(Luận văn thạc sĩ) phương pháp liao nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2017


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hồn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thành viên
trong nhóm seminar Hệ động lực trường Khoa học tự nhiên đã có những góp
ý quý báu để em hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2017
Học viên

Vũ Thanh Lam

i


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời nói đầu

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Các khái niệm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Số mũ Lyapunov và tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Kỹ thuật tam giác hóa Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Ổn định bằng phương pháp Liao

25

2.1

Các định lý ổn định của Bylov và Liao . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2

Mở rộng định lý ổn định Liao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Chứng minh kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1

Chứng minh Định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.2

Chứng minh định lý 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43

ii


LỜI NĨI ĐẦU
Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân được nhiều
người quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như vật lý, kinh
tế, sinh học, . . . . Có hai phương pháp chính nghiên cứu sự ổn định nghiệm là
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp số mũ Lyapunov. Để mở rộng
phạm vi ứng dụng của nó, nhiều hướng nghiên cứu mới của lí thuyết ổn định
đã xuất hiện và nhận được nhiều kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.
Luận văn này đề cập đến một hướng tiếp cận gần đây liên quan đến phương
pháp số mũ Lyapunov.
Như ta đã biết, đối với hệ tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm x = A(t)x, tính âm
của số mũ Lyapunov khơng suy ra được tính ổn định của phương trình có nhiễu
x = A(t)x+f (t, x). Phản ví dụ cho điều này được gọi là Hiệu ứng Perron (xem
[12]). Năm 1966, D. Bylov (xem [4]) đưa ra thêm điều kiện tính chính quy của
hệ để đảm bảo cho tính ổn định của hệ với nhiễu Lipschitz đủ nhỏ. Sau đó, có
nhiều nỗ lực mới ra đời để tìm điều kiện đủ cho tính ổn định của phương trình

có nhiễu như của Ya. Pesin [13], S.-T. Liao [8], . . . .
Năm 2006, Xiongping Dai sử dụng kĩ thuật của Liao để đưa ra điều kiện
ổn định khác cho trường hợp nhiễu tuyến tính. Điều kiện này của X. Dai được
xem như là yếu hơn điều kiện của trước đó của Bellman [3], điều kiện nhị phân
mũ và khác điều kiện đủ của Bylov và Pesin. Mục đích chính của luận văn này
là trình bày lại một số khái niệm cơ bản về lí thuyết ổn định của phương trình
có nhiễu và kết quả của X. Dai.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này được dành để trình bày
1


một vài khái niệm và các ví dụ trong phương trình vi phân và lí thuyết ổn định
như số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron,. . .
Chương 2. Ổn định bằng phương pháp Liao. Trong chương 2 chúng
tôi đề cập tới kết quả chính về phương pháp của Liao và sự ổn định của phương
trình với nhiễu tuyến tính.
Luận văn là chi tiết hóa chứng minh của X. Dai trong bài báo [6] được viết
năm 2006.
Hà Nội, ngày 05 tháng 9 năm 2017
Học viên

Vũ Thanh Lam

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết
ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm. Trong đó trình
bày một số khái niệm cơ sở của phương trình vi phân như các khái niệm ổn
định, số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, kỹ thuật tam giác hóa Perron, . . . Nội
dung chính của chương này được tham khảo trong sách của L. Ya. Adrianova
[1], W. A. Coppel [5] và L. Bareira và C. Valls [2].

