GT3 giữa kỳ

CLB Hỗ trợ học tập

THỬ THÁCH 30 NGÀY CHINH PHỤC GIẢI TÍCH
Mơn Giải tích 3 – Tuần 5
*****
Câu 1: (2đ) Các chuỗi sau đây hội tụ hay phân kỳ? Vì sao?
a)
b)
+∞

+∞

𝑙𝑛2 𝑛
∑ (−1)𝑛 𝑙𝑛 (1 +
)
𝑛

∑
𝑛 = 10

𝑛=2

1
𝑛. 𝑙𝑛 𝑛. 𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑛)

Câu 2: (2đ) Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau:
a)
b)
+∞

(𝑛!)2 𝑥 + 2

∑
(
)
(2𝑛)! 2 − 𝑥

+∞

𝑛

2

𝑛 𝑛 1
∑(
)
𝑛+2
𝑥 2𝑛

𝑛=1

𝑛=1

Câu 3: (1đ) Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ:
+∞

1
∑ (−1)𝑛 𝑙𝑛 (1 + 3 )
√𝑛
𝑛=2
Câu 4: (1đ) Tính tổng:
+∞

∑
𝑛=0

(−1)𝑛 (2𝜋)𝑛
(√2)𝑛 𝑛!

𝑛𝜋
𝑐𝑜𝑠 ( )
4

Câu 5: (3đ) Giải các PTVP sau:
a) (𝑥 2 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥
b) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑦 2 𝑙𝑛𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑦(1) = 1
c) (1 + 3𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑦 𝑑𝑦 = 0
Câu 6: (1đ) Khai triển Fourier chuỗi số sau:
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥), −𝜋 < 𝑥 < 𝜋,

(𝑇 = 2𝜋)

− − − HẾT − − −
Chúc các bạn bình tĩnh, tự tin, làm bài đạt kết quả cao!

Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT


CLB Hỗ trợ học tập

THỬ THÁCH 30 NGÀY CHINH PHỤC GIẢI TÍCH

Mơn Giải tích 3 – Tuần 5
*****
Đáp án
Câu 1: (2đ) Các chuỗi sau đây hội tụ hay phân kỳ? Vì sao? (2 chuỗi)
a) HT

b) PK
+∞

+∞

ln2 n
n
∑ (−1) ln (1 +
)
n

∑

n=2

n = 10

1
n. ln n. ln(ln n)

Câu 2: (2đ) Tìm miền hội tụ: (2 chuỗi)
6

10

1

a) (−∞; ) ∪ ( ; +∞)
5
3
+∞

1

b) (−∞; − ) ∪ ( ; +∞)
e
e
+∞

n

(n!)2 x + 2
∑
(
)
(2n)! 2 − x

2

n n 1
∑(
)
n+2
x 2n

n=1

n=1

Câu 3: (1đ) Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ: (BHT)
+∞

1
∑ (−1)n ln (1 + 3 )
√n
n=2
(S = −e−π , S(x) = ex cos x)

Câu 4: (1đ) Tính tổng:
+∞

∑
n=0

(−1)n (2π)n
(√2)n n!

nπ
cos ( )
4

Câu 5: (3đ) Giải các PTVP sau:
a) (x 2 − y 2 )dy = 2xydx (Đẳng cấp)
y

=C
x2 + y2
b) xy′ + y = y 2 lnx với y(1) = 1 (Bernouli)
1
y=
,𝑥 > 0
ln x + 1
c) (1 + 3x 2 siny)dx − x coty dy = 0 (Vi phân toàn phần)
x
+ x 3 = C, 𝑠𝑖𝑛 𝑦 ≠ 0
sin y
Câu 6: (1đ) Khai triển Fourier chuỗi số sau:
Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT


CLB Hỗ trợ học tập
f(x) = sin(ax), −π < x < π

(T = 2π)

+∞

(−1)n 2n sin(aπ)
S(x) = ∑
sin(nx)
π(a2 − n2 )
n=1

Hướng dẫn giải:

Câu 1:
a)
ln2 n
+) an = ln (1 +
) > 0, lim an = 0, ∀x ≥ 2
n→+∞
n
f(x) = ln (1 +

ln2 x
x

) nghịch biến trên (e2 , +∞)(f ′ (x) =

2lnx−ln2 x
x2
ln2 x
1+
x

< 0, ∀x > e2 )

+) an = f(n) => an là dãy giảm
+∞

ln2 n
Chuỗi đan dấu ∑ (−1) ln (1 +
) có an dương, ln giảm, tiến về 0
n
n

n=2

KL: HT theo Leibnitz
(Không chứng minh an luôn giảm hoặc f′(x) < 0 trừ 0.5 điểm)
b)
+) an =
f(x) =

