7 chủ đề bài tập theo dạng

Mục lục
Mục lục...................................................................................................1
Phần I: đại số ........................................................................................2
Chủ đề 1: Căn thức v Biến đổi căn thức............................2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có
nghĩa............................................................................................ 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức...........................................2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán............3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét ................7
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.................................................7
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm............7
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình
bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.................8
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.............................................9
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2
+ bx + c = 0 thoả mÃn điều kiện cho trớc....................................9
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.....10
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
bậc hai không phụ thuộc tham số................................................10
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc
hai............................................................................................... 11
Chủ đề 3: Hệ phơng trình ..............................................14
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
.................................................................................................... 14
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ...........................14
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mÃn điều kiện cho trớc................................................................14
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I...........................................................15
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II..........................................................16
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số

.................................................................................................... 16
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị ...........................................16
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số............................................................16
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng......................................17
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol...............17
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình .......................................................................20
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính
đến dòng nớc chảy)....................................................................20
Dạng 2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nớc).........................21
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm...............................21
Dạng 4: Toán có nội dung hình học.............................................21
Dạng 5: Toán về tìm số...............................................................21
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai ........23
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu..........................................23


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức............................................23
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối........................23
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng...............................................23
Dạng 5: Phơng trình bậc cao......................................................23
Phần II: Hình học ...............................................................................25
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. 25
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều
điểm cùng nằm trên một đờng tròn..................................25
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng
thẳng đồng quy..............................................................27
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định..............................28
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng

minh đẳng thức hình học...............................................28
Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện
tích....................................................................................
Chủ đề 7: Toán quỹ tích......................................................
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian.
.......................................................................................29
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có
nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các
biểu thức sau).
1)

3x  1

8)

x2  3

2)

5  2x

9)

x2  2

3)
4)

5)
6)
7)

1
7x  14
2x  1
3 x
7x  2
x 3
7  x
1
2x  x 2

10)
11)
12)
13)
14)

x 2  3x  7
2x 2  5x  3
1
x 2  5x  6
1
x  3



6x  1

3x
5 x
x 3

Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
2


Các chuyên đề ôn thi vào 10
a)

3 5
;
5 3

b) x

2
(với x  0);
x

2
;
5

c) x

d) (x  5)

x
;
25 x2

e) x

7
x2

Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)

( 28  2 14  7 )  7  7 8 ;

d)

b)

( 8  3 2  10 )( 2  3 0,4) ;

e)

c)

(15 50  5 200  3 450 ) : 10 ;

f)

g)

3

3;

20  14 2  20  14 2 ;

6  2 5  6  2 5;
11  6 2  11  6 2

h)

3

5 2 7 

3

3

26  15 3 

5 2 7
3

26  15 3

Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a) (

2 3 6

8 2

216 1
)
3
6

b)

14  7
15  5
1

):
1 2
1 3
7 5

c)

5  2 6  8  2 15
7  2 10

Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a)

(4  15 )( 10 
3

6) 4  15

b)

5

d)

c)

3 5 

2

e)

6,5  12  6,5  12  2 6

(3 

5) 3  5  (3  5) 3 

4

7

5

4 7 7

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
c)

1
7

24 1



1
7  24  1

52 6
5 2 6

5 6
5 6

b)
d)

3
3 1  1



3

3  1 1

3 5
3 5

3 5
3 5

Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:
a) 6  2 5  13  48
c)

b) 4  5 3  5 48  10 7  4 3

1
1
1
1


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100

Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
a bb a
1
a)

:
, víi a  0,b  0 vµ a b.
ab
a b
 a  a  a  a 
 1
, víi a  0 vµ a 1.
b)  1


a  1 
a  1

a a  8 2a 4 a
;
a 4
1
d)
 5a4 (1 4a 4a2 )
2a 1
c)

3x2  6xy 3y2
2
e) 2

4
x y2
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức

3


Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) A x2  3x y  2y, khi x 

1
1
;y 
5 2
9 4 5

b) B  x3  12x 8 víi x 3 4( 5  1) 





3



4( 5  1);

c) C  x  y , biÕt x  x2  3 y  y2  3  0;
d) D  16 2x x2  9  2x x2 , biÕt 16 2x x2 

9  2x x2 1.

e) E  x 1 y2  y 1 x2 , biÕt xy (1 x2 )(1 y2 ) a.

