MAT102 - TOÁN CAO CẤP 2 - NGÂN HÀNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOPICA

TỔNG HỢP
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
a) Rank(At)=rank(A)
b) Rank(AB)=rank(A).rank(B)
c) Rank(A+B)=rank(A)+rank(B)
d) Rank(A-B) = rank(A) + rank(B)
Vì: Det(At)=det(A) rank(At)=rank(A)
A,B M4(R). A, B khả nghịch. Khẳng định nào sau đây luôn đúng
a) rank(2AB)-1=3
c) rank(AB) < rank(2AB)
-1
b) rank(AB) = 4
d) rank(AB)-1 = -4
Vì: A,B là ma trận vng cấp 4 nên AB là ma trận vuông cấp 4
(AB)-1 là ma trận vuông cấp 4 không suy biến rank(AB)-1=4.
Cho
. Câu nào dưới đây là đúng
a) f là đơn cấu khi và chỉ khi f biến mỗi hệ độc lập tuyến tính của U thành một hệ độc lập

tuyến tính của V
b) f là toàn cấu khi và chỉ khi f biến mỗi hệ độc lập tuyến tính của U thành một hệ độc
lập tuyến tính của V
c) f là đơn cấu khi và chỉ khi f biến mỗi hệ của U thành một hệ độc lập tuyến tính của V
d) f là tồn cấu khi và chỉ khi f biến mỗi hệ của U thành một hệ độc lập tuyến tính của V
Vì: Đó là tính chất của đơn cấu và tồn cấu.

Với giá trị nào của k thì rank(A)=1; A=
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Vì: Ta đưa A về dạng

Rank(A)=1

1


2


ÁNH XẠ
Cho 2 ánh xạ

và

a)
b)

. Khi đó
d)

c)
Vì:
Cho ánh xạ
Với tập A nào sau đây, ta có f=g.

và
c)

a)

d) A=R

b)

Vì:
Cho ánh xạ
xác định bởi:
A) f là đơn ánh, khơng là tồn ánh
B) f là tồn ánh, khơng là đơn ánh

. Khẳng định nào sau đây đúng?
C) f là song ánh
D) không phải là ánh xạ

Vì: f là một song ánh với ánh xạ ngược
Cho ánh xạ

. Khi đó, tập nghịch ảnh

a)

b)

là

c)

d)

Vì:
Cho ánh xạ

. Khi đó, tập nghịch ảnh

A)

B)

là

C)

D)

Vì:
Cho

xác định bởi

phần tử nào thỏa mãn
a)

. Trong các phần tử

sau đây của

,

.
b)

c)

d)

Vì:

Cho
a)

xác định bởi
b)

. Khi đó,
c)

là
d)
3


Vì:

Cho ánh xạ
A)

xác định bởi

. Cho A=[0,3]\{1}. Khi đó
C)

B)

D)

Vì:
Ta suy ra f(x) đồng biến.
Vậy: *Với 0<=x<1:

*Với
Cho ánh xạ

tức là:

, ta có
là song ánh.

.Khi đó

A)

C)

B)

D)

Vì:

Cho ánh xạ

. Khi đó, từ mệnh đề nào sau đây ta suy ra được f là một toàn ánh
C)
D)

A)
B)
Vì:Theo định nghĩa:Ánh xạ:
Cho ánh xạ

được gọi là toàn ánh nếu: f(X)=Y
xác định bởi

. Ánh xạ ngược của nó là:

A)

C)
D) khơng tìm được

B)
Vì:

Cho
là 1 ánh xạ. Khẳng định nào sau đây là KHƠNG ln đúng với các tập con A, B
bất kì của X?
A)

C)nếu f đơn ánh thì:

B)

D)

Vì:Với

và

thì

Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là đơn ánh ?
4


a)

c)
d)

b)
Vì: Ánh xạ
- Ta có
- Phương án
- Phương án

được gọi là đơn ánh nếu:
sai vì
sai vì
sai vì

Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là song ánh ?
a)
b)
Vì:Ánh xạ
+ Phương án
+ Phương án
+ Phương án

c)
d)
được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh.
sai vì nó khơng là đơn ánh
sai vì nó khơng là đơn ánh
sai vì nó khơng là tồn ánh, phương trình

vơ nghiệm

5


ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính từ

đến

a)

c)

b)

d)