1
> 0 và lim an = 0, ∀x ≥ 10
n→+∞
n. ln n . ln(ln n)
1

x.lnx.ln(lnx)

nghịch biến trên [10, +∞), sử dụng tiêu chuẩn tích phân

có:
+∞

∞
1
dx
an = f(n) nên ∑
và ∫
cùng HT hoặc PK
n. ln n . ln(ln n)
10 x. lnx. ln (lnx)

n = 10

∞

∞
∞
dx
du
dt
+) I = ∫
=∫
= ∫
→ ∞ => PK
10 x. lnx. ln (lnx)
ln10 u. lnu
ln (ln10) t

KL: PK theo tiêu chuẩn tích phân
Câu 2:
a)
(n!)2
+) an =
> 0 và lim an = 0, ∀x ≥ 1
n→+∞
(2n)!

Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT

CLB Hỗ trợ học tập
Đặt X =

x+2
an+1
1
, ta có: lim |
| = => bán kính hội tụ của chuỗi là R = 4
n→∞ an
2−x
4
n

(n!)2 x + 2
(n!)2 . 4n
+) Với X = ±4, |un | = |
(
) |=
(2n)! 2 − x
(2n)!
(n + 1)!. 4n+1 (2n)!
un+1
4(n + 1)2
=
>1
|
|=
(2n + 2)! (n!). 4n (2n + 1)(2n + 2)
un
=> |un+1 | > |un |, ∀x ≥ 1 =

> Chuỗi PK vì khơng thỏa mãn điều kiện cần HT
x+2
∈ (−4; 4)
2−x
6
10
=> x ∈ (−∞; ) ∪ ( ; +∞)
5
3

Do đó, chuỗi hội tụ <=> X ∈ (−4; 4) =>

𝟔
𝟏𝟎
𝐊𝐋: 𝐌𝐇𝐓 = (−∞; ) ∪ ( ; +∞)
𝟓
𝟑
b)
2

n n
+) an = (
) > 0 và lim an = 0, ∀x ≥ 2
n→+∞
n+2
1
n n
1
1
n

Đặt X = 2 , lim √an = lim (
) = lim
n = 2
n→∞ n + 2
n→∞
x n→∞
e
2
(1 + n)
=> bán kính hội tụ R = e2 .
2 n

+) Với X = ±e , √|an

. un |

Do đó, chuỗi hội tụ khi

e2
=
> 1 → lim an . un ≠ 0 => Chuỗi PK
n→∞
2 n
(1 + n)

1
1
1
2 2
=

X
∈
(−e
;
e
)
=>
x
∈
−
∪
; +∞)
(−∞;
)
(
x2
e
e

𝟏
𝟏
𝐊𝐋: 𝐌𝐇𝐓 = (−∞; − ) ∪ ( ; +∞)
𝐞
𝐞
Câu 3:
1
+) an = ln (1 + 3 ) > 0 và lim an = 0, ∀x ≥ 2
n→+∞
√n
1

f(x) = ln (1 + 3 ) nghịch biến và lim f(x) = 0
x→∞
√x
Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT


CLB Hỗ trợ học tập
an = f(n) => an luôn giảm ∀x ≥ 2
+∞

1
Do đó, Chuỗi đan dấu ∑ (−1)n ln (1 + 3 ) HT theo Leibnitz
√n
n=2
1
1
1
+) |(−1)n ln (1 + 3 )| = ln (1 + 3 ) ~ 3 khi n → +∞
√n
√n
√n
∞

+∞

1

1
∑ 3 PK => ∑ |(−1)n ln (1 + 3 )| PK (tiêu chuẩn so sánh)

√n
√n
n=2
n=2
KL: Chuỗi số bán hội tụ
Câu 4:
+∞

Chú ý: ∑
n=0

(−1)n (2π)n
(√2)n n!

+∞

nπ
(−π)n (√2)n
nπ
cos ( ) = ∑
cos ( )
4
n!
4
n=0

x

+) Xét f(x) = e cosx , ta có:
π

f ′ (x) = √2ex cos (x + )
4
Chứng minh bằng quy nạp:
π
k
f (k) (x) = (√2) ex cos (x + k )
4
Cơ sở quy nạp: k = 1 đúng
π
k
Giả sử có: f (k) (x) = (√2) ex cos (x + k )
4
π
π
k
Suy ra f (k+1) (x) = (√2) ex (cos (x + k ) − sin (x + k ))
4
4
π π
k+1
= (√2) ex cos (x + k + ) (đpcm)
4 4
+) Suy ra khai triển Maclaurin cho f(x):
n
nπ
∞
(√2) cos ( 4 )
f(x) = ∑
. xn
n!

k=0

Thay x = −π ta được:
+∞

(−π)n (√2)n
nπ
cos ( ) = f(−π) = −e−π
∑
n!
4

n=0

Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT


CLB Hỗ trợ học tập
+∞

𝐊𝐋: ∑
𝐧=𝟎

(−𝟏)𝐧 (𝟐𝛑)𝐧
(√𝟐)𝐧 𝐧!

