thời nguyên thủy đến thế kỉ thứ VII, thứ VI trước cơng ngun. Các
nền tốn học tiêu biểu: cổ Ai Cập và cổ Babylon.
1.1.1. Hình học Ai Cập (3000 (TCN) - 500 (TCN))
Người Ai cập sử dụng hình học để xác định thể tích các kho thóc, tìm diện tích các
thửa ruộng, tính tốn trong các cơng trình xây dựng. Người Ai cập canh tác trên những
cánh đồng giàu phù sa do sông Nile mang lại, và họ cũng thường xuyên phải đối phó
với nạn lũ lụt xảy ra bên bờ sơng. Vì vậy, họ phải tính tốn để đốn trước khi cơn lũ
đến và đo đạc lại đất đai, xây dựng lại các hệ thống tưới tiêu sau khi mỗi cơn lũ đi qua.
Chính vì lý do đó mà hình học của người Ai Cập đã phát triển khá cao.
Hình học của Ai Cập chủ yếu là các quy tắc thực nghiệm. Họ đã phát triển các quy
tắc này để ước lượng và phân chia diện tích đất, họ cũng sử dụng các quy tắc này để


4
xây dựng tòa nhà, đặc biệt là các kim tự tháp. Họ có phương pháp (sử dụng dây thừng
để đo độ dài) để tính tốn diện tích và thể tích hình tam giác, tứ giác, hình trịn, và

hình chóp cụt.
2

�8 �
�d�
Họ tính diện tích hình trịn bằng cơng thức �9 �với d là đường kính đường trịn,

tức là họ đã biết đến số và xấp xỉ gần bằng 3,1605.
Họ tính diện tích của tứ giác có các cạnh với a và b; c và d là hai cặp cạnh đối theo
�a  b �
�c  d �
�
�
�
�
� 2 �.
công thức: � 2 �

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Trong bảng Rhind Papyrus (còn gọi là "Ahmes Papyrus") chứa các quy tắc phân
chia và có 87 bài tốn bao gồm các cách giải phương trình, chuỗi, diện tích của các
miền hình học, thể tích của các kho thóc,…

Bảng Rhind Papyrus

Trong bảng Moscow Papyrus có 25 bài tốn với các cách giải, một số trong đó là
hình học. Bài tốn 14, mơ tả cách tính thể tích của một hình chóp cụt đáy là hình

vng mà theo cách ghi ngày nay là

V

h 2
a  ab  b 2 

3
.

Ngồi ra họ cịn biết tính diện tích mặt cong, chẳng hạn như bài tốn: Tính diện tích
xung quanh của hình bán trụ có đường cao bằng đường kính đáy.
1.1.2. Hình học Babylon (2000 (TCN) - 500 (TCN))
Hình học Babylon thường có liên quan đến xây dựng và đất đai, chẳng hạn: diện
tích và thể tích của các vật thể hình chữ nhật. Nhiều hình mẫu cụ thể cho thấy rằng


5
người Babylon (từ năm 2000 đến 1600 (TCN)) đã quen thuộc với những quy tắc chung
về:
 Diện tích tam giác vng, tam giác cầu, diện tích hình chữ nhật, diện tích hình
thang vng.
 Thể tích của hình hộp chữ nhật, thể tích của hình lăng trụ đứng có đáy là hình
thang đặc biệt.


1
Chu vi đường trịn bằng ba lần đường kính và diện tích hình trịn bằng 12 bình

phương chu vi.


25
8 .

 Số thì họ cho bằng 3. Trong một số phiên bản, họ gắn
 Hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng là tỉ lệ với nhau, đường
thẳng góc vẽ từ đỉnh của một tam giác cân chia đều cạnh đáy, góc nội tiếp trong
nửa đường trịn là một góc vng.
 Định lý Pythagoras
 Chia một chu vi đường tròn thành 360 phần bằng nhau.
Người ta cũng tìm thấy bốn bảng đặc biệt có niên đại trong khoảng những năm
1900 (TCN) - 1600 (TCN) chứng tỏ kiến thức hình học của người Babylon:
 Yale table YBC 7289: cho thấy cách tính đường chéo của một hình vuông.

 Plimpton 322: cho thấy các bộ ba Pythagoras.

 Susa table: chỉ ra cách tìm ra bán kính của đường tròn qua ba đỉnh của một
tam giác cân.
 Tell Dhibayi table: chỉ ra cách tìm các cạnh của một hình chữ nhật với diện
tích và đường chéo đã cho.


6
1.2. Giai đoạn toán học sơ cấp
Thời gian: khoảng từ thế kỉ thứ VI (TCN) đến khoảng đầu thế kỉ thứ XVII. Các nền
toán học tiêu biểu: cổ Hy Lạp, Ấn Độ. Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,…
1.2.1. Hình học cổ Hy Lạp
Người Hy Lạp nhấn mạnh rằng: “hình học thực sự được thành lập bằng cách lý luận
suy diễn". Họ tin rằng hình học sẽ được tìm thấy bằng cách nghiên cứu chứ không
phải là thử nghiệm. Họ đã chuyển đổi các kiến thức hình học có được từ quan sát, thử
nghiệm, các qui tắc sử dụng trong các trường hợp đặc biệt,…thành một kiến thức hình

