Chuyên đề số chính phươngg

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Định nghĩa : Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên
2
2
Vd: 4  2 ;16  4

2. Các tính chất của số chính phương
a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận
cùng là 2, 3, 7, 8
Như vậy để chứng minh một số khơng phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là
2, 3, 7, 8
b. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn,
không chứa TSNT với số mũ lẻ
2
4 2 2
Vd: 3600  60  2 .3 .5

� Để chứng minh một số khơng phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ

lẻ
2
c. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n + 1 ( a �0,1(mod 3) ) khơng có
SCP nào có dạng 3n + 2 ( n �N )
2
d. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n + 1 ( a �0,1(mod 4) ) khơng có
SCP nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 ( n �N )

e. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ
thì đó là số chính phương
f. Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2
g. Nếu a.b là SCP và (a,b) = 1 � a, b đều là các số chính phương

1


h. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49, …)
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ
*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
- Ta Biến đổi để đưa số đó về bình phương của một số tự nhiên
4
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A  ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y

Là một số chính phương
Lời giải
2
2
2
2
4
4
3
2 2
3
4
Cách 1: A  ( x  5 xy  4 y )( x  5 xy  6 y )  y  x  10 x y  35 x y  50 xy  25 y

 ( x 2  5 xy )2  2.( x 2  5 xy ).5 y 2  (5 y 2 ) 2  ( x 2 5 xy  5 y 2 ) 2
2
2
2
2
Vì x, y, z �Z � x ,5 xy,5 y �Z � x  5 xy  5 y �Z � A là số chính phương
2
2
2
2
4
2
2
2 2
Cách 1: Đặt x  5 xy  4 y  t (t �Z ) � A  (t  y )(t  y )  y  t  ( x  5 xy  5 y ) (dpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them 1 ln là số chính
phương
Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3 ( n �Z )
2
2
Ta có: n(n  1)(n  2)(n  3)  1  (n  3n  1) (dpcm)

Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là SCP
2


Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2)

2
2
2
2
2
2
2
Ta có: (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2)  5n  10  5( n  2)

Vì n2 là số chính phương nên n khơng thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 không
2
chia hết cho 5, hay 5(n  2) khơng phải là số chính phương.

Bài 4: Cho hai số chính phương liên tiếp. CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là
một số chính phương lẻ
Lời giải
2
Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và (a  1) (a �Z )

Theo bài ra ta có:
a 2  (a  1) 2  a 2 (a  1) 2  a 4  2a 3  3a 2  2a  1  (a 4  2a 3  3a 2 )  (a 2  2a  1)  (a 2  a ) 2  2(a 2  a )  1

 (a 2  a  1) 2 là SCP lẻ vì a 2  a  a(a  1) là số chẵn � a 2  a  1 là số lẻ

Bài 5: Chứng minh rằng số n2 + 2014 với n nguyên dương không phải là số chính phương
Lời giải
Giả sử n2 + 2014 là số chính phương
2
2
2

2
Đặt n  2014  k � k  n  2014 � (k  n)(k  n)  2014

Ta có (k  n)  (k  n)  2n chẵn � k  n; k  n cùng tính chất chẵn lẻ � k ; n cùng tính chẵn lẻ
Mặt khác ta lại có : (k  n)(k  n)  2014 � k  n; k  n đều chia hết cho 2 hay (k  n)(k  n)M4
Mà 2014M4 � (k  n)(k  n) �2014 � khơng có số ngun dương nào của n để là SCP.
6
4
3
2
Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n  n  2n  2n , n �N , n  1 khơng phải SCP

Lời giải
Ta có :
2
3
2
n 6  n 4  2n3  2n 2  n 2 (n 4  n 2  2n  1)  n 2 �
n 2 (n  1)(n  1)  2(n  1) �
�
� n (n  1)(n  n  2)

3


2
2
2
2
 n 2 (n  1) �

( n3  1)  ( n 2  1) �
(n  1)(n 2  n  1)  ( n  1)(n  1) �
�
� n (n  1) �
�
� n ( n  1) (n  2n  2)
2
2
2
Ta đi chứng minh n  2n  2 khơng phải số chính phương ( dựa vào n  A  (n  1) )

