(THCS) biện pháp giúp học sinh yếu học tốt hơn dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử môn đại số 8

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học là mơn học hình thành cho học sinh tính chính xác, tính hệ thống,
tính khoa học và tính logic,… Vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng
cao sẽ giúp ích cho học sinh rất nhiều trong quá trình học tập các bộ mơn văn hóa
khác cũng như ứng dụng trong thực tế cuộc sống.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng
thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và
học tốn nói riêng trong trường THCS hiện nay đã tích cực hố hoạt động học tập,
hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự
học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình
thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử
là nội dung hết sức quan trọng. Dạng toán này được áp dụng rất phong phú, đa
dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân
thức, giải phương trình,... Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc
theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (các lớp đang giảng dạy),
tơi nhận thấy việc phân tích đa thức thành nhân tử là khơng khó, nhưng vẫn cịn
nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững các phương pháp
giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán
cụ thể.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo
gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao
chất lượng bộ môn nên bản thân tôi đã chọn đề tài: “Biện pháp giúp học sinh yếu
học tốt hơn dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử mơn đại số 8”.
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
Qua thực tế các năm tôi được phân công làm nhiệm vụ giảng dạy, bồi dưỡng
học sinh giỏi nên đã tích lũy được nhiều kiến thức về dạng tốn “ Phân tích đa thức
thành nhân tử” và những dạng bài tập vận dụng, đặc biệt là hướng dẫn học sinh
1

cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để có kết quả
đúng, vừa nhanh gọn, vừa dễ hiểu.
3. Mục tiêu nghiên cứu
Chỉ ra những phương pháp dạy loại bài “Phân tích đa thức thành nhân tử”.
Đổi mới phương pháp dạy học. Từ đó giúp các em học sinh trung bình, yếu nâng
cao chất lượng học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử.
4. Đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ nghiên cứu
* Đối tượng: Đây là sáng kiến: “Biện pháp giúp học sinh yếu học tốt hơn
dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn đại số 8” nên tôi tập trung một số
tài liệu về phương pháp giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử. Đối tượng
mà tôi tiến hành khảo sát thực nghiệm là các học sinh yếu lớp 8A2, 8A3 (năm học
2017 – 2018) của trường THCS ...........................
* Phạm vi: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình
sách giáo khoa, sách bài tập Toán 8 hiện hành.
* Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nhiệm vụ khái quát: Nêu các phương pháp dạy loại bài: “Phân tích đa thức
thành nhân tử”.
- Nhiệm vụ cụ thể:
+ Điều tra tìm hiểu để nắm được thực trạng học sinh yếu chỗ nào, chưa tốt
chỗ nào,…Trên cơ sở đó, sáng kiến này sẽ xây dựng các phương pháp giải cơ bản
về phân tích đa thức thành nhân tử phù hợp với đối tượng học sinh yếu.
+ Những phương pháp đã thực hiện.
+ Chuyển biến sau khi áp dụng.
+ Rút ra kinh nghiệm, giải pháp.
5. Phương pháp nghiên cứu, thời gian nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 8, tài liệu có liên quan.
+ Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
+ Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra.

2


+ Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
+ Nghiên cứu qua đồng nghiệp.
- Thời gian nghiên cứu: Đề tài được nghiên cứu và thực hiện từ tháng 8/2017
đến tháng 5/2018 và tôi đã chia khoảng thời gian thực hiện đề tài như sau:
+ Tháng 8/2017: Khảo sát đánh giá đặc điểm tình hình học sinh trong lớp.
Lựa chọn nội dung nghiên cứu.
+ Tháng 9/2017: Đăng kí đề tài. Tìm tư liệu có liên quan đến nội dung
nghiên cứu.
+ Tháng 10/2017 đến tháng 4/2018: Áp dụng vào thực tế. Rút kinh nghiệm,
sửa đổi bổ sung kịp thời.
+ Tháng 5/2018: Hoàn thành đề tài.