học có hệ thống hơn.
Theo các bản thảo, từ thế kỉ thứ VII - VI (TCN), người Hy Lạp, bắt đầu từ Thales,
đã có ý niệm chứng minh các mệnh đề tốn học, từ đó khía cạnh suy diễn của tốn học
đã xuất hiện. Các nhà toán học Hy Lạp đã đưa ra phương pháp tiên đề trong khi trình
bày một lý thuyết tốn học, điển hình là bộ “Cơ bản” của Euclide. Phương pháp tiên
đề do Euclide phát hiện đã đưa toán học trở thành một khoa học độc lập. Trong thời kì
này đã xuất hiện nhiều nhà tốn học tài năng như Thales, Pythagoras, Eudoxus,
Euclide, Archimedes, Apollonius, … và hệ thống kiến thức về hình học sơ cấp, chẳng
hạn:
 Thales phát hiện một số kết quả như: một đường tròn được phân đơi bởi một
đường kính bất kì; “Hai đường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc đối đỉnh bằng
nhau”; “Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ với nhau”;
các góc ở đáy của tam giác cân thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường
trịn là góc vng;....
 Pythagoras đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều,
thập nhị diện đều; các thành viên của trường phái Pythagoras đã phát triển
các tính chất song song để chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác
bất kì bằng hai góc vng,….
 Archimedes đã tìm thấy cơng thức tính diện tích và thể tích của nhiều vật
thể. Trên ngơi mộ của ông là kết quả ông nhận thấy thể tích của một hình cầu
bằng hai phần ba thể tích của hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó,….


7
 Một số thuật ngữ như: "hình elip", "parabol," và "hyperbol" mà chúng ta sử
dụng ngày nay cũng có nguồn gốc từ hình học cổ Hy Lạp, chúng xuất hiện
trong tác phẩm “ Các thiết diện conic” của Apollonius.
Đối với nền tốn học cổ Hy Lạp, hình học đóng vai trị quan trọng trong việc giải
quyết các bài tốn đại số. Chẳng hạn, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đều được
định nghĩa nhờ các đoạn thẳng:

 Phép cộng được hiểu là đặt liền các đoạn thẳng.
 Phép trừ được diễn tả bằng cách bớt đi một đoạn thẳng từ một đoạn thẳng.
 Phép nhân đoạn thẳng dẫn đến phép dựng hình hai chiều, tích của hai đoạn
thẳng a và đoạn thẳng b được xem là hình chữ nhật với hai cạnh a, b.
Trong hình học Hy Lạp cũng có những mệnh đề hình học diễn tả các hằng đẳng
thức đại số. Chẳng hạn: hình sau cho ta cách biểu diễn của hằng đẳng thức

 a  b

2

 a 2  2ab  b 2

:

Từ thế kỉ thứ V (TCN), người Hy Lạp đã đặt ra ba bài toán dựng hình cổ nổi tiếng
khơng thể giải được bằng thước và compa. Đó là: Tăng đơi một khối lập phương; chia
ba một góc và cầu phương một hình trịn. Việc giải quyết các bài toán này đã làm nảy
sinh các lý thuyết mới trong nền toán học cổ Hy Lạp: lý thuyết thiết diện cơníc, lý
thuyết các đường cong bậc 3, bậc 4, sự phát hiện ra đường cong siêu việt.
1.2.2. Hình học Ấn Độ
Hình học Ấn Độ hồn tồn mang tính chất thực dụng (trực giác và nghiệm đúng).
Thường có vẽ hình, có nêu hoặc khơng nêu định lý, quy tắc, nhưng khơng chứng minh
mà chỉ ghi dưới hình vẽ “Hãy xem đây!”.
Brahmagupta dùng số với hai giá trị gần đúng và . Bên cạnh đó, ơng cịn mở rộng
cơng thức Hêrông trong trường hợp tứ giác nội tiếp bằng công thức: với a, b, c, d là


8

các cạnh và

p

abcd
2
. Đối với tứ giác bất kì thì sự mở rộng công thức Hêrông

A2  �
p  a  p  b  p  c  p  d  �
 abcd .cos 2 

�
�
cho ta:
, với là nữa tổng của hai góc

đối trong tứ giác.
Manava nêu cách dựng hình trịn xấp xỉ với một hình chữ nhật, cách dựng hình trịn

xấp xỉ với một hình vng và lấy giá trị xấp xỉ của



25
 3,125
8
.

Apastamba xem xét các bài tốn về cầu phương một hình trịn, chia một đoạn thành

7 phần bằng nhau và lấy giá trị xấp xỉ

2

577
 1, 414215686
408
chính xác đến 5 chữ

số thập phân.
Katyayana phát biểu trường hợp tổng quát của định lý Pythagore cho đường chéo
của hình chữ nhật bất kỳ.
Một bộ phận đặc biệt quan trọng của toán học cổ Ấn Độ là tam giác lượng, xem như
cơng thức tính tốn để nghiên cứu thiên văn. Điều đáng chú ý là toán học Ấn Độ rất
độc đáo không hề mang dấu ấn của Trung Quốc, Hy Lạp hay Babylon.
Lượng giác Hylap của Ptôlêmê căn cứ vào quan hệ hàm giữa dây cung của đường
trịn với góc ở tâm tương ứng. Người Ấn Độ đã cấu tạo các bảng lượng giác trong đó
các dây cung được thay bằng nữa dây.
Nhìn chung, ta thấy ở Ấn Độ, các phương pháp tính tốn bằng thuật tốn rất có ưu
thế. Việc xây dựng hệ thống lý luận suy diễn ít được thấy, hình học có tính chất
nghiệm đúng. Những đặc điểm này bắt nguồn từ những điều kiện kinh tế của đời sống
xã hội.
1.2.3. Hình học Trung Quốc
Nền toán học Trung Quốc đã đạt được những thành tựu khá cao. Khoảng 3000 năm
(TCN), người Trung Hoa đã biết dùng compa và eke để vẽ các hình hình học.
Vào thế kỉ thứ IV trước cơng ngun, Mặc Địch (tức Mặc Tử) đã định nghĩa đường
trịn là hình mà từ giữa ra đều nhau.