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
x 3
x 1 2

Bµi 1: Cho biĨu thøc P 

a) Rót gän P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biÓu thøc A 

3 ).

a2  a
2a  a

 1.
a  a 1
a

a) Rót gän A.
b) BiÕt a > 1, hÃy so sánh A với A .
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biÓu thøc C 

1
1
x



2 x  2 2 x  2 1 x

a) Rót gän biĨu thøc C.
4
9

b) Tính giá trị của C với x .

1
c) Tính giá trị của x để C .
3
Bài 4: Cho biÓu thøc M 

a



a
:
 1 

a 2  b2 
a 2  b2  a 

b
a 2  b2

a) Rót gọn M.

b) Tính giá trị M nếu

a 3
.
b 2

c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
x 2
x  2  (1  x)2


P


.
Bµi 5: XÐt biĨu thøc
 x 1

2
x

2
x

1



a) Rót gän P.
b) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 th× P > 0.

c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thøc Q 

2 x9

x  5 x 6

x  3 2 x 1

.
x  2 3 x

a) Rót gän Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
4


Các chuyên đề ôn thi vào 10

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là
số nguyên.
x y

Bài 7: Xét biểu thức H 
x

y


x 3  y3

x y


:







x

2

y  xy
x y

a) Rót gän H.
b) Chøng minh H ≥ 0.
c) So s¸nh H víi H .


a  

1



2 a

:

Bµi 8: XÐt biĨu thøc A 1 
  a  1  a a  a  a  1 .
a

1

 

a) Rót gän A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu a  2007  2 2006 .

Bµi 9: XÐt biĨu thøc M 

3x  9x  3

x x  2

x 1
x 2

.
x 2 1 x

a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là
số nguyên.

Bài 10: Xét biểu thức P 
a) Rót gän P.
c) So s¸nh P víi

15 x  11 3 x  2 2 x  3


.
x  2 x 3 1 x
x 3
1
2

b) Tìm các giá trÞ cđa x sao cho P  .
2
.
3

2
2

7 5
7 5
�2 x  x  1 �
� x x �
1
Cho biểu thức: B  �
�
�
�: 1  x

1

x
x

1
�
�
�
�

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
1.1





a) Rút gọn B.
b) Tính B khi x  4  2 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x  0; x  1.
Bài 12:
1.1
1.2

Tính giá trị của biểu thức:
Cho biểu thức: M 

3
3 1 1



3
3 1 1

x xy y
x y

x  y x  y  xy

a) Rút gọn M.
b) Với điều kiện nào của x và y thì M = 0.
Bài 13:
1.1Tính giá trị của biểu thức:

3 5
3 5

3 5
3 5

5


Các chuyên đề ôn thi vào 10
x2

1.2 Cho biu thc: N  �

�x x  1



x
1 � x 1

�:
x  x 1 1 x � 2

a) Rút gọn N.
b) Chứng minh rằng: N > 0 với x  0; x  1.
Bài 14:
1.1Tính giá trị của biểu thức: 2  3  2  3
1.2 Cho biểu thức: P 
a) Rút gọn P.

1
1
x xx


x 1  x
x 1  x
x 1
53
b) Tính P khi x 
92 7

c) Tìm x để

P = 16.
Bài 15:
1.1Tính giá trị của biểu thức:

2( 2  6)

3 2 3
3 x+ 9x  3
x 1
x 2


1.2 Cho biểu thức: K 
x x 2
x  2 1 x
a) Rút gọn K.
b) Tính K khi x  3  2 2 .

c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên.
Bài 16:
�1
�2

�4 1
3
2
4,5 
50 �:
2

5
�15 8
�
�
x �� 1
2 x
1
:

1.2Cho biểu thức: A  �
��
�
� x  1 �� x  1 x x  x  x  1 �
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x  4  2 3 .
c) Tìm x để A
1
2

1.1Tính giá trị của biểu thức: � � 

> 1.
Bài 17:

Tính giá trị của biểu thức:

1.1 Cho biểu thức: B 

42 3  3

x2  x
2 x+ x
1
x  x 1
x

a) Rút gọn B.
nhỏ nhất của B.
Bài 18:

b) Tìm x để B = 2.

1.1Tính giá trị của biểu thức:

c) Tìm giá trị

1
1

2 3 2 3

�2 x+ x  1 2 x x  x  x � x  x

�
�
1

x
1


x
x
�
�2 x  1

1.2 Cho biểu thức: C  1  �
a) Rút gọn C.
minh: C 

b) Cho C 

6
1 6

�Tìm x ?.

c) Chứng

2
.
3

6


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bi 19:
1.1Tớnh giỏ tr của biểu thức: (2 2  5  18)( 50  5)
�x  5 x �� 25  x

x 3
x 5�
 1��
:


�
x 5
x 3�
�x  25
��x  2 x  15

1.2 Cho biểu thức: D  �
a) Rút gọn D.

b) Với giá trị nào của x thì D < 1.

