Chuyên đề số chính phươngg

SỐ CHÍNH PHƯƠNG
1. Định nghĩa : Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên
Vd:

4 = 22 ;16 = 42

2. Các tính chất của số chính phương
a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khơng thể có chữ số tận
cùng là 2, 3, 7, 8
Như vậy để chứng minh một số khơng phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là
2, 3, 7, 8
b. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn,
không chứa TSNT với số mũ lẻ
Vd:
⇒

3600 = 60 2 = 24.32.52

Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ

lẻ
c. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n + 1 (
SCP nào có dạng 3n + 2 (

n∈ N

a 2 ≡ 0,1(mod 3)

) khơng có

)

d. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n + 1 (
SCP nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 (

n∈ N

a 2 ≡ 0,1(mod 4)

) khơng có

)

e. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ
thì đó là số chính phương
1


f. Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p2
g. Nếu a.b là SCP và (a,b) = 1

⇒

a, b đều là các số chính phương

h. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49, …)
- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2
- Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn
- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ
*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
- Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
Dạng 1: Chứng minh một số là số chính phương
- Ta Biến đổi để đưa số đó về bình phương của một số tự nhiên
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = ( x + y )( x + 2 y )( x + 3 y )( x + 4 y ) + y 4

Là một số chính phương
Lời giải
Cách 1:

A = ( x 2 + 5 xy + 4 y 2 )( x 2 + 5 xy + 6 y 2 ) + y 4 = x 4 + 10 x 3 y + 35 x 2 y 2 + 50 xy 3 + 25 y 4

= ( x 2 + 5 xy )2 + 2.( x 2 + 5 xy ).5 y 2 + (5 y 2 ) 2 = ( x 2 +5 xy + 5 y 2 ) 2

Vì

x, y, z ∈ Z ⇒ x 2 ,5 xy,5 y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5 xy + 5 y 2 ∈ Z ⇒ A

Cách 1: Đặt

là số chính phương

x 2 + 5 xy + 4 y 2 = t (t ∈ Z ) ⇒ A = (t − y 2 )(t + y 2 ) + y 4 = t 2 = ( x 2 + 5 xy + 5 y 2 ) 2 ( dpcm)

Bài 2: Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng them 1 ln là số chính
phương
2

Lời giải
Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: n, n + 1, n + 2, n + 3 (
Ta có:

n∈Z

)

n( n + 1)(n + 2)( n + 3) + 1 = ( n 2 + 3n + 1) 2 (dpcm)

Bài 3: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là SCP
Lời giải
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là:
Ta có:

n − 2, n − 1, n, n + 1, n + 2( n ∈ N , n ≥ 2)

(n − 2)2 + (n − 1)2 + n 2 + (n + 1)2 + (n + 2) 2 = 5n 2 + 10 = 5( n 2 + 2)

Vì n2 là số chính phương nên n khơng thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n2 + 2 không
chia hết cho 5, hay

5(n 2 + 2)

không phải là số chính phương.

Bài 4: Cho hai số chính phương liên tiếp. CMR tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là
một số chính phương lẻ
Lời giải

Gọi hai số chính phương liên tiếp lần lượt là: a2 và

( a + 1) 2 ( a ∈ Z )

Theo bài ra ta có:
a 2 + (a + 1) 2 + a 2 (a + 1)2 = a 4 + 2a 3 + 3a 2 + 2a + 1 = (a 4 + 2a 3 + 3a 2 ) + (a 2 + 2a + 1) = (a 2 + a ) 2 + 2(a 2 + a ) + 1
= (a 2 + a + 1) 2

là SCP lẻ vì

a 2 + a = a(a + 1)

là số chẵn

⇒ a2 + a + 1

là số lẻ

Bài 5: Chứng minh rằng số n2 + 2014 với n nguyên dương không phải là số chính phương
Lời giải
Giả sử n2 + 2014 là số chính phương
Đặt

n 2 + 2014 = k 2 ⇒ k 2 − n 2 = 2014 ⇔ ( k + n)( k − n) = 2014

3


Ta có

( k + n) − ( k − n ) = 2 n

Mặt khác ta lại có :
Mà

chẵn

⇒ k + n; k − n

cùng tính chất chẵn lẻ

(k + n)(k − n) = 2014 ⇒ k − n; k + n

2014M4 ⇒ ( k + n)(k − n) ≠ 2014 ⇒

Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng

⇒ k; n

cùng tính chẵn lẻ

đều chia hết cho 2 hay

(k − n)(k + n)M4

khơng có số ngun dương nào của n để là SCP.
n 6 − n 4 + 2n3 + 2n 2 , n ∈ N , n > 1

không phải SCP

Lời giải
Ta có :
n 6 − n 4 + 2n3 + 2n 2 = n 2 (n 4 − n 2 + 2n + 1) = n 2 n 2 (n + 1)(n − 1) + 2(n + 1)  = n 2 (n + 1)(n 3 − n 2 + 2)
= n 2 (n + 1) ( n3 + 1) − ( n 2 − 1)  = n 2 (n + 1)  (n + 1)(n 2 − n + 1) − ( n + 1)(n − 1)  = n 2 ( n + 1) 2 (n 2 − 2n + 2)