9
Vào khoảng năm 152 trước công nguyên, Trần Sanh đã viết “Cửu chương toán
thuật”. Trong các thế kỉ VII- X, “Cửu chương toán thuật” dùng làm sách giáo khoa và
trở thành một tác phẩm kinh điển đối với các nhà tốn học Trung Quốc. Tác phẩm này
có 9 chương, trong đó, chương I có tên là phương điền, nêu lên quy tắc tính diện tích
hình vng, hình chữ nhật. Khi tính diện tích hình trịn, hình vành khăn người ta lấy 
= 3. Chương V có nội dung là “ước tính các cơng trình” đo thể tích, kích thước cần
thiết khi xây dựng tường thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với nhiều
hình thù khác nhau, trong đó có các cơng thức tính thể tích của các khối khác nhau.
Chương IX gồm những bài toán xác định khoảng cách và chiều cao không tới được
nhờ định lý Cao Thương (định lý Pythagoras) và các tính chất của tam giác đồng dạng.
Thế kỉ thứ I trước công nguyên, Lưu Hâm tính được gần bằng 3,1547. Vào thế kỉ
thứ II sau cơng ngun, Trương Hồnh tìm được gần bằng

10 và ơng dùng giá trị

này để tích thể tích hình cầu.
1.2.4. Hình học Ả Rập
Hình học Ả Rập có một số đặc điểm:
 Lưu giữ nhiều hơn là khám phá, đã bền bỉ nổ lực dịch thuật thỏa đáng các kinh
điển lớn của Hy Lạp.
 Abul Wefa có cơng trình nghiên cứu, trong đó ơng cho biết cách đặt các đỉnh
của một đa diện đều lên hình cầu ngoại tiếp của chúng mà chỉ dùng compa có
độ mở cố định.
 Omar Khayyam nói tới phép giải tích hình học cho các phương trình bậc 3.
 Nasired-din nghiên cứu về định đề song song của Eucid và đưa ra một phép
chứng minh độc đáo về định lý Pythagoras
 Al-Haitam vào khoảng 965-1039, có bài tốn hình học dẫn tới phương trình bậc
4, được giải bằng phương pháp Hy Lap là cho một Hypebol và đường tròn giao
nhau.

10

2. Các nhà hình học tiêu biểu
2.1. THALES (624 (TCN)- 548 (TCN))

Thales thành Miletos (tiếng Hy Lạp: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; khoảng 624 (TCN) –
khoảng 548 (TCN)), là một triết gia, một nhà toán học người Hy Lạp sống trước
Socrates, người đứng đầu trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp. Ông cũng được xem là
một nhà triết gia đầu tiên trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là "cha đẻ của khoa học".
Tên của ông được dùng để đặt cho một định lý tốn học do ơng phát hiện ra.
Tiểu sử
Thales sống trong khoảng thời gian từ năm 624 (TCN) – 546 (TCN). Ông sinh ra ở
thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ
Nhĩ Kỳ). Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác. Có hai nguồn: một
nguồn cho là ơng sống khoảng 90 tuổi, cịn một nguồn khác cho là ơng sống khoảng
80 tuổi.
Đóng góp cho hình học sơ cấp


DE AE AD


Định lý Thales: BC AC AB

 Định lý Thales: Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao
nhau những đoạn thẳng tỷ lệ.

11





Góc chắn nửa đường trịn thì bằng một vng.
Đường kính chia đơi đường trịn thành hai phần bằng nhau.
Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau.
Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng

nhau.
 Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
 Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ
vào bóng của chúng.

2.2. PYTHAGORAS (khoảng 560 (TCN) - 480 (TCN))

Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 (TCN) - mất
khoảng năm 500 đến 490 (TCN)) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng
lập ra phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras.
Ơng thường được biết đến như một nhà khoa học và tốn học vĩ đại. Trong tiếng
Việt, tên của ơng thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Pi-ta-go.
Pythagoras đã chứng minh được rằng tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi
tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ơng. Ơng cũng được biết đến là "cha đẻ của
số". Ơng đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ
6 (TCN).
Về cuộc đời và sự nghiệp của ơng, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại
sự thật lịch sử khơng dễ. Pythagoras và các học trị của ông tin rằng mọi sự vật đều
liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều có thể tiên đốn trước qua các chu kỳ.

Tiểu sử
Pythagoras sinh tại đảo Samos (Bờ biển phía Tây Hy Lạp), ngồi khơi Tiểu Á. Ông
là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông, một thương
gia từ Tyre). Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone phía
nam Ý, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrates. Theo Iamblichus, Thales, rất ấn


12
tượng trước khả năng của ông, đã khuyên Pythagoras tới Memphis ở Ai Cập học tập
với các người tế lễ nổi tiếng tài giỏi tại đó. Có lẽ ơng đã học một số nguyên lý hình
học, sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý sau này mang tên ơng tại đó.
Ngay sau khi di cư từ Samos tới Crotone, Pythagoras đã lập ra một tổ chức tơn giáo
kín rất giống với (và có lẽ bị ảnh hưởng bởi) sự thờ cúng Orpheus trước đó.
Pythagoras đã tiến hành một cuộc cải cách đời sống văn hoá ở Crotone, thúc giục
các công dân ở đây noi theo đạo đức và hình thành nên một giới tinh hoa (elite) xung
quanh ơng. Trung tâm văn hố này có các quy định rất chặt chẽ. Ông mở riêng các lớp
cho nam và nữ sinh. Những người tham gia tổ chức của Pythagoras tự gọi mình là
Mathematikoi. Họ sống trong trường, khơng được có sở hữu cá nhân và bị yêu cầu
phải ăn chay. Các sinh viên khác sống tại các vùng gần đó cũng được cho phép tham
gia vào lớp học của Pythagoras. Được gọi là Akousmatics, các sinh viên đó được ăn
thịt và có đồ sở hữu riêng.
Theo Iamblichus, các môn đồ Pythagoras sống một cuộc sống theo quy định sẵn với
các môn học tôn giáo, các bữa ăn tập thể, tập thể dục, đọc và học triết học. Âm nhạc
được coi là nhân tố tổ chức chủ chốt của cuộc sống này: các môn đồ cùng nhau hát các
bài ca tụng Apollo; họ dùng đàn lyre để chữa bệnh cho tâm hồn và thể xác, ngâm thơ
trước và sau khi ngủ dậy để tăng cường trí nhớ.
Lịch sử của Định lý Pythagoras mang tên ông rất phức tạp. Việc Pythagoras đích
thân chứng minh định lý này hay khơng vẫn cịn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ
đại khám phá của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy. Văn bản đầu tiên
đề cập tới định lý này có kèm tên ơng xuất hiện năm thế kỷ sau khi Pythagoras qua