Vì: Ánh xạ f là tuyến tính nếu:

Ánh xạ tuyến tính

là một toán tử tuyến tính nếu
b)

a)
Vì: Ánh xạ tuyến tính

c)
là một tốn tử tuyến tính khi và chỉ khi V=W .

d)

Cho ánh xạ
là ánh xạ tuyến tính giữa các khơng gian véctơ V và W. Khẳng định nào
trong các khẳng định sau là sai?
a)
b)
c)

với

là các véctơ khơng lần lượt của V và W.

d)
Vì: Xét ánh xạ tuyến tính

với

Cho ánh xạ
,
nào sau đây là đúng?

a)
b)

. Khi đó

và

và tập hợp

nhưng
. Khẳng định

không phải là đơn ánh
không phải là tồn ánh

c)
d)
Ta có f là một song ánh, nên các phưưong án “

không phải là đơn ánh” và “

không phải là toàn

ánh” là sai.
Cho

xác định bởi

phần tử nào thỏa mãn
a)

. Trong các phần tử

sau đây của

,

.
b)

c)

d)

Vì:
Cho
a)

xác định bởi
b)

. Khi đó,
c)

là
d)
6


Vì:
Cho

xác định bởi

a)

. Khi đó,

b)

là

c)

d)

Vì:
Cho ánh xạ tuyến tính
Khi đó,
=
a) (2,-10)

thỏa mãn:

.

b) (3,-10)

c) (-10,2)

d) (-10,3)

c)

d)

Vì:
Cho ánh xạ tuyến tính
Tính
.
a)

thỏa mãn:

b)

Vì:
Cho ánh xạ tuyến tính
Ma trận của

xác định bởi:

đối với cặp cơ sở chính tắc là

(HAI HÀNG NGANG)

a)
b)

c)

d)

Vì:
Þ ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc là:
Cho ánh xạ tuyến tính
thuộc Kerf ?
a) (1,1,1)
Vì:

xác định bởi
b) (1,1,0)

. Véctơ nào sau đây
c) (2,-1,1)

d) (1,-1,2)

c) 2

d) 4

= 0 Þ (2,-1,1)

Cho ánh xạ tuyến tính

xác định bởi

Số chiều của khơng gian Ker(f) là
a) 0

b) 1

7


Vì: Ta có
Do đó,
Cho ánh xạ tuyến tính
xác định bởi
Số chiều của khơng gian Imf là?
a) 1
b) 2

Vì: Ta có

c) 3

d) 4

ÞMa trận của f là

Cho ánh xạ tuyến tính

Þ Dim Imf = r(A)=2

có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc của

,

là

Tính

a)

(2,1)

b)

Vì: Ta có

(3,2)

=

c)

(5,4)

Vì: Xét ánh xạ

Khi đó

(1,5)

Do vậy

Cho ánh xạ tuyến tính giữa các khơng gian vectơ hữu hạn chiều
đây là SAI ?
a) Nếu
b) Nếu

d)

thì
thì

c) Nếu
d) Nếu

.

. Khẳng định nào sau

thì
là tồn ánh thì

là đơn ánh
.

.Nếu ta đặt

.
nên khơng thể là đơn ánh

Cho toán tử tuyến tính
đó,
là
a) (5,4)

có ma trận đối với cơ sở chính tắc của

b) (3,3)

c) (1,2)

là

. Khi

d) (2,1)

Vì:
Cho toán tử tuyến tính
nhân
có số chiều là

có ma trận

đối với cơ sở chính tắc và

a) m = 0

b) m = 1
c) m = 2
3
Vì: r(A) = 1 Þ dim Imf =1 Þ dim Kerf = dim R – dim Imf = 3- 1 = 2

. Khi đó hạt

d) m = 3
8


Cho V và W là hai không gian véctơ. Ánh xạ

là ánh xạ tuyến tính nếu

a)
b)
Vì: Đây là định nghĩa ánh xạ tuyến tính.

c)
d)

9


10


TẬP HỢP

Cho 2 tập hợp A,B

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A)

D)

B)
C)