Ta đi chứng minh

n 2 − 2n + 2

khơng phải số chính phương ( dựa vào

n 2 < A < (n + 1)2

)

Ta có :
n 2 − 2n + 2 = (n − 1) 2 + 1 > (n − 1) 2 ; n 2 − 2n + 2 = n 2 − 2( n − 1) < 2 ⇒ (n − 1) 2 < n 2 − 2n + 2 < n 2 ⇒ n 2 − 2n + 2

Khơng phải số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ khơng phải là SCP
Lời giải

Vì a, b là hai số lẻ, ta đặt

a = 2k + 1
(k , m ∈ N ) ⇒ a 2 + b 2 = 4( k 2 + k + m 2 + m) + 2 = 4t + 2(t ∈ N )

b = 2m + 1

Khơng có số chính phương nào dạng

4t 2 + 2(t ∈ N ) ⇒ a 2 + b 2

khơng phải số chính phương

Bài 8: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị
đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số CP
Lời giải
4


Cách 1: Ta đã biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ
Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1, 3, 5, 7, 9
Khi đó tổng của chúng là : 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của
a là 4 hoặc 6 nên

aM2 ⇒ aM4

Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96
Do đó ta có : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương.
Bài 9: Cho

A = 22 + 23 + 24 + ... + 2 20

. CMR : A + 4 không là số chính phương

Lời giải
A = 22 + 23 + 24 + ... + 220 ⇒ 2 A = 23 + 24 + ... + 221 ⇒ 2 A − A = A = 221 − 2 2 ⇒ A + 4 = 221 = 2.(210 ) 2

Không phải là số chính phương
b. Cho

B = 31 + 32 + ... + 3100

. CMR : 2B + 3 khơng là số chính phương

Lời giải
B = 31 + 32 + ... + 3100 ⇒ 3B = 32 + 33 + ... + 3100 ⇒ 2 B + 3 = 3101 = 3.(350 ) 2 ⇒ dpcm

A = 11...155...56
{ {

Bài 10: Chứng minh rằng

n +1

n

là số chính phương

Lời giải
n +1
A = 11...1.10
+ 55...5.10
+6 =
{
{
n +1

A=

n

99...9 n+1
10 n +1 − 1 n+1 5(10 n − 1)
.10 + 55...5.10
+
6
=
.10 +
.10 + 6
{
9
9
9
n

102 n + 2 − 10n+1 + 5.10 n+1 − 50 + 54 102 n+ 2 + 4.10n+1 + 4 10n+1 + 2 2
=
=(
)
9
9
3

5


B = 11.....1122....225

14 2 43 14 2 43

b. Chứng minh rằng

1997

1998

là số chính phương

Lời giải
1
2
1999
B = 11.....11.10
+ 22...22.10
+ 5 = (101997 − 1).101999 + (101998 − 1).10 + 5
14 2 43
123
9
9
1997
1998
100...005
2
14 2 43
1 3996
1



1998
1998
2
= (10 + 2.5.10 + 25) =  (10 + 5)  = ( 1997 ) 2
9
3
3

A = 11....1
{ + 44....4
123 + 1
2 nchuso1

c.

nchuso 4

là số chính phương

Lời giải
1=

Ta có :
A=

Vì

d.

e.

101 − 1
102 − 1
103 − 1
;11 =
;111 =
9
9
9

102 n − 1 4(10n − 1)
10 2 n + 4.102 + 4 10n + 2 2
+
+1 =
=(
)
9
9
9
3

10 n +2M3 ⇒ A

là số chính phương

10n + 8 2
A = 11....1
{ + 11...1
{ + 66....6
123 + 8 = ( 3 )

2n
n +1
n
2.10 n + 7 2
A = 44....4
)
{ +7 =(
123 + 22....2
123 + 88....8
3
n
2n
n +1

Bài 11: Cho

S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + k ( k + 1)(k + 2)

