Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.04 MB, 296 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

TUYỂN TẬP

ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI

TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN LỚP 6 
NĂM HỌC 2018-2019 
Bài 1. (3 điểm)

Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1; 2;3với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần

và chỉ một lần

Bài 2. (4 điểm) Tìm x x

(

∈ 

)

a) 5 =125

b) 3 =81

2x 3 2 2

c) 5 − −2.5 =5 .3

Bài 3. (4 điểm) Cho 2 3 4 2017 2018

M= +2 2 +2 +2 +... 2+ +2

a) Tính M

b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3

Bài 4.(3 điểm) Tìm một số tự nhiên có 6 chữ số tận cùng là chữ số 4. Biết rằng khi chuyển

chữ số 4 đó lên đầu cịn các chữ số khác giữ nguyên thì ta được số mới gấp 4 lần số cũ

Bài 5. (6 điểm)

a) Cho 40 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được
một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng ?

b) Cho 40 điểm trong đó có đúng 10 điểm thẳng hàng, ngồi ra khơng có ba điểm nào
thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được bao nhiêu đường
thẳng.

c) Cho n điểm

(

n∈  . Trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta

)

được 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tìm n ?

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI 6 GIA LAI 2018-2019 
Bài 1.

Trường hợp khơng dùng lũy thừa, số lớn nhất có thể viết được là 321
*Trường hợp dùng lũy thừa: (Ta bỏ qua lũy thừa có cơ số và số mũ là 1)
- Xét các lũy thừa mà số mũ có một chữ số: 2 2 3 3

13 ;31 ;12 ; 21

So sánh 3 2

21 và 31 ta có 3 2

21 >31 (vì 213 =9261; 312 =961)
-Xét các lũy thừa mà số mũ có hai chữ số: 13 31 12 21

2 ; 2 ;3 ;3
So sánh 21

3 với 231ta có

( )

21 20 2 10

3 =3.3 =3. 3 =3.9

( )

31 30 3 10

2 =2.2 =2. 2 =2.8

Từ đó suy ra 21 31

3 >2 . So sánh 321với 213ta có : 321>39 =

( )

33 3 =273 >213
Vậy số lớn nhất là : 21

Bài 2.

x x 3

a) 5 =125⇒5 =5 ⇒ =x 3

2x 2x 4

b) 3 =81⇒3 =3 ⇒2x= ⇒ =4 x 2

2x 3 2 2 2x 3 2 2

c) 5 − −2.5 =5 .3⇒5 − =5 .3 2.5+

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2x 3 3

5 − 5 2x 3 3 x 3
⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Bài 3.

a)Ta có 2 3 4 2018 2019

2M=2 +2 +2 +... 2+ +2

Lấy 2019

2M−M=2 −2. Vậy M=22019−2
b)

(

) (

3 4

) (

5 6

)

(

2017 2018

)

M= 2+2 + 2 +2 + 2 +2 +...+ 2 +2

(

)

(

)

5 2017

(

)

M=2 1 2+ +2 . 1 2+ +2 .(1 2) ... 2+ + + . 1 2+

(

3 5 2017

)

M=3. 2+2 +2 +... 2+

Vậy M 3

Bài 4.

Gọi số cần tìm là abcde4 , ta có: abcde4.4 4abcde=
Đặt abcde= ⇒x abcde4=x4

Ta có:

(

)

x4.4=400 000+ ⇒x 10x+4 .4=400 000+x

40x 16 400 000 x 39x 399984 x 10256
⇒ + = + ⇒ = ⇒ =

Vậy số cần tìm là 10256.

Bài 5.

a)Kẻ từ 1 điểm bất kỳ với các điểm còn lại được : 39 đường thẳng
Làm như vậy với 40 điểm ta được 39.40 1560= (đường thẳng)
Nhưng mỗi đường thẳng được tính hai lần

Do vậy số đường thẳng thực sự là : 1560 : 2 780= (đường thẳng)

b) Nếu 40 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được 780 đường thẳng.
*Với 10 điểm, khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được:

10.9 : 2=45(đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là : 780 44 736− = (đường thẳng)
c) Ta có:

(

)

n. n 1 : 2 105− = ⇒n(n 1)− =210⇒n(n 1) 15.14− =
Vậy n=15

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2017-2018

MƠN TỐN LỚP 6
Thi ngày 04 tháng 4 năm 2018

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1. (5,0 điểm) Tính hợp lý

a) A=2018 −2017.2018

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

( ) ( )

99 100

b) B= −1 . −1 . −1 . −1 ... −1 . −1

1 2 3 88

88 ...

6 7 8 93

c)C

1 1 1 1

...

12 14 16 186

− − − − −

Bài 2. (5,0 điểm)

a)Tìm x, y∈ biết

(

2y 1 x+

)(

−4

)

=10

b)Cho x, y∈  thỏa mãn

(

3x 5y+

)(

x+4y 7

)

 . Chứng tỏ rằng

(

3x 5y+

)(

x+4y 49

)


c)Tìm số tự nhiên n trong khoảng 290 đến 360 để phân số 5n 2

(

)

2n 7
+ ∈

+  rút gọn được

Bài 3. (4,0 điểm)

a)Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho n 1; 2n 1;5n 1+ + + đều là số chính phương?

b)Cho 2 3 18

A=2017+2017 +2017 +... 2017+

Chứng tỏ rằng A 2018 . Tìm chữ số tận cùng của A

Bài 4. (4,0 điểm)

a)Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 cm. Lấy điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho

BC=5 cm.Tính độ dài đoạn thẳng AC

b)Cho  0

xOy 160= . Vẽ tia phân giác Ox1của xOy. Tính số đo góc xOx1

Giả sử Ox2là tia phân giác của xOx1, Ox3là tia phân giác của xOx2,……Ox42là tia phân

giác của xOx41. Tính số đo góc xOx42

Bài 5. (2,0 điểm)

a)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có 3

n − n 6

b)Viết số 1234

4321 dưới dạng tổng của một số số nguyên dương. Gọi T là tổng các lập

phương của tất cả các số đó. Tìm số dư của Ttrong phép chia cho 6

----hết---

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

ĐÁP ÁN HSG 6 TRỰC NINH_2017-2018 
Bài 1.

(

)

a) A=2018. 2018 2017− =2018.1=2018

b) B= −

( ) ( )

1 .1. −1 .1...

( )

−1 .1 (Có 50 thừa số −1) nên B= 1

1 2 3 88

1 1 1 ... 1

6 7 8 93

c) C

1 1 1 1

...

12 14 16 186

 −  + −  + − + + − 

       

       

− − − −

1 1 1 1

5 5 5 5 5. ...

...

6 7 8 93

1 1 1 1 1 1 1 1 1

... . ...

12 14 16 186 2 6 7 8 93

 + + + + 
+ + + +  
 
= =
 

− − − − −  + + + + 
 

C= −10

Bài 2.

a) 2xy+ −x 8y=14⇒x(2y 1) 8y+ − − =4 14 4−

(

)

(

)(

)

x 2y 1 4(2y 1) 10 2y 1 x 4 10

⇒ + − + = ⇒ + − =

Vì x, y∈nên 2y 1+ ∈, x− ∈4 , suy ra 2y 1, x+ −4 là ước nguyên của 10 và 2y 1+ lẻ

Lập bảng

2y 1+ 1 - 1 5 -5

x−4 10 -10 2 -2
x 14 -6 6 2
y 0 -1 2 -3

Vậy x 14; x 6; x 6; x 2

y 0 y 1 y 2 y 3

= = − = =

   

 =  = −  =  = −

   

b) Phải chứng minh 3x 5y 7+  ⇔ +x 4y 7

Đặt A=3x+5y, B= +x 4y. Xét tổng A 4B 7x 21 7+ = + 

Nếu A 7 ⇒4B 7, mà

( )

4, 7 = ⇒  1 B 7

Nếu B 7 ⇒4B 7 ⇒A 7. Chứng tỏ 3x 5y 7+  ⇔ +x 4y 7
Vì

(

3x 5y

)(

x 4y 7

)

3x 5y 7

x 4y 7

+

+ + ⇒ 
+





Nếu

(

3x 5y 7+

)

 ⇒

(

x+4y 7

)

 ⇒

(

3x 5y+

)(

x+4y 49

)


Nếu

(

x+4y 7

)

 ⇒

(

3x 5y 7+

)

 ⇒

(

3x 5y+

)(

x+4y 49

)


c) Gọi d là ước nguyên tố chung của 5n 2+ và 2n 7+

Ta có: 5n 2 d 2. 5n

(

2 d

)

(

10n 35

) (

10n 4 d

)

2n 7 d 5.(2n 7) d
+

+
 ⇒ ⇒ + − +
 + 
+

 



 

Vì d nguyên tố nên d 31=

Khi đó 5n 2 31 5n 2 62 31 5n 60 31 5(n 12) 31

2n 7 31 2n 7 31 31 2n 24 31 2(n 12) 31

+ + − − −
   
⇒ ⇒ ⇒
 +  + −  −  −
   
   
   

Mà

(

5, 31

)

=1; 2;31

(

)

=1 suy ra n 12 31−  ⇒ =n 31k 12 k+

(

∈

)

Do 290 n 360≤ ≤ ⇒290≤31k 12+ ≤360⇒ ≤ ≤9 k 11, mà k là số tự nhiên nên k∈

{

9;10;11

}

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Từ đó tìm được n∈

{

291;322;353

}

Bài 3.

a)Do n 1+ là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.

Nếu n 1 3+  thì n chia cho 3 dư 2 2n 1⇒ + chia cho 3 dư 2, vô lý.
Do đó n 1+ chia cho 3 sẽ dư 1⇒  n 3

Do 2n 1+ là số chính phương lẻ nên 2n 1+ chia cho 8 dư 1, suy ra 2n 8 , từ đó n 4

Do đó n 1+ là số chính phương lẻ nên n 1+ chia cho 8 dư 1, suy ra n 8

Ta thấy n 3,n 8  mà

( )

3,8 =1 nên n 24 mà n là số nguyên dương
Với n=24thì n 1+ =25=5 ; 2n 12 + =49=7 ; 5n 1 121 112 + = = 2

Vậy n=24là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài

b)Ta có 2 3 2018

A=2017+2017 +2017 +... 2017+ (tổng A có 2018 số hạng, 2018 2)

(

) (

3 4

)

(

2017 2018

)

A= 2017+2017 + 2017 +2017 +...+ 2017 +2017

3 2017

A=2017.(1 2017)+ +2017 .(1 2017) ...2017+ + .(1 2017)+

(

3 2017

)

A=2018. 2017+2017 +... 2017+ 2018

(

)

(

)

2 3 4 5 6 2015 2016 2017 2018

A=2017+2017 + 2017 +2017 +2017 +2017 +...+ 2017 +2017 +2017 +2017

( )

2015

(

) (

)

A= ...6 +2017 . ....0 + +... 2017 . ...0 = ...6

Bài 4.

a)Trường hợp điểm C thuộc tia đối của tia BA

Điểm C thuộc tia đối của tia BA nên hai tia BA và BC đối nhau, suy ra điểm B nằm giữa

hai điểm A và C

Ta có: AB BC AC+ = thay số tính được AC=7 cm

Trường hợp điểm C thuộc tia BA

Trên tia BA, BA<BC 2 cm

(

<5cm

)

nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C

Ta có: AB AC BC+ = Thay số tính được AC=3cm

A

B

C

A

B

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tia Ox1là tia phân giác của xOynên  

0
0
1

xOy 160
xOx 80

2 2
= = =

Tia Ox2là tia phân giác của xOx1nên  

0
1

2 2

xOx 160

xOx

2 2
= =

Tương tự như trên, tia Ox42 là tia phân giác của xOx41 nên  

0
41

42 42

xOx 160
xOx

2 2
= =

Bài 5

a)Ta có

(

) (

)

(

) (

)

(

)(

)

n −n =n n − =1 n n − + − =n n 1 n n n 1 − + n 1− =n n 1 n 1− +

Với mọi số nguyên dương n thì

(

n 1 n n 1−

) (

)

là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết
cho 2 và 3 mà

( )

2, 3 =1 nên n n 1 n 1 6

(

−

)(

+ 

)

b) Ta có

1234

1 2 3 n

3 3 3 3

1 2 3 n

4321 a a a ... a

T a a a ... a

= + + + +

Xét hiệu 1234

(

3 3 3 3

)

(

)

1 2 3 n 1 2 3 n

T−4321 = a +a +a +... a+ − a +a +a +... a+

(

) (

)

(

)

1234 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 n n

T−4321 = a −a + a −a + a −a +...+ a −a

Theo câu a ta có 3 3 3 3

1 1 2 2 3 3 n n

a −a 6, a −a 6, a −a 6,...a −a 6, nên 1234

T−4321 6

Suy ra T và 1234

4321 cùng dư khi chia cho 6

Mặt khác 4321 chi 6 dư 1 nên 1234

4321 chia cho 6 cũng dư 1. Vậy T chia 6 dư 1.

y

x1

x2

x3

x

O

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN 
TRƯỜNG THCS NGA THẮNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2017-2018

Mơn thi: TỐN – Lớp 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: -3-2018

(Đề thi gồm 1 trang)

Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:

(

)

a) 2013 .2014 1007.26

1313 10 130 1515

1414 160 140 1616

− +

 +  − − 

   

   

Câu 2. (6,0 điểm)

a)Tìm x, y, zbiết x− =y 2011 ; y− = −z 2012; z+ =x 2013

b)Tìm hai số tự nhiên a và b biết BCNN (a, b)=180 ; UCLN (a, b)=12

c)Tìm n∈để phân số A 4n 1
2n 3
−
=

+ có giá trị nguyên.

Câu 3. (4,0 điểm

Một hiệu sách có năm hộp bít bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78
chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một
hộp bút chì thì số bút bi gấp bốn lần số bút chì cịn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng
bút bi, hộp nào đựng bút chì ?

Câu 4. (4,0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểmA B C D, , , . Biết rằng A nằm giữa B và C B;

nằm giữa C vàD ; OA=7 cm; OD=3cm; BC 8 cm= và AC 3BD=

a)Tính độ dài AC

b)Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD

Câu 5 (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó sau số

2014 ta được số chia hết cho 101

--hết---

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

ĐÁP ÁN 
Câu 1

(

)

(

)

a) −2013 .2014 1007.26+ = −2013 .2014 2014.13+

(

)

(

)

2014. 2013 13 2014. 2000 4028000

= − + = − = −

1313 10 130 1515 13 1 13 15
b)

1414 160 140 1616 14 16 14 16
 +  − −  = +  − − 
       
       

13 13 15 1
1
14 14 16 16

   
= −  + + =

   

Câu 2.

a)Từ đề bài ta có:

(

x−y

) (

+ y− + +z

) (

z x

)

=2011+ −

(

2012

)

+2013

2x 2012 x 1006

⇒ = ⇒ =

Vì x− =y 2011⇒ = −y x 2011 1006 2011= − = −1005

Vì x z 2013+ = ⇒ =z 2013 x− =2013 1006 1007− =
Vậy x=1006 ; y= −1005 ; z=1007

b)Ta có ab 180.12 2160= =

Giả sử a b.≤ Vì UCLN (a, b)=12nên a=12m, b=12n với

(

m, n

)

=1và m n≤
Suy ra 12m.12n 2160= ⇒mn=15. Ta có bảng sau:

m n a b

1 15 12 180

3 5 36 60

c)A 4n 1 2 2n

(

)

7 2 7

2n 3 2n 3 2n 3 2n 3

+
−

= = − = −

+ + + +

A có giá trị nguyên ⇔2n 3+ ∈U 7

( ) {

= ± ±1; 7

}

Ta có bảng sau

2n 3+ 1 -1 7 -7

n -1 -2 2 -5

Câu 3.

Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78 80 82 114 128 482+ + + + = (chiếc)

Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và số bút chì cịn lại là
số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư
2.

Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2.
Vậy hộp bút chì bán đi là hộp 3: 82 chiếc

Số bút bi và bút chì cịn lại là : 482 82 400− = (chiếc)
Số bút chìn cịn lại : 400 :5 80= (chiếc)

Vậy , các hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp 3
Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp 5

Câu 4.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a)Đặt BD=x (cm)⇒AC=3x (cm)

Vì D nằm giữa O và A (DoOD OA< ) nên : OD DA OA+ = ⇒DA=4

DB BA 4 hay x BA 4 (1)
⇒ + = + =

Vì A nằm giữa B và C nên : BA AC BC+ = hay 3x+BA=8 (2)

Từ (1) và (2) ta có

(

3x+BA

) (

− x+BA

)

= − ⇒8 4 2x= ⇒ =4 x 2⇒AC=3.2=6 (cm)

b)Theo (1) ta có: x+BA=4mà x 2= ⇒BA=2

Mà BD= = ⇒x 2 BD=BA( 2)= ⇒Blà trung điểm của đoạn thẳng AD

Câu 5.

Giả sử n có k chữ số

(

k≥1

)

Ta có : 2014 19.101 95= + , do đó:

k k k

2014n=2014.10 + =n 19.101.10 +95.10 +n
Suy ra 2014n 101 khi và chỉ khi k

95.10 + n 101

Với k=1thì 95.10k+ =n 950 n+ =101.9 (41 n) 101+ +  khi và chỉ khi 41 n 101+  nhưng n có 
một chữ số nên 41 n 41 9 101+ ≤ + < , nên khơng có số n thỏa mãn đầu bài.

Với k=2thì 95.10k+ =n 9500 n+ =101.94+ + 

(

6 n 101

)

suy ra 6 n 101+  , và số n nhỏ nhất 
được xác định bởi 6 n 101 n 95+ = ⇒ =

Vậy n=95thỏa mãn đề bài.

O

D

B

A

C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

UBND HUYỆN KINH MƠN

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN – LỚP 6

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (2,0 điểm)

1)Rút gọn biểu thức A 1 1 . 1 1 . 1 1 ... 1 1
3 8 15 2499
       
= +   +   +   + 
       

2)Tính nhanh

1 1 1 4 4 4

1 4

3 9 27 7 49 343

B :

2 2 2 1 1 1

2 1

3 9 27 7 49 343

+ + + + + −

Câu 2. (2,0 điểm)

1)Tìm x , biết 1 1 1 ... 1 x 23

1.2 2.3 3.4 8.9 45
 + + + +  =

 

 

2)So sánh: E 201810099 1

2018 1

−
=

− và

2018 1

−
=

−

Câu 3: (2,0 điểm)

1)Tìm số tự nhiên x, ybiết 5x+11y =26

2)Tìm số nguyên tố ab

(

a> >b 0

)

biết ab ba− là số chính phương

Câu 4: (3,0 điểm)

1)Trên tia Ox lấy 2 điểm A B, sao cho OA=6 cm, OB 10 cm.= Gọi E F, lần lượt là trung

điểm củaOA AB, . Tính độ dài đoạn thẳngEF.

2)Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy OZ, sao cho xOy=50 ; xOz0 =1000
. Vẽ tia Oy’ là tia đối của tiaOy. Tính số đo y 'Oz

3)Cho 2018 điểm phân biệt trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Qua hai điểm ta kẻ được
một đường thẳng. Tính số đường thẳng kẻ được.

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số. Tìm giá trị lớn nhất của A abc 1918

a b c

= +

+ +
--hết---

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TỐN 6 KINH MƠN 2017-2018 
Câu 1.

1 1 1 1
1) A 1 . 1 . 1 ... 1

3 8 15 2499
       
= +   +   +   + 
       
4 9 16 2500 2.2 3.3 4.4 50.50
A . . ... . . ...

3 8 15 2499 1.3 2.4 3.5 49.51

= =

2.3.4...50 2.3.4...50 50 2 100

. .

1.2.3...49 3.4.5...51 1 51 51

= = =

Vậy A 100

51
=

1 1 1 4 4 4

1 4

3 9 27 7 49 343

2) B :

2 2 2 1 1 1

2 1

3 9 27 7 49 343

+ + + + + −

1 1 1 1 1 1

1. 1 4. 1

3 9 27 7 49 343

B :

1 1 1 1 1 1

2. 1 1. 1

3 9 27 7 49 343

 + + +   + + − 

   
   
=
 + + +   + + − 
   
   
1 1
B : 4

2 8
= =

Vậy B 1

8
=

Câu 2.

1 1 1 1 23
1) ... x

1.2 2.3 3.4 8.9 45
 + + + +  =

 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 23

... x
1 2 2 3 3 4 8 9 45
 − + − + − + + −  =

 

 

1 1 23
x
1 9 45
 −  =
 
 

8 23 23 8 23
x x :

9 = 45⇒ = 45 9 =40

Vậy x 23

40
=

2)Ta có: E 201810099 1 2018E 20181001002018 2018.E 1 2017100

2018 1 2018 1 2018 1

− −

= ⇒ = ⇒ = −

− − −

98 99

99 99 99

2018 1 2018 2018 2017

F 2018.F 2018.F 1

2018 1 2018 1 2018 1

− −

= ⇒ = ⇒ = −

− − −

Vì 2017100 201799 1 2017100 1 201799

2018 −1<2018 −1⇒ −2018 −1> −2018 −1

Hay 2018E 2018F> ⇒ >E F
Vậy E > F

Bài 3

1)+Với y=2, ta có 112 =121>26⇒ =y 2 không thỏa mãn
Do y là số tự nhiên nên y∈

{ }

0;1

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

+) Với y = 1, ta có: x x

5 +11=26⇒5 =15vì x là số tự nhiên ⇒ khơng có giá trị nào của x thỏa

mãn x

5 =15⇒ =y 1 không thỏa mãn

+)Với y=0 ta có 5x + =1 26⇒5x =25=52nên x=2 (thỏa mãn)

Vậy x=2; y=0

2)Ta có: ab ba− =9 a

(

−b

)

Do a, b là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3≤ ⇒b 9. a

(

−b

)

là số chính phương khi

{ }

a− ∈b 1; 4

+) Với a b 1− = mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab 43=
+)Với a b 4− = mà ab là số nguyên tố ⇒ ta được số ab 73=
Vậy ab=

{

43; 73

}

Bài 4.

Câu 1

Vì hai điểm A B, cùng nằm trên tia Ox mà OA < OB

(

6 cm 10 cm<

)

nên điểm A nằm

giữa hai điểm O và B OA AB OB⇒ + =

Thay số 6+AB 10= ⇒AB=4 cm. Vậy AB 4cm=

Vì E là trung điểm OA nên EA OA
2

= , thay số EA=6 : 2=3cm

F là trung điểm của ABnên AF AB
2
=

Thay số: AF=4 : 2=2 cm

Do A nằm giữa O vàB . Mà E là trung điểm của OA F, là trung điểm của AB nên điểm
A nằm giữa hai điểm E và F

EF EA AF 3 2 5 (cm)

⇒ = + = + = Vậy EF=5 cm.

Câu 2

O

E

A

F

B

y'

y

x

z

O

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Vì hai tia Oz, Oycùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , mà  xOy<xOz nên tia Oy
nằm giữa hai tia Ox và Oz

  

xOy yOz xOz

⇒ + = . Thay số 0  0  0

50 +yOz=100 ⇒yOz=50
Do tia Oy 'là tia đối của tia Oy⇒ y 'Oz, yOz là hai góc kề bù

  0

y 'Oz yOz 180

⇒ + = . Thay số :  0 0  0

y 'Oz 50+ =180 ⇒y 'Oz=130

Vậy  0

y 'Oz=130

Câu 3.

Giả sử trong 2018 điểm khơng có ba điểm nào thẳng hàng

Từ 1 điểm ta nối với 2017 điểm còn lại ta được 2017 đường thẳng. Làm như vậy với 2018
điểm ta được 2018.2017=4 070 306đường thẳng

Vì mỗi đường thẳng được tính hai lần, do đó số đường thẳng kẻ được là :

2 035153đường thẳng.

Số đường thẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng là 3; Số đường thẳng đi qua 3 điểm phân
biệt thẳng hàng là 1; Khi thay 3 điểm phân biệt không thẳng hàng thành 3 điểm phân biệt
thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là : 3 1 2− =

Do trong 2018 điểm phân biệt trên có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng thực
tế kẻ được là : 2 035153 2− =2 035151

Vậy ta kẻ được tất cả là 2 035 151 đường thẳng.

Câu 5

abc 100a 10b c

A 1918 1918

a b c a b c

+ +

= + = +

+ + + +

+)Nếu b c 0= = thì A 100 1918 2018= + =

+)Nếu b hoặc c khác 0 thì

100a 100b 100c

A 1918 100 1918 2018
a b c

+ +

< + = + =
+ +

Nên A 2018≤

Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a∈

{

1; 2;...;9 ; b

}

= =c 0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

BÁ THƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2018-2019 
Mơn : Tốn lớp 6

Câu 1. (3 điểm) Tính

(

)

2 5 5

5 2 5

1 2 .7 2
a)4.5 3. 24 9 b)7 6. c)

2 2 .5 2 .3
+
 

− − + − 

−
 

Câu 2. (3 điểm). Tìm xbiết:

(

)

( )

1 1 5 5

a) x 15 : 5 22 24 b) x 7 15 4 c) x : 9
2 3 7 7
 

− + = + = − −  −  + =
 

Câu 3. (5 điểm)

1)Cho A 1 2 3 4 ... 99 100= − + − + + −
a)Tính A

b)A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khơng ?

c)Acó bao nhiêu ước tự nhiên ? Bao nhiêu ước nguyên ?

2)Thay a, bbằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b 45

3)Cho a là một số nguyên có dạng a=3b 7 b+

(

∈ Hỏi a có thể nhận những giá trị nào

)

.
trong các giá trị sau:

a=11; a=2002; a=2003; a=11570; a=22789; a=29563; a=299537

Câu 4. (3 điểm)

a)Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5
dư 3

b)Cho 2 3 4 71 72

A= +1 2012+2012 +2012 +2012 +... 2012+ +2012 và B=201273−1.So sánh A

và B

Câu 5. (6 điểm)

Cho góc bẹt xOy,trên tia

Ox

lấy điểm A sao cho

OA

=

2 cm

,

trên tia

Oy

lấy hai điểm M

và B sao cho

OM

=

1 cm OB

,

=

4 cm

.

a)Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng

AB

b)Từ O kẻ hai tia

Ot Oz

,

sao cho

tOy



=

130 ,

zOy



=

30 .

0 Tính số đo

tOz



</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

)

(

)

5
5

2 . 7 1

17

8

4 )55

)

2 2 . 25 3

22

11 a

b

c

+

=

−

Câu 2.

12

7 )

25 )

26

2 x

a x

b

c x

x

=



=

 = −

=



Câu 3.

1)a)

A

= −

50 A



2 cho

5,

A

khơng chia hết cho 3

c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên.
2) Ta có:

45 =

9.5

mà

( )

5,9

=

1 24 68 45

a

b



suy ra

24 68 5

0

5 b

a

b

=



⇒  =





Th1:

b

=

0

ta có số

24 680

a

Để

24 680 9

a



thì

(

2 + + + + +

4 a

6 8

0 9

)



⇒ +

a

20 9



⇒ =

a

7

Th2:

b

=

5

ta có số

24 685

a

Để

24 685 9

a



thì

(

2 + + + + + 

4 a

6 8 5 9

)

hay

a

+

25 9



⇒ =

a

2

Vậy

7,

0 2,

5 a

b

a

b

=



 =

=



3) Số nguyên có dạng

a

=

3 b

+

7 (

b

∈

)

hay a là số chia 3 dư 1

Vậy a có thể nhận những giá trị là

a

=

2002;

a

=

22789;

a

=

29563

Câu 4.

a)Gọi số cần tìm là

a

Ta có

a

chia cho 9 dư 5

⇒ =

a

9 k

+

5 (

k

∈



)

⇒

2 a

=

9 k

1

+ ⇒

1 (

2 a

−

1 9

)



Ta có

a

chia cho 7 dư 4

⇒ =

a

7 m

+

4 (

m

∈



)

⇒

2 a

=

7 m

1

+ ⇒

1 (

2 a

−

1 7

)



Ta có

a

chia cho 5 dư 3

⇒ = +

a

5 t

3 (

t

∈



)

⇒

2 a

=

5 t

1

+ ⇒

1 (

2 a

−

1 5

)



(

2 a

1 9,7,5

)

⇒

− 

, mà

(

9;7;5

)

=

1

và a là số tự nhiên nhỏ nhất

2 a

1 BCNN

(9,7,5)

315 ⇒

− =

=

. Vậy

a

=

158

b)Ta có: 2 3 4 72 73

2012

A

=

2012

+

2012

+

2012

+

2012

+

.... 2012

+

2012

Lấy 73

2012

A

− =

A

2012

−

1

, Vậy

2012

1 2012

1 2011

A

=

−

< =

B

−

Câu 5.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a)Trên tia

Oy

ta có:

OM

=

1 cm

<

OB

=

4 cm

⇒

M

là điểm nằm giữa O và B

Do M nằm giữa O và Bta có:

( )

4 1 3

OM

+

MB

=

OB

⇒

MB

=

OB

−

OM

= − =

cm

Do A thuộc tiaOx , M thuộc tia

Oy

nên M nằm giữa hai điểm A và M suy ra:

2 1 3(

)

OM

+

OA

=

MA

= + =

cm

Mặt khác do A, Bnằm trên hai tia đối nhau , M lại nằm giữa O và Bnên suy ra M nằm

giữa A, B. Vậy

M

là trung điểm của

AB

.

b)TH1: Tia

Ot Oz

,

trên cùng một nửa mặt phẳng



130 ,

30 yOt

=

yOz

=

⇒

tia Oz nằm giữa hai tia

Ot Oy

,

.

Ta có:

  

0 0 0

130

30

100 tOz

=

tOy

−

yOz

=

−

=

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là

xy

Suy ra tia

Oy

nằm giữa 2 tia

Ot Oz

,

Ta có:

  

0 0 0

130

30

160 tOz

=

tOy

+

yOz

=

+

=

x

y

t

z

z'

O

B

M

A

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 6 
Năm học 2019-2020

Bài 1. (2 điểm)

a)Tìm xbiết:

2
1 1
x 0
3 4
 −  − =
 
 

b)Tìm x, y∈  biết 2x+624=5y

Bài 2. (2 điểm)

a)So sánh : 22

− và 51
103
−

b)So sánh : 20092010

2009 1
A
2009 1
+
=
+ và
2010
2011
2009 2
B
2009 2
−
=
−

Bài 3. (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35thì được các số dư

lần lượt là 5;8;15

Bài 4. (2 điểm)

Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20
phút sẽ đầy bể, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể còn nếu dùng máy
một và máy ba thì sẽ đầy bể sau 2 giờ 24 phút. Hỏi mỗi máy bơm được dùng một mình thì
bể sẽ đầy sau bao lâu ?

Bài 5. (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên trong góc xOy,vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900và

vẽ tia On sao cho góc yOnbằng 900

a)Chứng minh  xOn=yOm

b)Gọi Ot là tia phân giác của xOy. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a)Từ giả thiết ta có:

1 1 5

x x

1 1 3 2 6

1 1 1

3 4

x x

3 2 6

 − =  =
 
 −  = ⇒ ⇒
  −
   − = −  =
 
 

b)Nếu x 0= thì y 0 4

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y 4

Nếu x 0≠ thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y∈ : vô lý

Vậy x=0, y=4

Bài 2.

22 22 1 51 51 22 51 22 51

45 44 2 102 101 45 101 45 101
− −
< = = < ⇒ < ⇒ >

2010
2011
2009 2
b)B 1
2009 2
−
= <
−

2010 2010 2010

2011 2011 2011

2009 2 2009 2 2011 2009 2009

− − + +

⇒ = < =

− − + +

(

)

(

)

2009 2009
2010
2010

2009 2009 1 2009 1

2009 1

2009 2009 1

+ +

= = =

+
+

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vậy A>B

Bài 3.

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra

(

x+20 25

)

 và

(

x+20 28

)

 và

(

x+20 35

)



(

)

x 20 BC 25; 28;35

⇒ + ∈

Tìm được BCNN 25; 28;35

(

)

=700⇒ +x 20=700.k k

(

∈ 

)

Vì x∈  và x có ba chữ số suy ra x 999* ≤ ⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k 1

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài 4.

Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay 4

3giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm

được 3

4bể

Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay 3

2giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được
2

3bể

Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay 12

5 giờ đầy bể nên một giờ máy 1 và máy 3

bơm là 5

12bể.

⇒Một giờ cả ba máy bơm được: 3 2 5 : 2 11

4 3 12 12
 + +  =
 

  (bể)

Một giờ:

Máy 3 bơm được 11 3 1

12− =4 6bể ⇒ Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể

Máy 1 bơm được 11 2 1

12− =3 4bể⇒ Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể

Máy 2 bơm được 11 5 1

12−12 =2bể⇒Máy 2 bơm một mình 2 giờ đầy bể

Bài 5.

a)Lập luận được:   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy
  

yOn+nOx=xOyhay 900+nOx =xOy⇒xOn =yOm

b)Lập luận được:  xOt=tOy⇒xOt  =xOn+nOt⇒tOy  =yOm mOt+ ⇒nOt =mOt

y

x
O

m

n
t

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

⇒ là tia phân giác của mOn

UBND HUYỆN BA VÌ 
PHỊNG GD&ĐT BA VÌ

KỲ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2017-2018

Mơn Tốn lớp 6

Ngày thi : 25/4/2018

Câu 1. (6 điểm) Tính:

(

) (

)

7 5 1 3 5

a)1152 374 1152 374 65 b)

12 6 4 7 12
− + + − + + − −

(

)

22 7 15

2 2 2 2 2

11.3 .3 9 3 8 15 899

c) d) . . ....

2 3 4 30

2.3
−

Câu 2. (3 điểm)

a)Tìm xbiết: 2 2 .... 2 x 221 4

11.13 13.15 19.21 231 3
 + + + − + =

 

 

b)Tìm các số nguyên xbiết: 1 3 x 4 3 1

3+35< 210< + +7 5 3

Câu 3. (3 điểm)

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3, cho 5, cho 7 được số dư thứ tự là 2; 4; 6.

Câu 4. (6 điểm)

a)Cho  0

xOy 100= và xOz=60 .0 Tính số đo xOm,biết Om là tia phân giác của



yOz

b)Cho tam giác

ABC

và một đường thẳng

d

không đi qua bất kỳ đỉnh nào của tam giác

và cắt cạnh

BC

của tam giác. Hãy chứng tỏ rằng đường thẳng

d

cắt một và chỉ một trong

hai cạnh

AB

và

AC

của tam giác

ABC

Câu 5. (2 điểm)

Cho

1 ...

1

31

32

33

59

60 A

=

+

+ +

+

Chứng tỏ rằng:

4

5 A

<

ĐÁP ÁN

Bài 1.

(

) (

)

)1152

374 1152

374

65 1152 374 1152

374

65 a

−

+

−

=

−

+

−

(

1152 1152

) (

374 374

) (

65 )

65 =

−

+

−

+ −

= −

7

5

1

3

5

7

5

1

3 )

12

6

4

7

12

6

4

7 b

+ + − −

=

−

+ + −

1

5

1

3

1

3

5

3

23

1

6

4

7

4

7

4

7

28 = + + − = + − = − =

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

(

)

(

)

22 7 15 29 30 29 3
2 2 28 2 28 2 28
14

3 . 11 3

11.3 .3

9

11.3

3 3 .2

)

6 2 .3

2.3 c

−

=

−

=

−

=

2 2 2 2

3 8 15

899 1.3 2.4 3.5

29.31 )

.

...

.

...

2 3 4

30 2.2 3.3 4.4

30.30 d

=

1.2.3....29 3.4.5....31

1 31

31 .

2.3.4...30 2.3.4...30

30 2

60 =

Bài 2.

2

221

4 )

....

11.13

13.15

19.21

231

3 a





+





− +

x

=





1

221

4 ...

11 13

13

15

19

21 x

231

3 



⇔



−

+

−

+

−



− +

=





1

221

4

10

221

4

11

21 x

231

3

231 x

3 



⇔



−



− +

= ⇔

+

− =





4

1

3 x

⇔ − = ⇒ = −

1

3

44

88 )

3

35

105

210 b

+

=

4

3

1

158

316

7 + + =

5

3

105 =

210

88

316

210 x

<

88 x

316 ⇔

< <

, mà

x

∈

⇒ ∈

x

{

89;90;....;315

}

Bài 3.

a

chia cho 3 dư 2

⇒ =

a

3 k

+ ⇒ + ∈

2 a

1 B

( )

3 a

chia cho 5 dư 4

⇒ =

a

5 p

+ ⇒ + ∈

4 a

1 B

( )

5 a

chia cho 7 dư 6

⇒ =

a

7 q

+ ⇒ + ∈

6 a

1 B

( )

7 (

)

1 3;5;7 ,

a

BC

⇒ + ∈

mà

a

nhỏ nhất nên

a

+

1

là

(

3,5,7

)

105 1 105

104 BCNN

=

⇒ + =

a

⇒ =

a

Bài 4.

*Học sinh vẽ hình đúng 2 trường hợp cho 0,5 điểm

a) Trường hợp 1: Tia

Oy

,

tia

Oz

cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia

Ox

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 

(

0 0

)

60

100 xOz

<

xOy

<

⇒

Tia

Oz

nằm giữa hai tia

Ox Oy

,

  



60

100

40 xOz

zOy

xOy

zOy

yOz

⇒

+

=

⇔

+

=

⇒

=

+)Tia

Om

là tia phân giác của



  

40

20

2 yOz

⇒

yOm

=

mOz

=

 

(

0 0

)

20

100 yOm

<

yOx

<

⇒

Tia

Om

nằm giữa hai tia

Oy Ox

,

  



20

100

80 yOm

mOx

xOy

mOx

⇒

+

=

⇔

+

=

⇔

=

-Trường hợp 2: Tia

Oz Oy

,

nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia

Ox

+Ta có :

 

0 0

160

180 xOy

+

xOz

=

<

nên tia

Ox

nằm giữa hai tia

Oy Oz

,

x

m

z

y

O

m

x

z

y

O

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

  

0 0 0

100

60

160 yOz

zOx

xOy

⇒

=

+

=

+

=

Tia

Om

là tia phân giác



yOz

nên



160

80

2 yOm

=

 

(

0 0

)

80

100 yOm

yOx

+

<

nên tia

Om

nằm giữa hai tia

Oy Ox

,

  



80

100

20 yOm

mOx

yOx

mOx

⇒

+

=

⇒

+

=

⇒

=

b) Đường thẳng

d

cắt cạnh

BC

và

B C

,

∉

d

nên

B

và

C

nằm trên hai nửa mặt phẳng đối

nhau bờ là đường thẳng

d

TH1: Nếu

A

thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm B thì

d

cắt cạnh

AC

mà không cắt cạnh

AB

Th2: Nếu

A

thuộc nửa mặt phẳng chứa C thì

d

cắt cạnh

AB

mà khơng cắt cạnh AC

Bài 5.

1 ...

....

31

32

40

41

42

50

51

60 A

=





+

 

 

+

 

 

+







 



1

10 ...

....

...

30

40

50

30

40

50 

 



<



+ +

 

+

 

+

+ +



=

+



 



1

47

48

4

3

4

5

60

5 = + + =

<

=

d

A

B

C

d

A

B

C

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

PHỊNG GD&ĐT LÝ NHÂN

ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
MƠN TỐN 6

Năm học 2018-2019

(Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

a)Tính:

7 7 1

2012 9 4

5 3 1

9 2012 2

+ −
=

− −

b)So sánh Avà Bbiết: A 2010 2011 2012
2011 2012 2010

= + + và B 1 1 1 .... 1
3 4 5 17
= + + + +

Bài 2. (4,0 điểm)

a)Tìm xbiết 1 25 2, 75 x 7 3 0, 65 7 : 0, 07
8 4 2 200

 + −  − = + + 

   

   

b)Tìm các số tự nhiên x, ysao cho

( )

x, y =1và x2 y2 7

x y 25

+ =

Bài 3. (4,0 điểm)

a)Tìm chữ số tận cùng của số 1414 99 34

P=14 +9 +2

b)Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng

Bài 4.(2,0 điểm)

Cho các số nguyên dương a, b, c, dthỏa mãn ab cd.= Chứng minh rằng A=an +bn+cn +dn

là một hợp số với mọi số tự nhiên n

Bài 5.(6,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M, Nthứ tự là trung điểm của
OA, OB.

q)Chứng tỏ rằng OA OB<

b)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

c)Lấy điểm Pnằm ngoài đường thẳng AB.Cho Hlà điểm nằm trong tam giác ONP. Chứng

tỏ rằng tia OH cắt đoạn thẳng NP tại một điểm Enằm giữa N và P

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

7 7 1

.2012.9.2

7.9.2 7.2012.2 1006.9

2012 9 4

a)N

5 3 1 5.2012.2 3.9.2 2012.9

.2012.9.2

9 2012 2

 + − 

  + −

 

= =

− −

 − − 

 

 

7.2021 503.9 9620
5.2012 3.9 1006.9 979

−

= =

− −

1 1 2
A 1 1 1

2011 2012 2010
     
= −  + −  + + 
     

1 1 1 1
A 3

2010 2011 2010 2012
   
= + −  + − 
   

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A 3
⇒ >

1 1 1 1 1 1
B ... ...

3 4 5 9 10 17

     
= +  + + +  + + + 
     
1 1 1

B .2 .5 .8 B 3
2 5 8

< + + ⇒ <

Từ đó suy ra A>B

Bài 2.a)

5 437 7 5 437 100
x 7 : x 7 .
8 − =200 100 ⇒8 − =200 7

5 437 5 535
x 7 x
8 14 8 14
⇒ = + ⇒ =

535 5 1
x : x 61 .

14 8 7
⇒ = ⇒ =

b) Vai trị của x, ybình đẳng.Giả sử x y,≥ ta có:

(

2 2

)

(

)

2 2

x y 7

7 x y 25 x y

x y 25

+ = ⇒ + = +

2 2

7x −25x=25y 7y−

(

)

(

)

x 7x−25 =y 25 7y−

Suy ra 7x 25− và 25 7y− cùng dấu vì x, ylà các số tự nhiên

a) Nếu 7x 25 0− < thì 25 7y− < ⇒ <0 x 4, y>4(trái với điều giả sử)

b) Nếu 7x 25 0− > thì 25 7y− >0, Vậy x≥4, y<4

Thử các số tự nhiên ytừ 0,1, 2, 3ta được x=4

Cặp số

( ) ( )

x, y = 4, 3 ; vai trò của x, ynhư nhau nên

( ) ( )

x, y = 3, 4

Bài 3.

a) 1414 99 34

P=14 +9 +2

Chữ số tận cùng của 14

14 là 6
Chữ số tận cùng của 99

9 là 9
Chữ số tận cùng của 34

2 là 2

Chữ số tận cùng của Plà chữ số tận cùng của tổng

(

6 9 2+ +

)

là 7
b)Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c

Ta có: a b c abc
2
+ + =

Giả sử a b c≤ ≤ thì a b c 3c+ + ≤ , do đó: abc 3c ab 6
2 ≤ ⇒ ≤

Có các trường hợp sau:
*)ab= ⇒ =6 c 3, 5(loại)

*)ab= ⇒ =5 a 1, b=5, c=4(ktm)

*)ab 4 a 1, b 4, c 5(tm)

a 2, b 2, c 4(tm)

= = =



= ⇒  = = =


*)ab=2(ktm)

*)ab= ⇒ =3 a 1, b=3, c=8(tm)
*)ab= ⇒1 (ktm)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Vậy bộ ba số cần tìm 1, 4, 5hoặc 2, 2, 4boặc1, 3,8

Bài 4.