Bài 20:
2
7

2 2 3 2
�x x  1 x x  1 � �
� x 1
1 �
x 1 �


1.2Cho biểu thức: E  �
� � x 

�
�
�
x x � �
x�
x 1�
�x  x
� x 1

1.1Tính giá trị của biểu thức:

a) Rút gọn E.
Bài 21:
1.1 So sánh hai số:

b) Tìm x để E = 6.

2005  2004 và 2004  2003
x2  x
2 x+ x 2( x  1)


1.2 Cho biểu thức: P 
x  x 1
x
x 1

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P

c) Tìm x để biểu thức Q 

Bài 22: Tìm giá trị biểu thức sau:
1

a) A 

3



4



.

d) D  2  2  2  ...  2

11  2 30
7  2 10
84 3
1
1
1


 ........ 
b) B 
.
1 2
2 3
99  100
1
1
1

 ........ 
c) C 
.
2 1 1 2 3 2  2 3
100 99  99 100

n dấu căn

Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:
� x
x
4 x 1 � 1


�:
x

4
x


2
2

x
�
�x  4

a) A  �


b) B 
c) C 
d) D 

x y



3

 2x x  y y



3

x xy y
1
3
2



x 1 x x 1 x  x 1

x x  y y  xy
( x  y)





x y

x y







Bài 24: Cho abc = 1. Tính: S 

xy  y
x y



2 y
x y

1
1
1


.
1  a  ab 1  b  bc 1  c  ac

7


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x2 - 6x + 14 = 0 ;
2) 4x2 - 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;
4) -30x2 + 30x - 7,5 = 0
;
5) x2 - 4x + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - 2 = 0 ;
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ;
8) 2 2 x2 + x + 1 =
3 (x + 1) ;
9) x2 - 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiÖm:
1) 3x2 - 11x + 8 = 0 ;

2) 5x2 - 17x + 12 = 0 ;
3) x2 - (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
4) (1 - 2 )x2 - 2(1 + 2 )x + 1
+3 2 =0;
5) 3x2 - 19x - 22 = 0 ;
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
8) x2 - 11x + 30 = 0 ;
9) x2 - 12x + 27 = 0 ;
10) x2 - 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ;
2) x2 + (m + 1)x + m =
0;
3) x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0 ;
4) x2 + 2(m + 2)x - 4m 12 = 0 ;
5) x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - (m - 1)
(m - 3) = 0 ;
7) x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 ;
8) (m + 1)x2 - (2m - 1)x
-3+m=0;
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau
luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Chøng minh r»ng víi ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng
1

1
1


0 (ẩn x)
trình sau có hai nghiệm phân biết:
x a x b x c
Chứng minh rằng phơng trình: c2x2 + (a2 - b2 - c2)x + b2 = 0 v«
nghiƯm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 - (a - b)(a2 - b2)x - 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm
phân biệt.
Bài 3:
8


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau
đây có nghiÖm:
ax2 + 2bx + c = 0
(1)
2
bx + 2cx + a = 0
(2)
2
cx + 2ax + b = 0
(3)
Cho bèn phơng trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0

(1)
2
2
x - 2bx + 4a = 0
(2)
2
2
x - 4ax + b = 0
(3)
2
2
x + 4bx + a = 0
(4)
Chøng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng
trình có nghiệm.
Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
2b b  c
1
x
0
bc
ca
2c c  a
1
bx 2 
x
0
ca
a b
2a a  b

1
cx 2 
x
0
a b
bc
ax 2 

(1)
(2)
(3)

víi a, b, c lµ các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng
trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 vµ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đÃ
cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) cã hai
nghiÖm nÕu mét trong hai điều kiện sau đợc thoả mÃn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình
bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 - 3x - 7 = 0.
TÝnh:
2

2

A  x1  x 2 ;
C

1
1

;
x1  1 x 2  1
3

3

E  x1  x 2 ;

B  x1  x 2 ;
D  3x1  x 2  3x 2  x1 ;
4

F  x1  x 2

4

1

1

Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là x  1 vµ x  1 .
1
2
2

Bµi 2: Gäi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình: 5x - 3x - 1 = 0.
Không giải phơng trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
9


