(Luận văn thạc sĩ) phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯƠNG MINH PHƯƠNG

PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC Á TUYẾN TÍNH
CẤP HAI DẠNG BẢO TỒN

Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số : 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Hà Nội - Năm 2016


Mục lục
Mở đầu

2

1 Các kiến thức cần chuẩn bị.
1.1 Không gian Sobolev Wm (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4
5

7

Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Định lý Leray-Shauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.3
1.4

2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai
dạng bảo tồn.
2.1 Phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn. Nghiệm
suy rộng bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet trong miền đủ nhỏ
2.3 Đánh giá bên trong miền đối với gradient của nghiệm suy rộng
(ess. max |∇u|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4
2.5
2.6

24
27

Ω

12
18
21

2.7

Đánh giá trên toàn miền đối với gradient của nghiệm suy rộng
Đạo hàm cấp hai của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . .
Đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm các cấp của nghiệm suy
rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Độ lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền . . . . . . . . . . .

30
33

2.8

Tính giải được của bài tốn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . .

36

Kết luận

41

Tài liệu tham khảo

43

1

Mở đầu
Lí thuyết về phương trình elliptic tuyến tính đã được nhiều nhà khoa học
nghiên cứu rất cụ thể, chi tiết và đầy đủ. Đã đưa vào định nghĩa lớp nghiệm
suy rộng của phương trình gồm các hàm có đạo hàm cấp một và thoả mãn đẳng
thức tích phân trong miền.
Các phương trình elliptic á tuyến tính sau đó cũng đã có một lịch sử phát
triển lâu dài, nó có sự khác biệt so với phương trình tuyến tính là các số của
hệ phương trình phụ thuộc vào ẩn hàm thậm chí là đạo hàm cấp một của ẩn
hàm. Vì vậy khái niệm nghiệm suy rộng được đưa vào có một số cách khác biệt.
Luận văn này nhằm mục đích trình bầy lý thuyết nghiệm suy rộng bị chặn của
phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai dạng bảo tồn.
Bố cục của luận văn bao gồm phần Mở Đầu, hai chương nội dung chính, Kết
luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Chuẩn bị các kiến thức cơ bản về các không gian Banach, cụ thể
là, không gian Sobolev, không gian Holder, Định lý Leray-Schauder và một số
kết quả cần thiết khác cũng được trình bày trong chương này để làm cơ sở cho
việc phát triển trong chương 2.
Chương 2. Giới thiệu lớp các phương trình á tuyến tính cấp hai dạng bảo
tồn và nghiệm suy rộng của chúng. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet
trong miền đủ nhỏ. Tiếp theo sẽ nghiên cứu các đánh giá bên trong miền và
2


trên toàn miền đối với gradient của ngiệm suy rộng bị chặn. Đánh giá chuẩn
Holder đối với đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao của nghiệm suy rộng. Độ
lớn của nghiệm suy rộng. Cuối cùng, tính giải được của bài tốn Dirichlet cũng
được nghiên cứu.
Nội dung chính của luận văn được trình bày dựa theo cuốn

" Linear and Quasilinear Elliptic equations" của Ladyzhenskaya, Olga A. and
Ural’tseva, Nina N, (1968).
Nhân dịp này, tác giả xin chân thành bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tới Thầy hướng dẫn PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn, người đã giúp đỡ, chỉ đạo tận
tình, chu đáo cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
bản luận văn này.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Khoa Học Tự
Nhiên, Phòng Sau đại học, các thầy cơ giáo cùng tồn thể cán bộ, cơng nhân
viên Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn
và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình của thầy cơ, và các
bạn cho bản luận văn này.

3


Chương 1

Các kiến thức cần chuẩn bị.
Trong chương này, cung cấp một số kiến thức cơ bản để phục vụ cho việc
xây dựng nội dung chính ở chương sau. Dưới đây là các kí hiệu thường dùng
trong luận văn.
• N = {1, 2, ...} là tập hợp các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập hợp các
số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số phức.
• En : Khơng gian Euclid n−chiều, 2 ≤ n ∈ N, x = (x1 , ..., xn ) kí hiệu điểm
thuộc En .
• Ω : kí hiệu một miền bị chặn trong En , cụ thể là một tập mở liên thông tùy
ý, được chứa trong một hình cầu có bán kính đủ lớn.
• S : kí hiệu biên của Ω.
¯ : kí hiệu bao đóng của Ω, tức là Ω

¯ = Ω ∪ S.
•Ω
• Ω : kí hiệu một miền con thực sự nằm trong Ω, do đó khoảng cách giữa Ω
và S ln dương.
• Kρ : kí hiệu hình cầu bán kính ρ trong En ; χn = mesK1 .

4


• Ωρ = Kρ ∩ Ω.
n

• x = (x1 , ..., xn ), chuẩn |x| =
i=1

1/2

x2i

.