3


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN, GIẢI PHÁP
1. Cơ sở lí luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thơng tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ
đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và
thách thức mới. Để hịa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo ln đảm
nhận vai trị hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí,
bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ
thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
2. Cơ sở thực tiễn
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường

duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì mơn tốn là mơn học
đáp ứng đầy đủ những u cầu đó.
Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng tốn rất quan trọng
của mơn đại số 8. Đáp ứng yêu cầu này chính là nền tảng làm cơ sở để học sinh
học tiếp các chương sau này. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức
của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của
q trình phân tích đa thức thành nhân tử thơng qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích
đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử. Hai phương pháp tách hạng tử
và thêm bớt hạng tử có đề cập trong phần bài tập phù hợp với đối tượng học sinh
giỏi. Còn với học sinh yếu thì nhận biết các phương pháp và vận dụng làm tốt các
dạng bài liên quan không đơn giản.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh yếu giải bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử đạt hiệu quả hơn. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần
xây dựng cho học sinh những kĩ năng cơ bản, xây dựng cách giải cho phù hợp trên
cơ sở các phương pháp đã học để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
4


Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài tốn phân tích đa thức thành
nhân tử cần phải bỏ ra khá nhiều thời gian để nghiên cứu. Với thời lượng phân
phối chương trình chỉ có 6 tiết (4 tiết học lí thuyết, 2 tiết luyện tập) thì các em học
sinh yếu để có thể hồn thành phần bài tập, hiểu các cách giải bài tồn phân tích đa
thức thành nhân tử là rất hạn chế. Hơn nữa, đa số học sinh yếu khả năng nhận thức
tương đối chậm, còn lười học, lười ghi chép, việc tự học, tự tìm hiểu của các em
chưa thật tốt, nhiều bậc phụ huynh phó thác việc học tập của con em mình cho nhà
trường dẫn đến kết quả học tập còn thấp.
Thực trạng học sinh yếu trong tính tốn, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi
và thực hành giải toán chậm phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới,

nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8. Ngồi ra cịn do
chay lười trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự
học, ý thức học tập yếu kém. Nhiều em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để
tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng
giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,
phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt
để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học...
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của
con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà.
Vì vậy để nâng cao chất lượng với đối tượng học sinh yếu giáo viên cần cho
học sinh ôn lại một số kiến thức cơ bản có liên quan đến việc giải bài tốn “Phân
tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đa thức, các quy tắc nhân, chia đa thức,
hằng đẳng thức,… và cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành nhân tử là phép
biến đổi đa thức cho trước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức. Đồng thời
nắm vững được những phương pháp phân tích đã tìm hiểu trong sách giáo khoa và
cho học sinh biết được một số ứng dụng của bài toán dạng này.
3. Biện pháp giải quyết vấn đề
Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương
pháp phân tích, do đó học sinh yếu gặp khơng ít khó khăn để nắm vững được
5


phương pháp. Chính vì vậy cần có một cách khái quát cho từng phương pháp phân
tích và những điểm lưu ý dễ gặp sai sót trong q trình phân tích.
3.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Học sinh cần hiểu được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử,
ta đi xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đó:
A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2)
Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng

phương pháp đặt nhân tử chung.
Ta thường làm như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng
tử A = - (-A).
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2xy2 + x2y = xy(2y + x)
b)10x2 – 5y = 5(2x2 – y)
c) 3x(x – 1) – y(x – 1) = (x – 1)(3x – y)
Đây là những bài tập cơ bản, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ mắc phải
sai lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì học sinh dễ thấy được nhân tử chung của hai
hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng. Tuy nhiên ở ví
dụ b, sẽ có học sinh khẳng định là khơng có nhân tử chung nào (vì x  y) do chỉ
chú trọng quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, cịn trường hợp ở ví dụ
c, thì học sinh gặp khó khăn khi khơng hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa
thức (x – 1). Vì thế, trong việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung thì giáo
viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu ý những trường hợp thường mắc sai sót này.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. (Bài tập
39c – SGK – Trang 19)
6


Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh như sau:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
(Học sinh cần trả lời là 7 vì ƯCLN(14,21,28) = 7).
- Tìm nhân tử chung của các biến x2y, xy2, x2y2?
(Học sinh trả lời là xy, qua đó học sinh nhận xét lũy thừa của biến chung
phải lấy số mũ nhỏ nhất của các biến đó).
- Từ đó các em xác định nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là 7xy.