Các chuyên đề ôn thi vào 10
3

2

3

2

A 2x1 3x1 x 2  2x 2  3x1x 2 ;
x
x
x
x
B 1  1  2  2 
x 2 x 2  1 x1 x 1  1
2

2

1
1 
 
 ;
x

x
2 
 1

2

3x  5x1x 2  3x 2
C 1
.
2
2
4x1x 2  4x1 x 2

Bµi 3:
a) Gäi p vµ q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 =
0. Không giải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với
p

q

hệ số bằng số mà các nghiƯm cđa nã lµ q  1 vµ p  1 .
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là

1
10

72

và

1
.
10 6 2

2

Bài 4: Cho phơng trình x - 2(m -1)x - m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình lu«n lu«n cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi
mäi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả m·n y1  x1 

1
1
vµy2  x2  .
x2
x1

Bµi 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x - 6 = 0. HÃy tính giá trị các
biểu thức sau:
x
x
A 3x1  2x 2  3x 2  2x1 ;
B 1  2 ;
x 2  1 x1  1

x1  2 x 2 2

x1
x2
2

Bài 6: Cho phơng trình 2x - 4x - 10 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2.
Không giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình Èn y cã hai
nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 - x2 ; y2 = 2x2 - x1
Bµi 7: Cho phơng trình 2x2 - 3x - 1 = 0 cã hai nghiƯm x1 ; x2. H·y
thiÕt lËp ph¬ng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả m·n:
C  x1  x2 ;

D

2

x1
 y1 
x2
 y 1 x 1  2

a) 
b) 
2
x2
 y 2 x 2 2

y2 x

1
2
Bài 8: Cho phơng trình x + x - 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. HÃy
thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
x1 x 2


y

y


1
2

 y 1  y 2 x 1 2  x 2 2
x 2 x1

a) 
;
b)  2
y
y
 y 1  y 2 2  5x 1  5x 2 0.
1
2


3x 1  3x 2
 y 2 y 1

10


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 9: Cho phơng tr×nh 2x2 + 4ax - a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai

nghiÖm x1 ; x2. H·y lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả
mÃn:
1 1
1 1
y1 y2
và

x1 x2
x1 x2
y1 y2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép
này.
b) Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó.
d) Cho phơng trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phơng trình:

4x 2
2 2m 1 x


 m 2  m  6 0 . X¸c định m
4
2
2
x 2x 1
x 1

để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m2 + m - 2)(x2 + 4)2 - 4(2m + 1)x(x2 + 4) +
16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình
ax2 + bx + c = 0 thoả mÃn điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm
kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính
nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn 2x1 - x2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12
+ 2x22 - x1x2 nhËn gi¸ trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà chỉ
ra:
11

Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 - (m - 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ;
4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;
3x1x2 - 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức ®· chØ
ra:
a) x2 + 2mx - 3m - 2 = 0 ;
2x1 - 3x2 = 1
2
2
b) x - 4mx + 4m - m = 0 ;
x1 = 3x2
2
c) mx + 2mx + m - 4 = 0 ;
2x1 + x2 + 1 = 0
2
2
d) x - (3m - 1)x + 2m - m = 0 ;
x1 = x22
e) x2 + (2m - 8)x + 8m3 = 0 ;
x1 = x22
f) x2 - 4x + m2 + 3m = 0 ;
x12 + x2 = 6.

Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm
điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 - mx + m - 1 = 0. Tìm m để phơng
2x x 3

1 2
trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biÓu thøc R  x 2  x 2 2(1 x x )
1
2
1 2
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây b»ng 2.
mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0). Chứng
minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà
nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. Xác định m để
phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6.
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - 1 < x1
< x2 < 1.

Bµi 2: Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m
để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Víi giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiƯm kÐp. TÝnh
c¸c nghiƯm kÐp.
12


Các chuyên đề ôn thi vào 10

b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1
và một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 - mx + m = 0 cã nghiƯm tho¶
m·n x1 ≤ - 2 ≤ x2.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số
m.
b) Cho phơng tr×nh bËc hai: (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0.
Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phơng trình: 8x2 - 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để
phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai

nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai
số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1)2x2 - (m - 1)(m + 2)x + m =
0. Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi
m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn:
x1 x 2
5

