CHUYEN DE PHUONG TRINH VO TI 2014 TUAN ANH

Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Mục lục
Mục lục..................................................................................................................................................................
I. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP.................................................................................................................
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẰT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN.............................................................................
III. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ............................................................................
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ............................................................................................................................

Lê Tuấn Anh

Page 1


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

I. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP
Bài 1 (Khối B 2010): Giải phương trình sau 3 x + 1 − 6 − x + 3 x 2 − 14 x − 8 = 0
3
1
+
+ 3 x + 1) = 0 . Nghiệm duy nhất x = 5
HD: PT ⇔ ( x − 5)(
3x + 1 + 4
6 − x +1
Bài 2: Giải phương trình sau 2 3 3 x − 2 − 3 6 − 5 x + 16 = 0
6

15
+
] = 0 ⇔ x = −2
HD: PT ⇔ ( x + 2)[ 3
2
3
( 3 x − 2) − 2 3 x − 2 + 4
6 − 5x + 4

x + 1 + 4 x 2 = 1 + 3x
HD: x + 1 + 4 x 2 = 1 + 3 x ⇔ x + 1 − 3 x + 4 x 2 − 1 = 0
1

2
x
−
1
=
0
⇔
x
=

1 − 2x
2
⇔
+ ( 2 x − 1) ( 2 x + 1) = 0 ⇔ 
1
x + 1 + 3x
2 x + 1 =

( *)

x + 1 + 3x
1
≤ 1 . Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của pt ( *)
Do điều kiện x ≥ 0 ⇒ 2 x + 1 ≥ 1 và
x + 1 + 3x
Bài 3: Giải phương trình sau

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0;

1
2

Bài 4: Giải phương trình sau x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x 2 + 1
2
2
2
HD: x + 3x + 1 = ( x + 3) x + 1 ⇔ x − 8 = ( x + 3)

(

x2 + 1 − 3

)

 x2 = 8
2



x
−
8

⇔ x 2 − 8 = ( x + 3) 
⇔ x = ±2 2
x+3
÷⇔ 
2
2
1
=
x
+
3
<
x
+
1
+
3
x
+
1
+
3



x2 + 1 + 3

(

)

Bài 5: Giải phương trình sau 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4
HD:
Cách 1: 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 .
Ta có VT > 0 ⇒ ( x + 4) > 0 ⇒ 2 x 2 + x + 9 ≠ 2 x 2 − x + 1
x = 4( l)
= x+4⇔ 
2 x2 + x + 9 − 2 x2 − x + 1
 2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x + 1 = 2
8
2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x + 1 = 2 ⇒ 2 2 x 2 + x + 9 = x + 6 ⇔ x = 0;
7
2 x2 + x + 9 + 2 x2 − x + 1 = x + 4 ⇔

2x − 8

Thử lại ta có hai nghiệm là hai nghiệm của phương trình
Cách 2: (tuyệt chiêu)

Lê Tuấn Anh

Page 2


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

1

1

2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = x + 4 ⇔ 2 x 2 + x + 9 −  x + 3 ÷+ 2 x 2 − x + 1 −  x + 1÷ = 0
2

2

7 2
7 2
x = 0
x − 2x
x − 2x
4
4
⇔
+
=0⇔ 
x = 7
1

1

2
2
2x + x + 9 +  x + 3÷
2 x − x + 1 +  x + 1÷

8

2

2

1
1
+
=0
1

1

2
2
2x + x + 9 +  x + 3÷
2 x − x + 1 +  x + 1÷
2

2

1

1

⇔ 2 x 2 + x + 9 +  x + 3 ÷ = − 2 x 2 − x + 1 −  x + 1÷ ⇔ 2 x 2 + x + 9 + 2 x 2 − x + 1 = − x − 4 ( vn )
2

2



Lưu ý: Phương trình hệ quả
Sai lầm quan trọng: Chứng minh pt x 2 + x + 1 = 0 có nghiệm x = 1
2
3
Ta có: −1 = x + x ⇔ −1 = x ( x + 1) ⇔ −1 = − x ⇔ x = 1
Một số phương trình sử dụng phương trình hệ quả rất hiệu quả
Bài 5.1: Giải phương trình sau x + 3 + 3 x + 1 = 2 x + 2 x + 2 Đk x ≥ 0
HD: x + 3 + 3 x + 1 = 2 x + 2 x + 2 ⇔ 3 x + 1 − 2 x + 2 = 4 x − x + 3
⇒ 6 x 2 + 8 x + 2 = 4 x 2 + 12 x ⇔ x = 1 . Thử lại ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình
Bài 5.2: Giải phương trình sau

x3 + 1
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3
x+3

Điều kiện : x ≥ −1

x3 + 1
− x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1
x+3

pt ⇔

x = 1− 3
x3 + 1
= x2 − x − 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔ 
Bình phương 2 vế ta được:
x+3

 x = 1 + 3
Thử lại : x = 1 − 3, x = 1 + 3 nghiệm
Bài 6: Giải phương trình sau 10x + 1 + 3x - 5 = 9x + 4 + 2x - 2
Điều kiện: x ³

( *) Û

(

5
.
3

10x + 1 -

) (

9x + 4 +

3x - 5 -

)

2x - 2 = 0 Û

10x + 1- ( 9x + 4)
10x + 1 + 9x + 4

+

3x - 5 - ( 2x - 2)
3x - 5 + 2x - 2

=0

ổ
ử
1
1
ữ
ữ
ỗ
( x - 3) ỗ
+
=0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố 10x + 1 + 9x + 4
3x - 5 + 2x - 2ø

Vì " x ³

5
Þ
3

1

10x + 1 + 9x + 4

+

1
3x - 5 + 2x - 2

> 0 nên ( 1) Û x = 3.

So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

Lê Tuấn Anh

Page 3


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Giả phương trình sau

x + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5
x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 . Nghiệm duy nhất x = 2

HD:

2

⇔ x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ⇔ x 2 + 12 − 4 −

(

)

x 2 + 5 − 3 = 3x − 6

x = 2
⇔
−
= 3x − 6 ⇔ 
x+2
x+2
2
2

−
= 3 ( *)
x + 12 + 4
x +5 +3
 x 2 + 12 + 4
x2 + 5 + 3
x+2
x+2
5
≤ 1 và
> 0 nên ( *) vô nghiệm
Do x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ⇒ x > nên
2

2
3
x + 12 + 4
x +5 +3
x2 − 4

x2 − 4

Bài 2: Giải phương trình

x2 + x + 1 -

x2 + x + 1 -

2x2 + 2x + 1 =

2x2 + 2x + 1 =
x2 + x

(x

)(

2

(x

2

x2 + x

)(

)

+ x + 1 2x2 + 2x + 1

ổ
ử
ữ
ỗ
1
1
ữ
2
ỗ
ữ
x +x ỗ
+ 2
= 0
ữ
ỗ
2
ữ
2
2
ỗ
x
+
x

+
1
2x
+
2x
+
1
x
+
x
+
1
+
2x
+
2x
+
1
ữ
ỗ
ố
ứ

(

)

+ x + 1 2x2 + 2x + 1

)

