Một số câu hỏi ôn tập thi giữa kì GT2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

CÂU HỎI ƠN TẬP GIỮA KỲ GIẢI TÍCH II
20192
PHẦN TÍCH PHÂN KÉP
I. Bài tập trong đề thi các kì trước
Bài 1(Câu 3 - Đề 1 - 20183): Đổi thứ tự lấy tích phân
x2

1

I=

dx
0

f (x, y)dy.
−x

Giải
Ta có D : 0 ≤ x ≤ 1, −x ≤ y ≤ x2
Sử dụng hình vẽ (bạn đọc tự vẽ hình), ta cóD = D1 ∪ D2 với
−1 ≤ y ≤ 0
0≤y≤1
D1 :

, D2 : √
y≤x≤1
−y ≤ x ≤ 1
Vậy
0

I=

1

dy
−1

1

f (x, y)dy +
−y

1

dy
0

Bài 2(Câu 4 - Đề 1 - 20183): Tính I =
π
là miền x2 + 2y 2 ≤ , y ≥ 0.
2

D

√

f (x, y)dy
y

sin x2 + 2y 2 dx dy, với D

Giải
Đổi
 sang tọa độ cực:
x = r cos φ
1
⇒ |J| = √
1
y = √ r sin φ
2r
2
π
π
x2 + 2y 2 ≤
r2 ≤
2
2
Ta có
⇒
y≥0
sin φ ≥ 0
Do đó



0 ≤ r ≤ π
2
⇒D :

0≤φ≤π


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

√π

π

2

dφ

I=
0

π
= √
2 2

0

√π

π
sin r2 rdr = √
2 2

2

0

π
sin r2 dr2 = √
2 2

Bài 3(Câu 3 - Đề 1 - 20182): Tính tích phân kép
D là miền giới hạn bởi parabol y = 1 − x2 và trục Ox.

D

√π
2

sin tdt

0

(2y − x), trong đó

Giải
Ta có miền D: −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2
Do đó
1−x2

1

I=

(2y − x)dy

dx
−1

0
1−x2

1

y 2 − xy

=

dx

−1

0

1

x2 − 1

=

2

+ x x2 − 1

dx

−1
1

x4 + x3 − 2x2 − x + 1 dx

=
−1

16
=
15
Bài 4(Câu 5 - Đề 1 - 20182): Tính diện tích phần hình trịn x2 + y 2 = 2x
nằm ngồi đường trịn x2 + y 2 = 1.
Giải
Theo cơng thức tính diện tích, ta có:
S=

dxdy
D

với miền D : x2 + y 2 ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 2x


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

Đổi sang tọa độ cực:
x = r cos φ
⇒ |J| = r
y = r sin φ
Ta có

⇒D :

x2 + y 2 ≥ 1
x2 + y 2 ≤ 2x

⇒


1 ≤ r ≤ 2 cos φ
⇒
1
cos φ ≥

2

r≥1
r2 ≤ 2r cos φ

1 ≤ r ≤ 2 cos φ
π
π
− ≤φ≤
3
3

Do đó
S=
=

π
3
−π
3
π
3
−π
3

π
3

2 cos φ

dφ

rdr =
1

2 cos φ2 −

1
= (sin 2φ + φ)
2

1
2

π
3

−π
3

−π
3

dφ =

r2
2

dr
12 cos φ

π
3

2 cos 2φ +

−π
3

1
2

dφ

√
π
3
= +
3
2

Bài 5(Câu 4 - Đề 1 - 20172): Tính các tích phân kép sau
1. I =

D (x

+ 2y) dx dy, D giới hạn bởi y = x, y = 1, x = 0.

2. I = D x2 + xy − y 2 dx dy, với D là miền giới hạn bởi y = −2x +
1, y = −2x + 3, y = x − 2, y = x.

Giải
1. Ta có miền D: [0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1]
Do đó
1

I=

1

(2x2 + 3y 2 )dy =

dx
0

1

x

0

(2x2 − 2x3 + 1 − x3 )dx =
0

1



2x2 y + y 3 dx

1

=



x

11
12


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

1 2
2. Đặt u = 2x + y, v = x − y ⇒ x2 + xy − y 2 =
u + 5uv − 5v 2
9
−1
Ta có: 1 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2, J =
3