Giải: 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (Bài tập
39e - SGK – Trang 19)
Giáo viên gợi ý tương tự:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8? (Học sinh cần trả lời là 2 vì
ƯCLN(10,8) = 2).
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x)?
(Học sinh cần trả lời là: (x – y) hoặc (y – x). Với đối tượng học sinh khá,
giỏi các em có khả năng nhận biết nhưng với đối tượng học sinh yếu sẽ tương đối
khó khăn. Vì vậy cần nhấn mạnh để học sinh thấy hai đa thức có phần biến giống
nhau, dấu ngược nhau để nhận biết phải đổi dấu các hạng tử).
- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử
chung (y – x) hoặc (x – y)?
Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x)
Giải:
Cách 1:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)
7


= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Cách 2:
10x(x – y) – 8y(y – x) = - 10x(y – x) - 8y(y – x)
= 2(y – x).(-5x) - 2(y – x).4y
= 2(y – x)(-5x - 4y)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức 4x(x – y) – 5(y – x)2 thành nhân tử.
Lời giải sai: 4x(x – y) – 5(y – x)2 = 4x(x – y) + 5(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[4x + 5(x – y)] (sai từ trên)
= (x – y)(9x – 5y) (kết quả sai )
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: 4x(x – y) – 5(y – x)2 = 4x(x – y) + 5(x – y)2
Sai lầm ở trên là đổi dấu nhân tử : –5 và (y – x)2 của tích –5(y – x)2
(vì (y – x)2 = (x – y)2 theo nhận xét học sinh rút ra qua lý thuyết (A- B)2 = (B
– A)2).
Lời giải đúng: 4x(x – y) – 5(y – x)2 = 4x(x – y) – 5(x – y)2
= (x – y)[4x – 5(x – y)]
= (x – y)(5y – x)
Qua các ví dụ trên, giáo viên chốt kiến thức cơ bản cho học sinh:
Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và
nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).
Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích:
A = - (-A); (A - B)2 = (B – A)2; (A - B)3 = - (B – A)3
3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy
hằng đẳng thức đáng nhớ:
8


1) A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2) A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
5) A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A - B)3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
(Với A, B là hai biểu thức khác 0)
Học sinh nhận biết: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng

hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” và ngược lại biết khai triển theo hằng đẳng thức. Vì
vậy học sinh cần thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng
thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng
đẳng thức cho thích hợp.
Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề bài cho sẽ có dạng ở vế phải các
hằng đẳng thức: bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu; lập phương
của một tổng, lập phương của một hiệu hoặc cho vế trái của các hằng đẳng thức
còn lại. Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi
theo hai dạng:
3.2.1. Dạng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng
đẳng thức.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 6x + 9
Học sinh cần tìm ra hằng đẳng thức sẽ áp dụng, từ đó nhận biết biểu thức thứ
nhất, thứ hai để áp dụng theo hằng đẳng thức, kiểm tra tính chính xác qua tích
trung gian (như ở ví dụ 1 học sinh nhận biết x đóng vai trị biểu thức thứ nhất; biểu
diễn 9 = 32 thì 3 đóng vai trị biểu thức thứ hai, kiểm tra chính xác từ tích 6x=2.x.3
để hồn thiện theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng).
Kết quả: x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2
Ví dụ 2: Tính nhanh 732 – 272 (Bài tập 46a - SGK – Trang 21)
9


Học sinh cần nhận biết sẽ áp dụng theo hằng đẳng thức hiệu hai bình
phương: A2 – B2 = (A – B)(A + B). Từ đó biến đổi theo hằng đẳng thức ra kết quả:
732 – 272 = (73 + 27).(73 - 27)
= 100. 46
= 4600
Ví dụ 3: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử
GV gợi ý như sau:
- Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? (Có dạng A2 – B2).

- Biến đổi theo hằng đẳng thức, tìm ra kết quả? (Học sinh thực hiện)
Lời giải sai có thể gặp:
(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc đa thức)
= 0.(2x) = 0 (kết quả sai)
Như vậy học sinh đã làm sai vì thiếu dấu ngoặc đa thức. Lý do học sinh quen
áp dụng tính như lũy thừa với số tự nhiên, cịn tính với lũy thừa số âm các em rất
hay sai nên khi biến đổi với các đa thức hay phạm phải sai lầm này.
Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]
= (x + y – x + y)(x + y + x – y)
= 2y.2x = 4xy
Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:
- Quy tắc dấu ngoặc.
- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức.
Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là
cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh thực hiện
được nếu như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Thế nhưng
nếu chủ quan thì học sinh sẽ dễ mắc sai lầm, chẳng hạn: Ở ví dụ 3 học sinh sẽ gặp
khó khăn khi nhận dạng hằng đẳng thức, vì thơng thường các bài tập ví dụ hay cho
10


dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học
sinh chưa hình dung nhận diện được.
3.2.2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung
hoặc xuất hiện hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2 - 2xy + y2 – z2 = (x2 - 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 – z2
= (x – y – z)(x – y + z)
Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng

hằng đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp: đặt nhân
tử chung và nhóm hạng tử. Do đó việc nhóm những hạng tử như thế nào là thích
hợp cũng gây ra khó khăn khơng nhỏ cho các em học sinh yếu.
3.3. Phương pháp nhóm hạng tử
Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử thì cơng việc quan trọng
nhất là tạo ra được nhân tử chung. Do đó, trong nhiều trường hợp khi không thể áp
dụng trực tiếp phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm
hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung lại rất cần thiết. Tuy nhiên, đối với phương
pháp này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú ý đến dấu
trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ “ – ”.
Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:
“Cho đa thức: A + B + C + D (A, B, C, D là các biểu thức)
Nếu A, B, C, D khơng có nhân tử chung nào cũng khơng là hằng đẳng thức
nào thì hãy thử nhóm A với B và C với D hoặc các phép giao hoán khác. Tức là
nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng đẳng
thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)
= x(x + y) – 3(x + y)
11


= (x + y)(x – 3)
Học sinh dễ nhận thấy hai phương pháp đã học không thể áp dụng cho ví dụ
này vì khơng có nhân tử chung cho tồn bộ các hạng tử, cũng khơng có hằng đẳng
thức nào phù hợp với đầu bài. Gợi ý tới phương pháp nhóm hạng tử để có kết quả
như trên. “
Ví dụ trên mặc dù ở mức độ khơng khó lắm, chỉ cần nhóm hợp lí và áp dụng
được phương pháp đặc nhân tử chung thì dễ dàng thực hiện được. Tuy nhiên nếu
khơng để ý về dấu thì học sinh sẽ mắc sai lầm khi nhóm hạng tử đằng trước dấu

ngoặc là dấu trừ “ – ” mà không đổi dấu những hạng tử trong ngoặc. Đây là một sai
lầm mà phần lớn học sinh mắc phải chứ không riêng với đối tượng học sinh yếu.
Ngồi ra có một số bài tốn phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân
tử mà chúng ta khơng thể áp dụng trình tự những phương pháp đã biết, đòi hỏi tư
duy linh hoạt của học sinh để biến đổi đa thức một vài bước, sau đó mới áp dụng
các phương pháp đã biết để phân tích. Từ đó giáo viên lưu ý học sinh: lựa chọn
nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện một trong hai dạng: hoặc là đặt nhân tử
chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức.
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài tốn.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó phải thỏa mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì q trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.
Nhóm hạng tử nhằm sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a -SGK
– Trang 22)
Cách 1: Nhóm (x2 – xy) và (x – y)
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
Lời giải sai:
12


x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y)
= (x – y)(x + 0) ( sai vì (x – y) = 1. (x – y) chứ không phải
(x – y) = 0. (x – y) )
Sai lầm của học sinh là: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung. Học sinh
thường cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì cịn lại là số 0.
Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y)
= (x – y)(x + 1)
Nhóm hạng tử nhằm sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – y2 thành nhân tử.
Giải: x2 – 2x + 1 – y2 = (x2 – 2x + 1) – y2
= (x – 1)2 –y2
= (x – 1 – y)(x – 1 + y)
Đây là bài tập không dễ với các em học sinh yếu vì phải nhận biết hằng đẳng
thức để nhóm hạng tử thích hợp. Vì các em đang quen dạng bài nhóm hai hạng tử
thành một nhóm để xuất hiện nhân tử chung, nên giáo viên lưu ý đến nếu nhóm
như vậy thì khi phân tích q trình cịn tiếp tục khơng? Từ đó hiểu hơn về phương
pháp này.
Nhóm hạng tử nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử.
Lời giải sai:
x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) (áp dụng sai quy tắc dấu ngoặc)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y)
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)

13


Sai lầm của học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y)
(đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)
Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) + (– 2x – 4y)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:
Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu
ngoặc, phải sử dụng quy tắc dấu ngoặc khi thực hiện nhóm.

Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm.
3.4. Phối hợp các phương pháp
Phối hợp các phương pháp yêu cầu học sinh có sự kết hợp nhuần nhuyễn
giữa các phương pháp nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì
vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử
và tìm hướng giải thích hợp.
Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung?
Dùng hằng đẳng thức?
Nhóm nhiều hạng tử?
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x 4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử. (Bài tập ?2 –
SGK - Trang 22)
Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung?
Dùng hằng đẳng thức?
Nhóm hạng tử?
Các sai lầm học sinh thường mắc phải:
Lời giải chưa hoàn chỉnh:
a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
14

(phân tích chưa triệt để)


b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 )
= (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Lời giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)
= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]
= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]
= x(x – 9)(x2 + 1)

Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những
lỗi các em hay phạm phải trong quá trình giải bài tốn về phân tích đa thức thành
nhân tử.