Ta có :
n 2  2n  2  (n  1) 2  1  (n  1) 2 ; n 2  2n  2  n 2  2(n  1)  2 � (n  1) 2  n 2  2n  2  n 2 � n 2  2n  2

Không phải số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ khơng phải là SCP
Lời giải

Vì a, b là hai số lẻ, ta đặt

a  2k  1
�
(k , m �N ) � a 2  b 2  4(k 2  k  m 2  m)  2  4t  2(t �N )
�
b  2m  1
�

2
2
2

Khơng có số chính phương nào dạng 4t  2(t �N ) � a  b không phải số chính phương

Bài 8: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau cịn chữ số hàng đơn vị
đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số CP
Lời giải
Cách 1: Ta đã biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ
Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9
Khi đó tổng của chúng là : 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của
a là 4 hoặc 6 nên aM2 � aM4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96
Do đó ta có : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
2
3
4
20
Bài 9: Cho A  2  2  2  ...  2 . CMR : A + 4 khơng là số chính phương

Lời giải
A  22  23  24  ...  220 � 2 A  23  24  ...  221 � 2 A  A  A  221  2 2 � A  4  221  2.(210 ) 2

Khơng phải là số chính phương
4


1
2
100
b. Cho B  3  3  ...  3 . CMR : 2B + 3 không là số chính phương

Lời giải
B  31  32  ...  3100 � 3B  32  33  ...  3100 � 2 B  3  3101  3.(350 ) 2 � dpcm

Bài 10: Chứng minh rằng

A  11...155...56
{ {
n 1

n

là số chính phương

Lời giải
n 1
A  11...1.10
 55...5.10
6 
{
{
n 1

A

n

99...9 n 1
10 n 1  1 n 1 5(10 n  1)
.10  55...5.10


6

.10 
.10  6
{
9
9
9
n

102 n  2  10n1  5.10 n1  50  54 102 n 2  4.10n1  4 10n1  2 2

(
)
9
9
3

b. Chứng minh rằng

B  11.....1122....225
14 2 43 14 2 43
1997

1998

là số chính phương

Lời giải
1

2
1999
B  11.....11.10
 22...22.10
 5  (101997  1).101999  (101998  1).10  5
14 2 43
123
9
9
1997
1998
100...005
2
14 2 43
1 3996
1 1998
�
1998
2�
 (10  2.5.10  25)  � (10  5) �  ( 1997 ) 2
9
3
3
�
�

c.

A  11....1
{  44....4

123  1
2 nchuso1

nchuso 4

là số chính phương

Lời giải
Ta có :

1

101  1
102  1
103  1
;11 
;111 
9
9
9

102 n  1 4(10n  1)
10 2 n  4.102  4 10n  2 2
A

1 
(
)
9
9

9
3
n
Vì 10 2M3 � A là số chính phương

10n  8 2
A  11....1
{  11...1
{  66....6
123  8  ( 3 )
2
n
n

1
n
d.
5


2.10 n  7 2
A  44....4
)
{ 7 (
123  22....2
123  88....8
3
n
2
n

n

1
e.

Bài 11: Cho S  1.2.3  2.3.4  3.4.5  ...  k (k  1)(k  2) . CMR: 4S + 1 là số chính phương
Lời giải
Ta có:
k ( k  1)( k  2) 

�S 

1
1
1
k (k  1)( k  2)  (k  3)  (k  1)   k ( k  1)(k  2)(k  3)  ( k  1)k (k  1)(k  2)
4
4
4

1
k (k  1)( k  2)( k  3) � 4 S  1  k ( k  1)( k  2)( k  3)  1  ......
4

Bài 12: Khó. Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm
số 15 vào chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh rằng mọi số của dãy
đều là số chính phương
Lời giải
Trong mỗi số của dãy trên, số chữ số 5 ln ít hơn số chữ số 1 là một chữ số
Đặt