Lời giải

6

. CMR: 4S + 1 là số chính phương


Ta có:
k (k + 1)(k + 2) =

⇒S=

1
1
1
k (k + 1)(k + 2) [ (k + 3) − (k − 1) ] = k (k + 1)(k + 2)(k + 3) − (k − 1)k (k + 1)(k + 2)
4
4
4

1
k (k + 1)( k + 2)( k + 3) ⇒ 4 S + 1 = k ( k + 1)( k + 2)( k + 3) + 1 = ......
4

Bài 12: Khó. Cho một dãy số có số đầu tiên là 16, các số sau được tạo ra bằng cách viết thêm
số 15 vào chính giữa số liền trước nó: 16, 1156, 111556,… Chứng minh rằng mọi số của dãy
đều là số chính phương
Lời giải
Trong mỗi số của dãy trên, số chữ số 5 ln ít hơn số chữ số 1 là một chữ số
A = 11...11.
1 2 3 55...55
123

n.chu . so.1 n −1.chu . so.5

Đặt

thuộc dãy số trên. Ta sẽ chứng minh A là số chính phương

n
a = 11..11
{ → 10 = 9a + 1

Thật vậy, đặt

n.chu . so.1

Ta có:
n
n
2
2
A = 11.11
+ 5.11...11
{ .10 + 5. 11...11
1 2 3 .10 + 5 + 1 = 11...11.10
123
1 2 3 + 1 = a(9a + 1) + 5a + 1 = (3a + 1) = 33...33
123 4
n.chu . so.1

n −1.chu . so.1

n.chu . so.1

n −1.chu .so.3

n.chu .so.1

Vậy A là số chính phương.
Dạng 2: Tìm giá trị của biến để biểu thức là số chính phương
Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương

a.
d.

n 2 + 2n + 12

n 2 + n + 1598

b.
e. [ HSG – BG – 2013]

n(n + 3)

n 2 + 4n + 2013

n 2 + 2n + 18

Lời giải
7

c*.
f. [ HSG – LĐ – 2015]

13n + 3


a. Đặt

n 2 + 2n + 12 = k 2 (k ∈ N ) ⇒ (n 2 + 2n + 1) − k 2 = −11 ⇔ k 2 − (n + 1) 2 = 11

⇔ (k + n − 1)(k − n − 1) = 1.11 = (−1).(−11)

Ta lại có:

+) TH1:

+) TH2:

k + n −1 > k − n −1

k + n + 1 = 11 k + n = 10
k = 6
⇔
⇔
(tm)

k − n − 1 = 1
k − n = 2
n = 4
 k + n + 1 = −1
 k = −6
⇔
(loai )

k − n − 1 = −11 n = 4

Vậy n = 4
b.

n( n + 3) = a 2 ⇔ 4n 2 + 12n = 4a 2 ⇔ 4n 2 + 12n + 9 = 4a 2 + 9 ⇔ (2n + 3) 2 − 4a 2 = 9

⇔ (2n + 3 − 2a )(2n + 3 + 2a) = 9

+) TH1:

+) TH2:

 2n + 3 + 2 a = 9
n = 1
⇔
(tm )

2
n
+
3
−
2
a
=
1
a
=
2


2n + 3 + 2a = −1
 n = −4
⇔
(loai )


2n + 3 − 2a = −9
a = 2

Vậy n = 1
c. Đặt

13 + 3 = y 2 ( y ∈ N ) ⇒ 13( n − 1) = y 2 − 16 ⇔ 13(n − 1) = ( y + 4)( y − 4) ⇒ ( y + 4)( y − 4) M
13

mà
13  y = 13k − 4
 y + 4M
13 ∈ ρ ⇒ 
⇒
( k ∈ N ) ⇒ 13( n − 1) = (13k ± 4) 2 − 16 = 13k (13k ± 8) ⇒ 13k 2 ± 8k + 1 = n
y
−
4
M
13
y
=
13
k
+
4



Vậy

n = 13k ± 8k + 1(k ∈ N )

thì 13n + 13 là số chính phương
8


d.

n 2 + n + 1598 = m 2 (m ∈ N ) ⇒ (4n 2 + 4n + 1) + 6355 = 4m 2 ⇒ (2n + 1) 2 + 6355 = m 2

(2m + 2n + 1)(2m − 2n − 1) = 6355 = 6355.1 = 155.41 = 271.5 = 205.31

Ta có: 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 và là các số lẻ nên có 4 trường hợp
⇒ n ∈ { 1588,316, 43, 28}

e.
n 2 + 4n + 2013 = m 2 (m ∈ N ) ⇒ (n + 2)2 + 2009 = m 2 ⇔ (m + n + 2)(m + n − 2) = 2009.1 = 287.7 = 49.41