đời, trong các văn bản của Cicero và Plutarch. Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ
Baudhayana đã tìm ra Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 (TCN), 300 năm trước
Pythagoras. Ngày nay, Pythagoras được kính trọng với tư cách là người đề xướng ra
Ahlu l-Tawhīd, hay đức tin Druze, cùng với Platon.
Đóng góp cho hình học sơ cấp
Có hàng trăm cách chứng minh định lý Pythagoras. Cách chứng minh được thể hiện
trong hình này thuộc về Leonardo da Vinci. Trong toán học, định lý Pythagoras là một
liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tam giác vuông.


13
Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp Pythagoras
sống vào thế kỷ 6 (TCN), mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà
toán học Ấn Độ (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana), Hy Lạp,
Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước.

Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pythagoras được cho là nằm trong quyển
Chu bễ toán kinh khoảng năm 500 đến 200 (TCN) và bộ Cơ bản của Euclid khoảng
300 năm (TCN).
Định lý Pythagoras
Cách phát biểu của Euclid: Tổng diện tích của hai hình vng vẽ trên cạnh kề của
một tam giác vng bằng diện tích hình vng vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vng; các cạnh kề của nó là các
cạnh tạo nên góc vng; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vng. Trong hình vẽ
dưới, a và b là các cạnh kề, c là cạnh huyền:

Pythagoras đã phát biểu định lý mang tên ơng trong cách nhìn của hình học phẳng
thơng qua: Diện tích hình vng tím bằng tổng diện tích hình vng đỏ và xanh lam.
Tương tự, quyển Sulbasutra chép: Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật
tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình

chữ nhật đó.


14
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pythagoras dưới dạng
hiện đại: Nếu một tam giác vng có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì:

Định lý đảo Pythagoras
Định lý đảo Pythagoras phát biểu là: Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa
, tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc vng.
Định lý đảo này cũng xuất hiện trong bộ Cơ bản và được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh
kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vng.

2.3. EUDOXUS (khoảng 408 (TCN) - 355 (TCN))

Eudoxus là một nhà toán học vùng Tiểu Á. Những kết quả nghiên cứu toán học của
Eudoxus được Euclide tiếp thu để làm cơ sở cho ba quyển 5, 6, 7 trong bộ "Cơ bản"
của mình. Thành tựu xuất sắc nhất của Eudoxus là tổng quát hóa lý thuyết của
Pythagoras về tỉ lệ.
Lý thuyết tỉ lệ của Pythagoras chỉ áp dụng cho đại lượng thông ước. Eudoxus đã
khắc phục hạn chế bằng cách đưa ra khái niệm số vô tỉ. Eudoxus đề xuất "phương
pháp vét kiệt" để tìm diện tích hình trịn thơng qua diện tích đa giác đều nhiều cạnh nội
tiếp trong đường tròn. Cách làm này gần với phương pháp tính giới hạn được phát
triển sau này.

2.5. PLATON (427 (TCN) hoặc 428 (TCN) - 347 (TCN))
Platon là nhà toán học , triết học cổ Hy Lạp sinh tại Athens. Ơng là học trị của
Socrat và đi nhiều nơi để trau dồi kiến thức. Khi trở về Athens năm 387 (TCN) ông đã
thành lập một học viện nổi tiếng đáp ứng có hệ thống các nhu cầu về tốn học và khoa

học và chủ trì học viện này cho đến cuối đời.


15

Hầu như tồn bộ các cơng trình tốn học của thế kỷ thứ IV (TCN) là do bạn bè và
môn sinh của Platon thực hiện khiến cho học viện của ông là chiếc cầu nối của trường
phái toán học Pythagoras xa xưa và trường phái toán học ở Alexandria.
Ảnh hưởng của Platon về tốn học khơng do những khám phá của ơng mà do lịng
tin vào đầy nhiệt tình của ông rằng việc nghiên cứu toán sẽ mang lại cho con người
một nhãn quan được tôi luyện tinh tế nhất và do đó thật cần thiết trong việc tu dưỡng
của các triết gia và cho những người cần phải điều khiển trạng thái tư tưởng của mình.
Điều này giải thích tại sao trên cổng vào học viện có biển đề "Ai khơng thơng thạo về
hình học thì xin đừng vào!".
Platon là trong những người sáng lập ra phương pháp logic của tốn học. Vì yếu tố
logic của tốn học và vì ơng cảm thấy việc nghiên cứu nó sẽ tạo nên tinh thần thuần
khiết, nên với Platon toán học dường như có một tầm quan trọng vơ cùng và cũng
chính vì vậy mà nó chiếm một vị trí đáng kể trong chương trình của học viện.
Platon cũng là một nhà hình học nổi tiếng với việc tìm ra 5 hình đa diện đều. Platon
cho rằng cần phải nghiên cứu thiên văn học chính xác như nghiên cứu tốn học nhờ
vào các định lý.
Người ta còn cho rằng vào những năm cuối đời Platon đã có ý tưởng rằng Trái Đất
tự quay xung quanh trục. Platon cũng là người có những cố gắng nghiêm túc đầu tiên
về triết học trong toán học.