Cho 2 tập hợp
A) 5

. Khi đó,
B) 6

có bao nhiêu phần tử?
C) 7

D) 8

Vì:
Cho 3 tập hợp
a) Nếu
b) Nếu
c) Nếu
d) Nếu
Vì: - Lấy
- Lấy

- Lấy
- Nếu

khác rỗng, khẳng định nào sau đây là ln đúng ?
thì
.
thì
.
thì
.
thì
.
ta thấy phương án “Nếu
thì
ta thấy phương án “Nếu
thì
ta thấy phương án Nếu
thì
thì

đúng vì

Cho A={1,3}. Khi đó, tập
a)

Do vậy, nếu

” sai.
” sai.
sai.

thì

.

là:

=

c)

b)

d)

Vì:
Cho
A)

. Khi đó,
B)

là
C)

D)

Vì:
Cho
là

. Khi đó, tập nghiệm của phương trình
11


a)

b)

c)

d)

Vì: Ta có
Cho
sau đây?

. Khi đó,

B)

là tập nghiệm của phương trình nào

C)

A)

D)

Vì:

Cho các tập
a)

,

,

. Tập

b)

là
c)

d)

Vì:
Cho các tập

,

,

A)

B)

. Khi đó, tập
C)

Cho tập
A)

. Phần tử
B)

thuộc tập nào trong các tập sau?
C)

là
D)

Vì:

D)

Vì:
khơng chứa
Cho tập A có 2 phần tử, tập B có 3 phần tử. Khi đó, số phần tử tối đa của tập
là
A) 2
B) 3
C) 5
D) 6
Vì:Trường hợp giao của các tập hợp, tập giao có nhiều phần tử nhất khi tập hợp này là tập con của
tập hợp kia. Khi đó, số phần tử của tập giao bằng số phần tử của tập nhỏ hơn .
Với A,B là 2 tập hợp bất kì, khẳng định nào sau đây là sai?
a)
b)
c)

d)

Vì:
Với ,
a)
Vì: Ta có

là hai tập hợp bất kì, khẳng định nào sau là SAI?
b)

c)

d)

Phương án sai trong trường hợp

khi đó

Với A, B, C là các tập hợp bất kì, khẳng định nào sau là SAI ?
a)

b)
12


c)

d)

Vì: VD:
vì khi đó
Theo tính chất của các phép giao, phép hợp, hiệu của hai tập hợp, ta có
Với A, B, C là các tập hợp bất kì, khẳng định nào sau đây là khơng ln đúng?
A)
Vì:- Các biểu thức
phép tốn tập hợp. Biểu thức
đó
Song ánh là x
Tồn ánh là Y

C)

B)
,

D)

và
là ln đúng. Đó là các tính chất của các
là sai trong trường hợp
vì khi

.
Nghịch ảnh {3} là {1}

Nghịch ảnh {4} là {4,1}

13

MA TRẬN
Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp n và k là một số thực. Đẳng thức nào sau đây là sai ?
a)

d)

b)
c)
Vì:Phương án

sai do khơng có tính chất giao hốn của phép nhân hai ma trận

Cho A và B là các ma trận vuông cấp n và k là một số thực bất kì, khẳng định nào sau đây SAI?
a)

c)
d) det(AB)=detA.detB

b)
Vì: 1,

đúng theo tính chất định thức 2,

đúng

do:
3, kiểm tra

với A,B là 2 ma trận cấp 2 đơn giản

sai.
Cho A và B là các ma trận khả nghịch. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
a) Ma trận AB khả nghịch
c) Ma trận (A+B) khả nghịch
b) Ma trận (A-B) khả nghịch
d) Ma trận (BA-AB) khả nghịch.
Ma trận AB khả nghịch Vì: Det(AB)=detA.detB
Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp n. Hệ thức nào sau là sai ?
a)
b)

c)
d)

Vì: Khơng có phép cộng giữa ma trận với một số. Biểu thức đúng là:

Cho
a)

là ma trận đối xứng. Khi đó
b)

c)

d)
14


Vì:Ma trận là ma trận đối xứng

Cho A=
nào?
a)
b)
c)
d)

nếu

hay

.

