Chuyên đề ứng dụng của tích phân luyện thi THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Tính di

ện tích hình phẳng

 Dạng 1 : Biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b, (a<b).

Khi đó diện tích miền D là :

∫

f (x)−g(x) dx.

• TH 1: Nếu f (x) g(x)− =0 vô nghiệm trên

( )

a; b thì

[

]

∫

f (x) g(x) dx−

• TH 2: Nếu f (x) g(x)− =0 có nghiệm a<x1<x2 < <... xn <b thì :

[

]

[

]

[

]

1 2

1 n

x x b

a x x

∫

f (x) g(x) dx− +

∫

f (x) g(x) dx− + +...

∫

f (x) g(x) dx−

• Chú ý: Nếu g(x)=0 (trục Ox) thì

∫

f (x) dx.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Dạng 2: Chưa biết cận tích phân

Cho miền D giới hạn bởi đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x) .

+ Giải phương trình f (x) g(x)− =0 tìm nghiệm x1<x2 < <... xn .

+ Tình

[

]

[

]

[

]

2 n

1 2 n 1

x x

x x x

S f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx ... f (x) g(x) dx

−

∫

− +

∫

− + +

∫

−

Chú ý: Nếu biết một cận thì ta tìm cận cịn lại.

 Dạng 3: Miền cần tính giới hạn bởi 3 đồ thị

+ Tìm giao điểm từng cặp đồ thị.

+ Vẽ đồ thị xác định miền D.

+ Chia miền D để tính diện tích từng phần rồi cộng lại.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Hình elip Hình parabol

Cho elip có phương trình

2 2

x y

a + b = ,

khi đó diện tích elip là : S= πab

Diện tích parabol có chiều cao h và bán kính

đáy r là: S 4r.h
3
=

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Câu hỏi lý thuyết về ứng dụng hình học của tích phân.
 Xây dựng cơng thức tính diện tích theo hình vẽ.

 Diện tích hình phẳng y=f(x), Ox.
 Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x).

 Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x), y=h(x).
 Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị.

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường

2 , 1, 0

y= x y= − x= và x= được tính bởi cơng thức nào dưới đây? 1

A.

(

)

1
2

2 1 d

S=π

∫

x + x. B.

(

)

1
2

2 1 d

S=

∫

x − x.

C.

(

)

2
2

2 1 d

S=

∫

x + x. D.

(

)

1
2

2 1 d

S=

∫

x + x.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định các đường giới hạn của hình phẳng y= f x1( ), y= f x2( ), x=a, x= b

( )

1 2

y= f x = x , y= f2

( )

x = −1, x= = và a 0 x= = b 1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1( ) 2( )

b

a

S =

∫

f x − f x dx ⇒

( )

1 1

2 2

0 0

2 1 d 2 1 d

S=

∫

x − − x=

∫

x + x

B3:Phân tích để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Chọn D

Diện tích của hình phẳng là

( )

1 1

2 2

0 0

2 1 d 2 1 d

S=

∫

x − − x=

∫

x + x

Vì 2

2x + > ∀ ∈  nên 1 0, x

(

)

1 1

2 2

0 0

2x +1 dx= 2x +1 dx

∫

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1: Với hàm f x tùy ý liên t

( )

ục trên , a< , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm b

số y= f x

( )

, trục hoành và các đường thẳng x a= , x b= được tính theo công thức

A.

( )

b

a

S =

∫

f x x. B.

( )

b

a

S =π

∫

f x x. C.

( )

b

a

S =

∫

f x x . D.

( )

b

a

S =π

∫

f x x.

Lời giải

Chọn A

Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= f x

( )

, trục hoành

và các đường thẳng x a= , x b=

(

a<b

)

. Ta có

( )

b

a

S =

∫

f x x

Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x2
x

= , y =0, x= , 1 x= . e

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 
e

2
1
ln
d
x
S x
x
π

∫

. B.

e
2
1
ln
d
x
S x
x

∫

. C.

2
e
2
1
ln
d
x
S x

x
 
=  
 

∫

. D.

2
e
2
1
ln
d
x
S x
x
π  
=  
 

∫

Lời giải

Chọn B

Ta có
e
2
1
ln

d
x
S x
x
=

∫

.
Vì
e
2 2
1
ln ln

[1; e], ln 0 x 0 xd

x x S x

x x

∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ ⇒ =

∫

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A.

[

]

( ) ( ) d

f x g x x

−

∫

. B.

[

]

( ) ( )

g x f x dx

−

∫

C.

[

]

[

]

0 3

2 0

( ) ( ) d g( ) ( ) d

f x g x x x f x x

−

− + −

∫

. D.

[

]

[

]

0 3

2 0

( ) ( ) ( ) ( )

g x f x dx f x g x dx

−

− + −

∫

Lời giải

Chọn C

Từ đồ thị hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) ta có diện tích phần hình phẳng tơ màu trong hình vẽ

là:

( ) ( )

S f x g x dx

−

∫

−

[

]

[

]

0 3

2 0

0 3

2 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) d g( ) ( ) d

f x g x dx f x g x dx

f x g x x x f x x

−

= − + −

∫

Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào?

A.

(

)

0
2
3

d
3

x − x x

∫

. B.

(

)

2 3 d

x x x

− +

∫

C.

(

)

(

)

3 3

0 0

4 2 d 2 d

x − x+ x− − +x x

∫

. D.

(

)

(

)

3 3

2 d 4x 2 d

x x x x

− + + − +

∫

Lời giải

Chọn B

Ta có

(

)

(

)

(

)

2 4 2 d 3 d

x x x x x x x

 − + −  = −

 − +  +

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Câu 5: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x

( )

, trục hoành, đường thẳng
,

x=a x= (như hình vẽ bên). Hỏi cách tính b S nào dưới đây đúng ?

A.

( )

b

a

S =

∫

f x dx. B.

( )

c b

a c

S =

∫

f x dx +

∫

f x dx.

C.

( )

c b

a c

S = −

∫

f x dx+

∫

f x dx. D.