2.6. EUCLID (?-? khoảng năm 300 (TCN))
Tiểu sử
Euclid (tiếng Hy Lạp: Εὐκλείδης, phiên âm tiếng Việt là Ơ-clit) là nhà toán học lỗi
lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ thứ III (TCN). Ông được mệnh danh là "cha đẻ
của hình học". Euclid sinh ra ở thành thị Athena, là học trò của Platon.

16

Thời cổ đại, Athena là một quốc gia thành thị dân chủ và văn minh của Hy Lạp, ở
đây đã tập trung nhiều nhà bác học và văn nghệ sĩ nổi tiếng. Euclid học Platon, một
nhà triết học duy tâm, có trình độ học vấn un bác. Tiếng tăm của ông đã được vua Ai
Cập Ptôlêmê biết đến và nhà vua đã mời ông tới kinh đô Alêcxăngđria để làm vẻ vang
cho nhà vua. Thành phố Alêcxăngđria là một trung tâm khoa học,dưới triều đại của
Hoàng đế Ptolémée Đệ I, tức là giữa 323 và 285 (TCN). Nơi tụ họp nhiều nhà bác học
nổi tiếng trên thế giới. Nơi đây có một thư viện lớn tập trung nhiều sách vở của thế
giới Đông - Tây. Euclid đã đến đây nghiên cứu, học tập, bổ sung kiến thức tốn học.
Đóng góp cho hình học sơ cấp
Nhà tốn học Euclid là một trong những nhà khoa học đầu tiên làm việc tại Bảo
Tàng. Và Archimedes, người sống sau Hồng đế Ptơlêmê Đệ nhất cũng đã nói về
Euclid trong tác phẩm của mình. Tại đây ông thành lập một trường học và đã giảng
dạy các ngun tắc cơ bản của mơn hình học. Những nguyên tắc này đã được truyền
đạt từ thời đại ông đến ngày nay. Một trong những học trò của ông là Conon, thầy giáo
của Archimedes. Những nhà văn cổ đại khi viết về Euclid đều miêu tả ông là một ơng
già tốt bụng và nhỏ nhẹ. Học trị kính trọng ơng vì lịng kiên nhẫn và tốt bụng của ông.
Tuy nhiên ông cũng hết sức quả quyết ngay cả đối với đức Vua Hồng đế Ptơlêmê Đệ
nhất của Ai Cập.
Một lần, Nhà Vua gặp khó khăn về việc học mơn hình học trong một quyển sách
của Euclid mang tên: Cơ bản. Tục truyền rằng có lần hồng đế Ptơlêmê hỏi Euclid:
"Liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn khơng?". Ơng trả lời
ngay: "Tâu bệ hạ, trong hình học khơng có con đường dành riêng cho nhà vua”.
Người Ai Cập dùng hình học để đo đạc đất đai của nhà nông sau những cơn lũ hàng
năm do sơng Nile gây ra vì lũ đã xóa đi các điểm mốc đánh dấu phần đất đai của mỗi
người. Các nước gọi mơn hình học là Geometrie tiếng Hy Lạp có nghĩa là sự do đại

17
đất đai. Trái lại người Hy Lạp không mấy quan tâm đến việc áp dụng hình học vào đời
sống thực tế mà họ thích các định lý và chứng minh của hình học và coi đó là các bài
tập về logic và phương pháp suy diễn. Một dịp nọ, khi một học trò của Euclid phàn
nàn rằng anh ta chẳng thấy lợi ích thiết thực của mơn học này. Euclid quay sang một
người hầu và bảo: "Hãy cho anh học trị này một đồng tiền vì anh ta phải có lợi nhuận
từ những gì anh ta đã học được".
Đóng góp vĩ đại của Euclid cho toán học là việc sắp xếp và tổ chức lại hình học
thành một mơn học quy củ. Ơng đã đơn giản hóa và sắp xếp lại các tác phẩm riêng lẻ
của các bậc trên bối, hệ thống các định lý và chứng minh nó thành một chuỗi có lơgic.
Ơng đã sửa lại cách chứng minh cũ và nghĩ ra cách chứng minh mới để bổ sung những
điều cịn thiếu sót.
Khác với Thales, Euclid đã để lại rất nhiều bài viết cung cấp một cái nhìn mới cho
các nhà tốn học. Trong đó đặc biệt phải kể đến các phát biểu về các đường conic, về
những sai số trong hình học, ứng dụng tốn học vào nhạc và 13 quyển sách về các
nguyên tắc cơ bản của tốn học. Ngồi ra, người ta cịn nhắc đến ông qua phép chia
Euclid, khoảng cách Euclid, không gian véctơ Euclid …
Ngồi ra ơng cịn tham gia nghiên cứu về luật xa gần, đường cơnic, lý thuyết số và
tính chính xác. Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ
sung, khái qt và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất
trước để suy ra tính chất sau. Vào cuối thế kỷ XIX, những sai sót nhỏ trong bộ: Cơ bản
những định nghĩa sai hay thiếu sự hoàn chỉnh trong các tiên đề của ông được chỉ ra và
bỏ đi trong các bản dịch lại. Tuy nhiên về cơ bản bộ Cơ bản vẫn không thay đổi giá trị
của nó.
Tác phẩm của Euclid: bộ Cơ bản được dịch ra nhiều thứ tiếng và vẫn được dùng
như một quyển sách giáo khoa cơ bản về hình học từ 2000 năm nay. Bản dịch tiếng
Anh đầu tiên của Harry Biilingsley viết vào năm 1570. Tác phẩm này gồm 13 tập sách
trong đó chỉ có sáu quyển thường được in thành sách học cho các trường trung học.
Một vài phần trong tác phẩm này do học trị của ơng soạn nhưng những phần chính và

hướng dẫn đều là của ơng.