Tất cả các hàm và các ước lượng trong luận văn này đều là thực, trừ khi được
đề cập cụ thể.
Giả sử u(x) là một hàm của x, khi đó
1/2

n

∇u(x) = ux (x) = (ux1 (x), ..., uxn (x)); |∇u| =

2

(uxi )

.

i=1

ν, µ, ε, δ, δk , θ, γ kí hiệu cho các hằng số dương.
ν(t), µ(t) lần lượt kí hiệu cho một hàm liên tục không tăng, không giảm đối
với t ≥ 0.
Một hàm u(x) được gọi là có giá compact trong Ω nếu nó triệt tiêu trong một
lân cận của biên của Ω. Giá của hàm đo được u(x) được định nghĩa bởi

suppu = {x ∈ Ω|∀ρ > 0 m{y ∈ Kρ (x) ∩ Ω|u(y) = 0} > 0}.
Điều kiện (A). Chúng ta nói rằng biên S của miền Ω (hoặc một phần S1
của nó) thỏa Điều kiện (A) nếu tồn tại hai số dương a0 và θ0 sao cho, đối với
mọi hình cầu tùy ý có tâm trên S (tương ứng, trên S1 ), bán kính ρ ≤ a0 và với
ˆ ρ của Ωρ = Kρ ∩ Ω, bất đẳng thức sau đây xảy ra
một phần liên thơng bất kì Ω
ˆ ρ ≤ (1 − θ0 )mesKρ .
mesΩ

1.1

Không gian Sobolev Wm (Ω)

1.1.1 Không gian Lm (Ω), 1 ≤ m < ∞
Lm (Ω) kí hiệu khơng gian Banach gồm tất cả các hàm u(x) đo được xác định
trên Ω và m - khả tích.

5


Chuẩn trên không gian này được xác định như sau
1/m

u

Lm (Ω)

m

|u| dx

=

.

Ω

Khi m = ∞, ký hiệu

L∞ (Ω) = {u : Ω → C|ess. max |u(x)| < +∞}
Ω

trong đó, ess. max |u(x)| = inf{M > 0|m{x ∈ Ω||u(x)| > M } = 0}.
Ω

Ở đây, tính đo được và tính khả tích được hiểu theo nghĩa Lebesgue. Các
phần tử Lm (Ω) là các lớp hàm tương đương trên Ω.

1.1.2 Không gian Wm (Ω); 1 ≤ m < ∞, ∈ Z+
Không gian Sobolev Wm (Ω) là không gian bao gồm các hàm suy rộng u(x) ∈
Lm (Ω) mà các đạo hàm suy rộng Dα u ∈ Lm (Ω), |α| ≤ .
Khí đó, chuẩn của u(x) ∈ Wm (Ω) được định nghĩa bởi
 

u

Wm (Ω)

|u|m +

=

1/m

|D(α) u|m  dx
|α|=1 (α)

Ω

trong đó,
α = (α1 , α2 , .., αn ) ∈ Z+n , |α| = α1 + α2 + ... + αn ,
α

Dα u = Dα1 1 Dα2 2 ...Dαnn u, Dj j =

∂ αj
α ,
∂xj j

j = 1, 2, ...

˚ (Ω); 1 ≤ m < ∞, ∈ Z+
1.1.3 Không gian W
m
˚ (Ω) với 1 ≤ m < +∞ là bao đóng của C ∞ (Ω) trong
Không gian Sobolev W
m
0
chuẩn của không gian Wm (Ω).
Kí hiệu:
˚m (Ω) = C ∞ (Ω)
W
0
6


Khi đó
˚m (Ω) = {u(x) : u(x) ∈ Wm (Ω), Dα u|S = 0; |α|
W

1.2

− 1}.

Không gian Holder

Cho Ω là một miền bị chặn ( giới nội ) trong Rn . Ta định nghĩa một số khơng
gian :

• Khơng gian C 0 (Ω), C k (Ω)
C 0 (Ω) = {u : Ω → C|u liên tục trên Ω}
C k (Ω) = {u : Ω → C|u khả vi liên tục đến cấp k}
¯ C k (Ω)
¯
• Khơng gian C 0 (Ω),
¯ là không gian các hàm liên tục trên Ω
¯ với chuẩn
C 0 (Ω)
|u|0,Ω = sup |u(x)|
Ω

¯ = {u(x) ∈ C 0 (Ω)
¯ : Dα u ∈ C 0 (Ω),
¯ ∀|α| ≤ k}
C k (Ω)
với chuẩn

|Dα u|0,Ω

|u|k,Ω¯ =
|α|≤k

k ∈ Z+ .
¯
• Khơng gian C 0,γ (Ω)

|u(x) − u(y)|
¯ = {u(x) ∈ C 0 (Ω); [u]
C 0,γ (Ω)

< +∞},
γ
(γ),Ω = sup
|x − y|
x,y∈Ω
x=y

với 0 < γ ≤ 1.
7


¯ được định nghĩa bởi
Chuẩn của C 0,γ (Ω)
|u|0,γ,Ω = |u|0,Ω + [u](γ),Ω .
¯
• Khơng gian C k,γ (Ω)

¯ = {u(x) ∈ C k (Ω) : [Dα u](γ),Ω < +∞, ∀|α| = k},
C k,γ (Ω)
¯ được định nghĩa bởi
Chuẩn của C k,γ (Ω)
[Dα u](γ),Ω .

|u|k,γ,Ω = |u|k,Ω +
|α|=k

¯
¯ O2 (Ω)
• Lớp hàm O1 (Ω),
¯ ⊂ O1 (Ω)

¯ ⊂ C 0,1 (Ω)
¯
C 1,0 (Ω)
¯ gồm tất cả các hàm u(x) thuộc C 0,1 (Ω)
¯ mà có vi phân cấp một tại
O1 (Ω)
¯ và |u|1,0,Ω là hữu hạn.
mọi điểm trên Ω
¯ gồm tất cả các hàm u(x) thuộc C 1,1 (Ω)
¯ mà các đạo hàm cấp một
O2 (Ω)
của nó có vi phân cấp một tại mọi điểm trên Ω.