( )

c b

a c

S=

∫

f x dx+

∫

f x dx.
Lời giải

Chọn B

Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng ta được

( )

c b

a c

S =

∫

f x dx +

∫

f x dx.

Câu 6: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y=x3−3x, y= . Tính S . x

A. S = . 4 B. S = . 8 C. S = . 2 D. S = . 0
Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là 3

x − x=x ⇔x3−4x=0

x

= −


⇒ =

 =


Vậy 0

(

)

(

)

2 0

4 d 4 d

S x x x x x x

−

∫

− +

∫

− = + = . 4 4 8

Câu 7: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= , 3x y=0,x= ,0 x= . Mệnh đề 2
nào dưới đây đúng?

A.
2

3x

S =

∫

dx. B.

2
2

3 x

S =π

∫

dx. C.

3x

S =π

∫

dx. D.

2
2

3 x

S =

∫

dx.

Lời giải

Chọn A

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi cơng thức
2

3x

S =

∫

dx.

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= , trục hoành và hai đường thẳng x3

x= − , x= bằng 1

A. 1

3. B.

2. C.

3. D. 1.

Lời giải

Chọn B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Khi đó:

1 0 1

3 3 3

1 1 0

d d d

S x x x x x x

− −

∫

= (đvdt).

Câu 9: Cho hàm số y= f x

( )

liên tục trên đoạn

[ ]

a b . G; ọi D là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị

( )

C : y= f x

( )

, trục hoành, hai đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽ dưới đây). Giả sử

D

S là diện tích hình phẳng D . đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?

A.

( )

d d

b
D

a

S =

∫

f x x+

∫

f x x. B.

( )

d d

b
D

a

S = −

∫

f x x+

∫

f x x.

C.

( )

d d

b
D

a

S =

∫

f x x−

∫

f x x. D.

( )

d d

b
D

a

S = −

∫

f x x−

∫

f x x.

Lời giải

Chọn B

Ta có

( )

d d d

b b

D

a a

S =

∫

f x x=

∫

f x x+

∫

f x x.

Vì f x

( )

≤ ∀ ∈0, x

[ ] ( )

a; 0 ,f x ≥ ∀ ∈0, x

[ ]

0;b nên:

( )

(

)

( )

0 0

d d d d .

b b

D

a a

S = −

∫

f x x+

∫

f x x= −

∫

f x x+

∫

f x x

Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=

(

x−2

)

2− , trục hoành và hai đường thẳng 1

1, 2

x= x= bằng

A. 2

3. B.

2. C.

3. D.

7
3.

Lời giải

Chọn A

Ta có:

(

)

(

)

2 2 2

1 1 1

2 1 d 4 3 d 4 3 d

S=

∫

x− − x=

∫

x − x+ x=

∫

x − x+ x = .

 Mức độ 2

Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=x3+11x− và 6 y=6x2 là

A. 52 . B. 14. C. 1

4. D.

1
2.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị là : 3 2

11 6 6

x + x− = x

x

=


⇔ =

 =


Diện tích của hình phẳng là :

(

)

(

)

2 3

3 2 3 2

1 2

6 11 6 6 11 6

S=

∫

x − x + x− dx +

∫

x − x + x− dx

2 3

4 4

3 2 3 2

1 2

11 11

2 6 2 6

4 2 4 2

x x

x x x x x x

   

=  − + −  + − + − 

   

1 1 1

4 4 2

= + = .

Câu 2: Tính diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

( )

;

( )

f x = x g x = −x trong hình sau

A. 7

S = . B. 10

S = . C. 11

S = . D. 7

S = .

Lời giải

Chọn B

(

)

(

)

4 4 3 2

0 0 2

2 10

2 2 2

3 2 3

x

S = x− −x dx=  x− −x dx= x − + x =

 

∫

Câu 3: Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong y= − +x3 12x và y= − . x2

A. 937

S= . B. 343

S = . C. 793

S = . D. 397

S= .

Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 đường cong:

3 2 2

12 ( 12) 0 3

x

x x x x x x x

x

=



− + = − ⇔ − − = ⇔ = −

 =


Diện tích cần tìm là:

4 0 4

3 2 3 2 3 2

3 3 0

12 d 12 d 12 d

S x x x x x x x x x x x x

− −

∫

− − =

∫

− − +

∫

− −

O 2 4 x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

(

)

(

)

0 4

0 4 4 3 4 3

3 2 3 2 2 2

3 0 3 0

12 d 12 d 6 6

4 3 4 3

x x x x

x x x x x x x x x x

− −

   

= − − + − − =  − −  +  − − 

   

∫

99 160 937

4 3 12

− −

= + = .

Câu 4: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

: 1

1
x
H y
x
−
=

+ và các trục tọa độ.
Khi đó giá trị của S bằng

A. S =2 ln 2 1− . B. S =ln 2 1+ . C. S =ln 2 1− . D. S =2 ln 2 1+ .

Lời giải

Chọn A

( )

:
1
−
=
+
x
H y

x ,

( )

H cắt trục Ox Oy, lần lượt tại A

( )

1; 0 , B

(

0; 1− .

)

Gọi

( )

K là hình phẳng giới hạn bởi các đường 1, 0, 0

1
−

= = =

x

y y x

x
Suy ra
1
0
1
dx
1
−
=
+

∫

x
S
x
1
0
2
1 dx

1
 
=  − 
+
 

∫

x (do 1

x
x

−

+ không đổi dấu với x∈

( )

0;1 )

(

)

0
2 ln 1

x x

= − + =2 ln 2 1− .

Vậy S=2 ln 2 1− .

Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

(

)

0
2

3 d

x x x

−

∫

. B.

(

)

0
2

3 d

x x x

−

− −

∫

C.

(

)

0
2

5 2 d

x x x

−

− − +

∫

. D.

(

)

0
2

5 2 d

x x x

−

+ −

∫

Lời giải

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta thấy: ∀ ∈ −x

[

3; 0

]

: 2

1 4 1

x− ≥x + x− nên

(

)

(

)

1 4 1 d

S x x x x

−

 

∫

 − − + − 

(

)

0
2

3 d

x x x

−

∫

− − .