Giả sử t=

( )

a, c .Đặt a=a t; c1 =c t1 với

(

a , c1 1

)

1 1 1 1

ab=cd⇒a bt=c dt⇒a b=c d

Mà

(

a , c1 1

)

= ⇒  đặt 1 b c ,1 b=c k1 , do đó: d=a k1
Ta có:

(

)(

)

n n n n n n n n

1 1 1 1

n n n n

1 1

A a .t c .k c .t a .k

A a c k t

= + + +

= + +

Vì a , c , t , k1 1 1 nguyên dương nên Alà hợp số.

Bài 5.

a)Hai tia AO và ABlà hai tia đối nhau

Suy ra điểm Anằm giữa điểm O và điểm B

Vậy OA OB<

b)Vì M, Nlần lượt là trung điểm của OA, OB

Suy ra OM = OM MN ON+ = ⇒MN=ON OM−

(

)

1 1 1 1
MN OB OA OB OA AB

2 2 2 2
= − = − =

ABcó độ dài khơng đổi nên MN không đổi

c)Điểm Hnằm trong tam giác ONP suy ra Hnằm trong góc O

Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP

P, Nlà các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP

Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E nằm giữa N vàP .

E

M

N

O

B

P

H

A

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HƯƠNG SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2018-2019 
MÔN THI: TỐN

Câu 1. (4,5 điểm)

1)Tính giá tri của các biểu thức sau:

(

)

a)2. 6 −24 : 4+2014

1 1 7 1
b) 1 2 3 : 1 3 4

3 4 12 2
 + −   + − 
   
   

2)Tìm x,biết: x 5 x x 2

6 3

 

− − = −
 

Câu 2. (4,5 điểm)

1)Tìm x∈,biết: x−

{

x−x− − +

(

x 1

)



}

=1
2)Tìm các chữ số x, ysao cho 2014xy 42

3)Tìm các số nguyên a, b biết rằng: a 1 1
7− =2 b 1+

Câu 3. (4,0 điểm)

1)Tìm số tự nhiên nđể

(

n

+

3 )(

n

+

1 )

là số nguyên tố

2)Cho

n

=

7 5 8 4.

a

+

a

Biết

a

− =

b

6

và n chia hết cho 9. Tìm

a b

,

3)Tìm phân số tối giản

a

b

lớn nhất

(

a b

,

∈

*

)

sao cho khi chia mỗi phân số

4

6 ;

75 165

cho

a

b

ta được kết quả là số tự nhiên.

Câu 4. (5,0 điểm)

1)Trên tia Ox lấy hai điểm

M N

,

sao cho

OM

=

3 cm ON

,

=

7 cm

2)Tính độ dài đoạn thẳng

MN

.

a)Lấy điểm P trên tia Ox , sao cho

MP

=

2 cm

.

Tính độ dài đoạn thẳngOP .

b)Trong trường hợp M nằm giữa O vàP . Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn

thẳng

MN

.

3)Cho 2014 điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà
các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó

Câu 5. (2,0 điểm)

1)Cho tổng gồm 2014 số hạng,

1

2

2

3

3

4

4

...

2014

2014

.

4 S

= +

+

Chứng minh

1

2 S

<

2)Tìm tất cả các số tự nhiên n , biết rằng

n

+

S n

( )

=

2014,

trong đó

S n

( )

là tổng các chữ

số của n

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

)

(

)

1) )2. 6

a





−

24 : 4





+

2014

=

2. 36





−

24 : 4





+

2014

=

2020

1

7

1

7

1 ) 1 2

3 : 1 3

4 :

1

3

4

12

2

3

4

12

2 b





+

−

 

 

+

−

 

 

=

−

 

 

−





=



 



5

2

5

2 2)

6

3

6

3 x

−





−

x





= − ⇔ − + − =

x

−





5

2

1

6

3

6 x

⇔ = − =

Câu 2.

(

)

{

}

{

[

]

}

1)

x

−

x

−





x

− − +

x

1 



= ⇔ −

1 x

− + −

x

1 =

1 {

2

1 }

1

2 1 1

2

1 x

⇔ −

−

+ = ⇔ − +

− = ⇒

= ⇒ =

2)2014

xy

=

201400

+

xy

=

42.4795 10

+

xy



42 ⇒

10 +

xy



42

0 ≤

xy

<

100 ⇒

xy

∈

{

32;74

}

. Vậy

( ) ( ) ( )

x y

;

=

3;2 ; 7;4

(

)(

)

1

2

7

1 3)

2

7

1

14

7

2

1

14

1 a

b

−

− =

⇒

=

⇒

−

+ =

+

a b

,

∈ ⇒



2 a

− ∈

7 U

(14)

= ± ± ± ±

{

1; 2; 7; 14

}

Vì

2 a

−

7

lẻ nên

2 a

− ∈ − −

7 {

7; 1;1;7

}

⇒ ∈

a

{

0;3;4;7

}

Từ đó tính được

( ) (

a b

,

=

{

0; 3 ; 3; 15 ; 4;13 ; 7;1

−

) (

−

) (

) ( )

}

Câu 3.

1)Để

(

n

+

3 )(

n

+

1 )

là số nguyên tố thì một trong hai thừa số

n

+

3;

n

+

1

phải bằng 1
Mà

n

+ > + ≥ ⇒ + = ⇔ =

3 n

1 1

n

1 1

n

0

. Khi đó

n

+ =

3

là số nguyên tố.

Vậy

n

=

0

thì

(

n

+

3 )(

n

+

1 )

là số ngun tố.

2)Ta có:

n

=

7 5 8 4 9

a

+

b



⇔ + + + + +

7 a

5 8

b

4 9



{ }

24 a

b

9 a

b

3;12

⇔

+ +



⇒ + ∈

(vì

a

+ <

b

19)

Mà

a

− = ⇒ + > ⇒ + =

b

6 a

b

3 a

b

12

Kết hợp với

a

− = ⇒ =

b

6 a

9,

b

=

3

3)Ta có: 14: 14 14 , 75

75 75

a b

a b
b = a∈ ⇒  

Tương tự :

16 :

16

175

165 a

b

a



=

∈ ⇒ 









Để

a

b

là số lớn nhất thì

a

=

UCLN

(14,16)

=

2;

b

=

BCNN

(75;165)

=

825

Vậy

2

825 a

b

=

Câu 4.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

a)Do

M N

,

cùng thuộc tia Ox mà

OM

<

ON

nên

M

nằm giữa hai điểm O và

N

3

7

4 OM

MN

ON

MN

cm

⇒

+

=

⇒ +

= ⇒

=

b)Th1: Nếu P nằm giữa

M N

,

thì

M

nằm giữa O và P

3

2

5 OP

OM

MP

cm

⇒

=

+

= + =

Th2: Nếu P nằm giữa O và

M

⇒

OM

=

OP

+

PM

⇒

OP

=

OM

−

PM

= − =

3 2 1

cm

M

nằm giữa O và

⇒

OP

=

5 cm

<

ON

=

7 cm

nên P nằm giữa O và

N

Suy ra :

OP

+

PN

=

ON

⇒ +

5 PN

= ⇒

7 PN

=

2 cm

Do đó

MP

=

PN

,

mà P nằm giữa

M N

,

nên Plà trung điểm của

MN

2)Với n điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau cho ta

(

1 )

2 n n

−

đoạn thẳng

Chọn một đoạn thẳng trong

(

1 )

2 n n

−

đoạn thẳng này và từng

n

−

2

điểm còn lại, ta được

2 n

−

tam giác. Có

(

1 )

2 n n

−

đoạn thẳng nên có

(

1 ) ( ) ( )( )

.

2

1

2 n n

n

−

=

tam

giác. Tuy nhiên mỗi tam giác được tính 3 lần (ABC ACB BAC, , )

Do đó số tam giác được tạo thành là:

(

1 )(

2 )

: 3

(

1 )(

2 )

2

6 n n

−

n

−

n n

−

n

−

=

Áp dụng với

n

=

2014

ta được số tam giác tạo thành:

2014.2013.2012

1359502364

2 =

Câu 5.

1) Ta có:

4

1

2

3

2

4

3

...

2014

2013

.

4 S

= + +

+

2 3 2013 2014

1 2014

3

4

1 ...

4 S

⇒

=

− = + +

+

−

2 3 2013 2 3 2013

1

3

1 ...

.

1 ...

.

4 S

Dat M

⇒

< + +

+

= + +

+

2 3 2012

1

4 4 1

...

4 M

⇒

= + + +

+

Ta có:

3

4

2013

1

4

3 M

=

M

−

M

= −

< ⇒

M

<

Do đó

3

4

1

3

9

8

2 S

< ⇒ < < =

S

2)Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì

n

≤

999

và

S n

( )

≤

27 O

M

P

N

x

P

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Suy ra

n

+

S n

( )

≤

999 +

27 1026

=

<

2014(

ktm

)

Mặt khác

n

≤ +

n

S n

( )

=

2014

nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra

( )

9.4

36. S n

≤

=

Do vậy

n

≥

2014 36 1978

−

=

Vì

1978

2014

19

20 n

ab

n

cd

 =

≤ ≤

⇒ 

=



*Nếu

n

=

19 ab

.

Ta có:

19 ab

+ + + +

(

1 9

a

b

)

=

2014

1910 11

a

2 b

2014

11 a

2 b

104 a

2 ⇔

+

=

⇔

+

=

⇒ 

và

11 a

=

104 −

2 b

≥

104 −

2.9 =

86 ⇒ ≤

8 10

<

a a

,



2 ⇒ = ⇒ = ⇒ =

a

8 b

8 n

1988(

tm

)

*Nếu

n

=

20 cd

⇒

20 cd

+

(

2 + + +

0 c

d

)

=

2014

2002 11

c

2 d

2014

11 c

2 d

12 c

2 ⇒

+

=

⇒

+

=

⇒ 

Và

11

12

0 6,

2006(

)

1

2 1(

)

c

d

n

tm

c

d

ktm

= ⇒ =

=



≤

⇒  = ⇒ =



Vậy

n

∈

{

1988;2006

}

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẠCH THƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018-2019

MƠN THI: TỐN – LỚP 6

Câu 1. (4,0 điểm)

a)Thực hiện phép tính

(

)

(

)

A=540 : 23, 7 19, 7− +42. 132 75 36+ − −7317

10 10

2 .13 2 .65
B

2 .104
+
=

b)Chứng minh rằng tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5
số tự nhiên lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Tổng của hai số nguyên tố có thể bằng 2015 hay khơng ? Vì sao ?
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p 11+ cũng là số nguyên tố.

Câu 3. (4,0 điểm)

a)Tìm xbiết:

(

x 1+ +

) (

x 3+ +

) (

x 5+ + +

)

....

(

x 99+

)

=0
b)Tìm n∈biết:

(

3n 8+

) (

 n 1+

)

Câu 4. (4,0 điểm)

a)Tìm tích 1 1 1 1 1 1 ... 1 1

2 3 4 100
 −  −  −   − 

     
     

b)So sánh Avà Bbiết: A 2013.2014 1
2013.2014

−

= và B 2014.2015 1
2014.2015

−
=

Câu 5. (4,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB;điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M, Nthứ tự là

trung điểm của OA, OB

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

a)Chứng tỏ OA OB<

b)Trong ba điểm O, M, Nđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

c)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc 
tia đối của tia OB ).

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

)

a)A= 540 : 4 +42.171 7317−

A=135 7182 7317+ − =0

(

)

10 10 10

8 8 8 3

2 .13. 1 5

2 .13 2 .65 2 .13.6

B 3

2 .104 2 .8.13 2 .2 .13
+

= = = =

b) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là:2n; 2n+2; 2n+4; 2n+6; 2n+8

Tính tổng ta được: 10n 20 10+ 

Gọi 5 số lẻ liên tiếp là: 2n 1; 2n+ +3; 2n+5; 2n+7; 2n+9

Tính tổng được: 10n+25 10 n=

(

+ +2

)

5chia cho 10 dư 5

Câu 2.

a)Tổng của hai số nguyên tố bằng 2015 là số lẻ, nên một trong hai số nguyên tố phải là 2
Khi đó số kia là 2013, số này là hợp số

Vậy không tồn tại hai số nguyên tố có tổng bằng 2015

b)Nếu plẻ⇒ +p 11là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố

Suy ra pchẵn ⇒ =p 2

Câu 3.

a)Ta có:

(

x 1

) (

x 3

) (

x 5

)

....

(

x 99

)

(

x 1

) (

x 99 .50

)

0
2

+ + +

 

 

+ + + + + + + + = ⇒ =

(

x 50 .50

)

0 x 50 0 x 50

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −

b)Ta có: 3n 8+ =3n 3 5+ + =3 n 1

(

+ +

)

Suy ra :

(

3n 8+

) (

 n 1+

)

khi

(

n 1+ ∈

)

U(5)= ± ±

{

1; 5

}

Tìm được: n∈ − −

{

6; 2; 0; 4

}

Câu 4.

a)Ta có:

(

1.2.3.4....99

)

1 1 1 1 1 2 3 99 1

1 1 1 ... 1 . . ...

2 3 4 100 2 3 4 100 2.3.4....100 100

−

− − − − −

 −  −  −   − = = =

     

     

b)Ta có:

2013.2014 1 1

A 1

2013.2014 2013.2014
−

= = −
2014.2015 1 1

B 1

2014.2015 2014.2015
−

= = −

Vì 1 1

2013.2014 >2014.2015nên A<B

Câu 5.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

a)Hai tia OA, OBđối nhau nên điểm Anằm giữa hai điểm O vàB ,

suy ra OA OB<

b)Ta có Mvà N thứ tự là trung điểm của OA, OBnên OM OA; ON OB

2 2
= =

Vì OA OB< ⇒OM<ON

Hai điểm Mvà N thuộc tiaOBmà OM ON< nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

c)Ta có: OM MN ON+ = ⇒MN=ON OM−
Hay MN OB OA AB

2 2
−

= =

Vì ABcó độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi.

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
PHÚC THỌ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MƠN TỐN 6 
NĂM HỌC 2018-2019 
Bài 1. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể)

5 5 10 2 6 10
a)M : :

7 11 3 7 11 3
− − − −

       
= +    + +   
       

2 99 100 100

1 1 1 1 1
b)P 1 ...

2 2 2 2 2
= + + + + + +

Bài 2. Tìm ybiết:
1 2 1
a) 3 2y .2 5

2 3 3
 +  =
 
 

1 2 2
b)y. : y : 255

3 9+ 7=

Bài 3. Xe máy thứ nhất đi từ A đến B mất 4 giờ, xe thứ hai đi từ B đến A mất 3 giờ. Nếu

hai xe khởi hành cùng một lúc từ A và B thì sao 1,5 giờ hai xe sẽ còn cách nhau 15km (hai
xe chưa gặp nhau). Tính quãng đường AB

Bài 4. Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox,vẽ hai tia Oy, Ozsao cho

 0  0

xOy 100 , xOz= =20

a)Trong 3 tia Ox, Oy, Oztia nào nằm giữa hai tia cịn lại ? Vì sao ?

b)Vẽ Om là tia phân giác của yOz.Tính góc xOm?

Bài 5.

a)Cho 2 3 2011 2012

A= − +1 3 3 − +3 ... 3− +3 .Chứng minh rằng

(

4A 1−

)

là lũy thừa của 3
b)Chứng minh rằng:

n n

11...1222....2  là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

M

N

O

A

B

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

5 5 10 2 6 10

a)M : :

7 11 3 7 11 3
− − − −
       
= +    + +   
       
5 5 3 2 6 3

. .

7 11 10 7 11 10

− −

   
= +  + + 

− −

   

(

)

3 5 5 2 6 3

. . 1 1 0
10 7 11 7 11 10

−

 

=  + + − + = − + =
−   −

99 100 100 99 99

1 1 1 1 1
b)P 2P P 2 2 2

2 2 2 2 2
     

= − = +  − +  = + − =
     

Bài 2.

3
a)y

4
−
=

1 2 2 1 9 7
b)y. : y : 255 y. . y. 255

3 9+ 7 = ⇒ 3 2+ 2 =

3 7 3 7

y. y. 255 y. 255 y.5 255 y 255 : 5 51
2 2 2 2

 

+ = ⇒  + = ⇒ = ⇒ = =
 

Vậy y=51

Bài 3.

Mỗi giờ xe thứ nhất đi được: 1: 4 1
4

= (quãng đường AB)

Mỗi giờ xe thứ hai đi được: 1: 3 1
3

= (quãng đường AB)

Sau 1, 5giờ cả hai xe đi được 1 1 .1, 5 7
4 3 8
 +  =
 

  (quãng đường AB)

Phân số chỉ 15km là: 1 7 1
8 8

− = (quãng đường AB)

Quãng đường AB là: 15 :1 120(km)
8=

Bài 4.

y

x

z

m

O

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

a) Oz là tia nằm giữa hai tia Ox, Oy(vì trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ta thấy

 

(

0 0

)

xOz<xOy 20 <80

b)Tính được :  0

zOy=80 ,tính được zOm=400

Tính được:  0 0 0

xOm=40 +20 =60

Bài 5.

2 3 2011 2012

a)A= − + − +1 3 3 3 ... 3− +3

2 3 4 2011 2012 2013

4A 1− =3A+ − = − + − +A 1 3 3 3 3 ... 3+ −3 +3 +1

2 3 2011 2012 2013

3 3 3 ... 3 3 1 3
= − + − + − + − =

n n n n n n n

b)111....1.222....2 111....1.0000.00 222....2 111....1. 1000.00 2= + =  + 

 

      

 

n n

n n n n

111..11.10...2 111..11.3.33....4 33...3.333..34

= = = 

Vậy số trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 
Năm học 2019-2020

Bài 1. (2 điểm)

a)Tìm xbiết:

1 1
x 0

3 4
 −  − =
 
 

b)Tìm x, y∈  biết 2x+624=5y

Bài 2. (2 điểm)

a)So sánh : 22

− và 51
103
−

b)So sánh : A 200920092010 1

2009 1

+
=

+ và

2010

2011

2009 2

−
=

−

Bài 3. (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35thì được các số dư

lần lượt là 5;8;15

Bài 4. (2 điểm)

Bài 5. (2 điểm) Cho góc tù xOy.Bên trong góc xOy,vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900và

vẽ tia On sao cho góc yOnbằng 0

a)Chứng minh  xOn=yOm

b)Gọi Ot là tia phân giác của xOy. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a)Từ giả thiết ta có:

1 1 5

x x

1 1 3 2 6

1 1 1

3 4

x x

3 2 6

 − =  =

 

 −  = ⇒ ⇒

  −

   − = −  =

 

 

b)Nếu x 0= thì y 0 4

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y 4

Nếu x 0≠ thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y∈ : vô lý

Vậy x=0, y=4

Bài 2.

22 22 1 51 51 22 51 22 51
a)

45 44 2 102 101 45 101 45 101
− −
< = = < ⇒ < ⇒ >

2010 2010 2010 2010

2011 2011 2011 2011

2009 2 2009 2 2009 2 2011 2009 2009

b)B 1 B

2009 2 2009 2 2009 2 2011 2009 2009

− − − + +

= < ⇒ = < =

− − − + +

(

)

(

)

2009 2009

2010
2010

2009 2009 1 2009 1

2009 1

2009 2009 1

+ +

= = =

+
+

Vậy A>B

Bài 3.

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra

(

x+20 25

)

 và

(

x+20 28

)

 và

(

x+20 35

)



(

)

x 20 BC 25; 28;35

⇒ + ∈

Tìm được BCNN 25; 28;35

(

)

=700⇒ +x 20=700.k k

(

∈ 

)

Vì x∈  và x có ba chữ số suy ra x 999* ≤ ⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k 1

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài 4.

Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay 4

3giờ đầy bể nên một giờ máy một và hai bơm

được 3

4bể

Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay 3

2giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba bơm được
2

3bể

Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay 12

5 giờ đầy bể nên một giờ máy 1 và máy 3

bơm là 5

12bể.

⇒Một giờ cả ba máy bơm được: 3 2 5 : 2 11

4 3 12 12
 + +  =
 

  (bể)

Một giờ:

Máy 3 bơm được 11 3 1

12− =4 6bể ⇒Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Máy 1 bơm được 11 2 1

12− =3 4bể⇒ Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể

Máy 2 bơm được 11 5 1

12−12 =2bể⇒ Máy 2 bơm một mình 2 giờ đầy bể

Bài 5.

a)Lập luận được:   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy
  

yOn+nOx=xOyhay 0    

90 +nOx=xOy⇒xOn=yOm

b)Lập luận được:  xOt=tOy⇒xOt  =xOn+nOt⇒tOy  =yOm mOt+ ⇒nOt =mOt
Ot

⇒ là tia phân giác của mOn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2018-2019

Mơn: Tốn 6 
Câu 1. (2,0 điểm)

Cho 2 3 4 20

A= +2 2 +2 +2 +... 2+ . Tìm chữ số tận cùng của A

Câu 3. (1,5 điểm)

Chứng minh rằng: n n 1 2n 1 3n 1 4n 1

(

)(

)

chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Câu 4. (1,0 điểm)

Tìm tất cả các số nguyên tố pvà q sao cho các số 7p+qvà pq 11+ cũng là các số nguyên tố.

Câu 5. (1,5 điểm)

a)Tìm UCLN(7n 3,8n 1) n+ −

(

∈  Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. * .

)

b)Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, UCLN của chúng bằng 28 và các số đó
khoảng từ 300 đến 400

Câu 6. (1,0 điểm)Tìm các số nguyên x, ysao cho : xy−2x− = −y 6

Câu 7. (2,0 điểm)

Cho xAy, trên tia Axlấy điểm B sao cho AB 5cm.= Trên tia đối của tia Axlấy điểm D sao

cho AD=3cm, Clà một điểm trên tia Ay

a)Tính BD

b)Biết  0  0

BCD=85 , BCA=50 .Tính ACD

c)Biết AK=1cm K

(

∈BD .

)

Tính BK.

y

x
O

m

n
t

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

2 3 4 20

)

2 3 21 21 21

A.2= 2+2 +2 +2 +... 2+ .2=2 +2 +.... 2+ ⇒2A− =A 2 − ⇒ =2 A 2 −2

Ta có: 21 4.5 1

( )

4 5 5

2 =2 + = 2 .2 16 .2=

...16 có tận cùng là 6 nên 16 .25 có tận cùng là 2 nên A=221−2có tận cùng là 0

Câu 3.

Với mọi số tự nhiên nta có các trường hợp sau:

Th1: n 5 thì tích chia hết cho 5
Th2:nchia cho 5 dư 1 thì n 5k 1= +

4n 1 20k 5

⇒ + = + chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5
Th3: n chia cho 5 dư 2 thì n 5k 2= +

2n 1 10k 5

⇒ + = + chia hết cho 5⇒ tích chia hết cho 5

Th4: n chia cho 5 dư 3 thì n 5k 3= +
3n 1 15k 10

⇒ + = + chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5
Th5: n chia cho 5 dư 4 thì n 5k 4= +

n 1 5k 5

⇒ + = + chia hết cho 5⇒ tích chia hết cho 5

Vậy n n 1 2n 1 3n 1 4n 1

(

)(

)

chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Câu 4. Nếu pq 11+ là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (vì pq 11+ >2)

⇒ là số chẵn ⇒ ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2

+giả sử p=2.Khi đó 7p+ =q 14 q; pq 11+ + =2q 11+

Thử q=2(ktm), q=3(tm), q>3có 1 số là hợp số⇒ =p 2, q=3

+Giả sử q=2, cmtt⇒ =p 3

Vậy p 2, q 3

p 3, q 2

= =



 = =



Câu 5.

a)Gọi UCLN(7n+3,8n 1)− =dvới n∈  *
Ta có: 7n 3 d,8n 1 d+  − 

(

)

(

)

{ }

8. 7n 3 7. 8n 1 d 31 d d 1;31

⇒ + − −  ⇔  ⇔ ∈

Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d 31≠

Mà 7n 3 31+  ⇔7n 3 31 31+ −  ⇔7 n

(

−4 31

)



n 4 31

⇔ −  (vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)⇔ =n 31k+4 k

(

∈ 

)

Do đó d 31≠ ⇔ ≠n 31k+4

Vậy hai số 7n+3,8n 1− nguyên tố cùng nhau khi n≠31k+4 k

(

∈ 

)

b)Gọi hai số phải tìm là a, b a, b

(

∈*, a>b

)

Ta có: UCLN(a, b) 28 a 28k

(

k, q *, k, q

( )

)

b 28q

=


= ⇒ = ∈ =

 

Ta có: a− =b 84⇒ − =k q 3

Theo bài ra : 300≤ < ≤b a 440⇒10< < <q k 16

Chỉ có 2 số 11, 14 nguyên tố cùng nhau và có hiệu là 3⇒ =q 11, k=14

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

a 28.11 308

b 28.14 392

= =



⇒  = =

 . Vậy hai số phải tìm là 308, 392.

Câu 6.

(

)(

)

xy x− − = − ⇔y 6 x 1 y 2− − = −4(x, y∈ )

x 1− −1 1 −2 2 −4 4

y−2 4 −4 2 −2 1 −1

x 0 2 −1 3 −3 5

y 6 −2 4 0 3 1

Câu 7.

a)Vì B∈Ax, D∈tia đối tia Ax ⇒Anằm giữa D và B

BD BA AD 5 3 8cm

⇒ = + = + =

b)Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD

      0 0 0

ACD ACB BCD ACD BCD ACB 85 50 35

⇒ + = ⇒ = − = − =

c)*Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được B nằm giữa A và B

AK KB AB KB AB AK 5 1 4(cm)
⇒ + = ⇒ = − = − =

*Trường hợp 2: B thuộc tia đối của tia Ax

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

Suy ra : KB KA AB= + ⇒KB= + =5 1 6cm

Vậy KB 4cm= hoặc KB 6cm=

y

C

D

A

B

x

B

D

A K

x

B

D

K A

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2018-2019 
MƠN TỐN 6

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

( )

2 5 1
a)A : 5 . 3

3 6 18
= + − −

(

)

{

2 3

}

b)B=3. 5. 5 +2 :11−16 +2015

1 1 1 1
c)C 1 1 1 ... 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016
     
= +  +  +   + 
     

Bài 2.

a)Tìm số tự nhiên xbiết: 8.6+288 : x

(

−3

)

2 =50

b)Tìm các chữ số x, yđể A=x183ychia cho 2;5 và 9 đều dư 1

c)Chứng tỏ rằng nếu plà số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2−1chia hết cho 3

Bài 3.

a)Cho biểu thức : B 5

(

n , n 3

)

n 3

= ∈ ≠
− 

Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B nguyên
b)Tìm các số nguyên tố x, ysao cho x2+117=y2
c)Số 100

2 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số.

Bài 4.

Cho góc  0

xBy=55 .Trên các tia Bx, Bylần lượt lấy các điểm A, C A

(

≠B; C≠B

)

. Trên đoạn
thẳng AC lấy diểm D sao cho ABD=300

a)Tính độ dài AC , biết: AD=4cm, CD=3cm

b)Tính số đo của DBC

c)Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz=90 .0 Tính số đo ABz

Bài 5.

a)Tìm các chữ số a, b, ckhác 0 thỏa mãn abbc ab ac 7= × ×

b)Cho 1

(

20122015 9294

)

A 7 3
2

= − . Chứng min A là số tự nhiên chia hết cho 5.

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

( )

2 5 1 2 1 1 1

a)A : 5 . 3

3 6 18 3 6 2 3
= + − − = + − =

(

)

{

2 3

}

{

[

]

}

b)B=3. 5. 5 +2 :11−16 +2015=3. 5. 33 :11 −16 +2015=2012

1 1 1 1
c)C 1 1 1 ... 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016
     
= +  +  +   + 
     

(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 2.3.4...2015 . 2.3.4....2015

2 3 2015 2015
. ...

1.3 2.4 2014.2016 1.2.3....2014 . 3.4.5...2016 1008

= = =

Bài 2.

a)Biến đổi được:

(

)

2 2

(

)

2 x 3 12 x 15(tm)

x 3 144 12 12

x 3 12 x 9(ktm)

− = =

 

− = = = − ⇒ ⇒

− = − = −

 

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

b)Do A x1831= chia cho 9 dư 1⇒

(

x 1 8 3 1 1 9+ + + + −

)

 ⇒ =x 6
Vậy x=6; y=1

c)Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có: p=3k 1+ hoặc p=3k+2 k

(

∈  *

)

Nếu 2

(

)

2 2

p=3k 1+ ⇒p − =1 3k 1+ − =1 9k +6k 3

Nếu p=3k+2thì p2− =1

(

3k+2

)

2− =1 9k2 +12k+ 3 3

Vậy 2

p −  1 3

Bài 3.

a)Để B nhận giá trị nguyên thì n 3− ∈U(5)= ± ± ⇒ ∈ −

{

1; 3

}

{

2; 2; 4;8

}

b)Với 2 2

x= ⇒2 2 +117=121⇔y =121⇒ =y 11(là số nguyên tố)
Với x>2, xlà số nguyên tố nên x lẻ ⇒y2 =x2+117là số chẵn
Nên y chẵn, kết hợp với y nguyên tố nên y=2(ktm)

Vậy x=2; y=11

c)Ta có: 30 10

10 =1000 và 2100=102410⇒1030 <2100(1)

Lại có 100 31 63 6 31 7

2 =2 .2 .2 =2 .512 .64và 1031=2 .5 .531 28 3=2 .625 .12531 7

Nên 100 31

( )

2 <10 2

Từ (1) và (2) suy ra số 100

2 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

Bài 4.

a)Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A C, ⇒AC=AD CD+ = + =4 3 7cm
b)Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA BC, nên ta có:

      0 0 0

ABC=ABD+DBC⇒DBC=ABC ABD− =55 −30 =25
a)Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Tia Bz và BDnằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia
BA nằm giữa 2 tia Bz, BD

Tính được:  0  0 0 0

ABz=90 −ABD=90 −30 =60

- Trường hợp 2: Tia Bz, BDnằm về cùn nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm

giữa hai tia Bz, BA

Tính được:  0  0 0 0

ABz=90 +ABD=90 +30 =120

x

y
z'

B

A

C

D

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bài 5.

a)Ta có: abbc=ab.ac.7 (1)

(

)

100ab bc 7.ab.ac ab. 7ac 100 bc

⇔ + = ⇔ − =

bc bc

7.ac 100 .Do 0 10 0 7.ac 100 10
ab ab

⇔ − = < < ⇒ < − <
100 110

100 7.ac 110 14 ac 16 ac 15
7 7

⇔ < < ⇔ < < < < ⇒ =

Thay vào (1) được: 1bb5 1b.15.7= ⇔1005 110b 1050 105b+ = + ⇒ =b 9
Vậy a=1, b=9, c=5

b)Vì 2012, 92 đều là bội của 4 nên 2015

2012 và 9294cũng là bội của 4

(

)

2015

2012 4m(m *);92 4n n *

⇒ = ∈ = ∈

Khi đó 20122015 9294 4m 4n

(

) (

)

7 −3 =7 −3 = ...1 − ...1 =0 vậy

A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 nên 1

(

20122015 9294

)

A 7 3 5
2

= − 

TRƯỜNG THCS LÝ NHÂN

TP BUÔN MÊ THUỘC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2018-2019 
MƠN TỐN 6

Câu 1. (1,5 điểm) Thực hiện phép tính

3 3 3 3

24.47 23 7 11 1001 13

a)A .

9 9 9 9

24 47 23 9

1001 13 7 11

+ − + −

−
=

+ − − + − +

2 3 2012

2014

1 2 2 2 ... 2

b)M

2 2

+ + + + +

−

Câu 2. (2,5 điểm)

a)Cho 2 3 4 5 6 2012

S= +5 5 + +5 5 + +5 5 +... 5+ .Chứng tỏ S chia hết cho 65

b)Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư
11

c)Chứng tỏ: n

A=10 +18n 1− chia hết cho 27 (với nlà số tự nhiên)

Câu 3. (2 điểm)

a)Tìm x, ynguyên biết: 2x 3y 2

(

− +

) (

3y 2−

)

= −55
b)Chứng minh rằng:

( )

2 2 2

1 1 1 1 1
...

4 +6 +8 + + 2n <4

Câu 4. (2,5 điểm) Cho nửa mặt phẳng bờ ABchứa hai tia đối OA và OB

a)Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng 0

a ,vẽ tia OD tạo với tia OC một góc bằng

(

)

a 10+ và với tia OB một góc

(

a+20

)

0. Tính a

b)Tính góc xOy, biết AOx=220và BOy=480

c)Gọi OE là tia đối của tia OD,tính số đo góc kề bù với góc xOD khi AOCbằng 0

Câu 5. (1,5 điểm) Cho 2012 2011 2010 2009

A=10 +10 +10 +10 +8

a)Chứng minh rằng Achia hết cho 24

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

b)Chứng minh rằng Akhơng phải là số chính phương

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a)Đặt A B.C=

24.47 23 1105
B

24 47 23 48
−

= =
+ −

1 1 1 1

3 1

7 11 1001 13

1 1 1 1 3

9 1

1001 13 7 11

 + − + − 

 

 

= =

 − + − + 

 

 

1105
A

144
⇒ =

b)Đặt 2 3 2012 2013

A= + +1 2 2 +2 +.... 2+ ⇒ =A 2 −1

Đặt 2014

(

2013

)

B=2 − =2 2 2 −1 M 1
2
⇒ =

Câu 2.

2 3 2012

a)S= + + +5 5 5 .... 5+

(

2 3 4

)

2009 2010 2011 2012

5 5 5 5 ... 5 5 5 5
= + + + + + + + +

(

2 3 4

)

2009

(

2 3 4

)

5 5 5 5 ... 5 . 5 5 5 5
= + + + + + + + +

Vì

(

2 3 4

)

5 5+ + +5 5 =780 65

Vậy S chia hết cho 65

b) Goi số cần tìm là a ta có:

(

a−6 11; a 1 4; a 11 19

) (

 −

) (

 −

)



(

a− +6 33 11; a 1 28 4; a 11 38 19

) (

 − +

) (

 − +

)

 ⇒

(

a+27 11, a

) (

 +27 4, a

) (

 +27 19

)


Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a 27+ nhỏ nhất suy ra:

(

)

a+27=BCNN 4,11,19 ⇒ =a 809

n n

n so9 n so1

c)A=10 +18n 1 10− = − −1 9n+27n=999....9 9n− +27=9. 11....11 n − +27n

 

 

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó

111...1 n 9−  nên

n so1

9. 11111...1 n −  9

  nên n

9. 111...1 n −  27

  . Vậy A 27

Câu 3. 
a)

(

) (

)

(

)(

)

2x 3y 2 3y 2 55 3y 2 2x 1 55 2x 1 (1)

3y 2
−

− + − = − ⇒ − + = − ⇒ + =

−
Để xnguyên thì 3y 2− ∈U(55)= ± ±

{

1; 11; 55; 5± ±

}

7
)3y 2 1 y 1 x 28 )3y 2 5 3y 7 y (ktm)

3
+ − = ⇒ = ⇒ = + − = ⇒ = ⇒ =

)3y 2 11 y (ktm) )3y 2 55 y 19 x 1
3

+ − = ⇒ = + − = ⇒ = ⇒ = −

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

)3y 2 1 y (ktm) )3y 2 11 y 3 x 2
3

+ − = − ⇒ = + − = − ⇒ = − ⇒ =
53

)3y 2 55 y (ktm)
3

−
+ − = − ⇒ =

Vậy ta có 4 cặp số x y, nguyên thỏa mãn là:

( ) (

x, y =

{

28;1 ;

) (

−1;19 ; 5; 1 ; 2; 3

) (

−

) (

−

)

}

b)Ta có:

( )

2 2 2

1 1 1 1
A ...

4 6 8 2n

= + + + +

( ) ( ) ( )

2 2 2

( )

1 1 1 1
A ...

2.2 2.3 2.4 2.n
= + + + +

(

)

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1
A . ... . ...

4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 n 1 n

 

=  + + + + <  + + + 
−

   

1 1 1 1 1 1 1
A . ...

4 1 2 2 3 n 1 n

 

<  − + − + + − 
−

 

1 1 1

A . 1 (dfcm)
4 n 4

 
<  − <

 

Câu 4.

Học sinh tự vẽ hình

a)Do OC, ODnằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và  COD>COA(a 10+ >a)nên tia

OC nằm giữa hai tia OA và OD

    0

(

) (

)

0 0 0 0 0

AOC COD DOB AOB a a 10 a 20 180 3a 30 180 a 50
⇒ + + = ⇒ + + + + = ⇒ + = ⇒ =

b)Ta có:  0  0 0 0  0

AOy 180= −BOy 180= −48 =132 ⇒AOx=22
Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

   0  0  0

AOx xOy AOy 22 xOy 132 xOy 110

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

c)Vì tia OC nằm giữa hai tia OA, OD nên:

    0

(

)

0 0 0 0 0

AOC COD+ =AOD⇒AOD=a + +a 10 =2a 10+ =2.50 +10 =110

Vì  

(

0 0

)

AOx<AOD 22 <110 nên tia Ox nằm giữa hai tia OA, OD

   0  0  0 0 0

AOx xOD AOD 22 xOD 110 xOD 110 22 88

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − =

Vậy số đo góc kề bù với góc xODcó số đo là: 1800−880 =920

Câu 5.

a)Ta có:

(

)

(

)

3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006

A=10 10 +10 +10 +10 + =8 8.125. 10 +10 +10 +10 +8

(

2009 2008 2007 2006

)

( )

8. 125. 10 10 10 10 1 8 1

=  + + + + 

Ta lại có các số: 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có tổng các chữ số bằng 1, nên các số

2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1, 8 chia 3 dư 2
Vậy Achia hết cho 3 (2)

Và

( )

3,8 =1 (3)
Từ

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 ⇒  A 24

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

b)Ta có các số 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 đều có chữ số tận ùng là 0 nên

2012 2011 2010 2009

A=10 +10 +10 +10 +8có chữ số tận cùng là 8

Vậy A khơng phải là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là

0;1; 4;5; 6;9

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM 2018-2019 Mơn Tốn lớp 6

Câu 1. (2 điểm)

a)Tính nhanh: 16+

(

27 7.6−

) (

− 94.7 27.99−

)

b)Tính tổng: A 2 2 2 ... 2

1.4 4.7 7.10 97.100
= + + + +

Câu 2. (2 điểm)

Cho biểu thức : 2 3 80

M= +5 5 + +5 ... 5+ . Chứng tỏ rằng:

a)M chia hết cho 6

b)Mkhơng phải là số chính phương.

Câu 3. (2 điểm)

a)Chứng tỏ rằng: 2n 5

(

)

n 3

+ ∈

+  là phân số tối giản

b)Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B 2n 5
n 3

+
=

+ có giá trị là số nguyên.

Câu 4. (1 điểm)

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư
3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5. (2 điểm)

Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Otsao cho

 0  0  0

xOy=30 , xOz=70 , xOt=110 .
a)Tính  yOz, zOt

b)Trong 3 tia Oy, Oz, Ottia nào nằm giữa hai tia cịn lại ? Vì sao ?

c)Chứng minh: Oz là tia phân giác của yOt

Câu 6. (1 điểm) Chứng minh rằng: 12 12 12 ... 12 1
2 +3 +4 + +100 <

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

) (

)

a)16+ 27 7.6− − 94.7 27.99− =16 27 7.6 94.7 27.99+ − − +

16 27 27.99 7.6 94.7 16 27.100 7.100

= + + − − = + −

(

)

16 100. 27 7 16 100.20 2000 16 2016

= + − = + = + =

2 2 2 2
b)A ...

1.4 4.7 7.10 97.100
= + + + +

2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 33
. ... .

3 1 4 4 7 7 10 97 100 3 1 100 50

   

=  − + − + − + + − =  − =

   

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Câu 2.

(

) (

)

(

)

2 3 80 2 3 4 79 80

a)M= +5 5 + +5 ... 5+ = 5 5+ + 5 +5 +....+ 5 +5

(

)

(

)

(

)

(

2 78

)

5 5 5 . 5 5 ... 5 . 5 5 30. 1 5 ... 5 30
= + + + + + + = + + + 

b) Ta thấy : 2 3 80

M= +5 5 + +5 ... 5+ chia hết cho 5 (1)

Mặt khác, do 2 3 80

5 + +5 ... 5+ chia hết cho 2

2 3 80

M 5 5 5 ... 5

⇒ = + + + + không chia hết cho 25 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Mkhơng là số chính phương.

Câu 3.

a)Gọi d là ước chung của n 3+ và 2n 5+ với d ∈

n 3 d

⇒ +  và 2n 5 d+ 

(

) (

)

(

)

2 n 3 2n 5 d 1 d d 1 UC n 3, 2n 5 1

⇒ + − +  ⇔  ⇒ = ⇒ + + =

(

)

2n 5
UCLN(n 3, 2n 5) 1 n

n 3
+
⇒ + + = ⇒ ∈

+  là phân số tối giản.

b)Ta có: 2n 5 2 n

(

)

1 2 1

n 3 n 3 n 3

+ −

+ = = −

+ + +

Để Bcó giá trị ngun thì 1

n+3ngun ⇒1 n 3

(

+ ⇒ + ∈

)

n 3 U(1)= ± ⇒ ∈ − −

{ }

1 n

{

4; 2

}

Câu 4.

Goi số phải tìm là x

Theo bài ra ta có: x+2chia hết cho 3, 4, 5, 6⇒ +x 2là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3, 4, 5, 6)=60⇒ + =x 2 60n

Do đó z=60n−2 n

(

=1; 2;3;...

)

Mặt khác x 11 nên lần lượt cho n=1; 2;3;...Ta thấy n 7= ⇒ =x 418 11
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418

Câu 5.

a)  

(

0 0

)

xOy<xOz 30 <70 ⇒Tia Oy nằm giữa hai tia Ox Oz, ⇒yOz=700−300 =400

 

(

0 0

)

xOz<xOt 70 <110 ⇒Oznằm giữa hai tia Ox Ot, ⇒zOt =1100−700 =400

30 O

x

y

z

t

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b)  

(

0 0

)

xOy<xOt 30 <110 ⇒Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Ot⇒yOt=1100−300 =800

Theo trên,  0  

(

0 0

)

yOz=40 ⇒yOz<yOt 40 <80 ⇒Oznằm giữa hai tia Oy Ot,

c)Theo trên, tia Oz nằm giữa hai tia Oy, Otvà yOz=40 , zOt0  =400 ⇒Ozlà tia phân giác của


yOt

Câu 6.

Ta có:

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1
... ...

2 +3 +4 + +100 <1.2+2.3+ +99.100=
1 1 1 1 1 1 1

... 1 1
1 2 2 3 99 100 100
= − + − + + − = − <

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học 2018-2019 
Mơn Tốn 6

Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính:

(

2 2

) ( )

9 2 6

( )

2 14 4

28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3

1)A

5.2 .3 7.2 .3
−
=

−

12 12 12 5 5 5

12 5

158158158

7 289 85 13 169 91

2)B 81. : .

4 4 4 6 6 6 711711711

4 6

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

Câu 2. (4,0 điểm)

1)So sánh Pvà Q

Biết : P 2010 2011 2012

2011 2012 2013

= + + và Q 2010 2011 2012
2011 2012 2013

+ +
=

+ +

2)Tìm hai số tự nhiên a, b biết: BCNN(a, b)=420; UCLN(a, b)=21và a 21 b+ =

Câu 3. (4,0 điểm)

1)Chứng minh rằng: Nếu 7x 4y 37+  thì 13x 18y 37+ 

2)Cho

2 3 4 2012

1 3 3 3 3 3
A ...