1.3

Không gian Bm (Ω, M, γ, δ, 1q )

Bm (Ω, M, γ, δ, 1q ) là lớp tất cả các hàm u(x) trong Wm (Ω) với ess. max |u| ≤
Ω

M sao cho, với u(x) và −u(x), các bất đẳng thức sau xảy ra trong bất kì hình
cầu Kρ ⊂ Ω với bất kì σ ∈ (0, 1) :
|∇u|m dx ≤ γ
Ak,ρ−σρ

1
m(1− nq )

σmρ

m

max(u(x) − k)m + 1 mes1− q Ak,ρ
Ak,ρ

với k ≥ max u(x) − δ.
Kρ

8

(1.1)


Ak,ρ là tập các điểm x ∈ Kρ với u(x) > k và Kρ−σρ là một hình cầu đồng tâm
với Kρ . Chúng ta có thể giả sử bán kính của các hình cầu ρ trong (1.1), khơng
vượt q một số dương ρ0 nào đó.
Các tham số M, γ và δ là các số dương tùy ý, 1 < m ≤ n, q > n ≥ 2.
Ta có khẳng định sau :
Nếu trong một hình cầu Kρ , một hàm u(x) thỏa mãn bất đẳng thức


m
(u − k)m |∇ζ|m dx + (mesAk,ρ )1− q 


|∇u|m ζ m dx ≤ γ 
Ak,ρ

(1.2)

Ak,ρ

với k ≥ max u − δ và với một hàm trơn không âm tùy ý ζ(x) triệt tiêu trên
Kρ

mặt của Kρ , thì bất đẳng thức (1.1) xảy ra đối với Kρ và một hình cầu đồng
tâm tùy ý Kρ−σρ , ở đây σ ∈ (0, 1). Điều này đúng vì (1.1) theo sau (1.2) nếu
chúng ta chọn ζ là một hàm bằng đơn vị trong Kρ−σρ và thỏa mãn bất đẳng
thức |∇ζ| ≤ c/σρ.

1.4

Định lý Leray-Shauder

Mục này giới thiệu Nguyên lý Leray-Schauder về sự tồn tại điểm bất động
của một họ ánh xạ phụ thuộc tham số, xem [2].
¯ là một bao đóng của
Định lý 1.4.1. Giả sử H là một không gian Banach và M
một tập mở liên thông bị chặn M trong H. Giả sử E là tích Decartes của H và
khoảng đóng [0 ≤ τ ≤ 1], do đó các phần tử của E = H × [0, 1] là cặp sắp thứ
tự (v, τ ), với v ∈ H, τ ∈ [0, 1]. Đặt
¯1 = M
¯ × [0, 1].
M
Khi đó, phương trình
u = Φ(u, τ )
9

(1.3)

có ít nhất một nghiệm trong M với mọi τ ∈ [0, 1] nếu
1. Với mỗi τ cố định, ánh xạ Φ(u, ên (2.12) với ϕ(x) trong O2 (Ω).
25


chúng

∂ai ∂ai ∂ai
∂xi , ∂u , ∂pj

¯ |u| ≤ M = max |u(x)|, với p tùy
và hàm a(x, u, p), với x ∈ Ω,
Ω

ý, thỏa các điều kiện
n
m−2

ξi2

ν(1 + |p|)

i=1

∂ai (x, u, p)
ξi ξj ≤ µ(1 + |p|)m−2
≤
∂pj

n

ξi2 .
i=1

∂ai (x, u, p)
∂ai (x, u, p)
pi +
+ a(x, u, p) ≤ µ(1 + |p|)m
∂u
∂xi
với các hằng số dương ν, µ, m nào đó và S ∈ O2 . Khi đó max |u(x)| bị chặn trên
S

bởi một hằng số chỉ phụ thuộc vào m, µ, ν, M, |ϕ|2,0,Ω , và các giá trị tuyệt đối
cực đại của đạo hàm cấp hai của các hàm xác định trên biên S.
Bổ đề 2.4.2. Giả sử rằng các điều kiện (2.18) và (2.19) được thỏa đối với
ai (x, u, p), a(x, u, p), và rằng u(x) là một nghiệm suy rộng bị chặn của bài tốn
(2.1), (2.12). Giả sử tích phân (2.20) trên Ω là hữu hạn đối với u(x). Nếu
|ϕ|2,0,Ω < ∞, nếu max |∇u| = M2 < ∞ và nếu S ∈ O2 , thì max |∇u| bị chặn bởi
S

Ω

một hằng số phụ thuộc vào m, M, ν(M ), µ(M ) trong (2.18) và (2.19), vào M2 ,
vào |ϕ|2,0,Ω , vào biên S và đại lượng
n

