Chuyên đề phương trình đường thẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (419.95 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

+ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0

(

x y z0; 0; 0

)

và có vectơ chỉ phương

(

1; 2; 3

)

a = a a a là phương trình có dạng:

0 1

0 2

0 3

x x ta

y y ta

z z ta

= +



 = +


 = +


trong đó t là tham số.

Chú ý: Nếu a ; 1 a ; 2 a 3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của ∆ dưới dạng chính tắc:

0 0 0

1 2 3

x x y y z z

a a a

− − −

= =

+ Cho A x

(

A; yA; zA

)

, B x

(

B; yB; zB

)

ta có : AB=

(

xB −xA;yB −y zA; B −zA

)



+ Hình chiếu của M a b c

(

; ;

)

trên Ox là M1

(

a; 0; 0

)

, trên Oy là M2

(

0; ; 0b

)

, trên Oz là M3

(

0; 0;c

)

+ Hình chiếu của M a b c

(

; ;

)

trên

(

Oxy

)

là M1

(

a b; ; 0

)

, trên

(

Oyz

)

là M2

(

0; ;b c

)

, trên

(

Oxz

)

là

(

)

3 ; 0;

M a c .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Phương trình đường thẳng( Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng đã cho)

Tìm VTCP, các vấn đề về lý thuyết

PT hình chiếu vng góc của d lên (P)

Điểm thuộc đường thẳng thỏa ĐK

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 2 1

2 3 1

x y z

d − = − = +

− . Điểm nào dưới đây thuộc d ?

A. P

(

1; 2; 1−

)

. B. M

(

− −1; 2;1

)

. C. N

(

2;3; 1−

)

. D. Q

(

− −2; 3;1

)

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Xác định điểm thuộc đường thẳng cho trước

……….

2. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phương trình tham số của đường thẳng d :

Cho đường thẳng d qua điểm M x y z

(

0; 0; 0

)

có vectơ chỉ phương

(

)

2 2 2

; ; ,a 0

u= a b c +b +c > . Khi đó

phương trình tham số của đường thẳng d :

x x at

y y bt

z z ct

= +



 = +


 = +


(

t∈ 

)

+ Nếu . .a b c≠ thì đường thẳng d có phương trình chính tắc: 0 x x0 y y0 z z0

a b c

− = − = −

……….

3. HƯỚNG GIẢI:

Thay tọa độ các điểm của đáp án vào phương trình đường thẳng d . 
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải 
Chọn A

Thay tọa độ điểm P

(

1; 2; 1−

)

vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 2 2 1 1 0

2 3 1

− = − =− + =
−
Ta suy ra được P d∈ .

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

1 2
2

x t

y t

z t

= −


 = − +


 = − −


đi qua điểm nào dưới đây ?

A. M

(

2; 1; 2−

)

. B. N

(

1; 2; 2− −

)

. C. P

(

1; 2;3

)

. D. Q

(

−2;1; 1−

)

Lời giải 
Chọn B

Ta thấy N

(

1; 2; 2− − ∈

)

d .

Câu 2. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : 1 4

2 1 2

x− = y+ = z

− − đi qua điểm nào dưới đây ?

A. M

(

2; 1; 2−

)

. B. N

(

1; 4; 0−

)

. C. P

(

1; 4; 2− −

)

. D. Q

(

−2;1; 1−

)

Lời giải 
Chọn B

Thay tọa độ điểm N

(

1; 4; 0−

)

vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 4 4 0 0

2 1 2

− =− + = =

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

(

1; 4; 0

)

N d

⇒ − ∈ .

Câu 3. Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 2 3

2 1 2

x y z

d − = − = −

− đi qua điểm nào sau đây?

A. Q

(

2; 1; 2−

)

. B. M

(

− − −1; 2; 3

)

. C. P

(

1; 2;3

)

. D. N

(

−2;1; 2−

)

Lời giải 
Chọn C

Thay tọa độ điểm P

(

1; 2;3

)

vào phương trình đường thẳng d ta có: 1 1 2 2 3 3 0

2 1 2

− = − = − =

−

(

1; 2;3

)

P d

⇒ ∈ .

Câu 4. Cho đường : 1 2 3

3 2 4

x y z

d − = + = − ⋅

− Điểm nào sau đây không thuộc d ?

A. N

(

4; 0; 1 .−

)

B. M

(

1; 2;3 .−

)

C. P

(

7; 2;1 .

)

D. Q

(

− −2; 4; 7 .