Vì m + n + 2 > m + n – 2 nên có 3 trường hợp xảy ra.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương
Lời giải
Vì n có hai chữ số

10 ≤ n ≤ 99 ⇒ 20 ≤ 2n ≤ 198 ⇒ 21 ≤ 2n + 1 ≤ 199

Mà 2n + 1 là số chính phương lẻ
⇒ 2n + 1 ∈ { 25; 49;81;121;169} ⇒ n ∈ { 12;24;40;60;84} ⇒ 3n + 1 ∈ { 37;73;121;181;253} ⇒ n = 40

Bài 3: Tìm số tự nhiên n có hai chữ số sao cho nếu cộng số đó với số có hai chữ số ấy viết

theo thứ tự ngược lại thì ta được một số chính phương
Lời giải
Gọi số cần tìm là:

ab(1 ≤ a, b ≤ 9)

Số viết theo thứ tự ngược lại là :
Tổng của hai số đó là :

ba

ab + ba = 11(a + b)

Vì tổng của hai số là số chính phương, đặt

11( a + b) = m 2 (m ∈ N ) ⇒ a + b = 11 ⇒

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92
9

có 8 số là :


Bài 4: Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho :

n 2 − 14n − 256

là một số chính phương

Lời giải

Đặt

n, k ∈ N ⇒ n + k − 7 > n − k − 7

Do

+)

+)
+)
+)

n 2 − 14n − 256 = k 2 ( k ∈ N ) ⇔ (n − 7) 2 − k 2 = 305 ⇔ (n − k − 7)( n + k − 7) = 305 = 61.5 =
(−1)(−305) = (−61)(−5)

n + k − 7 = 61 n = 40
⇔
(tm)

n
−
k
−
7
=
5
k
=
32



n + k − 7 = 1
⇔ n = 160(tm)

n − k − 7 = 305

n − k − 7 = −305 ⇒ n = −146(loai )

n − k − 7 = −61 ⇒ n = −26(loai )

Bài 5: Tìm số tự nhiên n để

28 + 211 + 2n

là số chính phương

Lời giải
Đặt
+)

28 + 211 + 2n = a 2 (a > 0, a ∈ N ) ⇒ 482 + 2n = a 2 ⇒ 2n = (a − 48)(a + 48)

n = 0 ⇒ ( a − 48)( a + 48) = 1 ⇒ voly

+)
a + 48 = 2 x
2 y = 5
x = 7
x

y
y
x− y
5
n>0⇒
( x + y = n; x > y ) ⇒ 96 = 2 − 2 ⇒ 2 (21 2 −
⇔
⇒ n = 12
31) = 2 .3 ⇔  x − y
y
a − 48 = 2
2 = 4
y = 5
le

Bài 6 : Tìm số tự nhiên

n ≥1

sao cho :

1!+ 2!+ .... + n!

10

là số chính phương


Lời giải
+)

+)
+)
+)

n = 1 ⇒ S = 1! = 1 = 12

n = 2 ⇒ S = 1!+ 2! = 3(loai )
n = 3 ⇒ S = 1!+ 2!+ 3! = 9 = 32

n = 4 ⇒ S = 1!+ 2!+ 3!+ 4! = 33(loai )
n ≥ 5 ⇒ S = 1!
2!2
+ 3!
6!2
+ ...
1+44
4+434! + 5!
1 +44
4 +43n! ⇒ khonglasochinhphuong
33

+)

tc =0

Vậy n = 1 hoặc n = 3
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

n!+ 232

là số chính phương

Lời giải
+)
+)
+)
+)

n = 1 ⇒ 1!+ 232 = 233(loai )

n = 2,3 ⇒ loai
n = 4 ⇒ n!+ 232 = 256 = 16 2 (tm)

n ≥ 5 ⇒ n !M5 ⇒ n !+ 232 ≡ 2(mod 5) ⇒ n !+ 232khonglasochinhphuong

Vậy n = 4.
Bài 8: Cho n là số nguyên dương sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là só chính phương. CMR n
chia hết cho 24
Lời giải
Đặt

n + 1 = a 2 ; 2n + 1 = b 2 (a, b ∈ N ) ⇒ b : le ⇒ b = 2k + 1 ⇒ b 2 = 4k (k + 1) + 1

11


b 2 − 1 4k ( k + 1)
n=
=
= 2k (k + 1) ⇒ n : chan ⇒ n + 1: le ⇒ a : le ⇒ a = 2q + 1(q ∈ N )

