Phương pháp biên nhúng và bộ giải số mô phỏng tương tác giữa vật thể và dòng chảy hai pha

ĐỖ QUỐC VŨ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ QUỐC VŨ

KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC

PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG VÀ BỘ GIẢI SỐ MÔ PHỎNG
TƯƠNG TÁC GIỮA VẬT THỂ VÀ DÒNG CHẢY HAI PHA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC

CLC2018B
HÀ NỘI – 2019

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

ĐỖ QUỐC VŨ

PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG VÀ BỘ GIẢI SỐ MƠ PHỎNG TƯƠNG TÁC
GIỮA VẬT THỂ VÀ DỊNG CHẢY HAI PHA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
KỸ THUẬT CƠ KHÍ ĐỘNG LỰC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHẠM VĂN SÁNG

HÀ NỘI – 2019

i


CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên tác giả luận văn: Đỗ Quốc Vũ
Đề tài luận văn: Phương pháp biên nhúng và bộ giải số mô phỏng tương tác giữa
vật thể và dịng chảy hai pha.
Chun ngành: Kỹ thuật Cơ khí động lực
Mã số HV: CBC18009
Tác giả, Người hướng dẫn khoa học và Hội đồng chấm luận văn xác nhận tác giả đã
sửa chữa, bổ sung luận văn theo biên bản họp Hội đồng ngày 12/09/2019 với các nội
dung sau:
- Chỉnh sửa lỗi chế bản, theo mẫu tiêu chuẩn
- Bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo

Giáo viên hướng dẫn

Ngày
tháng năm 2019
Tác giả luận văn

TS. Phạm Văn Sáng

Đỗ Quốc Vũ

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TS. Vũ Đình Quý
ii


LỜI CAM ĐOAN
Tôi – Đỗ Quốc Vũ, học viên lớp Cao học Kỹ thuật Cơ khí Động lực khóa CLC2018B
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội – cam kết luận văn này là cơng trình nghiên cứu của
bản thân tơi dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Văn Sáng– Viện Cơ khí Động lực – Đại
học Bách khoa Hà Nội. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2019

Tác giả

Đỗ Quốc Vũ

iii

Xác nhận của giáo viên hướng dẫn về mức độ hoàn thành của luận văn tốt nghiệp và cho
phép bảo vệ:
…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………..

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2019

Giảng viên hướng dẫn

TS. Phạm Văn Sáng

iv


MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................................... vii
KÍ HIỆU VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT ................................................................................. viii
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... x

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG .................................................................................. 1
1.1. Phương pháp biên nhúng – Immersed Boundary Method (IBM)............................. 1
1.2. Phương pháp thể tích chất lỏng ................................................................................ 3
1.3. OpenFOAM .............................................................................................................. 6
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SỐ .................................................................................... 8
2.1. Phương pháp biến nhúng – Cách tiếp cận Direct Forcing........................................ 8
2.2. Phương pháp thể tích chất lỏng sử dụng trong OpenFOAM .................................. 11
2.3. Mơ hình chuyển động của vật rắn .......................................................................... 14
CHƯƠNG 3: TRIỂN KHAI TRONG OPENFOAM ........................................................ 16
3.1. Bộ giải hai pha interFoam trong OpenFOAM ........................................................ 16
3.2. Bộ giải interIBMAMRFoam .................................................................................. 17
3.3. Thư viện IBMlib ..................................................................................................... 20
3.4. Tính tốn song song................................................................................................ 21
3.5. Thuật tốn multi-direct forcing .............................................................................. 22
CHƯƠNG 4: KIỂM NGHIỆM BỘ GIẢI INTERIBMFOAM ......................................... 29
4.1. Bài tốn vỡ đập ....................................................................................................... 29
4.2. Tương tác của hình trụ trịn với mặt thống ........................................................... 32
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 38
v


DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 2.1: Lưới tính tốn cố định Euler và lưới Lagrange mô tả biên dạng vật thể trong
dịng chảy. ............................................................................................................................. 8
Hình 3.1: Sơ đồ khối bộ giải interFoam cho dịng hai pha trong OpenFOAM .................. 17
Hình 3.2. Sơ đồ thuật toán của bộ giải interIBMAMRFoam tại mỗi bước thời gian ........ 19
Hình 3.3: Cấu trúc thư viện IBMlib ................................................................................... 21
Hình 3.4: Miền tính tốn của bài tốn với L = 10D chia đều thành 128 128 phần tử lưới.
............................................................................................................................................ 23

