BTVN buổi 4+5

KHƠNG GIAN
VECTƠ
1. Tập V với các phép tốn sau có phải là không gian vectơ không?
(a) V = (x, y) | x, y ∈ R với các phép toán xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
k(a, b) = (ka, b)

(b) V = (x, y) | x, y ∈ R với các phép toán xác định như sau:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
k(a, b) = (k 2 a, k 2 b)

2. Tập V = (x, y) | x, y ∈ R với các phép tốn sau có phải là không gian vectơ
trên R không?
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 y2 )
α(x1 , y1 ) = (αx, αy)

3. Cho tập V = (a1 , a2 ) | a1 , a2 ∈ R . Trên V định nghĩa phép cộng thông thường
và phép nhân như sau:

(0, 0)
nếu c = 0
Với c ∈ R, c(a1 , a2 ) =
a2
 ca1 ,
nếu c = 0
c

V có phải là khơng gian vectơ trên R hay khơng? Giải thích?

4. Những tập nào sau đây là không gian con của R4 ?
(a) U = (a, b, c, d) | a + b = c + d

(b) U = (a, b, c, d) | a + b = 1
(c) U = (a, b, c, d) | a2 + b2 = 0
(d) U = (a, b, c, d) | a2 + b2 = 1
(e) U = (a + 2b, 0, 2a − b, b) | a, b ∈ R
(f) U = (a + 2b, a, a − 2b, b) | a, b ∈ R
5. Cho U là không gian sinh bởi hệ vectơ
X = (2, 2, 1, 3), (7, 5, 5, 5), (3, 2, 2, 1), (2, 1, 2, 1)

Tìm λ sao cho x = (6 + λ, 1 + λ, −1 + λ, 2 + λ) thuộc U . Với λ này, hỏi x có biểu
diễn tuyến tính duy nhất qua các vectơ của X khơng?
1


6. Các vectơ sau có phụ thuộc tuyến tính khơng?
(a) A =

1 2
,B=
3 1

3 −1
,C=
2 2

1 −5
−4 0

(b) u = t3 + 4t2 − 2t + 3, v = t3 + 6t2 − t + 4, w = 3t3 + 8t2 − 8t + 7
(c) f (t) = e2t , g(t) = t2 , h(t) = t
(d) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t

7. Cho V là không gian các ánh xạ thực trên R. Chứng minh rằng các ánh xạ
x → |x − 1| , x → |x − 2| , . . . , x → |x − 10|

độc lập tuyến tính.
8. Cho hệ vectơ a1 , a2 , a3 độc lập tuyến tính. Tìm k để các vectơ
a2 − a1 , ka3 − a2 , a1 − a3

cũng độc lập tuyến tính?
9. Tìm m để hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính:
v1 = (1, 0, −1, 0), v2 = (1, −2m, m, 1), v3 = (1, 1, 1, 0)

10. Đâu là một cơ sở của R3 ?
(a) {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, −1, 1)}
(b) {(1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)}
11. Chứng minh rằng {(1, 1, 0, 0), (−1, −1, 1, 2), (1, −1, 1, 3), (0, 1, −1, −3)} là cơ sở
của R4 . Tìm tọa độ của (a, b, c, d) với cơ sở này.
12. Mở rộng hệ độc lập tuyến tính {(1, −1, 1, −1), (1, 1, −1, 1)} thành cơ sở của R4 .
13. Tìm số chiều của khơng gian sinh bởi hệ vectơ:
(a) v1 = t3 −2t2 +4t+1, v2 = 2t3 −3t2 +9t−1, v3 = t3 +6t−5, v4 = 2t3 −3t2 +7t+5
(b) f (t) = sin t, g(t) = cos t, h(t) = t
14. Tìm cơ sở và số chiều của khơng gian U ∩ W , biết:
U = (a, b, c, d) | a + b + c + d = 0
W = (a, b, c, d) | a + b = 0, c = 2d

là các không gian con của R4
15. Trong không gian P3 [x] các đa thức bậc không quá 3, cho các vectơ
v1 = 1 + x + x2 + 2x3 , v2 = x − x2 − x3
v3 = 2 + 5x − 2x2 , v4 = 3 + 7x + 3x3

Đặt V1 = Span{v1 , v2 }, V2 = Span{v3 , v4 }. Tìm số chiều và một cơ sở của không

gian con V1 ∩ V2 .
2


16. Trong không gian P3 [x] các đa thức bậc không quá 3, cho các vectơ
v1 = 1 + x + x2 , v2 = x − x2 + x3
v3 = 1 + 2x + x2 + x3 , v4 = 2 + 2x + 4x2

Đặt V1 = Span{v1 , v2 }, V2 = Span{v3 , v4 }. Tìm số chiều và một cơ sở của V1 +V2 .
17. Trong không gian P2 [x], cho các vectơ
v1 = 1 + x + 2x2 , v2 = 1 − x2 , v3 = 3 + x

Tìm m để v = 3 − 2x + mx2 ∈ Span{v1 , v2 , v3 }.
18. Tìm số chiều và một cơ sở của khơng gian nghiệm hệ phương trình:

 3x1 + x2 + 12x3 + 11x4 = 0


−2x1 + 4x2 − x3 − 5x4 = 0
x1 + x2 + 5x3 + 4x4
= 0

19. Tìm a, b để khơng gian nghiệm của hệ sau có chiều là 1:

bx + 3y + z
= 0



(1 + 2b)x + (a + 5)y + 2z = 0

(2b − 1)x + (a + 2)y + z = 0

3