(

)(

)

(

éx = 0
ê
êx = - 1
ê
ë

)

Bài 3: (ĐT năm 2013 lần 1) Giải phương trình 4 2 10 − 2 x − 3 9 x − 37 = 4x 2 − 15 x − 33

(

) (

)

2
ĐK: x ≤ 5 . Pt ⇔ 4 4 + 3 9 x − 37 + 8 4 − 10 − 2 x + 4 x − 15 x − 81 = 0

⇔

4 ( 27 + 9 x )
16 − 4 3 9 x − 37 +

(

3

9 x − 37

)

2

+

8(6 + 2 x)
+ ( x + 3)(4 x − 27) = 0
4 + 10 − 2 x

TH 1. x + 3 = 0 ⇔ x = −3 (TMPT)
TH 2. x ≠ −3 .pt

⇔

⇔

36
16 − 4 3 9 x − 37 +

12 +

(

36
3

9 x − 37 − 2

(
)

3

2

9 x − 37
+

)

2

+

16
+ 4 x − 27 = 0
4 + 10 − 2 x

16
36 16

+ 4 x − 27 = 0
Do x ≤ 5 nên VT ≤ + + 4.5 − 27 = 0 .
4 + 10 − 2 x
12 4

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = 5 . Vậy phương trình có 2 nghiệm là −3 và 5
Bài 4: Giải phương trình 3 2
. Điều kiện : x ≥ 3 2 .
x − 1 + x = x3 − 2
HD:

3

Ta có:



x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 +

2

3

x+3

1+
3

(x

2

− 1) + 2 x − 1 + 4
2

3

2

= 1+

(

3


2
 ( x − 3) ( x + 3 x + 9 )
=
2
2
3
2
3 x −1
x3 − 2 + 5
(
) + 2 x − 1 + 4 
x+3
2
< 2 < x + 3x + 9

2
x2 − 1 + 1 + 3
x3 − 2 + 5
x+3

)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 5: Giải phương trình 2 x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1 = 3 x
Lê Tuấn Anh

Page 4


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

HD: Điều kiện có nghiệm của phương trình x > 0

2x + 1

( 2 x 2 + x + 1 − 2 x) + ( x 2 − x + 1 − x) = 0 ⇔ ( x − 1)[

Bài 6: Giải phương trình

2x2 + x + 1 + 2x

1

+

x2 − x + 1 + x

]=0 ⇔ x = 1

x - 2 + 4 - x = 2x2 - 5x - 1

Điều kiện: 2 £ x £ 4 .

( *) Û

(

) (

) (

ổ
( x - 3) ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố

x- 3

)

4 - x - 1 - 2x2 - 5x - 3 = 0 Û

x - 2- 1 +

1
x - 2 +1

x - 2 +1

g'( x) = -

2 x- 2

(

éx = 3
ê
ư
÷
- 2x - 1÷
=0 Û ê
1
÷
ê
÷
ø
4- x +1
ê
ë x - 2 +1

-

1
x - 2 +1
1

)

x - 2 +1

-

- ( x - 3) ( 2x + 1) = 0

1
4- x + 1

= 2x + 1

( 1)

( 2)

1

ù.
trên x Ỵ é
ê2;4ú
ë
û
4- x + 1

-

2 4- x

1

(

)

4- x + 1

ù
< 0, " x Ỵ é
ê
ë2;4ú
û.

1

g( x) = g( 2) = 1Þ g( x) nghịch biến và max
é2;4ù
ê
ë

4- x + 1

1

ù thấy f ( x) = 2x + 1 ³ 5
Xét hàm số f ( x) = 2x + 1 trên x Ỵ é
ê2;4ú
ë
û

Xét hàm sớ g( x) =

3- x

+

( 3)

2 +1

ú
û

Từ ( 2) ,( 3) Þ 2 hàm sớ f ( x) , g( x) có đờ thị khơng thể cắt nhau. Do đó ( 1) vơ nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài 7 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm 2008): Giải phương trình
3x2 - 5x + 1 -

( *) Û

(

3x2 - 5x + 1 -

(

x2 - 3x + 4

) (

)

3x2 - 3x - 3 -

- 2x + 4

Û

2

)

x2 - 2 = 3 x2 - x - 1 -

2

3x - 5x + 1 + 3x - 3x - 3

x2 - 2 -

x2 - 3x + 4 = 0
3x - 6

-

( *)

2

2

x - 2 + x - 3x + 4

æ
- 2
ỗ
( x - 2) ỗ
ỗ
ỗ
ố 3x2 - 5x + 1 + 3x2 - 3x - 3

=0

ư
÷
÷
=0
÷
÷
2
2
÷
x - 2 + x - 3x + 4 ø
3

éx = 2
ê
Û ê
2
3
ê
+
= 0 ( 1)
ê 2
2
2
2
3x
5x
+
1
+
3x
3x
3
x
2
+
x
3x
+
4
ê
ë

Ta có:

2
2

2

3x - 5x + 1 + 3x - 3x - 3

Lê Tuấn Anh

+

3
2

2

x - 2 + x - 3x + 4

> 0, " x xác định.

Page 5


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Thay x = 2 vào phương trình ( *) Þ ( *) thỏa. Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 8: Giải phương trình ( x + 1) x2 - 2x + 3 = x2 + 1
HD: ( *) Û
Û

x2 - 2x + 3 =

x2 + 1
x +1

Û

x2 - 2x + 3 - 2 =

x2 - 2x - 1

(

)(

x2 - 2x + 3 - 2

)

x2 - 2x + 3 + 2

éx2 - 2x - 1 = 0
ê
Û ê
1

1
ê
=
ê 2
x +1
ê
ë x - 2x + 3 + 2

( *)

=

x2 - 2x - 1
x +1

ổ
ử
x2 - 2x - 1
1
1 ữ
ỗ
2
ữ
ỗ

x
2x
1
ữ
(

) ỗỗ 2
x +1
÷= 0
è x - 2x + 3 + 2 x + 1÷
ø

éx = 1 ± 2
ê
.
Û ê 2
ê x - 2x + 3 + 2 = x + 1 ( VN)
ê
ë

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ± 2 .
Cách giải 2. Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn.
Đặt t = x2 - 2x + 3 Þ t2 = x2 - 2x + 3 Þ x2 = t2 + 2x - 3 .

( *) Û ( x + 1) t = t

2

+ 2x - 2 Û t2 - ( x + 1) t + ( 2x - 2) = 0

( 1)

Ta xem ( 1) như là phương trình bậc hai với ẩn là t và x là tham số, lúc đó:
é x + 1+ x - 3
êt =
= x- 1

2
ê
2
2
2
.
Þ
D = x + 2x + 1- 8x + 8 = x - 6x + 9 = ( x - 3)
ê
x
+
1
x
+
3
êt =
=2
ê
2
ë

+ Với t = x2 - 2x + 3 = x - 1 Û x2 - 2x + 3 = x2 - 2x + 1

( VN) .

+ Với t = x2 - 2x + 3 = 2 Û x2 - 2x + 3 = 4 Û x2 - 2x - 1 = 0 Û x = 1 ± 2 .
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 ± 2 .
Thí dụ 1.