Hình 3.5: Giá trị vận tốc dọc theo trục X của miền tính tốn tại các số Courant khác nhau.
Tại số Co = 0.05 cho giá trị vận tốc trên biên là chính xác. ............................................... 24
Hình 3.6: Giá trị sai số giữa vận tốc thực tế và vận tốc mong muốn ở các số Courant khác
nhau tại 40 điểm Lagrange. ................................................................................................ 25
Hình 3.7: Sai số khi làm mịn lưới và khi tăng số Re. Cả ba trường hợp đều được thực
hiện ở điều kiện số Courant = 0.6. Sai số của vận tốc trên biên gần như không hề giảm khi
làm mịn lưới và giảm mạnh khi ta tăng số Re. ................................................................... 25
Hình 3.8: Kết quả vận tốc dọc trục X và sai số ε tại bề mặt vật thể sau khi thêm vòng lặp
Multi-forcing: (a) nf = 1 ; (b) nf = 3. Giá trị sai số giảm đáng kể chỉ sau ba vịng lặp
multidirectforcing. .............................................................................................................. 27
Hình 4.1: Kích thước miền tính tốn của bài tốn vỡ đập.................................................. 29
Hình 4.2: Kết quả mơ phỏng tại các bước thời gian sử dụng bộ giải interIBMFoam ........ 30
Hình 4.3: Kết quả mô phỏng (trái) và thực nghiệm (phải) được thực hiện bởi Ubbink. ... 31
Hình 4.4: Lưới tính tốn đều, không sử dụng AMR (trái, 160.000 phần tử) và lưới tính
tốn sử dụng AMR (phải, ~30.000 phần tử)....................................................................... 32
Hình 4.5: Mơ hình bài tốn chuyển động nổi lên chìm xuống của hình trụ trịn. .............. 33
Hình 4.6: Kết quả bài toán chuyển động ra khỏi mặt thoáng (water exit) tại các bước thời
gian khác nhau. (a) Kết quả của bộ giải hiện tại, (b) mô phỏng của (P. Lin, 2007). ......... 34
Hình 4.7: Kết quả bài tốn chuyển động (water entry/sinking) của hình trụ tại các mốc
thời gian T. (a) Kết quả của bộ giải hiện tại, (b) mô phỏng của (P. Lin, 2007) ................. 35
Hình 4.8: So sánh profile mặt thoáng thu được bởi bộ giải hiện tại với các nghiên cứu
trước của (M. Greenhow, S. Moyo, 1997) và (P. Lin, 2007) ............................................. 35

vi


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 4.1: So sánh thời gian tính toán cho hai loại lưới sử dụng cho bài toán vỡ đập. .31
Bảng 4.2: So sánh thời gian tính tốn cho hai loại lưới sử dụng cho bài toán chuyển động
nổi lên khỏi mặt thống của hình trụ trịn......................................................................36

vii


KÍ HIỆU VÀ CỤM TỪ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
2D

Two – dimensional

Hai chiều

3D

Three - dimensional

Ba chiều

CFD

Computational Fluid Dynamics

Tính tốn động lực học chất lưu

IBM

Immersed Boundary Method

Phương pháp biên nhúng

FVM

Finite Volume Method

Phương pháp thể tích hữu hạn

STL

Stereolithography

Định dạng lưới bề mặt tam giác

PISO

Pressure Implicit Split Operators

Thuật tốn PISO

AMR

Adaptive Meshing Refinement

Chia lưới thích ứng

Ký hiệu
Lực thể tích tại điểm Euler
Lực thể tích tại các điểm Lagrange
Moment quán tính
Áp suất
Số Reynolds

Vector vận tốc tại các điểm Euler
Vector vận tốc tại các điểm Lagrange
Vận tốc tính tiến của vật thể
Tọa độ điểm lưới Euler
Tọa độ điểm Lagrange
Tọa độ trọng tâm của vật thể
Ba thành phần tọa độ theo ba phương của điểm Euler
Ba thành phần tọa độ theo ba phương của điểm Lagrange
viii


Vận tốc góc của vật thể
Hàm cửa sổ Delta
Khối lượng riêng
Độ nhớt động lực học của chất lỏng
Độ lớn bước thời gian
Toán tử
Gradient
Divergence
Laplacian

ix


LỜI MỞ ĐẦU
Trong những thập niên cuối của thế kỉ 20 và đầu thế kỉ 21, những nghiên cứu về
dòng chảy chất lưu có những bước phát triển mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về đặc
tính của các loại dịng chảy, từ đó ứng dụng cho nhiều ngành khác nhau từ các thiết bị y
sinh đến buồng đốt và các ứng dụng trong ngành hàng khơng. Dịng chảy chất lưu được
mơ tả bằng hệ phương trình Navier-Stokes, tuy nhiên do lời giải giải tích của hệ phương