A  11...11.
1 2 3 55...55
123

n.chu .so.1 n 1.chu .so.5

Thật vậy, đặt

thuộc dãy số trên. Ta sẽ chứng minh A là số chính phương

n
a  11..11
{ � 10  9a  1
n.chu . so.1

Ta có:
n
n
2
2
A  11.11
 5.11...11
{ .10  5. 11...11
1 2 3 .10  5  1  11...11.10
123
1 2 3  1  a(9a  1)  5a  1  (3a  1)  33...33
123 4
n.chu . so.1

n 1.chu . so.1

n.chu . so.1

n 1.chu .so.3

n.chu .so.1

Vậy A là số chính phương.
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
2
a. n  2n  12
2
d. n  n  1598

b. n(n  3)

c*. 13n  3

2
e. [ HSG – BG – 2013] n  4n  2013 f. [ HSG – LĐ – 2015]

n 2  2n  18

Lời giải
6


2

2
2
2
2
2
a. Đặt n  2n  12  k (k �N ) � (n  2n  1)  k  11 � k  (n  1)  11

� (k  n  1)(k  n  1)  1.11  (1).(11)

Ta lại có: k  n  1  k  n  1

+) TH1:

k  n  1  11 �
k  n  10
k 6
�
�
��
��
(tm)
�
k

n

1

1
k


n

2
n

4
�
�
�

+) TH2:

k  n  1  1
k  6
�
�
��
(loai )
�
k  n  1  11 �
n4
�

Vậy n = 4
2
2
2
2
2

2
2
b. n( n  3)  a � 4n  12n  4a � 4n  12n  9  4a  9 � (2n  3)  4a  9

� (2n  3  2a )(2n  3  2a)  9

+) TH1:

2n  3  2 a  9
n 1
�
�
��
(tm )
�
2n  3  2 a  1
a2
�
�

+) TH2:

2n  3  2a  1
n  4
�
�
��
(loai )
�
2n  3  2a  9

a2
�
�

Vậy n = 1
2
2
13
c. Đặt 13  3  y ( y �N ) � 13( n  1)  y  16 � 13(n  1)  ( y  4)( y  4) � ( y  4)( y  4) M

mà
y  4M
13 �y  13k  4
�
13 
��
������
(k
y  4M
13 �
�
�y  13k  4

Vậy n  13k �8k  1(k �N )

N)

13( n 1)

(13k

4) 2 16 13k (13k 8)

thì 13n + 13 là số chính phương

2
2
2
2
2
2
d. n  n  1598  m (m �N ) � (4n  4n  1)  6355  4m � (2n  1)  6355  m

(2m  2n  1)(2m  2n  1)  6355  6355.1  155.41  271.5  205.31

Ta có: 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 và là các số lẻ nên có 4 trường hợp
7

13k 2 8k 1 n


� n � 1588,316, 43, 28

e.
n 2  4n  2013  m 2 (m �N ) � (n  2)2  2009  m 2 � (m  n  2)(m  n  2)  2009.1  287.7  49.41

Vì m + n + 2 > m + n – 2 nên có 3 trường hợp xảy ra.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương
Lời giải
99

� �
20 2n 198
Vì n có hai chữ số 10 �n�

21 2n 1 199

Mà 2n + 1 là số chính phương lẻ

� 2n  1 � 25;49;81;121;169 � n � 12; 24; 40;60;84 � 3n  1 � 37;73;121;181;253 � n  40

Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số sao cho nếu cộng số đó với số có hai chữ số ấy viết
theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương
Lời giải
Gọi số cần tìm là: ab(1 �a, b �9)
Số viết theo thứ tự ngược lại là : ba
Tổng của hai số đó là : ab  ba  11(a  b)
2
Vì tổng của hai số là số chính phương, đặt 11( a  b)  m (m �N ) � a  b  11 � có 8 số là :

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92
2
Bài 4: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho : n  14n  256 là một số chính phương

Lời giải
n 2  14n  256  k 2 ( k �N ) � (n  7) 2  k 2  305 � (n  k  7)( n  k  7)  305  61.5 
Đặt (1)(305)  (61)(5)

Do n, k �N � n  k  7  n  k  7

+)

n  k  7  61 �
n  40
�
��
(tm)
�
nk 7 5
k  32
�
�
8


+)

n k 7 1
�
� n  160(tm)
�
n  k  7  305
�

+) n  k  7  305 � n  146(loai )
+) n  k  7  61 � n  26(loai )
8
11
n
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để 2  2  2 là số chính phương

Lời giải
8
11
n
2
2
n
2
n
Đặt 2  2  2  a (a  0, a �N ) � 48  2  a � 2  (a  48)(a  48)