(1 + |∇u|)

m−2

u2xi xj dx.
i,j=1

Ω

Nếu chỉ một phần S1 của biên S thuộc O2 , nếu max |∇u| = M2 < ∞, và nếu
S1

|ϕ|2,0,Ω1 < ∞, với Ω1 là một miền con của Ω, thì đại lượng max |∇u| không vượt
Ω2

quá một hằng số chỉ phụ thuộc vào m, M, ν(M ), µ(M ) trong (2.18) và (2.19),
vào M2 , vào M2 , |ϕ|2,0,Ω1 , và đại lượng
n

(1 + |∇u|)

m−2

u2xi xj dx,
i,j=1

Ω1

26


ở đây Ω2 là một miền con tùy ý của Ω1 nằm trên một khoảng cách dương d từ

phần của biên của Ω1 thuộc vào Ω.
Từ Bổ đề 2.4.1 và Bổ đề 2.4.2, chúng ta sẽ đưa ra một đánh giá cho gradient
của nghiệm suy rộng trên toàn miền.
¯ |u| ≤ M, p
Định lý 2.4.1. Giả sử các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p), với x ∈ Ω,
tùy ý, thỏa các bất đẳng thức (2.18) và (2.19). Giả sử S ∈ O2 . Cuối cùng, giả sử
u(x) có các tính chất đã nêu trong Bổ đề 2.4.1, rằng nó thỏa phương trình (2.1),
và rằng nó thỏa điều kiện u|S = ϕ(s), ϕ(x) ∈ O2 (S), trên S. Khi đó max |∇u(x)|
Ω

bị chặn trên bởi một hằng số M1 chỉ phụ thuộc vào M, m, µ(M ) và ν(M ) trong
(2.18) và (2.19), vào |ϕ|2,0,S , vào biên S và vào đại lượng
n

(1 + |∇u|)

m−2
i,j=1

Ω

2.5

u2xi xj dx.

Đạo hàm cấp hai của nghiệm suy rộng

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các nghiệm suy rộng bị chặn của
phương trình (2.1) có các đạo hàm cấp hai suy rộng và tích phân (2.20) có thể
chặn được theo các hằng số đặc trưng hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p), biên S và đại

lượng ess. max |u(x)|. Giả sử rằng các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p) thỏa các điều
kiện (2.18) và (2.19).
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc tìm một chặn đầu cho tích phân (2.20), giả
sử u(x) có các đạo hàm dạng uxi xj trong L1 (Ω) và rằng tích phân (2.20) là hữu
hạn. Đối với một miền trong tùy ý Ω của miền Ω, chặn như thế đã được cho
trong phần 3 của chương này.
Chúng ta sẽ chứng minh nó cho các miền con của Ω mà gần kề với biên S.
27


Lấy một phần tùy ý S1 của biên S và giả sử rằng u|S1 = 0. Chúng ta xét tọa độ
y = y(x) trong một lân cận của S1 mà phương trình cho S1 có dạng yn = 0, và
các hàm ∂ 2 y/∂xi ∂xj bị chặn. Chúng ta đặt
∂ξα (y)
,
∂yα

η=

trong đồng nhất thức (2.4), ở đây ξα (y) là thời điểm một hàm trơn khác khơng
có giá compact Ω gần tới S1 . Chúng ta tích phân từng phần số hạng đầu, chuyển
∂
∂yα

thành nhân tử đầu. Điều này cho ta

ai

∂
∂xi

∂ξα
∂yα

−a

∂ξα
dx =
∂yα

Ω

ai

∂ 2 ξα ∂yk
∂ξα
−a
Jdy
∂yα ∂yk ∂xi
∂yα

Ω

dai ∂ξα
∂ξα ∂ 2 yk
∂ξα ∂J
∂ξα
J + ai
J + ai
+a

J dy = 0,
dyα ∂xi
∂yk ∂xi ∂yα
∂xi ∂yα
∂yα

=−

(2.27)

Ω

ở đây,

∂(x1 , ..., xn )
.
∂(y1 , ..., yn )

J = Det

Tích phân cuối trong (2.27) sẽ hữu hạn nếu thay ξα bởi uyα ζ 2 , α = n và ζ(y)
là một hàm trơn có giá compact nhận giá trị trong [0, 1] trên mặt cầu Kρ có
tâm trên S1 mà khơng giao với S\S1 .
Với ρ đủ nhỏ, Ωρ = Kρ ∩ Ω, chúng ta có một chặn cho tích phân
n

=−

(1 + |∇u|)
Ωρ

u2yi yj + (1 + |∇u|)m+2 ζ 2 Jdy,

m−2
i,j=1

bởi các hằng số đã biết là M, m, ν(M ), µ(M ), chuẩn của S trong O2 , |u|α,Ω và
u

1 (Ω) .
Wm

28


Do đó, chúng ta vừa thu được một chặn đầu cho tích phân (2.20) dưới giả
thiết rằng nghiệm suy rộng bị chặn u(x) của phương trình (2.1) có đạo hàm cấp
hai suy rộng và rằng các tích phân trong (2.20) là hữu hạn. Chúng ta sẽ chứng
minh rằng cả hai giả thiết này được kiểm chứng cho tất cả các nghiệm suy rộng
bị chặn nếu, ngoài các điều kiện (2.18) và (2.19), chúng ta giả sử hàm a(x, u, p)
khả vi và rằng các ai , a thỏa bất đẳng thức
n

i,k=1

∂ai (x, u, p)
(1 + |p|) +
∂xk
n

+
i=1

n

i=1

∂a(x, u, p)
∂a(x, u, p)
(1 + |p|) +
∂pi
∂u

∂a(x, u, p)
≤ µ1 (|u|)(1 + |p|)m
∂xi

(2.28)

1
˚m
Với một hàm bị chặn tùy ý η trong W
(Ω) chúng ta có phương trình

dai
+ a ηdx = 0,
dxi
Ω

từ đây suy ra u(x) thỏa Phương trình (2.1) hầu khắp nơi trong Ω.