2
3

2
3
1
1
u2 v + 5 uv 2 − 5 v 3 du
I=
du
u2 + 5uv − 5v 2 dv =
27 1
27
2
3
0
1
0

=

1
27

3

2u2 + 10u −
1

40
3

du =

92
81

Bài 6(Câu 5 - Đề 1 - 20172): Tính tích phân sau
8

I=

2

dx
0

√
3

x

y4

1
dy.
+1

Giải
0≤x≤8
⇔
√
3

x≤y≤2
Đổi thứ tự lấy tích phân ta có:

0≤y≤2
0 ≤ x ≤ y3

Ta có miền D

y3

2

I=

dy
0

0

1
dx =
4
y +1

2
0

y3
1
dy = ln y 4 + 1

4
y +1
4

2

=
0

Bài 7(Câu 4 - Đề 3 - 20172): Tính các tích phân kép sau
1. I =

D

x dx dy, D giới hạn bởi y = x2 , y = x + 2.

2. I =

D

x

x2 + y 2 dx dy, với D : x2 + y 2 ≤ x.
Giải

1. Tìm hồnh độ giao điểm của 2 đường y = x2 , y = x + 2 ta có
x1 = −1, x2 = 2

1
ln 17

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

Ta có miền D: −1 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ x + 2
2

I=

x+2

dx

xdy =
x2

−1

x+2

2

xy

−1

2

x x + 2 − x2 dx =

dx =
−1

x2

9
4

2. Đổi sang tọa độ cực:
x = r cos φ
⇒ |J| = r
y = r sin φ
Ta có

x2 + y 2 ≤ x
x≥0
π
2

I=2

⇒

r2 ≤ r cos φ

cos φ ≥ 0

cos φ

r3 cos φdr =

dφ

0

0

0 ≤ r ≤ cos φ
π
π
− ≤φ≤
2
2
4!!
4
cos5 φdφ =
=
2.5!!
15

⇒D :
1
2

Bài 8(Câu 7 - Đề 3 - 20172): Tính I =

9, y ≤ x ≤ 4y.

π
2

0

D

(3x + 2xy), với D : 1 ≤ xy ≤

Giải
Từ giả thiết ta có:

xy > 0
y ≤ 4y

⇒ x > 0, y > 0

x
1
, Ta có 1 ≤ u ≤ 9, 1 ≤ v ≤ 4, |J| =
y
2v
√
9
4
9
4
√

1
3 u u
√ +
I=
du
3 uv + 2u
dv =
du
2v
v
2 v
1
1
1
1

Đặt u = xy, v =

9

√

4

3 uv + u ln v

=
1

9

du =
1

dv

√
3 u + u ln 4 du = 52 + 40 ln 4

1

II. Một số bài tập ôn tập khác
Bài 1. Tính I = D |y − x2 |dxdy, với D : |x| ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2
Giải
Ta có D = D1 ∪ D2 với
D1 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 , D2 : −1 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ 2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

Do đó
x2 − ydxdy +

I=

D1
1

y − x2 dxdy
D2

x2

1

2

dx
x2 − ydy +
dx
−1
0
−1
x2

y=x2
3
2 1
+ y − x2
=
− x2 − y 2
3 −1

y − x2 dy


=

y=0

=
=
Đặt x =

√

2
3

1

y=2

3
2

 dx
y=x2

3

x2 |x| + (2 − x2 ) 2 dx
−1

1 2

+
3 3

1

3

(2 − x2 ) 2 dx
−1

2 sin t, ta có
1 2
I= +
3 3
1 2
= +
3 3
=

1 2
+
3 3

π
4

2 − 2 sin2 t

3
2

√

2 cos tdt

− π4
π
4

4 cos4 tdt

− π4
π
4
− π4

3
1
5 π
+ 2 cos 2t + cos 4t dt = +
2
2
3 2

Bài 2. Tính
(x2 + y 2 )dxdy

I=
x4 +y 4 ≤1

Giải
Đổi sang tọa độ cực
x = r cos φ
⇒ |J| = r
y = r sin φ
Ta có x4 + y 4 ≤ 1 ⇒ r4 cos4 φ + sin4 φ ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤

1
0 ≤ r ≤
4
4
Vậy ta có miền D :
cos φ + sin4 φ

0 ≤ φ ≤ 2π

1
4

cos4 φ

+ sin4 φ


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

Do đó
1
2π

I=

4

dφ
0

0
π
2

=
0

cos4 φ + sin4 φ r3 dr = 1
4

2π
0

dφ
sin φ + cos4 φ
4

dφ
sin4 φ + cos4 φ

Đặt t = tan φ ⇒ dφ = (1 + t2 )dt
Lúc này
+∞

I=
0

=

1
2

1 + t2
dt
1 + t4




+∞




1
√

√

2

+

1
√

2

t + 22 +
+ 22

√
√ 
2
2
+∞
t−
t+

1 2 
2
2


+ arctan √
= . √ arctan √
2 2

2
2  0
2
2
π
1 π π π π
+ + −
=√
=√
4
2
4
2 2
2
0

Bài 3. Tính I =
5
1, x + y =
2

t−

D

2
2

2

√

2
2

2  dt



xydxdy, trong đó D giới hạn bởi các đường xy =

Giải
Tìm hồnh độ giao điểm của hai đường xy = 1, x + y =
1
x1 = , x2 = 2
2
1
1
5
Ta có miền D
≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ − x
2
x
2

5
ta có
2

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

Do đó

5
−x
2

2

I=

xdx
1
2

=

1
x

2

1

2

1
ydy =
2

2

x
1
2

1
25x
− 5x2 + x3 −
4
x

1
2

5
−x
2
=

2

−

1
dx
x2

165
− ln 2
128

Bài 4.(Câu 5 - Đề thi thử giữa kì GT2 GK 20192 CLB HTHT)
Tính các tích phân sau:
D giới hạn bởi 2 đường cong y = 2x2 , y = 1 + x2

2
2

2x ≤ x + y√≤ 12
dx dy, D : x2 + y 2 ≥ 2 3y


x ≥ 0, y ≥ 0

1. I =

D (x + 2y) dx dy,

2. I =

xy
D x2 +y 2

Giải
1.
(x + 2y)dxdy, D giới hạn bởi y = 2x2 , y = 1 + x2

I=
D

Ta có miền D : −1 ≤ x ≤ 1, 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2
1+x2

1

I=

dx
−1

(x + 2y)dy
2x2
1+x2

1
2

=

dx

(xy + y )
−1

2x2

1

(−3x4 − x3 + 2x2 + x + 1)dx

=
−1

1
2
1
3
− x5 − x4 + x3 + x2 + x
5
4
3
2

=
2.
I=
D

1

=
−1

32
15


2
2

2x ≤ x + y√≤ 12
xy
dxdy, D : x2 + y 2 ≥ 2 3y

x2 + y 2

x, y ≥ 0


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Nhóm Giải tích 2
LAT

EX bởi Nguyễn Đức Chính

x = r cos φ
y = r sin φ

Đặt

(r ≥ 0) ⇒ |J| = r; x, y ≥ 0 ⇒ 0 ≤ φ ≤

2x ≤ x2 + y 2 ≤ 12
√
2 3y ≤ x2 + y 2

2r cos φ ≤ r2 ≤ 12
√
2 3r sin φ ≤ r2

⇒

π
2

√
2 cos φ ≤ r ≤ 2 3
√
√
2 3 sin φ ≤ r ≤ 2 3

⇒

√
√
Ta có 2 cos φ ≥ 2 3 sin φ trên 0, π6 , 2 cos φ ≤ 2 3 sin φ trên
Vậy ta có D = D1 ∪ D2 với
π
≤ φ ≤ π2
0 ≤ φ ≤ π6
√

√
, D2 : 6√
D1 :
2 cos φ ≤ r ≤ 2 3
2 3 sin φ ≤ r ≤ 2 3
Do đó
I=

r sin φ cos φdrdφ +
D1
π
6

=

dφ

0

r sin φ cos φdr +

r2
2

0
π
6

=

π
2

√
2 3

dφ

π
6

2 cos φ
π
6

=

r sin φ cos φdrdφ
D2

√
2 3

π π
6, 2

√
2 3

sin φ cos φ

π
2

dφ +
π
6

2 cos φ

r sin φ cos φdr
√
2 3 sin φ
√
2 3
2
r
2

sin φ cos φ
π
2

3

6 sin φ cos φ − 2 sin φ cos φ dφ + 6

√
2 3 sin φ

dφ

(sin φ cos φ − sin3 φ cos φ)dφ

π
6

0
π
2

=6

sin φ cos φdφ + 2

0

=3+

π
6

0

−7
32

−

45

11
=
32
8

π
2

3

cos φd(cos φ) − 6
π
6

sin3 φd(sin φ)