18
Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được
đề cập một cách có hệ thống, chính xác. Bộ sách Cơ bản đồ sộ của Euclid đã đặt nền
móng cho mơn hình học cũng như tồn bộ tốn học cổ đại. Bộ sách gồm 13 quyển: sáu
quyển đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba quyển tiếp theo có nội dung số
học được trình bày dưới dạng hình học, quyển thứ mười gồm các phép dựng hình có
liên quan đến đại số, 3 quyển cuối cùng nói về hình học khơng gian.
Người đời sau hết lời ca ngợi bộ “Cơ bản” chính vì cách suy luận độc đáo của
Euclid. Ông sử dụng 9 tiên đề và 5 định đề, 125 định nghĩa để xây dựng thành công
465 mệnh đề toán học. Cho đến ngày nay, nội dung bộ “Cơ bản” vẫn được dạy ở
trường phổ thông các nước trên thế giới.
Ngồi bộ “Cơ bản” Euclid cịn viết nhiều sách khác. Nhiều quyển bị thất lạc, nhưng
trong số những sách cịn lại là quyển Quang học. Ngồi các bài viết và những chứng
minh các định lý hình học - một tượng đài trí tuệ hùng vĩ tới mức được chấp nhận
hoàn toàn trong suốt hai mươi hai thế kỷ sau, Euclid còn quan tâm đến vấn đề thị giác.
Và sự quan tâm ấy hồn tồn có cơ sở: ơng thấy ở đó một lĩnh vực lý tưởng để áp dụng
các ý tưởng hình học thân thiết của ơng. Ơng đã chấp nhận một cách tự nhiên quan
niệm về “tia thị giác” của Empédocle: trong số ba lý thuyết mà các bậc tiền bối đưa ra,
thì lý thuyết “tia thị giác” phù hợp nhất với cách xử lý toán học chặt chẽ. Ông đã đưa
ra nhiều lập luận xác đáng để ủng hộ giả thuyết này. Chẳng hạn, ông lập luận rằng
chúng ta không phải lúc nào cũng tri giác được các vật, ngay cả khi cái nhìn của chúng
ta bặt gặp chúng: chưa chắc bạn nhận thấy một cái kim rơi xuống đất ngay cả khi nó
nằm trong tầm nhìn của bạn; trong khi đó, nếu thị giác chỉ phụ thuộc vào ánh sáng
được cái kim phản xạ đến mắt bạn, thì chắc chắn bạn phải nhìn thấy nó ngay lập tức.
Ngược lại, lý thuyết “tia thị giác” phát ra từ “ngọn lửa” bên trong mắt bạn có thể giải
thích rất rõ điều đó: cái kim chỉ có thể nhìn thấy được ngay vào lúc các tia phát ra từ
mắt chúng ta bắt gặp nó.

2.7. ARCHIMEDES (287 (TCN) - 212 (TCN))
Tiểu sử
Archimedes - nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ, Archimedes (287 - 212 (TCN)) - là
nhà giáo, nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, ông sinh tại thành phố Siracuse, một


19
thành bang của Hy Lạp cổ đại. Cha của Archimedes là một nhà thiên văn và toán học
nổi tiếng Phidias, đã đích thân giáo dục và hướng dẫn ơng đi sâu vào hai bộ môn này.
Năm 7 tuổi ông học khoa học tự nhiên, triết học, văn học. Mười một tuổi ông đi du học
Ai Cập, là học sinh của nhà toán học nổi tiếng Ơ-clit; rồi đến Tây Ban Nha và định cư
vĩnh viễn tại thành phố Cyracuse, xứ Sicile(nay thuộc nước Italia). Ðược hoàng gia tài
trợ về tài chính, ơng cống hiến hồn tồn cho nghiên cứu khoa học.

Ơng là học trị của nhà Thiên văn chính thức của vua Ptolémée III Evergète tại
Alexandrie là Conon de Samos (280, 220 (TCN)) và bạn của Ératosthène de Cyrène
(284; 192 (TCN)) học trong trường thuộc trường phái Euclide (323; 283 (TCN)) tại Ai
Cập. Conon de Samos và Archimedes suốt đời là bạn của nhau.
Đóng góp cho hình học sơ cấp

Archimedes đã có nhiều phát minh lớn về tốn học. Ơng đã để lại nhiều tác phẩm
như: “Về hình cầu và hình trụ ”, “Về độ đo các cung”, “Về việc cầu phương parabol”,
“Về các đường xoắc ốc”, v.v….
Archimedes đã tính được diện tích nhiều hình, thể tích nhiều vật thể bằng một
phương pháp đặc biệt, chứng tỏ rằng ơng có khái niệm khá rõ về phép tính vi tích
phân, một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại. Về mặt này ông đã đi trước thời
đại hàng 20 thế kỉ, vì mãi đến thế kỉ thứ 17 phép tính vi tích phân mới thật sự hình
thành và phát triển với Lebnit và Niutơn.
Tính diện tích của parabol phân: Archimedes là người đầu tiên tìm ra phương pháp

tính parabol phân, chẳng hạn phần ABC giới hạn bởi parabol ABC và đường thẳng


20
AC: Qua trung điểm I của AC kẻ đường song song IBG với trục của parabol.
1
Archimedes khẳng định rằng diện tích phần parabol ABC bằng 3 lần diện tích tam
1

giác ABC.
1
Thể tích hình cầu: Archimedes đã chứng tỏ rằng hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn 2
1

lần hình cầu (lớn, nhỏ ở đây là tương quan thể tích): Một hình cầu có thể tích và diện
tích bề mặt bằng 2/3 thể tích và diện tích bề mặt của hình trụ bao quanh nó.
N
I

H

D

R

Z

Q

A

S

C

U

T

P

O
L

K
B

G

M

E

Mơ hình một hình cầu và hình trụ như trên đã được đặt trên mộ của Archimedes
theo yêu cầu của ơng.
Điều này có thể phát biểu cách khác như sau: hình cầu gấp bốn lần hình nón đáy
bằng hình trịn lớn của hình cầu và đường cao bằng bán kính. Từ đó Archimedes rút
ra nhận xét là diện tích mặt cầu bằng bốn lần diện tích hình trịn lớn. Nếu mỗi hình
trịn bằng tam giác đáy là chu vi hình trịn và đường cao là bán kính thì tương tự mỗi
hình cầu phải bằng hình nón đáy là diện tích mặt cầu và đường cao là bán kính của nó.