Câu 6: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

(

)

3 2

1
2

2x 3x 1 dx

−

− + −

∫

. B.

(

)

3 2

1
2

2x x 2x 3 dx

−

− + −

∫

C.

(

)

3 2

1
2

2x 3x 1 dx

−

− +

∫

. D.

(

)

3 2

1
2

2x x 2x 3 dx

−

− + − +

∫

Lời giải

Chọn C.

Ta thấy: 1;1
2

x  

∀ ∈ − 
 :

3 2 2

2x −2x + − ≥x 1 x + −x 2 nên

(

) (

)

3 2 2

2 2 1 2 d

S =

∫

 x − x + − −x x + −x  x

(

)

3 2

2x 3x 1 dx

∫

− + .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A.

(

)

3 2

5 9 7 d

x − x + x− x

∫

. B.

(

)

3 2

5 9 7 d

x x x x

− + − +

∫

C.

(

)

3 2

9 9 d

x x x x

− + + −

∫

. D.

(

)

3 2

9 9 d

x −x − x+ x

∫

Lời giải

Chọn C

Ta thấy: ∀ ∈x

[ ]

1;3 : 2 3 2

2x 9x 8 x 3x 1

− + − ≥ − + nên

(

) (

)

2 3 2

2 9 8 3 1 d

S =

∫

 − x + x− − x − x +  x

(

)

3 2

9 9 d

x x x x

= − +

∫

+ − .

Câu 8: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo cơng thức nào dưới đây?

A.

(

)

2
2

2x 2x 4 dx

−

− −

∫

. B.

(

)

2x 2 dx

−

− +

∫

C.

(

)

2x 2 dx

−
−

∫

D.

(

)

2
2

2x 2x 4 dx

−

− + +

∫

Lời giải

Chọn D

Từ đồ thị hai hàm số y= − + và x2 3 y=x2−2x− ta có 1 2 2

3 2 1

x x x

− + ≥ − − , ∀ ∈ −x

[

1; 2

]

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là

(

) (

)

(

)

2 2

2 2 2

3 2 1 d 2 2 4 d

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y

=

4 x

−

x

2 và trục

Ox

A. 11. B. 34

3 . C.

3 . D.

32
3 .

Lời giải

Chọn D

Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y

=

4 x

−

x

2 và trục

Ox

Xét phương trình 2

0

4

0

4 x

=



−

= ⇔  =



Ta có

4 4 3

2 2 2

0 0 0

32

4 (4

)

(2

)

3 x

S

=

∫

x

−

x dx

=

∫

x

−

x dx

=

x

−

=

Câu 10: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox Oy và đường thẳng ,

x  . Tính S hình phẳng trên.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Chọn B

Ta có:





2 2 4

0
0

1 1 1

2 2

x x

S



e dx e  e  .

 Mức độ 3

Câu 1: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên ?

A. 109

6 . B.

109

3 . C.

12. D.

61
9 .

Lời giải

Chọn A

2 x

y=e

e − 1

(

4 1

)

2 e −

2e

(

)

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ta có diện tích hình phẳng: 5

(

)

2
0

3 4 3 d

S =

∫

 x+ − x − x+  x=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 3 5

2 2 2

0 1 3

3 4 3 d 3 4 3 d 3 4 3 d

x x x x x x x x x x x x

     

∫

 + − − +  +

∫

 + − − + −  +

∫

 + − − + 

(

)

(

)

(

)

1 3 5

2 2 2

0 1 3

5 d 3 6 d 5 d

x x x x x x x x x

= − +

∫

− + + − +

∫

1 3 5

3 2 3 2 3 2

0 1 3

5 3 5

3 2 3 2 3 2

13 26 22 109

6 3 3 6

x x x x x x

x

     

= − +  + − +  + − + 

     

= + + =

.

Câu 2: Biết rằng parabol

( )

P :y2 =2x chia đường tròn

( )

C :x2+y2 =8 thành hai phần lần lượt có

diện tích là S , 1 S 2 (như hình vẽ). Khi đó S2 S1 a b
c

− = − với , ,a b c nguyên dương và b
c là

phân số tối giản. Tính S = + +a b c.

A. S =13. B. S =16. C. S =15. D. S =14.

Lời giải

Chọn C

S

1

x

y

S

2

O

S

1

x

y

2 2

S

2

2

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Xét hệ
2 2
2
8
2
x y
y x
 + =


=

2
2

2 8 0

2
x x
y x
 + − =


⇔ 
=
 2
4 2
2
x x
y x
= − ∨ =

⇔ 
=
 2
2
4
x
y
=

⇔ 
=
 .

2 2 2

2
1

0 2

2 2 d 2 8 d

S =

∫

x x+

∫

−x x

2
2
3
1
0 0
2 16

2 2 d 2. 2.

3 3

I = x x= x  =

 

∫

.
2 2
2
2
2

2 8 d

I =

∫

−x x

Đặt x=2 2 cost ⇒dx= −2 2 sin dt t

x= ⇒ = , t π x=2 2⇒ =t 0.

(

)

2
2

2 8 8 cos 2 2 sin d

I t t t

∫

− − 4 2

16 sin dt t
π

∫

(

)

8 1 cos 2 dt t
π

∫

− 4

8 sin 2

t t

 

=  − 

  =2π−4.

1 1 2

4
2

S I I π

⇒ = + = + .

( )

2 1

2 2 6

S π S π

⇒ = − = − .

2 1

8
4

S S π

⇒ − = − .

Vậy a=4, =8, c=3 ⇒ = + + =S a b c 15.

Câu 3: Tìm số thực dương a để hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

2 2

2 3

x ax a

y

a

+ +

+ và
2
6
1
a ax
y
a
−

+ có diện tích đạt giá trị lớn nhất.

A. 2 . B.

3
1

2 . C. 1. D.

33 .