2 2 2 2 2 2
       
= + +  +  +  + + 

        và

2013

B : 2
2

 
=   

Tính B A−

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho xAy, trên tia Axlấy điểm B sao cho AB 6cm.= Trên tia đối của tia Axlấy điểm D sao

cho AD 4cm=
1)Tính BD

2)Lấy C là một điểm trên tiaAy. Biết BCD=80 , BCA0  =45 .0 Tính ACD
3)Biết AK=2cm K

(

∈BD

)

. Tính BK

Câu 5. (2,0 điểm)

1)Tìm các số tự nhiên x, ysao cho: x 3 1

9− =y 18

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

2)Tìm số tự nhiên nđể phân số B 10n 3
4n 10
−
=

− đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất.

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

2 2

) ( )

9 2 6

( )

2 14 4

18 12 28 14 4

28 18 29 18 28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3 5.2.3 .2 2.2 .3 .3

a)A

5.2 .3 7.2 .3 5.2 .3 7.2 .3

− −
= =
− −

(

)

(

)

29 18

30 18 29 18

28 18 28 18

2 .3 . 5.2 1

5.2 .3 2 .3 2.9

2 .3 .(5 7.2) 2 .3 . 5 14 9

−
−

= = = = −

− − −

1 1 1 1 1 1

12. 1 5. 1

158.1001001

7 289 85 13 169 91

b)B 81. : .

1 1 1 1 1 1 711.1001001

4. 1 6. 1

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + + 
   
    
 
=
   
 − − − + + + 
   
    

 

12 5 158 18 2 324
81. : . 81. .

4 6 711 5 9 5
 

=   = =
 

Câu 2.

a)Ta có:

2010 2011 2012 2010 2011 2012
Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
+ +

= = + +

+ + + + + + + +

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2011, 2010, 2012 ta thấy

P>Q

b)Vì UCLN(a, b) 21 a 21m, m, n

(

)

b 21n

=


= ⇒ = =



Vì BCNN(a, b)=420⇒BCNN(21m, 21n)=420=21.20⇒BCNN(m, n)=20

Vì a 21 b+ = ⇒21m 21+ =21n⇒ + =m 1 n(*)
Trong các trường hợp cần xét chỉ có m 4, n 5

m 2, n 3

= =



 = =

 là thỏa (*)

Vậy với m 4, n 5

m 2, n 3

= =



 = =



a 21.4 84

b 21.5 105

= =

⇒  = =

Câu 3. 
a)Ta có

(

) (

)

(

)

5 13x 18y+ −4 7x+4y =65x 90y 28x 16y+ − − =37x+74y=37 x+2y 37
Hay 5 13x 18y

(

) (

−4 7x+4y 37(*)

)



Vì 7x 4y 37+  mà

(

4, 37

)

= ⇒1 4 7x

(

+4y 37

)



Do đó, từ (*) suy ra: 5 13x 18y 37

(

)

 mà

(

5, 37

)

=1nên:13x 18y 37+ 
b)Ta có:

2 3 4 2012

1 3 3 3 3 3

A ... (1)
2 2 2 2 2 2

       
= + +  +  +  + + 
       

( )

2 3 4 2012 2013

3 3 3 3 3 3 3

A ... 2

2 4 2 2 2 2 2
         
⇒ = +  +  +  + +  + 
         

Lấy (2) – (1) ta được:

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

2013 2013

2012

3 3 3 1 3 3 1

A A A

2 2 4 2 2 2 2
 

− =  + − − ⇒ = +
 

Vậy B A 320132014 320132012 5

2 2 2

− = − +

Câu 4.

a)Vì B thuộc tia Ax D, thuộc tia đối của tia Ax ⇒Anằm giữa D B,
BD BA AD 6 4 10(cm)

⇒ = + = + =

a) Vì A nằm giữa D và B nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD

  

ACD ACB BCD

⇒ + =    0 0 0

ACD BCD ACB 80 45 35

⇒ = − = − =

b)Trường hợp 1: K thuộc tia đối của tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra AK+KB=AB⇒KB=AB AK− = − =6 2 4(cm)

Trường hợp 2: K thuộc tia Ax

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa Kvà B

Suy ra : KB KA AB 6 2 8cm= + = + =

Vậy KB=4cm hoặc KB=8cm

Câu 5.

a)Từ x 3 1 x 1 3 2x 1 3

(

2x 1 y

)

54 1.54 2.27 3.18 6.9

9 y 18 9 18 y 18 y

−

− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = = = = =

Vì xlà số tự nhiên nên 2x 1− là ước số lẻ của 54.

x

y

C

D

A

B

D

A

K

B

x

D

K

A

B

x

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

2x 1− 1 3 9 27

x 1 2 5 14

y 54 18 6 2

Vậy

( ) (

x; y = 1;54 ; 2;18 ; 5; 6 ; 14; 2

) (

) ( ) (

)

b)B 10n 3 2, 5 22

4n 10 4n 10
−

= = +
− −

Vì n ∈ nên B 2, 5 22
4n 10
= +

− đạt GTLN khi

4n 10− đạt GTLN

Mà 22

4n 10− đạt GTLN khi 4n 10− là số nguyên dương nhỏ nhất
11

*)4n 10 1 n (ktm)
4
− = ⇒ =
*)4n 10− = ⇒ =2 n 3

Vậy GTLN của B là 13,5 khi n 3=

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TƯ NGHĨA

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
Năm học 2018-2019

Mơn thi:Tốn 6

Câu 1. (3,0 điểm) Cho A 12n 1
2n 3

+
=

+ . Tìm giá trị của nđể:

a)A là một phân số
b)A là một số nguyên

Câu 2. (4,0 điểm)

a)Khơng quy đồng hãy tính tổng sau:

1 1 1 1 1 1
A

20 30 42 56 72 90
− − − − − −
= + + + + +

b)So sánh Pvà Q biết:
2010 2011 2012
P

2011 2012 2013

= + + và Q 2010 2011 2012
2011 2012 2013

+ +
=

+ +

Câu 3. (3,0 điểm) Tìm x,biết:

(

)

3 5 2

a) 7x 11− =2 .5 +200
1 3

b)3 x 16 13, 25
3 + 4= −

Câu 4. (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng 3

7số còn lại. Cuối năm có thêm

4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng 2

3số cịn lại. Tính số học sinh của lớp 6A.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho ababablà số có 6 chữ số, chứng tỏ số ababablà bội của 3

Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy,trên tia Axlấy điểm B sao cho AB 5cm.= Trên tia đối của tia

Axlấy điểm D sao cho AD=3cm, C là một điểm trên tia Ay

a)Tính BD.

b)Biết  0  0

BCD=85 , BCA=50 .Tính ACD

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

c)Biết AK=1cm K

(

∈BD .

)

Tính BK

ĐÁP ÁN 
Câu 1. a) A 12n 1

2n 3
+
=

+ là phân số khi

12n 1 , 2n 3 , 2n 3 0

n 1, 5

∈


+ ∈ + ∈ + ≠ ⇔ 

≠ −




 

b) A 12n 1 6 17

2n 3 2n 3

+
= = −

+ +

Alà số nguyên khi 2n 3+ ∈U(17)⇔2n 3+ ∈ ± ±

{

1; 17

}

⇔ ∈ −n

{

10; 2; 1; 7− −

}

Câu 2.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a)A

20 30 42 56 72 90 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
− − − − − −  
= + + + + + = − + + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
...

4 5 5 6 6 7 9 10 4 10 20

   

= − − + − + − + + − = − − = −

   

2010 2011 2012 2010 2011 2012
b)Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
+ +

= = + +

+ + + + + + + +

Ta có: 2010 2010

2011 2012 2013+ + < 2011

2011 2011 2012 2012
;

2011 2012 2013+ + < 2012 2011 2012 2013+ + < 2013
P Q

⇒ >

Câu 3.

(

)

3 5 2

(

)

a) 7x 11− =2 .5 +200⇒ 7x 11− =800+200

(

)

3 3

7x 11 1000 10 7x 11 10 x 3
⇒ − = = ⇒ − = ⇒ =

1 3 10 67 53
b)3 x 16 13, 25 x

3 4 3 4 4
−
+ = − ⇒ + =
10 53 67

x 30 x 9
3 4 4

−

⇒ = − = − ⇒ = −

Câu 4.

Số học sinh giỏi kỳ I bằng 3

10số học sinh cả lớp

Số học sinh giỏi cuối năm bằng 2

5số học sinh cả lớp

4 học sinh là : 2 3 1

5−10 =10(số học sinh cả lớp)

Số học sinh 6A là : 4 : 1 40

10= (học sinh)

Câu 5.

ababab=ab.10101 3 ⇒ababablà bội của 3

Câu 6.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

a)Vì B∈Ax, D∈tia đối tia Ax⇒Anằm giữa D B, BD BA AD 5 3 8cm⇒ = + = + =

b) Vì A nằm giữa D B, nên tia CA nằm giữa hai tia CB, CD

      0 0 0

ACD ACB BCD ACD BCD ACB 85 50 35

⇒ + = ⇒ = − = − =

c)*Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Chứng minh được K nằm giữa A và B

AK KB AB KB AB AK 5 1 4(cm)
⇒ + = ⇒ = − = − =

*Trường hợp 2: Kthuộc tia đối của tia Ax

-Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

Suy ra : KB KA AB= + ⇒KB= + =5 1 6cm

Vậy KB 4cm= hoặc KB 6cm=

UBND HUYỆN VĨNH LỘC 
PHÒNG GD VÀ ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS 
Mơn: Tốn 6

Năm học 2017-2018

Bài 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính:

a)A=1.2.3....9 1.2.3....8 1.2.3...8.8− −

(

16

)

13 11 9

3.4.2
b)B

11.2 .4 16

−

131313 131313 131313
c)C 70.

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

y

C

D

A

B

x

B

D

A K

x

B

D

K A

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

d) Thực hiện phép tính:B 1 1 1 ... 1

4.9 9.14 14.19 64.69
= + + + +

Bài 2. (4,0 điểm) Tìm xbiết:
1 2 7

a) 2x

2− + =3 3

(

)

b) 3x−54 .8 : 4 =18

(

) (

)

c) 2x 15− = 2x 15−

(

) (

)

(

)

d)x+ x 1+ + x+ +2 ...+ x+2013 =2035147

Bài 3. (4,0 điểm)

a)Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2,
cịn chia cho 7 thì dư 3.

b)Tìm x, yngun biết: x+ +y xy=40

c)Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a 9 ta được số dư là 5.

Tìm số dư trong phép chia a cho 36

Bài 4. (6,0 điểm) Cho  0

xBy=55 .Trên các tia Bx, Bylần lượt lấy các điểm A, Csao cho
A≠B, C≠B.Trên đoạn thẳng AC lấy điểm Dsao cho ABD=300

a)Tính độ dài AC , biết AD=4cm, CD=3cm

b)Tính số đo DBC

c)Từ Bvẽ tia Bzsao cho DBz=900. Tính số đo ABz

Bài 5. (2,0 điểm)

Cho tổng T 21 32 43 ... 20162015 20172016
2 2 2 2 2
= + + + + +

So sánh Tvới 3

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

)

a)A=1.2.3...9 1.2.3..8 1.2.3...8.8 1.2.3...8. 9 1 8− − = − − =0

(

)

(

)

(

)

2 2

16 2 16 36 36 36

13 11 9 13 22 36 35 36 35 35

3.4.2 3.2 .2 9.2 9.2 9.2

b)B 2

11.2 .4 16 11.2 .2 2 11.2 2 2 . 11 2 2 .9

= = = = = =

− − − −

131313 131313 131313 13 13 13
c)C 70. 70.

565656 727272 909090 56 72 90

   

=  + + =  + + 

   

1 1 1 1 1

70.13. 70.13. 39

7.8 8.9 9.10 7 10
   
=  + + =  − =

   
1 1 1 1

d)B ...

4.9 9.14 14.19 64.69
= + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
. ... .

5 4 9 9 14 14 19 64 69 5 4 69 276

   

=  − + − + − + − =  − =

   

Bài 2.

1 2 1 2 1 10
a) 2x 4 2x 4 2x

2− + = ⇒ −3 2 = − ⇒ −3 2 = 3

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

1 10 17 17

2x 2x x

2 3 6 12

1 10 23 23

2x 2x x

2 3 6 12

− −

 − = ⇒ = ⇒ =


⇒ 

 − = − ⇒ = ⇒ =


(

)

(

)

b) 3x−54 .8 : 4 =18⇒ 3x−54 .8=72⇒3x−54= ⇒9 3x=63⇒ =x 21

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

c) 2x 15− = 2x 15− ⇒ 2x 15− − 2x 15− = ⇒0 2x 15 . 2x 15−  − − =1 0

(

)

(

)

(

)

2 2 2

2x 15 0 2x 15 0 x 7, 5

2x 15 1 x 8

2x 15 1 0 2x 15 1

2x 15 1 x 7

 − = ⇒ − = ⇒ =



⇒  − = ⇒ =

− − = ⇒ − = ⇒

  − = − ⇒ =




Vậy x∈

{

7; 7, 5;8

}

(

) (

)

(

)

(

)

d)x+ x 1+ + x+ +2 ...+ x+2013 =2035147⇒2014x+ + + +1 2 3 ... 2013+ =2035147

2014x 2027091 2035147 2014x 8056 x 4

⇒ + = ⇒ = ⇒ =

Bài 3.

a)Gọi a là số tự nhiên cần tìm

Vì a chia cho 3,4,5,6 đều dư 2 nên a 2− chia hết cho 3,4 ,5,6

(

a 2

)

BC 3; 4;5; 6

(

)

⇒ − ∈ , BCNN(3, 4, 5, 6)=60

{

}

{

}

a 2 0; 60;120;180... a 2; 62;122;182;...

⇒ − ∈ ⇒ ∈

Mà a là số nhỏ nhất và chia cho 7 dư 3 a 122⇒ =

(

)

(

)(

)

b)x+ +y xy=40⇒ y 1 x+ + + =y 1 41⇒ x 1 y 1+ + =41
Mà x, ynguyên nên x 1, y 1+ + là ước của 41

Tính được

( ) (

x, y ∈

{

40, 0 ; 0; 40 ;

) (

− −2; 42 ;

) (

−42; 2−

)

}

c) Theo đề bài ta có: a=4p 3+ =9q+3(p, q∈)

(

)

a 13 4p 3 13 4 p 4 (1)

⇒ + = + + = +

(

)

( )

a 13+ =9q 5 13+ + =9 q+2 2

Từ (1) và (2) ta nhận thấy a 13+ là bội của 4 và 9 mà

( )

4, 9 = ⇒ +1 a 13là bội của 4.9 36=
Ta có a 13+ =36k k

(

∈

)

⇒ =a 36k 13− =36 k 1

(

− +

)

Vậy a chia cho 36 dư 23.

Bài 4.

C

B

D

A x

y

z

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

a)Vì D thuộc đoạn AC nên Dnằm giữa A và C

AC AD CD 4 3 7(cm) AC 7cm
⇒ = + = + = ⇒ =

b)Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA, BC

Ta có đẳng thức :   ABC=ABD+DBC

   0 0 0

DBC ABC ABD 55 30 25

⇒ = − = − =

c)Xét hai trường hợp (học sinh vẽ hình trong 2 trường hợp)

- Trường hơp 1:Tia Bz và BA nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là BD

Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD

Tính được:    0 0 0

ABz=DBz−ABD=90 −30 =60

- Trường hợp 2: Tia Bzvà BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD

Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA

Tính được:    0 0 0

ABz=DBz+ABD=90 +30 =120

Bài 5.

1 2 3 2015 2016

2 3 4 2016 2017
T ...

2 2 2 2 2
= + + + + +

1 2 2014 2015

3 4 2016 2017
2T 2 ...

2 2 2 2
= + + + + +

1 1 2 2 2014 2014 2015 2015 2016

3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017

2T T 2 ....

2 2 2 2 2 2 2 2 2
− = + − + − + + − + − −

1 2 2015 2016

1 1 1 2017
T 2 ...

2 2 2 2
= + + + + −

1 2 2015 1 2 2014

1 1 1 1 1 1
N ... 2N 1 ...

2 2 2 2 2 2
= + + + ⇒ = + + + +

2015

2N N 1 N 1
2

− = − ⇒ <

Nên T 2 1 20172016 3 20172016 T 3
2 2

< + − = − ⇒ <

KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 6 
NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1.

a)Tính giá trị biểu thức: 2010

(

10 8 4 2010 2010

)

2010 . 7 : 7 −3.2 −2 : 2

b)So sánh hai số: 210

3 và 2350

Câu 2.

Cho tổng S 1 3 5 ... 2009 2011= + + + + +
a)Tính S

b)Chứng tỏ S là một số chính phương
c)Tìm các ước nguyên tố khác nhau của S

Câu 3.

a)Tìm giá trị nlà số tự nhiên để n 7+ chia hết cho n+2

b)Tìm xlà số chia trong phép chia 235 cho xđược số dư là 14

Câu 4.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

a)Tìm số tự nhiên xcó ba chữ số sao cho xchia cho 7;8;9đều dư 2

b)Cho nlà số tự nhiên bất kỳ

Chứng minh

(

n+3

)

và

(

2n 5+

)

là hai số nguyên tố cùng nhau

Câu 5.

Trong mặt phẳng cho 6 điểm, trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng
a)Vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng đi qua các điểm đã cho

b)Vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

)

(

)

2010 10 8 4 2010 2010 2010

a)2010 . 7 : 7 −3.2 −2 : 2 =2010 . 49 3.16 1− − =0

( )

210 3.70 3 70 350 5.70 5 70

b)3 =3 = 3 =27 ; 2 =2 = 2 =32

Vì 70 70

27 <32 nên suy ra 3210<2350

Câu 2.

2011 1 2011 1

a)S 1 3 5 ... 2009 2011 . 1 1006 1012036
2 2

+ −
   

= + + + + + =   + = =
   

b) 2 2 2

S=2 .503 =1006 là số chính phương

c) S có hai ước nguyên tố là: 2và 503

Câu 3.

(

) (

)

(

) (

)

{

}

{

}

a) x+7  x+2 ⇔5 x +2 ⇔ x+ ∈2 U(5)= ± ± ⇒ ∈ − − −1; 5 x 3; 1; 7;3

b)235 : xdư 14⇒235 14 x x− 

(

>14

)

⇒221 x x

(

>14

)

⇒ ∈x

{

17; 221

}

Câu 4.

a)Tìm x :

xchia cho 7;8;9dư 2 và xcó ba chữ số ⇒

(

x− 2 7;8;9

)

và xcó ba chữ số

(

)

x 2 BC 7;8;9

⇒ − ∈ và xcó ba chữ số ⇒ =x 504 2+ =506

b)Gọi d=

(

n 3, 2n 5+ +

)

(

)

n 3 d; 2n 5 d 2 n 3 d, 2n 5 d

⇒ +  +  ⇒ +  + 

(

2n 6

) (

2n 5 d

)

1 d d 1

⇒ + − +  ⇒  ⇒ =

Vậy n 3+ và 2n 5+ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 5.

a)Số đoạn thẳng vẽ được là:

( )

6.5 : 2 15= (đoạn thẳng)
b)Số tam giác vẽ được là:

(

15.4 : 3

)

=20(tam giác)

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

DUY XUYÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2019-2020 Mơn Tốn 6

Câu 1.

a)Tìm các số tự nhiên x, ysao cho

(

2x 1 y 5+

)(

− =

)

12
b)Tìm số tự nhiên nsao cho 4n 5− chia hết cho 2n 1−

c)Tìm tất cả các số B=62xy427, biết rằng B chia hết cho 99

Câu 2. Tìmx

x 2x 2x 3 2 2

a)5 =125 b)3 =81 c)5 − −2.5 =5 .3

Câu 3.

a)Chứng tỏ rằng: 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản

b)Chứng minh rằng: 12 12 .... 12 1
2 +3 + +100 <

Câu 4.

So sánh các phân số:

23 23232323 2323 232323
; ; ;

99 99999999 9999 999999

Câu 5.

Hai lớp 6A, 6Bcùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu

được 24kg còn lại mỗi bạn thu được 11kg;Lớp 6B có 1 bạn thu được 23kgcịn lại mỗi bạn

thu 10kg.Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg

đến 300kg

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a)Ta có: 2x 1; y 5+ − ∈U(12)=1.12=2.5=3.4

Do 2x 1+ lẻ 2x 1 1 x 0; y 17

2x 1 3 x 1; y 9

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy

( ) (

x; y = 0,17 ; 1, 9

) ( )

b)Ta có: 4n 5− =2 2n 1

(

− −

)

Để 4n 5 2n 1−  − ⇒3 2n 1 − ⇒

(

2n 1− ∈

)

U(3)=

{ }

1;3 ⇒ ∈n

{ }

1; 2
a)Ta có 99 9.11=

B 99 ⇒B 11; B 9 

(

)

(

)

x y 6

B 9 6 2 4 7 2 x y 9 21 x y 9

x y 15

+ =


⇒ + + + + + + ⇔ + + ⇒ 

+ =


  

(

)

(

)

B 11 ⇒ 7 4 x+ + + − − −6 2 2 y 11 ⇔ 13 x+ −y 11

x− =y 9(ktm) vs y− =x 2

y x 2; x y 6 x 2; y 4
y x 2; x y 15(ktm)

− = + = ⇒ = =
− = + =

Vậy B 6224427=

Câu 2.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

x 3

a)5 =125=5 ⇒ =x 3

2x 4

b)3 =81 3= ⇒2x= ⇒ =4 x 2

2x 3 2 2 2x 3 2 2 3

c)5 − −2.5 =5 .3⇔5 − =5 .3 5 .2+ =5

2x 3 3 2x 6 x 3

⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Câu 3.

a)Gọi d là ước chung của 12n 1;30n+ +2ta có:

(

) (

)

5 12n 1+ −2 30n+2 =1 d ⇒ =d 1nên 12n 1;30n+ +2nguyên tố cùng nhau

Do đó 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản.

b)Ta có:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .... 1 ...

2 +3 + +100 <1.2+2.3+ +99.100= − + − +2 2 3 +99−100

2 2 2

1 1 1 1 99
.... 1 1
2 3 100 100 100
⇒ + + + < − = <

Câu 4.

23 23.101 2323 23 23.10101 232323
;

99=99.101=9999 99= 99.10101=999999

23 23.1010101 23232323 23 2323 232323 23232323
99=99.1010101=99999999⇒99=9999 =999999=99999999

Câu 5.

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x(kg)thì

(

x−24 11; x

) (

 −23 10

)



(

x 13 10,11

)

⇒ − 

Do đó

(

x 13−

)

∈BC 10;11

(

) {

= 0;110; 220;330;...

}

Mà số kg giấy nằm trong khoảng 200 đến 300 ⇒ − =x 13 220⇒ =x 233
Số học sinh lớp 6A:

(

233 24 :11 1−

)

+ =20(học sinh)

Số học sinh lớp 6B : 233 23 :10 1

(

−

)

+ =22học sinh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LÂM THAO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
Mơn Tốn 6 Năm học 2018-2019

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng

đơn vị

A. 30 B.40 C. 45 D. 55

Câu 2. Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với

số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đó số lớn là:

A. 43 B. 54 C. 60 D. 67

Câu 3. Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 ... 99 100− + − + − + + − là:

A. 50 B. 50− C. 100− D. 0

Câu 4. Tập hợp các số nguyên nđể

(

n 3+

) (

 n 1+

)

là

{

0;1; 2; 3− −

}

{ }

0;1 C.

{

− −2; 3

}

{

± ±1; 2

}

Câu 5. Cho 7 ô liên tiếp sau

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

− a −27

Biết rằng tổng của ba ô bất kỳ ln bằng 0. Khi đó giá trị của a là :

A. −13 B. 27− C. 13 D. 27

Câu 6. Cho A 4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57

= + + + và B 7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
= + + +

Tỷ số A

Blà:

A. 7

4 B.
7

2 C.
5

2 D.

Câu 7. Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số

của phân số đó 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số 3.

2 Phân số lúc đầu là:

A. 84

52 B.
76

60 C.
75

61 D.
80
56

Câu 8. Trên đường thẳng a lấy ba điểm M, N, Psao cho MN=2cm, NP=5cm.Khi đó độ dài

đoạn thẳng MPbằng:

A. 3cm B. 7cm C. 3cm hoặc 7cm D. 3, 5cm

Câu 9. Cho 100 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm vẽ một

đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là:

A. 200 B. 4950 C. 5680 D. 9900

Câu 10. Cho  0

xOy=80 ,tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy sao cho xOz=300. Số đo yOzlà

A. 0

50 B. 1100 C. 500hoặc 1100 D. 80 .0

Câu 11. Cho  0

xOy=80 ,Oz là tia phân giác của góc xOy, Ot là tia phân giác của xOz. Số đo
của yOtlà:

A. 0

20 B. 400 C. 500 D. 600

Câu 12. Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3

phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian
ít nhất là bao lâu để ráng xong 9 miếng bánh chưng đó

A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút

II. PHẦN TỰ LUẬN 
Câu 1. (4 điểm)

a)Cho biết a 4b+ chia hết cho 13

(

a, b∈  Chứng minh rằng 10 b 13

)

. + 
b)Tìm số nguyên tố ab a

(

> >b 0

)

sao cho ab ba− là số chính phương

Câu 2. (4 điểm)

a)Cho M= − + − + − + −

(

a b

) (

b c a

) (

c a .

)

Trong đó b, c∈cịn a là một số nguyên âm. Chứng

minh rằng biểu thức M ln dương

b)Tìm tất cả các cặp số ngun sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Câu 3. (4 điểm) Cho đoạn thẳngAB ; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M N, thứ tự

là trung điểm của OA, OB.

a)Chứng tỏ rằng OA OB<

b)Trong ba điểm O, M, Nđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

c)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc 
tia đối của tia AB)

Câu 4. (2 điểm)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 2 3 4 2017 1 1 1 1 1
B 2017 ... : ...

4 5 6 7 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

ĐÁP ÁN 
I.trắc nghiệm

1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A

II. tự luận 
Câu 1.

a)4b 13 ⇒10a+40b 13 ⇔10a+ +b 39b 13 
Do 39b 13 ⇒10a+b 13

{

}

b)ab∈ 43; 73

Câu 2.

a) M= −amà a là số nguyên âm nên M luôn dương 
b)x=0, y=0hoặc x=2, y=2

Câu 3.

a)Lập luận chứng tỏ được OA OB<

b)Lập luận chứng tỏ OM ON< nên M nằm giữa hai điểm O và N

c)MN AB.

= Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi.

Câu 4. B 15=

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 6 NĂM HỌC 2017-2018

Câu 1. (6,0 điểm)

a) Tính tổng : S 27.4500 135.550.2
2 4 6 ... 18

+
=

+ + + +

b) Chứng minh rằng: 28

10 +8chia hết cho 72

c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3. Còn khi chia a cho 9 ta được số dư
là 5. Hãy tìm số dư trong phép chia a cho 36

Câu 2. (4,0 điểm)

1) Tìm các số tự nhiên x, ysao cho : 7x+12y =50

2) Tìm tất cả các số tự nhiên nđể phân số 18n 3
21n 7
+

+ có thể rút gọn được

Câu 3. (2,0 điểm)

Tìm các số nguyên tố x, ysao cho: x2+45=y2

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho xOyvà yOzlà hai góc kề bù. Om là tia phân giác của xOy; On là tia phân giác của


yOz

a) Tính mOn

b) Kẻ tia Om' là tia đối của tia Om. Nếu  0

zOm '=30 thì m 'Oycó số đo bằng bao nhiêu độ

c) Vẽ đường thẳng d không đi qua O. Trên đường thẳng d lấy 2015 điểm phân biệt. Tính
số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d.

Câu 5. (2,0 điểm)

Tìm các số tự nhiên a, bthỏa mãn điều kiện:
11 a 23

17 < <b 29và 8b 9a 31− =

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a)Xét tử : 27.4500 135.550.2 270.450 270.550 27000+ = + =

Xét mẫu:

(

)

co9sohang

2 18 .9

2 4 6 8 ... 18 90

2
+

+ + + + + = =



Suy ra S 270000 :90 3000= =
b)Vì 28

10 +8có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 9 nên (1028+  8) 9
Lại có 28

10 +8có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên (1028+  8) 8
mà

( )

8, 9 =1nên 28

10 +8chia hết cho 72.

c)Đặt a=4q+ =3 9p 5+ (p, q là thương trong hai phép chia)

(

) (

)

a 13 4 q 4 9 p 2

⇒ + = + = +

a 13

⇒ + là bội của 4 và 9 , mà

( )

4, 9 = ⇒ + ∈1 a 13 BC 36

( )

⇒ +a 13=36k k

(

∈  *

)

(

)

a 36k 13 36 k 1 23

⇒ = − = − +

Vậy a chia 36dư 23.

Câu 2.

1.Ta có: 2

12 =144>50và y∈ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ∈ 0 y 1 y

{ }

0;1

7 >50và x∈ ⇒ ≤ ≤ 0 x 2

Với x 1 x

y= ⇒1 7 +12 =50⇒7 =38(ktm)

Với x 0 x

y= ⇒0 7 +12 =50⇒7 =49⇒ =x 2

Vậy x=2, y=0

2.Giả sử 18n 3+ và 21n 7+ cùng chia hết cho số nguyên tố d

(

) (

)

{ }

18n 3 d, 21n 7 d 6 21n 7 7 18n 3 d
21 d d U(21) 3; 7

⇒ + + ⇒ + − +
⇒ ⇒ ∈ =

  



Mà 21n 7+ không chia hết cho 3 nên d 3≠
Ta lại có 21n 7 7 18n 3 7 18n 3 21 7+  ⇒ +  ⇒ + − 

(

)

18 n 1 7

⇒ −  mà

(

18, 7

)

= ⇒ −1 n 1 7 ⇒ =n 7k 1 k+

(

∈

)

Vậy để phân số 18n 3

21n 7
+

+ có thể rút gọn được thì n=7k 1 k+

(

∈ 

)

Câu 3.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2 2 2

x +45=y ⇒y >45,do đó ylà số nguyên tố lẻ

Suy ra xlà số nguyên tố chẵn nên x 2.= từ đó ta có:

y = +4 45=49⇒ =y 7

Câu 4.

a) Om là tia phân giác  2 

1
xOy O xOy

⇒ = ; On là tia phân giác  3 

1
yOz O yOz

2
⇒ =

  

(

 

)

0 0

2 3

1 180

mOn O O xOy yOz 90

2 2

⇒ = + = + = =

b)Om và Om’ là hai tia đối nhau  0

mOm ' 180

⇒ =

+)  m 'Oz<mOm '⇒Oznằm giữa Om và Om '⇒m 'Oz +zOm 180= 0 (1)

Mặt khác   0

xOm mOz+ =180 (2)

Từ (1) và (2) ⇒m 'Oz =xOm

+)   0

m 'Oy+yOm 180=

Mà   0

yOm=xOm=30 (vì Om là tia phân giác của xOy)

4

3

2

1 z

x

y

O

m'

m

n

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

 0  0 0 0

m 'Oy 180 yOm 180 30 150

⇒ = − = − =

c)Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được 1 góc đỉnh O

⇒có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O

⇒Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kỳ trên đường thẳng d là:

2015.2014

4058210

2 = (góc). Vậy có 4058210 góc.

Câu 5.

(

)

31 9a 32 1 8a a

8b 9a 31 b a 1 8
8 8

+ − + +

− = ⇒ = = ∈ ⇒ − 

(

)

a 8q 1 q

⇒ = + ∈ 

(

)

31 9 8q 1 11 8q 1 23

b 9q 5

8 17 9q 5 29

+ + +

= = + ⇒ < <

(

)

(

)

11 9q 5+ <17 8q 1+ ⇒37q>38⇒ >q 1

(

)

(

)

{ }

29 8q 1+ <23 9q 5+ ⇒25q<86⇒ < ⇒ ∈q 4 q 2;3

a 17 a 25
q 2 q 3

b 23 b 32
= ⇒ = = ⇒ =

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
Năm học 2019-2020

Mơn: TỐN 6

Câu 1. (2 điểm) Tính:

101 100 99 98 .... 3 2 1
a)A

101 100 99 98 .... 3 2 1
423134.846267 423133

b)B

423133.846267 423134
+ + + + + + +
=

− + − + + − +
−

Câu 2. (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: 28

10 +8chia hết cho 72

b) Cho 2 3 2001 2002 2003

A= + +1 2 2 +2 +... 2+ +2 ; B=2

So sánh A và B

c) Tìm số nguyên tố p để p+6; p 8; p 12; p 14+ + + đều là các số nguyên tố.

Câu 3. (2 điểm)

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa một em, cịn nếu

mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em.

Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh.

Câu 4. (3 điểm)

Cho ABC∆ có BC=5, 5cm.Điểm M thuộc tia đối của tia CBsao cho CM 3cm=

a) Tính độ dài đoạn thẳng BM

b) Biết  0  0

BAM=80 , BAC=60 .Tính CAM

c) Tính độ dài đoạn thẳng BKthuộc đoạn BM biết CK 1cm=

Câu 5. (1 điểm)

Chứng minh rằng: 12 12 12 .... 12 1
2 +3 +4 + +100 <

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

101.51
a)A 101

51
= =

423133.846267 846267 423133

b) 1

423133.846267 423134
+ − =

Câu 2.

a) Vì 28

10 +8có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9

Lại có 28

10 +8có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8

Vậy 28

10 +8chia hết cho 72

b) Có 2 3 2002 2003 2003

2A= +2 2 +2 +... 2+ +2 ⇒2A− =A 2 −1

A B 1 A B

⇒ = − ⇒ <

c) Xét phép chia của p cho 5 ta thấy p có 1 trong 5 dạng sau

p=5k, p=5k 1, p+ =5k+2, p=5k+3, p=5k+4

+Nếu p=5kthì p nguyên tố nên k= ⇒ =1 p 5

+Nếu p=5k 1+ ⇒ +p 14=5 k 3 5

(

+  và

)

p>5nên là hợp số (loại)

+Nếu p=5k+ ⇒ + =2 p 8 5 k

(

+2 5, p

)

 >5 nên là hợp số (loại)

+Nếu p=5k 3+ ⇒ +p 12=5 k 3 5, p

(

)

 >5 nên là hợp số (loại)

+nếu p=5k+ ⇒ + =4 p 6 5 k

(

+2 5, p

)

 >5 nên là hợp số (loại)

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Thử lại với p=5thỏa mãn.

Câu 3. Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng cịn thừa 1 em như

khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh
hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 9 1− = (học sinh)

Do đó số tổ là: 4 :1 4= (tổ)

Số học sinh là: 4.10 3 37− = (học sinh)

Câu 4.

a) C nằm giữa B và M

BC CM BM

⇒ + =

( )

BM 3 5, 5 8, 5 cm

⇒ = + =

b) C nằm giữa B và M AC⇒ là tia nằm giữa hai tia AB, AM

  

BAC CAM BAM

⇒ + =

  

CAM BAM BAC

⇒ = −

 0 0 0

CAM 80 60 20

⇒ = − =

c) Xét 2 trường hợp:

+nếu K nằm giữa C và M tính được: BK=BC CM+ =5, 5 1+ =6, 5cm

+nếu K nằm giữa C và B tính được: BK=4, 5cm

Câu 5.

Ta có:

K

A

B

K'

C

M

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

2 2 2 2 2

1 1 1

2 1 2

1 1 1

3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 99

.... 1 1

4 3 4 2 3 4 100 100 100

...

1 1 1

100 99 100

 < −




 < −


 < − ⇒ + + + + < − = <






 < −




TRƯỜNG THCS

QUẢNG TIẾN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN – LỚP 6 
NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1.

a) Cho a b P+ = (p nguyên tố). Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau 
b) Tìm số nguyên tố Psao cho: P 10+ và P 14+ đều là những số nguyên tố

Câu 2.

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4 và chia
cho 6 dư 5

b) Một số chia cho 3 dư 2, chia cho 4 dư 3, chia cho 167 dư 130. Hỏi số đó khi chia cho 2004
thì số dư là bao nhiêu ?

Câu 3.

a) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết a>b; a+ =b 16và ƯCLN

( )

a, b =4

b) Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng
thêm 1112đơn vị

Câu 4. Tìm xbiết:

a)x+ − =3 0

x x 1 x 2 x 3

b)2 +2 + +2 + +2 + =480

Câu 5.

a) Cho đoạn thẳng AB 8cm= và C là trung điểm của nó, lấy điểm D là trung điểm của CB,
E là trung điểm của CD. Tính độ dài đoạn thẳng EB

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

b) Cho 6 đường thẳng đôi một cắt nhau. Hỏi 6 đường thẳng đó có thể cắt nhau ít nhất tại
bao nhiêu điểm, nhiều nhất tại bao nhiêu điểm.

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a) Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau. Suy ra a và b có ít nhất một ước chung d 1>

(

)

a d, b d a b d P d, d 1

⇒   ⇒ +  ⇒  > điều này vơ lý vì P ngun tố⇒

( )

a, b =1

b) P= ⇒ +2 P 10; P 14+ không là nguyên tố

P= ⇒ +3 P 10=13; P 14+ =17nguyên tố (thỏa mãn)

P> ⇒ =3 P 3k 1+ hoặc P 3k 2= + (do P nguyên tố)

Khi đó ta thấy P 10,+ hoặc P 14+ khơng ngun tố

Vậy chỉ có P 3= thỏa mãn

Bài 2.

a) Gọi số tự nhiên đó là a ta có:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

a 1 3
a 1 4

a 1
a 1 5

a 1 6
+ 



+  ⇒ +


+ 

+ 






chia hết cho 3,4,5,6

Mà a nhỏ nhất ⇒ + =a 1 BCNN 3, 4, 5, 6

(

)

=60⇒ =a 59

b) Gọi số đó là A ta có:

(

)

A=3k+ ⇒ +2 A 37=3k+ +2 37=3 k 13 3+ 

(

)

A=4q 3+ ⇒ +A 37=4q+ =4 4 q 10 4+ 

(

)

A=167r 130+ ⇒ +A 37 167r 167 167 r 1 167= + = + 

A 37 3.4.167 2004 A 37 2004n

⇒ +  = ⇒ + =

(

)

(

)

A 2004n 37 2004 n 1 2004 37 2004 n 1 1967

⇒ = − = − + − = − +

Vậy Achia cho 2004 có số dư là 1967

Bài 3.

a) UCLN a, b

( )

= ⇒ =4 a 4k, b=4m, k, m∈  *

(

)

a b 4 k m 16 k m 4

⇒ + = + = ⇒ + =

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Và a b> nên k>mvà k; m∉ *,do đó k=3, m=1.

Vậy a=12, b=4

b) Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta được số abc5 , theo bài ta
có:

abc5=abc 1112+ ⇒10abc 5+ =abc 1112+

10abc abc 1112 5

⇔ − = −

9abc 1107 abc 123

⇒ = ⇒ =

Vậy số phải tìm là 123

Bài 4.

a) Ta có: 3 3− = nên x+ − = ⇒ = −3 0 x 3

x x 1 x 2 x 3

b)2 +2 + +2 + +2 + =480

(

)

x 2 3

2 . 1 2 2 2 480
⇔ + + + =

x x 5

2 .15 480 2 32 2
⇔ = ⇒ = =

x 5

⇒ =

Bài 5.

a) Hình vẽ:

C là trung điểm của AB nên : CB 1AB 1.8 4(cm)
2 2

= = =

D là trung điểm của CB nên: DB 1CB 1.4 2(cm)
2 2

= = =

E là trung điểm của CDnên: ED 1CD 1.2 1(cm)
2 2

= = =
EB=ED+DB 1 2= + =3(cm)

b) 6 đường thẳng đề cho có thể cắt nhau ít nhất tại 1 điểm (nếu 6 đường thẳng đó đồng
quy)

Nếu khơng có 3 đường thẳng nào đồng quy thì mỗi đường thẳng sẽ cắt 5 đường thẳng còn
lại tại thành 5 giao điểm.

E D

C

A

B

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Có 6 đường thẳng nên có 6.5 30= giao điểm

Nhưng mỗi giao điểm lại được tính 2 lần, nên chỉ có 6.5 15

2 = giao điểm.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KHOÁI CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 
MƠN TỐN 6

I.TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tập hợp A=

{

1;5;9;13;...; 2017

}

có bao nhiêu phần tử

A. 504 B. 505 C. 2016 D. 2017

Câu 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng

đơn vị

A. 90 B.110 C. 45 D. 55

Câu 3. Tổng của hai số tự nhiên là 109. Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải số bé rồi cộng với

số lớn ta được tổng mới là 335. Số lớn là:

A. 43 B. 54 C. 60 D. 84

Câu 4. Cho 300 200

a=2 , b=3 .Kết luận nào sau đây đúng ?

A. a D. a b≥

Câu 5. Tìm x,biết: 2x −15 17=

A. x=1 B. x 5= C. x 16= D. x 30=

Câu 6. Chữ số tận cùng của lũy thừa 2018

2017 là:

A. 1 B. 7 C. 9 D. 4

Câu 7. Tập hợp A=

{

x∈ / x 12; x 21; x 28,167  < <x 300

}

có bao nhiêu phần tử

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 8. Số 2016 có bao nhiêu ước ?

A. 8 B. 10 C. 18 D. 36

Câu 9. Tìm tất cả các số nguyên n để

(

n+4

) (

 n 1+

)

A. n∈ − −

{

3; 1;1;3

}

B. n∈ − −

{

4; 2; 0; 2

}

C.n∈

{ }

1;3 D. n∈

{ }

0; 2

Câu 10. Cho lần lượt vào hộp bắt đầu các viên bi xanh, đỏ, tím vàng rồi lại xanh, đỏ, tím

vàng. Cứ như thế cho đến hết 2020 viên bi. Hỏi viên bi thứ 2017 màu gì ?

A. Xanh B. đỏ C. tím D. vàng

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Câu 11. Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 ... 99 100− + − + − + + − bằng:

A. 50 B. 50− C. 100− D. 0

Câu 12. Tìm y,biết: x− = −y 2015; y− = −z 2016; z+ =x 2017

A. y= −1007 B. y=1007 C. y= −1008 D. y=1008

Câu 13.Cho x, y∈.Tìm y, biết: xy 5x+ −3y=15

A. y= −3 B. y=3 C. y= −5 D. y=5

Câu 14. Tìm x,biết: x 1 5− − = −2

A. x∈

{ }

2 B. x∈

{ }

4 C. x∈ −

{

2; 4

}

D. x ∈∅

Câu 15. Cho x, ylà hai số thỏa mãn :

(

x+2

)

2+ − =y 3 0.Tổng hai số x y+ bằng:

A. −5 B. 5 C. 1 D. −1

Câu 16. Tìm x,biết:

(

x 1

)

4 x 1

− + −

=
+

A. x∈

{ }

5 B. x∈ −

{ }

7 C. x∈

{

5; 7−

}

D. x ∈∅

Câu 17. Tính tỉ số A,
B biết:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

A ; B

3.8 8.13 13.18 18.21 3.7 7.11 11.15 15.19 19.23
= + + + = + + + +

A. A 5

B =4 B.
A

B = C.
A 4

B =5 D.
A

20.
B =

Câu 18.Tìm x,biết: 5 3 3 9 2x
4.3+4.11+7.11+7.23 = 69

A. x=5 B. x 10= C. x 20= D. x 40=

Câu 19. Cho 200 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm vẽ

một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là bao nhiêu ?

A. 1990 B. 19900 C. 39800 D. 40000

Câu 20. Trên đường thẳng a lấy 3 điểm M, N, P sao cho MN=2cm, NP=5cm. Khi đó độ

dài đoạn thẳng MP bằng

A. 3cm B. 3cm hoặc 7cm C. 7cm D. 3,5cm

II. Phần tự luận 
Bài 1. Tính hợp lý

100 50 100 50

a)53.81 47.14 81.47 14.53− + − b) 1 2− +5 −2 −11 5−

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

(

)

(

)

36 40 34

2016 2017 2016

2017 2017 2016 30 4 5 5

6 . 50.5 10.5

20162016 2017 2016 2016 .2017

c) d)

20172017 2017 2017 2017 .2016 30 .10 . 100.15 4.3

−

   

+ − −

    −

   

Bài 2.