trình này cho đến nay vẫn chưa được tìm ra, các phương pháp số và mô phỏng số đã, đang
và sẽ là một phần không thể thiếu trong các nghiên cứu về dịng chảy.
Trong mơ phỏng động lực học chất lỏng (CFD), cách tiếp cận truyền thống là các
phương trình mơ tả dịng chảy được giải trên một miền tính tốn được rời rạc hóa thành
nhiều phần tử lưới. Miền này thường được bao quanh bởi tường rắn hoặc chứa các vật rắn
bên trong. Để thỏa mãn chính xác điều kiện biên khơng trượt tại bề mặt tường rắn, lưới
tính tốn thường được chia bám theo bề mặt vật thể (body-conformal) để dễ dàng áp đặt
điều kiện biên vận tốc tại đó bằng khơng. Mặc dù phương pháp này có thể giải quyết hiệu
quả các bài toán vật thể đứng yên và lưới tính tốn là lưới tĩnh, vấn đề sẽ trở nên khó khăn
hơn rất nhiều khi vật thể chuyển động hoặc có biến dạng do yêu cầu phải chia lại lưới tại
mỗi bước thời gian để bắt theo chuyển động của vật thể. Khi các bài tốn có xem xét tới
dịng chảy hai pha, lưới tính tốn cần thiết để mơ phỏng được mặt thống sắc nét u cầu
lưới tính tốn có độ phân giải rất cao tại bề mặt mặt thống. Sự phức tạp của q trình
chia lại lưới phi cấu trúc và quá trình chuyển đổi lời giải sang lưới tính tốn mới, cùng với
sai số tính tốn lớn khi lưới bị xô lệch nhiều khiến cho phương pháp truyền thống gặp
phải nhiều khó khăn khi đối mặt với các bài tốn mơ phỏng chuyển động và biến dạng
của vật thể tương tác với dòng chảy hai pha.
Trong nội dung của luận văn, một bộ giải số mới đã được phát triển bằng việc sử
dụng phương pháp biên nhúng (IBM) để mô tả chuyển động của vật thể rắn, mặt thoáng
của hai pha được xây dựng dựa trên phương pháp thể tích chất lỏng (VoF). Mơ hình chia
x


lưới thích ứng (Adaptive Meshing Refinement) cũng được tích hợp vào bộ giải nhằm tối
ưu hóa việc chia lưới tại những vùng yêu cầu mật độ lưới dày đặc như tại mặt thoáng hay
bề mặt vật rắn. Bộ giải được kiểm nghiệm bằng một số bài toán phổ biến và cho kết quả
tương đồng với các nghiên cứu trước đây với thời gian rút ngắn hơn nhiều so với phương
pháp thơng thường, qua đó thể hiện tính chính xác và hiệu quả của bộ giải. Bộ giải có thể
được ứng dụng trong việc mơ phỏng các lớp bài tốn tương tác giữa dòng chảy hai pha và
vật thể chuyển động.

Luận văn được trình bày theo bốn chương. Chương 1 giới thiệu tổng quan về lịch sử
phát triển của phương pháp biên nhúng, phương pháp thể tích chất lỏng và giới thiệu về
phần mềm tính tốn động lực học chất lỏng OpenFOAM. Chương 2 trình bày chi tiết về
phương pháp biên nhúng, cụ thể là cách tiếp cận direct forcing. Phương pháp thể tích chất
lỏng được chỉnh sửa so với phương pháp truyền thống cho phép xây dựng mặt thoáng một
cách sắc nét mà không cần tới những phương pháp đặc biệt. Ở chương 2 cũng đề cập tới
mơ hình chuyển động sử dụng trong luận văn để mô phỏng vật rắn chuyển động. Chương
3 trình bày quá tình triển khai thuật toán kết hợp giữa phương pháp IBM và phương pháp
VOF trong OpenFOAM để tạo nên bộ giải mới. Ở chương 4, bộ giải mới được kiểm
nghiệm tính đúng đắn bằng các bài toán kiểm định phổ biến.

xi


Chương 1. Giới thiệu chung

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU CHUNG
1.1. Phương pháp biên nhúng – Immersed Boundary Method (IBM)
Những năm trở lại đây, phương pháp (IBM) đã gây được nhiều sự chú ý trong việc
giải quyết các bài toán vật thể chuyển động. Một trong số những lợi thế của IBM so với
các phương pháp khác là phương pháp này không địi hỏi chia lưới thích nghi theo biên
dạng vật thể đặt trong dịng chảy mà tồn bộ việc tính tốn của chất lỏng sẽ được thực
hiện trên một lưới nền cố định duy nhất. Bề mặt của vật thể sẽ được rời rạc hóa thành một
tập hợp điểm di chuyển một cách độc lập với lưới nền. Phương pháp sử dụng lưới cố định
này có những lợi thế hơn hẳn phương pháp thơng thường trong các bài tốn mơ phỏng
nhiều vật thể có biên rất gần nhau hoặc chúng chuyển động va chạm với nhau. Một ví dụ
để minh họa đó là mơ phỏng bài tốn cavity nhưng có một vật chuyển động bên trong
miền tính tốn, vật thể này sẽ có thể phải va chạm với các biên xung quanh và khi đó ta sẽ
khơng thể thực hiện được khi sử dụng lưới bám bề mặt và các bộ giải lưới động.
Phương pháp IBM được áp dụng lần đầu tiên bởi (C. Peskin, 1972) để mơ phỏng bài