2
2

Mà

⇒ a 2 = 4q( q + 1) + 1 ⇒ n = 4q( q + 1)M
8(1)
14 2 43
M
2

Mặt khác
Và

a 2 + b 2 = 3n + 2 ≡ 2(mod 3)

a 2 , b 2 ≡ 0,1(mod 3) ⇒ a 2 , b 2 ≡ 1(mod 3) ⇒ a 2 − b 2 ≡ 0(mod 3) ⇒ (2n − 1) − (n + 1)M
3 ⇒ nM
3

(3,8) = 1 ⇒ n ⇒ nM24 ⇒ dpcm

Mà

Bài 9: [ Vào 10 Chuyên Phân Bội Châu, năm 2014 – 2015 ]
2

Tìm các chữ số a, b sao cho:

ab = (a + b)3

Lời giải
Từ giả thiết
Vì

⇒ ab = (a + b) a + b (1)

ab; a + b ∈ N * ⇒ a + b

Mà:

phải là số chính phương

1 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b ∈ { 1;4;9;16}

+) a + b = 1 thay vào (1)

⇒ ab = 1(loai )

+) a + b = 4; a + b = 16 loại hết
⇒ ab = 27 ⇒ a = 2; b = 7
+) a + b = 9

Bài 10: Biết

x ∈ N; x > 2

. Tìm x sao cho:

x( x − 1) x ( x − 1) = ( x − 2) xx( x − 1)

Lời giải
12


Ta có vế trái của đẳng thức là số chính phương nên vế phải cũng là số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể có chữ số tân cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9
Nên x chỉ có thể có tận cùng là: 1, 2, 5, 6, 7, 0 (1)
Do x là chữ số nên
Từ (1)(2)

x ≤ 9 ⇒ 2 < x ≤ 9(2)

⇒ x ∈ { 5,6,7}

Bằng phép thử ta thấy x = 7 thỏa mãn bài tốn :

762 = 5776

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương
a.

n2 − n + 2

b.

n5 − n + 2

Lời giải

a. Với n = 1 thì
Với n = 2 thì
Với n > 2 thì
b. Ta có :
-

n2 − n + 2 = 2

n2 − n + 2 = 4
n2 − n + 2

( n 5 − n )M
5

vì

khơng là số chính phương

là số chính phương

khơng là số chính phương vì :
n 5 − n = (n 2 − 1)n(n 2 + 1)

n = 5k ⇒ nM5

n = 5k ± 1 ⇒ n 2 − 1M
5

n = 5k ± 2 ⇒ n 2 + 1M
5

13

(n − 1) 2 < n 2 − n + 2 < n 2


n5 − n + 2

Nên
chia 5 thì dư 2 nên
khơng phải là số chính phương

n5 − n + 2

có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên

n5 − n + 2

Vậy khơng có giá trị nào của n thỏa mãn bài tốn.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương
a) n2 + 2n + 12

b) n(n + 3)

d) n2 + n + 1589

c) 13n + 3
Lời giải

a) Vì n2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k

⇒

(n2 + 2n + 1) + 11 = k2

⇔

k2 – (n + 1)2 = 11

⇔

∈

N)

(k + n + 1)(k – n - 1) = 11

Nhận xét thấy k + n + 1 > k - n - 1 và chúng là những số nguyên dương.

=> Ta có thể viết (k + n + 1) (k - n - 1) = 11.1
b) đặt n(n + 3) = a2 (n
⇔

(2n + 3)2 – 4a2 = 9

∈

N)

⇔

⇒

⇔

⇔

n2 + 3n = a2

k + n + 1 = 11 k = 6
=> 

k − n − 1 = 1
n = 4

4n2 + 12n = 4a2

⇔

(4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2

(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương
 2n + 2a + 3 = 9
n = 1
=> 

⇔  2n − 2a + 3 = 1
a = 2

Ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
c) Đặt 13n + 3 = y2 (y
⇒
⇒
⇒
⇒

∈

N)

⇒

13(n - 1) = y2 – 16



⇔

13(n - 1) = (y + 4)(y – 4)




(y + 4)(y – 4) 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 13 hoặc y – 4 13
y = 13k

±

4 (với k

13(n - 1) = (13k
13k2

±

±

∈

N)

4)2 – 16 = 13k.(13k

±

8)

8k + 1
14


Vậy n = 13k2

±

d) Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m
⇔

∈

8k + 1 (với k

∈

N) thì 13n + 3 là số chính phương
N)