Cho biểu thức A 5.420172 42018 12016

1 4 4 ... 4

− −

+ + + + . Chứng tỏ rằng biểu thức A có giá trị là một số
nguyên.

Bài 3.

a) Tìm x,biết: x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 20

10 15 21 28 36
− − − − −

+ + + + =

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên

( )

x, y sao cho : xy+7x−3y−27=0

Bài 4.

Vẽ hai góc kề bù  xOy, zOy.Vẽ tia Om và On theo thứ tự là tia phân giác của các góc
 

xOy, zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om

a) Tính số đo mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với yOn, biết zOm '=250

c) Trên cùng một nửa mặt chứa tia Oy, có bờ chứa tia Ox. Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân
biệt gốc O và khơng trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành 630 góc đỉnh O (chỉ
tính các góc thuộc nửa mặt phẳng nói trên).

ĐÁP ÁN 
I.TRẮC NGHIỆM

1B 2C 3D 4A 5B 6C 7B 8D 9B 10A 11B 12D

13C 14C 15C 16C 17C 18C 19B 20B

II. TỰ LUẬN 
Bài 1.

(

)

(

)

a)=81. 53 47+ −14. 47 53+

81.100 14.100

= −

(

)

100. 81 14

= −

100.67 6700

= =

100 50 100 50

b)=2 − +1 5 −2 −5 + =11 10

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

2016 1 2016 2016

c) 1

2017 2017 2017 2017
= + − + =

(

)

(

)

(

)

(

)

36 36 35 2 40 34 36 36 35 7

30 4 4 2 2 5 5 2 5 34 30 34 2 5 7

2 .3 .5 . 2.5 .5 2.5.5 2 .3 .2.5 . 5 1
d)

2 .3 .5 .2 .3 . 5 1
2.3.5 .2 .5 . 2 .5 .3 .5 2 .3

− −

= =

−
−

(

)

(

)

37 36 35 7

36 35 34 7

2 .3 .5 . 5 1

2.3.5 30
2 .3 .5 . 5 1

−

= = =

−

Bài 2.

Trước hết tính 2 2016

M= + +1 4 4 +... 4+

2 3 2016 2017 2017

4M= +4 4 +4 +... 4+ +4 =M 1 4− +

2017

3M 4 1
⇒ = −

(

)

2017 2018 2018 2017 2018 2017

2 2016

4 1 .4 4 1 4 4 4 1 4 1

A 3

1 4 4 ... 4 M M
+ − − + − − −

= = = =

+ + + +

Bài 3.

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

a) 20

10 15 21 28 36
− + − + − + − + − =
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

10
20 30 42 56 72

− − − − −
⇔ + + + + =

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
20
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9

− − − − −
⇔ + + + + =

(

)

1 1 1 1

x 2 ... 20
4 5 8 9

 

⇔ −  − + + − =

 

(

)

1 1

x 2 . 20
4 9
 
⇔ −  − =

 

(

)

. x 2 20
36

⇔ − =

x 2 72 x 74

⇔ − = ⇒ =

(

) (

)

(

)(

)

b)xy 7x 3y 27+ − − = ⇔0 x y 7+ −3 y 7+ = ⇔6 x 3 y 7− + =6
Ta có bảng sau:

x - 3 -6 -3 -2 -1 1 2 3 6

y + 7 -1 -2 -3 -6 6 3 2 1

x -3 0 1 2 4 5 6 9

y -8 -9 -10 -13 -1 -4 --5 -6

Bài 4.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>



   

0 0 0 0

a)mOn 90

b)xOy 2.25 50 yOz 130 yOn yOz 65
2

= = ⇒ = ⇒ = =

Vậy góc kề bù với yOncó số đo bằng: 1800−650 =1150

c) Với ntia chung gốc O vẽ được: n n 1

(

)

−

góc đỉnh O
ta phải có: n n 1

(

− =

)

1260=36.35⇒ =n 36

Vậy phải vẽ thêm : 36 5 31− = tia gốc O như yêu cầu đề bài.

Câu 1. (3 điểm)

Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2011

a)57 b)931999

Câu 2. (4 điểm)

a) Khơng quy đồng hãy tính tổng sau:

1 1 1 1 1 1
A

20 30 42 56 72 90
− − − − − −
= + + + + +

b) So sánh N 20057 200615
10 10

− −

= + và M 200515 20067

10 10

− −
= +

Câu 3. (4,5 điểm)

a) Cho ababablà số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababablà bội của 3

b) Chứng tỏ rằng 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản.

O

x

z

m

m'

y

n

UBND HUYỆN TÂN UYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC : 2018-2019

Mơn: Tốn 6

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

c) Chứng tỏ : 5 15

S 16= +2 chia hết cho 33

Câu 4. (3,5 điểm)

Số học sinh khối 6 của một trường chưa đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10; hàng 12; 15 đều
dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì khơng dư. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

Câu 5. (2 điểm)

Cho 2010 đường thẳng trong đó bất kỳ 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Khơng có 3
đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Câu 6. (3 điểm)

Cho góc xOyvà góc yOzlà hai góc kề bù. Góc yOzbằng 300

a) Vẽ tia Om nằm trong góc xOysao cho xOm=75 ;0 tia On nằm trong góc yOzsao cho

 0

yOn =15

b) Hình vẽ trên có mấy góc?

c) Nếu có ntia chung gốc thì sẽ tạo nên bao nhiêu góc ?

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Tìm chữ số tận cùng của số 2011

Xét 2011

7 , ta có: 72011=

( )

74 502.73 =2401 .343502 ,
suy ra chữ số tận cùng bằng 3

Vậy số 2011

57 có chữ số tận cùng là 3

b) Tìm chữ số tận cùng của số 1999

Xét 1999

3 ,ta có: 31999=

( )

34 499.33 =81 .27499

Suy ra chữ số tận cùng bằng 7
Vậy số 1999

93 có chữ số tận cùng là 7.

Câu 2.

1 1 1 1 1 1
a)A

20 30 42 56 72 90
− − − − − −
= + + + + +

1 1 1 1 1 1
4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10

 

= − + + + + + 

 

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

 

= − − + − + − + − + − + − 

 

1 1 3
4 10 20
−

 
= − − =

 

b) So sánh:

Xét: N 20057 152006 20057 20068 20067
10 10 10 10 10

− − − − −
= + = + +

Và M 152005 20067 20057 20058 20067
10 10 10 10 10

− − − − −
= + = + +

Ta có: 20068 20058

10 10
− > −

Vậy N M>

Câu 3.

a) ababab ab.10000 ab.100 ab 10101.ab= + + =

Do 10101chia hết cho 3nên abababchia hết cho 3 hay ababablà bội của 3

b) Chứng tỏ rằng 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản

Gọi d là ước chung của 12n 1+ và 30n 2+ ta có:

(

) (

)

5 12n 1+ −2 30n+2 =1chia hết cho d

Vậy d 1= nên 12n 1+ và 30n 2+ nguyên tố cùng nhau

Do đó: 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản

c) Chứng minh 5 15

S 16= +2 chia hết cho 33

Có 5 15

( )

4 5 15 20 15 15

(

5

)

15

S 16= +2 = 2 +2 =2 +2 =2 . 2 + =1 2 .33

Nên S chia hết cho 33

Câu 4.

Gọi số học sinh là a

(

a∈+

)

Ta có: a 3− ∈BC 10;12;15

(

)

⇒ − =a 3 60k k

(

∈*

)

⇒ =a 60k 3+

k 1 2 3 4 5 6 7

a 63 123 183 243 303 363 423

Ta xem với giá trị nào của kthì a 400< và a 11

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

Trong các giá trị trên, chỉ có a 363 400= < và a 11
Vậy số học sinh cần tìm là 363học sinh.

Câu 5.

Mỗi đường thẳng cắt 2009 đường thẳng còn lại tạo nên 2009 giao điểm
Mà có 2010 đường thẳng ⇒ có: 2009.2010 giao điểm

Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần⇒ Số giao điểm thực tế là:

(

2009.2010 : 2

)

=2019045(giao điểm)

Câu 6.

a) Vẽ được góc xOyvà góc yOzkề bù và yOz=300

Vẽ được tia Om thỏa mãn điều kiện

Vẽ được tia On thỏa mãn điều kiện

b) Hình vẽ trên có 10 góc

c) Lập luận : từ hình vẽ trên ta có mỗi tia với 1 tia cịn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng

với 4 tia cịn lại tạo thành 4 góc. Làm như vậy với 5 tia ta được 5.4góc. Nhưng mỗi góc đã được 
tính 2 lần, do đó có tất cả là

5.4
10
2 = góc

Từ đó suy ra tổng quát: với ntia chung gốc có n. n 1
2

−
 
 

 (góc)

z

y

n

m

x

O

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN THẠCH THÀNH ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a)A=68.74+27.68 68−

(

)

{

}

3 3 8 6 0

b)B=2 .5 −3 539−639 8. 7 : 7− +2017 

151515 17 1500 1616

c)C

161616 17 1600 1717

   

= +  − − 

 

2 2 2 2

1 1 1 1
d)D 1 1 1 ... 1

2 3 4 100
     
= −  −  −   − 
     

Câu 2. Tìm số nguyên x,biết:

(

)

a)2016 : 25 − 3x+2 =3 .7

x x x x x x x x x x 220
b)

6+10+15+21+28+36+45+55+66+78= 39

Câu 3.

a) Cho 2 3 4 90

A= +3 3 + +3 3 +... 3+ Chứng minh A chia hết cho 11 và 13.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, ysao cho xy−2x+ + =y 1 0

Câu 4.

a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì
dư 28

b) Tìm số ngun nđể phân số 4n 5
2n 1
+

− có giá trị là một số nguyên

Câu 5.

Vẽ hai góc kề bù  xOy, zOy.Vẽ tia Om, Ontheo thứ tự là tia phân giác của xOy, zOy. Vẽ tia
Om 'là tia đối của tia Om

a) Tính số đo mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với yOm, biết: m 'Oz=300

c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong
hình để tạo thành tất cả 300góc.

Câu 6.

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

a) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn:

(

100a+3b 1 2+

)

(

a+10a+b

)

=225

b) Cho A 1 1 1 .... 1

1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
= + + + +

+ + + + + + + + + + + .

Chứng minh A 3

4
<

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

)

a)A=68.74 27.68 68+ − =68. 74 27 1+ − =68.100=6800

(

)

{

}

3 3 8 6 0

b)B=2 .5 −3 539−639 8. 7 : 7− +2017 

(

)

{

}

8.125 3. 539 639 8. 7 1 

= − − − + 

[

]

{

}

1000 3. 539 639 8.50
= − − +

1000 3.300 1000 900 100

= − = − =

151515 17 1500 1616 15 1 15 16

c)C

161616 17 1600 1717 16 17 16 17

       

= +  − −  = +  − − 

     

 

15 15 1 16

0 1 1
16 16 17 17

   

= −  + + = + =
   

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 4 1 9 1 1000
d)D 1 1 1 ... 1 ...

2 3 4 100 2 3 100
− − −
          
= −  −  −   − =     
          

2 2 2 2

3 8 15 9999 1.3 2.4 3.5 99.1010

. . ... . . ...

2 3 4 100 2.3 3.3. 4.4 100.100
− − − −

= = −

(

) (

)

(

2.3.4...100 . 2.3.4...1001.2.3...99 . 3.4.5...101

) (

)

101200
= − = −

Câu 2.

(

)

(

)

a)2016 : 25 − 3x+2 =3 .7⇔2016 : 25 − 3x+2 =63

(

)

(

)

25 3x 2 2016 : 63 25 3x 2 32

⇔ − + = ⇒ − + =

3x 2 7 3x 9 x 3

⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = −

x x x x x x x x x x 220
b)

6+10+15+21+28+36+45+55+66+78= 39
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220
x.

6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220
2x.

12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 220
2x.

3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13 39

 

⇔  + + + + + + + + + =

 

1 1 1 1 1 1 220
2x ...

3 4 4 5 12 13 39

 

⇔  − + − + + − =

 

1 1 220

2x. x 11
3 13 39

 

⇔  − = ⇒ =
 

Câu 3.

a) A có 90 số hạng mà 90 5 nên 2 3 4 90

A= +3 3 + +3 3 +... 3+

(

2 3 4 5

) (

6 7 8 9 10

)

(

86 87 88 89 90

)

A= + + + +3 3 3 3 3 + 3 + + + +3 3 3 3 +...+ 3 +3 +3 +3 +3

(

2 3 4

)

(

2 3 4

)

(

2 3 4

)

3. 1 3 3 3 3 3 . 1 3 3 3 3 ... 3 . 1 3 3 3 3
= + + + + + + + + + + + + + + +

6 86

121.(3 3 .... 3 ) 11 A 11

= + + +  ⇒ 

A có 90 số hạng mà 90 3 nên:

(

2 3

) (

4 5 6

)

(

88 89 90

)

A= + +3 3 3 + 3 + +3 3 +...+ 3 +3 +3

(

)

(

)

(

)

3. 1 3 3 3 . 1 3 3 ... 3 . 1 3 3
= + + + + + + + + +

(

4 88

)

13. 3 3 ... 3 13 A 13
= + + +  ⇒ 

(

) (

)

b)xy 2x− + + = ⇔y 1 0 x y 2− + y 2−

(

)(

)

( ) ( )

3 x 1 y 2 3 1. 3 3 .1

= − ⇔ + − = − = − = −

Từ đó suy ra

( ) (

x; y ∈

{

0; 1 ;−

) (

−4;3

)

}

Câu 4.

a) Gọi số cần tìm là a

(

a∈,100≤ ≤a 999

)

Vì a chia cho 8 dư 7 và chia cho 31 dư 28 nên ta có:

a 7 8 a 7 8 8 a 1 8 a 1 64 8 a 65 8

a 28 31 a 28 31 8 a 3 8 a 3 62 31 a 65 31

− − + + + + +

    

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

 −  − +  +  + +  +

    

    

Vì

(

8, 31

)

=1nên a+ 65 8.31

(

)

hay a+65 248 ⇔ =a 248k 65 k−

(

∈ *

)

Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k 4= ⇒ =a 927

b) Ta có: 4n 5 4n 2 7 n 7

2n 1 2n 1 2n 1
+ = − + = +
− − −

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Vì n∈nên để 4n 5
2n 1
+

− nguyên thì

(

2n 1− ∈

)

U(7)= ± ± ⇒ ∈ −

{

1; 7

}

{

3; 0;1; 4

}

Câu 5.

a)Vì xOykề bù với zOynên:  xOy zOy 180+ = 0

Vì tia Om là tia phân giác của xOynên:mOy 1xOy

2
=

Vì tia On là tia phân giác của zOynên: nOy 1zOy
2
=

Vì xOykề bù với zOynên tia Oynằm giữa hai tia Ox, Ozmà tia Om là tia phân giác của



xOyvà tia On là tia phân giác của zOynên tia Oynằm giữa hai tia Om, On, khi đó:
   1 1 

mOy yOn mOn xOy zOy mOn
2 2

+ = ⇔ + =
 

(

)

  0 0

1 1

xOy zOy mOn mOn .180 90

2 2

⇔ + = ⇔ = =

b)Vì hai tia Om, Om 'đối nhau, khi đó m 'Ozkề bù với zOm

  0 0  0  0

m 'Oz zOm 180 30 zOm 180 zOm 150

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì hai tia Ox, Ozđối nhau, khi đó zOmkề bù với mOx

  0 0  0  0

zOm mOx 180 150 mOx 180 mOx 30

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì tia Om là tia phân giác của xOynên:  mOy=mOx=300

Vì hai tia Om, Om 'đối nhau, khi đó yOmkề bù với yOm '

  0 0  0  0

yOm yOm ' 180 30 yOm ' 180 yOm ' 150

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

O

z

x

m'

m

n

y

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

c)Giả sử cần vẽ thêm ntia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong

hình để tạo thành tất cả 300 góc. Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n 6+

Cứ 1 tia gốc O tạo với n 5+ tia gốc O cịn lại thành n 5+ góc, mà có n 6+ tia như vậy nên tạo
thành:

(

n 5 n+

)(

)

góc

Vì tia này tạo với tia kia và ngược lại nên mỗi góc được tính 2 lần, suy ra số góc tạo thành:

(

n 5 n

)(

)

+ +

góc. Vì có 300 góc nên ta có:

(

n 5 n

)(

)

(

)(

)

300 n 5 n 6 600 24.25 n 19

+ +

= ⇒ + + = = ⇒ =

Câu 6.

a)Ta có:

(

)

(

)

100a+3b 1 2+ +10a+b =225 (1)

Vì 225 lẻ nên 100aa 3b 1

2 10a b

+ +




+ +

 cùng lẻ (2)

*) Với a 0 :=

( ) (

)

(

)

(

)(

)

2 2

1 ⇔ 100.0 3b 1 2+ + +10.0 b+ =225⇒ 3b 1 1 b+ + =225=3 .5

Vì 3b 1+ chia cho 3 dư 1 và 3b 1 1 b+ > + nên

(

3b 1 1 b

)(

)

25.9 3b 1 25 b 8

1 b 9

+ =


+ + = ⇒ + = ⇔ =



*)Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ

( )

2 ⇒3b 1+ lẻ⇒bchẵn

2 10a b

⇒ + + chẵn, trái với (2) nên b∈∅ . Vậy a=0; b=8

b)Ta có: A 1 1 1 .... 1

1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 ... 2017
= + + + +

+ + + + + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

(

)

A ...

1 3 .2 1 5 .3 1 7 .4 1 2017 .1009

2 2 2 2

= + + + +

+ + + +

2 2 2 2 1 1 1 1
... ....

2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009
= + + + + = + + + +

1 1 1 1
A ...

2.2 2.3 3.4 1008.1009

 

< + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1
A ...

4 2 3 3 4 1008 1009

 

< + − + − + + − 

 

1 1 1 1 1 3

A A A (dfcm)
4 2 1009 4 2 4

 

< + − ⇒ < + ⇒ <
 

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Mơn Tốn 6

Bài 1. (2 điểm)

a) Tìm xbiết:

1 1
x 0

3 4
 −  − =
 
 

b) Tìm x, y∈ biết: 2x +624=5y

Bài 2. (2 điểm)

a) So sánh : 22

− và 51
103
−

b) Tính: 92 1 2 3 .... 92 : 1 1 1 ... 1

9 10 11 100 45 50 55 500
 − − − − −   + + + + 

   

   

Bài 3. (2 điểm)

Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35thì được các số dư

lần lượt là 5;8;15

Bài 4. (2 điểm)

Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20
phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy
một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một

mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu ?

Bài 5. (2 điểm)

Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy,vẽ tia Om sao cho xOm=900và vẽ tia On sao cho

 0

yOn =90 .

a) Chứng minh  xOn=yOm

b) Gọi Ot là tia phân giác của xOy.Chứng minh rằng Ot là tia phân giác của góc mOn

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a) Từ giả thiết ta có:

2 2

1 1 5

x x

1 1 1 3 2 6

1 1 1

3 4 2

x x

3 2 6

 − =  =

 

 −  = = ±  ⇒ ⇒

   

     − = −  = −

 

 

b) Nếu x 0= thì y 0 4

(

)

5 =2 +624=625=5 ⇒ =y 4 y∈ 

Nếu x 0≠ thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ nên vô lý

Vậy x=0, y=4

Bài 2.

22 22 1 51 51 22 51 22 51
a)

45 44 2 102 101 45 101 45 101
− −
< = = < ⇒ < ⇒ >

1 2 3 92 1 1 1 1
b)B 92 ... : ...

9 10 11 100 45 50 55 500

   

= − − − − −   + + + + 

   

1 2 92 8 8 8

1 1 ... 1 ...

9 10 100 9 10 100

B 8 : 40

1 1 1 ... 1 1 1 1 1 5

. ....

45 50 55 500 5 9 10 100

 −  + − + + − 

+ + +

     

     

= = = =

 

+ + + +  + + + 

 

Bài 3.

Gọi số tự nhiên phải tìm là x

Từ giả thiết suy ra

(

x+20 25, x

)



(

+20 28, x

)



(

+20 35

)

 ⇒ +x 20∈BC 25, 28, 35

(

)

(

)

BCNN(25; 28;35)=700⇒ +x 20=k.700 k∈ 

Vì xlà số tự nhiên có ba chữ số ⇒ ≤x 999⇒ +x 20 1019≤ ⇒ =k 1

x 20 700 x 680

⇒ + = ⇒ =

Bài 4.

Máy 1 và máy 2 bơm 1 giờ 20 phút hay 4

3giờ đầy bể nên 1 giờ máy 1 và 2 bơm được
3
4bể

Máy 2 và máy 3 bơm 1 giờ 30 phút hay 3

2giờ đầy bể nên 1 giờ máy 2 và 3 bơm được
2
3bể

Máy 1 và máy 3 bơm 2 giờ 24 phút hay 12

5 giờ đầy bể nên 1 giờ máy 1 và 3 bơm được
5
12

bể.

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

⇒Một giờ cả ba máy bơm 3 2 5 : 2 11
4 3 12 12
 + +  =
 

  (bể)

Một giờ:

Máy 3 bơm được: 11 3 1

12− =4 6bể nên máy 3 bơm 1 mình 6 giờ đầy bể

Máy 1 bơm được :11 2 1

12− =3 4 bể nên máy 1 bơm 1 mình 4 giờ đầy bể

Máy 2 bơm được 11 5 1

12−12 =2 bể nên máy 2 bơm 1 mình 2 giờ đầy bể

Bài 5.

a)Lập luận được   xOm mOy+ =xOyhay 900+mOy =xOy
  

yOn+nOx=xOyhay 900+nOx =xOy

 

xOn yOm

⇒ =

b)Lập luận được     xOt=tOy; xOt=xOn+nOt⇒  tOy=yOm mOt+
 

nOt mOt Ot

⇒ = ⇒ là tia phân giác của mOn

y

O

x

n

m

t

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 
MƠN THI TỐN 6

Câu 1. (4 điểm) Thực hiện phép tính

(

) ( )

( )

9 6 14

2 2 2 2 4

28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3

5.2 .3 7.2 .3
−
=

−

12 12 12 5 5 5

12 5

158158158

7 289 85 13 169 91

B 81. : .

4 4 4 6 6 6 711711711

4 6

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

Câu 2. (4 điểm)

a) So sánh P và Q

Biết: P 2010 2011 2012

2011 2012 2013

= + + và Q 2010 2011 2012
2011 2012 2013

+ +
=

+ +

b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết: BCNN(a, b)=420; UCLN(a, b)=21 và a 21 b+ =

Câu 3. (4 điểm)

a) Chứng minh rằng: Nếu 7x 4y 37+  thì 13x 18y 37+ 

b) Cho

2 3 4 2012

1 3 3 3 3 3
A ...

2 2 2 2 2 2
       
= + +  +  +  + + 

        và

2013

B : 2
2

 

=    
Tính B – A.

Câu 4. (6 điểm)

Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB 6cm.= Trên tia đối của tia Ax lấy

điểm D sao cho AD 4cm.=

a) Tính BD

b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD=80 , BCA0 =450 . Tính góc ACD
c) Biết AK 2cm= (K thuộc BD). Tính BK.

Câu 5. (2 điểm)

Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2−2x 1+ =6y2−2x+2

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có:

(

2 2

) ( )

9 2 6

( )

2 14 4

28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3

5.2 .3 7.2 .3
−
=

−

(

)

18 18 12 28 14 4 30 18 29 18

28 18 29 18 28 18

5.2 .3 .2 2.2 .3 .3 5.2 .3 2 .3
5.2 .3 7.2 .3 2 .3 . 5 7.2

− −

= =

− −

(

)

(

)

29 18

28 18

2 .3 . 5.2 1 2.9
2

2 .3 . 5 14 9

−

= = = −

− −

b) Ta có:

12 12 12 5 5 5

12 5

158158158

7 289 85 13 169 91

B 81. : .

4 4 4 6 6 6 711711711

4 6

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

1 1 1 1 1 1

12. 1 5. 1

158.1001001

7 289 85 13 169 91

81. : .

1 1 1 1 1 1 711.1001001

4. 1 6. 1

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + + 

   

    

 

   

 − − − + + + 

   

    

 

12 5 158 18 2 324

81. : . 81. . 64,8
4 6 711 5 9 5

 

=   = = =
 

Câu 2.

a) Ta có:

2010 2011 2012 2010 2011 2012
Q

2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013
+ +

= = + +

+ + + + + + + + Lần

lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là:2010; 2011; 2012 thấy được các phân

thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q.
Vậy P>Q

b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:

Vì UCLN(a, b)=21 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a=21m; b=21n (1) và UCLN(m, n)=1 (2)

Vì BCNN(a, b)=420 nên theo trên ta suy ra:

BCNN(21m; 21n) 420 21.20 BCNN(m, n) 20 (3)
⇒ = = ⇒ =

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Vì a 21 b+ = nên theo trên ta suy ra:21m 21+ =21n⇒21 m 1

(

+ = ⇒ + =

)

n m 1 n (4)

Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp: m=4, n=5

hoặc m=2, n=3 là thỏa mãn điều kiện (4).

Vậy với m=4, n=5 hoặc m=2, n=3 ta được các số phải tìm là:
a=21.4=84; b=21.5 105=

Câu 3.

a) Ta có: 5 13x 18y

(

) (

−4 7x+4y

)

=65x 90y 28x 16y+ − − =37x+74=37 x

(

+2y 37

)



Hay 5 13x 18y

(

) (

−4 7x+4y 37 *

) ( )



Vì 7x 4y 37+  mà

(

4;37

)

=1 nên 4 7x

(

+4y 37

)



Do đó, từ (*) suy ra : 5 13x 18y 37,

(

)

 mà

(

5, 37

)

=1 nên 13x 18y 37.+ 

b) Ta có:

2 3 4 2012

1 3 3 3 3 3

A .... (1)
2 2 2 2 2 2

       
= + +  +  +  + + 

       

2 3 4 2013

3 3 3 3 3 3

A .... (2)
2 4 2 2 2 2

       
⇒ = +  +  +  + + 
       

Lấy (2) trừ (1) ta được:

2013

3 3 3 1 3
A A

2 2 4 2 2
 

− =  + − −
 

2013 2013

2012

1 3 5 3 1

A A

2 2 4 2 2
 

=  − ⇒ = +
 

Vậy 20132014 20132012

3 3 5

B A

2 2 2

− = − +

Câu 4.

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax⇒A nằm giữa D và B

BD BA AD 6 4 10(cm)
⇒ = + = + =

b) Vì A nằm giữa D và B ⇒ tia CA nằm giữa hai tia CB, CD.

      0 0 0

ACD ACB BCD ACD BCD ACB 80 45 35

⇒ + = ⇒ = − = − =

Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

Suy ra AK+KB=AB⇒KB=AB AK− = − =6 2 4(cm)

Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

Suy ra KB=KA+AB⇒KB= + =6 2 8(cm)

Kết luận : Vậy KB 4cm= hoặc KB 8cm.=

Ta có: 2 2

x −2x 1+ =6y −2x+2

(

)(

)

2 2 2

x 1 6y 6y x 1 x 1 2,

⇒ − = ⇒ = − +  do 2

6y 2

Mặt khác x 1 x 1− + + =2x 2 ⇒

(

x 1−

)

và

(

x 1+

)

cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Vậy

(

x 1−

)

và

(

x 1+

)

cùng chẵn⇒

(

x 1−

)

và

(

x 1+

)

là hai số chẵn liên tiếp

x

y

A

C

D

B

x

D

A K

B

x

D

K A

B

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

(

)(

)

2 2 2

x 1 x 1 8 6y 8 3y 4 y 4 y 2

⇒ − +  ⇒  ⇒  ⇒  ⇒ 

y 2

⇒ = (y là số nguyên tố), tìm được: x 5=

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Năm học 2018-2019

Môn thi: TỐN 6 
Câu 1.Tính giá trị các biểu thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

( )

2010

( )

2011

a)A= −1 . −1 . −1 . −1 ... −1 . −1
131313 131313 131313

b)B 70.

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

2a 3b 4c 5d
c)C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b= 4c =5d= 2a

Câu 2. Tìm xlà các số tự nhiên, biết:
x 1 8

2 x 1
+ =

2 2

0, 4

1 3 9 11

b)x : 9

8 8

2 2

1, 6

9 11

+ −

 − =

 

  + −

Câu 3.

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

( )

x, y sao cho 34x5ychia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

2010 2011 2011 2010

9 19 9 19
A ; B

10 10 10 10
− − − −
= + = +

Câu 4. Cho A n 1
n 4
−
=

a) Tìm nnguyên để Alà một phân số

b) Tìm nnguyên để Alà một số nguyên.

Câu 5.

Cho tam giác ABC có  0

ABC=55 ,trên cạnh AC lấy điểm D(Dkhơng trùng với A và C)

a) Tính độ dài AC,biếtAD=4cm, CD=3cm

b) Tính số đo DBCbiết ABD=300

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx=90 .0 Tính số đo ABx

d) Trên cạnh ABlấy điểm E(E không trùng với Avà B). Chứng minh rằng 2đoạn thẳng

BD và CE cắt nhau

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

( ) ( ) ( )

a) 1.1.− −1 ... −1 .1. − = −1 1

13 13 13 1 1 1
b)B 70. 70.13.

56 72 90 7.8 8.9 9.10

   

=  + + =  + + 

   

1 1
70.13. 39

7 10
 
=  − =

 

c) Đặt 2a 3b 4c 5d k

3b= 4c =5d= 2a =

Ta có: 2a 3b 4c 5d 4 4

. . . k k 1 k 1 C 4
3b 4c 5d 2a = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±

Câu 2.

(

)

( )

x 1 8

a) x 1 16 4
2 x 1

= ⇒ + = = ±
+

)x 1 4 x 3
+ + = ⇒ =

)x 1 4 x 5(ktm)
+ + = − ⇒ = −

Vậy x 3=

2 2 2 2

0, 4 0, 4

1 3 9 11 19 3 9 11

b)x : 9 x :

8 8 2 2

2 2 2 2

1, 6 4. 0, 4

9 11 9 11

+ − + −

 − = ⇔  − =

     

  + −   + −

 

 

x 1

x 2
8 4

⇔ = ⇒ =

Câu 3.

a) Ta có: 36 9.4= mà ƯC(4, 9)=1

Vậy để 34x5ychia hết cho 36 thì 34x5ychia hết cho 4 và 9
34x5ychia hết cho 9 khi 3 4 x 5 y 9+ + + +  ⇒12 x+ +y 9 1

( )

34x5ychia hết cho 4 khi 5y 4 ⇒ =y 2, y=6

Với y=2thay vào (1) 14 x 9⇒ +  ⇒ =x 4

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

Với y=6thay vào (1) 18 x 9 x 0

x 9

=


⇒ + ⇒ 

=



Vậy các cặp

( )

x, y cần tìm là :

( ) ( ) ( )

4, 2 ; 0, 6 ; 9, 6

b) Ta có:

2010 2011 2010 2011 2011

9 19 9 10 9
A

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 9 10 9
B

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

Ta thấy 102011 102010 A B
10 10

− > − ⇒ >

Câu 4.

a) A n 1

n 4
−
=

+ là phân số khi n 4 0+ ≠ ⇒ ≠ −n 4

b) A n 1 n 4 5 1 5

n 4 n 4 n 4
− + −

= = = −
+ + +

Với nnguyên, A nhận giá trị nguyên ⇔5 n + ⇒4

(

n+ ∈4

)

U 5

( ) {

= ± ±1; 5

}

Lập luận tìm ra được n= − − −9; 5; 3;1

Câu 5.

a) D nằm giữa A và C⇒AC=AD CD+ = + =4 3 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên   ABC=ABD+DBC

A

B

C

D

E

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

   0 0 0

DBC ABC ABD 55 30 25

⇒ = − = − =

c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bxvà BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được:  0 

ABx=90 −ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BCnên 00 <ABD<550

 

0 0 0 0 0 0

90 55 ABx 90 0 35 ABx 90

⇒ − < < − ⇔ < <

Trường hợp 2: Tia Bx, BDnằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được:  0 

ABx=90 +ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 0  0

90 <ABx<145

Vậy 350 <ABx<145 , ABx0 ≠900

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ
BDchứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

⇒tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

E thuộc đoạn AB⇒Ethuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

E, C

⇒ ở hai nửa mặt phẳng bờ BD

⇒đường thẳng BD cắt đoạn EC
Xét đường thẳng CE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD
Vậy 2 đoạn thẳng EC, BDcắt nhau

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 
Mơn Tốn 6

Bài 1.

a) Thực hiện tính A bằng cách hợp lý nhất:

2010.2011 1005
A

2010.2010 1005
−
=

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

b) Thực hiện phép tính: B 33 1 2 1 2 ... 1 2
3 5 99
    

=  −  −   − 
    

Bài 2. Cho 2 3 20

M= +2 2 +2 +... 2+

a) Chứng tỏ rằng M 5

b) Tìm chữ số tận cùng của M

Bài 3.

a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho: n 5 n 2+  −
b) Tìm các số tự nhiên x, ysao cho:

(

2x 1 y 3+

)(

− =

)

Bài 4.

a) Cho đoạn thẳng AB=a;điểm C nằm giữa hai điểm A và B, điểm M là trung điểm của
AC,điểm N là trung điểm của CB.Hãy chứng tỏ rằng MN a

2
=

b) Hình thang vng ABCD có góc A và D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại
I.So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC.

Bài 5. Cho

(

)(

)

A=3. 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1

Khơng làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A.

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

)

2010. 2010 1 1005

2010.2011 1005 2010.2010 2010 1005

a)A

2010.2010 1005 2010.2010 1005 2010.2010 1005

+ −

− + −

= = =

+ + +

2010.2010 1005
1
2010.2010 1005

= =

2 2 2 1 3 5 97 1 1
b)B 33 1 1 ... 1 33. . . ... 33.

3 5 99 3 5 7 99 99 3
    

=  −  −   − = = =
    

Bài 2.

2 3 20

a)M= +2 2 +2 +.... 2+

(

2 3 4

)

(

17 18 19 20

)

2 2 2 2 ... 2 2 2 2
= + + + + + + + +

(

2 3

)

(

2 3

)

2. 1 2 2 2 ...2 . 1 2 2 2
= + + + + + + +

(

)

(

)

15. 2 ... 2 5.3. 2 ... 2 5
= + + = + + 

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

b) Dễ thấy M 2;M 5  ⇒M 10 ⇒Mtận cùng bằng chữ số 0

Bài 3.

(

)

a)n 5+ = n− +2 7

{

}

{

}

n 5 n+  − ⇒2 7 n − ⇒ − ∈2 n 2 U(7)= ± ± ⇒ ∈1; 7 n 3;1;9; 5−

b) Ta có x, y∈ nên

(

2x 1 & y 3+

) (

−

)

là các ước của 10
Hơn nữa 2x 1 0+ > và lẻ nên 10 1.10 2.5= =

2x 1 1 x 0
y 3 10 y 13
2x 1 5 x 2
y 3 2 y 5
 + =  =

⇒
 
 − = =

 



⇒  + =  =
 ⇒

− = =
 


Bài 4.

a) M là trung điểm của AC nên: AM MC 1AC
2
= =

N là trung điểm CB nên: CN NB 1CB

= = MC CN 1

(

AC CB

)

⇒ + = +

C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N
C nằm giữa M và N ⇒MC CN+ =MN
C nằm giữa A và B⇒AC CB+ =AB=a

Do đó MN a

2
=

b) Nối BD.Ta có: SBDC =SADC(cùng đáy DC và chiều cao BH = AD)

BDH DBA ABHD DBA IAD

S S S ;S S
2

 

= =  =

  (cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)

Do đó:

BHC BDC BDH BDC DBA ADC IAD IDC

S =S −S =S −S =S −S =S

Vậy SBHC =SIDC

Bài 5.

(

)(

)

A=3 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1

(

)(

)

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
= − + + + +

(

)(

)

2 1 2 1 2 1
= − + +

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

(

)(

)

2 1 2 1 2 1
= − + = −

Vì 32

2 tận cùng là 2 nên A=232 −1tận cùng là 1.

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP 6 Năm học 2018-2019

Bài 1. (2 điểm)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 1 1

a)4 . 12 5

7 6 7
−  
+  − 
 

(

) (

)

b) 2 4 6 8 .... 2014+ + + + + − + + + +3 5 7 9 ... 2011+

1 1 1 1 1
c) 1 1 1 1 ... 1

3 6 10 15 780
 −  −  −  −   − 
      
      

Bài 2. (2 điểm)

a) Tìm số nguyên a,biết: −13 a 1− − = −4 44. 2

(

4−15

)

+ −

(

2011

)

b) Cho biểu thức 2 3 2009 2010

A=2010+2010 +2010 +... 2010+ +2010

Chứng minh rằng A chia hết cho 2011

c) Cho 2

B=80 −79.80 1601+

Chứng minh rằng B là bình phương của một số tự nhiên

Bài 3. (2 điểm)

a) So sánh S với 3, biết S 2011 2012 2013
2012 2013 2011
= + +

b) Với nsố tự nhiên thỏa mãn 6n 1+ và 7n 1− là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng

nhau thì ước chung lớn nhất của 6n 1+ và 7n 1− là bao nhiêu ?

Bài 4. (4 điểm)

Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng xy.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa đường

thẳng xy,kẻ tia Oz, Otsao cho zOt=130 , yOt0  =1000
a) Tia Oz có là phân giác của yOtkhông ? Tại sao ?

b) Gọi Om là phân giác của zOt, Onlà tia đối của tia Ot.Tính số đo mOn

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

c) Lấy thêm 19 điểm phân biệt trên đường thẳng xy(các điểm này không trùng với điểm

O) và một điểm A nằm ngoài đường thẳng xy. Hỏi vẽ được bao nhiêu tam giác nhận 3

trong các điểm trên làm đỉnh.

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 36
a)4 . 12 5 4 .12 .5 4 2 . 3

7 6 7 7 6 6 7 7 6 7
−   − −

+  − = + − = − + =
 

(

) (

)

b) 2 4 6 8 ... 2014+ + + + + − + + + +3 5 7 9 ... 2011+

Nhận xét:

(

2 4 6 8 .... 2014+ + + + +

)

có 1007 số hạng

(

3 5 7 9 .... 2011+ + + + +

)

có 1005 số hạng

(

2 3

) (

4 5

) (

6 7

) (

2010 2011

) (

2012 2014

)

= − + − + − + − + + có 1006 nhóm

( ) ( ) ( )

1 1 1 ...

( )

1 4026

= − + − + − + + − + có 1005số hạng −1

1005 4026 3021

= − + =

1 1 1 1 1 2 5 9 14 779
c) 1 . 1 . 1 . 1 ... 1 . . . ...

3 6 10 15 780 3 6 10 15 780
 −   −   −   −   − =

         
         
4 10 18 28 1558 1.4 2.5 3.6 38.41

. . . .... . . ...
6 12 20 30 1560 2.3 3.4 4.5 39.40

= =

1.2.3....38 4.5.6...41 1 41 41

. .

2.3.4...39 3.4.5.6....40 39 3 117

= = =

Bài 2.

(

4

)

(

)

(

4

)

(

)

a) 13 a 1− − − = −4 44. 2 −15 + −2011 = −44. 2 −15 + −2011

13 a 1 4 44.1 1 13 a 1 39

− − − = − + ⇒ − − = −

a 1 3 a 4 (tm)

a 1 3

a 1 3 a 2 (tm)

− = ⇒ =


⇒ − = ⇒  − = − ⇒ = −



2 3 4 2009 2010

b)A=2010 2010+ +2010 +2010 +... 2010+ +2010

(

)

(

)

2009

(

)

A=2010. 1 2010+ +2010 . 1 2010+ +... 2010+ . 1 2010+

(

3 2009

)

A=2011. 2010+2010 +... 2010+ 2011⇒A 2011

(

)

2 2

c)B=80 −79.80 1601 80. 80 79+ = − +1601 80.1 1601 1681= + = =41

Vậy B là bình phương của một số tự nhiên là 41.

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Bài 3.

2011 2012 2013 1 1 1 1

a)S 1 1 1

2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011
     
= + + = −  + −  + + + 
     
1 1 1 1

2011 2012 2011 2013
   
= + −  + − 
   

1 1 1 1
Do ;

2011>2012 2011>2013

Nên: 1 1 0, 1 1 0 3 1 1 1 1 3

2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013
   
− > − > ⇒ + −  + − >

   

Vậy S>3

b) Gọi d là UCLN của 6n 1+ và 7n 1 d−

(

∈  *

)

ta có:

(

)

(

)

(

) (

)

7. 6n 1 d

6n 1 d

7 6n 1 6 7n 1 d 42n 7 42n 6 d

7n 1 d 6. 7n 1 d

+ ∈


+ ∈

 ⇒ ⇒ + − − ∈ ⇒ + − + ∈

 − ∈ 

− ∈

 

{ }

d 1;13

⇒ ∈ . Mà 6n 1, 7n 1+ − là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau

Nên d 1 d 13≠ ⇒ =

Vậy ước chung lớn nhất của 6n 1, 7n+ −3là 13.

Bài 4.

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng xynên hai tia Ox, Oylà hai tia đối nhau

Nên  xOy, yOzlà hai góc kề bù ⇒xOy +yOz=1800⇒yOz =500

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oycó:  xOy<yOz 50

(

0 <1000

)

nên tia Oz nằm

giữa tia Oy, Ot (1)     0

zOy tOz yOt zOy 50

⇒ + = ⇒ = (2)

y

x

O

m

t

n

z

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Từ (1) và (2) suy ra Oz là phân giác của yOt

b) Vì Om là phân giác của    1 0 0

zOt zOm tOm .50 25
2

⇒ + = =

Vì On là tia đối của tia Ot.Nên  nOm & tOmlà hai góc kề bù

  0  0 0 0

nOm tOm 180 nOm 180 25 155

⇒ + = ⇒ = − =

c) Xét 20 điểm trên đường thẳng xy

Chọn một điểm nối điểm đó với lần lượt 19 điểm còn lại ta vẽ được 19 đoạn thẳng. Làm
như vậy với 20 điểm ta được 19.20 đường thẳng.

Như vậy mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần, do đó chỉ có 19.20 : 2đoạn thẳng
Vì qua ba điểm khơng thẳng hàng ta vẽ được một tam giác

Nên cứ nối hai điểm đầu của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng xyvới điểm A nằm

ngoài đường thẳng xyta sẽ vẽ được một tam giác.

Vậy số tam giác vẽ được bằng số đoạn thẳng nằm trên đường thẳng xy.

Như vậy ta có 190 tam giác.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN 6 
Năm học : 2019-2020

Bài 1. (5 điểm)Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:

(

2 2 2

) (

2 2

)

a) 10 +11 +12 : 13 +14

b)1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.8− −

(

16

)

13 11 9

3.4.2
c)

11.2 .4 −16

(

) (

)

d)1152− 374 1152+ + − +65 374

e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −

Bài 2. (4 điểm) Tìm x,biết:

(

2

)

(

)

2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

(

) (

)

(

)

b)x+ x 1+ + x+ + +2 .... x 30+ =1240

(

)

c)11− − +53 x =97

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

(

)

d)− x 84+ +213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b,biết: BCNN a, b

( )

=300; UCLN a, b

( )

=15 và
a 15+ =b

Bài 5. (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M, Nthứ tự là

trung điểm của OA, OB.

a) Chứng tỏ rằng OA OB<

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O(O thuộc

tia đối của tia AB)

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

2 2 2

) (

2 2

)

(

) (

)

a) 10 +11 +12 : 13 +14 = 100 121 144 : 169 196+ + + =365 : 365 1=

b)1.2.3....9 1.2.3...7.8 1.2.3...7.8− −

(

)

1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8... 0 0

= − − = × =

(

)

(

)

( ) ( )

( )

2 2 2

16 2 16 2 18

11 9

13 11 9 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2 .2 3 . 2

11.2 .4 −16 =11.2 . 2 − 2 =11.2 .2 −2

(

)

2 36 2 36 2

35 36 35

3 .2 3 .2 3 .2
2
11.2 2 2 . 11 2 9

= = = =

− −

(

) (

)

d)1152− 374 1152+ + − +65 374

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(

1152 1152

) (

374 374

)

65 65

= − + − − = −

e)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −

(

) (

)

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài 2.

