T3 ma trận định thức hạng ma trận ma trận nghịch đảo

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Tuần 3
Chương 2: Ma trận - Định thức - Hệ PTTT
Ma trận, Định thức, Hạng ma trận, Ma trận nghịch đảo
1

Định nghĩa

Một ma trận cỡ m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng



A = aij

m×n

 a11 a12 a13 ... a1n 


a

a
a
...
a
11
12
23
1n



= .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 




am1 am2 am3 ... amn

với các phần tử ma trận aij ∈ K (K là trường số thực R hoặc trường số phức C)
Khi m = 1, ma trận được gọi là ma trận hàng: a11 a12 a13 ... a1n


a
 11 


 a21 




Khi n = 1, ma trận được gọi là ma trận cột:  a31 





 ... 


am1
Khi aij = 0, ∀i, j, ma trận được gọi là ma trận khơng, kí hiệu O
Khi m = n, ma trận được gọi là ma trận vuông cấp n
Hai ma trận bằng nhau
Cho hai ma trận cùng kích thước A = aij

m×n

và B = bij

m×n

. Nếu aij = bij , ∀i, j thì A = B

Ma trận chuyển vị
Cho ma trận A = aij

m×n

. Ma trận chuyển vị của A là AT = aij

n×m

sao cho aij = aji

VD Ma trận A có ma trận chuyển vị là AT ở bên dưới



1 3 7

A=
4 6 3

,

1 4







AT = 3 6


7 3

Đường chéo chính của ma trận vng
Cho ma trận vuông cấp n. Các phần tử aii (i = 1, n) được gọi là các phần tử trên đường chéo
chính của ma trận
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập

If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập





 a11

a
 21

a
 31
 .
 ..


an1

a12 a13 ... a1n 

a22 a23 ... a2n 



a32 a33 ... a3n 

..
..
.. 
.
.
. 


an2 an3 ... ann

Các dạng của ma trận
(1) A gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 (i > j), là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 (i < j)




a11 a12 a13

0 a
22 a23


0
0 a33

 .
..
..

 ..
.
.


0
0
0

... a1n 

... a2n 


... a3n 

.. 
. 


... ann

0
 a11 0

a
 21 a22 0

a
 31 a32 a33

 .
..
..
 ..
.
.


an1 an2 an3

Ma trận tam giác trên

...

0 

... 0 


... 0 

.. 
. 


... ann

Ma trận tam giác dưới

(2) A được gọi là ma trận chéo nếu aij = 0 (i = j)


0
a11 0

0 a
0
22


0
0 a33

 .
..
..
 ..
.
.


0
0
0


...

0 

... 0 



... 0 

.. 
. 


... ann

(3) A là ma trận đơn vị nếu nó là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
Ký hiệu E (Hoặc I)
(4) A là ma trận đối xứng nếu A = AT , là ma trận phản đối xứng nếu A = −AT

2

Các phép toán với ma trận

2.1

Phép cộng

Cho hai ma trận cùng cỡ A = aij

m×n

và B = bij

m×n

A + B = aij + bij

. Khi đó

m×n

Tính chất
(1) (Giao hốn) A + B = B + A
Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

(2) (Kết hợp) A + (B + C) = (A + B) + C
(3) (Tồn tại phần tử trung hòa) A + O = O + A = A. Dễ thấy phần tử đối xứng của A là −A
(4) (A + B)T = AT + B T
Gọi Matm×n (R) là tập các ma trận kích thước m × n với các phần tử thực, khi đó Matm×n (R), +
lập thành một nhóm Abel
VD Xét hai ma trận cùng cỡ A và B


1 2 5

A=
4 9 0
Khi đó

2.2



,


5 4 2

B=
3 0 7



 

1+5 2+4 5+2
6 6 7
=

A+B =
4+3 9+0 0+7
7 9 7

Nhân một số với ma trận

Cho A = aij

m×n

trên trường K và một số k ∈ K. Khi đó
kA = kaij

VD

m×n



 

1 2 3
2 4 6
=

2. 
4 5 6
8 10 12

Ta có một số tính chất sau
(1) (Phân phối) k(A + B) = kA + kB

,

(k1 + k2 )A = k1 A + k2 A

(2) (Kết hợp) (k1 k2 )A = k1 (k2 A)
(3) 1.A = A , (−1)A = −A
(4) (kA)T = kAT

2.3

Nhân 2 ma trận

Cho hai ma trận A = aij

m×n

và B = bij

n×p

. Tích hai ma trận A và B là

AB = C = cij

m×p

Với

n

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj =

aik bkj
k=1

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

VD











2 1 2
2 0
1
7 1 1


 