)

Lời giải

Chọn D

Thay tọa độ P

(

7; 2;1

)

vào phương trình đường thẳng d khơng thỏa mãn nên P∉ d.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thằng : 2 1 2

1 1 2

x y z

d + = − = + ?

A. P

(

1;1; 2

)

. B. N

(

2; 1; 2−

)

. C. Q

(

−2;1; 2−

)

. D. M

(

− −2; 2;1

)

Lời giải 
Chọn C

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q

(

−2;1; 2− ∈

)

d

Câu 6. Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 1 2 3

1 3 5

x y z

d − = − = +

− không đi qua điểm nào dưới
đây?

A. Q(1; 2; 3)− . B. M(2; 1; 2)− . C. P(0; 2; 8)− . D. N(0;5; 8)−

Lời giải 
Chọn C

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy: 0 1 2 2 8 3

1 3 5 P d

− = − ≠− + ⇒ ∉

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

( )

d có phương trình

1 2 3

3 2 4

x− y+ z−

= =

− . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng

( )

d ?

A. P

(

7; 2;1

)

. B. M

(

1; 2;3−

)

. C. N

(

4; 0; 1− .

)

D. Q

(

− −2; 4; 7

)

.
Lời giải

Chọn A

Thế tọa độ điểm P

(

7; 2;1

)

vào đường thẳng

( )

d ta có: 2 2 1
2

−

= ≠ nên P

(

7; 2;1

)

không thuộc
đường thẳng

( )

d .

Câu 8. Trong không gian Oxyz, đường thẳng

: 1 2

x t

d y t

z t

= −

 = +

 = +


có một vectơ chỉ phương là

A. u3 =

(

2;1;3

)

B. u4 = −

(

1; 2;1

)

C. u2 =

(

2;1;1

)

D. u1 = −

(

1; 2;3

)

Lời giải 
Chọn B

Câu 9. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d : 2 1 3

2 3 2

x+ y− z+

= =

− có một vectơ chỉ phương là

A. u=

(

2;1; 3 .−

)

B. u=

(

2; 3; 2 .−

)

C. u=

(

1; 2;3 .

)

D. u = −

(

2;1; 3 .−

)

Lời giải 
Chọn B

Câu 10. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d :

3 2

2 3
2

x t

y t

z t

= −


 = − +


 = +


có một vectơ chỉ phương là

A. u=

(

3; 2; 2 .−

)

B. u=

(

2; 3; 2 .−

)

C. u= −

(

3; 2; 2 .

)

D. u= −

(

2;3;1 .

)

Lời giải 
Chọn D

Câu 11. Trong không gian Oxyz, đường thẳng : 3 1 5

1 1 2

x y z

d + = − = −

− có một vectơ chỉ phương là

A. u1 =

(

3; 1;5−

)

. B. u4 =

(

1; 1; 2−

)

. C. u2 = −

(

3;1;5

)

. D. u3 =

(

1; 1; 2− −

)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng

(

)

: 2 3 ;

5
x

d y t t

z t

=


 = + ∈


 = −


 . Véctơ nào

dưới đây là véctơ chỉ phương của d ?

A. u1 =

(

0;3; 1−

)

B. u2 =

(

1;3; 1−

)

C. u3 =

(

1; 3; 1− −

)

D. u4 =

(

1; 2;5

)

Lời giải 
Chọn A

 Mức độ 2

Câu 1. Cho d qua A

(

3; 0;1 ,

)

B

(

−1; 2;3 .

)

Đường thẳng d có một véctơ chỉ phương là

A. u= −

(

1; 2;1 .

)

B. u=

(

2;1; 0 .

)

C. u=

(

2; 1; 1 .− −

)

D. u = −

(

1; 2; 0 .

)

Lời giải
Chọn C

Véctơ chỉ phương là véctơ có giá song song hoặc nằm trên đường thẳng d . Do đó:

(

4; 2; 2

)

2 2; 1; 1

(

)

d

u =AB= − = − − −

Câu 2. Cho hai điểm A

(

5; 3; 6−

)

, B

(

5; 1; 5− −

)

. Tìm một véctơ chỉ phương của đường thẳng AB .

A. u=

(

5; 2;1 .−

)

B. u=

(

10; 4;1 .−

)

C. u=

(

0; 2; 11 .−

)

D. u=

(

0; 2;11 .