1.1

Các khái niệm ổn định

Trước tiên, ta tìm hiểu các loại ổn định của phương trình vi phân. Xét
phương trình khơng ơ-tơ-nơm
x(t)
˙
= f (t, x),

t ≥ t0 ,

(1.1)

trong đó, hàm f : [t0 , +∞) × Rn → Rn là hàm thỏa mãn các điều kiện cần
thiết để (1.1) có nghiệm. Hàm vectơ x : [t0 , +∞) → Rn được gọi là nghiệm
của phương trình (1.1) trên miền [t0 , +∞) nếu nó là hàm khả vi và thỏa mãn
x(t)
˙
= f (t, x(t)), t ≥ t0 .
Khái niệm ổn định Lyapunov được đặt theo tên nhà toán học người Nga,
Aleksandr Lyapunov, người đã xuất bản cuốn sách Bài toán Tổng quát về sự
ổn định chuyển động vào năm 1892 (xem [9]). Lyapunov là người đầu tiên xem

3


xét những tính chất định tính trong các hệ thống phi tuyến bằng lý thuyết ổn
định của hệ tuyến tính dựa trên việc tuyến tính hóa gần một điểm cân bằng.
Cơng trình của ơng ban đầu được xuất bản bằng tiếng Nga và sau đó được
dịch sang tiếng Pháp và ít nhận được sự chú ý trong nhiều năm. Sự quan tâm
đến nó đột ngột bắt đầu trong thời kỳ chiến tranh lạnh sau khi phương pháp
thứ hai của Lyapunov có thể áp dụng đối với sự ổn định của các hệ thống dẫn
đường hàng không vũ trụ thường chứa các yếu tố phi tuyến mà khơng có thể
xử lý bằng các phương pháp khác. Một số lượng lớn các các bài báo đã xuất
hiện sau đó ở trong các tạp chí chuyên ngành điều khiển và hệ động lực (xem
[11, 7, 10]).
Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
trên khoảng [t0 , ∞) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho bất kỳ
nghiệm x(t) của phương trình (1.1) thỏa mãn bất đẳng thức
x(t0 ) − x(t0 ) < δ
và tồn tại trên [t0 , ∞) thì thỏa mãn
x(t) − x(t) < ε,

với mọi t > t0 .

Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định, nếu các nghiệm x(t) khá gần với nó
ở thời điểm ban đầu t0 bất kì sẽ hồn nằm trong ống ε nhỏ tùy ý được đựng
quanh nghiệm x(t) (xem Hình 1.1).

Hình 1.1: Nghiệm x(t) ổn định

Hình 1.2: Nghiệm x(t) ổn định tiệm cận

4


Nếu ngoài ra nghiệm x(t) thỏa mãn
lim x(t) − x(t) = 0

t→∞

thì ta nói x(t) ổn định tiệm cận (xem Hình (1.2)).
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm x(t) của phương trình (1.1) được gọi là ổn định
mũ (hay còn gọi là co không đều) nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho với mọi
t0 , tồn tại số N = N (t0 ) sao cho
x(t) − x(t) ≤ N e−α(t−t0 ) x(t0 ) − x(t0 )
trong đó x(t) là nghiệm phương trình sao cho
x(t0 ) = x0 .
Nếu trong định nghĩa trên số N được chọn độc lập với t0 , thì ta gọi x(t) là
ổn định mũ đều (hay gọi là co đều).
Ví dụ 1.1.3. Xét phương trình x˙ = 0. Khi đó, ta có nghiệm tổng quát x(t) ≡ c
với c là hằng số thực tùy ý. Rõ ràng nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định
(xem Hình 1.3) vì với mọi ε > 0, với cách chọn δ = ε, khi đó nếu với bất kì
nghiệm x(t) thỏa mãn |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ thì
|x(t) − x(t)| = |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ = ε.

Hình 1.3: Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của Ví dụ 1.1.3 là ổn định nhưng khơng ổn định
tiệm cận
5


Tuy nhiên, nghiệm tầm thường không ổn định tiệm cận bởi nếu chọn y(t) ≡ δ/2
thì

lim |x(t) − x(t)| = δ/2 > 0.

t→∞

Ví dụ 1.1.4. Nghiệm x(t) = 0 của phương trình x˙ = −x ổn định tiệm cận (xem
Hình 1.4). Thật vậy, mọi nghiệm bất kỳ khác đều có dạng x(t) = x(t0 )e−t . Do
đó, với mọi ε > 0, ta chọn δ = εet0 . Khi đó, với mọi nghiệm mà |x(t0 )−x(t0 )| ≤ δ
thì
|x(t) − x(t)| = x(t0 )e−t ≤ εet0 e−t ≤ εe−(t−t0 ) ≤ ε
Hơn thế nữa,
lim |x(t) − x(t)| = lim x(t0 )e−t = 0.

t→∞

t→∞

Do đó, nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận.

