BTVN buổi 2

1. Sử dụng cơng thức M aclaurin:
a) Tìm khai triển hữu hạn cấp 6 trên lân cận điểm 0 của hàm số
f (x) = cos (sin x)
b) Tìm khai triển hữu hạn cấp 5 trên lân cận điểm 0 của các hàm số
1
; h(x) = tan x
cos x

g(x) =

c) Tìm khai triển hữu hạn cấp 4 trên lân cận điểm 0 của hàm số
f (x) = ln(2 cos x + sin x)
2. Tính giới hạn (Sử dụng cơng thức M aclaurin)
a) lim

1
1
− 2
2
sin x x

b) lim

tan x
x

x→0

x→0

1

sin2 x

1

c) lim (2x + 3x − 5x ) 2x +3x −2.5x
x→0

d) lim

x→0

x3 − x2 +

√
x
1
. e x − x6 + 1
2

3. Áp dụng định lý Lagrange, chứng minh:
x
< ln(1 + x) < x ∀x > 0
x+1
4. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y|
a−b
a
a−b
b)
< ln <

nếu 0 < b < a
a
b
b
c) py p−1 (x − y) ≤ xp − y p ≤ pxp−1 (x − y) nếu 0 < y < x
5. Tính các đạo hàm
a) Cho f (x) = x + (x − 1) arcsin

x
.
x+1

Tính f (1)

b) Cho f (x) = (x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 . Tính f (1), f (2), f (3)
1


6. Tính đạo hàm của các hàm số sau
x
a, y = ln2 (arctan )
3
c, y = xx + xx

b, y = arcsin (

x

d, y =

3

2x
)
x2 + 1

x3 (x2 + 1)
√
5
5−x

7. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
1
− 3x + 2
a + bx
c, y = ln
a − bx

a, y =

x2

x
b, y = √
3
1+x

e, y = ex cos x

d, y = x cos αx

f, y = x2 ln(1 − 3x)

1

8. Cho f (x) = xn−1 e x , chứng minh
1

f

(n)

ex
(x) = (−1) n+1
x
n

Với n = 1, 2, ...
9. Cho f (x) = x2 e

−x
a

, chứng minh:
f (n) (0) =

(−1)n n(n − 1)
an−2

Với n ≥ 2

2