⇒

(4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2

(2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355

Nhận xét thấy 2m + 2n + 1 > 2m – 2n – 1 > 0 và chúng là những số lẻ
=> Ta có thể viết (2m + 2n + 1) (2m – 2n – 1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy ra n có thể có các giá trị sau : 1588 ; 316 ; 43 ; 28
Bài 3: Tìm a để các số sau là những số chính phương
a) a2 + a + 43

b) a2 + 81

c) a2 + 31a + 1984

Lời giải
a) 2; 42; 13
b) 0; 12; 40
c) 12 ; 33 ; 48 ; 97 ; 176 ; 332 ; 565 ; 1728
Bài 4: Có hay khơng số tự nhiên n để 2010 + n2 là số chính phương.
Lời giải

Giả sử 2010 + n2 là số chính phương thì 2010 + n2 = m2 (m
Từ đó suy ra m2 - n2 = 2010

⇔

∈N

)

(m + n) (m – n) = 2010

Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
Từ (1) và (2)
⇒
⇒

⇒

⇒

2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)

m + n và m – n là 2 số chẵn.


(m + n) (m – n) 4 nhưng 2006 không chia hết cho 4
Điều giả sử sai.
15

Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n

≥

1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương.

(Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)
Lời giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 khơng là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
≥

Với n 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng
bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó khơng phải là số chính
phương. Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.
Lời giải
Ta có 10

≤

n

≤

99 nên 21

≤

2n + 1

≤

199.

Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng
với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n + 1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Vậy n = 40
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương
Lời giải
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a

∈

N) thì

2n = a2 – 482 = (a + 48) (a – 48)
2p. 2q = (a + 48) (a – 48) với p, q
⇒

a + 48 = 2p và a – 48 = 2q

⇒

∈

N ; p + q = n và p > q

2p - 2q = 96

⇔

2q (2p-q – 1) = 25.3

16


⇒

q = 5 và p – q = 2

⇒

p=7

⇒

n = 5 + 7 = 12

Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
Bài 8: Tìm số nguyên tố

ab

(a > b > 0) sao cho

ab − ba

là số chính phương.

Lời giải
ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = 9a − 9b = 9 ( a − b ) = 32 ( a − b )

Do

ab − ab

Ta thấy 1

là số chính phương nên a-b là số chính phương.

≤ a −b ≤ 8

nên a-b

∈ {1;4}

ab ∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98}

Với a - b = 1 thì
43 là số nguyên tố.
Với a - b = 4 Thì
Vậy

ab ∈ { 51;62;73;84;95}

loại các số là hợp số 21;32;54;65;76;87;98. Còn

loại các hợp số 51; 62; 84; 95. Còn 73 là số nguyên tố.

ab = 43;73

Dạng 3 : Tìm số chính phương
17


Bài 1: Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, hai chữ số
cuối giống nhau
Lời giải
Gọi số chính phương cần tìm là :

aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b = n 2 ⇔ n 2 = 11(100a + b)(1)

Ta có :
Lại có :
Mà :

aabb = n 2 (a, b ∈ N ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9)

aabbM
11 ⇒ 100a + bM
11 ⇒ 99a + a + bM
11 ⇒ a + bM
11

1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9 ⇒ 1 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + b = 11

Thay a + b = 11 vào (1), được :

n 2 = 11(99a + 11) = 111 (9a + 1) ⇒ 9a + 1

phải là số chính phương

Bằng phép thử a = 1, 2,…., 9 ta được a = 7, b = 4
Vậy số cần tìm là :

7744 = 112.82 = 882

Bài 2: Tìm số chính phương

abcd

, biết :

ab − cd = 1

Lời giải
Đặt
abcd = n 2 ⇒ n 2 = 100ab + cd = 100(cd + 1) + cd = 101cd + 100 ⇒ n 2 − 10 2 = 101cd ⇔ 101cd = (n + 10)( n − 10)
101
 n − 10M
⇒
101
 n + 10M

Vì 101 là số nguyên tố

Ta có :

1000 ≤ n 2 < 10000 ⇒ 31 < n < 100 ⇒ n + 10M
101 ⇔ n = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281

Bài 3: Tìm số nguyên tố

ab( a > b > 0)

, sao cho

ab − ba

Lời giải
18

là số chính phương


Ta có :
Có :

ab − ba = 9( a − b) = 32 ( a − b) = n 2 ⇒ a − b

phải là số chính phương

1 ≤ a − b ≤ 8 ⇒ a − b = 1; a − b = 4

+) a – b = 1 thì
+) a – b = 4 thì

ab ∈ { 21;32;43;54;65;76;87;98} ⇒ 43
ab ∈ { 51;62;73;84;95} ⇒ 73

Bài 4: Tìm một số có bốn chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương
Lời giải
Gọi số cần tìm là:
Đặt

abcd = x 2 = y 3 ( x, y ∈ N )