(

2

)

(

)

2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

(

)

{

2 2 2

}

x 14. 13 8 4  2.5 :19 4
⇒ =  − − − =

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

(

) (

)

(

)

b)x+ x 1+ + x+ + +2 .... x 30+ =1240

(

) (

)

31..so...hang..x

x x x ... x 1 2 .... 30 1240

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = −

775
x 25

31
⇒ = =

(

)

c)11− − +53 x =97

(

)

x 11 97 53 33

⇒ = − − − = −

(

)

d)− x 84+ +213= −16

(

x 84

)

16 213

⇒ − + = − −

(

x 84

)

229

⇒ − + = −

x 84 229

⇒ + =

x 229 84 145

⇒ = − =

Bài 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

Vì UCLN (a,b)=15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên mvà nkhác 0, sao cho:
a=15m; b=15n (1) và UCLN m, n

(

)

=1 (2)

Vì BCNN a, b

( )

=300,nên theo trên, ta suy ra

(

)

(

)

BCNN 15m,15n 300 15.20
BCNN m, n 20 (3)

⇒ = =

⇒ =

Vì a 15+ =b,nên theo trên ta suy ra:

(

)

15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện

( )

2 và

( )

3 ,thì chỉ có trường hợp m=4; n=5

là thỏa mãn điều kiện

( )

Vậy với m=4, n=5ta được các số phải tìm là: a=15.4=60; b=15.5=75

Bài 5.

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

a) Hai tia AO, ABđối nhau, nên điểm Anằm giữa hai điểm O và B, suy ra:

OA OB

⇒ <

b) Ta có: M, Nthứ tự là trung điểm OA, OBnên OM OA; ON OB
2 2
⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M, Nthuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm Mnằm giữa hai điểm O và N

c) Vì điểm Mnằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

OB OA AB
OM MN ON MN ON OM MN

2 2
−

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O (Othuộc tia đối của tia AB)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM THAO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn Tốn 6 Năm học 2018-2019

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng

đơn vị

A. 30 B.40 C. 45 D. 55

Câu 2. Tổng của hai số tự nhiên là 102. Nếu thêm chữ số 0 vào bên phải số bé rồi cộng với

số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đó số lớn là:

A. 43 B. 54 C. 60 D. 67

Câu 3. Kết quả của phép tính 1 2 3 4 5 6 ... 99 100− + − + − + + − là:

A. 50 B. 50− C. 100− D. 0

Câu 4. Tập hợp các số nguyên nđể

(

n 3+

) (

 n 1+

)

là

{

0;1; 2; 3− −

}

{ }

0;1 C.

{

− −2; 3

}

{

± ±1; 2

}

Câu 5. Cho 7 ô liên tiếp sau

A

M

N

B

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

− a −27

Biết rằng tổng của ba ô bất kỳ ln bằng 0. Khi đó giá trị của a là :

A. −13 B. 27− C. 13 D. 27

Câu 6. Cho A 4 6 9 7
7.31 7.41 10.41 10.57

= + + + và B 7 5 3 11
19.31 19.43 23.43 23.57
= + + +

Tỷ số A

Blà:

A. 7

4 B.
7

2 C.
5

2 D.
11

Câu 7. Trung bình cộng của tử số và mẫu số của một phân số là 68. Cộng thêm vào tử số

của phân số đó 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng phân số 3.

2 Phân số lúc đầu là:

A. 84

52 B.
76

60 C.
75

61 D.
80
56

Câu 8. Trên đường thẳng a lấy ba điểm M, N, Psao cho MN=2cm, NP=5cm.Khi đó độ dài

đoạn thẳng MPbằng:

A. 3cm B. 7cm C. 3cm hoặc 7cm D. 3, 5cm

Câu 9. Cho 100 điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm vẽ một

đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là:

A. 200 B. 4950 C. 5680 D. 9900

Câu 10. Cho  0

xOy=80 ,tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy sao cho  0

xOz=30 . Số đo yOzlà

A. 0

50 B. 1100 C. 500hoặc 1100 D. 80 .0

Câu 11. Cho  0

xOy=80 ,Oz là tia phân giác của góc xOy, Ot là tia phân giác của xOz. Số đo

của yOtlà:

A. 0

20 B. 0

40 C. 0

50 D. 0

Câu 12. Có 9 miếng bánh chưng cần ráng vàng cả hai mặt. Thời gian ráng mỗi mặt cần 3

phút. Nếu dùng một chiếc chảo mỗi lần chỉ ráng được nhiều nhất 6 miếng thì cần thời gian
ít nhất là bao lâu để ráng xong 9 miếng bánh chưng đó

A. 9 phút B. 12 phút C. 18 phút D. 27 phút

I. PHẦN TỰ LUẬN

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

Câu 1. (4 điểm)

a) Cho biết a 4b+ chia hết cho 13

(

a, b∈  Chứng minh rằng 10 b 13

)

. + 

b) Tìm số nguyên tố ab a

(

> >b 0

)

sao cho ab ba− là số chính phương

Câu 2. (4 điểm)

a) Cho M= − + − + − + −

(

a b

) (

b c a

) (

c a .

)

Trong đó b, c∈cịn a là một số nguyên âm.

Chứng minh rằng biểu thức M ln dương

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng.

Câu 3. (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB, Gọi M, N thứ tự là

trung điểm của OA, OB.

a) Chứng tỏ rằng OA OB<

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại.

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc
tia đối của tia AB)

Câu 4. (2 điểm)

Tính giá trị biểu thức sau:

1 2 3 4 2017 1 1 1 1 1
B 2017 ... : ...

4 5 6 7 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

ĐÁP ÁN 
I.Trắc nghiệm

1C 2D 3B 4A 5B 6C 7D 8C 9B 10A 11D 12A

II. Tự luận

Câu 1.

a)a+4b 13 ⇒10a+40b 13 ⇔10a+ +b 39b 13

Do 39b 13 ⇒10a+b 13

{

}

b)ab∈ 43; 73

Câu 2.

a) M= −amà a là số nguyên âm nên M luôn dương
b) x=0, y=0hoặc x=2, y=2

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

Câu 3.

a) Lập luận chứng tỏ được OA OB<

b) Lập luận chứng tỏ OM ON< nên M nằm giữa hai điểm O và N

c)MN AB.

= Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi.

Câu 4.

1 2 3 4 2017 1 1 1 1 1

B 2017 ... : ...

4 5 6 7 2020 20 25 30 35 10100

   

= − − − − − −   + + + + + 

   

1 2 3 2017 1 1 1 1 1
B (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) : ...

4 5 6 2020 20 25 30 35 10100

   

= − + − + − + ⋅⋅⋅ + −   + + + + + 

   

3 3 3 3 1 1 1 1 1
B : ( ... )

4 5 6 2020 5 4 5 6 2020

   

= + + + ⋅⋅⋅ +   ⋅ + + + + 

   

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2018-2019

Mơn Tốn 6 
Bài 1.

a) Tính nhanh: 32 32 32 ... 32
1.4+4.7+7.10+ +97.100

b) B= −

(

528

) (

+ −12

) (

+ −211

)

+540 2225+

c) 2 20043 2012

1 3 3 3 .... 3

3 3

+ + + + +

−

d) D 2 2 2 2 2 2

20 30 42 56 72 90

= + + + + +

e) So sánh: N 52005 112006
10 10

= + và M 112005 52006
10 10
= +

Bài 2.

Cho 2 3 98 99

S 1 3 3= − + − +3 ... 3+ −3

a) Chứng minh rằng S là bội của 20−
b) Tính S, từ đó suy ra 100

3 chia cho 4 dư 1

Bài 3.

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

a) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504và UCLN của chúng bằng 42
b) Tìm a ∈ để a 1+ là bội của a 1−

c) Cho 28

K=10 +8. Chứng minh rằng Kchia hết cho 72.

Bài 4. Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa

mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OCsao cho MOC 115 , BOC= 0  =70 .0 Trên nửa mặt phẳng
đôi diện dựng tia OD(Dkhông cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B, Cqua bờ là AM)sao

cho  0

AOD=45 .

a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OCkhông ? Vì sao ?

b) Tính  MOB, AOC

c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, Bthẳng hàng.

Bài 5. Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai

bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đó trả lời đưọc mấy câu đúng

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

a)A ... 3. ....

1.4 4.7 7.10 97.100 1.4 4.7 7.10 97.100

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 99 297
3. .... 3.

1 4 4 7 97 100 100 100

 

=  − + − + + − = =

 

(

) (

)

b)B= −528 + −12 + −211 +540 2225+

(

528

) (

)

540

(

211 211

)

2014 2014

= − + − + + − + + =

2 2 2 2 2 2
d)D

20 30 42 56 72 90
= + + + + +

2 2 2 2 2 2
D

4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
= + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
D 2

4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

 

= ⋅ − + − + − + − + − + − 

 

1 1
D 2

4 10
 
= ⋅ − 
 
3

D
10
=

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

2005 2006 2005 2006 2006

5 11 5 6 5
e)N

10 10 10 10 10
= + = + +

Và M 112005 52006 52005 62005 52006
10 10 10 10 10
= + = + +

Ta có: 62006 62005

10 <10

Vậy N M<

Bài 2.

a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng

2 3 98 99

S 1 3 3= − + − +3 ... 3+ −3

(

2 3

) (

4 5 6 7

)

(

96 97 98 99

)

1 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3
= + + − + − + − + + − + −

(

)

(

)

(

)

20 3 . 20 ... 3 . 20 S 20

= − + − + + − ⇒ −

2 3 98 99

b)S 1 3 3= − + − +3 ... 3+ −3

2 3 4 99 100

3S= − + − +3 3 3 3 ... 3+ −3

100

3S S 4S 1 3
⇒ + = = −

100 100

3 1 4 3

⇒ −  ⇒ chia cho 4 dư 1.

Bài 3.

a) Gọi a, blà hai số cần tìm, a, b∈*, a>b, a =42a ', b=42b ' a ', b '

(

)

=14
Vì a b> ⇒ >a ' b '

a+ =b 504⇒ + =a ' b ' 12có các cặp thỏa mãn là

( ) ( )

11;1 ; 7;5

( ) (

a, b

{

462; 42 ; 294; 210

) (

)

}

⇒ ∈

b) Để a 1+ là bội của a 1− nên a 1 1 2
a 1 a 1

+ = +

− − là số nguyên khi

{

}

{

}

a 1 U(2)− ∈ = −1;1; 2 ⇒ =a 0; 2;3

c) Lập luận được K chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là 9 và chia hết cho 8 vì ba chữ số tận
cùng là 008.Vậy K chia hết ccho 72.

Bài 4.

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

a) Nếu OB nằm giữa hai tia OA, OC thì    0

MOC COB+ =MOB 185= (vô lý)

Vậy OB nằm giữa hai tia OM, OC

b) Do tia OB nằm giữa hai tia OM, OC nên:   MOB BOC+ =MOC

   0 0 0

MOB MOC BOC 115 70 45

⇒ = − = − =

Hai góc  AOC,COMlà hai góc kề bù nên  AOC COM+ =1800

 0  0 0 0

AOC 180 COM 180 115 65

⇒ = − = − =

c) Hai góc  AOB, BOMlà hai góc kề bù   0

AOB BOM 180

⇒ + =

 0 0 0

AOB 180 45 135

⇒ = − =

Hai góc  DOA, AOBlà 2 góc có cạnh chung OA. Cịn 2 cạnh OD, OBnằm 2 nửa mặt phẳng

đối nhau bờ AMnên:

  0 0 0

DOA+AOB=45 +135 =180 ⇒OD, OBlà hai tia đối nhau

D, O, B

⇒ thẳng hàng

Bài 5.

Nếu bạn đó trả lời được 50 câu thì tổng số điểm là 50.20 1000= (điểm)

Nhưng bạn chỉ được 650 điểm còn thiếu 1000 650 350− = (điểm). Thiếu 350 điểm vì trong
số 50 câu bạn đã trả lời sai một số câu. Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch

20 15+ =35(điểm). Do đó câu trả lời sai của bạn là: 350 :35 10= câu

Vậy số câu bạn trả lời đúng là 50 10 40− = (câu)

O

A

M

B

C

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

UBND HUYỆN VŨ TH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÊ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Tốn 6

Năm học 2018-2019

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

1) 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 2013 2014 2015 2016
1 1 1 1 1 1 1
2)B 1 : 1 : 1 : 1 : ... : 1 : 1 : 1

2 3 4 5 98 99 100
− − + + − − + + − − − + +

             
= −   −   −   −   −   −   − 
             

Bài 2.

1) Cho 2 3 2014 2015 2016

C= +4 4 +4 +.... 4+ +4 +4

Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105

2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ
thì số tự nhiên đó là số chính phương

Bài 3.

1) Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên
đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 được dư là 4

2)Tìm các cặp số nguyên

( )

x; y biết:x 1 1
5+ = y 1−

Bài 4. Cho E 1 1 1 ... 1
1.101 2.102 3.103 10.110
= + + + +

Và F 1 1 1 ... 1 .
1.11 2.12 3.13 100.110

= + + + + Tính tỉ số E

Bài 5. Cho tam giác ABC có  0

BAC 120 .= Điểm E nằm giữa B và C sao cho BAE=30 .0 Trên

mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Axsao cho CAx=30 ,0 tia Axcắt BC ở F

a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF

b) Gọi AIlà tia phân giác của BAC.Chứng minh AIcũng là tia phân giác của EAF

Bài 6. Cho biểu thức

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

2! 2! 2! 2! 2!

D ...

1 3 5 7 2015

= + + + + +

So sánh Dvới 6. Biết n! 1.2.3....n n=

(

∈ 

)

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

1)A= − − + + − − + + − −1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 2013 2014+ − − +2015 2016+

(

1 2 3 4

) (

5 6 7 8

) (

9 10 11 12

)

...

(

2013 2014 2015 2016

)

= − − + + + − − + + + − − + + + + − − + +

Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 504= nhóm

A= + + +4 4 4 ... 4+ (tổng có 504 số 4)

A=4.504=2016

1 1 1 1 1 1 1
2)B 1 : 1 : 1 : 1 : ... : 1 : 1 : 1

2 3 4 5 98 99 100

1 2 3 98 99
B : : : ... : :

2 3 4 99 100
− −
         
= −  −  −     
         

1 3 99 100
B . ... .

2 2 98 99
−

       
= −  −    − 
       

Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên mang dấu âm

1.3.4.5.6...98.99.100 100

B 25

2.2.3.4.5...97.98.99 2.2

−

= − = = −

Bài 2.

1) Ta có:

2 3 4 2014 2015 2016

C= +4 4 +4 +4 +... 4+ +4 +4

(

2 3

) (

4 5 6

)

(

2014 2015 2016

)

4 4 4 4 4 4 ... 4 4 4
= + + + + + + + + +

(

)

(

)

2014

(

)

4. 1 4 4 4 . 1 4 4 ... 4 . 1 4 4
= + + + + + + + + +

(

4 2014

)

21. 4 4 ....4 21
= + + 

2 3 4 2014 2015 2016

C= +4 4 +4 +4 +... 4+ +4 +4

(

) (

3 4

)

(

2015 2016

)

4 4 4 4 ... 4 4
= + + + + + +

(

)

(

)

2015

(

)

4. 1 4 4 . 1 4 ... 4 . 1 4

= + + + + + +

(

3 2015

)

5. 4 4 ... 4 5
= + + + 

Ta có C 5,C 21  mà

(

5; 21

)

= ⇒ 1 C 105

Gọi số tự nhiên đó là P(P≠0)

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Nếu 2

P= ⇒ = ⇒1 1 1 Plà số chính phương

Nếu P>1. Phân tích P ra thừa số ngun tố ta có: P=a .b ...cx y z(với a, b, c…là các số

nguyên tố)

Khi đó số lượng các ước của P:

(

x 1 y 1 ... z 1+

)(

) (

)

Theo bài ra

(

x 1 y 1 ... z 1+

)(

) (

)

là số lẻ

x 1; y 1;....; z 1

⇒ + + + đều là các số lẻ

x, y,..., z

⇒ đều là các số chẵn

Do đó x=2m, y=2n, z=2t

Nên 2m 2n 2t

(

m n t

)

P=a b c = a .b ....c

Vậy P là số chính phương.

Bài 3.

1) Gọi số tự nhiên đó là a

Theo bài ra ta có: a=7p 5; a+ =13q+4 p, q

(

∈ 

)

Suy ra : a 9+ =7p 14+ =7. p 2 7

(

+ 

)

(

)

a+ =9 13q 13 13 q 1 13+ = + 

Ta có : a+9 7; a +9 13; 7,13

(

)

Do đó a+9 91 ⇒ + =a 9 91k⇒ =a 91k 9− =91k 91 82− + =91. k 1

(

− +

)

Nên a chia cho 91 có dư là 82.

2) Ta có: x 1 1 x 5 1

(

x 5

)(

y 1

)

5.1

5 y 1 5 y 1

+ = ⇔ = ⇔ + − =

− −

(

x 5 y 1

)(

)

5.1 1.5 5.( 1) ( 1).( 5)

⇔ + − = = = − − = − −

Thay hết tất cả các trường hợp ta có:

( ) ( ) (

x; y =

{

0; 2 ; −4; 6 ;

) (

−10; 0 ;

) (

− −6; 4

)

}

Bài 4.

Ta có:

1 1 1
E ...

1.101 2.102 10.110
= + + +

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

1 100 100 100
E . ...

100 1.10 2.102 10.110

 

=  + + + 

 

1 1 1 1 1 1
. 1 ...

100 101 2 102 10 110

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1 1 1 1 1

. 1 ... ...

100 2 3 10 101 102 110

   

=  + + + +  − + + + 

   

 

1 1 1
F ...

1.11 2.12 100.110
= + + +

1 10 10 10
F . ...

10 1.11 2.12 100.110

 

=  + + + 

 

1 1 1 1 1 1

F . 1 ....

10 11 2 12 100 110

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1 1 1 1 1 1

F . 1 ... ...

10 2 3 100 11 12 13 110

   

=  + + + +  − + + + + 

   

 

1 1 1 1 1 1 1

F . 1 ... ...

10 2 3 10 101 102 110

   

=  + + + +  − + + + 

   

 

E 100 1

F 10

⇒ = =

Bài 5.

a) Theo bài ra ta có: E nằm giữa hai điểm B và C

F

E

C

A

B

x

I

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

Nên tia AE nằm giữa hai tia AB, AC

Ta có:   BAE+EAC=BAC

Hay 0  0  0 0 0

30 +EAC 120= ⇒EAC 120= −30 =90

Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

Ta có:  0  0  

(

0 0

)

CAF=30 , CAE=90 ⇒CAF<CAE 30 <90 , do đó tia AFnằm giữa hai tia
AC, AE, vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E

   0  0  0

CAF FAE CAE 30 FAE 90 FAE 60

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b) Ta có AI là tia phân giác của BAC

Nên   BAC 1200 0

BAI CAI 60
2 2
= = = =

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B

 

(

0 0

)

CAF<CAI 30 <60 suy ra AFnằm giữa hai tia AC, AI

  

 

0 0 0

CAF FAI CAI

30 FAI 60 FAI 30

⇒ + =

⇒ + = ⇒ =

*)Xét nửa mặt phẳng bờ AFcó chứa điểm B

Ta có:  

(

0 0

)

FAI<FAE 30 <60 ⇒Tia AI nằm giữa hai tia AF, AE

Hơn nữa, FAI 1FAE AI
2

= ⇒ là phân giác của FAE

Bài 6.

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

( )

2 2 2 2 2

2! 2! 2! 2! 2!

D ...

1 3 5 7 2015

= + + + + +

2 2 2 2 2

D ...

1 3 5 7 2015

= + + + + +

2 2 2 2

2 2 2 2
D 4 2. ...

3 5 7 2015

 

= +  + + + + 

 

2 2 2 2
D 4 2. ...

1.3 3.5 5.7 2013.2015

 

< +  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1
4 2 ...

1 3 3 5 5 7 2013 2015

 

= +  − + − + − + + − 

 

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

1 2
4 2 1 4 2 6

2015 2015
 

= +  − = + − <
 

D 6

⇒ <

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI 
PHÒNG GD & ĐT

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
Năm học 2015-2016

Môn thi: Tốn 6

Bài 1. (1,0 điểm) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể)

a)1968 :16 5136 :16 704 :16+ −

(

)

{

}

3 3 3 8 6 0

b)2 .5 −3 400−673 2 . 7 : 7− +7 

Bài 2. (1,0 điểm) M có là một số chính phương khơng , nếu:

(

)

M= + + +1 3 5 ...+ 2n 1− (với n∈, n≠0)

Bài 3. (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng;

(

100 990

)

3 +19 2

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4

Bài 4. (1,0 điểm) So sánh Avà B biết:

18 17

19 18

17 1 17 1

A , B

17 1 17 1

+ +

= =

+ +

Bài 5. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên nđể:

a) Phân số n 1

n 2
+

− có giá trị là một số nguyên

b) Phân số 12n 1

30n 2
+

+ là phân số tối giản

Bài 6. (2,5 điểm)

Cho góc 0

xBy=55 .Trên các tia Bx, Bylần lượt lấy các điểm A, C

(

A≠B, B≠C

)

. Trên đoạn

thẳng AC lấy điểm D sao cho  0

ABD=30

a) Tính độ dài AC, biếtAD=4cm, CD=3cm

b) Tính số đo góc DBC

c) Từ B vẽ tia Bzsao cho DBz=90 .0 Tính số đo ABz

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

Bài 7. (1,0 điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x, ysao cho

(

2x 1 y 5+

)(

− =

)

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

)

a) 16. 123 321 44 :16= + − =400

[

]

{

}

b)=8.125 3. 400− − 673 8.50−

{

}

1000 3. 400 273

= − −

619
=

Bài 2.

(

)(

)

M= + + + +1 3 5 ... 2n 1 n− ∈, n≠0

Tính số số hạng:

(

2n 1 1 : 2 1− −

)

+ =n

Tính tổng:

(

)

2 2

2n 1 1 .n : 2 2n : 2 n

= − + = =

Vậy M là số chính phương.

Bài 3.

a) Ta có 3 là lẻ nên 100

3 là lẻ, 19 lẻ nên 19990lẻ nên

(

3100+19990

)

2

b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; a 1 ; a

(

) (

+2 ; a

) (

+3 a

)(

∈ 

)

Ta có : a+ + + + + + =

(

a 1

) (

a 2

) (

a 3

)

4a+6

Vì 4a 4;6 khơng chia hết cho 4 nên 4a 6+ không chia hết cho 4.

Bài 4.

Vì

(

)

(

)

18 18 18 17

19 19 19 18 18

17. 17 1

17 1 17 1 17 1 16 17 1

A 1 A B

17 1 17 1 17 1 16 17. 17 1 17 1

+ + + + +

= < ⇒ = < = = =

+ + + + + +

Bài 5.

a) n 1

n 2
+

+ là số nguyên khi

(

n 1+

) (

 n+2

)

Ta có: n 1+ =

(

n− +2

)

3, vậy

(

n 1+

) (

 n−2

)

khi 3 n

(

−2

)

(

n− ∈2

)

U(3)= − −

{

3; 1;1;3

}

⇒ ∈ −n

{

1;1;3;5

}

b) Gọi d là ƯC của 12n 1+ và 30n+2 d

(

∈*

)

⇒12n 1 d, 30n+  +2 d

(

) (

)

(

)

5 12n 1+ −2 30n+2 d⇔ 60n+ −5 60n−4 d⇔1 d

 

    mà d∈*⇒ =d 1

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

Vậy phân số đã cho tối giản

Bài 6.

TH1:

Th2:

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa Avà C

AC=AD CD+ = + =4 3 7cm

b) Chứng minh được tia BDnằm giữa hai tia BA và BC

Ta có đẳng thức:       0

ABC=ABD+DBC⇒DBC=ABC ABD− =25

c) Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tia Bzvà tia BDnằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là ABnên tia BA

nằm giữa hai tia Bzvà BD

Tính được  0  0 0 0

ABz=90 −ABD=90 −30 =60

x

y

z

B

A

C

D

z

x

y

C

B

A

D

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Trường hợp 2: Tia Bz và tia BDnằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là ABnên tia BDnằm

giữa hai tia Bzvà BA.

Tính được  0  0 0 0

ABz=90 +ABD=90 +30 =120

Bài 7.

(

2x 1 ; y 5+

) (

−

)

là các ước của 12

( ) {

}

U 12 = 1; 2;3; 4; 6;12

Vì 2x 1+ lẻ nên 2x 1 1 x 0, y 17

2x 1 3 x 1, y 9

+ = ⇒ = =



 + = ⇒ = =



PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 
MƠN TỐN 6

Bài 1. (4,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức A 1 3 5 .... 19
21 23 25 .... 39

+ + + +
=

+ + + +

2) Tìm số tự nhiên x, biết: x x 1 x 2 18

18..chu..so..0

5 .5 .5+ + = 1000....0 : 2

Bài 2. (4,0 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì UCLN 21n

(

+4;14n 3+ =

)

2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p 1+ cũng là số nguyên tố thì
4p 1+ là hợp số

Bài 3. (4,0 điểm)

1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27

2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147

Bài 4. (6,0 điểm)

1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho

0 0

AOB 120 , AOC= =80 . Gọi OM là tia phân giác của BOC

a) Tính 𝐴𝑂𝑀�

b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc CON

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox , Ox , Ox ,...., Ox1 2 3 n sao cho góc

2 1 3 4 1 n 1

xOx =2xOx ; xOx =3xOx; xOx =4xOx ;....; xOx =nxOx . Tìm số n nhỏ nhất để trong các

tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.

Bài 5. (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.
7 8 9 100

; ; ;...;

n+9 n 10 n 11+ + n 102+

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

1) Ta có:

(

) (

)

(

)

1 3 5 .... 19+ + + + = +1 19 + +3 17 +...+ +9 11 =20 20 ... 20 100+ + + =

(

) (

)

(

)

21 23 25 .... 39+ + + + = 21 39+ + 23 27+ + +... 29 31+ =60 60 ... 60+ + + =300

100 1
A

300 3
⇒ = =

b) Ta có:

x x 1 x 2 18

18...chu..so..0

5 .5 .5+ + = 1 000....0 : 2

x x 1 x 2 18 18 3x 3 18

5 + + + + =10 : 2 ⇒5 + =5

3x 3 18 x 5

⇒ + = ⇒ =

Vậy x 5=

Bài 2.

a) Gọi d là UCLN

(

21n+4;14n 3+

)

21n 4 d⇒ +  và 14n 3 d+ 

(

)

2. 21n 4 d

⇒ +  và 14n 3 d+ 

(

)

2. 21n 4 d

⇒ +  và 3. 14n 3 d

(

+ 

)

(

)

(

)

3. 14n 3 2. 21n 4 d 1 d d 1

⇒ + − +  ⇒  ⇒ =

Vậy UCLN 21n

(

+4;14n 3+ =

)

b) Vì p là số ngun tố, p>3⇒4p khơng chia hết cho 3

Ta có 4p 2+ =2 2p 1

(

)

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

Theo bài ra p> ⇒3 2p 1+ >7 và là số nguyên tố ⇒2p 1+ không chia hết cho 3. Suy ra
4p+2 không chia hết cho 3.

Mà 4p; 4p 1; 4p+ +2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, do đó
4p 1+ chia hết cho 3.

Vì 4p 1 13+ > nên 4p 1+ là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

Suy ra 4p 1+ là hợp số.

Bài 3. a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

Thật vậy: 

9..c/so..1

27...chu...so..1 8..c/so..0 8...c/s..0

111...11 =11...1 1000....01000....01× 

Mà 

9..c/so..1

11...1 9 và

8..c/so..0 8..c/so..0 27..c/so..1

1000...01000...01 3  ⇒111...1 27

Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng

27...c/so...1

a.111...1 nên số đó chia hết

cho 27.

b) Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999≤ ≤

Theo bài ra n là bội của 147 nên n=147k=7 .3k2

Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số

nguyên tố phải có số mũ chẵn 2 2

k 3 k 3m n 7 .3 .m 441m
⇒  ⇒ = ⇒ = =

1000 441m 9999 2 m 22

⇒ ≤ ≤ ⇒ < <

Để n là số chính phương thì m là số chính phương ⇒m=4;9;16

Suy ra các số tự nhiên cần tìm là : 1764;3969; 7056.

Bài 4.

O

B

M C

A

N

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có   0 0

AOC<AOB(80 <120 )

⇒ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

   0  0  0

AOC BOC AOB 80 BOC 120 BOC 40

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Vì OM là tia phân giác của    BOC 400 0

BOC BOM COM 20
2 2

⇒ = = = =

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OB có  

(

0 0

)

BOM<BOA 20 <120 nên tia OM

nằm giữa hai tia OA và OB
  

BOM MOA AOB

⇒ + = hay 0  0  0

20 +MOA=120 ⇒MOA=100

b) Vì OM, ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM và AON là hai góc kề bù

  0 0  0  0

AOM AON 180 100 AON 180 AON 80

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Suy ra  

(

)

AOC=AON =80 (1)

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA
nằm giữa hai tia OM và ON (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON

2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox , Ox , Ox ,...., Ox1 2 3 n sao cho

2 1 3 1 4 1 n 1

xOx =2xOx ; xOx =3xOx ; xOx =4xOx ;...; xOx =nxOx

1 1 2 2 3 n 1 n

xOx x Ox x Ox ... x −Ox

⇒ = = = =

Vậy khi n nhỏ nhất là n 2017.2 4034= = thì lúc đó Ox2017 là tia phân giác chung của 2017

góc: xOx4034 =x Ox1 4033 =x Ox2 4032 =...=x2016Ox2018

Bài 5.

Các phân số đã cho đều có dạng

(

)

a+ n+2 , vì các phân số này đều tối giản nên n+2 và
a phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Như vậy n+2 phải là số nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7;8;9;...;100 và n+2

phải là số nhỏ nhất.

Nên n+2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100

n 2 101 n 99

⇒ + = ⇒ =

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN 
Năm học 2019-2020

Mơn thi: Tốn 6

Câu 1.

a) So sánh : 2013

2 và 1344

b) Tính: A 1 1 1 ... 1

4.9 9.14 14.19 64.69
= + + + +

Câu 2.

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 2,
còn chia cho 7 thì dư 3

b) Tìm hai số tự nhiên biết tổng UCLN và BCNN là 23
c) Tìm số tự nhiên x; ybiết 32x1ychia hết cho 45

Câu 3.

a) Tìm x ∈ biết: 2 4 6 ... 2x 156+ + + + =

b) Tìm số nguyên nđể P n 2
n 1

− +
=

− là số nguyên

c) Tìm số tự nhiên nđể phân số M 6n 3
4n 6
−
=

− đạt giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.

Câu 4.

Cho đường thẳng xy.Trên xy,lấy ba điểm A, B, Csao cho AB=a (cm), AC=b (cm)

(

b>a .

)

Gọi I là trung điểm của AB

a) Tính IC

b) Lấy 4 điểm M, N, P, Q nằm ngoài đường thẳng xy.Chứng tỏ rằng đường thẳng xy

không cắt hoặc cất ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng trong câc đoạn thẳng sau:

MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

( )

671

( )

672

2013 3 671 1344 2 672

a)2 = 2 =8 ;3 = 3 =9

671 672 2013 1344

Do 8<9, 671 672< ⇒8 <9 ⇒2 <3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b)A ... . ....

4.9 9.14 14.19 64.69 5 4 9 9 14 64 69

 

= + + + + =  − + − + + − 

 

1 1 1 13
.

5 4 69 4.69
 

=  − =
 

Câu 2.

a) Gọi số tự nhiên đó là a

Ta có: a=BC(3; 4;5; 6) 2+ ⇒ ∈a

{

62;122;182; 242...

}

Mặt khác a là số tự nhiên nhỏ nhất chia 7 dư 3 nên a 122=
b) Gọi hai số tự nhiên đó là a, b a, b

(

∈  Gọi

)

. d=UCLN(a, b)

Ta có: a=a '.d; b=b '.d

(

a ', b '

)

Khi đó BCNN(a; b) ab a '.b '.d2 a '.b '.d

UCLN(a; b) d

= = =

Theo bài ra ta có:

UCLN(a; b)+BCNN(a; b)=23nên d+ +a.b '.d '=23=d 1 a '.b '

(

)

=23

d 1;1 a ' b ' 23 a ' b ' 22

⇒ = + = ⇒ = mà

(

a ', b '

)

1 a ' 1; b ' 22

a ' 11; b ' 2

= =



= ⇒  = =


c) Vì 32x1ychia hết cho 45 5.9=

(

)

(

)

y 0 32x10 9 3 2 x 1 0 9 x 3

y 5 32x15 9 3 2 x 1 5 9 x 7

 = ⇒ ⇔ + + + + ⇒ =

⇒ 

= ⇒ ⇔ + + + + ⇒ =



 

Vậy hai số cần tìm là 32310;32715

Câu 3.

(

)

a)2 4 6 ... 2x+ + + + =156⇔2 1 2 ... x+ + + =156

(

)

x x 1

2. 156 x(x 1) 156 12.13

2
+

⇒ = ⇒ + = =

x 12

⇒ =

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

n 2 n 1 1 1

b)P 1

n 1 n 1 n 1
− + − + +

= = = − +
− − −

(

)

(

)

{ }

P∈ ⇒ n 1− ∈ ⇔ n 1− ∈U(1)= ± ⇒ ∈1 n 0; 2

(

)

(

)

(

)

3 2n 3 6

6n 3 3 6
c)M

4n 6 2 2n 3 2 2 2n 3
− +

−

= = = +

− − −

3
*)n 1 M

2
≤ ⇒ <

3
*)n 1 M

2
> ⇒ >

Khi đó để M đạt giá trị lớn nhất thì 2 2n 3

(

−

)

đạt giá trị dương nhỏ nhất , khi đó n=2.
3 9

Max M 3 n 2
2 2

= + = ⇔ =

Câu 4.

a) TH1: B, C nằm cùng phía với nhau so với A

Học sinh tính được: IC b a
2
= −

Th2: B, C nằm khác phía so với điểm A

Học sinh tính được IC b a
2
= +

b) TH1: Nếu cả 4 điểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xythì đường

thẳng xykhơng cắt các đoạn thẳng: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ

*Th2: Nếu có 3 điểm (giả sử M, N, P)cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy

còn 1 điểm Q nằm khác phía bờ là đường thẳng xy thì đường thẳng xycắt 3 đoạn thẳng

sau: MQ, NQ, PQ

*Th3: Nếu có 2 điểm (giả sử M, N)cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng còn

2 điểm

(

P; Q

)

nằm khác phía bờ là đường thẳng xythì đườn thẳng xycắt 4 đoạn sau:
MP, MQ, NP, NQ

A

I

B

C

A

I

B

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 NĂM HỌC 2017-2018 
MƠN: TỐN

Câu 1. (4 điểm)

a) Thực hiện phép tính

12 12 12 5 5 5

12 5

158158158

7 289 85 13 169 91

A 81. : .

4 4 4 6 6 6 711711711

4 6

7 289 85 13 169 91

 − − − + + + 

 

=  

 − − − + + + 

 

b) Tìm xbiết: 1) 2 x 1 1

(

2x 1

)

3 4 3

 

−  − = −

 

x x 1 7 8

1 1 1 1
2) .2 .2 .2 .2

5 3 5 3

+ = +

Câu 2. (4 điểm)

Thực hiện phép tính:

(

) ( )

( )

9 6 14

2 2 2 2 4

28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3

5.2 .3 7.2 .3
−
=

−

Câu 3. (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư

b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng 6

7số thứ nhất bằng
9

11số thứ 2 và
9

11số thứ hai

bằng 2

3số thứ ba

Câu 4. (5 điểm)

1. a) Cho đoạn thẳng AB 7cm.= Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI 4cm.= Trên tia BA lấy
điểm K sao cho BK 2cm= . Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tính IK

b) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D.biết rằng A nằm B và C, B nằm giữa C và D;

OA=5cm, OD=2cm, BC=4cmvà độ dài AC gấp đơi độ dài BD. Tính độ dài các đoạn BD,

AC.

2. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ Ox vẽ hai tia Oy, Oz sao cho  0

xOy=70 và

 0

yOz=30 .

a) Xác định số đo của xOz

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

b) Trên tia Ox lấy hai điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn
độ dài OA). Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ
dài OB và AB

Câu 5. (3 điểm)

a) Chứng minh rằng 2 3 4 101

3 + + +3 3 ... 3+ chia hết cho 120

b) Cho hai số a và b thỏa mãn: a b 2 a

(

)

a
b
− = + =

Chứng minh a= −3b,Tính a.

b Tìm a, b

c) Tìm x, y, zbiết

(

x−y2+z

)

(

y 2−

) (

2+ +z 3

)

2 =0

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

1 1 1 1 1 1

12. 1 5. 1

158.1001001

7 289 85 13 169 91

a)A 81. : .

1 1 1 1 1 1 711.1001001

4. 1 6. 1

7 289 85 13 169 91

  − − −   + + + 

   

    

 

   

 − − − + + + 

   

    

 

12 5 158 18 2 324
81. : . 81. .

4 6 711 5 9 5
 

=   = =
 

(

) (

)

(

)

b) x 1+ + x+ +2 ...+ x 100+ =5750

x 1 x 2 ... x 100 5750

⇒ + + + + + + =

(

) (

)

101.50 100x

1 2 3 ... 100 x x x ... x 5750

⇒ + + + + + + + + + =

 

100x 5050 5750

⇒ + =

100x=700⇒ =x 7

Câu 2.

(

2 2

) ( )

9 2 6

( )

2 14 4

18 12 28 14 4

28 18 29 18 28 18 29 18

5. 2 .3 . 2 2. 2 .3 .3 5.2.3 .2 2.2 .3 .3

a)A

5.2 .3 7.2 .3 5.2 .3 7.2 .3

− −

= =

− −

(

)

(

)

29 18

30 18 29 18

28 18 28 18

2 .3 . 5.2 1

5.2 .3 2 .3 2.9

2 .3 .(5 7.2) 2 .3 . 5 14 9

−
−

= = = = −

− − −

0 1 2 2015

b)S=3 + + +3 3 ... 3+

1 2 2015 2016

3S= +3 3 +... 3+ +3

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

2016

2016 3 1

2S 3 1 S

2
−

⇒ = − ⇒ =

Câu 3.

a) Gọi số cần tìm là a ta có:

(

a−6 11; a 1 4, a 11 19

) (

 −

) (

 −

)



(

a− +6 33 11; a 1 28 4; a 11 38 19

) (

 − +

) (

 − +

)



(

a 27 11, 4,19

)

⇒ + 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra a+27=BCNN(4;11;19)⇒ =a 809

b) Số thứ nhất bằng: 9 :6 21

11 7= 22(số thứ hai)

Số thứ ba bằng: 9 :2 27

11 3 =22(số thứ hai)

Tổng của 3 số bằng 21 27 1

22+22+ (số thứ hai)
70
22

= (số thứ hai)
Số thứ hai là: 210 :70 66

22=

Số thứ nhất là: 21.66 63
22 =

Số thứ ba: 27.66 81
22 =

Câu 4.

Học sinh tự vẽ hình
1.

a) Trên tia BA ta có BK=2cm, BA=7cm nên BK<BAdo đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra

: AK KB AB+ = ⇒AK= − =7 2 5cm

Trên tia AB có điểm I và K mà AI<AK 4

(

)

nên điểm I nằm giữa A và K

b) Do I nằm giữa A và K nên AI+IK=AK⇒ +4 IK= ⇒5 IK=1(cm)

2. Vì A nằm giữa B và C nên BA+AC=BC⇒BA+AC=4 (1)

Lập luận ⇒Bnằm giữa A và D

Theo giả thiết OD OA< ⇒Dnằm giữa O và A
Mà OD DA OA+ = ⇒ +2 DA= ⇒5 DA=3cm

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

Ta có DB BA+ =DA⇒DB BA+ =3(2)

Lấy

( ) ( )

1 − 2 : AC DB 1− = (3)

Theo đề ra : AC 2BD= thay vào (3)

Ta có: 2BD−BD= ⇒1 BD=1(cm)⇒AC=2BD=2(cm)

Câu 5.

a)Ta có:

2 3 4 101

3 + + +3 3 ... 3+

(

2 3 4 5

) (

6 7 8 9

)

(

98 99 100 101

)

3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3
= + + + + + + + + + + + +

(

2 3 4

) (

5 2 3 4

)

(

2 3 4

)

3 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 .... 3 . 3 3 3 3
= + + + + + + + + + + + +

(

5 97

)

120. 3 3 ... 3 120(dfcm)
= + + + 

(

)

b)a b 2 a b
b
− = ⋅ + =

a b 2.a 2b

⇒ − = +

a 3
a 3b

b 1
−
⇒ = − ⇒ =

Từ đó tính được a 9, b 3
4 4

−

= =

(

2

)

(

) (

)

c) x−y +z + y 2− + +z 3 =0

(

)

(

)

(

)

2
2

x y z 0

x y z 0 x 7

y 2 0 y 2 0 y 2

z 3 0 z 3

z 3 0

 − + =  − + =  =



 

⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

  + =  = −



+ = 



</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
HUYỆN ANH SƠN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018-2019

Mơn:Tốn – Lớp 6

Bài 1. (2,5 điểm) Thực hiện phép tính

a) 32.56 32.25 32.19− − −

(

)

b)2 .5−131− 13 4− 

3 3

2 2

9 .25
c)

18 .125

Bài 2. (2,0 điểm) Tìm xbiết:

(

)

a)4 2 x 1− + =2

2x 3 2 2

b)5 − −3.5 =5 .2

Bài 3. (2,0 điểm) Cho phân số A n 1

(

)

n 3

+
= ∈

− 

a) Tìm nđể Alà phân số

b) Tìm nđể Alà phân số tối giản

c) Tìm nđể Acó giá trị lớn nhất

Bài 4. (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB.Điểm C thuộc tia đối của tia BA.M là trung điểm của

đoạn thẳng AB.

a) Chứng tỏ rằng: CM CA CB

2
+
=

b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB.Biết  0  0

AOC 120 , BOC= =30 ,  0

AOM=60 .

Hỏi OB có phải là tia phân giác của MOCkhơng ? Vì sao ?

Bài 5. (1,5 điểm)

a) Có 68 người đi tham quan bằng hai loại xe:loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi. Biết số
người đi vừa đủ với số ghế ngồi. Hỏi mỗi loại có mấy xe

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n,ta có n2+ +n 2khơng chia hết cho 5.

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

)

a) 32.56 32.25 32.19− − − = −32. 56 25 19+ +

(

)

4 2

b)2 .5−131− 13 4− =16.5−131 9− 

3 3 6 6 2

2 2 2 4 6 2

9 .25 3 .5 3 9

18 .125 =2 .3 .5 =2 = 4

Bài 2.