)

Lời giải
Chọn C

Véctơ chỉ phương là u=AB=

(

0; 2; 11 .−

)

Câu 3. Cho điểm M

(

1; 2; 3

)

. Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các trục Ox ,

Oy . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M M . 1 2

A. u2 =

(

1; 2; 0 .

)

B. u3 =

(

1; 0; 0 .

)

C. u4 = −

(

1; 2; 0 .

)

D. u1 =

(

0; 2; 0 .

)

Lời giải
Chọn C

M là hình chiếu vng góc của M lên trục Ox nên M1

(

1; 0; 0

)

M là hình chiếu vng góc của M lên trục Oy nên M2

(

0; 2; 0

)

(

)

1 2 1; 2; 0 .

M M = −



Câu 4. Cho điểm M

(

3; 1; 5−

)

. Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các trục Ox

, Oy . Véctơ nào dưới đây là một véctơ chỉ phương của đường thẳng M M . 1 2

A. u2 =

(

3; 1; 5 .−

)

B.

u3=

(

1; 0; 0 .

)

 C.

(

)

4 3; 1; 0 .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Lời giải
Chọn C

M là hình chiếu vng góc của M lên trục Ox nên M1

(

3; 0; 0

)

M là hình chiếu vng góc của M lên trục Oy nên M2

(

0; 1; 0−

)

(

)

1 2 3; 1; 0 .
M M = − −


Câu 5. Cho điểm M

(

−2; 3; 4

)

. Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các mặt

phẳng

(

Oxy

)

, (Oyz Tìm m). ột véctơ chỉ phương của đường thẳng M M . 1 2

A. u2 =

(

2; 3; 0 .

)

B. u3 =

(

1; 0; 2 .

)

C. u4 =

(

0; 3; 4 .−

)

D. u1 = −

(

2; 0; 4 .

)

Lời giải
Chọn B

M là hình chiếu vng góc của M lên trục

(

Oxy

)

nên M1

(

−2 ; 3 ; 0

)

M là hình chiếu vng góc của M lên trục

(

Oyz

)

nên M2

(

0 ; 3 ; 4

)

(

)

1 2 2 ; 0 ; 4

M M =



nên u3 =

(

1 ; 0 ; 2

)

là một vectơ chỉ phương của M M . 1 2

Câu 6. Cho điểm M

(

−2;5;1

)

. Gọi M1, M l2 ần lượt là hình chiếu vng góc của M lên các mặt

phẳng

(

Oxy

)

, (Oxz Tìm m). ột véctơ chỉ phương của đường thẳng M M . 1 2

A. u2 = −

(

2;5;1 .

)

B. u3 =

(

0; 5; -1 .

)

C. u4 =

(

0; 5; 0 .

)

D. u1= −

(

4;5;1 .

)

Lời giải
Chọn B

M là hình chiếu vng góc của M lên trục

(

Oxy

)

nên M1

(

−2;5; 0

)

M là hình chiếu vng góc của M lên trục

(

Oxz

)

nên M2

(

−2; 0;1

)

(

)

1 2 0; 5;1

M M = −



nên u3 =

(

0; 5;1−

)

là một vectơ chỉ phương của M M . 1 2

Câu 7. Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) : 4P x− + = Tìm một véctơ chỉ phương z 3 0.
của đường thẳng .d

A.u=(4;1;3). B. u=(4; 0; 1).− C.u=(4;1; 1).− D.u=(4; 1;3).−

Lời giải
Chọn B

Vì d ⊥( )P nên ud =n( )P =(4; 0; 1).−

Câu 8. Cho đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P − + − + = Tìm một véctơ chỉ x y z 1 0.
phương của đường thẳng .d

A.u= − − −( 2; 1; 1). B. u=(2; 1;1).− C.u= −( 2;1;1). D.u= − −( 2; 1;1).

Lời giải
Chọn B

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Câu 9. Cho hai mặt phẳng

( )

P : 2x+ − − =y z 1 0,

( )

Q :x−2y+ − =z 5 0. Khi đó, giao tuyến của hai

mặt phẳng

( )

P và

( )

Q có một vectơ chỉ phương là

A. u=

(

1; 2;1−

)

B. u =

(

2;1; 1−

)

C. u =

(

1;3;5

)

D. u = −

(

1;3; 5−

)

Lời giải
Chọn C

Gọi d =

( ) ( )

P ∩ Q . Khi đó, chọn một vectơ chỉ phương của d là u=n n P; Q= − − −

(

1; 3; 5

)

Vậy u =

(

1;3;5

)

cũng là một vectơ chỉ phương của d .