Archimedes đã chứng minh những kết quả trên trong cuốn “Về hình cầu và hình
trụ”.
Những nghiên cứu khác về hình học
Trong một hình lăng trụ đáy vng có hình trụ nội tiếp mà đáy là hình trịn nội tiếp
hình vuông đáy lăng trụ, ta cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng quan tâm đáy dưới và


21
cạnh đáy trên. Ta sẽ được một khối giới hạn bởi mặt hình trụ, mặt phẳng cắt và mặt
1
phẳng đáy. Khối này có thể tích bằng 6 thể tích lăng trụ.

Archimedes đã nêu lên nhận xét trên vần bằng phương pháp cơ học như các vấn đề
ở trên rồi mới chứng minh chặt chẽ bằng hình học. Cuối cùng ơng cịn nêu thêm: Nếu
trong một hình lập phương có hai hình trụ nội tiếp với trục vng góc thì thể tích của
2
phần chung bằng 3 thể tích của hình lập phương.

Ngồi ra ơng đã tính được:










Thể tích khối phỏng cầu (sphéroide)

Thể tích của parabơlơit phân quay
Trọng tâm của parabơlơit phân quay cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục
Trọng tâm của nửa hình cầu
Thể tích cầu phân
Thể tích phỏng cầu phân
Trọng tâm cầu phân
Trọng tâm phỏng cầu phân
Trọng tâm hypebôlôit phân quay.

Những tiên đề của Archimedes
Tiên đề “toàn thể lớn hơn bộ phận” của Euclid cùng với bổ đề của Archimedes là
hồn tồn đủ để đo diện tích các hình phẳng và thể tích các khối đa diện. Nhưng muốn
đo cung và mặt cong thì phải có một số tiên đề khác. Làm sao có thể biết được độ dài
đường tròn lớn hơn chu vi đa giác nội tiếp và nhỏ hơn chu vi đa giác ngoại tiếp? Vì thế
Archimedes đã nêu lên một số tiên đề mới.
Ông xét những đường cong phẳng giới nội nằm hoàn toàn về một phía của đường
thẳng nối hai đầu mút của chúng, và những bề mặt giới hạn bởi đường cong nằm trong
mặt phẳng đồng thời nằm hồn tồn về một phía của mặt phẳng đó. Ơng gọi đường
cong và bề mặt cùng loại này là “lồi cùng một phía” nếu tất cả các đoạn thẳng nối 2
điểm tuỳ ý của đường cong hoặc của bề mặt ln nằm về một phía của đường cong
hoặc cầu bề mặt đó, hoặc nằm trên chúng. Sau đó ơng đưa ra một số tiên đề sau đây:
1. Trong tất cả những đoạn thẳng nối hai điểm thì đường thẳng là ngắn nhất.


22
2. Nếu trong một mặt phẳng có hai đường cong lồi cùng phía mà cùng nối hai
điểm, đồng thời một đường bao phủ hồn tồn đường kia (chúng có thể trùng nhau
ở một số đoạn) thì đường trước sẽ dài hơn đường sau.
3. Trong tất cả những bề mặt giới hạn bởi cùng một đường cong phẳng thì bề
mặt phẳng là nhỏ nhất.

4. Giống như tiên đề 2 nhưng lại là bề mặt.
5. Nếu hiệu hai độ dài của hai đường, hai diện tích của hai mặt, hoặc hai thể tích
của hai vật thể khơng bằng nhau, được tăng lên một số lần đủ lớn thì hiệu đó có thể
lơn hơn đại lượng cho trước cùng loại.
Cơng trình sáng tạo và các giai thoại
 Archimedes nhà thiên văn nổi tiếng
Trong cuốn “Tính tốn hạt cát” Archimedes đã mơ tả một dụng cụ mà ơng đã sáng
tạo để đo đường kính của Mặt trời chính của quyển sách này là chỉ ra phương pháp
thuận tiện có thể biểu diễn các số lớn hơn các hạt cát lấp đầy tồn bộ khơng gian vũ
trụ.
Archimedes cho rằng: Quả đất nằm ở trung tâm vũ trụ và ơng đã tính khoảng cách
từ Quả đất đến Mặt trăng, từ Mặt trăng đến sao Kim, đến sao Thuỷ, đến sao Hoả, đến
sao Mộc, đến sao Thổ và cuối cùng đến những ngôi sao khác.
Là nhà thiên văn nổi tiếng, Archimedes đã sáng tạo ra nhà vũ trụ với hình cầu rỗng
quay do hệ thống máy móc bên trong, dùng để tạo lại chuyển động của Mặt trời, của
Mặt trăng và của năm hành tinh.
 Archimedes phát minh ra đòn bẩy, bánh xe răng cưa, bộ ròng rọc, đinh vít,..
Trong tác phẩm “Về sự cân bằng của các hình phẳng” Archimedes lần đầu tiên đã
trình bày một cách lơgíc và chặt chẽ định luật nổi tiếng về đòn bẩy xuất phát từ một
dãy tiên đề: “Hai đại lượng cân bằng nhau nếu các khoảng cách của chúng (đến điểm
tựa của đòn bẩy) tỉ lệ nghịch với trọng lượng”.
Sử dụng định luật này có thể xác định trọng tâm của hình bình hành, hình tam giác
và hình thang, trọng tâm của parabol phân, của phần diện tích parabol bao hàm giữa
hai đường thẳng song song.