(

)

a)4 2 x 1− + = ⇒ −2 4 2x− = ⇒ =2 2 x 0

2x 3 2 2 2x 3 2 2

b)5 − −3.5 =5 .2⇒5 − =5 .2 3.5+

2x 3 3

5 − =5 ⇒2x− = ⇒ =3 3 x 3

Bài 3.

a) A là phân số khi n 3 0− ≠ ⇒ ≠n 3

b) Để A là phân số tối giản thì UCLN (n 1, n+ − =3) 1

Hay UCLN

(

n 3− +

)

4; n 3− =

)

Vì 4 2 (2 là ước nguyên tố)

Nên để UCLN

(

n 3− +

)

4; n 3− =

)

1thì n 3− không chia hết cho 2

Suy ra n 3 2k 1− = + (k là số nguyên)
Hay nlà số chẵn.

a) Ta có: A n 1 n 3 4 1 4

n 3 n 3 n 3
+ − +

= = = +
− − −

Với n 3> thì 4 0

n 3− > , Với n 3< thì
4

0
n 3− <

Để A có giá trị lớn nhất thì n 3− nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất.
hay n 3 1 n 4− = ⇒ =

Bài 4.

Do Mlà trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

Ta có: CA=MA+MC (1)

M

A

B

C

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

Ta có B nằm giữa M và C nên CB=CM−MB (2)

Từ (1) và (2) ta có: CA CB MA MC CM MB+ = + + −

CA CB
CA CB 2CM(Do MA MB) MC

2
+
⇒ + = = ⇒ =

Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có:

   0 0 0

MOC=AOC AOM− =120 −60 =60

Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 1MOC
2

= nên OB là tia phân giác MOC

Bài 5.

a) Gọi xlà số xe 12 chỗ ngồi, y là số xe 7 chỗ ngồi

(

x, y∈  *

)

Theo bài ra ta có: 12x+7y=68

Vì 12x 4, 68 4  ⇒7y 4, do 7, 4

( )

= ⇒1 y 4

Hơn nữa x∈  nên * y≤ ⇒ =8 y 4, y=8

Với y 4 12x 7.4 68 x 10(ktm)
3
= ⇒ + = ⇒ =

Với y= ⇒ =8 x 1(tm)

Vậy có 1 xe loại 12 chỗ ngồi, 8 xe loại 7 chỗ ngồi

b) Ta có: 2

(

)

n + + =n 2 n n 1+ +2

Do n n 1

(

)

là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

(

)

n n 1

⇒ + có tận cùng là 0, 2, 6

M

A

C

O

B

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

(

)

n n 1 2

⇒ + + có tận cùng là 2, 4,8khơng chia hết cho 5

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
THANH CHƯƠNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
NĂM 2018-2019

Mơn Tốn 6 
Câu 1. a) Cho A 2 2 2 ... 2 ; B 5 .11. 1 1

11.15 15.19 19.23 51.55 3 2 3
   
= + + + + = −   + 
   

Tính tích A.B

b) Chứng tỏ rằng các số tự nhiên dạng abcabc chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố

Câu 2. Khơng tính giá trị của các biểu thức. Hãy so sánh:

a) 1717

8585và
1313

5151 b)

8 16

9 .5 và 1920

Câu 3.

a) Tìm xbiết: x 3 2x 4− = +

b) Tìm số nguyên nđể phân số M 2n 7
n 5

−
=

− có giá tri là số nguyên

c) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 5 dư 3, a chia cho 7 dư 4

Câu 4.

Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2cm;trên tia Oy lấy hai điểm Mvà
Bsao cho OM=1cm, OB=4cm

a) Chứng tỏ điểm M nằm giữa hai điểm O và B. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

b) Từ O kẻ hai tia Ot, Ozsao cho tOy 130 , zOy= 0 =300. Tính số đo tOz

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

2 2 2 2
a)A ...

11.15 15.19 19.23 51.55
= + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 2
...

2 11 15 51 55 2 11 55 55
   
=  − + + − =  − =

   
5 11 1 5 11 4 55.2
B . . 1 . .

3 2 3 3 2 3 9
−
     

= −   + = −   =
     

2 55.2 4
A.B .

55 9 9
− −
 
⇒ =  =

 

b) abcabc 1001abc 7.11.13abc= = . Vậy nó chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố : 7;11;13

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Câu 2.

1717 17 1 13 13 1313 1717 1313
a)

8585=85= =5 65<51=5151⇒8585<5151

8 16 16 16 16 16 20 8 16 20

b)9 .5 =3 .5 =15 <19 <19 ⇒9 .5 <19

Câu 3.

(

)

(

)

x 3 2x 4 x 3 x 7(ktm)

a) x 3 2x 4 1

3 x 2x 4 x 3 x (tm)

− = + ≥ ⇒ = −




− = + ⇒ −

 − = + < ⇒ =



{

}

2n 7 2n 10 3 3

b)M 2 n 5 U(3) 1; 3
n 5 n 5 n 5

− − +

= = = + ∈ ⇒ − ∈ = ± ±

− − −  ⇒ ∈n

{

2; 4; 6;8

}

c) Ta có: a=5q+3; a=7p+4

Xét a 17+ =5q+20=7p+21⇒ +a 17chia hết cho cả 5 và 7⇒ + ∈a 17 BC 5; 7

( )

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a 17+ =BCNN 5, 7

( )

=35⇒ =a 18

Câu 4.

a) Trên tia Oy có OM<OB(1cm<4cm)nên M nằm giữa O và B

( )

MO MB OB MB OB MO 3cm 1

⇒ + = ⇒ = − =

Vì Ox, Oy đối nhau , A∈Ox, M∈Oynên O nằm giữa A và M
AM AO OM 3cm (2)

⇒ = − =

Từ (1) và (2) suy ra MB MA 3cm= = ⇔Mlà trung điểm của AB
b) Ta có 2 trường hợp

Ot, Oz

+ cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ  0

xy : tOz 100=

Ot, Oz

+ không nằm trên nửa mặt phẳng bờ  0

xy : tOz=160

x

y

t

z

O

A

M

B

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020 
Câu 1. (2đ)

Thay (*) bằng các số thích hợp:
a) 510*; 61*16chia hết cho 3

b) 261*chia hết cho 2 và chia 3 dư 1

Câu 2. (1,5 điểm)

Tính tổng S =1.2 2.3 3.4 ... 99.100+ + + +

Câu 3. (3,5 điểm)

Trên con đường đi qua 3 địa điểm A B C B, , ( nằm giữa A và C), có hai người đi xe máy là

Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ
để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng lúc 9
giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc của Ninh bằng

4vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC.

Câu 4. (2 điểm)

Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là

1, 2, 3,..., 2004

A A A A . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm

1, 2, 3,..., 2004

A A A A ; B. Tính số tam giác tạo thành.

Câu 5. (1 điểm)

Tích của hai phân số là 8 .

15 Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là
56

15. Tìm hai

phân số đó.

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a) Để 510*; 61*16chia hết cho 3 thì 5 1 *+ + chia hết cho 3, từ đó tìm được *=0, 3, 6, 9

b) Để 261*chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1 thì *chẵn và 2 6 1 *+ + + chia 3 dư 1, từ đó tìm

được *=4

Câu 2.

1.2 2.3 3.4 ... 99.100

S= + + + +

(

)

3S = 1.2 2.3 3.4 ... 99.100 .3+ + + +

1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... 99.100.3

= + + + +

(

)

(

)

(

)

1.2.3 2.3. 4 1 3.4. 5 2 .... 99.100. 101 98

= + − + − + + −

1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 .... 98.99.100 99.100.101

= − + − + − − +

Vậy S=99.11.101: 3=33.100.10

Câu 3.

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 8 3− = (giờ)
Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 8 3− = (giờ)

Quãng đường AB là 30km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10km. Vì
vậy lúc 9 giờ Hùng cịn cách Dũng là 20km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách
Hùng 20km.

Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là:

(

)

20 : 50 /
60 = km h

Do vận tốc của Ninh bằng 1

4vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là:

(

)

(

)

50 : 1 4+ .4=40 km h/
 

 

Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40.3 30− =90(km)

Câu 4.

Trên đoạn thẳng AB có các điểm A;A A A1, 2, 3,...,A2004; B do đó, tổng số điểm trên AB là

2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.

Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng cịn lại và các đoạn thẳng
tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.

Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005.2006 4022030= tam giác(nhưng lưu ý là MA kết
hợp với MA1để được 1 tam giác thì MA1cũng kết hợp với MA được tam giác và hai tam

giác này chỉ là 1)

Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 2011015=

Câu 5.

Tích của hai phân số là 8 .

15 Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là
56 8 48

15−15=15đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra phân số thứ hai là:

48 12 4
: 4

15 =15 =5.

Từ đó phân số thứ nhất là: 8 :4 2
15 5 =3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2018-2019 
Bài 1. (3 điểm)

a) Cho 1999 1997

999993 555557

A= − . Chứng minh rằng A chia hết cho 5

b) Chứng tỏ rằng 1 1 1 ... 1 1 7

41+42+43+ +79+80>12

Bài 2. (2,5 điểm)

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1, 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang.
Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 2

3số trang của 1 quyển vở loại 1. Số tang của 4

quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số tran của mỗi quyển vở mỗi
loại.

Bài 3. (2 điểm)

Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
1 2 3 ... n+ + + + =aaa

Bài 4. (2,5 điểm)

a) Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao ?
b) Vậy với n tia chung gốc.Có bao nhiêu góc trong hình vẽ

ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) Để chứng minh 5A ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng

số hạng.

Ta có: 1999

( )

4 499 3 499

3 = 3 .3 =81 .27 nên 1999

3 có tận cùng là 7

( )

499

1997 4 499 1997

7 = 7 .7=2401 .7⇒7 tận cùng là 7

Vậy A có tận cùng là 0 nên 5A

b) Ta thấy 1

41đến
1

80có 40 phân số

Vậy 1 1 1 ... 1 1 1
41+42+43+ +78+79+80

1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1 (1)

41 42 59 60 61 62 79 80

   

= + + + +  + + + + + 

   

Vì 1 1 ... 1
41>42> >60và

1 1 1

... (2)
61>62 > >80

Ta có: 1 1 ... 1 1 1 1 ... 1 1

60 60 60 60 80 80 80 80
 + + + +  + + + + + 

   

   

20 20 1 1 7 (3)

60 80 3 4 12
= + = + =

Từ

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 1 1 1 ... 1 1 1 7

41 42 43 78 79 80 12
⇒ + + + + + + >

Bài 2.

Vì số trang của mỗi quyển vở loại 2 bằng 2

3số trang của 1 quyển vở loại 1

Nên số trang của 3 quyển vở loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1
Mà số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng 3 quyển vở loại 2

Nên số trang của 2 quyển vở loại 1 bằng số trang 4 quyển vở loại 3

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

Do đó số trang 8 quyển vở loại 1: 4.8: 2 16= (quyển loại 3)
Số trang của 9 quyển loại 2 bằng: 9.4 :3 12= (quyển loại 3)

Vậy 1980 trang chính là số trang của 16 12 5 33+ + = (quyển loại 3)
Suy ra:Số trang 1 quyển vở loại 3: 1980 :33 60= (trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2: 60.4 80

3 = (trang)

Số trang 1 quyển vở loại 1: 80.3 120

2 = (trang)

Bài 3.

Từ 1; 2;……;n có n số hạng

Suy ra 1 2 ... .( 1)

n n
n +

+ + + =

Mà theo bài ta có: 1 2 3 ... n aaa+ + + + =

Suy ra

(

)

.111 .3.37

n n

aaa a a

= = = ⇒n n

(

+ =1

)

2.3.37.a

Vì tích n n

(

)

chia hết cho số nguyên tố 37 nên n hoặc n+1chia hết cho 37

Vì số

(

)

n+ n

có 3 chữ số nên 1 74 37

1 37

n
n

n

=

+ < ⇒ 

+ =

Với n=37thì 37.38 703( )

2 = ktm

Với 1 37 36.37 666( )
2

n+ = ⇒ = tm

Vậy n=36,a= ⇒ + + +6 1 2 3 ... 36+ =666

Bài 4.

a) Vì mỗi tia với một tia cịn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 5 tia cịn lai tạo
thành 5 góc. Làm như vậy với 6 tia ta được 5.6góc. Nhưng mỗi góc đã được tính 2 lần , do

đó số góc là 5.6 15

2 = (góc)

b) Từ câu a suy ra tổng quát. Với n tia chung gốc có

(

)

n n−

góc.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2018-2019 
Bài 1. (3 điểm)

a) Tính nhanh: 1.5.6 2.10 12 4.20.24 9.45.54

1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45

A= + + + +

+ + +

b) Chứng minh: Với k∈  ta ln có: * k k

(

)(

k+ − −2

) (

k 1

) (

k k+ =1

)

3k k

(

)

Áp dụng tính tổng: S =1.2 2.3 3.4 ...+ + + +n n

(

)

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

Bài 2. (3 điểm).

a) Chứng minh rằng: nếu

(

ab cd+ +eg

)

 thì 11 abcdeg 11

b) Cho 2 3 60

2 2 2 ... 2

A= + + + + . Chứng minh 3,7,15A

Bài 3. (2 điểm) Chứng minh 12 12 12 ... 12 1
2 +3 +4 + +n <

Bài 4. (2đ)

a) Cho đoạn thẳng AB=8cm.Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC=4cm. Tính độ

dài đoạn thẳng AC

b) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và khơng có
ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng

ĐÁP ÁN
Bài 1.

(

)

(

)

1.5.6. 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9

1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 1.5.6

2
1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 1.3.5. 1 2.2.2 4.4.4 9.9.9 1.3.5

+ + +

+ + + = = =

+ + + + + +

b) Biến đổi:

(

)(

) (

)

(

) (

)

(

)

k k+ k+ − k− k k+ =k k+  k+ − k− = k k+

Áp dụng tính:

( )

3. 1.2 =1.2.3 0.1.2−

( )

3. 2.3 =2.3.4 1.2.3−

( )

3. 3.4 =3.4.5 2.3.4−

...

(

) (

)(

) (

)

3n n+ =1 n n+1 n+ − −2 n 1 n n+1
Cộng lại ta có:

(

)(

)

(

)(

)

3 1 2

n n n

S =n n+ n+ ⇒ =S + +

Bài 2.

a) Tách như sau :

(

) (

)

deg 10000 100 9999 99

abc = ab+ cd+eg= ab+ cd + ab cd+ +ed

Do 9999 11, 99 11  ⇒

(

9999ab+99cd

)

 11
Mà

(

ab cd+ +eg

)

11⇒abcdeg 11
b) Biến đổi:

(

) (

3 4

)

(

59 60

)

2 2 2 2 ... 2 2

A= + + + + + +

(

)

(

)

(

)

2 1 2 2 . 1 2 ... 2 . 1 2

= + + + + + +

(

3 59

)

3. 2 2 ... 2 3
= + + + 

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

(

2 3

) (

4 5 6

)

(

58 59 60

)

2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2

A= + + + + + + + + +

(

)

(

)

(

)

2. 1 2 2 2 . 1 2 2 ... 2 . 1 2 2
= + + + + + + + + +

(

4 58

)

7. 2 2 ... 2 7
= + + + 

(

2 3 4

) (

5 6 7 8

)

(

57 58 59 60

)

2 2 2 2 2 2 2 2 ... 2 2 2 2

A= + + + + + + + + + + + +

(

2 3

)

(

2 3

)

(

2 3

)

2. 1 2 2 2 2 . 1 2 2 2 ... 2 . 1 2 2 2
= + + + + + + + + + + + +

(

5 57

)

15. 2 2 ... 2 15
= + + + 

Bài 3.

Ta có: 2

(

)

1 1 1 1

. 1 1

n < n n− = n− −n

Áp dụng : 12 1 1 1; 2 1 1;...; 12 1 1
2 < −2 3 < −2 3 n <n−1−n

2 2 2 2

1 1 1 1 1
... 1 1
2 3 4 n n

⇒ + + + + < − <

Bài 4.

a) Xét hai trường hợp:

C

B

A

*TH1 : C thuộc tia đối của tia BA

Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau ⇒Bnằm giữa A và C

AC AB BC cm

⇒ = + =

*TH2: C thuộc tia BA

C

B

A

C nằm giữa A và B (vì BA > BC) ⇒ AC+BC =BA⇒ AC=AB−BC=4cm

b) Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm
- Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 10100= giao điểm

- Do mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm: 10100 : 2 5050= giao điểm.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020 
Câu 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý:

1) 636363.37 373737.63

1 2 3 ... 2017

A= −

+ + + +

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

12 12 12 4 4 4

12 4

6 19 37 53 17 19 2006 124242423

1 . : .

1 3 3 5 5 5

41 237373735

3 5

3 37 53 17 19 2006

B
 + − − + + + 
 
=  
 + − − + + + 
 

Câu 2. Tìm các cặp số

( )

a b, sao cho 4 5 45a b

Câu 3. Cho 1 2 3 2006

3 3 3 ... 3

A= + + + +

a) Thu gọn A

b) Tìm x để 2 3 3x

A+ =

Câu 4. So sánh: 201620162017 1

2016 1

A= +

+ và

2015

2016

2016 1

B= +

Câu 5. Một học sinh đọc quyển sách trong ba ngày. Ngày thứ nhất đọc được 2

5số trang

sách; ngày thứ 2 đọc được 3

5số trang còn lại; ngày thứ ba đọc được 80% số trang sách còn

lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang ?

ĐÁP ÁN
Câu 1.

1) 636363.37 373737.63 63. 10101.37

(

)

37. 10101.63

(

)

1 2 3 ... 2017 1 2 3 .... 2017

A= − = − =

+ + + + + + + +

12 12 12 4 4 4

12 4

6 19 37 53 17 19 2006 124242423

1 . : .

1 3 3 5 5 5

41 237373735

3 5

3 37 53 17 19 2006

B
 + − − + + + 
 
=  
 + − − + + + 
 

1 1 1 1 1 1

12. 1 4. 1

47 19 37 53 17 19 2006 41.3.1010101

. : .

1 1 1 1 1 1

41 47.5.1010101

3. 1 5. 1

19 37 53 17 19 2006

  + − −   + + + 
   
    
 
=
   

 + − − + + + 
   
    
 

47 5 41.3
. 4. . 3
41 4 47.3

 

=   =
 

Câu 2.

0 9 9 0

b= ⇒ +a ⇒ =a

5 14 9 4

b= ⇒ +a ⇒ =a

Câu 3.

a) 1 2 3 2006 2 3 4 2007

3 3 3 ... 3 3 3 3 3 ... 3

A= + + + + ⇒ A= + + + +

2007

2007 3 3

3 3 3

A A A −

⇒ − = − ⇒ =

b) Ta có: 32007 3 2007 2007

2. 3 3 3 3 3 3 3 3 2007

x x x

x

−

+ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Câu 4.

(

)

(

)

2015

2016 2016

2017 2017 2016

2016. 2016 1

2016 1 2016 1 2015

2016 1 2016 1 2015 2016 2016 1

A= + < + + = + = ⇒ <B A B

+ + + +

Câu 5.

Gọi x là số trang sách, x∈ 
Ngày 1 đọc được 2

5xtrang

Số trang còn lại: 2 3

5 5

x− x= x(trang)

Ngày 2 đọc được: 3 .3 9

5x 5 =25x(trang)

Số trang còn lại là:3 9 6

5x−25x= 25xtrang

Ngày thứ ba đọc được: 6 .80% 30 24 30

25 125

x
x + = +

Hay: 2 9 24 30 625

5x+25x+125x+ = ⇒ =x x (trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MÔN TỐN 6

Câu 1.

a) Tính tổng 27 4500 135 550.2

2 4 6 .... 14 16 18

S = + + +

+ + + + + +

b) So sánh 200620062007 1

2007 1

A= +

+ và

2005

2006

2006 1

B= +

Câu 2.

a) Chứng minh rằng: 2 3 99 100

2 2 2 ... 2 2

C= + + + + + chia hết cho 31

b) Tính tổng C. Tìm x để 2 1

2 x− − =2 C

Câu 3.

Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao
nhiêu.

Câu 4.

Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 đến 10 điểm trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10
trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên,5 bạn được 4 điểm 10, khơng có ai được trên 4
điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 ?

Câu 5.

Cho 25 điểm trong đó khơng có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ 1 đường thẳng.
Hỏi tất cả có bao nhiêu đường thẳng ?

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu ?

ĐÁP ÁN

Câu 1.

(

)

270. 450 550

(

)

270.450 270.550

) 3000

2 18 .9 90

a S = + = + =

b) Ta có nếu a 1 a a n

(

n *

)

b b b n

+
< ⇒ < ∈

+ 

2006 2006 2006

2007 2007 2007

2006 1 2006 1 2005 2006 2006

2006 1 2006 2005 1 2006 2006

A= + < + + = +

+ + + +

(

)

(

)

2005 2005

2006
2006

2006. 2006 1 2006 1

2006 1

2006. 2006 1 B

+ +

= = =

+
+

Vậy A<B

Câu 2.

2 3 99 100

) 2 2 2 ... 2 2

a C= + + + + +

(

2 3 4

)

(

2 3 4

)

(

2 3 4

)

2. 1 2 2 2 2 2 . 1 2 2 2 2 ... 2 . 1 2 2 2 2
= + + + + + + + + + + + + + + +

(

6 96

)

31. 2 2 ... 2 31
= + + + 

2 3 99 100 2 3 99 100 101

) 2 2 2 .... 2 2 2 2 2 .... 2 2 2

b C = + + + + + ⇒ C= + + + + +

101 101 2 1

2 2 2 2 2 x 2 1 101 51

C= C− =C − ⇒ = − ⇒ x− = ⇒ =x

Câu 3.

Gọi số cần tìm A

1 2 3

4 3 17 9 19 13

A= q + = q + = q +

(

)

(

)

(

)

25 4 7 17 2 19 2

A q q q

⇒ + = + = + = +

25 4,17,19 25 1292

A A k

⇒ +  ⇒ + =

(

)

1292 25 1292 1 1267

A k k

⇒ = − = + +

Nên khi chia A cho 1292 ta được dư 1267.

Câu 4.

Tổng số điểm 10 của lớp 6A là:

(

42 39 .1−

) (

+ 39 14 .2−

)

(

14 5 .3 5.4 100−

)

+ = (điểm 10)

Câu 5.

Có 24.25 300

2 = đường thẳng. Với n điểm có

(

)

n n−

đường thẳng.

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2018 - 2019 
Bài 1. Tính các giá trị của biểu thức:

) 1 2 3 4 .... 100

a A= + + + + +

1 3 3 4 4 4

4 3 4

1 3 7 53 17 19 2003

) 1 . :

1 3 3 5 5 5

3 5

3 7 53 17 19 2003

b B

 + − − 

+ + +

 

 

= −

+ − − + + +

1 1 1 1 1
) ....

1.2 2.3 3.4 4.5 99.100

c C= + + + + +

Bài 2. So sánh các biểu thức:

a) 200

3 và 2300

b) 121212 2 404

171717 17 1717

A= + − với 10

B=

Bài 3. Cho 1 số có 4 chữ số *26*. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4

chữ số khác nhau chia hết cho 4 số 2;3;5;9.

Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! 2! 3! ...+ + + +n!là số chính phương.

Bài 5. Hai xe ơ tơ khởi hành từ hai địa điểm A, B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi

hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng
đường AB. Xe thứ nhất cần 2 giờ, xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc
mấy giờ

Bài 6. Cho góc xOycó số đo bằng 120 .0 Điểm A nằm trong góc xOysao cho: AOy=75 .0

Điểm B nằm ngồi góc xOymà  0

135 .

BOx= Hỏi ba điểm A, O, B có thẳng hàng khơng ? Vì

sao ?

ĐÁP ÁN
Câu 1.

a) Tổng S = + + +1 2 3 ... 100+ có 100 số hạng

(

1 100

) (

2 99

) (

3 98

)

....

(

50 51

)

S = + + + + + + + + có 50 cặp

50.10 5050

= =

1 3 3 4 4 4

4 3 4

1 3 7 53 17 19 2003

1 . :

1 3 3 5 5 5

5 3 5

3 7 53 17 19 2003

A

 + − − 

+ + +

 

 

= −

+ − − + + +

1 1 1

4 1

6 4 17 19 2003 6 4 4

. : . : 6

1 1 1

5 1 5 1 5

5. 1

17 19 2003

A

 + + + 

 

 

= − = − = −

 + + + 

 

 

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

c) 1 1 1 1 ... 1 1 99
2 2 3 99 100 100

C

⇒ = − + − + + − =

Câu 2.

a) Ta có: 200

( )

2 100 100 100

( )

3 100 300 200 300

3 = 3 =9 >8 = 2 =2 ⇒3 >2

b) 121212 2 404 12 2 4 10

171717 17 1717 17 17 17 17

A= + − = + − = ⇒ =A B

Câu 3.

Để số có 4 chữ số *26*, 4 chữ số khác nhau mà chia hết cho 2,3,5,9 thì tận cùng là 0 (vì
chia hết cho 2 và 5)

Để *260 9 thì

(

* 2 6 0 9+ + +

)

 ⇒ =* 1
Do đó số đã cho là 1260.

Câu 4.

Xét : 2

1 1! 1

n= ⇒ =

2 1! 2! 3

n= ⇒ + =

3 1! 2! 3! 9 3

n= ⇒ + + = =

4 1! 2! 3! 4! 33

n= ⇒ + + + =

Với n>4thì ! 1.2.3...n = nlà một số chẵn. Nên 1! 2! ...+ + + =n! 33cộng với một số chẵn
bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên khong là chính phương

Vậy n =1, n = 3 thì thỏa đề

Câu 5.

1 giờ xe thứ nhất đi được 1

2quãng đường AB

1 giờ xe thứ hai đi được 1

3quãng đường AB

Sau 10phút 1

= giờ:xe thứ nhất đi được: 1 1. 1

6 2=12quãng đường AB

Quãng đường còn lại: 1 1 11
12 12

− = (quãng đường AB)

Thời gian 2 xe cùng đi quãng đường còn lại: 11 5: 11

12 6 =10giờ =1giờ 6 phút

Hai xe gặp nhau lúc: 7 giờ 10 phút + 1 giờ 6 phút 8= giờ 16 phút

Câu 6.

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

y
x

y

x

O

O
A

A

B

B'

Vì  0  0

120 , 75 ,

xOy= AOy= điểm A nằm trong góc xOynên tia OA nằm giữa hai tia Ox Oy,

Ta có:    0 0 0

120 75 45

xOA=xOy−AOy= − =

Điểm B có thể ở 2 vị trí: B và B’

+Tại B thì tia OB nằm ngồi hai tia Ox OA, nên  BOx+xOA=1350+450 =180 .0 Do đó

   0

180

BOA=BOx+xOA= ⇒3 điểm A, O, B thẳng hàng.

+Còn tại B’ thì:  0 0    0 0 0

' 135 180 ' ' 135 45 90 .

xOB = < ⇒AOB =xOB −xOA= − = Nên ba điểm A, O,

B không thẳng hàng.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

Bài 1. (5 điểm) Tìm x :

2 2 3 2 2

)5x 125 )3 x 81 )5 x 2.5 5 .3

a = b = c − − =

Bài 2. (1,5 đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng:

5 5 5

a < ⇔ − < <a

Bài 3. (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:

a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương 
b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm

c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm ?

Bài 4. (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh

rằng tổng của 31 số đó là dương.

Bài 5. (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tùy ý sau đó đem cộng
với mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng
nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10

Bài 6. (1,5 đ)

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

Cho tia .OxTrên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy Oz, sao cho

 ,

xOy xOzbằng 0

120 .Chứng minh rằng:

a)   xOy=xOz=yOz

b) Tia đối của mỗi tia Ox Oy Oz, , là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại.

ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) 3

5x 125 5x 5 3

x

= ⇒ = ⇒ =

b) 2 2 4

3 x =81⇒3 x=3 ⇒2x= ⇒ =4 x 2

c) 2 3 2 2 2 3 2 2

5 x− −2.5 =5 .3⇒5 x− =5 .3 2.5+

2 3 3

5 x− 5 2x 3 3 x 3
⇒ = ⇒ − = ⇒ =

Bài 2.

Vì a là một số tự nhiên với mọi a ∈ nên từ a <5ta ⇒ a =

{

0,1, 2, 3, 4

}

Nghĩa là a=

{

0;1; 1; 2; 2;3; 3; 4; 4− − − −

}

. Biểu diễn trên trục số các số này đều lớn hơn -5 và

nhỏ hơn 5 do đó 5− < <a 5

Bài 3.

a) Nếu a dương thì a>0số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương
b) Nếu a âm thì a < 0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.

Bài 4.

Trong các số đã cho có ít nhất 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5
số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết

Tách riêng số dương đó cịn 30 số chia là 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm
đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều
là số dương.

Bài 5.

Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0,1, 2...9nên ln tìm

được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận
cùng là 0 và số là chia hết cho 10.

Bài 6.

Ta có  0  0

' 60 , ' 60

x Oy= x Oz= và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy Oz, nên   yOz= yOx'+x Oz' =1200.

Vậy   xOy= yOz=zOx

Do tia Ox'nằm giữa hai tia Oy Oz, và  x Oy' =x Oz' nên Ox'là tia phân giác của góc hợp bởi
hai tia Oy Oz,

Tương tự tia Oy'(tia đối của tia Oy)và tia Oz'(tia đối của tia Oz) là phân giác của  xOz xOy,

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

PHỊNG GD ĐT THANH OAI 
TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA

Đề chính thức

ĐỀ THI OLYMPIC 
MƠN TỐN 6 
Năm học 2018-2019 
Bài 1.

a) Chứng tỏ 4x+3ychia hết cho 7 khi 2x+5ychia hết cho 7

b) Tìm các số tự nhiên có bốn chữ số sao cho khi chia nó cho 130,cho 150được các số dư

lần lượt là 88 và 108

Bài 2.

a) Tính 7777 77 7777 77 .123498766

8585 85 16362 162 987661234

A= − + − 

 

b) Tìm phân số lớn nhất, khi chia các phân số 24 18;

7 11cho nó ta đều được các thương là số

nguyên.

Bài 3.

Cho biết 1 1 ... 1 .

101 102 130

S= + + + Chứng minh rằng 1 91

4< <S 330

Bài 4.

Tổng bình phương của ba số tự nhiên là 2596.Biết rằng tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai
là 2;

3 giữa số thứ hai và số thứ ba là
5

6 Tìm ba số đó .

Bài 5.

Cho tia Oz nằm trong góc vng xOy.Vẽ tia Ot sao cho Ox là tia phân giác của .tOz Vẽ tia
Omsao cho tia Oylà phân giác của zOm

a) Chứng minh rằng tia Om và tia Ot là hai tia đối nhau 
b) Gọi Ox'là tia đối của tia Ox,biết rằng x Om' =30 .0 Tính tOz

c) Vẽ thêm 2014 tia phân biệt gốc O (không trùng với các tia Ox Oz Oy Om Ox, , , , 'và Ot).Hỏi

trong hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc ?

ĐÁP ÁN
Bài 1.

a) Ta có:

(

)

4x+3y7⇒4 4x+3y 7⇒16x+12y7⇒14x+7y+2x+5y 7
Mà: 14x+7y7⇒2x+5y 7

Vậy 4x+  khi 2 5 73y 7 x+ y

b) Gọi số phải tìm là a

Ta có: a+42chia hết cho 130;150⇒

(

a+42

)

∈BC

(

130;150

)

{

1908;3858;5808; 7758;9708

}

a

⇒ ∈

Bài 2.

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

a) Ta có:

7777 7777 :101 77
8585 =8585 :101=85

7777 7777 :101 77
16362=16362 :101=162

75 75 77 77 123498766
. 0
85 85 162 162 987661234

A  

⇒ = − + −  =

 

b) Từ 3 1 3 1 2 1

(

)

9 18 9 18 18

x x x

x y

y y

−

− = ⇒ = − = ∈ 

Suy ra : y

(

2x− =1

)

54⇒ ∈y U(54)=

{

1; 2;3; 6;9;18; 27;54

}

Vì 54là số chẵn mà 2 1x− là số lẻ nên ylà ước chẵn của 54

Vậy y∈

{

2; 6;18;54

}

Lập bảng suy ra

( ) (

x y; ∈

{

14; 2 ; 5; 6 ; 2;18 ; 1;54

) ( ) (

) (

)

}

Bài 3.

*Chứng minh 91

330

S <

1 1 1 1 1 1 1
.... .... ...
101 102 110 111 120 121 130

S = + + +   + + +   + + + 

     

1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
100 100 100 110 110 120 120

S< + + +   + + +   + + + 

     

1 1 1 1 1 1 181 182 91
.10 .10 .10

100 110 120 10 11 12 660 660 330

S< + + = + + = < <

(1)
330

S

⇒ <

*Chứng minh 1

4<S

1 1 1 1 1 1

... .... ....
110 110 120 120 130 130

S > + +   + + +   + + + 

     
1 1 1 1 1 1

.10 .10 .10

110 120 130 11 12 13

S > + + = + +

431 429 1

(2)
1716 1716 4

S > > ⇒ >S

Từ (1) và (2) 1 91

4 S 330
⇒ < <

Bài 4.

Gọi a b c, , là ba số tự nhiên phải tìm

Theo đề bài ta có: 2; 5

( )

1
3 6

a b

b = c = và

2 2 2

2596

a +b +c = (2)

Từ (1) suy ra : 2 ; 6

3 5

a= b c= b, thay vào (2) ta có:

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

2 2 2 2

4 36

2596 900
9b +b +25b = ⇒b =

30; 20; 36

b a c

⇒ = = =

Vậy 3 số phải tìm là 30; 20;36

Bài 5.

x
z
y

O

a)Tia Oz nằm trong góc xOynên:   xOz+zOy=xOy=900
Theo giả thiết ta có các tia phân giác nên  1 

xOz= tOz; 1

zOy= zOm

Từ đó suy ra : 1 1 0   0

90 180
2tOz+2zOm= ⇔tOz+zOm=

⇒  tOz zOm; là hai góc kề nhau

b) Chứng minh   0

' 30

tOz=mOx = (cùng kề bù với )mOx

  0  0

30 60

tOx xOz tOz

⇒ = = ⇒ =

c) Giả sử vẽ thêm n tia phân biệt gốc O không trùng với các tia Ox Oy Oz Ot, , , Om Ox, '.Tất cả

trong hình vẽ có n+6tia phân biệt

Cứ 1 tia trong n+6tia đó tạo với n+5thi cịn lai thành n+5góc

Có n+6tia tạo thành

(

n+5

)(

n+6

)

góc, nhưng như thế mỗi góc được tính 2 lần

Vậy có tất cả là

(

)(

)

n+ n+

góc

Thay 2014= ta được số góc là:

(

2014 6 2014 5 : 2+

)(

)

=2 039190(góc)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2018-2019

Bài 1. Thực hiện so sánh:

a) 20132013

20142014

A= với 131313

141414

B=

b) 9 10

2013 2013

C= + với D=201410

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Bài 2.

a) Cho 2 3 99 100

1 4 4 4 ... 4 ; 4

A= + + + + + B= . Chứng minh rằng

B
A<

b) Tìm các số nguyên x y, sao cho

(

x+1

)(

xy− =1

)

c) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 15;18; 25thì được các

số dư lần lượt là 5;8;15

Bài 3. Thực hiện tính:

a) 1 1

(

1 2

) (

1 1 2 3

)

... 1 . 1 2 .... 2013

(

)

2 3 2013

A= + + + + + + + + + +

b) 1 3 2 4 3 5 4 6 .... 2011 2013 2012 2014 2013.2014
1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014

B= − + − + − + − + + − + − −

Bài 4.

Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h và đến B lúc 12h. Một xe con khởi hành từ B lúc 7 giờ
rưỡi và đến A lúc 11 giờ rưỡi

a) Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ

b) Biết vận tốc xe con hơn xe tải là 10km h/ . Tính quãng đường AB

Bài 5.

Cho đoạn thẳng AB.Điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M N, theo thứ tự là trung điểm

của OA OB,

a) Trong 3 điểm O M N, , điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại ? Vì sao ?

b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O

Bài 6 Cho 2011 2012 2013 2014

32 10 10 10 10

M = + + + +

a) Chứng minh rằng: M 8
b) Tìm số dư khi chia M cho 24

ĐÁP ÁN

Bài 1.

2013.10001 2013 13.10101 13
;

2014.10001 2014 14.10101 14

A= = B= =

2013 1 13 1
1 1 ;1 1

2014 2014 14 14

A B

− = − = − = − =

Do 1− < − ⇒ >A 1 B A B

b) 9

(

)

2013 . 1 2013 2013 .2014

C= + =

2014 .2014

D=

Vì 2013 2014< ⇒ <C D

Bài 3.

a)1 2 3 ....

(

)

n n

n +

+ + + + =

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

1 2.3 1 3.4 1 2013.2014 3 4 2014
1 . . ... . 1 ...

2 2 3 2 2013 2 2 2 2

A

⇒ = + + + + = + + + +

(

)

1 1 2 3 2014 1

... . 1 2 3 ... 2014

2 2 2 2 2 2

A+ = + + + + = + + + +

(

)

1 1

. 1 2 3 ... 2014 1014552

2 2

A= + + + + − =

b) 2 1 1 .... 1 1 1 ... 1 1 1
1.3 3.5 2011.2013 2.4 4.6 2012.2014 2013 2014

B= −  + + + + + + + − −

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

; ;...;

1.3 2 1 3 3.5 2 3 5 2011.2013 2 2011 2013

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

; ;...;

2.4 2 2 4 4.6 2 4 6 2012.2014 2 2012 2014

Thay

 =  −  =  −  =  − 

     

      



     

 =  −  =  −  =  − 

      



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... ...

3 3 5 2011 2013 2 4 2012 2014 2013 2014

B  

⇒ = − − + − + + − + − + + − − −

 

3
2

B

⇒ = −

Bài 4.

a) Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước

Thời gian xe tải đi từ A đến B là 5h, xe con đi từ B đến A là 4h
Trong 1h hai xe gần nhau được: 1 1 9

( )

5+ =4 20 AB

Xe con khởi hành sau xe tải: 7 30 7 30 1

h ph− h= ph= h

Khi xe con khởi hành thì hai xe cách nhau: 1 1 1. 9
5 2 10

− = (AB)

Hai xe gặp nhau sau: 9 : 9 2
10 20 = h

Hai xe gặp nhau lúc: 7 30h ph+2h=9 30h ph

b) 10km chính là: 1 1 1 ( )
4− =5 20 AB

Vậy quãng đường AB dài: 10 : 1 200( )
20 = km

Bài 5.

N

M

A

B

O

a) O thuộc tia đối của tia AB O⇒ nằm giữa hai điểm A và B OA OB⇒ <

M Ntheo thứ tự là trung điểm của OA OB, nên ;

2 2

OA OB
OM = ON =

CóOA OB< ⇒OM <ON⇒Mnằm giữa hai điểm O và N

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

b) Từ (a) được

2 2 2

OB OA AB
MO+MN =ON⇒MN =ON−OM ⇒MN = − =

Độ dài đoạn thẳng AB cố định nên MN cố định không phụ thuộc vào O.

Bài 6.

(

)

2011 2 3 2011

32 10 1 10 10 10 32 10 .1111

M = + + + + = +

Có 3 2011 2011

10 8 ⇒10 8⇒32 10+ .1111 8

1111000....0032

A= có tổng các chữ số là 9 nên chia hết cho 3

( )

3,8 =1. Vậy Mchia 24 dư 0

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
MƠN TỐN 6

Câu 1.

a) Tính: 1 1 1 1 1 1

10 40 88 154 238 340

A= + + + + +

b) So sánh 10 9

2004 +2004 và 10

2005

Câu 2.

a) Tìm các số nguyên x sao cho 4x−3x−2

a) Tìm các số tự nhiên a b, thỏa mãn 5 7 29
6 5 28

a b
a b

+ =

+ và

( )

a b, =1

Câu 3.

Số học sinh của một trường học xếp hàng, mỗi hàng có 20 người hoặc 25 người hoặc 30
người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người đều vừa đủ. Tính số học sinh của
trường đó, biết số học sinh của trường chưa đến 1000.

Câu 4.

Cho 2 góc xOy xOz, , Om là tia phân giác của yOz. Tính xOmtrong các trường hợp sau:

a) Góc  0  0

100 ; 60

xOy= xOz=

b) xOy=α;xOz=β α β

(

)

Câu 5.

Chứng minh rằng A=10n+18n−1chia hết cho 27 (n là số tự nhiên)

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) 3 3 3 3 ... 3
2.5 5.8 8.11 17.20

A= + + + +

1 1 1 1 1 1
...

2 5 5 8 17 20
= − + − + + −

1 1 9 3
2 20 20 A 20
= − = ⇒ =

b) 10 9 9

(

)

2004 +2004 =2004 . 2004 1+ =2004 .2005

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

10 9

2005 =2005 .2005

9 9 10 9 10

2004 .2005 2005 .2005 2004 2004 2005

Do < ⇒ + <

Câu 2.

a) Ta có: 4x− =3 4x− + =8 5 4

(

x− +2

)

Vì 4

(

x−2

)

x− ⇒2 4x−3x− ⇔2 5x−2

{

}

{

}

2 (5) 1; 5 1; 3;3; 7

x U x

⇒ − ∈ = ± ± ⇒ ∈ −

b) 140 196a+ b=174a+145b⇒2a=3b

( )

*
Vì

( )

a b, =1; 2, 3

( )

=1nên (*) xảy ra khi 3a

Và b chia hết cho 2, ⇒ =a 3 ,p b=2q p q

(

, ∈ 

)

Thay vào (*) ta có: 6p=6q⇒ =p q

Vì

( )

a b, = ⇒1

(

3 ; 2p q

)

= ⇒ = ⇒ = =1 p q p q 1
Vậy a=3;b=2

Câu 3.

Gọi số học sinh của trường là x

Theo đề ta suy ra x−15chia hết cho 20; 25;30⇒ − ∈x 15 BC

(

20, 25, 30

)

(20, 25, 30) 300

BCNN = và x<1000⇒ ∈x

{

315; 615;915

}

Vì 41x ⇒ =x 615. Vậy số học sinh của trường là 615 em

Câu 4.

y

O

m

z

x

y

O

z

m

x

a) Xét 2 trường hợp:

- Nếu hai tia Oy, Oz thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ Ox thì:

 0 0 0  0  0

100 60 40 20 , 80

yOz= − = ⇒zOm= xOm=

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì:

 0 0 0  0  0

100 60 160 80 , 20

yOz= + = ⇒zOm= xOm=

b) Xét 2 trường hợp

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là Ox thì ta tính được: 


xOm=α β+

- Nếu hai tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ Ox thì:

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>


2

xOm=α β− nếu α β+ ≤1800

 0

180
2

xOm= −α β− nếu α β+ >1800

Câu 5.

9 1

10n 1 9 27 9999...9 9 27 9. 1111...111 27

n chu so n chu so

A= − − n+ n= − n+ n=  −n+ n

 

 

Vì n là tổng các chữ số của

111...1

n chu so

 nên

1111...11

n chu so

n

 

−

 

 chia hết cho 3
Vậy 27A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2016-2017

Câu 1. Cho 2 3 2006

5 5 5 ... 5

S = + + + +

a) Tính S

b) Chứng minh S chia hết cho 126

Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5

dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11

Câu 3. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số 3 2

n
A

n

+
=

− có giá trị là số nguyên

Câu 4. Cho 3 số 18, 24, 72

a) Tìm tập hợp tất cả các ước chung của 3 số đó
b) Tìm BCNN của 3 số đó

Câu 5. Trên tia Ox cho 4 điểm A B C D, , , .Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D;
5 , 2 , 4

OA= cm OD= cm BC= cmvà độ dài AC gấp đơi độ dài BD. Tìm độ dài đoạn BD AC,

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Ta có:

2 3 2007

5S =5 + +5 ... 5+

2007

2007 5 5

5 5 5

S S S −

⇒ − = − ⇒ =

(

) (

2 5

) (

3 6

)

(

2003 2006

)

5 5 5 5 5 5 ... 5 5

S= + + + + + + + +

Biến đổi được:

(

2 3 2003

)

126. 5 5 5 ... 5 126

S = + + + + 

Câu 2. Gọi số phải tìm là x

Theo bài ra ta có: x+2chia hết cho 3,4, 5,6⇒ +x 2là BC(3; 4;5; 6)
(3, 4, 5, 6) 60 2 60 60 2

BCNN = ⇒ + =x n⇒ =x n−

Mặt khác 11,x lần lượt cho n=1, 2, 3, 4....⇒ =n 7(tm)⇒ =x 418

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 3.