tốn tương tác rắn lỏng trong hệ thống tim mạch của con người, cụ thể là tương tác giữa
van tim và dòng máu chảy qua. Ý tưởng trong phương pháp của Peskin là xây dựng một
trường lực tác động lên dòng chảy dựa trên sự chuyển động và độ đàn hồi của van tim.
Trường lực này sẽ được đặt tại một tập các điểm phân bố bất kì trên bề mặt của van tim.
Sau đó sử dụng một hàm cửa sổ Delta để tính tốn tác động của trường lực này lên các
điểm lưới nền xung quanh, từ đó tạo ra tương tác đến dịng chảy giống như khi có sự hiện
diện của van tim thật. Việc xây dựng được một hàm Delta phù hợp chính là điểm đặc biệt
quan trọng trong nghiên cứu của Peskin vì nó cho phép kết nối giữa các giá trị biến môi
trường tại các nút của lưới nền với các điểm phân bố trên biên vật thể, vì hai tập hợp điểm
lưới này được định nghĩa độc lập với nhau.

1


Chương 1. Giới thiệu chung

Trong phương pháp IBM, điều kiện biên không trượt tại bề mặt vật thể sẽ được áp
đặt thơng qua một thành phần lực thể tích thêm vào trong phương trình Navier-Stokes.
Thành phần lực này sẽ được tính tốn dựa trên tương tác của mơi trường và bề mặt vật
thể. Tuy nhiên việc áp đặt chính xác được điều kiện biện trên bề mặt vật thể là không hề
dễ dàng nếu so sánh với phương pháp chia lưới thông thường. Do vậy, rất nhiều nghiên
cứu đã được thực hiện để mở rộng và cải tiến độ chính xác của phương pháp IBM, dẫn
đến sự ra đời của rất nhiều các thuật toán dựa trên IBM và cho độ chính xác cao hơn.
Phương pháp IBM có thể được phân loại thành hai cách tiếp cận chính đó là continuous
forcing và discrete forcing, phụ thuộc vào việc thành phần lực thể tích được thêm vào
phương trình Navier-Stokes ở dạng liên tục hay rời rạc. Hai phương pháp này đều có
những điểm mạnh và điểm yếu.
Continuous Forcing
Cách tiếp cận continuous forcing, được sử dụng lần đầu trong nghiên cứu của
Peskin, có lợi thế rất lớn trong việc mơ phỏng các bài tốn có biên đàn hồi vì trường lực

khối đại diện do tương tác dòng chảy và vật thể được tính tốn dựa trên độ đàn hồi của về
mặt vật thể. Lợi thế thứ hai đó là cách triển khai đơn giản, do vậy nó được sử dụng nhiều
trong các ứng dụng mô phỏng trong các nghiên cứu về sinh học. Tuy nhiên phương pháp
này lại gặp nhiều vấn đề khi xử lý các loại biên cứng. Một cách đơn giản ta có thể suy
luận rằng có thể sử dụng continuous forcing để mơ phỏng được vật thể có biên cứng bằng
cách giảm độ đàn hồi của vật thể xuống nhất nhỏ, hay nói cách khác tăng độ cứng lên rất
lớn. Tuy nhiên trên thực tế điều này sẽ dẫn tới sự mất ổn định của bộ giải, và nếu độ cứng
của vật thể không đủ lớn kết quả mô phỏng của bài tốn sẽ mất tính chính xác (M.Lai,
C.Peskin, 2000).
Discrete Forcing