15


Chương II: ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN
1. Tính mới
- Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương
pháp phân tích, do đó học sinh yếu gặp khơng ít khó khăn để nắm vững được
phương pháp nhưng ở đây đã xây dựng cách làm tổng quát cho từng phương pháp
phân tích và những điểm lưu ý dễ gặp sai sót trong q trình phân tích.
- Sắp xếp bài tốn theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
phù hợp với đối tượng học sinh yếu.
+ Phương pháp: Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp: Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp: Nhóm hạng tử
+ Phối hợp các phương pháp
2. Tính hiệu quả
Sau khi hồn thành sáng kiến: “Biện pháp giúp học sinh yếu học tốt hơn
dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử môn đại số 8” tôi đã áp dụng ngay
trong việc dạy học tại trường THCS .......................... là nơi tôi đang công tác.
Kết quả đạt được như sau:
* Khi chưa áp dụng sáng kiến: Năm học 2017 – 2018
Để có kết quả đối chứng trước khi tiến hành dạy thực nghiệm đối với học
sinh, tôi đã tiến hành cho 20 học sinh trung bình, yếu

lớp 8 trường

THCS .......................... năm học 2017 - 2018 làm bài kiểm tra trước thực nghiệm
với nội dung đề bài như sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 9 x 2  6 xy  y 2

b. x 2  x  y 2  y

16

c. x 4  2 x 3  x 2


BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC THỰC NGHIỆM
Điểm

0-2 3-4 5-6

Số lượng (20 hs)
Tỉ lệ %

4

11

7-8

9 - 10

Dưới TB

Trên TB

0

0

15

5

0%

0%

75%

25%

5

20% 55% 25%

* Sau khi tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến đối với 20 học sinh
trong nhóm thực nghiệm tại trường THCS .......................... năm học 2017 - 2018,
tôi tiến hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra sau thực nghiệm với nội dung đề
bài như sau:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. x 2  4 y 2  4 xy

c. 5 x 2  5 xy  x  y

b. 5 x  5 y  ax  ay

BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM
Điểm

0-2

Số lượng (20 hs)
Tỉ lệ %

3-4

5-6

7-8

9 - 10 Dưới TB

Trên TB

0

2

13

4

1

2

18

0%

10%

65%

20%

5%

10%

90%

3. Tính khoa học
3.1. Về kỹ năng
Hình thành cho các em học sinh yếu kém kĩ năng giải các bài tốn phân tích
đa thức thành nhân tử.
3.2. Về thái độ
Hình thành cho học sinh khả năng quan sát, dự đoán, khả năng suy luận.
Giáo dục cho các em biết đoàn kết phương pháp tự học, tự tiếp cận, giúp đỡ nhau
trong học tập. Biết phân tích để rút ra kết luận đúng đắn.
4. Tính ổn định
Việc đưa ra “Biện pháp giúp học sinh yếu học tốt hơn dạng tốn phân

tích đa thức thành nhân tử môn đại số 8” là một yêu cầu cần thiết trong trong
việc dạy – học mơn Tốn. Bởi “phân tích đa thức thành nhân tử” là một nội dung
của chương I trong chương trình Tốn 8, dạng tốn này có trong rất nhiều đề thi
17


như: kiểm tra học kỳ, thi vào THPT. Vì vậy sáng kiến này của tơi ln có tính khả
thi, có tính ổn định và được thực hiện lâu dài.
5. Tính ứng dụng
Với sáng kiến này, bản thân tôi nhận thấy ngoài việc áp dụng để phụ đạo
học sinh yếu kém, rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử trong mơn
Tốn. Sáng kiến có thể áp dụng được với các mơn học khác như Vật lý, mơn Hóa
học trong việc giải quyết các bài tập có lời văn ...
6. Tính tối ưu
Khai thác được khả năng tự học, suy luận, nhận xét, phân tích của học sinh.
Trong những năm đầu mới tiếp cận với chương trình lớp 8. Bước đầu tơi chưa có
kinh nghiệm hướng dẫn nên số học sinh đạt kết quả như mong muốn còn thấp.
Song q trình nghiên cứu phương pháp dạy học tích hợp, tích cực tơi đã áp dụng
những phương pháp này vào dạy mơn Tốn ở lớp 8. Tơi thấy học sinh tiếp thu bài
nhanh hơn năm trước.