 


0 1 3 1 −1 1  = 4 2 −2


 

6 2 1
3 −1 1
1 1 −1
Ta có một số tính chất sau
(1) (Kết hợp) (AB)C = A(BC) ,

k(AB) = (kA)B = A(kB)

(2) (Tồn tại phần tử trung hòa) EA = AE = A
(3) (Phân phối) A(B + C) = AB + AC
(4) (AB)T = B T AT
Lưu ý Phép nhân ma trận khơng có tính chất giao hốn

I

Định thức

Cho ma trận A = aij

n×n

vng cấp n. Gọi Mij là ma trận vng cấp n − 1 tạo bởi ma trận A

nhưng bỏ đi hàng i và cột j. Định thức của A (Ký hiệu là detA hoặc |A|) xác định bởi
n

n+1

|A| = ai1 |M11 | − ai2 |M12 | + ... + (−1)

(−1)i+j aij |M1j |

ain |M1n | =
j=1

Ta gọi Aij = (−1)i+j |Mij | là phần phụ đại số của aij
Ta có một số tính chất sau
(1) detA = detAT
(2) Nếu đổi chỗ 2 hàng (cột) của ma trận thì định thức đổi dấu
(3) Nếu ma trận A có 2 hàng (cột) bằng nhau thì định thức bằng 0
(4) Có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo hàng bất kỳ
n

detA =

aij Aij (Cố định i)
j=1

Tương tự, ta cũng có thể tính định thức của ma trận bằng cách khai triển theo cột bất kỳ
n

detA =

aij Aij (Cố định j)
i=1

(6) Ma trận A xác định bằng cách nhân một hàng (cột) bất kỳ của A với một số λ. Khi đó
detA = λdetA
Khi đó, ta có
det(kA) = k n detA
với n là cấp của ma trận vuông A
(7) Nếu ta cộng một hàng (cột) với một hàng (cột) khác của A thì định thức của A khơng đổi

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

(8)
a11
..
.

a12
..
.

...

a1n
..
.

a11 a12 ... a1n
..
..
..
.
.
.

b1 + c1 b2 + c2 ... bn + cn = b1
..
..
..
..
.
.
.
.
an1

an2

...

ann

b2
..
.

...

a11 a12 ... a1n
..
..
..
.
.
.

b n + c1
..
..
.
.

an1 an2 ... ann

c2
..
.

...

cn
..
.

an1 an2 ... ann

(9) Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính
(10) det(AB) = detA.detB, với A và B là hai ma trận cùng cỡ
1

2 3

VD Tính −1 1 2
2

3 4
Giải

Biến đổi
1

2 3

1 2 3

−1 1 2 = 0 3 5
2

3 4

(Cộng hàng 1 vào hàng 2)

2 3 4
1

2

3

= 0

3

5

(Nhân hàng 1 với -2 rồi cộng vào hàng 3)

0 −1 −2
1

2

3

= − 0 −1 −2
0

3

5

1

2

3

= − 0 −1 −2
0

0

(Đổi hàng 2 và hàng 3)

(Nhân hàng 2 với 3 rồi cộng vào hàng 2)

−1

= −1.(−1)(−1) = −1

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

5


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

II
1

Hạng của ma trận
Định nghĩa

Định thức con

Cho ma trận A = aij

m×n

. Bỏ đi m − k hàng và n − k cột của ma trận A, ta được ma trận vng

cấp k, định thức của ma trận đó được gọi là định thức con cấp k của ma trận A
Hạng của ma trận
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của A. Ký hiệu rankA

2

Ma trận bậc thang

A gọi là ma trận bậc thang nếu như nó thỏa mãn các điều kiện sau
(1) Nếu có hàng chứa tồn số 0 thì nó phải nằm ở dưới cùng
(2) Phần tử khác 0 đầu tiền (Từ bên trái) nằm ở cột bên phải của phần tử khác 0 đầu tiên của
hàng trên đó
VD