Hình 1.4: Nghiệm tầm thường của Ví dụ 1.1.4 là ổn định tiệm cận

Ví dụ 1.1.5. Xét phương trình
x˙ = [sin log(t + 1) + cos log(t + 1) − α]x
với α >

√

2. Rõ ràng, nghiệm của phương trình có dạng
x(t) = x0 e

t

(sin log(t+1)+cos log(t+1)−α)dt
t0

.

Mặt khác, ta có ước lượng
sin log(t + 1) + cos log(t + 1) =
6

√

2 sin log(t + 1) +

π
4

≤

√

2.


Cho nên
t

|x(t)| = |x0 | exp

sin log(t + 1) + cos log(t + 1) − α
t0

≤ |x0 |e(
mà

√

√
2−α)(t−t0 )

.

2 − α < 0. Do đó, nghiệm x(t) của phương trình là ổn định mũ (xem

Hình 1.5).

Hình 1.5: Nghiệm của Ví dụ 1.1.5 với α = 2.

1.2

Số mũ Lyapunov và tính chính quy

Trong phần này, ta đưa ra định nghĩa số mũ Lyapunov, là số biểu diễn tốc
độ tăng trưởng mũ cho hàm bất kì x = x(t). Cụ thể, xét hệ phương trình tuyến
tính khơng ơ-tơ-nơm
x˙ = A(t)x,

(1.2)

trong đó A : [t0 , +∞) → Mn×n là hàm nhận giá trị ma trận cỡ n × n. Ta gọi
số được xác định bởi

λ+ (x) = lim sup
t→+∞

1
log x(t)
t

là số mũ Lyapunov trên của hàm x : [t0 , +∞) → R với quy ước log 0 = −∞.
Số mũ Lyapunov trên (hoặc số mũ Lyapunov dưới) của phương trình (1.2)
tại v ∈ Rn được định nghĩa bằng công thức
λ+ (v, A) = lim sup
t→+∞

7

1
log xA (t, v) ,
t


hoặc λ− (v, A) = lim inf
t→+∞

1
log xA (t, v) ,
t

trong đó xA (t, v) là nghiệm của phương trình (1.2) với điều kiện ban đầu
x(0) = v. Nếu không muốn nhấn mạnh đến số mũ Lyapunov trên hay dưới,
ta sẽ dùng kí hiệu λ(v, A) cho ngắn gọn. Các tính chất dưới đây của số mũ

Lyapunov được tham khảo trong sách của L. Y. Adrianova [1] sẽ được sử dụng
trong Chương 2.
Tính chất 1.2.1.
(i) λ(x) = λ(|x|),
(ii) λ(c · x) = λ(x) (c là hằng số, c = 0),
(iii) λ(x1 + x2 ) ≤ max{λ(x1 ), λ(x2 )},
(iv) λ(x1 · x2 ) ≤ λ(x1 ) + λ(x2 ).
Ví dụ 1.2.2. Xét phương trình
x + x = 0.
Để tính số mũ Lyapunov cho nghiệm x(t) của phương trình, ta làm như sau.
Trước tiên, ta xét phương trình đặc trưng λ2 +1 = 0 ⇔ λ = ±i. Vậy nghiệm
của phương trình là x(t) = c1 cos t + c2 sin t. Ta có
log |x(t)| = log |c1 cos t + c2 sin t|.
Do
|c1 cos t + c2 sin t| t→+∞
−→ 0.
eεt
Với t đủ lớn thì |c1 cos t + c2 sin t| < eεt , hay
1
1
log |c1 cos t + c2 sin t| < log eεt = ε (t đủ lớn)
t
t
hay
lim sup
t→+∞