Gọi M là tập tất cả các phần tử của ma trận A-1. Tập M gờm những phần tử

0, 1/3, ½.
1/6, -1/6, 0, 1/3.
) 0, 1/2, -1/3, 1/3, -7/6, 1.
1/2, -1/3, 1/3, -7/6, 1.

Vì: A-1=

Cho A=
Gọi M là tập tất cả các phần tử của ma trận A-1. Tập M gồm những phần tử nào?
a) 0, 1/3, ½.
c) 0, 1/2, -1/3, 1/3, -7/6, 1.
b) 1/6, -1/6, 0, 1/3.
d) 1/2, -1/3, 1/3, -7/6, 1.

Vì: A-1=

Cho

. Tìm ma trận P sao cho

a) Không tồn tại
ma trận P

b)

c)

d)

Vì: Ma trận A có các trị riêng và vecto riêng là:

Cho hai ma trận
a)

Khẳng định nào sau đây đúng?
b)AB xác định nhưng BA khơng xác định
d)

c)
Vì: Điều kiện để phép nhân hai ma trận: X,Y thực hiện được là: số cột của X bằng số hàng của Y. Áp
dụng vào trường hợp trên:
15

-AB: số cột của A=2≠số hàng của B vậy AB không xác định
-BA: số cột của B=2=số hàng của A vậy BA xác định
Như vậy loại tất cả các đáp án liên quan đến AB xác định thì C là đáp án đúng.

Cho biết các định thức con của ma trận A sau có những cấp nào?
a) 2,3
b) 2,4
c) 1,2,3
Vì: Ma trận A có cấp 3x4 Min(3,4)=3 Các định thức con của A sẽ có cấp là 1,2,3

Cho các ma trận
a) 0

b) 1

d) 1,2,3,4

. Định thức của ma trận A-B là
c) 18

d) 6

Vì:

Cho các ma trận

a)

. Khi đó

b)

là

c)

d)

Vì: BA=

Cho các ma trận

a)

. Khi đó

b)

là

c)

d)

Vì: BA=

Cho các ma trận

a)

Tính A + B – C

b)

c)

d)

Vì:
Cho

là tập các ma trận thực vng cấp n. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
16


a)

nếu

thì

b)

nếu

thì

.
.

c)

là ma trận đối xứng

d)

là ma trận đối xứng

Vì: Ta có: +)
chưa chắc A= ±E

, nên A2 = 0 thì chưa chắc A=0. +)

, nên A2 = E thì

, nên (At - A) không phải là ma trận đối xứng.

+)

, nên (At + A) là ma trận đối xứng

+

Cho ma trận
. Với giá trị nào của sau đây, ma trận A là ma trận suy biến?
a)
b)
c)
d)
Vì: Ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng 0.

Cho ma trận

a)

. Ma trận

là

b)

d)

c)

Vì:

Cho ma trận
a) 4

b) 3

. Phần phụ đại số
của A ứng với phần tử
là
c) 6
d) 6

Vì:

Cho ma trận

. Ma trận con cấp 2 ứng với phần tử
c)

là
d)

a)
b)
Vì: Bỏ đi hàng 2 và cột 3 của ma trận A
17


Cho ma trận
. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp, lấy hàng 1 nhân với (-2), rồi cộng
vào hàng 2 ta được ma trận

a)

b)

c)

d)

Vì:

Cho ma trận
ma trận

a)

. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp: đổi chỗ cột 1 và cột 3, ta được

b)

c)

d)

Vì: Thay cột 1 bởi cột 3 và ngược lại:

Cho ma trận
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A) AB và BA đều không xác định
B) AB xác định nhưng BA không xác định
C) BA xác định nhưng AB không xác định
D) AB và BA đều xác định

Vì:Điều kiện để phép nhân hai ma trận: X,Y thực hiện được là: số cột của X bằng số
hàng của Y. Áp dụng vào trường hợp trên:
-AB: số cột của A=3=số hàng của B vậy AB xác định
-BA: số cột của B=2=số hàng của A vậy BA xác định

Cho P là ma trận trực giao cấp 2. Khi đó,
d)

a)
b)

c)

Vì:
Hệ thức nào sau là KHƠNG ln đúng cho các ma trận A, B, C vuông cấp n bất kì?
a)
c)
b)
18


d)
Vì:Phép nhân ma trận với ma trận khơng có tính chất giao hốn.
Khẳng định nào sau đây ln đúng với ma trận A vng cấp 2 bất kì.
c)
d)

a)
b)
Vì:

+) Có

Sai vì

+) Có

Sai vì

+) Có

Sai vì

nhưng
nhưng

Ma trận nào trong các ma trận sau đây chéo hóa trực giao được?

a)

b)

c)

d)

Vì: Ma trận chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi nó là ma trận đối xứng. Ma trận
chéo hóa trực giao được.