Như vây, với một nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý của phương trình (2.1),
chúng ta vừa chứng minh sự tồn tại của đạo hàm cấp hai suy rộng và đã thu
được một chặn cho tích phân (2.20) đối với một miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω. Dưới các
giả thiết phù hợp đối với tính trơn của S và ϕ (chẳng hạn, nếu chúng ta giả sử
¯ tích phân (2.20) là hữu hạn trên toàn miền Ω.
S ∈ O2 và ϕ ∈ O2 (Ω)),
Chúng ta tóm tắt lại các vấn đề đã trình bày ở phần này dưới hai định lý
sau:
Định lý 2.5.1. Giả sử các điều kiện (2.18) và (2.19) được thỏa đối với ai và
a. Giả sử nghiệm suy rộng bị chặn u(x) của phương trình (2.1) có đạo hàm
cấp hai suy rộng trong Ω và các tích phân (2.20) là hữu hạn trên toàn miền Ω
29


đối với nghiệm này. Khi đó, các giá trị của các tích phân này trên một miền
con tùy ý Ω ⊂⊂ Ω không vượt quá một số xác định bởi các hằng số M =
ess. max |u(x)|, m, µ(M ) và ν(M ) trong (2.18) và (2.19), bởi khoảng cách từ Ω
Ω

tới S.
¯ thì các
Thêm vào đó, nếu S ∈ O2 và u(x)|S = ϕ(x)|S , ở đây ϕ(x) ∈ O2 (Ω),
giá trị của các tích phân (2.20) trên tồn miền Ω không vượt quá một hằng số chỉ
xác định bởi các M, m, µ(M ) và ν(M ) trong (2.18) và (2.19), bởi chuẩn |ϕ|2,0,Ω ,
và bởi biên của S.
Từ các Định lý 2.3.1 và 2.5.1, chúng ta có
Định lý 2.5.2. Giả sử các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p) là khả vi và chúng thỏa
¯ |u| ≤ M, và p tùy ý. Khi đó,
các điều kiện (2.18), (2.19) và (2.28) với x ∈ Ω,
nghiệm suy rộng bị chặn tùy ý u(x) của (2.1) với ess. max |u| = M thuộc lớp

Ω

W22 (Ω ), ở đây Ω là một miền con tùy ý nằm trong Ω; nghiệm u(x) thỏa phương
trình (2.1) hầu khắp nơi trong Ω; và ess. max |∇u| của nó hữu hạn và khơng vượt
Ω

quá một hằng số chỉ phụ thuộc vào M, m, µ(M ), ν(M ) và µ1 (M ) trong (2.18) và
(2.19), và bởi khoảng cách từ Ω tới S.

2.6

Đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm các cấp của
nghiệm suy rộng ( |u| ,α,Ω , ≥ 1 )

Giả sử rằng nghiệm u(x) của (2.1) thuộc lớp W22 (Ω) với đạo hàm cấp một bị
chặn. Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đạo hàm liên tục theo nghĩa Holder khi phương
trình (2.1) là elliptic tại u(x), tức là nếu bất đẳng thức sau được thỏa mãn

∂ai (x, u(x), ux (x))
ξi ξj ≥ ν
∂uxj
30

n

ξi2 ,
i=1

ν > 0.

(2.29)


Nó là đủ để giả sử rằng các hàm ai (x, u, p) là khả vi tương ứng với các
argument x, u, p, rằng hàm a(x, u, p) là đo được, và rằng

max
x∈Ω

∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai
,
,
, a ≤ µ1 < ∞,
∂uxj
∂u
∂xj

(2.30)

với i, j = 1, ..., n.
Chúng ta thu được định lí sau đây với β = min{α, q−n
q }.
Định lý 2.6.1. Giả sử nghiệm u(x) của (2.1) với thuộc lớp W22 (Ω), tức là nó có
¯ Giả sử rằng các điều kiện (2.29) và (2.30)
các đạo hàm cấp 1 bị chặn trong Ω.
được thỏa cho ai và a. Khi đó, các đạo hàm uxi , i = 1, ..., n, thuộc lớp C 0,α (Ω)
với mũ α > 0 chỉ phụ thuộc vào max |∇u| và các hằng số ν, µ1 trong các điều
Ω

kiện (2.29) và (2.30). Chuẩn |u|1,α,Ω bị chặn trong miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω theo các

đại lượng này và khoảng cách từ Ω tới S.
Thêm vào đó, nếu u(x) thỏa điều kiện biên (2.12) với ϕ(x) ∈ Wq2 (Ω), q > n,
và nếu S ∈ O2 , thì các đạo hàm uxi , i = 1, ..., n, là liên tục theo nghĩa Holder
¯ với mũ β > 0. Ở đây, β và u
trong miền đóng Ω
M1 , ν, µ1 , q, ϕ

Wq2 (Ω) ,

1,β,Ω

chỉ phụ thuộc vào

và biên S.