+) n  0 � (a  48)(a  48)  1 � voly
+)
�
�
a  48  2 x
2y  5
�x  7
�
�
x
y
y
x y
5
n 0��
(
x

y


n
;
x

y
)
�
96

2

2
�
2
(2

1)

2
.3
�
�
� n  12
�
�
123
a  48  2 y
2x y  4
�y  5

le
�
�

Bài 6 : Tìm số tự nhiên n �1 sao cho : 1! 2! ....  n! là số chính phương
Lời giải
2
+) n  1 � S  1!  1  1

+) n  2 � S  1! 2!  3(loai )
2
+) n  3 � S  1! 2! 3!  9  3

+) n  4 � S  1! 2! 3! 4!  33(loai)
+)

n �5 � S  1!
2!2
 3!
6!2
 ...
144
4434!  5!
1 44
4 43n! � khonglasochinhphuong
33

tc 0

Vậy n = 1 hoặc n = 3

Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n! 232 là số chính phương
Lời giải
+) n  1 � 1! 232  233(loai)
9


+) n  2,3 � loai
2
+) n  4 � n! 232  256  16 (tm)

+) n �5 � n!M5 � n ! 232 �2(mod 5) � n! 232khonglasochinhphuong
Vậy n = 4.
Bài 8: Cho n là số nguyên dương sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là só chính phương. CMR n
chia hết cho 24
Lời giải
2
2
2
Đặt n  1  a ; 2n  1  b (a, b �N ) � b : le � b  2k  1 � b  4k (k  1)  1

Mà

n

b 2  1 4k ( k  1)

 2k (k  1) � n : chan � n  1: le � a : le � a  2q  1(q �N )
2
2

� a 2  4q( q  1)  1 � n  4q( q  1)M
8(1)
14 2 43
M
2

2
2
Mặt khác a  b  3n  2 �2(mod 3)
2
2
��3)��
a 2, b 2 1(mod 3)
Và a , b �0,1(mod

a 2 b2

0(mod 3)

Mà (3,8)  1 � n � nM24 � dpcm
Bài 9: [ Vào 10 Chuyên Phân Bội Châu, năm 2014 – 2015 ]
2

3
Tìm các chữ số a, b sao cho: ab  (a  b)

Lời giải
Từ giả thiết � ab  (a  b) a  b (1)
*
Vì ab; a  b �N � a  b phải là số chính phương

Mà: 1 �a  b �18 � a  b � 1;4;9;16
+) a + b = 1 thay vào (1) � ab  1(loai )
+) a + b = 4; a + b = 16 loại hết
10

(2n 1) (n 1)M
3

nM
3


+) a + b = 9 � ab  27 � a  2; b  7

Bài 10: Biết x �N ; x  2 . Tìm x sao cho: x( x  1) x( x  1)  ( x  2) xx( x  1)
Lời giải
Ta có vế trái của đẳng thức là số chính phương nên vế phải cũng là số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể có chữ số tân cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
Nên x chỉ có thể có tận cùng là: 1, 2, 5, 6, 7, 0 (1)
Do x là chữ số nên x �9 � 2  x �9(2)
Từ (1)(2) � x � 5,6,7
2
Bằng phép thử ta thấy x = 7 thỏa mãn bài toán : 76  5776

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương
2
a. n  n  2

5
b. n  n  2

Lời giải
2
a. Với n = 1 thì n  n  2  2 khơng là số chính phương
2
Với n = 2 thì n  n  2  4 là số chính phương
2
2
2
2
Với n > 2 thì n  n  2 khơng là số chính phương vì : (n  1)  n  n  2  n
5
5
2
2
b. Ta có : (n  n)M5 vì n n  (n  1)n(n  1)

- n  5k � nM5
2
- n  5k �1 � n  1M5
2
- n  5k �2 � n  1M5

5
5
5
Nên n  n  2 chia 5 thì dư 2 nên n  n  2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên n  n  2
khơng phải là số chính phương

11


Vậy khơng có giá trị nào của n thỏa mãn bài tốn.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12

b) n(n + 3)

c) 13n + 3

d) n2 + n + 1589

Lời giải
a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k � N)
 (n2 + 2n + 1) + 11 = k2  k2 – (n + 1)2 = 11  (k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương.

=> Ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1 

k  n  1  11 �
k 6
�
 �
�
k  n 1  1
n4
�

�

b) đặt n(n + 3) = a2 (n � N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2  (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2
 (2n + 3)2 – 4a2 = 9  (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương
2n  2a  3  9
n 1
�
�
 �
�
2n  2a  3  1
a2
 �
�

Ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1

c) Đặt 13n + 3 = y2 (y � N)  13(n - 1) = y2 – 16  13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)
 (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13
 y = 13k  4 (với k � N)
 13(n - 1) = (13k  4)2 – 16 = 13k.(13k  8)
 13k2  8k + 1

Vậy n = 13k2  8k + 1 (với k � N) thì 13n + 3 là số chính phương
d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m � N)  (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
 (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ

=> Ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
12


Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài 3: Tìm a để các số sau là những số chính phương
a) a2 + a + 43

b) a2 + 81

c) a2 + 31a + 1984

Lời giải
a) 2; 42; 13
b) 0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 4: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Lời giải
Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m N )
Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010  (m + n) (m – n) = 2010
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m  2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)  m + n và m – n là 2 số chẵn.
 (m + n) (m – n)  4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n

1

sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.

(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)
Lời giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 khơng là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
13


Với n  4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng
bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải là số chính
phương. Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
Lời giải
Ta có 10  n  99 nên 21  2n + 1  199.
Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng
với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Lời giải
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a  N) thì
2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q  N ; p + q = n và p > q
 a + 48 = 2p và a – 48 = 2q  2p - 2q = 96  2q (2p-q – 1) = 25.3
 q = 5 và p – q = 2  p = 7  n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802

Bài 8: Tìm số nguyên tố ab (a > b > 0) sao cho ab  ba là số chính phương.
Lời giải
ab  ba   10a  b    10b  a   9a  9b  9  a  b   32  a  b 

Do là số chính phương nên a-b là số chính phương.
Ta thấy 1 nên a-b
Với a - b = 1 thì loại các số là hợp số 21;32;54;65;76;87;98. Còn 43 là số nguyên tố.
14


Với a - b = 4 Thì loại các hợp số 51; 62; 84; 95. Còn 73 là số nguyên tố.
Vậy

Dạng 3 : Tìm số chính phương
Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, hai chữ số
cuối giống nhau
Lời giải
n 2 (a, b N ,1 a 9,0 b 9)
Gọi số chính phương cần tìm là : aabb Σ���
2
2
Ta có : aabb  1000a  100a  10b  b  1100a  11b  n � n  11(100a  b)(1)

11 � 100a  bM
11 � 99a  a  bM
11 � a  bM
11
Lại có : aabbM

9,0

�b ���
9 1 a b 18
Mà : 1 a��

a b 11

2
1
Thay a + b = 11 vào (1), được : n  11(99a  11)  11 (9a  1) � 9a  1 phải là số chính phương

Bằng phép thử a = 1, 2,…., 9 ta được a = 7, b = 4
2 2
2
Vậy số cần tìm là : 7744  11 .8  88

Bài 2: Tìm số chính phương abcd , biết : ab  cd  1
Lời giải
15


Đặt
abcd  n 2 � n 2  100ab  cd  100(cd  1)  cd  101cd  100 � n 2  10 2  101cd � 101cd  (n  10)( n  10)

Vì 101 là số nguyên tố

n  10M
101
�
��
n  10M

101
�

2
101 � n  91 � abcd  912  8281
Ta có : 1000 �n  10000 � 31  n  100 � n  10M

Bài 3: Tìm số nguyên tố ab( a  b  0) , sao cho ab  ba là số chính phương
Lời giải
2
2
Ta có : ab  ba  9(a  b)  3 (a  b)  n � a  b phải là số chính phương

Có : 1 �a  b �8 � a  b  1; a  b  4
+) a – b = 1 thì

ab � 21;32;43;54;65;76;87;98 � 43

+) a – b = 4 thì

ab � 51;62;73;84;95 � 73

Bài 4: Tìm một số có bốn chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
Lời giải
Gọi số cần tìm là: abcd (1 �a �9;0 �b, c �9)
2
3
Đặt abcd  x  y ( x, y �N )