Giải phương trình: ( 3x + 1) x2 + 3 = 3x2 + 2x + 3

( *)

Bài giải tham khảo
Do x = -

1
1
khơng là nghiệm phương trình, nên với x ¹ - , ta được:
3
3

3x2 + 2x + 3
3x + 1
3x2 + 2x + 3
2
Û x + 3 - 2x =
- 2x
3x + 1
x2 + 3 - 4x2
3x2 + 2x + 3 - 6x2 - 2x
Û
=
3x + 1
x2 + 3 + 2x

( *) Û

Lê Tuấn Anh

x2 + 3 =

Page 6


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

(

3 1- x2

Û

)

x2 + 3 + 2x

(

3 1- x2

Û

)

=

=

- 3x2 + 3
3x + 1

(

3 1- x2

)

3x + 1
x2 + 3 + 2x
ổ
1
1 ử
ữ
2 ỗ
ữ
ỗ
2 1- x ỗ
=0
ữ
ữ
2
ỗ
3x
+
1
ữ
ố x + 3 + 2x

ø
éx = ±1
ê
Û ê
1
1
ê
=
( 1)
ê 2
3x
+
1
x
+
3
+
2x
ê
ë

(

( 1) Û

)

x2 + 3 + 2x = 3x + 1

ïì x ³ - 1

x2 + 3 = x + 1 Û ïí 2
Û
ïï x + 3 = x2 + 2x + 1
ỵ

Û

ïìï x ³ - 1
Û x = 1.
í
ïï x = 1
ỵ

● Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±1.
Nhận xét:
Để đặt được số - 2x vào hai vế, ta xét dạng tổng quát
3x2 + 2x + 3
x + 3 - ( ax + b) =
- ( ax + b) và sau đó sử dụng đờng nhất để tìm hai thực
3x + 1
a, b sao cho xuất hiện nhân tử chung.
2

Thí dụ 2.

Giải phương trình:

3x + 1 -

6 - x + 3x2 - 14x - 8 = 0

( *)

Đề thi Đại học khối B năm 2010
Bài giải tham khảo
 Nhận xét:
Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x = 5 ( SHIFT - SOLVE hay ALPHA - CALC) , trong
é 1 ù
- ;6ú . Do đó, ta cần phải tách ghép để nhân liên hiệp sao cho xuất
khoảng điều kiện: x Ỵ ê
ê
ú
ë 3 û
hiện nhân tử chung ( x - 5) hoặc bợi của nó.

Vì vậy, ta cần đi tìm hai số a, b> 0 thỏa mãn đồng nhất (sau khi nhân lượng liên hợp):
ìï ( 3x + 1) - a 2
3( x - 5)
ïï
ìï 3x + 1- a 2 = 3x - 15
=
ï
ïï
ìï a = 4
3x + 1 + a Û ïï b2 - 6 + x = x - 5
ï
ïí 3x + 1 + a
Û
í
í

.
ïï b2 - ( 6 - x)
ï
ïï b = 1
x- 5
ï
ỵ
ïï
ï a, b> 0
=
ỵï
ïï b+ 6 - x
b+
6
x
ỵ

Nên ta có lời giải sau:
● Điều kiện: Lê Tuấn Anh

1
£ x £ 6.
3

Page 7


Tài liệu LTĐH

( *) Û

Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

(

) (

3x + 1 - 4 + 13( x - 5)

Û

3x + 1 + 4

+

)

6 - x + 3x2 - 14x - 5 = 0

x- 5
1+ 6 - x

+ ( 3x + 1) ( x - 5) = 0

ổ
ử
3
1
ữ
ữ

ỗ
( x - 5) ỗ
+
+
3x
+
1
=0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố 3x + 1 + 4 1 + 6 - x
ø
é 1 ù
- ;6úÞ
● Ta có " x Ỵ ê
ê
ú

3

ë 3 û

3x + 1 + 4

+

1

1+ 6 - x

( 1)

+ 3x + 1 > 0. Do đó ( 1) Û x = 5.

● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
Thí dụ 3.

( *)

Giải phương trình: 2x2 - 11x + 21 = 33 4x - 4
 Nhận xét:

Nhận thấy phương trình có 1 nghiệm x = 3 ( SHIFT - SOLVE hay ALPHA - CALC ) , do đó,
ta cần phải tách ghép để sau khi nhân liên hiệp sao cho xuất hiện nhân tử chung ( x - 3)
hoặc bội của nó.

(

)

3
Vì vậy, ta cần đi tìm sớ a đặt vào 3 4x - 4 - a để sau khi nhân liên hiệp bằng hẳng đẳng
2
2
3
3
thức: ( A - B) ( A + AB + B ) = A - B , nó có dạng 12( x - 3) . Do đó, nó phải thỏa mãn
đờng nhất

3é
(ë4x - 4) - a 3 ùúû= 12( x - 3) Û 12x - 12 - 3a 3 = 12x - 36 Û 3a 3 = 24 Û a = 2 .
ê

Ta có lời giải sau:
Bài giải tham khảo

( *) Û

(

3

3

) (

)

4x - 4 - 2 - 2x2 - 11x + 15 = 0
3( 4x - 4 - 8)

Û
3

( 4x - 4)

2

3

+ 2 4x - 4 + 4

- ( 2x - 5) ( x - 3) = 0

é
ù
ê
ú
12
ú= 0
Û ( x - 3) ê
2x
5
(
)
ê
ú
2
ê3 ( 4x - 4) + 23 4x - 4 + 4
ú
ê
ú
ë
û
éx = 3
ê
ê
Û ê2x - 5 ê

ê
ê
ë

12
3

( 4x - 4)

2

3

+ 2 4x - 4 + 4

=0

( 1)

● Với x > 3 Þ 2x - 5 > 1, đặt t = 3 4x - 4 > 2 Þ t2 + 2t + 4 > 12

Lê Tuấn Anh

Page 8


Tài liệu LTĐH
Þ

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

12
< 1 tức là ( 2) vô nghiệm.
t + 2t + 4
2

● Với x < 3 Û 2x - 5 < 1, đặt t = 3 4x - 4 < 2 Þ 0 < t2 + 2t + 4 > 12
Þ

12
> 1 tức là ( 2) vô nghiệm.
t + 2t + 4
2

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Thí dụ 4.

3 - x + 2 + x = x3 + x2 - 4x - 4 + x + x - 1

Giải phương trình:

( *)

Bài giải tham khảo
● Điều kiện: - 2 £ x £ 3.

(

( *) Û

) (

( 3 - x) -

Û

x2 + 2x - 1

3- x + x + 1

- x2 + x + 2

Û

)

3- x + x + 1

+

(

)

2 + x - x = ( x + 2) x2 - x - 2

3- x - x - 1 +

+

( 2 + x) -

x2

2+ x + x

- x2 + x + 2
2+ x + x

(

)

- ( x + 2) x2 - x - 2 = 0

(

)

+ ( x + 2) - x2 + x + 2 = 0

ổ
ử
ữ
ỗ
1
1
ữ
ỗ
ữ
- x + x +2 ỗ

+
+
x
+
2
=0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
3
x
+
x
+
1
2
+
x
+
x
ỗ
ố
ứ

(

)

2

ộ- 2;3ựị
ờ
ỳ
Do " x Ỵ ë
û

1
3- x + x + 1

1

+

2+ x + x

( 1)

+ x + 2> 0

Þ ( 1) Û - x2 + x + 2 = 0 Û x = - 1 Ú x = 2.

● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = - 1 Ú x = 2.
2x2
Thí dụ 5.

Giải bất phương trình:

( 3-

9 + 2x

)

2

< x + 21

( *)
Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999

Bài giải tham khảo
ìï 9 + 2x ³ 0
9
ï
Û - Ê x ạ 0.
2
ùợ x ạ 0

iu kin: ớù

( *)

Lờ Tun Anh

ổ
ỗ
2ỗ
ỗ

ỗ3 ố

(

ộ
ử
ờx 3 + 9 + 2x
x
÷
÷
< x + 21 Û 2 ê
÷
ê
÷
- 2x
ø
9 + 2x
ê
ë
2

)

2

ù
ú
ú < x + 21
ú
ú

û

Page 9


Tài liệu LTĐH

Û

Û

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

(

3 + 9 + 2x

)

2

< x + 21 Û 9 + 6 9 + 2x + 9 + 2x < 2x + 42

2

9 + 2x < 4 Û 9 + 2x < 16 Û x <

7
.
2

é 9 7ư
÷
- ; ÷
\ { 0} .
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của h l x ẻ ờ
ữ
ờ
ữ
ở 2 2ứ

x2
Thi du 6.

Gii bt phương trình:

( 1+

1+ x

)

2

> x- 4

( *)
Đại học Sư Phạm Vinh năm 2001

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: 1+ x ³ 0 Þ x ³ - 1.
ìï x ³ - 1

ï
Û - 1£ x < 4 Þ
● Nếu íï
ï x- 4< 0

( *)

ợ

luụn ung. Do ú: x ẻ

ộ- 1;4) l mợt tập nghiệm
ê
ë

của bất phương trình ( *) .
● Khi x ³ 4 :
ïìï x ³ 4
ïï
ïé
( *) Û ïíï êê x 1- 1 + x
ïï ê
ïï ê1+ 1+ x 1- 1 + x
ỵï ë

(

(

ìï x ³ 4
ï
Û ïí
ïï 1- 1 + x
ïỵ

(

)(

)

2

ïìï x ³ 4
Û í
Û
ïï 1 + x < 3
ïỵ

●
Thí dụ 7.

)

)

ïìï x ³ 4

ïï
ù2
ïé
ú
Û ïí êx 1- 1 + x
ú > x - 4 ïï ê
ú
ïï ê 1- 1- x
ú
ïỵï ê
û
ë

(

)

ù2
ú
ú > x- 4
ú
ú
û

ìï x ³ 4
Û íï
> x - 4 ïïï 1- 2 1 + x + 1 + x > x - 4
ỵ
ïìï x ³ 4

ớ
ùù 1 + x < 9
ợ

ùỡù x 4
xẻ ộ
ớ
ờ
ở4;8) .
ùù x < 8
ợ

ộx ẻ
ờ
Vy tp nghim ca bt phương trình là ê
xỴ
ê
ë

Giải bất phương trình:

é- 1;4)
ê
ë
Û xỴ é
ê
ë- 1;8) .
é4;8)
ê
ë

x2 - 3x + 2 + x2 - 4x + 3 ³ 2 x2 - 5x + 4

( *)

Đại học Y Dược năm 2001 – Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh năm 1996
Bài giải tham khảo

(
(

) (
) (

)
)

ìï x2 - 3x + 2 - x2 - 5x + 4 = 2x - 2 = 2 x - 1
(
)
ï
Nhận xét: ïíï 2
. Nên ta có lời giải sau:
2
ïïỵ x - 4x + 3 - x - 5x + 4 = x - 1

● Điều kiện: x £ 1 Ú x ³ 4.
Lê Tuấn Anh

Page 10

Tài liệu LTĐH

( *) Û

Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

(

) (

x2 - 3x + 2 -

x2 - 5x + 4 +

2( x - 1)

Û

x2 - 3x + 2 + x2 - 5x + 4

+

)

x2 - 4x + 3 -

x2 - 5x + 4 ³ 0

x- 1
x2 - 4x + 3 + x2 - 5x + 4

0

ổ
ử
2
1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
( x - 1) ỗ
+
0 ( 1)
ữ
ữ
2
2
2
2
ỗ
ữ
ố x - 3x + 2 + x - 5x + 4
x - 4x + 3 + x - 5x + 4 ø
éx £ 1

2

● Do ê
êx ³ 4 thì:
ê

2

2

x - 3x + 2 + x - 5x + 4

ë

1

+

2

2

x - 4x + 3 + x - 5x + 4

>0

nên ( 1) Û x - 1 ³ 0 Û x ³ 1.
● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: x ³ 4 Ú x = 1.
Thí dụ 8.

4

Giải bất phương trình:

x

+ 2x + 1 ³

2x + 17

( *)

Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x > 0 .
4

( *) Û

x
4

Û

x

4

Û

x

Û

Û

³

³

³

2x + 17 -

(

2x + 1

)(

2x + 17 -

2x + 1

)

2x + 17 + 2x + 1

2x + 17 + 2x + 1

16
2x + 17 + 2x + 1

2x + 17 + 2x + 1 ³ 4 x

(

)

( 2x + 17) ( 2x + 1) ³

Û

2

2x + 17 + 2x + 1 ³ 16x

6x - 9 (dạng

A ³ B ).

æ
3 ù
Û .... x ẻ ỗ
;4ỳ.
ỗ
ỗ
ố2 ỳ
ỷ

Kt hp vi iu kin, tp nghiệm của bất phương trình là x Ỵ ( 0;4ù
ú.
û
Thí dụ 9.

Giải bất phương trình:

2x3 + 3x2 + 6x + 16 -

4- x > 2 3

( *)

Bài giải tham khảo
● Điều kiện: - 2 £ x £ 4 .

( *) Û
Lê Tuấn Anh

(

) (

2x3 + 3x2 + 6x + 16 - 3 3 +

3-

)

4- x > 0

Page 11

Tài liệu LTĐH
Û

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ
2x3 + 3x2 + 6x - 11
2x3 + 3x2 + 6x + 16 + 3 3

( x - 1) ( 2x

2

Û

3

)

+ 5x + 11

2

2x + 3x + 6x + 16 + 3 3

+

+

x- 1
3 + 4- x

x- 1
3 + 4- x

>0

>0

2
é
ù
æ 5ử
63
ờ
ỳ
ữ
ỗ
2ỗx + ữ
+
ờ
ỳ
ữ
ỗ
ữ
4ứ
8
1
ố
ờ
ỳ
( x - 1) ờ

+
ỳ> 0
ờ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 + 3 3
3 + 4- x ú
ê
ú
ê
ú
ë
û

Û x - 1 > 0 Û x > 1.

● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x Ỵ ( 1;4ù
ú.
û

(

(

)

Thí dụ 10. Giải bất phương trình: 9 x2 + 1 £ ( 3x + 7) 1-

)

3x + 4

2

( *)

Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x ³ -

( *) Û 9( x + 1)

2

( 1+

2

(

4
.
3

)

(

2
é
3x + 4 £ ( 3x + 7) ê1ë

)

)(

2

Û 9( x + 1) 1 + 3x + 4 £ 9( 3x + 7) ( x + 1)
2
ù
2é
Û ( x + 1) ê1 + 3x + 4 - 3x - 7ú£ 0
ê
ú
ë
û

(

)

)

2

ù
3x + 4 1 + 3x + 4 ú
û
2

( 1)

● Khi x = - 1 Þ ( 1) : ln đúng.

ìï 3x + 4 £ 1
ïï
ìï x ¹ - 1
ïï
ïï
4
4
ï
Û - £ x < - 1.
● Khi íï
4 Þ ( 1) ớù x 3
3
ùù x ùù
3
ợ
x
ạ
1
ùù
ùợ
ộ 4
- ;● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là x Ỵ ê
ê
ë 3

Thí dụ 11.

Giải bất phương trình: 2 1-

2

8
+ 2x ³ x
x
x

ư
÷
1÷
.
÷
÷
ø

( 1)

Bài giải tham khảo

( 1) Û 2

Lê Tuấn Anh

x- 2
2x2 - 8
+
³ x
x
x

Page 12

Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Û 2

2( x - 2) ( x + 2)
x- 2
+
³ x
x
x

ìï x - 2
ïï
³ 0
ïï x
Û
● Điều kiện: íï 2 x - 2 x + 2
(
)
(
)
ïï
³ 0
ïïỵ
x

( 2)

é- 2 £ x < 0
ê
.
êx ³ 2
ê
ë

● Với: - 2 £ x < 0: thì ( 2) ln đúng.
● Với: x ³ 2 :

(

)

(

)(

x- 2
. 2 + 2x + 4 ³ x
x

( 2) Û

)

Û

x - 2 2 + 2x + 4 2 - 2x + 4
.

³ x
x
2 - 2x + 4

Û

( - 4x)
x- 2
.
³ x
x 2 - 2x + 4
x- 2

Û

x

.

4
2x + 4 - 2

(

³ 1

) ( do :

Û 4 x- 2³

x

2x + 4 - 2 ,

Û 4 x- 2³

2x2 + 4x - 2 x

Û 4 x - 2 +2 x ³

)

2x + 4 - 2 > 0, " x ³ 2

2x2 + 4x

Û 16x - 32 + 4x + 16 x ( x - 2) ³ 2x2 + 4x
Û x2 - 2x - 4 x2 - 2x + 4 £ 0
Û

(

x2 - 2x - 4 x2 - 2x + 4 £ 0

Û

(

x2 - 2x - 2 £ 0

Û

)

2

)

2

x2 - 2x - 2 = 0

Û x2 - 2x - 4 = 0

Û x = 1± 5

● Do x ³ 2 Þ x = 1 + 5 .

{

}

● Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x Ỵ é
ê
ë- 2;0) È 1 + 5 .

Lê Tuấn Anh

Page 13

Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Thí dụ 12. Giải bất phương trình:

( x - 1)

x2 - 2x + 5 - 4x x2 + 1 ³ 2( x + 1)

( *)

Bài giải tham khảo

( *) Û ( x + 1) ( 2 +

)

(

x2 - 2x + 5 + 2x 2 x2 + 1 -

(

)

Û ( x + 1) 2 + x2 - 2x + 5 +

)

x2 - 2x + 5 £ 0

2x ( x + 1) ( 3x - 1)
2 x2 + 1 + x2 - 2x + 5

£0

é
ù
2x ( 3x - 1)
ê
ú£ 0
2
Û ( x + 1) ê2 + x - 2x + 5 +
ú
2
2
ê
2 x + 1 + x - 2x + 5 ỳ
ở
ỷ

(

)

ổ 2
ử
ỗ

4 x + 1 + 2 x2 - 2x + 5 + 2 x2 + 1 x2 - 2x + 5 + 7x2 - 4x + 5ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
( x + 1) ç
£ 0.
ç
÷
ç
2
2
÷
ç
÷
2
x
+
1
+
x
2x
+
5
÷
ç
è
ø

(

)(

)

2

ỉ 4ư
31
÷
+
> 0 nên phương trình Û x + 1 £ 0 Û x £ - 1.
Do 7x - 4x + 5 = 7ỗ
ỗx - ữ
ữ
ữ 7
ỗ
7ứ
ố
2

Vy tp nghiệm của bất phương trình là x Ỵ ( - ¥ ;- 1ù
ú
û.

Lê Tuấn Anh

Page 14

Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

BÀI TẬP TƯƠNG TƯ
Bài tập 1.

Giải phương trình:

3x
3x + 10

= 3x + 1 - 1.

ĐS: x = 0 Ú x = 5.
Đại học Tởng Hợp năm 1992
Bài tập 2.

Giải phương trình:

x +3-

x = x.

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ – Thanh Hóa
ĐS: x = 1.
Bài tập 3.

Giải phương trình:

x2 - 3x + 3 + x2 - 3x + 6 = 3.

ĐS: x = 1 Ú x = 2 . Yêu cầu: Giải theo hai cách: nhân lượng liên hợp và đặt ẩn phụ.
Bài tập 4.

Giải phương trình:

2x2 + 3x + 5 + 2x2 - 3x + 5 = 3x .

ĐS: x = 4 .
Bài tập 5.

Giải phương trình:

2x2 + x + 9 + 2x2 - x + 1 = x + 4 .

ĐS: x = - 4 Ú x = 0 .
Bài tập 6.

Giải phương trình: x + 2x + 1 = 1+ x + 2 .
ĐS: x = 1.

Bài tập 7.

Giải phương trình:

x2 + 15 = 3x - 2 + x2 + 8 .

Đại học Ngoại Thương năm 1997 – Đề số 3
ĐS: x = 1. Hãy nêu ra dạng tổng quát, phương pháp chung nhân lượng liên hợp cho

dạng này và áp dụng cho hai bài kế tiếp.
Bài tập 8.

Giải phương trình:

x2 + 12 + 5 = 3x + x2 + 5 .

ĐS: x = 2.
Bài tập 9.

Giải phương trình:

x2 + 24 -

x2 + 15 = 3x - 2 .

ĐS: x = 1.
Bài tập 10. Giải phương trình: 4 x + 2 + 22 - 3x = x2 + 8 .
Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 400 tháng 10 năm 2010
ĐS: x = - 1 Ú x = 2.
Bài tập 11. Giải phương trình:

4x + 1 -

3x - 2 =

x+3
.
5

Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 2001
ĐS: x = 2.
Lê Tuấn Anh

Page 15


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Bài tập 12. Giải phương trình:

(

)(

)

1+ x + 1

1 + x + 2x - 5 = x .

ĐS: x = 2.