.
x 2 x1
2

Bài 4: Cho phơng tr×nh: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lËp víi m.
- T×m m sao cho |x1 - x2| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m - 4)x2 - 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chøng
minh rằng nếu phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 - 3(x1 +
x2) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình
bậc hai.
KiÕn thøc cÇn nhí:
13

Các chuyên đề ôn thi vào 10

1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm
bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
ax2 + bx + c = 0 (2)
trong đó các hƯ sè a, b, c, a’, b’, c’ phơ thc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) cã mét nghiƯm b»ng k (k ≠ 0)
lÇn mét nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm nh sau:
i)
Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một
nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ phơng trình:
ax 0 2 bx 0 c 0
 2 2
 a' k x 0  b' kx 0 c' 0

(*)

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số
để tìm m.
ii)
Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và
(2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) (3)
2

a’x + b’x + c’ = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc
hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng hợp sau:
i)
Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:
( 3) 0

( 4 ) 0

Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii)
Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
(3) 0

 Δ (4) 0

 S(3) S(4)
 P P
(4)
 (3)

Chó ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ
phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:
 bx  ay   c

 b' x a' y c'

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ cã nghiƯm råi tÝnh nghiƯm (x ; y) theo

m.
- T×m m thoả mÃn y = x2.
- Kiểm tra lại kết qu¶.
14


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm
chung. Tìm nghiệm chung ®ã:
a) 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0;
6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0.
b) 2x2 + mx - 1 = 0;
mx2 - x + 2 = 0.
c) x2 - mx + 2m + 1 = 0;
mx2 - (2m + 1)x - 1 = 0.
Bµi 3: Xét các phơng trình sau:
ax2 + bx + c = 0
(1)
2
cx + bx + a = 0
(2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng
trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
Bài 4: Cho hai phơng trình:
x2 - 2mx + 4m = 0 (1)
x2 - mx + 10m = 0 (2)

Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm
bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất
một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng trình:
x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2
lần một trong các nghiệm của phơng trình (1).
Một số bài làm thêm
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh sau:
a) 2x2 + 5x = 0
b) 2x2 - 1 = 0
=0
d) 2x2 - 3x - 5 = 0
e) x2 -( 2 + 1)x + 2 =0
7x2 - 4 = 0
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép:

c) x2 + 5
f) 2x4 -

15


Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0
c) 5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0
b) mx2 - 2(m - 1)x + 2 = 0
d) mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bài 3: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :
a) 2x2 - (4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0
b) mx2 + (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
a) x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m - 1
=0
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình:
a) x2 + 2mx - 3m + 2 = 0 có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) 4x2 + 3x - m2 + 3m = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm cịn lại.
c) mx2 -

1
x - 5m2 = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm cịn lại.
2

Bài 6: Khơng giải phương trình x2 - 2x - 15 = 0. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm
của phương trình. Tính

a) x12 + x22

1

1

b) x 2  x 2
1
2

c) x13 + x23

d) x12 - x22
e) (x1 - x2)2

g)

3 x12  3 x2 2  3
x12 x2  x1 x2 2

h)

x1
x2

x2  3x1 x1  3x2

Bài 7: Lập phương trình có hai nghiệm là x1, x2 được cho trong mỗi
trường hợp sau:
a) x1 = - 4, x2 = 7;

b) x1 = - 5 , x2 = 3 + 5 ;
c) x1. x2 = 4;
2
2
x1 + x2  17 ;
Bài 8: Cho phương trình: x2 + px - 5 = 0 có nghiệm là x1, x2. Hãy lập
phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp
sau:
a) - x1 và - x2

b)

1
1
và
x1
x2

Bài 9: Cho phương trình x2 + (m - 3)x - 2m + 2 = 0.
a) Tìm giá trị của m để :
a1) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm cịn lại.
a2) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a3) phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a4) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương.
a5) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
a6) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả 2x1 + x2 = 3
a7) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả (x1 - x2)2 = 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc
lập với tham số m.
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :

a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả :
 ) x1 + 2x2 = 9
16


Các chuyên đề ôn thi vào 10
) x1 + x2 + 2x1x2 � 6
 ) A = 12 - 10x1x2 + (x12 + x22) đạt GTNN.