2

3
2
Ta có : x  y  y. y � y là số chính phương

abcd
 �
 �
9999

Có : 1000 ��

103

y3

3

9999

10

y

21

3
Vì y là số chính phương nên y = 16 � abcd  16  4096

Bài 5: Tìm STN có hai chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của hai số đó và số viết bởi
hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương

Lời giải
N ,1 a, b 9)
Gọi STN có hai chữ số là : ab(a, b Σ�
16


Số viết theo thứ tự ngược là : ba
2

2

2
2
2
2
2
2
2
Theo bài ra ta có : ab  ba  n (n �N ) � (10a  b)  (10b  a )  n � 99(a  b )  n

Cách 1:
Đặt
99(a 2  b 2 )  n 2 � n 2 M
11 � nM
11 � n 2 M
121 � 99( a  b)( a  b)M
11 � a 2  b 2 M
11 � (a  b)(a  b)M
11

11 � a  b  11
Vì 8  a  b �8;2 �a  b �18 � a  bM
2

2

2
2
Khi đó : ab  ba  99.11  3 .11 (a  b) là số chính phương

a  b : lasochinhphuong �
a  b 1
�
��
��
0a b  4
�
�

+)

a b 1
�
�a  6
��
� ab  65 � 652  562  1089  332
�
a  b  11 �
b5

�

+)

a b  4
�
� a  7,5(loai )
�
a  b  11
�

Vậy số cần tìm là : 65
Bài 6: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn
bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương
Lời giải
Gọi số phải tìm là : abcd (1 �a �9;0 �b, c, d �9)
abcd Là số chính phương � d � 0;1;4;5;6;9

Mà d là số nguyên tố nên d = 5
�k 2  1000 k 2 10000
Đặt abcd 

32

k 100; k 2

k

K là số có hai chữ số mà k2 tận cùng là 5 nên k có tận cùng là 5
Tổng các chữ số của k là số chính phương nên k = 45 � abcd  2025

17


Bài 7: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì ta được một số chính phương. Hãy tìm các số A và B
Lời giải
2
Gọi số chính phương A là : abcd  k (k �N )

Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta được :
B  (a  1)(b  1)(c  1)(d  1)  m 2 (a, b, c, d , m  N );32 k m 100
2
�
�A  abcd  k
� m 2  k 2  1111 � (m  k )(m  k )  11.101
�
2
Có : �B  abcd  1111  m

m  56 �A  2025
�m  k  101 �
m  k; m  k  0 � m  k  m  k � �
��
��
m

k

11
k


45
�
�
�B  3136
Vì

Bài 8: Tìm SCP gồm bốn chữ số, biết rằng khi ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn,
thêm 3 vào chữ số hàng trăm, thêm 5 vào chữ số hàng chục, thêm 3 vào chữ số hàng đơn vị ta
vân được một số chính phương
Lời giải
N ,0 a, b, c, d 9, a 0)
Gọi abcd là số phải tìm (a, b, c, d Σ��
2
Vì abcd là số chính phương, đặt abcd k�(k

N )(1)

1000 k 2 10.000

2
2
Ta có số mới là : (a  1)(b  3)(c  5)(d  7)  m (m �N ) � abcd  1353  m (2)
2
2
Từ (1)(2) � m  k  1353 � (m  k )(m  k )  1353  121.11  33.41

Có : m  k � m  k  0 � m  k  m  k

+)

m  k  123
m  67
�
�
��
�
m  k  11
k  56
�
�

+)

m  k  41 �
m  37
�
��
(loai )
�
m  k  33 �
k4
�

Vậy abcd  3136
18


Bài 9: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số biết rằng số gồm hai chữ số đầu lớn hơn số
gồm hai chữ số sau 1 đơn vị

Lời giải
2
Đặt abcd  k

ab  cd  1
�
k  10M
101
�
�
k �N
� 101cd  k 2  100  (k  10)( k  10) � �
�
k  10M
101
�
�
32
�
k

100
�
Khi đó ta có :

10;101)
�1 �k�10
M
101;32 k 100
Mà (k �

42 k 10 110

k 10 101

k

91

� abcd  912  8281

Bài 10: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số
của nó
Lời giải
N ,1 a 9,0 b 9)
Gọi số phải tìm là : ab(a, b Σ���
3
2
3
2
Theo giả thiết ta có : ab  (a  b ) � (10a  b)  (a  b)  (a  b )(a  b )