(

)

Bài tập 13. Giải phương trình: 3 2 + x - 2 = 2x + x + 6 .

Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự năm 2001
ĐS: x = 3 Ú x = 11- 3 5 .
2

(

)

Bài tập 14. Giải phương trình: 9 4x + 1 -

3x - 2 = x + 3.

Đề thi học sinh giỏi Hà Nội năm 2010
ĐS: x = 6.
Bài tập 15. Giải phương trình:

x - 3 + 5 - x - 2x2 + 7x + 2 = 0 .

ĐS: x = 4 .
Bài tập 16. Giải phương trình: x2 + 9x + 20 = 2 3x + 10 .
ĐS: x = - 3.
Bài tập 17. Giải phương trình: ( x + 3) 2x2 + 1 = x2 + x + 3.
ĐS: x = 0 Ú x = - 5 + 13 .
Bài tập 18. Giải phương trình:

4
1
5
.
+ x= x + 2x x

x
x

ĐS: x = 2.
Bài tập 19. Giải phương trình:

x + 3 - x = x2 - x - 2 .
ổ

1

ỗ
ố

x - 1+ x

2
ỗ
HD: PT ( x - 3x + 1) ỗ
ỗ1 +

Bi tõp 20. Gii phương trình:

3

+

ư
÷
÷

= 0.
÷
ø
x - 2 + 3- x ÷
1

x + 24 + 12 - x = 6.

ĐS: x = - 24 Ú x = - 88 .
Bài tập 21. Giải phương trình:
ĐS: x = 1 Ú x = -

3

x + 2 + 3 x + 1 = 3 2x2 + 3 2x2 + 1 .

1
.
2
1- x
2x + x2
.
=
x
1 + x2

Bài tập 22. Giải phương trình:
1
2

ĐS: x = .
Bài tập 23. Giải phương trình:
Lê Tuấn Anh

3

x2 + 4 = x - 1 + 2x - 3 .

Page 16


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

ĐS: x = 2.
Bài tập 24. Giải phương trình: 23 3x - 2 + 3 -

6 - 5x - 8 = 0 .

ĐS: x = - 2.
Bài tập 25. Giải phương trình: 33 x2 + x2 + 8 - 2 = x2 + 15 .
ĐS: x = ±1.
2
2
Bài tập 26. Giải phương trình: x - 3x - 4 = x - 1( x - 4x - 2) .

ĐS: x = 2 Ú x = 5 .
Bài tập 27. Giải phương trình:

2x2 + 16x + 18 + x2 - 1 = 2x + 4 .

(

)

- 2 x2 - 1

HD: PT Û

2

2x + 16x + 18 + 2x + 4

Bài tập 28. Giải phương trình:

+ x2 - 1 = 0 Þ x = ±1 Ú x =

- 32 + 3 57
.
7

5x - 1 + 1 = 2x2 + 3x + 3 x - 9 .

ĐS: x = 1.

(

)

3
Bài tập 29. Giải phương trình: ( x - 1) 2 x - 1 + 3 x + 6 = x + 6.

ĐS: x = 2.
Bài tập 30. Giải phương trình:

3x + 3 -

5 - 2x - x3 + 3x2 + 10x - 26 = 0 .

ĐS: x = 2.
Bài tập 31. Giải phương trình:

3x2 - 7x + 3 -

x2 - 2 = 3x2 - 5x - 1 -

x2 - 3x + 4 .

Đề thi thử Đại học lần 2 năm 2013 – THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội
ĐS: x = 2.
Bài tập 32. Giải phương trình:

2x2 - 1 + x2 - 3x - 2 = 2x2 + 2x + 3 + x2 - x + 2 .

ĐS: x = - 2.
Bài tập 33. Giải phương trình: 3 x2 + x - 2 + 7 x + 2 = 9 x - 1 + 11.
ĐS: x = 2.
Bài tập 34. Giải phương trình:

3

x2 - 1 + x = x3 - 2 .

3

x2 + 2.3 x - ( x - 4) x - 7 - 3x + 28 = 0.

ĐS: x = 3.
Bài tập 35. Gii phng trỡnh:

ổ
3
x
ỗ
ỗ
PT

x
8
(
) ỗỗ3 2 3
HD:
ỗ
x
+
2
x
+
4

ố

Bi tõp 36. Gii phng trình:
Lê Tuấn Anh

1+ 3 x
4x + 2 + x

ư
÷
- 4÷
= 0 ị x = 8.
ữ
ữ
ữ
x - 7 +1
ứ
x- 4

- 1 = 0.

Page 17


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ
HSG – THPT Thái Phiên – Tp. Đà Nẵng

ĐS: x = 1 Ú x = 7 - 3 5 .

4

8

Bài tập 37. Giải phương trình:

4

x + 8 + x + 4 = 2x + 3 + 3x .

ĐS: x = 1.
Bài tập 38. Giải phương trình:

(

)(

x2 + x + 1 + 4x2 + x + 1

)

5x2 + 1 -

2x2 + 1 = 3x2 .

ĐS: x = 0 Ú x = 1.
Bài tập 39. Giải phương trình:
ĐS: x = 5 Ú x =

x2 - 9x + 24 -

6x2 - 59x + 149 = 5 - x .

19
.
3

Bài tập 40. Giải phương trình: x3 + 3x2 - 33 3x + 5 = 1- 3x .
ĐS: x = - 2 Ú x = 1.
Bài tập 41. Giải phương trình:

3

162x3 + 2 -

27x2 - 9x + 1 = 1.

1
3

ĐS: x = .
Bài tập 42. Giải phương trình:

2x - 1 + x2 - 3x + 1 = 0 .

ĐS: x = 1 Ú x = 2 Bài tập 43. Giải phương trình:

2.
3

12x2 + 46x - 15 -

3

x3 - 5x + 1 = 2x + 2 .

ĐS: x = 2 Ú x = ± 2 - 1.
Bài tập 44. Giải phương trình:

x + 1- 2 4- x =

5( x - 3)
2x2 + 18

, (xỴ ¡ ) .

Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương
ĐS: x = - 1 Ú x =

3
Ú x = 3.
2

Bài tập 45. Giải phương trình:
ĐS: x =

2x + 4 - 2 2 - x =

6x - 4
x2 + 4

.

2
Ú x = ±2.
3

Bài tập 46. Giải phương trình: x2 + x - 1 = ( x + 2) x2 - 2x + 2 .
é
ù
2
2
HD: PT Û ( x - 2x + 7) + ê3( x + 2) - ( x + 2) x - 2x + 2ú= 0 Þ x = 1 ± 2 2 .
ë

Bài tập 47. Giải phương trình:
Lê Tuấn Anh

3x2 - 6x - 5 =

û

( 2 - x)

5

+

( 2 - x) ( 2x

2

)

- x - 10 .

Page 18


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

ĐS: x = 5 -

109
.
6

Bài tập 48. Giải phương trình: x3 - 3x + 1 = 8 - 3x2 .
ĐS: x = 1 ± 5 .
2

Bài tập 49. Giải: ( x - 1) 2x2 - 5x - 15 +

2x3 - 7x2 + 19
= 2x3 - 7x2 - 12x + 17 + 7x .
2

ĐS: x = 5 + 177 .