Lời giải

Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 hàm số là: 2 6 2 2 6

2 3

1 1

x ax a a ax

a a

+ + = −

+ +

2 2

3 2 0

x a

x ax a

x a
= −

⇔ + + = ⇔ 
= −


Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số là:

2 2 3

2 2

6 6

3 2 1 3

1 1 3 2

a

x ax a x

S dx ax a x

a
a a
−
−
−
 
+ +
= =  + +  −
+ +  

∫

3 3 3 3 3

1 3 8

2 6 4

1 3 2 3

a

a a a a a

a

 

= − + − + − + 

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

(

)

3 3

3
6

1
12
12

6 1

Cauchy

a a

a

a ≤ =

+ . Dấu

"= ⇔" a = ⇔ =1 a 1,vì a> . 0

Vậy diện tích S đạt giá trị lớn nhất là 1

12, khi a= . 1

Câu 4: Cho

( )

H là hình phẳng giới hạn bởi parabol 2

y= x và nửa đường tròn tâm

( )

H bán kính

bằng 2 nằm phía trên trục hồnh (phần tơ đậm trong hình vẽ bên). Diện tích của

( )

H được tính

theo cơng thức nào dưới đây?

A. 
1

2 2

2 3

S =

∫

 −x − x dx. B.

2 2

2. 4 3

S =

∫

 −x − x  dx.

C. 
1

2 2

3 4

S =

∫

 x − −x dx. D.

2 2

4 3

S =

∫

 −x − x  dx.

Lời giải

Chọn B

Phương trình đường trịn tâm O bán kính bằng 2 là: 2 2
4.

x +y =

⇒ Phương trình nửa đường trịn nằm phía trên trục hồnh là: 2
4

y= −x với x∈ −

[

2; 2

]

Phương trình hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là:
2

2 2 2 4 4 2

1 ( )

4 3 4 3 3 4 0 4 1.

(L)
3

x TM

x x x x x x x

x

 =


− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − ⇔ = ±

 =


Diện tích hình phẳng

( )

H là:

1 1

2 2 2 2

1 0

4 3 2. 4 3 .

S x x dx x x dx

−

 

∫

− − =

∫

 − − 

(Vì trục Oy chia hình

( )

H thành 2 nửa bằng nhau, có diện tích bằng nhau và trên

[

−1;1

]

, đồ thị

của nửa đường trịn nằm phía trên parabol.

Câu 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

y= − +x x và trục hoành. Hai đường

thẳng y=m và y=n chia (H) thành 3 phần có diện tích bằng nhau( tham khảo hình vẽ). Giá
trị của biểu thức 3 3

(4 ) (4 )

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

A. 320

T = . B. 512

T = . C. T =405. D. 75

T = .

Lời giải

Chọn A

*) Chứng minh cơng thức tính nhanh diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số 2

( 0)

y=ax +bx+c a≠ cắt trục hoành tại 2 điểm x x và tr1, 2 ục hồnh (x1 < ) x2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

( 0)

y=ax +bx+c a≠ và trục hoành là

2
1

x

S =

∫

ax +bx+c dx

Khơng mất tính tổng qt, sử a<0. Vì đồ thị hàm số đã cắt trục hoành tại hai điểm

phân biệt x x nên 1, 2 ax2+bx c+ ≥0, x∀ ∈

[

x x1; 2

]

. Do đó,

( )

x

S =

∫

ax + +bx c dx

3 2 3 3 2 2

2 1 2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

x

a b a b

x x cx x x x x c x x

= + + = − + − + −

2 2

2 1 2 2 1 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 3 2

a b a b c b b

x x x x x x x x c c

a a a a

 

∆ −

 

= −  + + + + + = −  − + + 

   

2 2

4 4

6 6 6

b ac b ac

a a a a a

   

∆ − + ∆ − ∆ ∆

= −  =  =

    . Vậy

3
2

2 hay 4

6 36

S S

a a

∆ ∆ ∆

= =

*) Vận dụng cơng thức tính nhanh vào giải bài tập:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
4

y= − +x x và trục hồnh

Ta có 2 16 16 32

6 6 3

S
a

∆ ∆

= = =

+) Gọi S là di1 ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

4 (P)

y= − +x x và y=m

Tịnh tiến (P) xuống dưới m đơn vị ta được đồ thị hàm số 2
4

y= − +x x−m

Khi đó S là di1 ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2
4

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

3 3 2

2 1 3 1

1 4 3

36
(16 4 )

(4 ) (1)

36 36 4

S
m

S m

a

∆ −

= = ⇔ − =

+) Gọi S là di2 ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= − +x2 4 (P)x và y= n

Tịnh tiến (P) xuông n đơn vị ta được đồ thị hàm số 2
4

y= − +x x n−

Khi đó S là di2 ện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2
4

y= − +x x− và trục Ox n

3 3 2

2 2 3 2

2 4 3

36
(16 4 )

(4 ) (2)

36 36 4

S
n

S n

a

∆ −

= = ⇔ − =

Theo bài ra ta có 1 32; S=2 64

3 9 3 9

S S

S = = =

Từ (1) và (2) ta có

2 2
1 2

36( ) 9 5120 320
.

4 16 81 9

S S

T = + = =

Câu 6: Cho Parabol

( )

P :y=x2 + và đường thẳng 1 d y: =mx+2 với m là tham số. Gọi m là giá tr0 ị

của m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

P và d là nhỏ nhất. Hỏi m n0 ằm trong khoảng

nào?

A. 2; 1
2

− − 

 

 . B.

( )

0;1 . C.

1
1;

2
− 

 

 . D.

1
;3
2

 

 

 .

Lời giải

Chọn C

Phương trình hồnh độ của

( )

P và d là x2−mx− =1 0 1

( )

Dễ thấy

( )

1 ln có 2 nghiệm phân biệt. Gọi a b a,

(

< là các nghiệm của b

)

( )

1 thì diện tích

hình phẳng giới hạn bởi

( )

P và d là

(

)

3 2

2 2

1 x mx 1 dx x

3 2

b

b b

a a a

x mx

S = x −mx− dx= − − =  − − 

 

∫

3 3 2 2 2 2

(b a ) (b a)

(b a) . 1

3 2 3 2

b a m b ab a m

b a

− − + + +

= − − − = − − −

(

)

(

)

(

)

2 b a b a

b a 4 . 1

3 2

ab m

ab + − +

+ − − −

Mà a+ =b m ab, = −1 nên

2 2 4

6 3 3

m

S = m +  + ≥

  .