1
log |c1 cos t + c2 sin t| ≤ ε.
t

8

(1.3)


Tồn tại dãy tk = 2kπ → +∞ sao cho
|c1 cos tk + c2 sin tk | k→+∞
−→ +∞ (với c1 khác khơng).
e−εtk
Với t đủ lớn thì |c1 cos t + c2 sin t| > e−εt , hay
1
1
log |c1 cos t + c2 sin t| > log e−εt = −ε (t đủ lớn)
t
t
hay
lim sup
t→+∞

1
log |c1 cos t + c2 sin t| > −ε.
t

(1.4)

Từ (1.3) và (1.4) suy ra
−ε < λ(x) ≤ ε với mọi ε > 0 ⇒ λ(x) = 0.
Nhận xét 1.2.3. Mọi hàm bị chặn có số mũ Lyapunov bằng không.
Tập hợp các số mũ Lyapunov của hệ (1.2) được gọi là phổ Lyapunov của hệ.
Như ta đã biết, tập hợp tất cả các nghiệm của của hệ (1.2) lập thành khơng

gian tuyến tính n chiều (khơng gian nghiệm). Giả sử ma trận nghiệm cơ bản
X(t) = {x1 (t)|x2 (t)| . . . |xn (t)}.
gồm ni nghiệm với số mũ đặc trưng λi (i = 1, 2, . . . , m), một số số ni có thể
bằng không. Ta gọi các cặp số {(λi , ni ) : i = 1, . . . , m} là phổ Lyapunov của
ma trận nghiệm cơ bản X(t).
Ví dụ 1.2.4. Xét hệ phương trình




1 0 0




x˙ = 0 2 0 x.


0 0 3
với hai ma trận nghiệm cơ bản là


t
e 0 0




X1 (t) =  0 e2t 0 



3t
0 0 e



t



e
0 0




và X2 (t) =  0 e2t 0  .


3t
3t
3t
e e e
9


Rõ ràng, ta có phổ Lyapunov của X1 là
{(λ1 = 1, n1 = 1), (λ2 = 2, n2 = 1), (λ3 = 3, n3 = 1)}
và phổ Lyapunov của X2 là
{(λ1 = 3, n1 = 3)}.

Với khái niệm trên, ta có định nghĩa dưới đây về tính chính quy của hệ
phương trình vi phân tuyến tính (1.2).
Định nghĩa 1.2.5 (xem [6]). Xét ma trận nghiệm cơ bản X(t) bất kì của
phương trình (1.2) có phổ Lyapunov là {(λi , ni ) : i = 1, . . . , m}. Khi đó, hệ
(1.2) được gọi là có tính chính quy tiến (forwardly Lyapunov regular) nếu
s

1
log | det X(t)|.
t→∞ t

ni λi = lim
i=1

(1.5)

Ví dụ 1.2.6. Ta xét hệ phương trình


−1 0
 x.
x˙ = 
t 1
Bằng tính tốn trực tiếp, ta có ma trận nghiệm cơ bản (chuẩn tắc) của phương
trình là


X(t) = e

tA

−t



0
 −t e
=  e (2t + 1)
.
et
−4

Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm (vectơ cột) trong ma trận trên
là

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log e−t 1 + (2t + 1)2 /16 = −1
t→∞ t