4

26
28
3x - 5 =
9x + 4 31
26

26 10x + 1 +

Bài tập 50. Giải phương trình:

5
806

2x - 2 .

ĐS: x = 3.
Bài tập 51. Giải phương trình: ( x + 3) x2 + x + 2 = x2 + 3x + 4.
Bài tập 52. Giải phương trình: ( x + 1) x + 8 = x2 + x + 4.
Bài tập 53. Giải phương trình: ( 2x + 1) x2 + 3 = 3x2 + x + 2 .
Bài tập 54. Giải phương trình: ( 3x + 1) x2 + x + 2 = 3x2 + 3x + 2 .
x2 - 1
.
2x - 3

Bài tập 55. Giải phương trình:

2x2 - 3x + 1 =

Bài tập 56. Giải phương trình:

5x - 1 + 3 9 - x = 2x2 + 3x - 1.

(

2

)

Bài tập 57. Giải phương trình: 4( x + 1) = ( 2x + 10) 1-

(

)

Bài tập 58. Giải phương trình: 2x2 = ( x + 9) 2 Bài tập 59. Giải phương trình: 2x =
Bài tập 60. Giải phương trình:
Bài tập 61. Giải:

3

(

2

3 + 2x .
2

9 + 2x .

)(

1- x + 1

)

1+ x - 1 .

x2 - 1 + x - 3 + x + 1 + x =

x+3
+ 5.
x2 - 6

2x2 - 5 + 2x2 - 5 + 3 4x4 - 29x2 + 25 = 3x + 12x3 - 9x2 - 30x .

Bài tập 62. Giải phương trình: 2 x2 - 7x + 10 = x + x2 - 12x + 20 .
Bài tập 63. Giải phương trình:
Bài tập 64. Giải phương trình:
Lê Tuấn Anh

1
x- 1

+

2
1
7

+
= .
2
2x 4
x

x2 + x + 1 x2
1
+
=
+ 2.
x+4
2
x2 + 1

Page 19


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

Bài tập 65. Giải phương trình:
Giải phương trình:

Lê Tuấn Anh

x- 3
2x - 1 - 1

=

1

x +3- x- 3
ỉ 3÷
ư
2x2 + x + 6 + x2 + x + 3 = 2ỗ
ỗx + ữ
.
ữ
ỗ
xữ
ố
ứ

.

Page 20


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẰT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN
Bài 1 Giải phương trình
a) x 2 + 3 x − x x 2 + 2 = 1 + 2 x 2 + 2 . Đặt t = x 2 + 2 nghiệm t = 3;1 − x
b) x 2 − 1 = 2 x. x 2 − 2 x
nghiện x = 1 ± 2

c) ( x + 1) x 2 − 2 x + 3 = x 2 + 1
d) 3 x 2 − x + 48 = (3 x − 10) x 2 + 15
e) 2( x − 1). x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x − 1
f) x 2 + 4 x = ( x + 2). x 2 − 2 x − 15 + 39
g) (1 − 4 x) 4 x 2 + 1 = 8 x 2 + 2 x + 1
h) (4 x − 1) x3 + 1 = 2 x3 + 2 x + 1
k) x3 + 3x + 2 = ( x + 2) x3 + 2 x + 1

Lê Tuấn Anh

Page 21


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

III. PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐỂ LÀM XUẤT HIỆN ẨN PHỤ
Bài 1 Giải phương trình

(

)(

)

a) ( x − 2) x 2 − x + 4 = 2 x ⇒ x 2 − 4 x + 4 x 2 − x + 4 = 4 x 2
+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

(

)(

)




2
2
2
+ x ≠ 0 : x − 4x + 4 x − x + 4 = 4x ⇔  x − 4 +

4 
4
÷ x − 1 + ÷ = 4
x 
x

t = 0
4
⇒x=4
phương trình ( t − 4 ) ( t − 1) = 4 ⇔ 
x
t = 5
b) x 2 + 3 x − 2 + 2 x 2 − x − 2 = 2 x chia cho x ⇒ Nghiệm x = 2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1
1
⇒ x = 4;

a) x + 1 + x 2 − 4 x + 1 = 3 x Chia 2 vế cho x và đặt t = x +
4
x
b) (Thi thử ninh giang 2013) 5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

Đặt t = x +

-

Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x 2 − 5 x + 2 = 5 ( x 2 − x − 20)( x + 1)
⇔ 2( x 2 − 4 x − 5) + 3( x + 4) = 5 ( x + 4)( x 2 − 4 x − 5)
x2 − 4x − 5
x2 − 4x − 5
5 + 61
⇔2
+3=5
⇔ x = 8;
x+4
x+4
2

c)

7 x 2 + 25 x + 19 − x 2 − 2 x − 35 = 7 x + 2
Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x 2 − 5 x − 14) + 4( x + 5) = 7 ( x 2 − 5 x − 14)( x + 5)

61 + 11137
18
IV. ĐẶT MỘT HOẶC NHIỀU ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHUƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP THUẦN
NHẤT

Bài 1: Giải các phương trình sau:
5 ± 37
a) 2( x 2 + 2) = 5 x 3 + 1 Đặt a = x + 1; b = x 2 − x + 1 PT ⇔ 2a 2 + 2b 2 = 5ab ⇒ x =
2
2
2
b) Thi thử NG 2013: 5 x + 14 x + 9 − x − x − 20 = 5 x + 1
Chia 2 vế cho ( x + 5) ⇒ Nghiệm 3 + 2 7;

Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được 2 x 2 − 5 x + 2 = 5 ( x 2 − x − 20)( x + 1)
5 + 61
2
3
2
3
c) x − 3x + 2 ( x + 2) − 6 x = 0 . Đặt y = x + 2 ta được phương trình :
⇔ 2( x 2 − 4 x − 5) + 3( x + 4) = 5 ( x + 4)( x 2 − 4 x − 5)

⇔ x = 8;

x 3 − 3x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 + 2 y 3 − 3x( x + 2) = 0 ⇔ x3 − 3xy 2 + 2 y 3 = 0
x = 2
x = y
⇔
⇒
 x = −2 y  x = 2 - 2 3
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1 Đặt u = x − 1; v = x 2 + x + 1 PT ⇔ 3u 2 + 2v 2 = 7uv ⇒ x = 4 ± 6
Lê Tuấn Anh

Page 22


Tài liệu LTĐH

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ

b) x 2 + 3 x 2 − 1 = x 4 − x 2 + 1
a + 3b ≥ 0
2
2
Cách 1 : Đặt a = x 2 ; b = x 2 − 1 . PT ⇔ a + 3b = a − b ⇔  2
nghiệm : x = ±1
10b + 6ab = 0
Cách 2 : Đặt a = x 2 , thay vào PT ta được 36a 3 − 136a 2 + 200a − 100 = 0 ⇔ a = 1
61 + 11137
c) 7 x 2 + 25 x + 19 − x 2 − 2 x − 35 = 7 x + 2
Nghiệm : 3 + 2 7;
18
2
2
Chuyển vế, bình phương ta được : 3( x − 5 x − 14) + 4( x + 5) = 7 ( x − 5 x − 14)( x + 5)
x 2 + 2 x + 2 x − 1 = 3 x 2 + 4 x + 1 . Điều kiện : x ≥

d)

(x

2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = x 2 + 1 ⇔

(x

2

1
. Bình phương 2 vế ta có :
2

+ 2 x ) ( 2 x − 1) = ( x 2 + 2 x ) − ( 2 x − 1)


1− 5
u=
v
2

u = x + 2 x
2
2
2
Ta có thể đặt : 
khi đó ta có hệ : uv = u − v ⇔ 

1+ 5
v = 2 x − 1
v
u =


2
1+ 5
1+ 5
Do u , v ≥ 0 . nên u =
v ⇔ x2 + 2x =
( 2 x − 1) ⇔ 2 x 2 + 2 1 − 5 x +
2
2

(

(

∆' = 1 − 5

)

2

−2

(

) (

) (

)

5 +1 = 0 .