PHẦN III: KẾT LUẬN
18


1. Đối với học sinh
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh
nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh
nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững về cách phân tích
đa thức thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng

thực hành theo hướng tích cực hố hoạt động nhận thức ở những mức độ khác
nhau thông qua một chuỗi bài tập.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng
dạy, tôi nhận thấy:
Đối với học sinh yếu kém trong quá trình giảng dạy cần củng cố và sửa chữa
sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm chắc được phương
pháp vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh
thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến
phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
Đối với học sinh đại trà giáo viên cần chú ý cho học sinh nắm chắc các
phương pháp cơ bản, rèn kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng
từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học,
gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tịi, chủ động chiếm lĩnh
kiến thức.
Đối với học sinh khá giỏi ngoài việc học sinh phải nắm chắc các phương
pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng
cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá
vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử
tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tịi sáng tạo, khai thác
cách giải, khai thác bài tốn khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn diện cho
quá trình tự nghiên cứu của các em.
2. Đối với giáo viên
Đối với giáo viên cần thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng

19


của học sinh trong q trình cung cấp các thơng tin mới có liên quan trong chương
trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên

hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập. Giúp học sinh nắm vững
hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách
tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó. Đồng thời tạo điều
kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách tồn diện, gợi sự say mê hứng thú
học tập, tìm tịi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ
động trong học tập nói chung và trong học tốn nói riêng.
* Những kiến nghị, đề xuất
Mục tiêu đào tạo con người, đào tạo nguồn nhân lực cho đất nước trong
những năm tiếp theo đòi hỏi việc giảng dạy lý thuyết phải đi đôi với thực hành, lý
thuyết phải gắn liền với thực tiễn. Thực hiện mục tiêu ấy là nhiệm vụ rất quan
trọng của mỗi thầy cơ giáo trong từng bài giảng của mình. Theo tơi người thầy phải
có nhận thức đúng, u nghề, chăm chỉ, có sự chuẩn bị kĩ sau khi đã nghiên cứu kĩ
bài dạy. Trong mỗi bài học, người dạy cần nghiên cứu kĩ mục tiêu, nội dung sách
giáo khoa, sách bài tập... tìm hiểu sự tương ứng của nội dung kiến thức SGK và
mục tiêu của bài học từ đó sắp xếp, bổ sung các phần tử kiến thức, tổ chức các hoạt
động dạy học tương ứng cho phù hợp. Bên cạnh đó người thầy phải ln tìm tịi,
sáng tạo, học tập, lắng nghe ý kiến góp ý của đồng nghiệp, rút ra kiến thức mang
tính thực tiễn và vận dụng phương pháp tốt nhất cho mỗi bài dạy.
Vì trình độ có hạn nên mặc dù có sự cố gắng nỗ lực của bản thân nhưng bài
viết chắc chắn cịn nhiều thiếu sót. Vì vậy tơi rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp để tơi có thể nâng cao hơn nữa chất lượng giảng dạy của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thị trấn .........................., ngày 8 tháng 4 năm 2019
Người viết

..........................
20


Đánh giá của Hội đồng khoa học trường THCS ..........................

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Đánh giá của Hội đồng khoa học cấp trên
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

21


……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 8 tập 1 - NXBGD
2. Sách bài tập toán 8 tập 1- NXBGD
3. Sách giáo viên toán 8 tập 1- NXBGD
4. Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức kĩ năng mơn tốn THCS.

22


23


MỤC LỤC
PHẦN I. MỞ ĐẦU

Trang
1

1. Lý do chọn đề tài

1

2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu

1

3. Mục tiêu nghiên cứu

2

4. Đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu, thời gian nghiên cứu

2

PHẦN II. NỘI DUNG

4

Chương I: Cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn, giải pháp

4

1. Cơ sở lý luận

4

2. Cơ sở thực tiễn

4

3. Biện pháp giải quyết vấn đề

5

3.1. Phương pháp đặt nhân tử chung

6

3.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

8

3.2.1. Dạng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen
thuộc của hằng đẳng thức

9

3.2.2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất
hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức

11

mới

3.3. Phương pháp nhóm hạng tử

11

3.4. Phối hợp các phương pháp

14

Chương II: Đánh giá kết quả thực hiện

16

1. Tính mới

16

2. Tính hiệu quả

16

3. Tính khoa học

17

4. Tính ổn định

17

5. Tính ứng dụng

18

6. Tính tối ưu

18

PHẦN III. KẾT LUẬN
1. Đối với học sinh
2. Đối với giáo viên
TÀI LIỆU THAM KHẢO

19
24

19
19
22