Ta có: 3 2 3 3 5 3 5

1 1 1

n n
A

n n n

+ − +

= = = +
− − −

Để A có giá trị nguyên 5

(

)

(5)

{

1; 5

}

{

2; 0; 6; 4

}

1 n U n

n

⇔ ∈ ⇒ − ∈ = ± ± ⇒ ∈ −
− 

Câu 4.

a) Tìm được Ư(18); Ư(24); Ư(72)

{

}

(18, 24, 72) 1; 2;3; 6

UC

⇒ =

b) Ta có: 72∈B(18); 72∈B(24)⇒BCNN(18; 24; 72)=72

Câu 5.

x

B

C

D

A

O

Vì A nằm giữa B và C nên BA+AC=BC⇒BA+AC=4 (1)

Lập luận ⇒Bnằm giữa A và D

Theo giả thiết OD OA< ⇒Dnằm giữa O và A

Mà OD+DA=OA⇒ +2 DA= ⇒5 DA=3cm

Ta có: DB+BA=DA⇒DB+BA=3 (2)

( ) ( )

1 − 2 :AC−DB=1(3)

Theo đề ra AC =2BDthay vào (3) 2⇒ BD−BD= ⇒1 BD=1cm⇒ AC=2BD=2cm

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO 
VIỆT YÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019-2020

MƠN THI: Tốn 6

Câu 1. (4 điểm) Tính:

a) A= + − − + + − − + +1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 2013 2014 2015 2016+ + − −
b) 2.4.10 4.6.8 14.16.20

3.6.15 6.9.12 21.24.30

B= + +

+ +

Câu 2. (6 điểm)

a) So sánh 20142015

10 2016

A= +

+ và

2015

2016

10 2016

B= +

b) Tìm x biết: 1 1 1 ... 1 . 119

1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 x 720
 + + + +  =

 

 

c) Chứng minh rằng: nếu pvà p2+2là các số nguyên tố thì p3+2cũng là số nguyên tố

Câu 3. (4 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để phân số 2 1

n
n

+ là phân số rút gọn được

b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS,tổng số học sinh giỏi của ba lớp
6 , 6 , 6A B Clà 90 em. Biết rằng 2

5số học sinh giỏi của lớp 6A bằng
1

3số học sinh giỏi của lớp

6B và bằng 1

2số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp.

Câu 4. (4 điểm)

Cho tam giác ABC có  0

60 , 6 .

ACB= AB= cm Trên cạnh AB lấy điểm D(D khác A B sao, ), cho

AD= cm

a) Tính độ dài đoạn thẳng BD

b) Tính số đo của DCBbiết ACD=200

c) Dựng tia Cx sao cho  0

90 .

DCx= Tính ACx

d) Trên cạnh AC lấy điểm E(E khác A C, ). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt

nhau.

Câu 5. (2 điểm) Tìm bộ ba số nguyên dương a b c, , sao cho 1 1 1 4
5

a+ + =b c

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) A= + − − + + − − + + +1 2 3 4 5 6 7 8 9 .... 2013 2014 2015 2016+ − −
Tính được số số hạng của A là:

(

2016 1 :1 1−

)

+ =2016(số hạng)
Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào 1 nhóm:

(

1 2 3 4

) (

5 6 7 8

)

....

(

2013 2014 2015 2016

)

A= + − − + + − − + + + − −

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

( )

504

4 4 ... 4 4.504 2016

co so

= − + − + + − = − = −


Vậy A= −2016

(

)

(

)

8. 1.2.5 2.3.4 7.8.10
2.4.10 4.6.8 14.16.20 8
)

3.6.5 6.9.12 21.24.30 27. 1.2.5 2.3.4 7.8.10 27

b B= + + = + + =

+ + + +

Vậy 8

B=

Câu 2.

a) Ta có:

(

) (

)

(

) (

)

2014 2016

2014

2015 2015 2016

10 2016 . 10 2016

10 2016

10 2016 10 2016 . 10 2016

A= + = + +

+ + +

(

(

) (

)

)

(

) (

)

4030 2014 2016 2 4030 2014 2

2015 2016 2015 2016

10 2016. 10 10 2016 10 2016.10 .101 2016

(1)

10 2016 . 10 2016 10 2016 . 10 2016

+ + + + +

= =

+ + + +

Lại có

(

) (

)

(

) (

)

2015 2015

2015

2016 2016 2015

10 2016 . 10 2016

10 2016

10 2016 10 2016 . 10 2016

B= + = + +

+ + +

(

)(

) (

)(

)

4030 2015 2 4030 2014 2

2015 2016 2015 2016

10 2.2016.10 2016 10 20.2016.10 2016

(2)

10 2016 10 2016 10 2016 10 2016

+ + + +

= =

+ + + +

Từ (1) và (2) ⇒ >A B

b)Ta có:

1 1 1 1
...

1.2.3.4+2.3.4.5+3.4.5.6+ +7.8.9.10

1 1 1 1 1 1 1
. ....

3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 7.8.9 8.9.10

 

=  − + − + + − 

 

1 1 1 1 119
. .
3 6 720 3 720

 
=  − =

 

Nên từ đề suy ra : 1 119. . 119 3
3 720 x=720⇒ =x

Vậy x=3.

c)Ta nhận xét rằng với mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia cho 3 đều có dạng p=3k+1

hoặc p=3k+2

(

k∈  *

)

Với p=3k+1thì p2+ =2 9k2+6k+3chia hết cho 3
Với p=3k+2thì p2+ =2 9k2−6k+6chia hết cho 3

Vì p nguyên tố nên p≥2, khi đó trong cả 2 trường hợp trên thì p2+2đền lớn hơn 3 và
chia hết cho 3. Tức là 2

p + là hợp số

p

⇒ + chỉ là số nguyên tố khi p=3(khi đó p2+ =2 11là số nguyên tố)

2 27 2 29

p

⇒ + = + = là số nguyên tố.

Vậy nếu p và 2

p + là các số nguyên tố thì p3+2cũng là số nguyên tố

Câu 3.

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

a) Gọi d là UCLN

(

2n+1,n+2

)(

d∈  *

)

Ta có: 2n+1d n, +2d ⇒

(

2n+4

) (

− 2n+1

)

d⇒3d

Vì d∈  nên * d∈

{ }

1;3 .Để phân số 2 1

n
n

+ rút gọn được thì d=3

(

)

2 3 3 2 *

n k n k k

⇒ + = ⇒ = − ∈ 

Vậy với n=3k−2

(

k∈  thì phân số *

)

2 1

n
n

+ là phân số rút gọn được.

b) Số học sinh giỏi lớp 6B bằng:2 1: 6

5 3=5(số học sinh giỏi 6A)

Số học sinh giỏi lớp 6C bằng:2 1: 4

5 2=5(số học sinh giỏi lớp 6A)

Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng: 1 6 4 3
5 5

+ + = (số học sinh giỏi lớp 6A)
Vậy số HSG lớp 6A: 90 :3 30= (học sinh)

Của lớp 6B là 36 học sinh, 6C là 24 học sinh

Câu 4.

x

A

C

B

D

E

x

A

C

B

D

E

Trường hợp 1 Trường hợp 2

a) D nằm giữa A và B suy ra

AD

+

BD

=

AB

⇒

BD

= − =

6

2

4 cm

b) Tia CD nằm giữa hai tia

  



,

40 CA CB

⇒

ACD

+

DCB

=

ACB

⇒

DCB

=

c) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Hai tia

CD

và

Cx

nằm về một phía so với đường thẳng CB

Tính được góc



90

70 ACx

=

−

ACD

=

- Trường hợp 2: Hai tia

CD Cx

,

nằm về hai phía so với đường thẳng CB

Tính được :



90

110 ACx

=

+

ACD

=

Xét đường thẳng CD

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ
CD chứa điểm B và nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A

⇒

tia CA

thuộc nửa mặt phẳng

chứa điểm A

E thuộc đoạn

AC

⇒

E

thuộc nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A

E

⇒

và B ở hai nửa mặt phẳng bờ CD

⇒

đường thẳng CD cắt đoạn EB
Xét đường thẳng BE

Lập luận tương tự: ta có đường thẳng

EB

cắt đoạn CD

Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

Câu 5.

Khơng làm mất tính tổng quát, ta giả sử

a

≤ ≤

b

c

, khi đó ta có:

3

4

15

5 a

4 a

≥ ⇒ ≤

Nếu

a

=

1

thì khơng thể được ,do đó

a

=

2

hoặc

a

=

3

Nếu

a

=

2

thì

1

3

10 b

+ =

c

, suy ra

2

3

20

10 b

3 b

≥

⇒ ≤

Suy ra

b

=

4

hoặc

b

=

5

hoặc

b

=

6

vì

3

1

10 <

3

Suy ra các số

a b c

, ,

thỏa mãn là

(

a

=

2,

b

=

4,

c

=

20 )

và

(

a

=

2,

b

=

5,

c

=

10 )

Nếu

a

=

3

thì

1

7

15 b

+ =

c

Từ đó

2

7

30

15 b

7 b

≥

⇒ ≤

suy ra

3

4 b

=



 =



. Khơng có trường hợp nào thỏa mãn

Vậy có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ ba số

(

2, 4, 20

)

và

(

2,5,10

)

UBND THÀNH PHỐ TAM KỲ 
PHÒNG GD&ĐT

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI 
Năm học 2018-2019

Mơn Tốn 6

Bài 1. Tính hợp lý:

17 11 9
2 1 6 : 3

20 15 20

A= − +

19 19

3 101

7 7 7

13 19 101

B

+ +

+ + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 12 20 30 42 56 72 90 110

C= + + + + + + + +

Bài 2.

Cho 2 3 4 20

2 2 2 2 ... 2

D= + + + + +

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

a) Chứng minh D chia hết cho 5

b) Tìm chữ số tận cùng của D

Bài 3.

Tìm các số tự nhiên k để 3k+4chia hết cho k−1

Bài 4.

Có hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước, nếu cả 2 vịi cùng chảy thì sau 48
phút sẽ đầy bể, nếu chỉ mở một mình vịi thứ nhất thì sau 2 giờ sẽ đầy bể. Trong một giờ
vịi thứ nhất chảy ít hơn vịi thứ hai 50 lít nước. Tính thể tích khi bể chứa đầy nước.

Bài 5.

Cho 3 tia chung gốc O Oa Ob Oc: , , sao cho aOb=140 ;0 và tia Oc nằm giữa hai tia Oa Ob, .Vẽ

Oxlà tia phân giác của ;aOc Oylà phân giác của ;cOb Omlà phân giác của aOb

a) Tính số đo xOy

b) Chứng minh:  aOx=mOy

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a) 217 111 6 9 : 3 217 111 2 3 5 111 3 4
20− 15+ 20 = 20− 15+ 20 = − 15= 15

1 1 1

19 19 19 19 19 19. 1

19 1 19

13 19 101

13 101 19 13 101

7 7 7 7 7 7 1 1 1 7

7 7 7. 1

13 19 101 13 19 101 13 19 101

B

 + + + 

+ + + + + +  

= = = =

 

+ + + + + +  + + + 

 

c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 12 20 30 42 56 72 90 110

C= + + + + + + + +

1 1 1 1
...

2.3 3.4 9.10 10.11
= + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1
...

2 3 3 4 9 10 10 11
= − + − + + − + −

1 1 9
2 11 22
= − =

Bài 2.

(

2 3

) (

5 2 3

)

(

2 3

)

) 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ... 2 1 2 2 2

a D= + + + + + + + + + + + +

(

2 3

)(

5 17

)

1 2 2 2 2 2 ... 2
= + + + + + +

(

5 17

)

(

5 17

)

15. 2 2 ... 2 5.3. 2 2 ... 2 5 D 5
= + + + = + + +  ⇒ 

b) D chia hết cho 2 nên D là tổng các số chia hết cho 2
D chia hêt cho 5 (chứng minh câu a)

Nên D chia hết cho 2 và 5, do đó D có chữ số tận cùng là 0

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Bài 3.

3k+4chia hết cho k−1hay

(

3k− +3 7

)

k−1

Do 3k− =3 3

(

k−1

)

k− ⇒1 7k− ⇒ − ∈1 k 1 U(7)=

{ }

7;1 ⇒ ∈k

{ }

8; 2

Bài 4.

Trong 1 phút:

Hai vòi chảy được : 1

48bể

Vòi thứ nhất chảy được: 1

120bể

Vòi thứ hai chảy được: 1 1 1

48−120=80bể

Vòi thứ hai chảy hơn vòi thứ nhất: 1 1 1

80−120= 240bể

Thể tích bể: 50 : 1 12000
240 = lít

Bài 5.

a

O

x

c

m

y

b

   1

(

 

)

1  1 0 0

) . .140 70
2 2 2

a xOy=xOc+cOy= aOc+cOb = aOb= =

b) Om là phân giác aOb:  1

aOm= aOb(1)

Oxlà phân giác của  : 1

aOc xOc= aOc

Oy là phân giác  : 1

cOb cOy= cOb

Do    1

(

 

)

1 (2)

2 2

xOy=xOc+cOy= aOc+cOb = aOb

Từ (1) và (2) suy ra:

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

       
 

aOm xOy aOx xOm aOm mOy xOm xOy

aOx mOy

= ⇒ + = ⇒ + =

⇒ =

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6 –TRƯỜNG THCS NGHI LỘC

NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. (5 điểm)Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:

(

2 2 2

) (

2 2

)

10 +11 +12 : 13 +14

b) 2

1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.8− −

(

)

2
16

13 11 9

3.4.2

11.2 .4 −16

d) 1152−

(

374 1152+

) (

+ − +65 374

)

e) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −

Bài 2. (4 điểm) Tìm x,biết:

(

)

(

)

2 2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b) x+ + + + + + +

(

x 1

) (

x 2

)

....

(

x 30

)

=1240
c) 11− − +

(

53 x

)

=97

d)− +

(

x 84

)

+213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b,biết: BCNN a b

( )

, =300;UCLN a b

( )

, =15 và
15

a+ =b

Bài 4. (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M N, thứ tự là

trung điểm của OA OB, .

a) Chứng tỏ rằng OA OB<

b) Trong ba điểm O M N, , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

b)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc

tia đối của tia AB)

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

2 2 2

) (

2 2

)

(

) (

)

10 +11 +12 : 13 +14 = 100 121 144 : 169 196+ + + =365 : 365 1=

)1.2.3....9 1.2.3...7.8 1.2.3...7.8

b − −

(

)

1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8... 0 0

= − − = × =

(

)

(

)

( ) ( )

( )

2 2 2

16 2 16 2 18

11 9

13 11 9 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2 .2 3 . 2

)

11.2 .4 16 11.2 . 2 2 11.2 .2 2

c = =

− − −

(

)

2 36 2 36 2

35 36 35

3 .2 3 .2 3 .2

2
11.2 2 2 . 11 2 9
= = = =

− −

(

) (

)

)1152 374 1152 65 374

d − + + − +

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(

1152 1152

) (

374 374

)

65 65

= − + − − = −

)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

e − + + − + − − + − + + −

(

) (

)

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài 2.

(

2

)

(

)

2 2

) 19 2.5 :14 13 8 4

a x+ = − −

(

)

{

2 2 2

}

14. 13 8 4 2.5 :19 4

x  

⇒ =  − − − =

(

) (

)

(

)

) 1 2 .... 30 1240

b x+ + + + + + +x x x =

(

) (

)

31.. ... ..

... 1 2 .... 30 1240

so hang x

x x x x

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = −
775
25
31
x
⇒ = =

(

)

)11 53 97

c − − +x =

(

)

11 97 53 33

x

⇒ = − − − = −

(

)

) 84 213 16

d − +x + = −

(

x 84

)

16 213

⇒ − + = − −

(

x 84

)

229

⇒ − + = −

84 229

x

⇒ + =

229 84 145

x

⇒ = − =

Bài 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

Vì UCLN (a,b)=15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

15 ; 15

a= m b= n (1) và UCLN m n

(

)

=1 (2)

Vì BCNN a b

( )

, =300,nên theo trên, ta suy ra

(

)

(

)

15 ,15 300 15.20
, 20 (3)

BCNN m n
BCNN m n

⇒ = =

⇒ =

Vì a+15=b,nên theo trên ta suy ra:

(

)

15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện

( )

2 và

( )

3 ,thì chỉ có trường hợp m=4;n=5

là thỏa mãn điều kiện

( )

Vậy với m=4,n=5ta được các số phải tìm là: a=15.4=60;b=15.5=75

Bài 4.

A

M

N

B

a) Hai tia AO AB, đối nhau, nên điểm Anằm giữa hai điểm O và B, suy ra: OA OB<

b) Ta có: M N, thứ tự là trung điểm OA OB, nên ;

2 2

OA OB
OM ON

⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M N, thuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

2 2

OB OA AB
OM +MN=ON⇒MN =ON−OM ⇒MN = − =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (Othuộc tia đối của tia AB)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2018- 2019

Câu 1. (4 điểm)

1) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n−5 2 n−1

2) Cho 1 3 5 2011 2013 2015

3 3 3 ... 3 3 3

S = + + + + + + . Chứng tỏ

a) S không chia hết cho 9
b) S chia hết cho 70.

Câu 2. (5 điểm)

a) Tìm x biết:

(

x+ + + +1

) (

x 2

)

...+ +

(

x 100

)

=5750
b) Tìm số nguyên x y, biết: x y2 − +x xy=6

c) Cho A= − + − + − +1 5 9 13 17 21 ....Biết A=2013.Hỏi A có bao nhiêu số hạng? Giá trị của số
hạng cuối cùng là bao nhiêu ?

Câu 3. (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số ab

a b+ ( ab là số có 2 chữ số)

Câu 4. (4 điểm)

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng ký tham gia bằng 1

4số nam. Nhưng sau đó 1

bạn nữ xin nghỉ, 1 bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng 1

5số nam. Tính số

học sinh nữ và học sinh nam đã đi tham quan.

Câu 5. (5 điểm)

Cho  0  1

120 , .
3

xOy= xOz= xOyKẻ tia Om là tia phân giác của .xOy Tính số đo mOz

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

1) 4n− =5 4n− − =2 3 2 2

(

n− −1

)

3 2 n−1

Vì 2 2

(

n−1 2

)

 n− ⇒1 3 2

(

n− ⇒1

)

2n− ∈1 U(3)= ± ±

{

1; 3

}

Nên n∈

{

0;1; 2

}

a) Vì 3 khơng chia hết cho 9

Các hạng tử cịn lại đều chia hết cho 9 nên S không chia hết cho 9
b) Tính được số số hạng của tổng S là 1008 số hạng

(

1 3 5

) (

7 9 11

)

(

2011 2013 2015

)

3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3

S = + + + + + + + + +

7 2011

3.91 3 .91 ... 3 .91 91

S = + + + 

Kêt luận 7S

(

1 3

) (

5 7

)

(

2013 2015

)

3 3 3 3 ... 3 3

S = + + + + + +

5 2013

3.10 3 .10 ... 3 .10 10
= + + + 

S

⇒ 

Vì

(

10; 7

)

= ⇒  1 S 70.

Câu 2.

(

x+ + + +1

) (

x 2

)

...+ +

(

x 100

)

=5750
Tính được 100 101.100 : 2 5750x+ =

Kết luận đúng x=7

b) 2

(

)(

)

( ) ( )

6 1 1 5 1.5 1 . 5

x y− +x xy= ⇔ xy− x+ = = = − −

Xét 4 trường hợp và kết luận ⇒

( ) (

x y, = −2; 2 ;

) (

−4; 0

)

c) Số số hạng của A là 

(

2013 1 : 4 .2 1 1007−

)

 + = (số hạng)

Số hạng cuối cùng là:

(

1007 1 .4 1−

)

+ =4025

Câu 3.

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

Đặt 10 1 9 1 9
1

ab a b a

A

b

a b a b a b

a

= = = + = +

+ + + +

A có GTNN 1 b

a

⇔ + có GTLN b

a

⇔ có GTLN 9

b
a

=


⇔  =


Khi đó số ab=19. GTNN của A là 1, 9

Câu 4.

Tổng số học sinh nam và nữ dự định đi tham quan và đã đi tham quan là như nhau nên ta
lấy làm đơn vị.

Số học sinh nữ đăng ký đi tham quan bằng 1

4số nam nên bằng
1

5tổng số.

Số học sinh nữ đã đi tham quan bằng 1

5số nam đã đi tham quan nên bằng
1

6tổng số

Số nữ dự định đi nhiều hơn số nữ đã đi là: 1 1 1

5− =6 30tổng số hay 1 học sinh

Tổng số học sinh là: 1: 1 30

30= (học sinh)

Số học sinh nữ đã đi tham quan: 30.1 5

6 = (học sinh)

Số học sinh nam đã đi tham quan: 30 25 5− = (học sinh)

Câu 5.

Tính  0

xOz=

2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox

y

O

x

z

m

Lý luận để tính  0

xOm=

Chứng minh tia Oz nằm giữa Ox và Oy

Tính đúng  0

zOm=

a) Trường hợp 2: 2 tia Oy Oz, thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

y

O

z
x
m

Chỉ được Ox nằm giữa Om và Oz

Tính đúng  0

100

zOm=

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG THCS DUY TIÊN 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1.

a) Tìm các số tự nhiên x y, sao cho

(

2x+1

)(

y− =5

)

12
b) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n−5chia hết cho 2 1n−

c) Tìm tất cả các số B=62xy427, biết rằng B chia hết cho 99

Câu 2. Tìm x

2 2 3 2 2

)5x 125 )3 x 81 )5 x 2.5 5 .3

a = b = c − − =

Câu 3.

a) Chứng tỏ rằng: 12 1

30 2

n
n

+ là phân số tối giản

b) Chứng minh rằng: 12 12 .... 12 1
2 +3 + +100 <

Câu 4.

So sánh các phân số:

23 23232323 2323 232323
; ; ;

99 99999999 9999 999999

Câu 5.

Hai lớp 6 , 6A Bcùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 24kg

cịn lại mỗi bạn thu được 11kg;Lớp 6B có 1 bạn thu được 23kgcịn lại mỗi bạn thu 10kg.

Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kgđến
300kg

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a)Ta có: 2x+1;y− ∈5 U(12)=1.12=2.5=3.4

Do 2 1x+ lẻ 2 1 1 0; 17

2 1 3 1; 9

x x y

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy

( ) (

x y; = 0,17 ; 1, 9

) ( )

b) Ta có: 4n− =5 2 2

(

n− −1

)

Để 4n−5 2 n− ⇒1 3 2 n− ⇒1

(

2n− ∈1

)

U(3)=

{ }

1;3 ⇒ ∈n

{ }

1; 2
c) Ta có 99 9.11=

99 11; 9

B ⇒B B

(

)

(

)

9 6 2 4 7 2 9 21 9

x y

B x y x y

x y

+ =


⇒ + + + + + + ⇔ + + ⇒ 

+ =


  

(

)

(

)

11 7 4 6 2 2 11 13 11

B ⇒ + + + − − −x y  ⇔ + −x y 

9( ) 2

x− =y ktm vs y− =x

2 & 6 2; 4

y− =x x+ = ⇒ =y x y=

2 & 15( )

y− =x x+ =y ktm

Vậy B=6224427

Câu 2.

a) 3

5x =125=5 ⇒ =x 3

b) 2 4

3 x =81=3 ⇒2x= ⇒ =4 x 2

c) 2 3 2 2

5 x− −2.5 =5 .3

2 3 2 2 3

5 x− 5 .3 5 .2 5
⇔ = + =

2x 3 3 2x 6 x 3

⇒ − = ⇒ = ⇒ =

Câu 3.

a) Gọi d là ước chung của 12n+1;30n+2ta có:

(

) (

)

5 12n+ −1 2 30n+2 =1d⇒ =d 1nên 12n+1;30n+2nguyên tố cùng nhau

Do đó 12 1

30 2

n
n

+ là phân số tối giản.

b) Ta có:

2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
.... .... 1 ...

2 3 100 1.2 2.3 99.100 2 2 3 99 100
1 1 1 1 99

.... 1 1
2 3 100 100 100

+ + + < + + + = − + − + + −
⇒ + + + < − = <

Câu 4.

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

23 23.101 2323

99 99.101 9999

23 23.10101 232323

99 99.10101 999999

23 23.1010101 23232323

99 99.1010101 99999999

23 2323 232323 23232323

99 9999 999999 99999999

= =

⇒ = = =

Câu 5.

Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x kg( )thì

(

x−24 11;

) (

 x−23 10

)



(

x 13 10,11

)

⇒ − 

Do đó

(

x−13

)

∈BC

(

10;11

) {

= 0;110; 220;330;...

}

Mà số kg giấy nằm trong khoảng 200 đến 300 ⇒ − =x 13 220⇒ =x 233
Số học sinh lớp 6A:

(

233 24 :11 1−

)

+ =20(học sinh)

Số học sinh lớp 6 : 233 23 :10 1B

(

−

)

+ =22học sinh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGHI PHÚ 
MÔN TOÁN 6

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1.

a) Rút gọn phân số sau: 2 .3 .5 .7.83 34 33
3.2 .5 .14

b) Tính 14 : 4 1 25 14. .1 2
12 8 4 3

B=  − +

 

Câu 2. Tìm x biết:

a) 1 2

(

)

3 2+ x− =24−4 − 2 −1 

 

(

x+ + + + + +1

) (

x 2

) (

x 3

)

...+ +

(

x 100

)

=205550
c) x− =5 18 2.+

( )

−8

(

)

5 6

1
3 2 .7 2.7 .

2009

x− =

Câu 3. Tìm các số tự nhiên x y, sao cho:

(

2x+1

)(

y− =5

)

Câu 4.

a) Tính tổng: 2 2 2 ... 2

1.2 2.3 3.4 99.100

S = + + + +

b) Chứng minh rằng:

(

2 3 4 100

)

3 3+ + + +3 3 ... 3+ 40

Câu 5. Cho biểu thức 5

A

n

−
=

−

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số
b) Tìm các số tự nhiên n để biểu thức Alà số nguyên

Câu 6.

Cho góc AMC = 0

60 .Tia Mx là tia đối của tia MA My, là phân giác của ,CMx Mtlà tia phân

giác của xMy

a) Tính AMy

b) Chứng minh MC Mt⊥

ĐÁP ÁN 
Câu 1. a) 18 b) 1114

Câu 2.

(

)

1 2 2

)3 2x 24 4 2 1

a + − = − − − 

1 2

3 2+ x− =24 4− +3

1 2

2x− = =4 2

1 2 3

x x

⇒ − = ⇒ =

(

) (

)

(

)

) 1 2 3 .... 100 205550

b x+ + + + + + + +x x x =

... 1 2 3 ... 100 205550

x+ + + + + + + + +x x x =

100x+5050=205550
100x=200500

2005

x=

c) 7;

x
x

=

 =

d) x=30

Câu 3.

Ta có 2x+1;y−5là ước của 12 mà 12 1.12 2.6 3.4= = =

Do 2 1x+ lẻ 2 1 1 0; 17

2 1 3 1; 9

x x y

+ = ⇒ = =



⇒  + = ⇒ = =



Vậy

( ) (

x y; = 0;17 ; 1;9

) ( )

Câu 4.

2 2 2 2 2
...

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

S = + + + + +

1 1 1 1 1
2. ...

1.2 2.3 3.4 98.99 99.100

 

=  + + + + + 

 

1 1 1 1 1
2. 1 ...

2 2 3 99 100

 

=  − + − + + − 

 

1 99 99
2. 1 2.

100 100 50
 

=  − = =
 

Câu 5.

a) n∈,n≠2

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

(

)

{

}

2 (5) 1; 5

3
7

n
n

n U

n
n

= ∈


 = ∈


− ∈ = ± ± ⇒

 = − ∉
 = ∈








Câu 6.

x A

y

M
t

C

a) Tia Mx là tia đối của tia MA , AMxlà góc bẹt⇒MCnằm giữa MA và Mx

Nên    0  0  0

60 180 120

AMC+CMx=AMx hay +CMx= ⇒CMx=

My là tia phân giác của CMxnên : Mynằm giữa hai tia MC Mx,
  1 1 0 0

.120 60
2 2

xMy= yMC= xMC= =

Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA, Mx

Nên   AMy+yMx= AMxhay 600+yMx=1800⇒yMx=1800−600 =1200

b)Do My là tia phân giác của góc CMx nên Mx và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối
nhau có bờ là tia My.Mt là phân giác của yMxnên Mt nằm trên cùng một nửa mặt phẳng

chứa tia My. Vậy Mt và MC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia My hay
My nằm giữa MC và Mt nên   CMy+yMt=CMt (*)

Lại có tia Mt là phân giác của xMynên:   1 1.600 300
2 2

xMt=tMy= xMy= = ,

Thay vào (*)  0 0 0

60 30 90

CMt MC Mt

⇒ = + = ⇒ ⊥

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. (5 điểm)Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý:

(

2 2 2

) (

2 2

)

10 +11 +12 : 13 +14

b) 2

1.2.3...9 1.2.3....8 1.2.3....7.8− −

(

)

2
16

13 11 9

3.4.2

11.2 .4 −16

d)1152−

(

374 1152+

) (

+ − +65 374

)

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

e) 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1− + + − + − − + − + + −

Bài 2. (4 điểm) Tìm x,biết:

(

)

(

)

2 2

19x+2.5 :14= 13 8− −4

b)x+ + + + + + +

(

x 1

) (

x 2

)

....

(

x 30

)

=1240
c)11− − +

(

53 x

)

=97

d)− +

(

x 84

)

+213= −16

Bài 3.(2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b,biết: BCNN a b

( )

, =300;UCLN a b

( )

, =15 và
15

a+ =b

Bài 5. (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M N, thứ tự là

trung điểm của OA OB, .

a) Chứng tỏ rằng OA OB<

b) Trong ba điểm O M N, , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c)Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc

tia đối của tia AB)

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

2 2 2

) (

2 2

)

(

) (

)

) 10 11 12 : 13 14 100 121 144 : 169 196 365 : 365 1

a + + + = + + + = =

)1.2.3....9 1.2.3...7.8 1.2.3...7.8

b − −

(

)

1.2.3...7.8. 9 1 8 1.2.3...7.8... 0 0

= − − = × =

(

)

(

)

( ) ( )

( )

2 2 2

16 2 16 2 18

11 9

13 11 9 13 2 4 13 22 36

3.4.2 3.2 .2 3 . 2

)

11.2 .4 16 11.2 . 2 2 11.2 .2 2

c = =

− − −

(

)

2 36 2 36 2

35 36 35

3 .2 3 .2 3 .2
2
11.2 2 2 . 11 2 9
= = = =

− −

(

) (

)

)1152 374 1152 65 374

d − + + − +

1152 374 1152 65 374

= − − + − +

(

1152 1152

) (

374 374

)

65 65

= − + − − = −

)13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

e − + + − + − − + − + + −

(

) (

)

13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13

= − − − + + − − + − − − − =

Bài 2.

(

2

)

(

)

2 2

) 19 2.5 :14 13 8 4

a x+ = − −

(

)

{

2 2 2

}

14. 13 8 4 2.5 :19 4

x  

⇒ =  − − − =

(

) (

)

(

)

) 1 2 .... 30 1240

b x+ + + + + + +x x x =

(

)

)11 53 97

c − − +x =

(

)

11 97 53 33

x

⇒ = − − − = −

(

)

) 84 213 16

d − +x + = −

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

(

) (

)

31.. ... ..

... 1 2 .... 30 1240

so hang x

x x x x

⇒ + + + + + + + + =



31x 1240 31.15

⇒ = −

775
25
31

x

⇒ = =

(

x 84

)

16 213

⇒ − + = − −

(

x 84

)

229

⇒ − + = −

84 229

x

⇒ + =

229 84 145

x

⇒ = − =

Bài 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :

Vì UCLN (a,b)=15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:

15 ; 15

a= m b= n (1) và UCLN m n

(

)

=1 (2)

Vì BCNN a b

( )

, =300,nên theo trên, ta suy ra

(

15 ,15

)

300 15.20

BCNN m n

⇒ = =

(

)

20 (3)

BCNN m n

⇒ =

Vì a+15=b,nên theo trên ta suy ra:

(

)

15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ + =

Trong các trường hợp thỏa mãn các điều kiện

( )

2 và

( )

3 ,thì chỉ có trường hợp m=4;n=5

là thỏa mãn điều kiện

( )

Vậy với m=4,n=5ta được các số phải tìm là: a=15.4=60;b=15.5=75

Bài 5.

A

M

N

B

a) Hai tia AO AB, đối nhau, nên điểm Anằm giữa hai điểm O và B, suy ra:

OA OB

⇒ <

b) Ta có: M N, thứ tự là trung điểm OA OB, nên ;

2 2

OA OB
OM ON

⇒ = =

Vì OA OB< nên OM ON<

Hai điểm M N, thuộc tia OB,mà OM ON< nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

2 2

OB OA AB
OM MN ON MN ON OM MN −

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN

khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O (Othuộc tia đối của tia AB)

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH CHƯƠNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1.

a) Thực hiện phép tính: 2 2 2181.729 243.81.27

3 .9 .234 18.54.162.9 723.729
+

+ +

b) So sánh : 201220122013 1

2012 1

A= +

+ và

2011

2012

2012 1

B= +

Câu 2.

a) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho chia nó cho 3,cho 4, cho 5, cho 6, cho 7 
ta được các số dư theo thứ tự là: 1; 2;3; 4;5

b) Tìm số nguyên a để 2 1a+ chia hết cho a−5

Câu 3.

a) Tìm x biết: 3− = −x x 5

b) Tìm các số nguyên x y; sao cho 1 1
3 3

y
x

− =

c) Tìm số tự nhiên a và b biết: a b− =5và

( )

[ ]

,, 16

a b
a b =

Câu 4.

Cho  0

110 .

xOy= Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=a cm;điểm B nằm giữa O và A, M là

trung điểm OB, N là trung điểm của BA.
a) Tính MN

b) Vẽ  0

50 .

xOz= Tính yOz

Câu 5.

Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1

3+30+32+35+45+47+50<2

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

2 2 3

2181.729 243.3.81.9
)

3 .9 .234 9 .2.6.162 723.729

a +

+ +

2181.729 729

729.234 729.1944 723.729
+

+ +

(

)

(

)

729. 2181 729 729.2910 970
729. 234 1944 723 729.2901 967

= = =

+ +

b) Vì 2012 2013 2012

2013

2012 1

2012 1 2012 1 1

2012 1

+ < + ⇒ <

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

2012 2012

2013 2013

2012 1 2012 1 2011

+ + +
⇒ <
+ + +

(

)

(

)

2011
2012 2011

2013 2012 2012

2012. 2012 1

2012 2012 2012 1

2012 2012 2012. 2012 1 2012 1 B

+
+ +
= = = =
+ + +
A B
⇒ <
Câu 2.

a)Vì n chia 3; 4;5; 6; 7lần lượt dư là 1; 2;3; 4;5nên n+ 2 3, 4, 5, 6, 7nghĩa là n+2là

(

3, 4, 5, 6, 7

)

BC

Mà BCNN(3; 4;5; 6; 7)=420⇒ + =n 2 840⇒ =n 838

(Do n là số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số)

b) Ta có: 2 1 2

(

)

11 2 11

5 5 5

a
a

a a a

− +

+ = = +

− − −

Để 2a+1a− ⇒ − ∈5 a 5 U(11)= ± ±

{

1; 11

}

⇒ ∈a

{

6; 4;12; 6−

}

Câu 3.

a) Nếu x≥3thì 3− = − ⇔ − = − ⇒x x 5 x 3 x 5 0x=2(ktm)
Nếu x< ⇒ − = − ⇔ − = − ⇒ =3 3 x x 5 3 x x 5 x 4(ktm)

b) Ta có: 1 1 1 1 1 1

(

)

3 3 3 3 3

y y y

y x

x x x

−

− = ⇒ − = ⇒ = ⇒ − = . Ta có bảng sau

3 1 3 1
1 1 3 1 3

2 4 0 2

x
y
y
− −
− − −
−

( )

[ ]

,, 16

[ ]

, 6.

( )

a b

a b a b

a b = ⇒ = ,ọi d =

( )

a b, ⇒ =a d a b. ', =d b. '

Ta có: ab=

[ ]

a b, .

( )

a b, nên d a d b. '. . '=6

( ) ( )

a b, . a b,

Hay 2 2 ' 3; ' 2

'. ' 6 '. ' 6

' 6; ' 1

a b

d a b d a b

a b
= =

= ⇒ = ⇒ 
= =

Mặt khác a b− = ⇒5 da'−db'= ⇒5

TH1: ' 3, ' 2

(

' '

)

5 5 15

a

a b d a b d

b
=

= = ⇒ − = ⇒ = ⇒ 
=

TH2: a'=6, ' 1b = ⇒d a

(

'−b'

)

= ⇒5 d.4=5(ktm)
Vậy a=15,b=10

Câu 4.

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

y

O

M

B

N

A

x

a) Vì M nằm giữa O và A nên OB BA OA+ =
M là trung điểm của OB nên

OB
MB=MO=

N là trung điểm BA nên

BA
NB=NA=

Vì M là trung điểm OB, N là trung điểm BA nên B nằm giữa M và N nên

2 2 2 2 2

OB BA OA BA OA a
MN =MB+BN = + = + = =

b) *Nếu Oz nằm cùng phía với Oy bờ Ox ta tính được:  0 0 0

110 50 60

yOz= − =

*Nếu Oz nằm khác phía với Oy bờ Ox ta tính được: yOz=1100+500 =1600

50
50

y

O

z

x

y

O

z

x

Câu 5.

1 1 1 1 1 1 1
30+32+35<30+30+30=10

1 1 1 1 1 1 1
45+47+50< 45+45+45=15

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 30 32 35 45 47 50 3 10 15 2

⇒ + + + + + + < + + =

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
MƠN TỐN 6

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1. (1,5 điểm) Thực hiện phép tính

3 3 3 3

24.47 23 7 11 1001 13

9 9 9 9

24 47 23

1001 13 7 11

A

+ − + −

−
=

+ − − + − +

b) 2 20143 2012

1 2 2 2 ... 2

2 2

M = + + + + +

−

Câu 2.

a) Cho 2 3 4 5 6 2012

5 5 5 5 5 5 ... 5 .

S = + + + + + + + Chứng tỏ S chia hết cho 65

b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư
11

c) Chứng tỏ: A=10n+18n−1chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên)

Câu 3. (2 điểm)

a) Tìm x y, nguyên biết: 2x

(

3y− +2

) (

3y−2

)

= −55
b) Chứng minh rằng:

( )

2 2 2

1 1 1 1 1
...

4 +6 +8 + + 2n < 4

Câu 4. (2,5 điểm) Cho nửa mặt phẳng bờ ABchứa hai tia đối OA và OB

a) Vẽ tia OC tạo với tia OAmột góc bằng 0

a vẽ tia OD tạo với tia OC một góc bằng

(

)

a+ và với tia OB một góc

(

a+20

)

0. Tính a

b) Tính góc xOy, biết AOx=220và BOy=480

c) Gọi OE là tia đối của tia OD,tính số đo góc kề bù với góc xOD khi AOCbằng 0

a

Câu 5. (1,5 điểm) Cho 2012 2011 2010 2009

10 10 10 10 8

A= + + + +

a) Chứng minh rằng Achia hết cho 24

b) Chứng minh rằng Akhơng phải là số chính phương

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

a) Đặt A=B C.

24.47 23 1105
24 47 23 48

B= − =

+ −

1 1 1 1

3 1

7 11 1001 13

1 1 1 1 3

9 1

1001 13 7 11

C

 + − + − 

 

 

= =

 − + − + 

 

 

</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

1105
144

A

⇒ =

b) Đặt 2 3 2012 2013

1 2 2 2 .... 2 2 1

A= + + + + + ⇒ =A −

Đặt 2014

(

2013

)

2 2 2 2 1

B= − = − 1

M

⇒ =

Câu 2.

2 3 2012

) 5 5 5 .... 5

a S = + + + +

(

2 3 4

)

2009 2010 2011 2012

5 5 5 5 ... 5 5 5 5
= + + + + + + + +

(

2 3 4

)

2009

(

2 3 4

)

5 5 5 5 ... 5 . 5 5 5 5
= + + + + + + + +

Vì

(

2 3 4

)

5 5+ + +5 5 =780 65

Vậy S chia hết cho 65

b) Goi số cần tìm là a ta có:

(

a−6 11;

) (

 a−1 4;

) (

 a−11 19

)



(

a− +6 33 11;

) (

 a− +1 28 4;

) (

 a− +11 38 19

)



(

a 27 11,

) (

a 27 4,

) (

a 27 19

)

⇒ +  +  + 

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27nhỏ nhất suy ra:

(

)

27 4,11,19 809

a+ =BCNN ⇒ =a

) 10n 18 1 10n 1 9 27

c A= + n− = − − n+ n

999....9 9 27

n so

n

=− +

9. 11....11 27

n so

n n

 

=  − +

 

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó

111...1 9

n

− 

 nên

9. 11111...1 9

n so
n
 
−
 
 

  nên 9. 111...1n 27

n

 

−

 

  . Vậy 27A

Câu 3.

a)Để x nguyên thì 3y− ∈2 U(55)= ± ±

{

1; 11; 55; 5± ±

}

)3y 2 1 y 1 x 28
+ − = ⇒ = ⇒ =

7
)3 2 5 3 7 ( )

y y y ktm

+ − = ⇒ = ⇒ =
13
)3 2 11 ( )

y y ktm

+ − = ⇒ =

)3y 2 55 y 19 x 1
+ − = ⇒ = ⇒ = −

)3 2 1 ( )

y y ktm

+ − = − ⇒ =

)3y 2 11 y 3 x 2

+ − = − ⇒ = − ⇒ = )3 2 55 53( )
3

y y − ktm

+ − = − ⇒ =

Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thỏa mãn là:

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

( ) (

x y, =

{

28;1 ;

) (

−1;19 ; 5; 1 ; 2; 3

) (

−

) (

−

)

}

b)Ta có:

( )

2 2 2

1 1 1 1
...
4 6 8 2

A

n

= + + + +

( ) ( ) ( )

2 2 2

( )

1 1 1 1
...
2.2 2.3 2.4 2.

A

n

= + + + +

(

)

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1
. ... . ...

4 2 3 4 4 1.2 2.3 1

A

n n n

 

=  + + + + <  + + + 
−

   

1 1 1 1 1 1 1
. ...

4 1 2 2 3 1

A

n n

 

<  − + − + + − 
−

 

1 1 1
. 1

4 4

A

n

 
<  − <

  ( Đpcm)

Câu 4.