Chú ý: Chúng ta thấy rằng, có thể giảm điều kiện (2.30) đối với ai và a. Đặc
biệt, chúng ta có thể giả sử rằng

∂ai (x, u(x), ux (x)) ∂ai
,
,a
∂u
∂xj

≤ µ1 < ∞,

(2.31)

Lq (Ω)

với q > n và i, j = 1, ..., n. Từ các Định lí 2.6.1 và 2.5.1 chúng ta có
Định lý 2.6.2. Giả sử nghiệm suy rộng bị chặn u(x) của (2.1) có các đạo hàm
¯ |u| ≤ M = max |u(x)| và |p| ≤ M1 = max |∇u(x)|, các hàm
bị chặn. Với x ∈ Ω,
Ω

Ω

31


ai (x, u, p) và a(x, u, p) là khả vi tương ứng với x, u, p, rằng các hàm này và các
đạo hàm cấp một của chúng bị chặn bởi một hằng số µ1 , và rằng ai (x, u, p) thỏa
điều kiện về tính elliptic

∂ai (x, u, p)
ξi ξj ≥ ν
∂pj

n

ξi2 ,

ν > 0.

i=1

Khi đó, u(x) thuộc lớp C 1,α (Ω ) ∩ W22 (Ω ) với miền tùy ý Ω ⊂ Ω và các chuẩn
trong cả C 1,α (Ω ) và W22 (Ω ) đều bị chặn theo M, M1 , ν, µ1 và khoảng cách từ Ω
tới S.

¯ ∩ W 2 (Ω). Giả
Định lý 2.6.3. Giả sử u(x) là nghiệm của (2.1) trong lớp C 0,1 (Ω)
2
sử (2.1) tại u(x) là elliptic (tức là (2.29) được thỏa). Giả sử rằng

ai (x, u, p) ∈ C
ở đây

−1,β

(M) và a(x, u, p) ∈ C

−2,β

(M),

¯ |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } với M, M1 như ở trong Định lý
≥ 2 và M = {x ∈ Ω,

2.6.2.
Khi đó u(x) thuộc lớp C

,β

(Ω), và với miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω, chuẩn |u| ,β,Ω

bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc theo M, M1 , |ai | −1,β,M , |a| −2,β,M , ν và
khoảng cách từ Ω tới S. Thêm nữa, nếu

S∈C

,β

và u|S ∈ C

,β

(S),

thì chuẩn |u| ,β,Ω bị chặn bởi một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hằng số M, M1 ,
|ai | −1,β,M , |a| −2,β,M , ν, chuẩn |u| ,β,S và biên S.
Như vậy là, từ phần 2.1 đến 2.6, chúng ta đã trình bày một số kết quả cho
các nghiệm suy rộng bị chặn của Phương trình (2.1).

32


Trong phần 2.1, chúng ta đã chứng tỏ rằng nghiệm suy rộng bị chặn u(x)
trong lớp Wm1 (Ω) liên tục theo nghĩa Holder. Chúng ta cũng đã đưa ra các bao
chặn cho các chuẩn Holder của u(x) đối với các miền trong Ω ⊂⊂ Ω và cho toàn
miền.
Trong phần 2.3, chúng ta đã chứng tỏ rằng, đối với các nghiệm có các tích
phân (2.20) hữu hạn trên miền Ω ⊂⊂ Ω, đại lượng max |∇u| bị chặn trong một
miền tùy ý Ω nằm trong Ω . Từ đây dẫn tới, trong trường hợp đặc biệt, ta
có u(x) thuộc W22 (Ω ). Thêm nữa, Định lý 2.6.1 chỉ ra rằng các nghiệm thuộc
W22 (Ω ) trên miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω và có các đạo hàm cấp một bị chặn
sẽ thuộc lớp C1,β (Ω ) nếu các điều kiện (2.29) và (2.30) được thỏa. Cuối cùng,
Định lý 2.6.3 đã chứng tỏ rằng các nghiệm này là trơn hơn, và trên thực tế,
thuộc lớp C ,α (Ω ) với

≥ 2, nếu các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p) có tính trơn

phù hợp.
Trong phần 2.5, chúng ta đã chứng minh các điều kiện để cho một nghiệm
suy rộng bị chặn có các đạo hàm cấp hai suy rộng và các tích phân (2.20) trên
miền tùy ý Ω ⊂⊂ Ω (hoặc là trên toàn miền) là bị chặn đối với các đạo hàm
này.