2


Chương 1. Giới thiệu chung

Đối với cách tiếp cận discrete forcing, thành phần lực tương tác giữa vật thể và dịng
chảy được thêm vào phương trình Navier-Stokes dạng rời rạc, do đó nó cho phép ta áp đặt
các điều kiện ràng buộc trực tiếp lên lưới tính tốn tại các vị trí biên của vật thể, khiến
biên của vật thể trở nên sắc nét và rõ ràng hơn, điều này có lợi khi mơ phỏng các bài tốn
ở số Reynolds lớn địi hỏi độ chính xác cao hơn tại vùng gần biên của vật thể. Tuy nhiên
kết quả của cách tiếp cận này lại phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp rời rạc hóa được sử
dụng. Đặc điểm này của cách tiếp cận direct forcing cũng có thể coi là một điểm mạnh vì
nó cung cấp một cách để kiểm sốt trực tiếp độ chính xác và tính ổn định của lời giải.
Trong nội dung của luận văn, cách tiếp cận direct forcing, phát triển bởi (M.
Uhlmann, 2005) sẽ được kết hợp với phương pháp thể tích chất lỏng (VOF) để phát triển
một bộ giải số cho phép mô phỏng được các bài toán tương tác giữa vật rắn và dịng chảy
hai pha.
1.2. Phương pháp thể tích chất lỏng
Việc mơ phỏng biến đổi của bề mặt thoáng giữa hai chất lỏng là một vấn đề quan

trọng kể từ những ngày đầu phát triển của CFD. Có hai phương pháp chính để giải quyết
vấn đề này. Phương pháp Lagrangian sử dụng những điểm đánh dấu, (markers) có hoặc
khơng cần kết nối với nhau, được đặt dọc theo bề mặt thoáng. Những điểm này được dịch
chuyển bằng cách tích phân trực tiếp phương trình chuyển động của các hạt chất lỏng, từ
đó làm mặt thoáng dịch chuyển theo. Phương pháp front tracking (S.O. Unverdi, G.
Tryggvason, 1992) là một phương pháp Lagrangian và rất thường được sử dụng trong mơ
phỏng dịng chảy hai pha. Mặt khác, phương pháp Eulerian thường sử dụng một hàm chỉ
định phân bố trong miền tính tốn. Hàm này có mang theo thơng tin về mặt thống và
được khuếch tán theo trường vận tốc của chất lỏng. Do đó phương pháp Eulerian khơng
cho biết chính xác vị trí mặt thoáng mà cần phải xây dựng lại mặt thoáng từ hàm chỉ định.

3


Chương 1. Giới thiệu chung

Phương pháp thể tích chất lỏng (volume of fluid - VOF) là một phương pháp Eulerian rất
phổ biến.
Phương pháp VoF được trình bày lần đầu tiên bởi (C.W. Hirt, B.D. Nichols, 1981)
và tạo nên một xu hướng mới trong lĩnh vực mơ phỏng dịng chảy hai pha. Phương pháp
này dựa trên việc định nghĩa một hàm chỉ định (indicator function), cho phép xác định
việc phần thử lưới nằm trong vùng của một chất lỏng duy nhất hay nằm tại mặt tiếp xúc
giữa hai hay nhiều chất lỏng cùng lúc.
Trong phương pháp được đề xuất hởi Hirt & Nichols, một phương trình vận chuyển
cho hàm chỉ định

thể hiện tỉ lệ thể tích của một chất lỏng tại các phần tử lưới được giải

đồng thời phương trình liên tục và phương trình momentum,
(1)

(2)

(3)
trong đó
tính tốn,

là các giá trị trường vận tốc sử dụng chung cho hai chất lỏng trong miền

là khối lượng riêng,

thể nhận giá trị trong khoảng

là áp suất. Hàm chỉ định (hay hàm tỉ lệ thể tích)

có

, với phần tử lưới có giá trị khơng hoặc một thuộc

vùng chỉ chứa một pha, các phần tử lưới nhận giá trị

lớn hơn không và nhỏ hơn một sẽ

chứa cả hai pha và do đó mang thơng tin về mặt thống. T là thành phần tensor ứng suất
được tính bằng công thức:

4


Chương 1. Giới thiệu chung

(4)
với
đơn vị và

là tensor tốc độ biến dạng trung bình,

là tensor

là lực thể tích gồm trọng lực và lực căng bề mặt tại mặt thoáng.

Hai chất lỏng khơng hịa tan được đối xử giống như một chất lỏng hiệu dụng trong
tồn miền tính tốn, với các đặc tính vật lý được tính bằng trung bình các đặc tính của hai
loại chất lỏng:
(5)
(6)
với và

biểu thị tương ứng cho pha lỏng hay pha khí.

Một vấn đề quan trọng của phương pháp VOF là việc đảm bảo hàm tính bảo tồn và
bị chặn của hàm tỉ lệ thể tích, nghĩa là cần giữ cho

nằm đúng trong khoảng

.