𝐧𝛑
𝐜𝐨𝐬 ( ) = −𝐞−𝛑
𝟒

Câu 5:
a) (x2 − y 2 )dy = 2xydx (1) (Đẳng cấp)
+) Xét y(x) = 0 thỏa mãn, x(y) = 0 không thỏa mãn
y2
y
2
Xét: x, y ≠ 0, chia 2 vế của (1) cho x ta được (1 − 2 ) dy = 2 dx
x
x
y
Đây là PTVP đăng cấp, đặt u = ta được(1 − u2 )(u + u′ . x) = 2u
x
+) Dễ thấy u = ±1 không thỏa mãn; u = 0 thỏa mãn.
(1 − u2 )du dx
2u
u + u3
′
Xét u ≠ 0 và ± 1, u x =
−u=
=>
=
1 − u2
1 − u2
u + u3
x
y
Nghiệm tổng quát: 2
=C
x + y2

𝐲
𝐊𝐋: 𝟐
=𝐂
𝐱 + 𝐲𝟐
b) xy′ + y = y 2 lnx (1) với y(1) = 1 (Bernoulli)
Cách 1: PTVP Bernoulli
y −1 1
+) ĐK x > 0, chia 2 vế của 1 cho xy ta được: y′y +
=
x
x
t ln x
t
ln x
Đặt t = y −1 , ta được: − t′ + =
=> t′ − = −
(2),
x
x
x
x
+) Ta có cơng thức nghiệm tổng quát của (2) là:
1
ln x ∫ −1dx
ln x 1
− ∫ − dx
x
t=e
e x dx + C) = x (
+ + C)

(∫ −
x
x
x
1
=> y =
, y(1) = 1 => C = 0
ln x + 1 + Cx
𝟏
𝐊𝐋: 𝐲 =
,𝐱 > 𝟎
𝐥𝐧 𝐱 + 𝟏
Cách 2: Đặt t = xy(t ≠ 0 do y(1) = 1)
dt t 2
dt lnx dx
′
Đưa (1) về dạng t =
= 2 lnx => 2 =
dx x
t
x2
𝟏
=> Nghiệm tổng quát: 𝐲 =
𝐥𝐧 𝐱 + 𝟏
2

−2

Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT

CLB Hỗ trợ học tập
c) (1 + 3x 2 sin y)dx − x cot y dy = 0 (1) (Vi phân toàn phần)
P(x; y) = 1 + 3x 2 sin y => Py′ = 3x 2 cos y
+) Đặt {
=> Py′ ≠ Q′x
′
Q(x; y) = −x cot y => Q x = −cot y
Q′x − Py′ −cot y − 3x 2 cos y
Đặt α(y) =
=
= −coty
P(x; y)
1 + 3x 2 sin y
1
Thừa số tích phân μ(y) = e∫ α(y)dy = e∫ −cotydy =
, sin y ≠ 0
|sin y|
+) Nhân 2 vế của (1) với μ(y) ta được phương trình vi phân toàn phần:
1
−cosy
+ 3x 2 ) dx − x
dy = 0 (2)
(
sin y
sin2 y
π
Chọn (x0 ; y0 ) = (0; ) thỏa mãn (2), khi đó:
2

y

x

1
x
CTN TQ của (2) là C = ∫ (
+ 3t 2 ) dt + ∫ 0dt =
+ x3
sin
y
sin
y
0
π
2

𝐊𝐋:

𝐱
+ 𝐱 𝟑 = 𝐂, 𝐬𝐢𝐧 𝐲 ≠ 𝟎
𝐬𝐢𝐧𝐲

Câu 6:
f(x) = sin(ax), −π < x < π
(T = 2π)
+) a ∈ Z, f(x) = sign(a). sin(|a|x) đã có dạng khai triển Fourier
a không thuộc Z, f(x) = sin(ax) là hàm lẻ nên an = 0, ∀n ≥ 0
π

π

2
1
+) bn = ∫ sin(ax) sin(nx) dx = ∫(cos[(a − n) x] − cos[(a + n) x])dx
π
π
0

0

n

=. . . =

(−1) . 2n. sin(aπ)
∀n ≥ 0
π(a2 − n2 )
+∞

(−𝟏)𝐧 𝟐𝐧 𝐬𝐢𝐧(𝐚𝛑)
𝐊𝐋: 𝐒(𝐱) = ∑
𝐬𝐢𝐧(𝐧𝐱)
𝛑(𝐚𝟐 − 𝐧𝟐 )
𝐧=𝟏

Nguyễn Trọng Hải – K63 - CNTT
Cao Như Đạt – K64 - CNTT