Do đó min 4
3

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 7: Cho hàm số y= f x

( )

xác định và liên tục trên đoạn

[

−5;3

]

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết

diện tích các hình phẳng

( ) ( ) ( ) ( )

A , B , C , D giới hạn bởi đồ thị hàm số f x và tr

( )

ục hoành lần

lượt bằng 6, 3, 12, 2. Tích phân 1

(

)

2f 2x 1 1 dx

−

+ +

 

 

∫

bằng

A. 27 . B. 25 . C. 17 . D. 21

Lời giải

Chọn A

Tính

(

)

(

)

1 1 1

3 3 3

2f 2x 1 1 dx 2 f 2x 1 dx dx

− − −

+ + = + +

 

 

∫

(

) (

)

d 2 1

2 2 1

x

f x

−

∫

( )

d 4

f x x

−

∫

Mà

( )

f x x

−

∫

bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f x( ) và trục hoành

Suy ra

( )

d 6 3 12 2 23

f x x

−

= + + + =

∫

Vậy

(

)

2f 2x 1 1 dx 23 4 27

−

+ + = + =

 

 

∫

Câu 8: Cho b> và 0 2

0 0

d
d

b b

x

x x= x

∫

. Diện tích của phần tơ màu của hình bên dưới là

A. 1

12. B.

6. C.

4. D.

1
3.

ời giải

3
-5

y

x
O

(D)

(C)

(B)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Chọn B

Vì 2

0 0

d d

b b

x x= x x

∫

nên

2 3 2 3

0 0

2 3 2 3

b b b

x x b b

b

=



= ⇔ = ⇔

 =


, do b> nên ta loại 0 b= . 0

Phương trình hồnh độ giao điểm của 2

y=x và y=x là x2 = ⇔ = ∨ =x x 0 x 1.

Diện tích phần tơ đậm bị giới hạn bởi đường cong 2

y=x và đường thẳng y=x trên đoạn

3
1;

 

 

  là

(

)

3
2

1
d

x −x x=

∫

Vậy diện tích phần tô đen bằng 1

Câu 9: Cho hai hàm số f x

( )

=ax3+bx2+ − và cx 1

( )

2 1

g x =dx +ex+

(

a b c d e, , , , ∈  . Biết rằng đồ

)

thị của hàm số y= f x( ) và y=g x( ) cắt nhau tại ba điểm có hồnh độ lần lượt − −3; 1; 2 (tham
khảo hình vẽ).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. 253

12 . B.

125

12 . C.

253

48 . D.

125
48

Lời giải

Chọn C

( ) ( )

f x −g x = ⇔a x

(

)(

x−2

)(

x+ = 1

)

(

)

(

)

4 3 2 0

a x x x

⇔ + + − = 3 2

( 2 5 6) 0

a x x x

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Đồng nhất hệ số với phương trình 3

(

)

(

)

0
2

ax + −b d x + −c e x− = ta có:

1
2

1 6 4

a

−

= ⇒ =

−

( )

(

3 2

)

2 5 6

f x g x x x x

⇒ − = + − −

Do đó 2

(

)(

)

1 253

3 1 2 d

4 48

S x x x x

−

∫

+ + − = .

Câu 10: Hình phẳng

( )

H được giới hạn bởi đồ thị

( )

C của hàm đa thức bậc ba và parabol

( )

P có trục

đối xứng vng góc với trục hồnh. Phần tơ đậm của hình vẽ có diện tích bằng

A. 37

12. B.

12. C.

12. D.

5
12.

Lời giải

Chọn A

Vì đồ thị hàm số bậc ba và đồ thị hàm số bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt
là y=2,y=0nên ta xét hai hàm số là y=ax3+bx2+cx+ ,2 y=mx2+nx

Vì đồ thị hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hồnh độ lần lượt là x= −1;x=1;x=2 nên ta có
phương trình hồnh độ giao điểm 3 2 2

(

)(

)

2 1 1 2 0

ax +bx + + =cx mx +nx⇔a x+ x− x− = .

Với x= ta được 20 a= → = . 2 a 1

Vậy diện tích phần tơ đậm là:

(

)(

)

1 1 2 d

S x x x x

−

∫

+ − − = .

 Mức độ 4

Câu 1: Cho hàm số f x

( )

=ax4+bx3+cx2+dx e+ với a≠ và 0 g x

( )

= px2+qx− có đồ thị như 3

hình vẽ bên dưới . Đồ thị hàm số y= f x

( )

đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y=g x

( )

tại
điểm có hồnh độ lần lượt là − −2; 1;1 và m . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x

( ) ( )

−g x tại
điểm có hồnh độ x= − có hệ số góc bằng 2 15

− . Gọi

( )

H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hai hàm số y= f x

( )

và y=g x

( )

(phần được tơ đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình

( )

H

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

A. 1553

120 . B.

1553

240 . C.

1553

60 . D.

1553
30 .

Lời giải

Chọn A

Đặt

( )

( ) ( )

4 3

(

)

(

) (

)

h x = f x −g x =ax +bx + −c p x + d−q x+ + . e

( )

3 2

(

) (

)

4 3 2

h x′ = ax + bx + c−p x+ d− . q

Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị y= f x

( )

và y=g x

( )

là

( )

4 3

(

)

(

) (

)

0 3 0

f x =g x ⇔h x = ⇔ax +bx + −c p x + d−q x+ + = . e

Đồ thị hàm số y= f x

( )

đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số y=g x

( )

tại điểm có hồnh độ
lần lượt là − −2; 1;1 và m nên f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 =h − =2 h − =1 h 1 =h m = khi đó: 0

(

) (

)

(

) (

)

( )

(

) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

4 3 2

16 8 4 2 3

3 2

3 3

3 0 4

e

a b c p d q

a b c p d q

am bm c p m d q m e

 =


− + − − − = −



 − + − − − = −


 + + − + − = −


 + + − + − + + =



Mặt khác, tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x

( ) ( )

−g x tại điểm có hồnh độ x= − có hệ số 2

góc bằng 15

− nên

( )