23
Ngồi ra nhà văn cổ Hi Lạp Aphinơ đã tả quang cảnh cơng trình đóng tàu thuỷ của
Archimedes như sau:
“Nhà hình học Archimedes được giao đóng một chiếc tàu to bằng 64 chiếc tàu

thường. tất cả mọi thứ cần thiết, các loại gỗ quý được chở từ khắp nơi đến. Nhiều thợ
đóng tàu cũng được triệu về đây. Mọi việc được tiếng hành rất nhanh chóng, có qui
củ, nên chỉ sau nửa năm đã làm xong một nửa tàu. Riêng việc hạ thuỷ tàu này, mọi
người bàn cãi rất nhiều: làm sao để có thể đưa được một con tàu lớn như vậy xuống
nước?
Nhưng Archimedes đã dùng trục quay để kéo con tàu với rất ít người giúp việc.
Chiếc tàu khổng lồ này có đầy đủ tiên nghi, như nhà bếp, nhà ăn, chỗ dạo chơi, kho
lương thực, thư viện,….”
 Archimedes - về các vật nổi

Trong tác phẩm “Về các vật nổi”, Archimedes bắt đầu đưa ra các định luật về áp lực
của chất lỏng trên vật bị chìm trong nó mà tỉ trọng nhỏ hơn, bằng hoặc lớn hơn tỉ trọng
của chất lỏng.
Một hôm Quốc vương sứ cổ Hy Lạp muốn làm một chiếc vương miện mới và thật
đẹp. Vua cho gọi người thợ kim hoàn tới, đưa cho anh ta một thỏi vàng óng ánh yêu
cầu anh ta phải làm nhanh cho vua chiếc vương miện.
Không lâu sau vương miện đã được làm xong, nó được làm rất tinh vi và đẹp, Quốc
vương rất hài lòng và đội lên đi đi lại lại trước mặt các đại thần. Lúc đó có tiếng thì
thầm: “Vương miện của bệ hạ đẹp q nhưng khơng biết có đúng đều là vàng thật
không?”. Quốc vương nghe xong liền cho gọi người thợ kim hoàn tới, hỏi: “Chiếc
vương miện ngươi làm cho ta có đúng là tồn bằng vàng khơng?”.
Người thợ kim hồn bỗng đỏ mặt, cúi xuống thưa với vua rằng: “Thưa bệ hạ tơn
kính, số vàng, Người đưa con đã dùng hết, vừa đủ không thừa không thiếu, nếu không


24
tin bệ hạ cho cân lại thử xem có đúng nặng bằng thỏi vàng. Người đưa cho con không
ạ”.
Các đại thần đem vương miện ra cân thử, quả là không thiếu, vua đành phải thả
người thợ kim hoàn về. Nhưng vua biết rằng lời nói của người thợ kim hồn ấy khó có

thể tin được vì rằng anh ta có thể dùng bạc để thay vàng với trọng lượng tương đương
mà nhìn bề ngồi khơng thể phát hiện ra được.
Quốc vương buồn phiền chuyện này nói với Archimedes, Archimedes nói với Quốc
vương: “Đây quả là bài tốn khó, con xin giúp người làm rõ chuyện này”.
Về đến nhà, Archimedes cân lại vương miện cùng thỏi vàng, đúng là trọng lượng
bằng nhau. Ơng đặt chiếc vương miện lên bàn ngắm nghía và suy nghĩ đến mức người
phục vụ gọi ăn cơm mà vẫn khơng biết.
Ơng nghĩ: “Vương miện nặng đúng bằng thỏi vàng, nhưng bạc lại nhẹ hơn vàng,
nếu như trong vương miện có trộn lượng bạc nặng đúng bằng lượng vàng lấy ra, như
vậy chiếc vương miện này phải lớn hơn chiếc vương miện làm hoàn toàn bằng vàng.
Làm thế nào để biết được thể tích của chiếc vương miện này và thể tích của chiếc
vương miện làm tồn bằng vàng cái nào lớn, cái nào nhỏ? Chẳng lẽ phải làm một chiếc
nữa, như vậy thì thật tốn cơng tốn sức”.
Archimedes lại nghĩ: Đương nhiên có thể nấu lại chiếc mũ này và đúc thành vàng
thỏi để xem nó cịn to bằng thỏi vàng cũ không, nhưng như vậy chắc chắn nhà vua
không đồng ý, tốt nhất là phải nghĩ ra cách gì khác để so sánh thể tích của chúng.
Nhưng cách gì đây? Archimedes thơng minh bỗng trở lên trầm lặng, ơng vắt óc suy
nghĩ mãi mà vẫn chưa tìm ra cách. Ơng thường lặng lẽ ngồi cả buổi, mọi người nói
ơng “đang bí”.
Một hơm Archimedes đi tắm, vì cứ suy nghĩ để nước chảy đầy bồn tắm, sắp tràn cả
ra ngồi. Ơng bước vào bồn tắm, nước tràn ra ngồi, ơng càng chìm người vào bể
nhiều thì nước càng tràn ra ngoài nhiều. Archimedes như bừng tỉnh, mắt bỗng sáng
lên, ơng nhìn nước tràn ra ngồi bể và nghĩ rằng: Số nước tràn ra có thể bằng với thể
tích phần cơ thể của ơng chiếm trong bể nước khơng? Ơng rất vui, lập tức cho đầy
nước vào bồn tắm và lại bước vào bồn, sau đó lại làm lại một lần nữa. Đột nhiên, ơng
bỗng chạy ra ngồi vỗ tay reo lên: “Eureka”, “Eureka”….. (Tìm ra rồi), mà quên cả