BTVN buổi 6+7

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. Các ánh xạ nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính:
(a) f (x, y, z) = (z, −y, x)
(b) f (x, y, z) = |x| , 0, −y
(c) f (x, y, z) = (y, z, 0)
(d) f (x, y, z) = (x − 1, x, y)
(e) f (x, y, z) = (2x, y − 2, 3y)
(f) f (x, y, z) = (2x, y, 3y)
2. Tồn tại hay khơng ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 thỏa mãn
f (0, 1, 1) = (3, 1, −2),
f (1, 1, 0) = (−3, 2, 1),

f (1, 0, 1) = (4, −1, 1)
f (1, 1, 1) = (3, 4, 2)

3. Tìm ánh xạ tuyến tính f : R2 [x] −→ R2 [x] xác định bởi:
f (1) = 1 + x,

f (x) = 3 − x2 ,

f (x2 ) = 4 + 2x − 3x2

4. Cho ℘(R) là không gian các hàm biến thực khả tích và khả vi. Với hai số
b, c ∈ R, xét ánh xạ T : ℘(R) −→ R2 :


2

x3 p(x) dx + c sin p(0)


T (p) = 3p(4) + 5p (6) + bp(1)p(2),



−1

Tìm b, c để T là ánh xạ tuyến tính.
5. Cho ánh xạ tuyến tính T : R2 −→ R2 xác định bởi T (x1 , x2 ) = (x2 , −x1 ). Tìm
tất cả các tập con W của R2 thỏa mãn T (W ) ⊂ W .
6. Cho f là một tốn tử tuyến tính trên khơng gian V và hệ vectơ x1 , x2 , . . . , xn
thỏa mãn
f (x1 ) = x1
f (xk ) = xk − xk−1

(k = 2, . . . , n − 1)

Chứng minh rằng hệ x1 , x2 , . . . , xn độc lập tuyến tính.
7. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác định bởi
f (x, y, s, t) = (x − y + s + t, x + 2s − t, x + y + 3s − 3t)

1


(a) Tìm cơ sở và số chiều của Im f
(b) Tìm cơ sở và số chiều của ker f
8. Cho tốn tử tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi
f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + 5x2 + 2x3 , 4x1 + 7x2 + (m + 1)x3 , x1 + x2 − 4mx3 )

(a) Tìm m để f không là đẳng cấu

(b) Với m vừa tìm được, hãy tìm cơ sở và số chiều của ker f , Im f
9. Cho ánh xạ T : R2 −→ R thỏa mãn T (1, 1) = 3 và T (0, 1) = −2.
(a) Tìm cơng thức của T
(b) Tìm T (8, 2) và T −1 (6)
(c) Hỏi T có phải đơn cấu khơng?
10. Cho V là khơng gian vectơ trên F và T1 , T2 : V −→ V là các ánh xạ tuyến tính
thỏa mãn
T1 ◦ T2 = T1 và T2 ◦ T1 = T2
Chứng minh rằng ker T1 = ker T2 .
11. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính T : P3 [x] −→ P3 [x] xác định bởi:
T (P (x)) = P (X + 1) − P (X)

12. Cho f : R3 −→ R3 là ánh xạ tuyến tính. Hỏi f có phải đồng cấu khơng nếu
nó thỏa mãn
(a) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (1, 2, 3) = (−1, −2, −3), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4)
(b) f (1, 1, 1) = (1, 1, 1), f (2, 2, 3) = (3, 3, 5), f (1, 1, 2) = (2, 2, 4)
13. Cho T : R3 −→ R3 định nghĩa bởi T (x, y, z) = (2x, 4x − y, 2x + 3y − z).
(a) Chứng minh rằng T là đẳng cấu
(b) Tìm T −1 (2, 4, 6)
(c) Tìm T −2
14. Cho ánh xạ tuyến tính T : P3 [x] −→ P5 [x] xác định bởi
T (P (x)) = P (X) + X 2 P (X)

Chứng minh rằng T khơng phải là tồn cấu.
15. Cho ánh xạ tuyến tính T : R4 −→ R2 thỏa mãn:
ker T = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 | x1 = 5x2 và x3 = 7x4

16. Tìm ma trận của ánh xạ f : R3 −→ R4 có ảnh là Span{(1, 2, 0, −4), (2, 0, −1, −3)}.
2

17. Trong không gian R3 , cho hai hệ vectơ
U = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)}
V = {(2, 1, −1), (3, 2, −5), (1, −1, m)}

(a) Tìm m để V là một cơ sở của R3
(b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ U sang V
18. Cho ánh xạ tuyến tính ϕ : R3 −→ R2 xác định bởi
ϕ(x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z)

(a) Tìm ma trận biểu diễn ϕ theo cặp cơ sở S và T , trong đó
S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} và T = {(1, 3), (2, 5)}

(b) Chứng minh rằng [ϕ(v)]T = [ϕ](S,T ) . [v]S
π
2

19. Cho L : R2 −→ R2 là tốn tử tuyến tính quay mỗi vectơ v ∈ R2 một góc θ = .
Tìm trị riêng, vectơ riêng của L?
20. Cho ánh xạ T : V −→ V có các vectơ riêng v1 , v2 , . . . , vn ứng với các giá trị
riêng λ1 , λ2 , . . . , λn . Chứng minh rằng v1 , v2 . . . , vn độc lập tuyến tính.
21. Cho λ là trị riêng của tốn tử tuyến tính T . Chứng minh rằng, với mọi đa
thức f (t), ta đều có f (λ) là trị riêng của f (T ).



1 −3 3
22. Cho ma trận A = 3 −5 3
6 −6 4

(a) Tìm một cơ sở của các khơng gian riêng của A.
(b) A có chéo hóa được khơng?
23. Ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định bởi
f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , 2x2 + x3 , 2x2 + 3x3 )

có chéo hóa được khơng?
24. Các tốn tử tuyến tính f : R3 −→ R3 sau có chéo hóa được khơng? Tìm cơ sở
chéo hóa (nếu có) cho mỗi tốn tử tuyến tính.
(a) f (x, y, z) = (x + y, y + z, −2y − z)
(b) f (x, y, z) = (x − y + z, x + y − z, −x + y + z)
(c) f (x, y, z) = (x − y, y − z, x + z)


2 1 −2

25. Tìm tất cả số a ∈ R để ma trận A = 1 a −1 chéo hóa được.
1 1 −1





2 −1 0
n
26. Tính A biết A = −2 1 −2.
1
1
3

3