Do đó ab là một lập phương và a + b là một số chính phương
3
2
Đặt ab  t (t �N ), a  b  m (m �N )

�
ab  27
10 �ab �99 � �

ab  64
�
Vì

+) Nếu ab  27 � a  b  9(tm)
+) Nếu ab  64 � a  b  10(loai )
Vậy số cần tìm là 27
Bài 11: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn
vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
19


Lời giải
2
Gọi A = abcd k . Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

2
B = (a  1)(b  1)( c  1)( d  1) m với k, m  N và 32 < k < m < 100 ; a, b, c, d = 1; 9
2
 Ta có: A = abcd k

2
B = abcd  1111 m . Đúng khi cộng khơng có nhớ

 m2 – k2 = 1111  (m - k)(m + k) = 1111

(*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101

Do đó: m – k = 11 và m + k = 101
 m = 56 và n = 4  A = 2025 và B = 3136

Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối
giống nhau.
Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n2 với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9
Ta có: n2 = aabb = 11. a0b = 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)

(1)

Nhận xét thấy aabb  11  a + b  11
Mà 1  a  9; 0  b  9 nên 1  a + b  18  a + b = 11
Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn  b = 4
Số cần tìm là: 7744
Bài 13: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số abcd = k2 sao cho chữ số cuối là số nguyên
tố, số k có tổng các chữ số là một số chính phương.
Lời giải
20


Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1  a  9; 0  b, c, d  9
abcd chính phương  d   0,1, 4, 5, 6, 9

d nguyên tố  d = 5
Có số chính phương abcd = k2 < 10000  32  k < 100
k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5  k tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương  k = 45
 abcd = 2025

Vậy số phải tìm là: 2025
Bài 14: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược
lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương
cần tìm.
Lời giải
2
Đặt số phải tìm là abcd  M thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50
2
Ta lại có dcba  N . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta được

abcd  dcba  1001 a  d   110  b  c  M
11
abcd  dcba  999  d  a   90  c  b  M

Vì dcba là bội của abcd
=> abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33
Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có
abcd  332  1089, dcba  9801  992

Bài 15: Tìm số chính phương abcd biết rằng ab  cd  1
Lời giải
 100  cd  1  cd  101cd  100
2
Giả sử n  abcd  100ab  cd

Suy ra : 101cd  n  10   n  10   n  10 
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91
2

2

Thử lại abcd  91  8281 có 82 – 81 =1
Vậy số cần tìm là 8281
2

21


Bài 16: Tìm số chính phương có 4 chữ số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chữ số cuối
giống nhau
Lời giải
Giả sử xxyy là một số chính phương ta có:
11
xxyy  1000 x  100 x  10 y  y  1100 x  11y  11 100 x  y  M

Do xxyy là số chính phương nên xxyy M121 � 100 x  y M11 � x  y M11  vi 99xM11
xxyy  11 100 x  y   11 99 x  11  112  9 x  1
0

x

y
�
11
Do
nên x + y = 11;

Suy ra 9x + 1 là số chính phương suy ra x = 7, y = 4
Vậy số cần tìm là 7744.

Bài 17: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở
hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Lời giải
Gọi số tự nhiên có hai chữ sốphải tìm là ab (a, b  N, 1  a, b  9)
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab 2 - ba 2 = (10a + b)2 – (10b + a)2 = 99 (a2 – b2)  11  a2 – b2  11
Hay (a - b) (a + b)  11
Vì 0 < a – b  8, 2  a + b  18 nên a + b  11  a + b = 11
Khi đó: ab 2 - ba 2= 32 . 112 . (a – b)
Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b
=4
Nếu a – b = 1 kết hợp với a + b = 11  a = 6, b = 5 , ab = 65
Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a – b = 4 kết hợp với a + b = 11  a = 7,5 loại
Vậy số phải tìm là 65

22


Bài 18: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược
lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương
cần tìm.
Lời giải
2
Đặt số phải tìm là abcd  M thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50
2
Ta lại có dcba  N . Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta được

abcd  dcba  1001 a  d   110  b  c  M
11

abcd  dcba  999  d  a   90  c  b  M3

Vì dcba là bội của abcd nên abcd vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là
bội số của 33 Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có: abcd  33  1089, dcba  9801  99
Bài 19: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số
của nó.
2