Ta có :
Có :

abcd (1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9)

x 2 = y 3 − y. y 2 ⇒ y

là số chính phương

1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 103 ≤ y 3 ≤ 3 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21

Vì y là số chính phương nên y = 16

⇒ abcd = 163 = 4096

Bài 5: Tìm STN có hai chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của hai số đó và số viết bởi
hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Lời giải
ab(a, b ∈ N ,1 ≤ a, b ≤ 9)

Gọi STN có hai chữ số là :

Số viết theo thứ tự ngược là :
2

Theo bài ra ta có :

ba

2

ab − ba = n 2 (n ∈ N ) ⇔ (10a + b) 2 − (10b + a ) 2 = n 2 ⇔ 99(a 2 − b 2 ) = n 2

19


Cách 1:
Đặt
99( a 2 − b 2 ) = n 2 ⇒ n 2 M
11 ⇒ n M
11 ⇒ n 2 M
121 ⇒ 99( a − b)(a + b)M
11 ⇒ a 2 − b 2 M
11 ⇔ ( a − b)( a + b)M
11

Vì

−8 < a − b ≤ 8; 2 ≤ a + b ≤ 18 ⇒ a + bM

11 ⇒ a + b = 11
2

Khi đó :

2

ab − ba = 99.11 = 32.112 (a − b)

là số chính phương

a − b : lasochinhphuong  a − b = 1
⇒
⇒
0
<
a
b
<
9

a − b = 4

+)

+)

a − b = 1
a = 6
⇒

⇒ ab = 65 ⇒ 652 − 562 = 1089 = 332

a
+
b
=
11
b
=
5


a − b = 4
⇒ a = 7,5(loai )

a
+
b
=
11


Vậy số cần tìm là : 65
Bài 6: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn
bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương
Lời giải
Gọi số phải tìm là :
abcd

abcd (1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b, c, d ≤ 9)

Là số chính phương

⇒ d ∈ { 0;1;4;5;6;9}

Mà d là số nguyên tố nên d = 5
Đặt

abcd = k 2 ⇒ 1000 ≤ k 2 ≤ 10000 ⇔ 32 ≤ k < 100; k 2 = k

K là số có hai chữ số mà k2 tận cùng là 5 nên k có tận cùng là 5
20


Tổng các chữ số của k là số chính phương nên k = 45

⇒ abcd = 2025

Bài 7: Cho A là số chính phương gồm bốn chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một
đơn vị thì ta được một số chính phương. Hãy tìm các số A và B
Lời giải
Gọi số chính phương A là :

abcd = k 2 (k ∈ N )

Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị ta được :
B = (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = m 2 (a, b, c, d , m ∈ N );32 ≤ k < m < 100

Có :

Vì

2
 A = abcd = k
⇒ m 2 − k 2 = 1111 ⇔ (m − k )(m + k ) = 11.101

2
 B = abcd + 1111 = m

 m + k = 101 m = 56  A = 2025
m − k; m + k > 0 ⇒ m + k > m − k ⇒ 
⇔
⇒
 m − k = 11
k = 45
 B = 3136

Bài 8: Tìm SCP gồm bốn chữ số, biết rằng khi ta cộng thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn,
thêm 3 vào chữ số hàng trăm, thêm 5 vào chữ số hàng chục, thêm 3 vào chữ số hàng đơn vị ta
vân được một số chính phương
Lời giải
abcd

Gọi
Vì

abcd

là số phải tìm

là số chính phương, đặt

Ta có số mới là :
Từ (1)(2)
Có :

(a, b, c, d ∈ N ,0 ≤ a, b, c, d ≤ 9, a ≠ 0)
abcd = k 2 ( k ∈ N )(1) ⇒ 1000 ≤ k 2 < 10.000

( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 7) = m 2 (m ∈ N ) ⇔ abcd + 1353 = m 2 (2)

⇒ m 2 − k 2 = 1353 ⇔ (m − k )(m + k ) = 1353 = 121.11 = 33.41

m > k ⇒ m−k > 0⇒ m+k > m−k

21


+)

+)

m + k = 123 m = 67
⇔

m − k = 11
k = 56
 m + k = 41  m = 37
⇔
(loai )


 m − k = 33  k = 4

Vậy

abcd = 3136

Bài 9: Tìm một số chính phương gồm bốn chữ số biết rằng số gồm hai chữ số đầu lớn hơn số
gồm hai chữ số sau 1 đơn vị
Lời giải
Đặt

abcd = k 2

Khi đó ta có :
Mà

ab − cd = 1
101
 k + 10M

⇒ 101cd = k 2 − 100 = (k − 10)( k + 10) ⇒ 
k ∈ N
101
 k − 10M
32 ≤ k < 100


( k − 10;101) = 1 ⇒ k + 10M
101;32 ≤ k < 100 ⇒ 42 ≤ k + 10 < 110 ⇒ k + 10 = 101 ⇒ k = 91