Câu 10. Cho đường thẳng

1 2

: 3 ( ).

x t

d y t t

z t
= +

 = ∈


 = − +


 Biết A m m

(

; +2;1

)

∈d. Tìm m .

A. m= − 1. B. m= − 3. C. m= 7. D. m= 5.

Lời giải
Chọn C

(

; 2;1

)

A m m+ ∈d

1 2
2 3
1 2
m t
m t
t
= +


⇒ + =
 = − +

1 2
3 7
2 3

m m
m
− +
⇔ = = ⇔ =

Câu 11. Cho đường thẳng : 2 1

1 1 3

x y+ z−

∆ = =

− đi qua điểm M

(

2; ;m n

)

. Giá trị m n+ bằng

A. − . 1 B. 7 . C. 3 . D. 1.

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng : 2 1

1 1 3

x y+ z−

∆ = =

− đi qua điểm M

(

2; ;m n

)

khi và chỉ khi

2 2 1

1 1 3

m+ n−

= =

−

2 1

1 3

m+ n−

⇔ = =
−
2 2
1 6
m
n
+ = −

⇔  − =

4

7
m
n
= −

⇔  =
 .

Suy ra m n+ = . 3

 Mức độ 3

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu

của đường thẳng 1 2 3

2 3 1

x− y+ z−

= = trên mặt phẳng

(

Oxy ?

)

A. 
1
2 3
0
x t
y t
z
= +


 = −

 =


. B.

1
2 3
0
x t
y t
z
= +

 = − +

 =


. C.

1
2 3
0
x t
y t
z
= +


 = − −

 =


. D.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng 1 2 3

2 3 1

x− y+ z−

= = qua M

(

1; 2;3−

)

và N

(

3;1; 4

)

Gọi M ′và N ′ lần lượt là hình chiếu của Mvà N trên

(

Oxy ta có

)

M ′

(

1; 2; 0−

)

, N ′

(

3;1; 0

)

Phương trình hình chiếu cần tìm là:

1 2

: 2 3

x t

M N y t

z
= +


′ ′  = − +
 =

.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu

của đường thẳng 1 2 3

2 3 1

x− = y+ = z−

trên mặt phẳng

(

Oyz

)

?

A. 
0
2 3
3
x
y t
z t

=

 = − −

 = − +


. B.

0
2 3
3
x
y t
z t
=

 = −

 = − +


. C.

0
2 3
3
x
y t
z t

=

 = +

 = − +


. D.

0
2 3
3
x
y t
z t
=

 = − +

 = +

. 
Lời giải

Chọn D

Đường thẳng 1 2 3

2 3 1

x− y+ z−

= = qua M

(

1; 2;3−

)

và N

(

3;1; 4

)

Gọi M ′và N ′ lần lượt là hình chiếu của Mvà N trên

(

Oyz

)

ta có M ′

(

0; 2;3−

)

, N ′

(

0;1; 4

)

Phương trình hình chiếu cần tìm là:

: 2 3

3
x

M N y t

z t
=


′ ′  = − +
 = +

.

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 12 9 1,

4 3 1

x y z

d − = − = − và mặt thẳng

( )

P : 3x+5y− − =z 2 0. Gọi 'd là hình chiếu của d lên

( )

P .Phương trình tham số của 'd là

A.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
= −

 =

 = −

B.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
=

 = −


 = +

C.
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
=

 = −

 = − +

D. 
62
25 .
2 61
x t
y t
z t
=

 = −

 = +


Lời giải

Chọn C

Cách 1:

Gọi A= ∩d

( )

P

(

)

( )

(

)

12 4 ;9 3 ;1

3 0; 0; 2

A d A a a a

A P a A

∈ ⇒ + + +

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

d đi qua điểm B

(

12;9;1

)

Gọi H là hình chiếu của B lên

( )

P

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

3;5; 1−

)

BH đi qua B

(

12;9;1

)

và có vectơ chỉ phương a BH =nP =

(

3;5; 1−

)

(

)

( )

12 3

: 9 5

12 3 ;9 5 ;1

78 186 15 113

; ;

35 35 7 35

186 15 183

; ;

35 7 35

x t

BH y t

z t

H BH H t t t

H P t H

AH

= +


 = +

 = −


∈ ⇒ + + −

 

∈ ⇒ = − ⇒  − 

 

 

= − 

 



d đi qua A

(

0; 0; 2−

)

và có vectơ chỉ phương ad' =

(

62; 25; 61−

)