Trong những bài tốn mơ phỏng dịng chảy có khối lượng riêng lớn, chỉ một sai số nhỏ
của

cũng có thể dẫn tới sai số tính tốn rất lớn. Việc tính tốn chính xác phân bố của

hàm tỉ lệ thể tích cũng đóng vai trò quan trọng trong việc ước lượng độ cong mặt thống
cần thiết cho việc tính tốn lực căng bề mặt và gradient áp suất dọc bề mặt thống. Thơng
thường vùng tiếp xúc giữa hai pha chỉ tồn tại trong một vài phần tử lưới nên rất nhạy cảm
với độ phân giải lưới. Điều này đòi hỏi một số lượng lưới đủ nhỏ tại bề mặt thoáng hoặc
cần sử dụng một phương pháp đặc biệt cho phép xây dựng mặt thoáng một cách sắc nét.
Việc đảm bảo tính bị chặn và bảo tồn của hàm tỉ lệ thể tích là khơng hề đơn giản và
đã có rất nhiều các nghiên cứu về vấn đề này. Hơn nữa, cách định nghĩa một vận tốc
5


Chương 1. Giới thiệu chung

chung cho cả hai pha dẫn tới những khó khăn cho việc kết luận những đóng góp của từng
pha cho vận tốc chung.
Trong nội dung luận văn, một cách tiếp tận chỉnh sửa từ phương pháp truyền thống
của Hirt & Nichols dựa trên mơ hình hai chất lỏng, được phát triển và triển khai trong
OpenFOAM để mơ phỏng mặt thống một cách sắc nét hơn. Cách tiếp cận này đã được
chọn để sử dụng trong luận án để mơ phỏng dịng chảy hai pha và được trình bày rõ hơn
trong chương 2
1.3. OpenFOAM
OpenFOAM là một phần mềm mã nguồn mở tính tốn động lực học được phát triển
từ cuối những năm 1980 ở Imperial College, London, với mục đích phát triển một nền
tảng mơ phỏng số mạnh và linh hoạt thay thế cho nền tảng Fortran khi đó. Do vậy,
OpenFOAM được phát triển theo hướng đối tượng dựa trên những tính năng mới nhất của
ngơn ngữ C++ và mang những đặc điểm nổi bật như: (i) Là phần mềm tính tốn khoa học
lớn đầu tiên viết bằng ngôn ngữ C++ và được phát hành dưới dạng mã nguồn mở. (ii) Sử
dụng các toán tử được overload cho phép mơ tả các phương trình vi phân từng phần một
cách trực quan và dễ hiểu. (iii) Cung cấp một cơng cụ chia lưới lục diện mạnh có thể sử
dụng cho hầu hết các ứng dụng trong công nghiệp, ngoài ra rất nhiều các tool chuyển đổi

lưới cho phép giao tiếp dễ dàng với các phần mềm CAD CAM hiện nay.
OpenFOAM cung cấp rất nhiều bộ giải số có sẵn cho phép thực hiện các bài tốn
mơ phỏng ở rất nhiều lĩnh vực như: tính tốn động lực học chất lỏng cho dòng một pha,
hai pha hay nhiều pha, truyền nhiệt, cháy, điện từ, động học chất rắn hay thậm chí cả tài
chính. Do vậy nó được sử dụng rộng rãi cho nghiên cứu trong cả môi trường học thuật và
công nghiệp. Quan trọng nhất là OpenFOAM cho phép người dùng tùy biên mã nguồn
một cách tiện lợi để tạo ra các thư viện và bộ giải mới. Đây là lý do chính để lựa chọn
OpenFOAM là mơi trường lập trình cho luận văn.
6


Chương 1. Giới thiệu chung

Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả dòng chảy thường được giải bằng hai cách
tiếp cận phổ biến đó là giải đồng thời (coupled approach) và giải tuần tự (segregated
approach). Phương pháp giải đồng thời xây dựng một ma trận đại số cho tất cả các
phương trình trong hệ để giải cùng một lúc. Điều này dẫn tới u cầu về bộ nhớ và thời
gian tính tốn lâu, thường chỉ áp dụng đối với các bài toán có lưới nhỏ và số lượng các
phương trình khơng q nhiều. Trong khi đó phương pháp giải tuần tự giải các phương
trình một cách lần lượt, thích hợp cho các bài tốn lớn giúp giảm thiểu chi phí tính tốn.
Hai thuật toán giải tuần tự cơ bản và phổ biến nhất để giải quyết tính coupling giữa biến
vận tốc-áp suất là SIMPLE (R.I. Issa, 1986) và PISO (S.V. Patankar, 1981). Hai thuật
toán này đều sử dụng cách tiếp cận dự đoán – hiệu chỉnh (prediction – correction) và đều
được sử dụng trong các bộ giải phát triển bởi OpenFOAM, trong đó SIMPLE được sử
dụng cho các bài tốn steady-state và PISO cho các bài toán transient. Cách tiếp cận dự
đoán – hiệu chỉnh giải hệ phương trình Navier-Stokes thơng qua hai bước. Bước đầu tiên
là giải lặp để dự đoán vấn tốc dựa vào các giá trị vận tốc và áp suất ở bước trước đó hoặc
lấy từ điều kiện biên. Bước thứ hai là giải phương trình Poisson để thu được phân bố áp
suất, sau đó sử dụng giá trị áp suất này cho việc hiệu chỉnh lại vận tốc dự đoán được ở
bước trước.