λ1 = lim sup

và

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1

= lim sup log et = 1.
t→∞ t

λ2 = lim sup

10


Do đó, phổ Lyapunov của X(t) là {(λ1 = −1, n1 = 1), (λ2 = 1, n2 = 1)}. Khi
đó, vế trái của (1.5) là

s
i=1 ni λi

= −1 + 1 = 0. Mặt khác, ta có vế phải của

(1.5) là
1
1
log | det X(t)| = lim log |1| = 0.
t→∞ t
t→∞ t
lim

Do đó, (1.5) là đúng cho X(t). Giả sử Y (t) là ma trận nghiệm cơ bản khác của
phương trình trên. Khi đó
Y (t) = X(t)C
với C là ma trận hằng khơng suy biến nào đó (xem [2]). Khi đó, vế phải của
(1.5) là
1

1
1
log | det Y (t)| = lim log | det X(t). det C| = lim log |det C| = 0.
t→∞ t
t→∞ t
t→∞ t
lim

Tuy nhiên, nếu chọn ma trận



1 0

C=
1 1
thì ta có ma trận nghiệm cơ bản




−t

e

Y (t) =  e−t (2t + 1)
−4

+ et

0

et

với phổ là
1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
2
= lim sup log e−2t + (e−t (2t + 1)2 /(−4) + et ) = 1
t→∞ t

λ1 = lim sup

và

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log et = 1.
t→∞ t

λ2 = lim sup

với tổng

m
i=1 λi ni

= 2 = 0. Do đó, hệ khơng là chính quy tiến.

11


Ví dụ 1.2.7. Ta xét hệ phương trình


2
−2 + 3 cos t
2 − 3 sin t cos t
1
 x.
x˙ = 
2 −2 − 3 sin t cos t −2 + 3 sin2 t
Bằng tính tốn trực tiếp, ta có hệ nghiệm cơ bản của phương trình là


t/2
−t
e cos t e sin t
.
X(t) = 
t/2
−t
−e sin t e cos t
Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm cơ bản là
1
log ||x1 (t)||

t→∞ t
1
(et/2 cos t)2 + (−et/2 sin t)2 = 1/2
= lim sup log
t
t→∞

λ1 = lim sup

và

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
(e−t sin t)2 + (e−t cos t)2 = −1.
= lim sup log
t
t→∞

λ2 = lim sup

Khi đó, ta có vế trái của (1.5) là
s

ni λi = 1/2 − 1 = −1/2.
i=1

Mặt khác, vế phải của (1.5) trở thành
1

1
log | det X(t)| = lim log e−t/2 cos2 t + e−t/2 sin2 t = −1/2.
t→∞ t
t→∞ t
lim

Do đó, (1.5) là đúng cho X(t). Tương tự Ví dụ 1.2.6, ta giả sử Y (t) là ma trận
nghiệm cơ bản khác của phương trình trên. Khi đó
Y (t) = X(t)C
với C là ma trận hằng khơng suy biến nào đó. Khi đó, vế phải của (1.5) là
1
1
log | det Y (t)| = lim log | det X(t). det C| = −1/2.
t→∞ t
t→∞ t
lim

12


Lập luận tương tự Ví dụ 1.2.6, ta chọn ma trận


1 1

C=
0 1
thì ta có ma trận nghiệm cơ bản



t/2
−t
t/2
e cos t e sin t + e cos t

Y (t) = 
t/2
−t
t/2
−e sin t e cos t − e sin t
với phổ là
1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
(et/2 cos t)2 + (−et/2 sin t)2 = 1/2
= lim sup log
t
t→∞

λ1 = lim sup

và
1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log (e−t sin t + et/2 cos t)2 + (e−t cos t − et/2 sin t)2 = 1/2.
t→∞ t

λ2 = lim sup

với tổng

m
i=1 λi ni

= 1 = −1/2. Điều này dẫn đến hệ không là chính quy tiến.