Vậy phương trình tham số của 'd là

2 61

x t

y t

z t

=

 = −


 = − +


Cách 2:

Gọi

( )

Q qua d và vng góc với

( )

P

d đi qua điểm B

(

12;9;1

)

và có vectơ chỉ phương ad =

(

4;3;1

)

( )

P có vectơ pháp tuyến nP =

(

3;5; 1−

)

( )

Q qua B

(

12;9;1

)

có vectơ pháp tuyến nQ =a n d, P= −

(

8; 7;11

)

( )

Q : 8x−7y−11z−22=0

d là giao tuyến của

( )

Q và

( )

P

Tìm một điểm thuộc 'd , bằng cách cho y= 0

Ta có hệ 3 2 0

(

0; 0; 2

)

8 11 22 2

x z x

M d

x z y

− = =

 

⇒ ⇒ − ∈

 − =  = −

 

d đi qua điểm M

(

0; 0; 2−

)

và có vectơ chỉ phương ad =n n P; Q=

(

62; 25; 61−

)

Vậy phương trình tham số của 'd là

2 61

x t

y t

z t

=

 = −


</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng

( )

P :x+ + − =y z 3 0 và đường thẳng

1 2

1 2 1

x y z

d = + = −

− . Hình chiếu vng góc của d trên

( )

P có phương trình là

A. 1 1 1

1 4 5

x+ y+ z+

= =

− − B.

1 1 1

3 2 1

x− y− z−

= =

− −

C. 1 1 1

1 4 5

x− y− z−

= =

− D.

1 4 5

1 1 1

x− y− z+

= =

Lời giải

Chọn C

Gọi M là giao điểm của d với

( )

P .

Tọa độ của M là nghiệm của hệ:

3 1

3 0

2 1 1

1 2

2 1

1 2 1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

+ + = =

 

+ + − =


 ⇔ − = ⇔ =

 = + = −  

  + =  =

 −  

(

1;1;1

)

M

⇒

Lấy điểm N

(

0; 1; 2−

)

∈d.

Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

P là: n=

(

1;1;1

)

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và nhận n =

(

1;1;1

)

làm vec tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng : 1 2

1 1 1

x y+ z−

∆ = =

Gọi N′ là giao điểm của ∆ với

( )

P .

Tọa độ của N′ là nghiệm của hệ:

2
3
3

3 0

1
1

1 2

3
2

1 1 1

8
3
x

x y z

x y y

x y z

x z

z
 =

+ + =

 

+ + − =


 ⇔ − = ⇔ = −

 + −  

= =

  − = − 

 

 =


2 1 8

; ;

3 3 3

N′ − 

 

(

)

1 4 5 1

; ; 1; 4; 5

3 3 3 3

MN′ = − − = − u −

 

 

Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M

(

1;1;1

)

và nhận u =

(

1; 4; 5−

)

làm vec tơ chỉ phương nên
có phương trình 1 1 1

1 4 5

x− y− z−

= =

− .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 5 3

2 1 4

x y z

d − = + = −

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

A. 
3
5
3 4
x
y t
z t
= −

 = − −

 = − +

B. 
3
5
3 4
x
y t
z t
= −

 = − +

 = +


C. 
3
5 2
3
x
y t
z t
= −

 = − +

 = −

D. 
3
6
7 4
x
y t
z t
= −

 = − −

 = +


Lời giải

Chọn D

Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M0(1; 5;3)− và có VTCP ud =

(

2; 1; 4−

)

Gọi

( )

Q là mặt phẳng chứa d và vng góc với

( )

P :x+ =3 0.

Suy ra mặt phẳng

( )

Q đi qua điểm M0(1; 5;3)− và có VTPT là

[

n uP; d

] (

= 0; 4;1

)

 

( )

Q : 4y z 17 0

⇒ + + = .

Phương trình hình chiếu vng góc của d trên mặt phẳng

( )

P là

4 17 0

3 0
y z
x
+ + =

 + =

 hay

3
6
7 4
x
y t

z t
= −

 = − −

 = +


Cách 2: Ta có M∈ ⇒d M

(

1 2 ; 5+ t − −t;3 4+ t

)

. Gọi M ′ là hình chiếu của M trên

( )

P :x+ =3 0. Suy ra M′ − − −

(

3; 5 t;3 4+ t

)

. Suy ra

: 5

3 4
x

d y t

z t
= −


′  = − −
 = +


So sánh với các phương án, ta chọn D là đáp án đúng.

Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( )

P :x+ + − =y z 3 0 và đường thẳng

1 2

1 2 1

x y z

d = + = −

− . Hình chiếu vng góc của d trên

( )

P có phương trình là

A. 1 1 1

1 4 5

x+ y+ z+

= =

− − B.

1 1 1

3 2 1

x− y− z−

= =

− −

C. 1 1 1

1 4 5

x− = y− = z−

− D.

1 4 5

1 1 1

x− = y− = z+

Lời giải

Chọn C

Gọi M là giao điểm của d với

( )

P .

Tọa độ của M là nghiệm của hệ:

3 1

3 0

2 1 1

1 2

2 1

1 2 1

x y z x

x y z

x y y

x y z

x z z

+ + = =
 
+ + − =

 ⇔ − = ⇔ =
 = + = −  
  + =  =
 −  

(

1;1;1

)

M

⇒

Lấy điểm N

(

0; 1; 2−

)

∈d.

Một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )

P là: n=

(

1;1;1

)

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và nhận n =

(

1;1;1

)

làm vec tơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng : 1 2

1 1 1

x y+ z−

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Gọi N′ là giao điểm của ∆ với

( )

P .

Tọa độ của N′ là nghiệm của hệ:

2
3
3

3 0

1
1

1 2

3
2

1 1 1

8
3
x

x y z

x y y

x y z

x z

z
 =

+ + =

 

+ + − =


 ⇔ − = ⇔ = −

 = + = −  

  − = − 

 

 =


2 1 8

; ;

3 3 3

N′ − 

 

(

)

1 4 5 1

; ; 1; 4; 5

3 3 3 3

MN′ = − − = − u −

 

 

Đường thẳng cần tìm đi qua điểm M

(

1;1;1

)

và nhận u =

(

1; 4; 5−

)

làm vec tơ chỉ phương nên
có phương trinh 1 1 1

1 4 5

x− y− z−

= =

− .

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng

( )

P :x+ − − =y z 1 0 và đường thẳng

2 4 1

2 2 1

x y z

d + = − = +

− . Viết phương trình đường thẳng d′ là hình chiếu vng góc của d 
trên

( )

P .

A. : 2 1

7 5 2

x y z

d′ + = = +

− . B.

2 1

7 5 2

x y z

d′ − = = −

− .

C. : 2 1

7 5 2

x y z

d′ + = = + . D. : 2 1

7 5 2

x y z

d′ − = = − .

Lời giải

Chọn B

+) Phương trình tham số của

2 2

: 4 2

x t

d y t

z t

= − +


 = −


 = − +


, t∈ . Gọi R M = − +

(

2 2 ; 4 2 ; 1t − t − +t

)

là giao

điểm của d và

( )

P ⇒ − +

(

2 2t

) (

+ 4 2− t

) (

− − + − =1 t

)

1 0 ⇔ = t 2 ⇒M =

(

2; 0;1

)

+) Mặt phẳng

( )

P có 1 vectơ pháp tuyến là nP =

(

1;1; 1−

)

. Điểm N =

(

0; 2; 0

)

∈ . d
d'

d

P

M

N

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Gọi ∆ là đường thẳng qua N

(

0; 2; 0

)

và vng góc với mặt phẳng

( )

P ⇒ ∆ nhận vectơ

(

1;1; 1

)

P

n = −



làm vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình của ∆ là:

( )

0 2 0

( )

: : 2

1 1 1

x c

x y z

y c

z c

=


− − − 

∆ = = ⇔ ∆  = +

−  = −



, c∈  . Gọi M′ =

(

c; 2+ −c; c

)

là giao điểm của

∆ với mặt phẳng

( )

P

(

) ( )

1 0 1
3

c c c c

⇒ + + − − − = ⇔ = − 1 5 1; ;

3 3 3

M′ 

⇒ − 

 .

+) 7 5; ; 2

3 3 3

MM′ = − − 

 



, đường thẳng d′ là hình chiếu vng góc của d trên mặt phẳng

( )

P

nên d ′ chính là đường thẳng MM , suy ra d ′ ' đi qua M

(

2; 0;1

)

và nhận vectơ

(

)

3 7; 5; 2

u= − MM ′= − làm vector chỉ phương nên phương trình của d′ là:

2 1

7 5 2

x y z

d′ − = = −

− .

</div>

Chuyên đề phương trình đường thẳng

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Sưu tầm</b>

<b>CHUYÊN ĐỀ </b>

<b>CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG </b>

<b> </b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(