Trong nội dung luận văn, một thư viện hoàn toàn mới được phát triển cho phương
pháp IBM. Đồng thời thuật toán PISO cũng được thay đổi để tích hợp được với phương
pháp IBM. Thư viện và bộ giải mới đã chạy thành công trên các phiên bản OpenFOAM3.0.1 và cao hơn.

7


Chương 2: Phương pháp số

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SỐ
2.1. Phương pháp biến nhúng – Cách tiếp cận Direct Forcing
Trong cách tiếp cận direct forcing, phương trình Navier-Stokes được rời rạc hóa trên
lưới Euler cố định, các điểm tính tốn của lưới này gọi là điểm Euler, kích thước cạnh của
một ô lưới bằng h. Bề mặt của vật thể nhúng trong dòng chảy được rời rạc thành một tập
hợp các điểm Lagrange. Các điểm này không bắt buộc phải trùng với các điểm lưới Euler
và có thể di chuyển tự do trong khơng gian miền tính tốn. Chính điều này tạo nên điểm
đặc biệt của phương pháp IBM giúp cho việc mô phỏng chuyển động đơn giản hơn rất
nhiều. Ta cũng định nghĩa một thể tích rời rạc ΔVl gắn với mỗi điểm Lagrange sao cho
tổng hợp của những thể tích này tạo thành một thể tích có chiều dày chính bằng h phủ kín
bề mặt của vật thể, nó cho phép tính được lực thể tích tại mỗi điểm Lagrange. Theo một
nghiên cứu khác của (M.Uhlmann, 2004), để tối ưu thì ΔV cần xấp xỉ bằng thể tích của
một ô lưới nền, tức h2 hoặc h3 tương ứng với bài toán 2D hoặc 3D, nghĩa là số lượng điểm
Lagrange nên được lựa chọn sao cho phù hợp với kích thước lưới Euler, vì việc tăng thật
nhiều điểm Lagrange khơng cải thiện kết quả đáng kể.

Hình 0.1: Lưới tính tốn cố định Euler
và lưới Lagrange mô tả biên dạng vật
thể trong dòng chảy.
Tương tác giữa vật thể và dòng chảy hai pha được thể hiện bằng thành phần fib trong
(17c). Vì các điểm Euler và các điểm Lagrange được định nghĩa một cách độc lập với

8


Chương 2: Phương pháp số

nhau, việc tính tốn fib u cầu phải có hàm nội suy qua lại giá trị các biến số giữa các
điểm Lagrange và các điểm Euler. Q trình tính tốn gồm hai bước chính được trình bày
sau đây.
Tương tác dòng chảy và vật thể tại các điểm Lagrange
Giả thiết khơng có sự tồn tại của vật thể trong dịng chảy, khi đó tại vị trí của các
điểm Lagrange, vận tốc dòng chảy là

. Do các điểm Lagrange được định nghĩa độc lập

với các điểm Euler, vận tốc này cần được nội suy từ vận tốc của các điểm Euler trong
vùng lân cận với nó như sau:

Với

là số lượng điểm Euler lân cận tham gia quá trình tính tốn;

là vận tốc của

dịng chảy tại các điểm Euler; xe, Xl lần lượt là vị trí của điểm Euler và điểm Lagrange;
ΔV là thể tích một phần tử của lưới nền Euler. Khi số điểm Euler - n dùng cho phép nội
suy càng nhiều, độ chính xác của phép nội suy càng chính xác. Tuy nhiên, ảnh hưởng của
vận tốc tại các điểm Euler lên vận tốc tại điểm Lagrange sẽ giảm mạnh khi khoảng cách
giữa chúng càng lớn. Do vậy, ta chỉ lấy các điểm Euler trong một bán kính đủ nhỏ xung
quanh điểm Lagrange để giảm khối lượng tính tốn. Bán kính này được xác định bằng
hàm delta

có dạng:

Đặt
theo kích thước một ơ lưới

là khoảng cách giữa các điểm Euler tới điểm Lagrange tính
thì ta có:
9


Chương 2: Phương pháp số

trong đó:

Từ đây ta thấy rằng, chỉ các điểm Euler có khoảng cách nhất định nào đó đến điểm
Lagrange đang xét mới tham gia tính tốn nội suy, trong trường hợp này khoảng cách tối
đa tới điểm Lagrange là 1.5 lần kích thước ơ lưới, và các điểm Lagrange nếu khơng có
can thiệp gì từ bên ngoài sẽ chuyển động với vận tốc là Ul.
Trên thực tế, ta cần vật rắn chuyển động với một vận tốc mong muốn nào đó. Vận
tốc này có thể là vận tốc tịnh tiến hoặc quay với một giá trị khơng đổi, hoặc cũng có thể
thay đổi liên tục trong quá trình di chuyển (chuyển động sáu bậc tự do). Giả sử tại điểm
Lagrange thứ l vận tốc mong muốn là Ubl, ta cần tác động lên điểm đó một thành phần lực
khối Fl sao cho sau khi tổng hợp tác dụng của lực này với vận tốc

sẽ cho ra vận tốc

mong muốn Ubl. Lực khối này sẽ được tính theo cơng thức:

Vậy ta có thể hiểu rằng,

đại diện cho tác động của dòng chảy lên bề mặt của vật

thể đặt trong nó, tại một số điểm xác định (điểm Lagrange), và Fl chính là tác động của
vật thể ngược trở lại dịng chảy tại vị trí các điểm Lagrang đó khi nó di chuyển với vận
tốc mong muốn Ubl. Tuy nhiên, do đối với dịng chảy thì tất cả các tính tốn đều phải
được thực hiện tại các điểm lưới nền Euler, do vậy ta cần một bước nội suy nữa để truyển
lực Fl từ các điểm Lagrange về các điểm Euler lân cận.
10


Chương 2: Phương pháp số

Tương tác của vật thể lên chất lỏng tại các điểm Euler
Tại mỗi điểm Lagrange, vật rắn tác động ngược trở lại dòng chảy một lực Fl, lực này
sẽ lan truyền đến các điểm Euler lân cận tạo nên một trường lực fib được xác định bằng
cơng thức:

Khi sử dụng phương pháp IBM, việc tính tốn lực nâng lực cản lên vật thể đặt trong
dòng chảy không thể được thực hiện theo cách thông thường do biên vật lý vật rắn thực tế
không tồn tại. Do đó ta cần tích phân giá trị Fl tại tất cả các điểm Lagrang để thu được lực
tác động của dòng chảy lên bề mặt vật thể.
2.2. Phương pháp thể tích chất lỏng sử dụng trong OpenFOAM
Xuất phát từ mơ hình Eulerian cho dịng chảy hai pha, trong đó hàm tỉ lệ thể tích
được giải riêng rẽ cho từng pha. Do vậy phương trình vận chuyển hàm tỉ lệ thể tích cho
mỗi pha có dạng:
(12)

(13)
Giả thiết đóng góp của vận tốc từng pha tới sự biến đổi của mặt thoáng tỉ lệ thuận

với hàm tỉ lệ thể tích và định nghĩa một vận tốc cho tồn miền tính tốn được tính bằng
bình qn gia số của vận tốc pha lỏng và khí:
(14)

11


Chương 2: Phương pháp số

Khi đó phương trình (6) có thể được biến đổi như sau. Bắt đầu với phương trình vận
chuyển của ,
(15a)
Thay u trong phương trình (9) ta được:
(15b)
Định nghĩa một vận tốc tương đối của hai pha

, phương trình trên có

thể được viết thành:
(15c)

(15d)
Hai thành phần đầu của phương trình (10d) bằng khơng ở phương trình (6), do đó ta
có thành phần

. Thêm thành phần này vào (10a) ta được:
(16)

Phương trình (16) được sử dụng làm phương trình cho hàm tỉ lệ thể tích , với sự có
mặt thêm của thành phần

. Thành phần này khơng có ý nghĩa gì ở vùng

bên trong từng pha nhưng tại mặt thống khi

12

, nó có tác dụng “nén” mặt thống


Chương 2: Phương pháp số

để cho ta một mặt thoáng sắc nét hơn. Do vậy thành vần vận tốc

còn được gọi là thành

phần vận tốc nén.
Trong phương pháp VOF kết hợp với IBM, fb là tổng lực khối tác động lên các phần
tử chất lỏng trong miền tính tốn, bao gồm trọng lực, lực căng bề mặt tại mặt thoáng và
lực tương tác của vật rắn bên trong dòng chảy:
(17)
Lực căng bề mặt được xác định dựa trên mơ hình lực bề mặt liên tục (continuum
surface force) (J. U. Brackbill et al., 1992):
(18)
với

(19)

Định nghĩa một thành phần áp suất loại bỏ đi ảnh hưởng của áp suất thủy tĩnh:
(20)

Cuối cùng, phương trình động lượng (3) được viết lại thành:
(21)
Như vậy hệ phương trình cần giải bao gồm phương trình liên tục (1), phương trình
vận chuyển của hàm tỉ lệ thể tích (16) và phương trình momentum (20):
(
22a)

13