Lời giải
Gọi số phải tìm là ab với a, b  N, 1  a  9; 0  b  9
2

Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3
 ab là một lập phương và a + b là một số chính phương

Đặt ab = t3 (t  N), a + b = 12 (1  N)
Vì 10  ab  99  ab = 27 hoặc ab = 64
Nếu ab = 27  a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64  a + b = 10 khơng là số chính phương  loại
Vậy số cần tìm là ab = 27
Dạng 4: Dùng chữ số tận cùng để giải bài toán số chính phương
- SCP chỉ có thể có chữ số tận cùng : 0, 1, 4, 5, 6, 9
- SCP không có chữ số tận cùng là : 2, 3, 7, 8
- SCP có chữ số tận cùng là 1, 4, 9 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số chẵn
- Nếu SCP có tận cùng là số 6 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số lẻ
23

2

- Nếu SCP có tận cùng là số 5 thì chữ số hàng chục chỉ có thể là số 2
- Nếu SCP có tận cùng là số 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 tận cùng, vd : 100, 10000
Bài 1: Chứng minh rằng số sau khơng là số chính phương
100
10
b. B  100  10  8

11
111
1111
a. A  11  111  1111

10
c. 10  5

Lời giải
a. A có chữ số tận cùng là 3
b. B có chữ số tận cùng là 8
c. C có chữ số tận cùng là 5
3
2
2
2
2
Bài 2: Chứng minh rằng STN A  2015  2014  2013  2012  2011 khơng là số chính
phương

Lời giải
3
2

2
2
Ta có: 2015 có tận cùng là 5, 2014 có tận cùng là 6, 2013 có tận cùng là 9, 2012 có tận
2
cùng là 4, 2011 có tận cùng là 1. Vậy A có chữ số tận cùng là 5 + 9 + 6 + 4 – 1 = 3

Bài 3: Khơng tính kết quả hãy cho biết các tổng, các hiệu sau có phải là SCP hay khơng ?
a. 7.13.25.63.105  113
b. 11.19.27.63.99  122.93
c. 12.13.14.15.16  3.12.13.14.82
Lời giải
a.
b.

A  7.13.25.63.105
1 44 2 4 43  113 � tc : 8
tc:5

11.19.27.63.99
1 44 2 4 43  122.92
1 2 3 � tc : 7
tc:1

tc:4

c.
12.13.14.15.16
1 44 2 4 43  3.12.13.14.82
1 44 2 4 43  12.13.14(15.16  3.82)  12.13.14(3.80  3.82)  0 � khongla : SCP
tc:0

tc:4

24


Bài 4: Cho bốn chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm SCP có bốn chữ số gồ cả bốn chữ số trên
Lời giải
Gọi A là SCP có bốn chữ số cần tìm
A khơng có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0, 4
+) Nếu chữ số tận cùng của A là 0 suy ra chữ số hàng chục là 0 ( vô lý )
+) Nếu chữ số tận cùng của A là 4 suy ra chữ số hàng chục của A phải là số chẵn suy ra là 0
hoặc 2
� A Có thể là : 3204 hoặc 2304 hoặc 3024
2
2
2
2
2
Có : 56  3204  57 ; 2304  48 ;54  3024  55

Vậy số cần tìm là : 2304
Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp khơng là số chính
phương
Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là : n  2, n  1, n, n  1, n  2(n  N , n 2)
2
2
2
2

2
2
Đặt S  (n  2)  ( n  1)  n  (n  1)  (n  2)  5( n  2)

Vì n2 khơng có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 khơng có chữ số tận cùng là 5 hoặc 0
5
�S M
� n 2  2M/ 5 � �
�S
�S M/ 25
khơng là số chính phương

Bài 6: Chứng minh rằng các số sau khơng là số chính phương
12
12
12
a. 12  13  14 � tc : 3

b.

7{100  101 � tc : 2
tc:1

100

c. 100

 98  8 � tc : 7

Bài 7: Tìm SCP có bốn chữ số được viết bởi các chữ số: 3, 6, 8, 8

25