)

5 + 1 = 4 1 − 5 < 0 .Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm .

Bài 12. Giải phương trình :

4 x2 + 5x + 1 − 2 x2 − x + 1 = 9 x − 3 .

-

 4 x 2 + 5 x + 1 = a
a = b
a, b > 0 ) . ta có : a − b = a 2 − b2 ⇔ ( a − b ) ( a + b − 1) = 0 ⇔ 
(
Đặt 
.
2
a
+
b
=
1

2 x − x + 1 = b

-

4 x2 + 5x + 1 = 4 x 2 − 4 x + 4

⇔
⇔
 4 x 2 + 5 x + 1 + 2 x 2 − x + 1 = 1

1

x = 3
⇔

 4 x 2 + 5 x + 1 = 1 − 2 x 2 − x + 1

1

x = 3

x = 4

9

Bài 2: Giải các phương trình sau
a) x 3 − ( x + 2)(3x − 2 x + 2) = 0
b) x 3 − 3x 2 + 2 ( x + 1)3 − 3 x = 0
c) x3 + (3x 2 − 4 x − 4) x + 1 = 0
Đưa về phương trình thuần nhất đẳng cấp
Bài 1: Giải phương trình
a) A – 2009: 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 Nghiệm x = −2
Đặt
b) 3 2 x + 1 − 6 x + 4 + (2 x + 1)( x + 4) + 7 = 0
Đặt u = 2 x + 1, v = x + 4 ⇒ 2v 2 − u 2 = 7 . Khi đó phương trình trở thành:
−u 2 + 2v 2 = 7

−u 2 + 2v 2 = 7
−u 2 + 2v 2 = 7
⇔
⇔
⇔ x=0

2
2
3u − 6v + uv + 7 = 0
(2v − u )(u + v − 3) = 0
3u − 6v + uv − u + 2v = 0
c) x + 17 − x 2 + x 17 − x 2 = 9
Lê Tuấn Anh

Nghiệm x = 1; 4

Page 23


Tài liệu LTĐH

x 3 + 1 = 2. 3 2 x − 1

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ
Nghiệm x = 1;

Bài 2. Giải các phương trình:

−1 ± 5
2

5
4
2
Ta biến đởi phương trình như sau: 4 x − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11
a) 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 . Điều kiện x ≥ −

(2 x − 3) 2 = 4 y + 5
⇒ ( x − y )( x + y − 1) = 0
Đặt 2 y − 3 = 4 x + 5 ta được hệ phương trình sau: 
2
(2 y − 3) = 4 x + 5
Với x = y ⇒ 2 x − 3 = 4 x + 5 ⇒ x = 2 + 3
Với x + y − 1 = 0 ⇒ y = 1 − x → x = 1 − 2
Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 − 2; 1 + 3}
Các bạn hãy xây dựng một số hệ dạng này ?
Bài tập tương tự
PT vô nghiệm.
a)
x + 1 = x2 + 4 x + 5

c)

4x + 9
= 7 x2 + 7 x
28
x + 2 = x 2 + 6 x + 10

d)

2 x + 1 = 4 x 2 − 12 x + 5

b)

Đặt

4x + 9
1
=y+
28
2
x+2 = y+3

Đặt

2x + 1 = 2 y − 3

Đặt

b) 4 x 2 + 5 − 13 x + 3 x + 1 = 0
2

13 
33

Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :  2 x − ÷ = 3 x + 1 −
4
4

13

Đặt 2 y − = 3 x + 1 thì chúng ta khơng thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được.
4
Để thu được hệ (1) ta đặt : α y + β = 3x + 1 , chọn α , β sao cho hệ chúng ta có thể giải được ,
(đối xứng hoặc gần đối xứng )
2 2
2
( α y + β ) 2 = 3x + 1
α y + 2αβ y − 3x + β − 1 = 0 (1)
⇔ 2
(*)
Ta có hệ :  2
(2)
4 x − 13 x + 5 = −α y − β
4 x − 13 x + α y + 5 + β = 0
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn của chúng ta
là có nghiệm x = y

α 2 2αβ − 3 β 2 − 1
=
=
Nên ta phải có :
, ta chọn được ngay α = −2; β = 3
4
α − 13
5+ β
Ta có lời giải như sau :
1
Điều kiện: x ≥ − ,
3
3

Đặt 3 x + 1 = −(2 y − 3), ( y ≤ )
2
(2 x − 3) 2 = 2 y + x + 1
⇒ ( x − y )(2 x + 2 y − 5) = 0
Ta có hệ phương trình sau: 
2
(2 y − 3) = 3 x + 1
Lê Tuấn Anh

Page 24


Tài liệu LTĐH
Với x = y ⇒ x =

Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ
15 − 97
8

Với 2 x + 2 y − 5 = 0 ⇒ x =

11 + 73
8

15 − 97 11 + 73 
;
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: 

8
8



Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay α ; β bằng cách viết lại phương trình
ta viết lại phương trình như sau: (2 x − 3) 2 = − 3 x + 1 + x + 4
khi đó đặt 3 x + 1 = −2 y + 3 , nếu đặt 2 y − 3 = 3 x + 1 thì chúng ta khơng thu được hệ như mong
ḿn , ta thấy dấu của α cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát .
 f ( x) = A.x + B. y + m
Xét hệ: 
 f ( y ) = A '.x + m '

(1)
(2)

để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’,

Nếu từ (2) tìm được hàm ngược y = g ( x ) thay vào (1) ta được phương trình
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải
giải được.
Mợt sớ phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau
1)
4 x 2 − 13 x + 5 + 3 x + 1 = 0
2)
4 x 2 − 13x + 5 + 3 x + 1 = 0
4
3
81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x − 2
3)
3

3
3
4)
6x + 1 = 8x − 4 x − 1
15
30 x 2 − 4 x ) = 2004 30060 x + 1 + 1
5)
(
2
3
6)
3 x − 5 = 8 x3 − 36 x 2 + 53 − 25
8/
9/
10/

(

)

11/
12/
13/
14/
15/
16/
17/
18/
Lê Tuấn Anh

Page 25