2 32 12 4

(

) (

)

15 5

( )

h′ − = − a+ b− c−p + d−q = −

Từ (1); (2); (3); (5) ta được
1
2
1
2

7
2
1
2

a

b

c p

d q

 =


 = −



 − = −




</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Thay vào (4): 1 4 1 3 7 2 1

(

)(

)

3 0 3 1 1 2 0

2m −2m −2m +2m+ = ⇔ m− m− m+ m+ =

m

⇔ = ( vì theo hình vẽ m> ) 1

Ngồi ra, ta có

( )

1 4 1 3 7 2 1

2 2 2 2

h x = x − x − x + x+

Vậy diện tích hình phẳng cần tính là

3 1 1 3

2 2 1 1

( ) d ( ) d ( ) d ( ) d

113 58 122 1553

120 15 15 120

S h x x h x x h x x h x x

−

− − −

= = + +

= − + + − =

∫

Câu 2: Cho parabol f x

( )

=x2+2m (với m là số thực dương) và đường thẳng g x

( )

=2x. Gọi S và 1

S lần lượt là diện tích hai phần gạch chéo như hình vẽ. Để S1 =2S2 thì số thực dương m nằm

trong khoảng nào dưới đây?

A. 1 1;
4 2

 

 

 . B.

1 3
;

2 4

 

 

 . C.

3
;1
4

 

 

 . D.

5
1;

 

 

 .

Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm của parabol và đường thẳng là:

(

)

( )

2 2 1 1 2 *

x + m= x⇔ x− = − m

Để có các phần gạch chéo như hình vẽ thì parabol và đường thẳng phải cắt nhau tại hai điểm

phân biệt ⇔

( )

* phải có hai nghiệm phân biệt 1 2 0 1
2

m m

⇔ − > ⇔ < .

Khi đó

( )

* có 2 nghiệm phân biệt là x1 = − −1 1 2 ,m x2 = + −1 1 2m.

Vì 0 1
2

m

< < nên

0 x

< <

x

Suy ra

(

)

1 3 3

2 2 1 2

1 1 1

0 0

2 2 d 2 2

3 3

x
x

S = x − x+ m x= −x + mx = −x + mx

 

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

(

) (

)

(

)

1 1 2

1 1 2 2 1 1 2

m

m m m

− −

= − − − + − − .

(

)

(

) (

)

(

)

1 1

2 2 2 2 3 3

2 2 1 2 1 2 1

2 2 d 2 2

3 3

x
x

x x

x

S = x−x − m x=x − − mx = x −x − x −x − m x −x

 

∫

(

) (

)

(

)

2 1 1 2 1 2 1 2

2
3

x x  x x  x x x x  m

= −  + −  + − − 

 

(

)

2 4 1 2 1 2

2 1 2 2 2 2 2

3 3

m m

m  m m − −

= −  −  − − =

 

Vì

S

1

=

2 S

2 nên

(

) (

)

(

)

(

)

1 1 2 8 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2

3 3

m m m

m m m

− − − −

− − − + − − =

( )

Dùng CASIO dò nghiệm m> ta được 0 m≈0, 41.

Câu 3: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

C1 : 2 3 3 2 2 3

y= x − mx − m và

( )

3 2 2

2 : 5

x

C y= − +mx − m x. Gọi N ,

n

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S khi

[ ]

1;3

m∈ . Tính N− . n

A. 27

4 . B.

12. C.

3 . D.

10
3 .

Lời giải

Chọn C

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của

( )

C1 và

( )

C2 :

3 2 3 2 2

3 2 5

3 3

x

x − mx − m = − +mx − m x

⇔ −

x

4 mx

+

5 m x

−

2 m

=

0 (

) (

)

2 0

x m

x m x m

x m
=

⇔ − − = ⇔ 
=


Do m∈

[ ]

1;3 nên m<2m và

(

x−m

) (

2 x−2m

)

≤0, ∀ ∈x

[

m; 2m

]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

C1 và

( )

C2 là:

(

)

2 2

3 2 2 3 3 2 2 3

4 5 2 d 4 5 2 d

m m

S =

∫

x − mx + m x− m x= −

∫

x − mx + m x− m x

4 3 2 2 4

4 5

4 3 2 12

m

x mx m x m

m x

 

= − − + −  =

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Vì hàm số:

m

y= đồng biến trên đoạn

[ ]

1;3 nên

[ ]1;3

( )

max 3

N = y= y = ,

[ ]1;3

( )

min 1

n= y= y = .

Vậy 27 1 20

4 12 3

N − =n − =

Câu 4: Cho các số thực a b c d, , , thỏa mãn 0 a b c d< < < < và hàm số y= f x

( )

. Biết hàm số

( )

y= f′ x có đồ thị cắt trục hồnh tại các điểm có hồnh độ lần lượt là a b c, , như hình vẽ.

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x

( )

trên

[ ]

0; d .

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. M + =m f b

( ) ( )

+ f a . B. M + =m f

( ) ( )

0 + f a .

C. M + =m f

( ) ( )

0 + f c . D. M + =m f d

( ) ( )

+ f c .

Lời giải

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Dựa vào đồ thị của hàm số y= f′

( )

x ta có bảng biến thiên của hàm y= f x

( )

Dựa vào bảng biến thiên ta có M =max

{

f

( ) ( ) ( )

0 , f b , f d

}

, m=min

{

f a

( ) ( )

, f c

}

Gọi

S

1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x

( )

, trục hoành và hai đường
thẳng x=0,x=a.

Gọi

S

2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x

( )

, trục hoành và hai đường

thẳng x=a x, =b.

Gọi

S

3 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x

( )

, trục hoành và hai đường

thẳng x=b x, =c.

Gọi

S

4 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f x

( )

, trục hồnh và hai đường
thẳng x=c x, =d.

Dựa vào hình vẽ ta có

( )

1 2 d d 0 0

b

a a

S >S ⇔

∫

f′ x x>

∫

f′ x x⇔ f − f a > f b − f a ⇔ f > f b .