Ví dụ vừa rồi cho ta thấy rằng, kể cả đối với hệ tuần hoàn cũng chưa chắc
thỏa mãn điều kiện chính quy tiến. Trong ví dụ dưới đây, ta đưa ra hệ đơn giản
thỏa mãn điều kiện chính quy tiến.
Ví dụ 1.2.8. Ta xét hệ phương trình


0 −1
 x,
x˙ = 
1 0
Bằng tính tốn trực tiếp, ta có ma trận nghiệm cơ bản của phương trình là


cos t sin t
.
X(t) = 
sin t − cos t

13

Khi đó, ta có số mũ Lyapunov của hai nghiệm (vectơ cột) trong ma trận trên
là

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log cos2 t + sin2 t = 0
t→∞ t

λ1 = lim sup

và

1
log ||x1 (t)||
t→∞ t
1
= lim sup log sin2 t + cos2 t = 0.
t→∞ t

λ2 = lim sup

Do đó, phổ Lyapunov của X(t) là {(λ = 0, n = 2)}. Khi đó, vế trái của (1.5)
là

s
i=1 ni λi

= 0. Mặt khác, ta có vế phải của (1.5) là

1
1
log | det X(t)| = lim log |1| = 0.
t→∞ t
t→∞ t
lim

Do đó, (1.5) là đúng cho X(t). Giả sử Y (t) là ma trận nghiệm cơ bản bất kì
của phương trình trên. Khi đó,

 

cos t sin t
c c
 .  11 12 
Y (t) = X(t)C = 
sin t − cos t
c21 c22


c11 cos t + c21 sin t c12 cos t + c22 sin t
.
=
c11 sin t − c21 cos t c12 sin t − c22 cos t
Rõ ràng,
1
1
log | det Y (t)| = lim log |det X(t). det C| = 0.
t→∞ t
t→∞ t

lim

và phổ Lyapunov của Y (t) là {(λ = 0, n = 2)}. Do đó, (1.5) đúng cho Y (t).
Vậy hệ trên là chính quy tiến.
Nhận xét 1.2.9. Bằng chứng minh tương tự Ví dụ 1.2.8, ta có lớp hệ có dạng


0 a
 x,
x˙ = 
b 0
là chính quy tiến với a, b thỏa mãn ab < 0.
14


1.3

Hàm Lyapunov

Trong lý thuyết phương trình vi phân, hàm Lyapunov là các hàm vơ hướng
có thể được sử dụng để chứng minh sự ổn định của một trạng thái cân bằng
của một phương trình. Hàm Lyapunov (cịn gọi là Phương pháp thứ hai của
Lyapunov dành cho ổn định) rất quan trọng đối với lý thuyết ổn định của các
hệ thống động học và lý thuyết điều khiển. Định lí dưới đây là kết quả cổ điển
về phương pháp thứ 2 này. Chứng minh chi tiết có thể tham khảo trong sách
của L. Bareira và C. Valls [2].
Xét phương trình
t ≥ t0 , x ∈ U.

x˙ = f (t, x),

(1.6)

Định nghĩa 1.3.1. Các hàm số thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) trong
định lý dưới đây được gọi là các hàm Lyapunov.
Định lý 1.3.2. Giả sử x0 ∈ U là một điểm cân bằng của trường véctơ f (x),
tức là f (x0 ) = 0. Giả sử tiếp theo V : U → R là hàm liên tục trên lân cận B
của x0 và khả vi trên B\{x0 } sao cho:
(i) V (t, x0 ) = 0 và V (t, x) > 0 với mọi x = x0 ∈ B,
(ii) V˙ (t, x) ≤ −W (x) ≤ 0 với x ∈ B\{x0 }.
Khi đó x(t) ≡ x0 là nghiệm ổn định của (1.6).
Ngoài ra, nếu
(iii) W (x) > 0 với mọi x ∈ B\{x0 } thì x(t) ≡ x0 là điểm cân bằng ổn định
tiệm cận.
Ví dụ 1.3.3. Xét phương trình


x = −x + y

y = −x − y 3

15

.


Khi đó


f (x, y) = 

−x + y
−x − y

3


.

Trước tiên, ta xét

f (x, y) = 0 ⇔



−x + y = 0

⇔ x = y = 0.