2.7

Độ lớn của nghiệm suy rộng trên toàn miền

Chúng ta đã chứng tỏ rằng các nghiệm suy rộng bị chặn của phương trình
(2.1) có các tính chất cơ bản của các nghiệm cổ điển của phương trình elliptic,
đặc biệt, chúng duy nhất trong khoảng nhỏ, và các tính chất khả vi để làm tăng
tính trơn của các hàm ai (x, u, p) và a(x, u, p), nó là cần và đủ để đặt ra các hạn
chế kiểu (2.2), (2.3) về bậc tăng trưởng của ai (x, u, p) và a(x, u, p), tương ứng

33


với |p| và |p| → ∞.
Nếu chúng ta xét các lớp nghiệm rộng hơn, chẳng hạn, các nghiệm trong
Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), với q ≥

mn
n−m , m

≤ n, khi đó điều kiện nghiệm duy nhất trong

khoảng nhỏ địi hỏi phải có thêm các hạn chế chặt chẽ về bậc tăng trưởng của ai
và a theo |p|. Với các nghiệm u(x) trong Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), các hạn chế này như
sau.
Giả sử rằng ai và a thỏa các bất đẳng thức

ai (x, u, p)pi ≥ ν1 (|u|)|p|m − (1 + |u|)α1 )ϕ1 (x),

sign(u) · a(x, u, p) ≤ (1 + |u|)α2 )ϕ2 (x) + (1 + |u|)α3 )ϕ3 (x)|p|m−ε .

(2.32)

(2.33)

Đơn giản hóa, chúng ta có thể giả sử rằng ν1 là một hằng số dương. Khi đó, các
đại lượng α1 , ϕi và ε phải thỏa mãn các điều kiện
• (1)

n
n+q

≤ ε ≤ m;

• (2) ϕi ∈ Lri (Ω),
r1 , r2 >

n
m ; r3

>

i = 1, 2, 3,




n
ε

với ε ≥ 1,




nq
qε+n(ε−1)

với ε < 1;

• (3) 0 ≤ α1 < m n+q
n −

q
r1 ,

0 ≤ α2 < m n+q
n −1−

q
r2 ,

0 ≤ α1 < ε n+q
n −1−

q
r3 .

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng các giả thuyết này là đủ để các nghiệm suy rộng
trong Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω) là bị chặn và do đó để tất cả các định lý trong các phần

34


2.1-2.6 có thể áp dụng được cho các nghiệm như thế. Chứng minh của định lí
sau đây cơ bản dựa trên Định lý 2.5.1.
Định lý 2.7.1. Giả sử u(x) là các nghiệm suy rộng trong

Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω), n ≥ m > 1, q ≥ q ∗ =

nm
,
n−m

của phương trình (2.1) và giả sử rằng

ess. max |u| = M0 < ∞.
S

Giả sử các điều kiện (2.32), (2.33) được thỏa cho các ai (x, u, p) và a(x, u, p), và
rằng trong các bất đẳng thức đó, các tham số ε và αi (i = 1, 2, 3) và các hàm
ϕi (i = 1, 2, 3) thỏa các điều kiện (1)-(3). Khi đó, ess. maxΩ |u| bị chặn bởi một

biểu thức theo u

Lq (Ω) , M0 , ν1 , ε, αi ,

ϕ

Lri (Ω) , i

= 1, 2, 3, mesΩ.

Như đã đề cập, Định lý 2.7.1 cho phép chúng ta áp dụng tất cả các định lý
trong các phần 2.1-2.6 cho một nghiệm suy rộng tùy ý trong Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω).
Đặc biệt, nếu các giả thiết của Định lý 2.7.1 được thỏa mãn và nếu ai và a
thỏa mãn các bất đẳng thức (2.13) và (2.14), khi đó định lý về tính duy nhất
trong khoảng nhỏ cũng đúng cho các nghiệm của phương trình (2.1) trong lớp
Wm1 (Ω) ∩ Lq (Ω). Chúng ta đi tới kết quả sau:
Định lý 2.7.2. Giả sử các hàm u(x), ai và a thỏa mãn các điều kiện trong Định
lí 2.7.1, khi đó u(x) liên tục theo nghĩa Holder với mũ α > 0 trong miền Ω, số
mũ này được xác định theo các đại lượng giống như ess. max |u| trong Định lý
Ω

2.7.1.
Với miền túy ý Ω ⊂⊂ Ω chuẩn |u|α,Ω bị chặn theo các đại lượng tương tự và
khoảng cách từ Ω đến S. Nếu thêm vào đó, S thỏa mãn điều kiện (A) và u|S
35


thuộc lớp C β , thì |u|α,Ω , với α ≤ β, là bị chặn theo các hằng số trong các điều
kiện của Định lý 2.7.1, các hằng số a0 và θ0 , β, mesΩ và các chuẩn |u|β,S và
u

Lq (Ω) .

Giá trị của khẳng định này được trực tiếp suy ra từ các Định lý 2.7.1 và 2.1.1
trong trường hợp các hàm ϕi , i = 1, 2, 3, (trong các điều kiện của Định lý 2.7.1)
là bị chặn. Trong trường hợp tổng quát, chúng ra mới chỉ chứng minh rằng u có
ess. maxΩ |u| bị chặn. Tuy nhiên, bằng các lập luận tương tự như trong chứng
minh của Định lý 2.1.1, chúng ta có thể dễ dàng chứng tỏ rằng u thuộc lớp
Bm (Ω, M, γ, δ, q11 ) với

q1 = min{mr1 , mr2 , εr3 } > n.
Trên cơ sở của các Định lý 2.6.1 và 2.7.1, điều này chứng minh giá trị của các
khẳng định trong Định lý 2.7.2.