Học sinh tự vẽ hình

a)Do OC OD, nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và  (COD>COA a+10>a)nên tia
OC nằm giữa hai tia OA và OD

   AOC COD DOB AOB

⇒ + + =

(

) (

)

0 0

10 20 180

a a a

⇒ + + + + =

0 0 0

3a 30 180 a 50
⇒ + = ⇒ =

b) Ta có: AOy=1800−BOy=1800−480 =1320⇒ AOx=220

Nên tia Ox nằm giữa hai tia OAvà Oy

  AOx xOy AOy 220 xOy 1320 xOy 1100

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

c) Vì tia OC nằm giữa hai tia OA OD, nên:

    0

(

)

0 0 0 0 0

10 2 10 2.50 10 110

AOC+COD= AOD⇒ AOD=a + a+ = a+ = + =

Vì  

(

0 0

)

22 110

AOx<AOD < nên tia Ox nằm giữa hai tia OA OD,

   0  0  0 0 0

22 110 110 22 88

AOx xOD AOD xOD xOD

⇒ + = ⇒ + = ⇒ = − =

Vậy số đo góc kề bù với góc xODcó số đo là: 0 0 0

180 −88 =92

Câu 5.

a) Ta có:

(

)

3 2009 2008 2007 2006

10 10 10 10 10 8

A= + + + +

(

2009 2008 2007 2006

)

8.125. 10 10 10 10 8
= + + + +

(

2009 2008 2007 2006

)

( )

8. 125. 10 10 10 10 1 8 1

=  + + + + 

Ta lại có các số: 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 có tổng các chữ số bằng 1, nên các số

2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1, 8 chia 3 dư 2

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

Vậy Achia hết cho 3 (2)

Và

( )

3,8 =1 (3)
Từ

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 ⇒  A 24

b) Ta có các số 2012 2011 2010 2009

10 ;10 ;10 ;10 đều có chữ số tận ùng là 0 nên
có chữ số tận cùng là 8

Vậy A khơng phải là số chính phương vì số chính phương là những số có tận cùng là

0;1; 4;5; 6;9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ỨNG HÒA

KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN

HĨA

NĂM HỌC 2018-2019 
Mơn Tốn 6

Câu 1.

a) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lý

(

11 12

) (

9 2 9 3

)

5.3 4.3 : 3 .5 3 .2

P= + −

(

) (

)

14.29 14.71 1 2 3 .... 99 . 199199.198 198198.199

Q= + + + + + + −

b) Chứng minh rằng 1.3.5...2013.2015 2.4.6...2014.2016+ chia hết cho 9911

Câu 2. Tìm x y, ∈ biết:

a) x+ + + + + + +

(

x 1

) (

x 2

) (

x 3

)

...+ +

(

x 30

)

=1240

b) 2

2. x−1 − =3 5

(

2x+1

)(

y− =5

)

Câu 3.

a) Chứng minh n+2và 2n+5là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Tìm số tự nhiên x , biết rằng ba số 12; 20; xcó tích bất kỳ của hai số nào cũng chia hết

cho số cịn lại

Câu 4.

Một đồn cơng tác gồm 80 người trong đó có 32 nữ. Cần phân chia đồn thành các tổ cơng
tác có số người bằng nhau. Số nam, nữ của các tổ đều bằng nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
phân chia dồn thành các tổ để mỗi tổ khơng có q 10 người.

Câu 5.

Cho đoạn thẳng CD,điểm O thuộc tia đối của tia DC.Gọi I, K lần lượt là trung điểm của

OD OC

a) Chứng tỏ rằng OD OC<

b) Trong ba điểm I O K, , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng IKkhơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

(

11 12

) (

9 2 9 3

)

5.3 4.3 : 3 .5 3 .2

P= + −

(

)

(

)

11 9 2 3

3 . 5 4.3 : 3 . 5 2
= + −

11 9

3 .17 : 3 .17 9
= =

(

) (

)

14.29 14.71 1 2 3 ... 99 . 199199.198 198198.109

Q= + + + + + + −

(

) (

)

14. 29 71 1 2 3 ... 99 .0

= + + + + + +

1400
=

b) Do 9911 11.17.53= . Trong mỗi tích đều có thừa số ngun tố
Tích số lẻ có chứa 11, 17, 53

Tích số chẵn có 22,34,106 nên Tích số chẵn chia hết cho 11, 17, 53

Nên tổng hai tích chia hết cho 9911 (do 11, 17, 53 nguyên tố cùng nhau).

Câu 2.

) ( 1) ( 2) .... ( 30) 1240

a x+ + + + +x x + +x =

(

x x x .... x

) (

1 2 3 ... 30

)

1240

⇒ + + + + + + + + + =

(

)

30. 1 31

31 1240

x+ + =

31x 1240 31.15 x 25

⇒ = − ⇒ =

)2 1 3 5 1 2 3

b x− − = ⇒ − = ⇒ =x x

(

)(

)

(

)

) 2 1 5 12 1.12 3.4 2 1

c x+ y− = = = do x+ lẻ nên (y – 5) chẵn.

Ta có bảng giá trị:

2 1 1 3
5 12 4
0 1
17 9

x
y
x

y

+
−

Câu 3.

a) Đặt

(

n+2; 2n+ =5

)

d. Ta có: n+2d, 2n+5 d

(

)

2n 5 2 n 2 d 1 d d 1

⇒ + − +  ⇒  ⇒ = , Kết luận

b) Theo đề bài ta có: 20 12x ⇒5x3⇒x 3
12x20⇒3 5x ⇒x5⇒ =x 15k

Mà 12.20 15 k⇒16k ⇒ ∈k

{

1; 2; 4;8;16

}

⇒ ∈x

{

15;30; 60;120; 240

}

Câu 4.

Số nam trong đoàn là 80 32 48− = người

Gọi số tổ cần chia là n. Để số lượng nam, nữ bằng nhau thì ta phải có 48 ,32n  n

Nghĩa là n UC∈ (32, 48)=U(16)

Mỗi ước chung phải là 1 ươc của 16

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

Suy ra số lượng mỗi tổ có thể chia là 2,4,8 và 16 tổ

Để số lượng người trong 1 tổ khơng vượt q 10 ta chia đồn có thể thành 8 tổ (mỗi tỏ 6
nam, 4 nữ) hoặc 16 tổ (mỗi tổ 3 nam , 2 nữ)

Câu 5.

C

K

D

I

O

a) Vì 2 điểm C và O nằm trên 2 tia đối nhau gốc D nên D nằm giữa C và O

OD DC OC OD OC

⇒ + = ⇒ <

b) Vì I là trung điểm của OD nên 1

OI = OD

Vì K là trung điểm của OC nên 1

OK = OC

Mà OD OC< ⇒OI<OK

Hai điểm I, K cùng nằm trên tia OC mà OI OK< ⇒I nằm giữa O và K

c) Vì I nằm giữa O và K nên OI IK OK+ =

(

)

1 1 1 1
2 2 2 2

IK OK OI OC OD OC OD CD

⇒ = − = − = − =

IK

⇒ có giá trị khơng đỏi bằng 1

2CD

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 
NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TỐN

Bài 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:

( )

2 5 1
) : 5 . 3

3 6 18

a A= + − −

(

)

{

2 3

}

) 3. 5. 5 2 :11 16 2015

b B=  + − +

1 1 1 1
) 1 1 1 .... 1

1.3 2.4 3.5 2014.2016

c C= +  +  +    + 

     

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên x biết:

(

)

8.6+288 : x−3 =50

b) Tìm các chữ số x y, để A=x183ychia cho 2;5;9đều dư 1

c) Chứng tỏ rằng nếu plà số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2−1chia hết cho 3

Bài 3. (4,5 điểm)

a) Cho biểu thức : 5

B
n

=
−

</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

Tìm tất ca các giá trị nguyên của n để B là số nguyên 
b) Tìm các số nguyên tố x y, sao cho x2+117= y2

c) Số 100

2 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số.

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho xBy=55 .0 Trên các tia

Bx Bylần lượt lấy các điểm A C A,

(

≠B C, ≠B

)

.Trên đoạn thẳng

AC lấy điểm D sao cho  0

30 .

ABD=

a) Tính độ dài AC,biết AD=4cm CD, =3cm

b) Tính số đo DBC

c) Từ B vẽ tia Bzsao cho DBz=90 .0 Tính số đo ABz

Bài 5. (2,0 điểm)

a) Tìm các chữ số a b c, , khác 0 thỏa mãn: abbc=ab ac. .7
b) Cho 1

(

20122015 9294

)

7 3
2

A= − . Chứng minh Alà số tự nhiên chia hết cho 5

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a) 2 5 1

( )

2 2 1 1 2.2 1 1.3 2 1

: 5 . 3

3 6 18 3 6 2 6 6 3

A= + − − = + − = + − = =

{

(

2 3

)

}

{

[

]

}

3. 5. 5 2 :11 16 2015 3. 5. 33 :11 16 2015

B=  + − + = − +

{

}

3. 15 16 2015 3 2015 2012

= − + = − + =

c) 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
1.3 2.4 3.5 2014.2016

C= +  +  +   + 

     

(

) (

)

(

) (

)

2 2 2 2

2.3.4....2015 . 2.3.4...2015

2 3 4 2015 2015.2 2015
. . ...

1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.2.3...2014 . 3.4.5...2016 2016 1008

= = = =

Bài 2.

a) Biến đổi được:

(

)

2 2

(

)

2 3 12 15

3 144 12 12 15

3 12 9( )

x x

x x ktm

− = =

 

− = = = − ⇔ ⇔ ⇒ =

− = − = −

 

b) Do A=x183ychia cho 2 và 5 đều dư 1⇒ =y 1

Vì A=x1831chia cho 9 dư 1⇒x1831 1 9−  ⇒x1830 9 ⇒ =x 6
Vậy x=6,y=1

c)Xét số nguyên tố p khi chia cho 3. Ta có: p=3k+1hoặc p=3k+2

(

k∈  *

)

Nếu 2

(

)

2 2

3 1 1 3 1 1 9 6 3

p= k+ ⇒ p − = k+ − = k + k

Nếu 2

(

)

2 2

3 2 1 3 2 1 9 12 3 3

p= k+ ⇒ p − = k+ − = k + k+ 

Vậy 2

1 3

p − 

Bài 3.

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

a)Để B nhận giá trị nguyên thì n− ∈3 U(5)⇒ − ∈ ± ± ⇒ ∈ −n 3

{

1; 3

}

n

{

2; 2; 4;8

}

b) Với x=2,ta có: 22+117=y2 ⇔ y2 =121⇒ =y 11(là số nguyên tố)

Với x>2mà x là số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 =x2+117là số chẵn nên y chẵn
Kết hợp với y là số nguyên tố ⇒ =y 2(ktm)

Vậy x=2;y=11

c) Ta có: 30 10

10 =1000 và 2100 =102410 ⇒1030 <2100 (1)
Lại có : 100 31 63 6 31 7

2 =2 .2 .2 =2 .512 .64và 31 31 28 3 31 7

10 =2 .5 .5 =2 .625 .125

Nên 100 31

2 <10 (2)

Từ (1) và (2) suy ra số 100

2 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số.

Bài 4.

z

z'

x

y

B

A

C

D

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C

4 3 7

AC AD CD cm

⇒ = + = + =

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức
  

ABC= ABD+DBC⇒DBC  =ABC−ABD=550−300 =600
c) Xét hai trường hợp:

- Trường hơp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là ABnên tia BA nằm

giữa hai tia Bz BD,

- Tính được:  0  0 0 0

90 90 30 120

ABz= +ABD= + =

Bài 5.

a) Ta có:

. .7 (1)

abbc=ab ac

(

)

100.ab bc 7.ab ac. ab. 7.ac 100 bc

⇔ + = ⇔ − =

7.ac 100 bc.

ab

⇔ − = Vì 0 bc 10

ab

< < nên 0 7.< ac−100 10<

</div>
(183)<div class='page_container' data-page=183>

100 110
100 7. 110 14 16.

7 7

ac ac

⇔ < < ⇔ < < < < Vậy ac=15

Thay vào (1) được 1 5 1 .15.7bb = b ⇔1005 110+ b=1050 105+ b⇔5b=45⇒ =b 9
Vậy a=1,b=9,c=5

b) Vì 2012;92 đều là bội của 4 nên 2015

2012 và 9294cũng là bội của 4

(

)

(

)

2015 96

2012 4.m m * ;92 4n n *

⇒ = ∈ = ∈

Khi đó 20122015 9294 4 4

( ) ( )

4 4

( ) (

)

7 −3 =7 m−3 n = 7 m− 3 n = ....1 − ...1 =...0

(

)

2015 94 2015 94

2012 92 1 2012 92

7 3 10 7 3 5
2

A

⇒ −  ⇒ = − 

</div>
(184)<div class='page_container' data-page=184>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1.

a) Rút gọn biểu thức :

2 2 2 2

7 5 17 193

3 3 3 3

7 5 17 193

+ + −

+ + +

b) Tính nhanh: 1 3 5 7+ − − + + −9 11 ... 397 399− −

Câu 2.

a) Cho A 12 12 12 ... 12.
2 3 4 100

= + + + + Chứng minh rằng A 3

4
<

b) So sánh 20

17 và 3115

Câu 3.

a) Tìm các số x, y∈ biết:

(

x 1+ +

) (

2y 1− =

)

b) Tìm xbiết:

(

x 1+ +

) (

x+ +2

) (

x 3+ +

)

...+

(

x 100+

)

=5750

Câu 4.

Tìm số nguyên nsao cho 2n 1
n 5

− là số nguyên.

Câu 5.

Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho p2+2pcũng là số nguyên tố

Câu 6.

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4

Câu 7.

Số sách ở ngăn A bằng 2

3số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì

số sách ở ngăn A bằng 3

7số sách ở ngăn B. Tìm số sách ở mỗi ngăn.

Câu 8.

Cho  0

xOy 150 ,= kẻ tia Oz sao cho xOz=40 .0 Tính số đo yOz ?

Câu 9.

Cho 100 điểm trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng.

Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

1 1 1 1

7 5 17 293

a)A

1 1 1 1 3

7 5 17 293

 + + − 

 

 

= =

 + + − 

 

 

</div>
(185)<div class='page_container' data-page=185>

b)1 3 5 7 9 11 .... 397 399+ − − + + − − −

(

)

(

)

1 3 5 7 9 .... 395 397 399 401 401

= + − − + + + − − + −

1 0 ... 0 401 401
= + + + − = −

Câu 2.

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1
a)A ... ....

2 3 4 100 2 2.3 3.4 99.100
= + + + + < + + + +

1 1 1 1 1 1 1
A ...

2 2 3 3 4 99 100
⇔ < + − + − + + −

1 1 1 3

A A

2 2 100 4
⇔ < + − ⇔ <

( )

20 20 4 80

b)17 >16 = 2 =2

15 15 15 75

31 <32 =25 =2

15 75 80 20 15 20

31 <2 <2 <17 ⇒31 <17

Câu 3.

(x 1)(2y 1)+ − =12=1.12=2.6=3.4=12.1=6.2=4.3

Mà 2y 1− là số lẻ 2y 1 1 y 1; x 11

2y 1 3 y 2; x 3

− = ⇒ = =



⇒  − = ⇒ = =



Câu 4.

2n 1 2n 10 11 11

B 2

n 5 n 5 n 5
+ − +

= = = +
− − −

(

)

( ) {

}

{

}

B∈ ⇔ 11 n 5 − ⇒ n 5− ∈U 11 = ± ±1; 11 ⇒ ∈n 6; 4;16; 6−

Câu 5.

2 p

p +2 với p là số ngun tố

Với p=2ta có:p2+2p =22+22 =8khơng là số nguyên tố
Với p=3ta có: 32+23 = + =9 8 17là số nguyên tố

Với p>3ta có: p2+2p =

(

p2− +1

) (

2p+1

)

Ta có: 2

(

)(

)

p − =1 p 1 p 1− + là tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 3

(

)

2 + =1 2 1 M+ luôn chia hết cho 3

Nên 2 p

p +2 chia hết cho 3 nên p2+2pkhông là số nguyên tố
Vậy với p=3thì p2+2plà số nguyên tố

Câu 6.

Gọi a là số chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 ta có:

a 17+ chia hết cho 5, chia hết cho 7

Mà a 17+ là số nhỏ nhất ⇒17+alà BCNN(5, 7)=35
a 17 35 a 18

⇒ + = ⇒ =

Vậy, với a=18thì thỏa đề

Câu 7.

</div>
(186)<div class='page_container' data-page=186>

Số sách ở ngăn A bằng 2

3số sách ở ngăn B thì số sách ở ngăn A bằng

2 2

2 3+ =5số sách cả 2

ngăn.

Sau khi chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì số sách ngăn A bằng 3

7số sách ở ngăn

B hay bằng 3 3

3 7+ =10số sách cả hai ngăn

Vì số sách ngăn A ban đầu hơn số sách ở ngăn A sau khi chuyển là 3 quyển. Nên ta có
phân số chỉ 3 quyển là: 2 3 1

5−10=10

Số sách cả hai ngăn là: 3 : 1 30

10= (quyển)

Số sách ở ngăn A là: 30.2 12

5 = (quyển)

Số sách ngăn B là: 30 12− =18(quyển)

Câu 8.

Trường hợp 1: Oznằm trong xOy


  

xOz 40

xOz xOy Oz

xOy 150



=  ⇒

< ⇒



=  nằm giữa hai tia Ox, Oy⇒xOz  +zOy=xOy

Hay 0  0  0

40 +zOy 150= ⇒zOy 110=

Trường hợp 2:Oz nằm giữa  xOy, xOykề với góc xOz

  0 0 0

xOz xOy 40 150 180

⇒ + = + >

 0

(

 

)

yOz 360 xOz xOy 170

⇒ = − + =

Câu 9.

Chia 100 điểm thành 2 tập hợp A gồm 3 điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm còn lại
Số đường thẳng trong tập hợp A là 1

Số đường thẳng trong tập hợp B là 97.96 4656
2 =

Số đường thẳng qua 1 điểm thuộc tập hợp A và điểm thuộc tập hợp B là 3.97=291

Vậy số đường thẳng tạo thành là: 1 4656+ +291=4948đường thẳng.

</div>
(187)<div class='page_container' data-page=187>

Phòng GD và ĐT Hòa An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 6 CẤP TRƯỜNG 
Năm học 2018-2019

Bài 1.

a) Cho

ababab

là số có 6 chữ số.Chứng tỏ số

ababab

là bội của 3

b) Cho

S

= +

5 5

+ +

5 +

... 5

+

2004. Chứng minh

S

chia hết cho

126

và chi hết cho

65.

Bài 2. Tìm số tự nhiên

x

,

biết:

x

+

(

x

+ +

1 ) (

x

+

2 )

+

....

+

(

x

+

2010

)

=

2029099

2 + + + +

4 6 8 ... 2

+

x

=

210

Bài 3.

a) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho

p

+

11

cũng là số nguyên tố
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p để

p

+

8,

p

+

10

cũng là số nguyên tố

Bài 4. Một phép chia có thương bằng 5 và số dư là 12. Nếu lấy số bị chia chia cho tổng số

chia và số dư ta được thương là 3 và số dư là 18. Tìm số bị chia

Bài 5. Trên đoạn thẳng AB=3cm, lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho

AM=AN

a) Tính độ dài đoạn thẳng BN khi

BM

=

1 cm

b) Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN lớn nhất.

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a) Ta có:

ababab

=

ab

.10000

+

ab

.100

+

ab

=

10101

ab



3(

do

....10101 3)



b) Có 2 3 4 5 6

(

)

(

) (

3 3

)

5 +

5 =

5 1 5

+

5 . 1 5

+

5 1 5

+

2 3

5.126 5 .126

=

+

2 3 4 5 6

5 5

5 ⇒ +

+ +

chia hết cho 126

(

) (

)

(

)

2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 6
1998 2 3 4 5 6

5 5

5 5 5 5

5 ...

5 5 5

5 S

= +

+ +

+

+ +

+

+ +

Tổng trên có

2004 : 6

=

334

số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

Có: 2 3 4 3

(

)

5 5

+

5 +

5 = +

5 5

+

5 5 5

+

=

130 +

5.130

2 3 4

5 5

5 ⇒ +

+ +

chia hết cho 130

(

)

(

)

2 3 4 4 2 3 4 2000 2 3 4

5 5

5 5 5 5

5 ... 5

. 5 5

5 S

= +

+

Tổng trên có

2004 : 4

=

501

số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65

</div>
(188)<div class='page_container' data-page=188>

Bài 2.

)

2011

1 2 ... 2010

2029099

a

⇒

x

+ + +

+

=

2010.2011

2011

2029099

2 x

⇒

+

=

2010.2011

2011

2029099

2 x

⇒

=

−

2010.2011

2029099

: 2011 4

2 x





⇒ =



−



=





(

)

(

1 )

2 1 2

3 ...

210

2.

210

2 x x

b

⇒

+ + + +

x

=

⇒

+

=

(

1 )

210 14.15

x x

⇒

+ =

=

14 x

⇒ =

Bài 3.

a) Nếu p lẻ

⇒ +

p

11

là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố
Suy ra

p

chẵn nên

p

=

2

b) Nếu p chia 3 dư 1 thì p+8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên
tố

Nếu p chia 3 dư 2 thì p+10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố
Suy ra

p



3 ⇒ =

p

3

Bài 4. Gọi số bị chia là a, số chia là b

(

b

≠

0 )

Phép chia có thương bằng 5 số dư là 12

⇒ =

a

5 b

+

12

Số bị chia chia cho tổng số chia và số dư được thương là 3 và số dư là 18

(

12 .3 18

)

3

54

5

12

3

54

21

117 a

b

a

⇒ =

+

=

+

⇒

+

=

+

⇒ =

Vậy số bị chia là 117

Bài 5.

M nằm giữa hai điểm A, B nên

MA

=

AB

−

MB

= − =

3 1 2(

cm

)

2 AN

=

AM

=

cm

A nằm giữa N, B nên

BN

=

AN

+

AB

= + =

2

3

5 cm

,

BN

=

AN

+

AB AB

không đổi nên BN lớn nhất khi AN nhỏ nhất

AN lớn nhất khi AM lớn nhất
AM lớn nhất khi AM = AB
Lúc đó M trùng B và

BN

=

6 cm

N

A

M

B

</div>
(189)<div class='page_container' data-page=189>

UBND HUYỆN THỦY NGHUYÊN 
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI 
MƠN TỐN 6

Năm học 2017-2018 
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức (hợp lý nếu có thể)

a)53.39+47.39 53.21 47.21− −
5 4 3 1 13
b)

2.1 1.11 11.2+ + +2.15+15.4

Bài 2.

1. Tìm x,biết: a)31 x 13 7

5− = 5+10

( )

2012

b) x− = −2 1

2. Tìm x, yđể 56x3y 90

Bài 3. So sánh :

2008

2009

2009 1

a)A

2009 1

+
=

+ với

2009

2010

2009 1

+
=

+
b) 11

31 và 1714

Bài 4.

a) Cho 2 4 6 2004 2006

A= + + + +1 3 3 3 ... 3+ +3 Chứng minh Achia 13 dư 10

b) Chứng tỏ rằng 2n 1+ và 2n 3 n+

(

∈  là hai số nguyên tố cùng nhau.

)

Bài 5. Cho AOBvà BOClà hai góc kề bù. Biết BOC=5.AOB
a) Tính số đo  AOB, BOC

b) Gọi OD là tia phân giác của BOC.Tính số đo AOD

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD,vẽ thêm n tia phân

biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC, OD). Trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu góc

Bài 6.

Tính tổng 2 2 2 2

S 1= +2 + +3 ... 100+

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

(

)

(

)

(

)

a)53. 39 21− +47. 39 21− =18. 53 47+ =18.100 1800=

5 4 3 1 13
b) 7.

2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

=  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 7 7 11 11 14 14 15 15 28

 

=  − + − + − + − + − 

 

1 1 13
7.

2 28 4
 
=  − =

 

Bài 2.

</div>
(190)<div class='page_container' data-page=190>

1 3 7 9
1)a)x 3 1

5 5 10 10
= − − =

x 2 1 x 3

b) x 2 1

x 2 1 x 1

− = ⇒ =


− = ⇒  − = − ⇒ =



(

)

56x3y 9 5 6 x 3 0 9 x 4

2)56x3y 90

56x3y 10 y 0

 ⇔ + + + + ⇒ =


⇔ 

⇒ =


 




Vậy x=4, y=0

Bài 3.

a) Thực hiện quy đồng mẫu số:

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2008 2010 4018 2010 2008

2009 2010 2009 2010

2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1

2009 1 2009 1 2009 1 2009 1

+ + + + +

= =

+ + + +

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2009 2009 4018 2010 2008

2010 2009 2010 2009

2009 1 2009 1 2009 2009 2009 1

2009 1 2009 1 2009 1 2009 1

+ + + + +

= =

+ + + +

(

)

2010 2008 2008 2

2009 +2009 =2009 . 2009 +1

(

)

2009 2009 2008

2009 +2009 =2009 . 2009 2009+

(

)

(

)

Do 2009 + >1 2009+2009 ⇒ >A B

( )

11 11 5 55 56 4 14 14

b)31 <32 = 2 =2 <2 = 2 =16 <17

11 14

31 17

⇒ <

Bài 4.

a) A có

(

2006 0 : 2 1 1004−

)

+ = (số hạng) mà 1004chia 3 dư 2

(

) (

4 5 6

) (

10 12 14

)

(

2002 2004 2006

)

A= +1 3 + 3 + +3 3 + 3 +3 +3 +...+ 3 +3 +3

(

)

(

)

(

)

4 2 4 10 2 4 2002 2 4

A=10 3 . 1 3+ + +3 +3 . 1 3+ +3 +... 3+ . 1 3+ +3

(

4 10 2002

)

A=10 91. 3+ +3 +... 3+

4 10 2002

A=10 3 .91 3 .91 .... 3+ + + + .91

Do 91 13

A : 91

⇒ dư 10.

b) Gọi d=UCLN(2n 1, 2n+ +3)

Ta có: d là số lẻ vì 2n 1, 2n+ +3lẻ

Và d∈U(2n 1)+ và d∈U(2n+3)mà

(

2n 3+ −

) (

2n 1+ =

)

2
Do đó d∈U(2); dlẻ nên d 1=

Vậy 2n 1; 2n+ +3là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 5.

</div>
(191)<div class='page_container' data-page=191>

a) Ta có:   0

AOB BOC 180+ = (hai góc kề bù) mà BOC=5AOB

 0  0  0

6AOB 180 AOB 30 ; BOC 150

⇒ = ⇒ = =

b) Ta có:   1 0

BOD DOC BOC 75
2

= = = (tính chất tia phân

giác)

Mà   0

AOD+DOC 180= (tính chất kề bù)

 0  0 0 0

AOD 180 DOC 180 75 105

⇒ = − = − =

c) Tất cả có n+4tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n+4tia đó

tạo với n 4 1 n 3+ − = + còn lại tạo thành n 3+ góc. Có n+4

tia tạo nên thành

(

n+4 n 3

)(

)

góc, nhưng như thế mỗi
góc được tính 2 lần

Vậy có tất cả

(

n 4 n

)(

)

+ +

góc.

Bài 6.

(

) (

)

(

)

S 1 2 1 1= + + +3 2 1+ +4 3 1+ + +.... 100. 99 1+

1 1.2 2 2.3 3 3.4 .... 99.100 100

= + + + + + + + +

(

1.2 2.3 .... 99.100

) (

1 2 3 ... 100

)

= + + + + + + + +

Đặt M 1.2 2.3 3.4 ... 99.100= + + + +

(

)

(

)

(

)

3M=1.2.3 2.3. 4 1+ − +3.4. 5 2− +... 99.100. 101 98+ −

3M=99.100.101⇒M=333300

A 333300 5050 33835

⇒ = + =

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN 
TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH NĂNG KHIẾU 
Mơn Tốn 6

Bài 1. Thực hiện các phép tính:

a)S 1.2= +2.3 3.4 ... 99.100+ + +

(

)

(

)

b) 528 : 19, 3 15, 3 − +42. 128 75 32+ − −7314

Bài 2. Tìm các số nguyên xbiết:

(

2

)

(

)

2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

(

) ( )

3 2

b) 7x 11− = −3 .15 208+

( )

c) 2x 7− =20 5.+ −3

Bài 3. Tìm hai số tự nhiên a, b biết:

BCNN(a, b)=300; UCLN(a, b)=15và a 15 b+ =

C
D

O
A

</div>
(192)<div class='page_container' data-page=192>

Bài 4.

a) Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91thì
dư bao nhiêu ?

b)So sánh hai phân số:

2012

2013

10 10

−
=

− và

2011

2012

10 10

+
=

Bài 5.

Cho đoạn thẳng AB,điểm O thuộc tia đối của tia AB.Gọi M, Nthứ tự là trung điểm

của OA, OB

a) Chứng tỏ rằng OA OB<

b) Trong ba điểm O, M, Nđiểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?

c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm O(O
thuộc tia đối của tia AB)

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

a)S 1.2= +2.3 3.4 ... 99.100+ + +

(

)

(

)

(

)

3S 1.2.3 2.3. 4 1= + − +3.4. 5 2− +... 99.100. 101 98+ −

1.2.3 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 99.100.101 98.99.100

= + − + − + + −

S 99.100.101: 3 333300

⇒ = =

(

)

(

)

b) 528 : 19, 3 15, 3 − +42. 128 75 32+ − −7314

(

528 : 4

)

42.171 7314

= + −

121 7182 7314 0

= + − =

Bài 2.

(

2

)

(

)

2 2

a) 19x+2.5 :14= 13 8− −4

(

)

{

2 2 2

}

x 14. 13 8 4  2.5 :19 4
⇒ =  − − − =

(

) ( )

3 2

(

)

b) 7x 11− = −3 .15 208+ ⇒ 7x 11− =9.15 208+

(

)

3 3 18

7x 11 343 7 7x 11 7 x (ktm)
7
− = = ⇒ − = ⇔ =

( )

c) 2x 7− =20 5.+ − ⇔3 2x 7− =5

2x 7 5 x 6

2x 7 5 x 1

− = ⇒ =


⇔  − = − ⇒ =



Bài 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:

+Vì UCLN (a,b)=15 nên ắt tồn tại các số tự nhiên m, n≠0, sao cho:
a=15m, b=15n (1) và UCLN(m, n)=1(2)

</div>
(193)<div class='page_container' data-page=193>

Vì BCNN a, b

( )

=300nên theo trên ta suy ra

(

)

BCNN 15m,15n 300 15.20 BCNN(m, n) 20 (3)

⇒ = = ⇒ =

Vì a 15+ = ⇒b 15m 15 15n+ = ⇒ + =m 1 n (4)

Trong trường hợp thỏa mãn các điều kiện

( ) ( )

2 , 3 thì chỉ có trường hợp m=4, n=5thỏa

mãn điều kiện (4)

Vậy với m=4, n=5thì ta được các số phải tìm:

a=15.4=60 b 15.5= =75

Bài 4.

a) Gọi số đó là a

Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4
a 9 7; a 9 13

⇒ +  +  mà

(

7,13

)

= ⇒ + 1 a 9 7.13

(

)

(

)

(

)

a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91 k 1 82 k

⇒ + = ⇒ = − = − + = − + ∈ 

Vậy a chia cho 91 dư 82.
b) Vì B 1< nên

(

)

(

)

2011

2012 2012 2011

2013 2013 2012 2012

10 10 10

10 10 110 10 100 10 10

B A

10 10 110 10 100 10 10 10 10 10

− + + +

< = = = =

− + + + +

Bài 5.

a) Hai tia AO, ABđối nhau nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra OA OB<

b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OBnên:
OA OB

OM ; ON
2 2
⇒ = =

Vì OA OB< ⇒OM<ON

Hai điểm M và N thuộc tia OB,mà OM<ON,nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N

b) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có:

OB OA AB
OM MN ON MN ON OM MN

2 2
−

⇒ + = ⇒ = − ⇒ = =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không
phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối tia OB)

M A N B

O

</div>
(194)<div class='page_container' data-page=194>

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Năm học : 2019-2020

Mơn: Tốn 6 
Bài 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn phân số:

( )

3 3 3

3 4

2 .3 .5 .7.8
3.5 .2 .42
−

b) So sánh không qua quy đồng: A 20057 152006; B 152005 20067
10 10 10 10

− − − −
= + = +

Bài 2. (2,0 điểm)

Khơng quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:

1 1 1 1 1 1
a)A

20 30 42 56 72 90
− − − − − −
= + + + + +

5 4 3 1 13
b)B

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
= + + + +

Bài 3. (2,0 điểm)

Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là:

65kg, 71kg, 58kg, 72kg, 93kg.Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số

lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xồi.

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB
a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

c) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm 2006 tia
phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC, ODđã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc ?

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho p, p+4là các số nguyên tố

(

p>3

)

. Chứng minh p 8+ là hợp số

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

( )

3 3 3

3 4

2 .3 .5 .7.8
3.5 .2 .42
−

( )

2 2 .3 .5 .7.232 43 3 3 ( 2).3 6
3.5 .2 .2.3.7

−

= − = −

b) A 20057 152006 20057 20068 20067
10 10 10 10 10

− − − − −
= + = + +

2005 2006 2005 2005 2006

15 7 7 8 7
B

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

Vì: 20068 20058 A B
10 10

− > − ⇒ >

Bài 2.

</div>
(195)<div class='page_container' data-page=195>

1 1 1 1 1 1 1 1
A .... ....

20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10
− − − −  
= + + + + = − + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 3

...

4 5 9 10 4 10 20
−
   
= − − + + − = − − =

   

b) B 5 4 3 1 13 7. 5 4 3 1 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7. 7. 3

2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4

   

=  − + − + − + − + − =  − =

   

Bài 3.

Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 71 58 72 93+ + + + =359(kg)

Vì số xồi còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xồi và cam cịn lại chia hết cho 4,
mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Trong các số 65; 71;58; 72;93chỉ có 71 chia cho 4 dư 3

Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg

Số xồi và cam cịn lại: 359 71− =288(kg)

Số cam còn lại: 288 : 4=72(kg)

Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg
Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg

Bài 4.

a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên:   0

AOB BOC 180+ = mà BOC=5AOB nên

 0  0  0

6.AOB 180= ⇒AOB=30 , BOC 150=

b) Vì OD là tia phân giác của BOCnên BOD DOC 1BOC 750

= = =

Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên:  AOD+DOC 180= 0

Do đó:  0  0 0 0

AOD=180 −DOC 180= −75 =105

c) Tất cả có 2010 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đó tạo với 2009 tia cịn lại thành 2009
góc. Có 2010 tia tạo thành 2010.2009 góc, nhưng như thế mỗi góc tính 2 lần. Vậy có tất cả

2010.2009

2019045
2 = góc

Bài 5.

P có dạng 3k 1, 3k+ +2 k

(

∈ 

)

C
D

O
A

</div>
(196)<div class='page_container' data-page=196>

Dạng p=3k+ ⇒ +2 p 4là hợp số trái với đề bài

p 3k 1 p 8 3k 9 3 p 8

⇒ = + ⇒ + = +  ⇒ + là hợp số

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Năm học : 2019-2020

Mơn: Tốn 6 
Bài 1. (2,0 điểm)

a) Rút gọn phân số:

( )

3 3 3

3 4

2 .3 .5 .7.8
3.5 .2 .42
−

b) So sánh không qua quy đồng: A 20057 152006; B 152005 20067
10 10 10 10

− − − −
= + = +

Bài 2. (2,0 điểm)

Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:

a) A 1 1 1 1 1 1

20 30 42 56 72 90
− − − − − −
= + + + + +

b) B 5 4 3 1 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
= + + + +

Bài 3. (2,0 điểm)

Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là:

65kg, 71kg, 58kg, 72kg, 93kg.Sau khi bán một giỏ cam thì số lượng xồi còn lại gấp ba lần số

lượng cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xồi.

Bài 4. (3,0 điểm)

Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết góc BOC bằng 5 lần góc AOB
a) Tính số đo mỗi góc

b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho p, p+4là các số nguyên tố

(

p>3

)

. Chứng minh p 8+ là hợp số

ĐÁP ÁN 
Bài 1.

( )

3 3 3

3 4

2 .3 .5 .7.8
3.5 .2 .42
−

( )

2 2 .3 .5 .7.232 43 3 3 ( 2).3 6
3.5 .2 .2.3.7

−

= − = −

b) A 20057 152006 20057 20068 20067
10 10 10 10 10

− − − − −
= + = + +

2005 2006 2005 2005 2006

15 7 7 8 7
B

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

</div>
(197)<div class='page_container' data-page=197>

2006 2005

8 8

A B
10 10

− > − ⇒ >

Bài 2.

a) A 1 1 1 .... 1 1 1 1 .... 1

20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10
− − − −  
= + + + + = − + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 3

...

4 5 9 10 4 10 20
−
   
= − − + + − = − − =

   

b) B 5 4 3 1 13 7. 5 4 3 1 13

2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28

 

= + + + + =  + + + + 

 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7. 7. 3

2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4

   

=  − + − + − + − + − =  − =

   

Bài 3.

Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65 71 58 72 93+ + + + =359(kg)

Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xồi và cam cịn lại chia hết cho 4,
mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Trong các số 65; 71;58; 72;93chỉ có 71 chia cho 4 dư 3

Vậy gỉ cam bán đi là giỏ 71kg

Số xồi và cam cịn lại: 359 71− =288(kg)

Số cam còn lại: 288 : 4=72(kg)

Vậy các giỏ đựng cam: 71kg, 72kg
Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg

Bài 4.

a) Vì góc AOB và BOC là hai góc kề bù nên:   0

AOB BOC 180+ = mà BOC=5AOBnên

 0  0  0

6.AOB 180= ⇒AOB=30 , BOC 150=

b) Vì OD là tia phân giác của BOCnên   1 0

BOD DOC BOC 75
2

= = =

Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên:   0

AOD+DOC 180=

Do đó:  0  0 0 0

AOD=180 −DOC 180= −75 =105

2010.2009

2019045
2 = góc

C
D

O
A

</div>
(198)<div class='page_container' data-page=198>

Bài 5.

P có dạng 3k 1, 3k+ +2 k

(

∈ 

)

Dạng p=3k+ ⇒ +2 p 4là hợp số trái với đề bài

p 3k 1 p 8 3k 9 3 p 8

⇒ = + ⇒ + = +  ⇒ + là hợp số

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
Năm học 2018-2019

Mơn thi: TỐN 6

Câu 1.Tính giá trị các biểu thức sau:

( ) ( ) ( ) ( )

2 3 4

( )

2010

( )

2011

A= −1 . −1 . −1 . −1 ... −1 . −1
131313 131313 131313

B 70.

565656 727272 909090

 

=  + + 

 

2a 3b 4c 5d
C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b =4c =5d =2a

Câu 2. Tìm xlà các số tự nhiên, biết:

a) x 1 8

2 x 1
+ =

2 2

0, 4

1 3 9 11

x : 9

8 8

2 2

1, 6

9 11

+ −

 − =

 

  + −

Câu 3.

a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên

( )

x, y sao cho 34x5ychia hết cho 36

b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh:

2010 2011 2011 2010

9 19 9 19
A ; B

10 10 10 10
− − − −
= + = +

Câu 4.

Cho A n 1

n 4
−
=

a) Tìm nnguyên để Alà một phân số

b) Tìm nnguyên để Alà một số nguyên.

Câu 5.

Cho tam giác ABC có  0

ABC=55 ,trên cạnh AC lấy điểm D(Dkhơng trùng với A

và C)

a) Tính độ dài AC,biếtAD=4cm, CD=3cm

b) số đo DBCbiết ABD=300

c) Từ B dựng tia Bxsao cho DBx=90 .0 Tính số đo ABx

</div>
(199)<div class='page_container' data-page=199>

d) Trên cạnh ABlấy điểm E(E không trùng với Avà B). Chứng minh rằng 2đoạn thẳng

BD và CE cắt nhau.

ĐÁP ÁN 
Câu 1.

( ) ( ) ( )

A= −1.1. −1 ... −1 .1. − = −1 1

13 13 13 1 1 1
B 70. 70.13.

56 72 90 7.8 8.9 9.10

   

=  + + =  + + 

   

1 1
70.13. 39

7 10
 
=  − =

 
2a 3b 4c 5d
C

3b 4c 5d 2a

= + + + biết2a 3b 4c 5d

3b =4c =5d =2a

Đặt 2a 3b 4c 5d k

3b = 4c=5d =2a =

Ta có: 2a 3b 4c 5d 4 4

. . . k k 1 k 1 C 4
3b 4c 5d 2a = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ±

Câu 2.

a) x 1 8

(

)

( )

x 1 16 4
2 x 1

+ = ⇒ + = = ±
+

) x 1 4 x 3
+ + = ⇒ =

) x 1 4 x 5(ktm)

+ + = − ⇒ = −

Vậy x 3=

2 2

0, 4

1 3 9 11

x : 9

8 8

2 2

1, 6

9 11

+ −

 − =

 

  + −

2 2

0, 4

19 3 9 11

x :

2 2

4. 0, 4

9 11

+ −

 

⇔  − =

 

  + −

 

 

x 1

x 2
8 4

⇔ = ⇒ =

Câu 3.

a) Ta có: 36 9.4= mà ƯC(4, 9)=1

Vậy để 34x5ychia hết cho 36 thì 34x5ychia hết cho 4 và 9
34x5ychia hết cho 9 khi 3 4 x 5 y 9+ + + +  ⇒12 x+ +y 9 1

( )

34x5ychia hết cho 4 khi 5y 4 ⇒ =y 2, y=6

Với y=2thay vào (1) 14 x 9⇒ +  ⇒ =x 4

</div>
(200)<div class='page_container' data-page=200>

Với y=6thay vào (1) 18 x 9 x 0

x 9

=


⇒ + ⇒ 

=



Vậy các cặp

( )

x, y cần tìm là :

( ) ( ) ( )

4, 2 ; 0, 6 ; 9, 6
b) Ta có:

2010 2011 2010 2011 2011

9 19 9 10 9
A

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

2011 2010 2011 2010 2010

9 19 9 10 9
B

10 10 10 10 10
− − − − −
= + = + +

Ta thấy 102011 102010 A B
10 10

− −

> ⇒ >

Câu 4.

a) A n 1

n 4
−
=

+ là phân số khi n 4 0+ ≠ ⇒ ≠ −n 4

b)A n 1 n 4 5 1 5

n 4 n 4 n 4
− + −

= = = −
+ + +

Với nnguyên, A nhận giá trị nguyên ⇔5 n + ⇒4

(

n+ ∈4

)

U 5

( ) {

= ± ±1; 5

}

Lập luận tìm ra được n= − − −9; 5; 3;1

Câu 5.

a) D nằm giữa A và C⇒AC=AD CD+ = + =4 3 7cm

b) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên   ABC=ABD+DBC

   0 0 0

DBC ABC ABD 55 30 25

⇒ = − = − =

c) Xét hai trường hợp:

*Trường hợp 1: Tia Bxvà BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng

có bờ là AB

Tính được:  0 

ABx=90 −ABD

Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA, BCnên 00 <ABD<550

 

0 0 0 0 0 0

90 55 ABx 90 0 35 ABx 90

⇒ − < < − ⇔ < <

*Trường hợp 2: Tia Bx, BDnằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB

Tính được:  0 

ABx=90 +ABD

Lập luận tương tự trường hợp 1 chỉ ra được: 0  0

90 <ABx<145
Vậy 350 <ABx<145 , ABx0 ≠900

d) Xét đường thẳng BD

Do BD cắt AC nên đường thẳng BDchia mặt phẳng làm hai nửa: 1 nửa mặt phẳng có bờ
BDchứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A

⇒tia BAthuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A

300
?

A

B C

D
E

</div>

Bộ đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 6

<b>Tailieumontoan.com </b>

<b> </b>

<b>Điện thoại (Zalo) 039.373.2038</b>

<b> </b>

<b>TUYỂN TẬP </b>

<b>ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6 </b>

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( )

(

)

(

)(

)

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(