−x − y 3 = 0
Vậy phương trình chỉ có một điểm cân bằng là (0, 0).
Tiếp theo, ta xét phiếm hàm V (x, y) = x2 + y 2 . Rõ ràng
(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x2 + y 2 > 0 với mọi (x, y) = (0, 0).
(ii) V˙ (x, y)2x · x˙ + 2y · y˙ = 2x(−x + y) + 2y(−x − y 3 ) = −2(x2 + y 4 ) ≤ 0.
Vậy điểm cân bằng (0, 0) là ổn định (xem Hình 1.6).

Hình 1.6: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.3.

Ví dụ 1.3.4. Xét phương trình



x

y

= y − xy 2
= −x3 .

16


Giải.
f (x, y) = 0 ⇔



y − xy 2 = 0

⇔ x = y = 0.


−x3 = 0
Vậy phương trình có một điểm cân bằng là (0, 0).
Xét phiếm hàm V (x, y) = x4 + 2y 2 ta có:
(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x4 + 2y 2 > 0 ∀(x, y) = (0, 0).
(ii) V˙ (x, y) = 4x3 x + 4yy = 4x3 (y − xy 2 ) + 4y(−x3 ) = −4x2 y 2 ≤ 0.
Vậy điểm cân bằng (0, 0) là ổn định (xem Hình 1.7).

Hình 1.7: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.4.

Ví dụ 1.3.5.


x = x2 − x − y

y = x
có điểm cân bằng duy nhất (0, 0). Để xét sự ổn định tiệm cận ta xét hàm
V (x, y) = x2 + xy + y 2 .
Khi đó, ta thu được
(i) V (0, 0) = 0, V (x, y) = x +

y 2
2

+

3y 2
4

17

> 0 với mọi (x, y) = (0, 0).


(ii) V˙ (x, y) = 2xx˙ + xy
˙ + xy˙ + 2y y˙ = −(x2 + xy + y 2 ) + 2x3 + x2 y.
Rõ ràng luôn tồn tại hằng số a, b > 0 sao cho
−a(x2 + y 2 ) ≤ −(x2 + xy + y 2 ) ≤ −b(x2 + y 2 ).
Do

2x3 + x2 y
→ 0 khi (x, y) → (0, 0) nên
x2 + y 2
V˙ (x, y) −(x2 + xy + y 2 ) 2x3 + x2 y
=
+ 2
.
x2 + y 2
x2 + y 2
x + y2

Từ đó,
−a − ε <

V˙ (x, y)
< −b + ε < 0 với (x, y) đủ nhỏ.
x2 + y 2

Cho nên V˙ (x, y) < 0 với (x, y) đủ nhỏ và (x, y) = (0, 0). Vậy điểm cân bằng
(0, 0) ổn định tiệm cận (xem Hình 1.8).

Hình 1.8: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.5.

Ví dụ 1.3.6. Cho phương trình


x = 3x + y 3

y = −2y + x2

có điểm cân bằng là (0, 0). Ta xét hàm
V (x, y) = x2 − y 2 .
Rõ ràng
18


(i) V (0, 0) = 0, và
V˙ (x, y) = 2xx˙ − 2y y˙ = 6x2 + 4y 2 + 2xy 3 − 2x2 y.
2xy 3 − 2x2 y
→ 0 khi (x, y) → (0, 0) (do bậc ở tử cao hơn bậc mẫu).
Ta có
6x2 + 4y 2
Khi đó,
V˙ (x, y)
→ 1 khi (x, y) → (0, 0).
6x2 + 4y 2
Điều này suy ra được V˙ (x, y) > 0 với mọi (x, y) thuộc lân cận đủ nhỏ của
(0, 0).
(ii) Với mọi lân cận của (0, 0) luôn tồn tại điểm (x, y) sao cho V (x, y) =
x2 − y 2 > 0.
Do đó, nghiệm tầm thường khơng là điểm ổn định (xem Hình 1.9).