2.8

Tính giải được của bài tốn Dirichlet

Trong phần này, chúng ta nghiên cứu vấn đề về tính giải được của bài tốn
Dirichlet đối với các phương trình dạng

Lu ≡

d
(ai (x, u, ux )) + a(x, u, ux ) = 0
dxi

(2.34)

trong một miền túy ý Ω.

Các nghiệm của phương trình (2.34) mà chúng ta đang tìm phải thỏa trên
biên S của miền Ω điều kiện sau

u|s = ϕ(x)|S .
36


Xét bài toán
n

L0 u ≡
i=1

∂
∂xi

|

∂u m−2 ∂u
|
∂xi
∂xi

=0

(2.35)

u|S = 0
∂u m−2 ∂u
hệ số, ˚

ai = | ∂x
|
∂xi ,
i

˚
a=0

Bài toán (2.35) được chỉ ra là luôn tồn tại hữu hạn nghiệm.
Xét phương trình

Lτ u ≡ (1 − τ )L0 u + τ Lu,

τ ∈ [0, 1]

Ở đây,
ai (x, u, ux , τ ) = (1 − τ )˚
ai + τ ai
a(x, u, ux , τ ) = τ a
Tương ứng bài toán Dirichlet

Lτ (u) = 0
u|S = τ ϕ|S,

(2.36)

τ ∈ [0, 1]

Ta sẽ chứng minh bài tốn (2.36) có nghiệm với mọi τ ∈ [0, 1].
Việc chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (2.36) dựa vào nguyên lý

Leray-Schauder.
Trong Leray-Schauder, trước hết ta đi xây dựng ánh xạ Φ(v, τ ).
Xét bài tốn tuyến tính
∂ai (x, v, vx , τ )
wxi xj + A(x, v, vx , τ ) = 0, w|S = τ ϕ|S,
∂vxj

37

(2.37)


với A(x, v, vx , τ ) = a(x, v, vx , τ ) +

∂ai (x, v, vx , τ )
∂ai (x, v, vx , τ )
vxj +
,
∂v
∂xj

Tìm ánh xạ Φ(v, τ ) bằng cách từ một hàm v(x) đã biết ta đi tìm w(x) là
nghiệm của phương trình (2.37).
Tìm w(x) bằng cách giải bài tốn Dirichlet cho phương trình (2.37).
Bài tốn tuyến tính (2.37) đã được chỉ ra là có tồn tại nghiệm. ( Theo chương
3 của [1] )
Nó xác định một toán tử phi tuyến
Φ(v, τ ) = w(x),
Các điểm bất động tương ứng với ánh xạ Φ(v, τ ) là các nghiệm của bài toán
(2.36). Bài toán (2.36)tương đương với việc xác định nghiệm của phương trình

u = Φ(v, τ ).

(2.38)

Các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chứng tỏ rằng, đối với các chặn tiên nghiệm như
vậy cho u(x, τ ), chúng ta cần yêu cầu rằng các hàm ai (x, u, p, τ ) và a(x, u, p, τ )
¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p tùy ý:
thỏa các bất đẳng thức sau cho x ∈ Ω,

n
2

ν(1 + |p| )

m−2
2

ξi2
i=1

|a(x, v, p, τ )| + |

m−2
∂ai (x, v, p, τ )
≤
ξi ξj ≤ µ(1 + |p|2 ) 2
∂pj

n

ξi2 ,
i=1

1
m
∂ai
∂ai
| + |ai | (1 + |p|2 ) 2 + |
| ≤ µ(1 + |p|2 ) 2
∂u
∂xj

(2.39)
ở đây µ và ν là các hằng số dương và m > 1. Khi các điều kiện này được thỏa
mãn, theo các Định lý 2.4.1 và 2.6.1 chúng ta có
38


n

max |∇u(x, τ )| ≤ M1 ,
Ω

|uxi |β,Ω ≤ M2 ,

(2.40)

i=1

ở đây các hằng số M1 , M2 và β chỉ được xác định bởi các đại lượng n, M, m, ν
và µ trong (2.39).
Định lý 2.8.1. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và p tùy ý, các hàm ai (x, u, p, τ ) và
(a) Với x ∈ Ω,
a(x, u, p, τ ) đo được và các hàm ai (x, u, p, τ ) là khả vi theo x, u, p và chúng thỏa
các bất đẳng thức (2.39).
¯ |u| ≤ M, τ ∈ [0, 1] và |p| ≤ M1 (với M1 là hằng số trong
(b) Với x ∈ Ω,
(2.40)), được xác định bởi Định lý 2.4.1), các hàm

ai ,

∂ai ∂ai ∂ai
,
,
,
∂pj ∂u ∂xj

và a

là liên tục theo x, u, p và τ , đồng thời thỏa mãn điều kiện Holder theo x, u, p với
mũ α > 0 đều theo τ ∈ [0, 1].
(c) Các hàm

ai (x, u, p, τ ), a(x, u, p, τ ) và

∂ai ∂ai ∂ai
,
,

∂pj ∂u ∂xj

¯ |u| ≤ M, |p| ≤ M1 } là liên tục đều theo
với tư cách là các hàm của C 0,α {x ∈ Ω,
tham số τ ∈ [0, 1].
¯ và ϕ ∈ C 2,α (Ω).
¯
(d) S ∈ C 2,α (Ω)
Các điều kiện này đảm bảo cho các đánh giá tiên nghiệm bên trên áp dụng
được.

39