( )

3 4 d d .

b d

c c

S >S ⇔

∫

f′ x x>

∫

f′ x x⇔ f b − f c > f d − f c ⇔ f b > f d

Suy ra M = f

( )

0 .

( )

3 2 d d .

b b

c a

S >S ⇔

∫

f′ x x>

∫

f′ x x⇔ f b − f c > f b − f a ⇔ f c < f a

Suy ra m= f c

( )

Vậy M + =m f

( ) ( )

0 + f c .

Câu 5: Cho

( )

P :y= +x2 2 và đường thẳng d y: =mx+3 với m ∈  . Giả sử đường thẳng d cắt

( )

P

tại hai điểm A và B. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và

( )

P . Khi S nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P=

(

x yA. A

) (

2+ x yB. B

)

2 bằng

A. 82. B. 18. C. 10. D. 40.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm: 2 2

( )

2 3 1 0 1

x + =mx+ ⇔x −mx− = có 2

m

∆ = + .

Cách 1:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và

( )

P là:

( )

3

(

)

4 2 4

6 6 6 3

m
S

a

+
∆

= = ≥ = , ∀ ∈  m

Cách 2:

Vì

∆ =

m

+ > ∀ ∈

4 0,

x

nên

( )

1 ln có 2 nghiệm phân biệt

x

<

x

2 với x2− = ∆x1 ,

1 2

x

+ =

x

m

x x

1 2

= −

1

. Đồng thời

[

]

1 2

1 0, ;

x −mx− < ∀ ∈x x x .

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và

( )

P là:

(

) (

)

(

)

(

)

2
2

1 1

3 2

1 2 1 2 1 2

2 1

2 2

1 d 1

3 2 3 2

1 . 1 4

1 4 4 ,

3 2 6 3

x
x

x x

x x x x m x x

x mx

S x mx x x x x

m m m

m m m

 + − + 

 

= − − = − − −  = − −  − − 

 

   

 + 

= − ∆ − − = + + ≥ ∀ ∈

 

∫



Suy ra min 4

S = , đạt được khi và chỉ khi m= . Khi đó: 0

( )

(

)

( ) (

)

2 2

1;3

1.3 1.3 18
1;3

A

P
B

 ⇒ = + − =

 −


Câu 6: Cho hai hàm số y= +x3 ax2+ +bx c a b c

(

, , ∈

)

có đồ thị

( )

C và

(

)

, ,

y=mx + +nx p m n p∈ có đồ thị

( )

P như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

C và

( )

P có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

A.

( )

0;1 . B.

( )

1; 2 . C.

( )

2;3 . D.

( )

3; 4 .

Lời giải

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Xét phương trình hồnh độ giao điểm

(

)

(

) (

) ( )

3 2 2 3 2

0 *

x +ax + + =bx c mx + + ⇔ + −nx p x a m x + −b n x+ −c p = .

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x= − và cắt nhau tại 1
điểm có hồnh độ x= nên phương trình 1

( )

* có nghiệm x= − (bội 2) và 1 x= (nghiệm 1
đơn).

Khi đó,

( ) (

) (

)

* ⇔ x+1 x− =1 0.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )

C và

( )

P là:

(

) (

)

(

) (

)

( )

1 1

2 2

1 1

1 1 d 1 1 d 1; 2

S x x x x x x

− −

∫

+ − =

∫

+ − = ∈ .

Câu 7: Biết

( )

: 1 2

P y= x chia

( )

2 2

: 1

16 1

x y

E + = thành hai hình

( )

H1 và

( )

H2 lần lượt có diện tích là

S

và

S

2

(

S1<S2

)

. Gọi 2

S
T

S

= , khẳng định nào sau đây đúng?

A. T ≤ . 3 B. 3< <T 16. C. 16≤ <T 1980. D. T >1980.

Lời giải

Chọn A

( )

2 2

: 1

16 1

x y

E + = nên ta có

16 4

1
1

a a

b
b

 =  =

 ⇒

  =

 

 .

⇒

Diện tích của elip là: S =πab=4π .

+ Phương trình hồnh độ giao điểm của

( )

P và

( )

E là

2
2
2

1
24

16 1

x
x

 

 

 

+ = 12

x

 =
⇔ 

= −

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

+ Ta có

12 2 2 12

2 3

0 0

1 1 12 2 3

2 1 .d 16 d

16 24 2 36 0 3

I

x x

S =  − −  x= −x x− x = −I

 

∫



* Tính

0
1

16 d

I =

∫

−x x.

 Đặt 4s in , 0;

x= t t∈ 

π



 .

dx 4co s .dt t

⇒ =

 Đổi cận

0 0

x t

x t π

= ⇒ =

= ⇒ = .

⇒

12 3

2 2

0 0

16 d 2 16 16 s in cos d

I x x t t t

∫

− =

∫

− 3 2 3

(

)

0 0

4 2cos dt t 4 1 cos 2 dt t

π π

∫

1 3 4 3 3

4 sin 2 3 4

2 3 4 3

t t

π π  π+

 

=  +  =  + =

    1

2 3 4 3

3 3

S I π +

⇒ = − = .

+ Ta có 2 1 4 4 3 8 3

3 3

S = − =S S

π

−

π

+ =

π

− 2

8 3

1,64 3

4 3

S
T

S

π
π

−

⇒ = = ≤

+  .

Câu 8: Cho một parabol tiếp xúc với một đường tròn với các số liệu được cho như hình vẽ bên dưới.

Gọi

H

1 và

H

2 là hai phần hình phẳng lần lượt có diện tích là

S

2 như hình vẽ. Giá trị

1 2

T

= +

S

nằm trong khoảng

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Lời giải

Chọn B

+ Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

+ Phương trình parabol

( )

P là

y

= −

1 x

+ Phương trình đường trịn

( )

C là x2+y2 =R2

(

R>0

)

+ Tọa độ giao điểm của

( )

C và

( )

P ) là nghiệm của hệ

( )

2 2 2 2 2

2 2

1 0 1

1 1

x y R y y R

y x y x

 + =  − + − =

⇔

 = −  = −

 

+ Để parabol

( )

P và đường trịn

( )

C tiếp xúc nhau thì phương trình

( )

1 có nghiệm kép, do đó

(

)

1 4 1 0

R R

∆ = − − = ⇔ = .