Bài 11: Cho phương trình: (m - 2)x2 - 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình trên.
Bài 12: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm m để phương
trình có hai nghiệm để:
a) x12  x22  52
b) x12  x22 đạt GTNN. Tìm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trình: x2 - mx - 7m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả : 2x1 + 3x2 = 0.
d) Tìm m nguyên để biểu thức A =

x1.x2
nhận giá trị nguyên.
x1  x2  1

Bài 14: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 - 3m + 2 = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x12  x22 =
16 .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm
của phương trình cùng dấu âm hay cùng dấu dương?
Bài 15: Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a)
Giải phương trình với m = - 1.
b)
Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
c)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
d)
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình
khơng phụ thuộc vào m.
Bài 16: Giải các phương trình sau:
a) x  x  1  3  0
b) x4 - 7x2 - 144 = 0.
c) 2x4 - x3 - 6x2 - x + 2 = 0
d) 15  x  3  x 6
Chủ đề 3: Hệ phơng trình
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ
bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình

17


Các chuyên đề ôn thi vào 10

3x 2y 4
4x  2y  3
�
�
1) �
;
2) �
;
2x  y  5
6x  3y  5
�
�
2x  3y  5
3x  4y  2  0
�
�
3) �
4) �
;
4x  6y  10
5x  2y  14
�
�
2x  5y  3
4x  6y  9
�
�
5) �
;
6) �

3x  2y  14
10x  15y 18


Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
 3x  2  2y  3 6xy
  2x - 3 2y  4  4x y  3  54
1) 
;
2) 
;
  4x  5 y  5 4xy
  x  1 3y  3 3y x  1  12
 7x  5y - 2
y  27
 2y - 5x

5


2x
 x  3y  8
 3

4
3) 
;
4) 
 x  1  y  6y  5x
 6x - 3y  10 5

 3
 5x 6y
7
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
1
2
3y
2
3x
x 1


3


4

 x  2y y  2x
 x 1 y  4
 x  1 y  2 7



1) 
;
2) 
;
3) 
;

4
3
2x
5
2
5




1

9

4
 x  2y y  2x
 x  1 y  4
 x  1 y  2







 2 x 2  2x  y  1 0
4) 
;
 3 x 2  2x  2 y  1  7 0

 5 x  1  3 y  2 7
5) 
 2 4x 2  8x  4  5 y 2  4y  4 13.

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mÃn điều kiện cho trớc
Bài 1: Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm lµ (2 ; - 1).
 2mx   n  1 y  m  n

  m  2 x 3ny 2m 3

Định a và b biết phơng trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 cã hai nghiƯm lµ
x = 1 vµ x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ;
x = y = 2m ;
mx - (m - 1)y = 2m - 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ;
(2 - m)x - 2y
2
= - m + 2m - 2.
Bµi 3: Cho hệ phơng trình
mx 4y 10 m
(m là thamsố)

x my 4
a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 .
b) Giải và biện luận hệ theo m.
18

Các chuyên đề ôn thi vào 10

c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhÊt
(x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là
các số nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x 2 - y2
đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tự với S = xy).
f) Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhất (x ; y) thì điểm
M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các
giá trị khác nhau.
m 1 x my 3m  1
 2x  y  m  5

Bài 4: Cho hệ phơng trình:

Giải và biện luận hệ theo m.
Với các giá trị nguyên nào của m th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y)
sao cho x > 0, y < 0.
Định m để hệ có nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ P = x 2 + y2 đạt giá
trị nhỏ nhất.
Xác định m để hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x 2 + 2y =
0. (Hc: sao cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x 2).
Chøng minh r»ng khi hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) thì điểm
D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m
nhận các giá trị khác nhau.
 x  my  2
 mx  2y 1

Bµi 5: Cho hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.
Tìm các số nguyên m để hệ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ x > 0
và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ x, y là
các số nguyên.
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x - y đạt giá trị
lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
x y xy 11

Ví dụ: Giải hệ phơng trình

2
2
x y 3 x y 28

Giải các hệ phơng trình sau:

19


Các chuyên đề ôn thi vào 10
x 2 y 2  x  y 8
1)  2
 x  y 2  xy 7
 xy  x  y 19

3)  2
2
 x y  xy 84

 x 2  xy  y 2  4
2) 
 x  xy  y  2

  x  1 y  1 8
5) 
 x  x  1  y y  1  xy 17

  x 2  1 y 2  1 10
6) 
  x  y  xy  1 3

 x  xy  y  2  3 2
7)  2
 x  y 2 6

 x 2
8)  2
 x
 x
10) 
 x

  x  y  2   x  y  6
9) 
 5 x 2  y 2  5xy

 x 2  3xy  y 2   1
4)  2
 3x  xy  3y 2 13

 xy  y 2 19 x  y 

2

 xy  y 2 7 x  y 
y  y x 30
x  y y 35

D¹ng 2: Hệ đối xứng loại II
x 3 1 2y
Ví dụ: Giải hệ phơng trình 3
y 1 2 x

Bài tập tơng tự:
Giải các hệ phơng trình sau:
x 2 1 3y
1) 2
y  1 3x
3
 x 2x  y
3)  3
 y 2y  x
 x 2  2y 2 2x  y
5)  2
 y  2x 2 2y  x