1


0


0


0


0


−2 −1


1 7 −4 0
5


0 3 2
1
6


0 0 0
2
9

0 0 0
0
1



Ma trận bậc thang

Ma trận "không" bậc thang

4 5

6

2 4 9 −1



0


0


0

0

0 7

4

0 0

0

0 0

1

0 0

0

5

0





0 5


0 6


2 9

−2 1

Hạng của ma trận chính là số hàng khác 0 của ma trận

3

Cách tính hạng của ma trận

Ta có một số chú ý sau
(1) rankA = rank AT

(2) Hạng của ma trận khong đổi nếu áp dụng các phép biến đổi sơ cấp

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

6


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập



1 1

1

1







2 1 3
2


VD Tính rankA với A = 


3 2 1 −1


2 2 −1 −2
Giải
Áp dụng

1


2
A=

3

2

các phép biến đổi sơ cấp, ta có


h2 − 2h1 → h2
1
1 1
1
 h3 − 3h1 → h3 


1 3
2  h4 − 2h1 → h4 0

 −−−−−−−−→ 


0
2 1 −1


0
2 −1 −2







1 1
1
1

 h3 − h2 → h3 



−1 1
0  h4 − h3 → h4 0 −1 1
0

 −−−−−−−→ 




0 0 −3 −4
−1 −2 −4



0 0
0
0
0 −3 −4
1

1

1

Do đó rankA = 3

III
1

Ma trận nghịch đảo
Định nghĩa

Cho ma trận A vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B cùng cỡ thỏa mãn AB = BA = E thì A gọi
là ma trận khả nghịch, và B là ma trận nghịch đảo của A
Ký hiệu B = A−1





−2 1 
1 2
 và B = 
VD Với A = 
3
1
−
3 4
2  2 


1 0
1 2 −2 1 



Ta có AB = 
=

3
1
−
0 1
3 4
2
2



,



 

−2
1
1
2
1
0


=

BA =  3
1
−
3 4
0 1
2
2

Do đó B = A−1

2

Tính chất

(1) E khả nghịch và E −1 = E
1
detA
(3) A và B là hai ma trận cùng cỡ và khả nghịch thì AB khả nghịch
(2) A khả nghịch khi và chỉ khi detA = 0 và det A−1 =

(AB)−1 = B −1 A−1

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

7


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

3

Cách tìm ma trận nghịch đảo

3.1

Phương pháp sử dụng phần phụ đại số



Nếu detA = 0 thì ma trận khả nghịch
B1 Tính detA



Nếu detA = 0 thì ma trận khơng nghịch
∼

B2 Lập ma trận phụ đại số A = Aij

n×n

, với Aij là phần phụ đại số của aij

B3 Sử dụng cơng thức
∼

A−1 =


T

A
detA


1 1 1




VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 −1



2 3 1
Giải
Ta có detA = 1 nên ma trận A khả nghịch
Lập ma trận phụ đại số

2

(−1)1+1

3




∼
1

A =  (−1)2+1

3




1

(−1)3+1
2


3.2

−1

(−1)1+2

1 −1
2

1
1

(−1)2+2

(−1)1+3

2 3

1

1 1

(−1)2+3

1

(−1)3+2

1

1

(−1)3+3

1 −1

−1

1 1
2 3

2 1

1

1 2

1 1
1 2




 



5 −3 −1


 

 
 =  2 −1 −1
 



−3 2
1






−3


A


=
= −3 −1 2 
detA


−1 −1 1
∼

Do đó A−1



T

5

2

Phương pháp biến đổi sơ cấp

B1 Lập ma trận bổ sung A = A|E

n×2n

B2 Biến đổi sơ cấp trên các hàng để đưa ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Khi đó phần bổ
sung ở bên trái sau khi biến đổi sẽ là ma trận nghịch đảo của A
A|E

Biến đổi sơ cấp theo hàng

n×2n

−−−−−−−−−−−−−−−→ E|A−1

n×2n

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

8


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập




1 1 1




VD Tìm ma trận nghịch đảo của A = 1 2 2


2 2 3
Giải
Xét ma trận bổ

1 1 1


A = 1 2 2

2 2 3


Vậy A−1

sung





h
−
h
→
h
h
−
h
→
h
2
1
2
1
2
1
1 0 0
1 1 1 1 0 0
1 0 0 2 −1 0
 h3 − 2h1 → h3 
 h2 − h3 → h2 







0 1 0 −−−−−−−−→ 0 1 1 −1 1 0 −−−−−−−→ 0 1 0 1
1 −1





0 0 1
0 0 1 −2 0 1
0 0 1 −2 0
1


2 −1 0




= 1
1 −1


−2 0
1

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

9