⇒ abcd = 912 = 8281

Bài 10: Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số
của nó
Lời giải
Gọi số phải tìm là :

ab(a, b ∈ N ,1 ≤ a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9)

Theo giả thiết ta có :
Do đó

ab

ab = (a + b )3 ⇔ (10a + b) 2 = (a + b)3 = (a + b )(a + b )2

là một lập phương và a + b là một số chính phương
22


Đặt

Vì

ab = t 3 (t ∈ N ), a + b = m 2 (m ∈ N )

 ab = 27
10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ 
 ab = 64

+) Nếu
+) Nếu

ab = 27 ⇒ a + b = 9(tm)

ab = 64 ⇒ a + b = 10(loai )

Vậy số cần tìm là 27
Bài 11: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn
vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Lời giải
Gọi A =
B=
⇒

. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số

(a + 1)( b + 1)( c + 1)( d + 1) = m 2

Ta có: A =

B=
⇒

abcd = k 2

với k, m

∈

1; 9

N và 32 < k < m < 100 ; a, b, c, d =

abcd = k 2

abcd + 1111 = m 2

m2 – k2 = 1111

. Đúng khi cộng khơng có nhớ

⇔

(m - k)(m + k) = 1111

(*)

Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương.
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: m – k = 11 và m + k = 101
⇔

m = 56 và n = 4

⇔

A = 2025 và B = 3136

23


Bài 12: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối
giống nhau.
Lời giải
Gọi số chính phương phải tìm là:
Ta có: n2 =

aabb

Nhận xét thấy
Mà 1

≤

a

≤

= 11.

aabb 

9; 0

≤

b

a0b

11

≤

aabb

= n2 với a, b

∈

N, 1

≤

a

= 11.(100a + b) = 11.(99a + a + b)

⇒

≤

9; 0

≤

b

≤

9

(1)



a + b 11

9 nên 1

≤

a+b

≤

18

⇒

a + b = 11

Thay a + b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2;…; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thoả mãn

⇒

b=4

Số cần tìm là: 7744
abcd

Bài 13: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số
tố, số k có tổng các chữ số là một số chính phương.

= k2 sao cho chữ số cuối là số nguyên

Lời giải
Gọi số phải tìm là
abcd

abcd

chính phương

d ngun tố

⇒

⇒

với a, b, c, d ngun và 1
d

≤

a

≤

9; 0

≤

b, c, d

≤

9

∈ { 0,1, 4, 5, 6, 9}

d=5

Có số chính phương

abcd

2

= k < 10000

⇒

≤

32

k < 100

k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5
Tổng các chữ số của k là một số chính phương

⇒

24

⇒

k tận cùng bằng 5

k = 45


⇒ abcd

= 2025

Vậy số phải tìm là: 2025
Bài 14: Tìm một số chính phương có 4 chử số sao cho khi viết 4 chử số đó theo thứ tự ngược
lại ta củng được một số chính phương và số chính phương này là bội số của số chính phương
cần tìm.
Lời giải
Đặt số phải tìm là
Ta lại có

dcba = N 2

abcd = M 2

thì 1000 < M2 < 10000 nên 31 < M < 50

. Tính tổng và hiệu hai số chính phương này ta được

abcd + dcba = 1001( a + d ) + 110 ( b + c ) M
11
abcd − dcba = 999 ( d − a ) + 90 ( c − b ) M

Vì

dcba

là bội của

abcd

abcd

=>
vừa phải chia hết cho 11 vừa phải chia hết cho 3 tức là bội số của 33
Mà 31 < M < 50 nên M = 33 và ta có
abcd = 332 = 1089, dcba = 9801 = 992

Bài 15: Tìm số chính phương

abcd

biết rằng

ab − cd = 1

Lời giải
Giả sử

n 2 = abcd = 100ab + cd

(

)

= 100 cd + 1 + cd = 101cd + 100

101cd = n 2 − 102 = ( n − 10 ) ( n + 10 )

Suy ra :
Vì n < 100 và 101 là số nguyên tố nên n + 10 = 101 suy ra n = 91
abcd = 912 = 8281

Thử lại
có 82 – 81 =1
Vậy số cần tìm là 8281
Bài 16: Tìm số chính phương có 4 chữ số mà hai chử số đầu giống nhau và hai chữ số cuối
giống nhau
Lời giải
25