 x 2 y  2  y 2
2)  2
 xy  2 x 2
2
 x  xy  y 1
4) 
 x  xy  y 2 1
y

 x  3y 4 x
6) 
 y  3x 4 x

y

1 3

 2x  y  x

7) 
 2y  1  3

x y

 x 3 3x  8y
8)  3
 y 3y  8x

 x 2  3x  y

9)  2
 y  3y x

 x 3 7x  3y
10)  3
 y 7y  3x

D¹ng 3: HƯ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại
số
Giải các hệ phơng trình sau:

20


Các chuyên đề ôn thi vào 10

x y 1  0
1) �2
�x  xy  3  0

�x 2  xy  y 2  12
2) �
2
2
�xy  x  y  8

�
2 xy  x 2  4 x  4
�
3) �2

�x  2 xy  y  5x  4

�x  2 y  2 xy  11  0
4) �
�xy  y  x  4

2
�
2  x  y   3 x  y   5  0
�
5) �
�x  y  5  0

�x  2 y  2  0
7) �
2 y  x2  0
�
2
2
�x  y  2 xy  1
9) � 2
2 x  2 y 2  2 xy  y  0
�

2
�
5  x  y   3 x  y   8
�
6) �
2 x  3 y  12

�

�x 2  y  0
8) �
�x  y  2  0

Chđ ®Ị 4: Hàm số và đồ thị
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 5 ;
b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:
a) a = 2 ;
b) a = - 1.
D¹ng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
(d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
(d) ®i qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
(d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y =
-1/2x + 3.
(d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trục Ox một góc 300.
(d) đi qua E(0 ; 4) và ®ång quy víi hai ®êng th¼ng
(): y = 2x - 3; (): y = 7 - 3x tại một điểm.
(d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5
(đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là ®êng th¼ng y = (2k - 1)x + k - 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y - 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0.
d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm

A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua
một điểm cố định.
21


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol
Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). HÃy tìm a và
vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và
- 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng
AB.
1
2

Bài 2: Cho hàm số y x 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi
(P).
Bµi 3:
1
4

Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y  x 2 và đờng
thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).

c) Chøng tá r»ng (D) lu«n đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
1
2

Bài 4: Cho hàm số y x 2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết
phơng trình đờng thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song
song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
Bài 5:
Trong cùng hệ trục toạ ®é, cho Parabol (P): y = ax 2 (a  0) và đờng
thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2).
3
2



4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua ®iĨm C ; 1 vµ cã hƯ sè gãc m


a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với
(P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau.
HàM Số BậC NHấT
Bài 1: Cho hµm sè: y  (3  2) x 1
a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

b) Tính giá trị của y biết x 3 2
c) Tính giá trị của x biết y  3  2
Bµi 2: Cho hµm sè: y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số trên kh«ng?
22


Các chuyên đề ôn thi vào 10
3 7
1 5
A( ; ) , B ( ; )
2 2
2 2

Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m + 1)x + 5
a) VÏ đồ thị hàm số trên với m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
Bài 4: Cho hµm sè: y = (m2 - 3)x + 2 cã đồ thị (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến?
b) Vẽ (d) với m = 2.
c) Tìm m ®Ĩ (d) ®i qua A(1; 2).
d) T×m m ®Ĩ (d) ®i qua B(1; 8).
Bµi 5: Cho hµm sè: y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị (d).
a) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vẽ (d)
với m vừa tìm đợc.
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Vẽ
(d) với m vừa tìm đợc.

c ) Tìm m biết (d) tạo với trục hoành một góc bằng 450.

Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết (d) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành ®é
b»ng -2.
Bµi 7: ViÕt hµm sè bËc nhÊt y = ax + b biÕt hµm sè:
a) Cã hƯ sè b bằng 3 và song song với đờng thẳng (d): 2x - y + 1
= 0.
b) Có đồ thị đi qua A(3; 2) và B(1; -1)
c) Có đồ thị đi qua C(2; -1) và vuông góc với đờng thẳng (d): y =
3x + 1.
Bài 8: Viết phơng trình đờng thẳng (d) ®i qua A( -2; 1) vµ ®i qua
®iĨm M thc đờng thẳng (d): 2x + y = 3 có hoành độ bằng

1
.
2

Bài 9: Xác định m để đờng thẳng y = x + m + 1 tạo với các trục
tọa ®é 1 tam gi¸c cã diƯn tÝch b»ng 8 (®vdt).
�x  my  2
mx  2 y  1
�

Bµi 10: Cho hệ phơng trình:

a) Giải hệ phơng trình với m = 2.
b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;
y) mà x > 0; y < 0.
2mx  y  5
�
mx  3 y 1

Bài 11: Cho hệ phơng trình:

a) Giải hệ phơng trình với m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài 12: Cho 3 ®êng th¼ng (d1): x + y = 1; (d2): x - y = 1; (d3):
(a+1)x + (a - 1)y = a + 1
a) Với giá trị nào của a thì (d1) vuông góc với (d3).
b) Tìm a để 3 đờng thẳng trên đồng quy.
23


Các chuyên đề ôn thi vào 10

c) CMR khi a thay đổi, đờng thẳng (d3) luôn đi qua 1 điểm cố
định.
Bài 13: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).
a) Viết phơng trình ®êng th¼ng BC.
b) CMR 3 ®iĨm A, B, C th¼ng hàng.
c) CMR các đờng y = 3; 2y + x - 7 = 0 và đờng thẳng BC đồng
quy.
HàM Số bËc hai
Bµi 1: Cho hµm sè: y = ax2 (a 0) có đồ thị (P).
a) Xác định a biết (P) đi qua A(-3; 12)
b) Với a vừa tìm đợc:
b1) Vẽ đồ thị (P).
b2) Tìm các điểm B, C thuộc (P) có hoành độ lần lợt là:

1

và
2

2.
b3) Các điểm sau cã thuéc (P) hay kh«ng?
�1 2 �
D � ; �, E  6; 48 
�2 3 �
3
1
Bµi 2: Cho hµm sè: y = f(x) =  x 2 cã đồ thị (P) và hàm số: y = x 2
2
2

có đồ thị (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c) Không tính, hÃy so sánh:
c1) f(-2) và f(-3)
c2) f (1  2) vµ f ( 3  2)
2
2
Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m - 4)x .
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0.
b) Vẽ đồ thị hàm số trên với m

3
.
2

c) Với m cho ở câu b), hÃy tìm GTLN, GTNN cđa hµm sè víi -3  x 
1
Bµi 4: Cho hµm sè: y = ax2 (a  0) cã đồ thị (P).
4
3

a) Tìm a biết (P) đi qua M (2; ) .
b) Với a vừa tìm đợc, hÃy:
b1) Tìm giá trị của y biết x = -3.
b2) Tìm giá trị của x biết y = 13.
b3) Tìm các điểm A thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành ®é.
1
2

Bµi 5: Cho hµm sè: y =  x 2 có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt bằng -1 và 2.
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
24


Các chuyên đề ôn thi vào 10

c) Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc với
(P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P).
a) Tìm m ®Ĩ hµm sè ®ång biÕn khi x > 0.
b) Víi m = - 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng (d):
y = 2x - 3.
c) Tìm m ®Ĩ (P) tiÕp xóc víi (d): y = 2x - 3. Tìm tọa độ tiếp
điểm.

Bài 7: Chứng tỏ đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x - 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x - 1; (P): y = x2.
Bµi 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2
điểm phân biệt:
a) (d): y = 3x - 4; (P): y = x2.
b) (d): y = - 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trờng hợp
trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phơng trình: y = ax2 và hai ®êng th¼ng
sau:
4
3

(d1): y  x  1

(d2): 4x + 5y - 11 = 0

a) T×m a biÕt (P), (d1), (d2) ®ång quy.
b) VÏ (P), (d1), (d2) trªn cïng hƯ trơc tọa độ với a vừa tìm đợc.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d2).
d) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc víi
(d1).
1
2

Bµi 10: Cho Parabol (P): y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tìm
b) Tìm

c) Tìm
d) Tìm

m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hoành độ bằng - 2.
m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dơng.
m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai ®iĨm cã hoµnh ®é x 1

 x2 tháa m·n:

1 1 1
 
x12 x22 2

Bµi 11: Cho hµm sè: y = ax2 có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m
+ 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Bµi 12:
y  2x 

1
2

Cho hµm sè: y  x 2 có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):

3
2

a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
25