+ Khi đó hồnh độ tiếp điểm là 2 1 1

2 2 2

b

x x

a

= − = ⇔ = ± .

+ Diện tích cần tính là

(

)

(

)

1 2

2 2 2 2 2

1
1

1 d 1 d 0, 0468

S x x x R x x πR

− −

 

∫

− −

∫

 − − −  − ≈ .

Câu 9: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường

parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua các trục của elip như hình vẽ dưới. Biết độ dài
trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là 8m và 4m . F F 1, 2 là các tiêu điểm của elip. Phần A B,

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

lần lượt là 250.000 đồng và 150.000 đồng. Tính tổng tiền để hồn thành vườn hoa trên (làm
trịn đến hàng nghìn).

A. 5.676.000 đ. B. 4.766.000 đ. C. 4.656.000 đ. D. 5.455.000 đ.
Lời giải

Chọn C

Gọi ,SA SB, SC, S lD ần lượt là diện tích các phần A B C D, , , . Theo giả thiết ta có
,

A B C D

S =S S =S .

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Khi đó elip

( )

E có dạng:

(

)

2 2

2 2 1, 0

x y

b a

a +b = < < . Theo bài ra ta có:

2a= ⇔ =8 a 4, 2b= ⇔ =4 b 2 suy ra phương trình của elip là

( )

2 2
1 1
16 4

x y

+ = .

(

)

2 3 2 3 ; 0

c= ⇒F .

Gọi

( )

P là parabol nằm ở phía trên trục Ox , cắt

( )

E tại điểm M có hồnh độ xM =2 3, khi
đó M∈

( )

E ⇒M

(

2 3 ; 1

)

Theo giả thiết parabol

( )

P có dạng: y=mx2. Do

( )

1 12 1
12

M∈ P ⇒ = m⇔ =m .

Từ

( )

2 2

2
1

1 1 16

4 16 2

y x

⇒ = − ⇔ = ± − .

Diện tích của phần A là:

2 3 2 3 2 3

2 2 2 2

1 1 1 1

16 d 16 d d

2 12 2 12

A

S =  −x − x  x=  −x  x− x x

   

∫

hay 1 4 3

A

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

2 3

2
1

2 3

16 d

I x x

−

 

=  − 

 

∫

. Đặt 4 sin d 4 cos d , ;

2 2

x= t⇒ x= t t t∈ − π π

  .

Đổi cận 2 3

x= − ⇒ = −t π , 2 3

x= ⇒ =t π .

Khi đó ta có:

3 3

2 2

3 3

16 16 sin .4 cos d 8 cos d
2

I t t t t t

π π

− −

∫

− =

∫

(

)

3
4 1 cos 2 d 8

3 4

t t

−

 

= + =  + 

 

∫

Từ đó tìm được 8 2 3

A

S = π + .

Diện tích của

( )

E là S( )E =πab=8π .

Diện tích của phần C là 2 4 2 3

2 3

E A
C D

S S

S =S = − = π − .

Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn là:

(

2SA

)

.250.000+

(

2SC

)

.150.000≈5676367, 372 .

Câu 10: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng paranol đỉnh S như hình vẽ, biết

4 m

OS =AB= , O là trung điểm của AB. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba

màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 140000 đồng/ 2

m , phần giữa là hình
quạt tâm O , bán kính 2 mđược tơ đậm 150000 đồng/m , ph2 ần còn lại 160000 đồng/m . T2 ổng
chi phí để sơn cả 3 phần gần nhất với số nào sau đây?

A.1.597.000 đồng. B.1.625.000 đồng. C.1.575.000 đồng. D. 1.600.000 đồng.
Lời giải

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

Gọi parabol

( )

P có phương trình: 2

(

)

y=ax +bx c a+ ≠ . Khi đó

( )

P đi qua các điểm

( )

0, 4

S , A

(

−2; 0

)

và B

( )

2; 0 .

Suy ra ta có

4 1

4 2 0 0

4 2 0 4

c a

a b c b

a b c c

= = −

 

 − + = ⇔ =

 

 + + =  =

 

. Vậy parabol

( )

P : 2
4

y= − + . x

Đường trịn

( )

C có tâm O

( )

0; 0 và bán kính OA= . 2
Khi đó phương trình

( )

C là: 2 2

x +y = . Suy ra phương trình nửa đường trịn (phần nằm phía

trên trục hồnh) là y= 4−x2 .

Gọi M, N là giao điểm của

( )

C và

( )

P (khác A,B).

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của

( )

C và

( )

P ta có:

(

)

2 2

2 2 2 2

2 2

2
2

4 0 4 0

4 0 2

4 4 4 0 4

4 4

4 1

x x

x x x x

x

x x

x
x

− + ≥ − + ≥

− + ≥    = ±

 

− = − + ⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔

= ±

− = −  

  

  − =  =

Suy ra điểm M

(

− 3;1

)

và điểm N

( )

3;1 .

Phương trình đường thẳng ON là: 1
3

y= x.

Chi phí sơn phần kẻ sọc là:

(

)

2 2

1
0

2 4 4 d .140000

T = − + −x −x x

 



∫

 (đồng).

Chi phí sơn phần hình quạt là:

2
2

2 4 d .150000

T =  −x − x x

 

 

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Chi phí sơn phần cịn lại là: 3 2

(

)

0 3

2 d 2 4 d .160000

T = x x+ − +x x

 



∫

 (đồng).

</div>

Chuyên đề ứng dụng của tích phân luyện thi THPT quốc gia

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Điện thoại (Zalo) 039.373.2038</b>

<b> </b>

<b>CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN </b>

<b>Tính di</b>

<b>ện tích hình phẳng</b>

∫

( )

[

]

∫

[

]

[

]

[

]

∫

∫

∫

∫

[

]

[

]

[

]

∫

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

(

)

∫

(

)

∫

( )

( )

∫

( )

∫

∫

( )

∫

∫

(

)

∫

∫

( )

( )

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

∫

( )

(

)

( )

∫

∫

∫

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

[