Hình 1.9: Trường vectơ tại điểm cân bằng cho Ví dụ 1.3.6.

Nhận xét 1.3.7. Đối với các lớp nhất định của phương trình vi phân thường,
sự tồn tại của các hàm Lyapunov là một điều kiện đủ cho sự ổn định. Trong khi
đó, khơng có kỹ thuật tổng quát để xây dựng các hàm Lyapunov cho phương
trình vi phân thường, trong nhiều trường hợp cụ thể, việc xây dựng các hàm
Lyapunov được biết đến. Ví dụ, các hàm bậc hai đủ cho các hệ thống với một
19

trạng thái; lời giải của một bất đẳng thức ma trận tuyến tính đặc biệt cung
cấp các hàm Lyapunov cho các hệ thống tuyến tính; và các định luật bảo tồn
thường có thể được sử dụng để xây dựng các hàm Lyapunov cho các hệ thống
vật lý.

1.4

Kỹ thuật tam giác hóa Perron

Trước khi đi vào kĩ thuật tam giác hóa Perron, ta nhắc lại khái niệm cơ bản
của đại số tuyến tính dưới đây.
Định nghĩa 1.4.1. Ma trận vng giá trị thực U (cấp n) được gọi là ma trận
trực giao nếu ma trận chuyển vị U T của nó cũng là ma trận nghịch đảo, nghĩa
là
U T U = U U T = I.
Dưới đây là một số tính chất cơ bản của ma trận trực giao.
Tính chất 1.4.2. Cho U là ma trận trực giao cỡ n × n. Khi đó, các khẳng
định dưới đây là đúng.
i) Với x, y ∈ Rn thì U bảo tồn tích vơ hướng của chúng, tức là
U x, U y = x, y .
ii) U là ma trận trực chuẩn.
iii) U là chéo hóa được (tức là U đồng dạng với ma trận đường chéo). Như là
hệ quả của định lí phổ (spectral theorem), U có thể phân tích thành dạng
U = V DV T
trong đó V là ma trận trực giao và D là ma trận đường chéo.
iv) U có định thức bằng ±1.

20

v) Các không gian con riêng ứng với các giá trị riêng của U là trực giao với
nhau.
Tập hợp các ma trận trực giao cỡ n × n cùng với phép tốn nhân ma trận
lập thành một nhóm và được gọi là nhóm trực giao. Ta kí hiệu nhóm trực giao
là O(n) là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n).
Ví dụ 1.4.3. Xét ma trận

U =

cos α

sin α

− sin α cos α


.

Rõ ràng,

U −1 = 

cos α

sin α

− sin α cos α

−1


=



cos α − sin α
sin α

cos α


 = UT.

Do đó, ma trận U là trực giao.
Trong phần này, ta tập trung tìm hiểu kỹ thuật tam giác hóa Perron, là
phương pháp để đưa hệ phương trình vi phân tuyến tính bất kì về dạng phương
trình đường chéo với cách tiếp cận bằng phương pháp sử dụng công cụ của đại
số tuyến tính. Cụ thể, ta có quy trình dưới đây để tam giác hóa phương trình
tuyến tính.
Cho A(t) là hàm ma trận cỡ n × n liên tục trên nửa đường thẳng [t0 , +∞)
và ký hiệu X(t) = {x1 (t) | · · · | xn (t)} là ma trận nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính
x = A(t)x.

(1.7)

Bằng phép trực giao hóa Gram-Schmidt các cột của X(t), bắt đầu với cột đầu
tiên, ta thu được hệ vectơ cơ sở

ξ1 = x1 ,

e1 = ξ1 /||ξ1 ||

ξ2 = x2 − (x2 , e1 )e1 ,

e2 = ξ2 /||ξ2 ||

...

...
n−1

ξn = xn −

(xn , es )es ,
s=1

21

en = ξn /||ξn ||.