đối xứng nên

Ma trận nào trong các ma trận sau đây khơng chéo hóa trực giao được?
a)
b)
c)
Vì: Một ma trận chéo hóa trực giao được khi và chỉ khi nó là ma trận đối xứng.
Ma trận

d)

không đối xứng nên không chéo hóa trực giao được.

Trong các ma trận dưới đây, ma trận nào là ma trận bậc thang?
b)
c)
a)
Vì: Ma trận bậc thang là:
1. Các hàng khác không luôn ở trên các hàng khơng

d)

2. trên 2 hàng khác khơng thì phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột
chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.

19


20


MA TRẬN TỒN PHƯƠNG

Ma trận của dạng toàn phương

trên

a)
b)
Vì: A11 = 2, A22 = 3, A12 = A21 = 1

là

c)

Ma trận của dạng toàn phương

a)

Vì: Với

d)

là

b)

c)

d)

à

Ma trận nào sau đây là ma trận của một dạng toàn phương?
a)

b)
Vì: Ma trận của dạng tồn phương là ma trận đối xứng.

Do đó,

là dạng toàn phương

D) có dấu khơng xác định.

Biết ma trận của dạng toàn phương

Vì:

d)

là ma trận của một dạng tồn phương.

Ta có
A) xác định dương.
B) nửa xác định dương.
C) xác định âm.
Vì:Ta có

của

c)

là

. Khi đó biểu thức

là

a)

c)

b)

d)
với
21


Cho dạng toàn phương
là
a)

. Điều kiện cần và đủ để

b)

c)

xác định dương

d)

Vì: Ta có
Cho dạng toàn phương

xác định dương khi
.
dấu không xác định với
xác định âm khi
.
xác định âm với mọi .

a)
b)
c)
Vì:

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

Ta chú ý với

,

là nửa xác định âm

22


HẠNG CỦA MA TRẬN
Ma trận nào trong các ma trận sau là ma trận đơn vị?
a)
d)
c)
b)
Vì: Ma trận đơn vị là ma trận có đường chéo chính bằng 1 và các phần tử khác bằng không.
Ma trận nào sau đây có hạng là 3?

b)
d)

c)
a)
Vì: Ma trận vng cấp n, có hạng bằng n khi và chỉ khi nó khơng suy biến or định thức của nó khác 0.

Ta có

Vậy ma trận

có hạng là 3.

Hạng của ma trận

là

a) 1
b) 2
Vì:A là ma trận dạng bậc thang.
Số hàng khác không của A là 2 rank(A)=2

Hạng của ma trận
a) 1

c) 3

d) 4

c) 3

d) 4

C) 2

D) 3

là
b) 2

Vì:

Cho A =
A) 0

. Hạng của ma trận A là
B) 1

23


Vì: Ta biến đỏi A về dạng

Hạng của ma trận
a) 1

Do đó,hạng của A là 2

là
b) 2

Vì: Dùng phép biến đổi sơ cấp, ta đưa ma trận A về

c) 3

d) 4

Rank(A)=3

24


MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Giải phương trình ma trận AX=B với A là ma trận khả nghịch. Khi đó, X là:
a) A-1B
b) B.A-1
c) B/A

d) A

Vì:
Ma trận nghịch đảo của ma trận
a)

là

b)

c)

d)

Vì:

Cho A=

Tìm ma trận nghịch đảo của A?
D) không tồn tại ma
B)

A)
Vì: A=

trận nghịch đảo
của A.

C)

; detA=0

Ma trận nghịch đảo của ma trận

là
c)

b)
a)

d)

Vì:

Ma trận nghịch đảo của ma trận A=

a)
b)

Vì: A=

là
c)

d)

;A-1=

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
25