Ma trận nghịch đảo pptx

Ma trận nghòch đảo
1
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Ma trận nghòch đảo của A = (a
ij
)
n×n
là A
−1
thỏa AA
−1
= A
−1
A = I
n
. Khi
đó A được gọi là ma trận khả nghòch.

Để chứng minh B là ma trận nghòch đảo của A ta cần chứng tỏ AB = I
n
.
Đònh nghóa
A = (a
ij
)
n×n
suy biến ⇔ |A| = 0.
Đònh lý
A = (a
ij
)
n×n
khả nghòch ⇔ A không suy biến ⇔ |A| = 0.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Ma trận nghòch đảo
Ví dụ
Cho biết các ma trận sau có khả nghòch hay không?
A =

1 3
−2 6


B =


2 −3 −1
−3 5 0
1 −2 1


Ta có |A| = 12 = 0 nên A khả nghòch.
Ta có |B| = 10 + 0 − 6 + 5 − 9 − 0 = 0 nên B không khả nghòch.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Đònh lý
Cho A = (a
ij
)
n×n
khả nghòch, A
ij
= (−1)
i+j
|M
ij
| được gọi là phần bù đại

số của a
ij
và A
p
=



A
11
· · · A
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
n1
· · · A
nn



được gọi là ma trận phần bù đại
số của A. Khi đó

A
−1
=
1
|A|
A
T
p
Ví dụ
a. Cho A =

a b
c d

với |A| = ad − bc = 0
Ta có: A
p
=

+ d − c
− b + a

⇒ A
−1
=
1
ad − bc

d −b
−c a


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
b. Xác đònh ma trận nghòch đảo của A =

3 −2
1 1

Ta có |A| = 5 = 0 nên A khả nghòch.
Vậy A
−1
=
1
5

1 2
− 1 3

=






1
5
2
5
−
1
5
3
5





Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
c. Tìm ma trận nghòch đảo của A =


1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3



Ta có |A| = 1 = 0 nên A khả nghòch.
Ta có A
p
=












+




−1 2
−3 3




−





1 2
2 3




+




1 −1
2 −3




−




−2 0
−3 3





+




1 0
2 3




−




1 −2
2 −3




+




−2 0
−1 2





−




1 0
1 2




+




1 −2
1 −1

















=


3 1 −1
6 3 −1
−4 −2 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Từ đó, ta được
A
−1
=
1
|A|
A

T
p
=
1
1


3 6 −4
1 3 −2
−1 −1 1


=


3 6 −4
1 3 −2
−1 −1 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Đònh lý
Cho A = (a

ij
)
n×n
khả nghòch, xét ma trận mở rộng (A|I
n
). Bằng các
phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về ma trận I
n
, khi đó ma
trận I
n
sẽ biến thành A
−1
.
(A|I
n
)
biến đổi sơ cấp
−→
trên dòng
(I
n
|A
−1
)
Ví dụ
Tìm ma trận nghòch đảo của A =


1 −2 0

1 −1 2
2 −3 3


Ta có (A|I
3
) =


1 −2 0 1 0 0
1 −1 2 0 1 0
2 −3 3 0 0 1


d
2
=d
2
−d
1
−→
d
3
=d
3
+(−2)d
1


1 −2 0 1 0 0

0 1 2 −1 1 0
0 1 3 −2 0 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp


1 −2 0 1 0 0
0 1 2 −1 1 0
0 1 3 −2 0 1


d
1
=d
1
+2d
2
−→
d
3
=d
3

−d
2


1 0 4 −1 2 0
0 1 2 −1 1 0
0 0 1 −1 −1 1


d
1
=d
1
−4d
3
−→
d
2
=d
2
−2d
3


1 0 0 3 6 −4
0 1 0 1 3 −2
0 0 1 −1 −1 1


Vậy A

−1
=


3 6 −4
1 3 −2
−1 −1 1


Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tính chất của ma trận nghòch đảo
Tính chất (1)
(A
−1
)
−1
= A
Tính chất (2)
|A
−1
| =
1
|A|
Ví dụ:

Cho A =


1 −2 0
1 −1 2
2 −3 3


. Tính |A
−1
|.
Ta có: AA
−1
= I
3
⇒ |AA
−1
| = |I
3
| ⇒ |A||A
−1
| = 1 ⇒ |A
−1
| =
1
|A|
= 1, vì
|A| = 1.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo

Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Tính chất của ma trận nghòch đảo
Tính chất (3)
Cho A = (a
ij
)
n×n
khả nghòch. Khi đó |A
p
| =
|A|
n−1
Tính chất (4)
Cho A,B vuông cùng cấp, không suy biến. Khi đó (AB)
−1
= B
−1
A
−1
Chứng minh
(AB)(B
−1
A
−1
) = A(BB
−1

)A
−1
= AIA
−1
= I.
Tính chất (5)
(A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
Chứng minh
(A
T
)(A
−1
)
T
=
(A
−1
A)
T
= I
T
= I.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Giải phương trình ma trận
Cho A = (a
ij
)
n×n
và B = (b
ij
)
m×m
1
AX = C ⇔ A
−1
AX = A
−1
C ⇔ I
n
X = A
−1
C ⇔ X = A
−1
C
2
XA = C ⇔ XAA
−1

= CA
−1
⇔ XI
n
= CA
−1
⇔ X = CA
−1
3
AXB = C ⇔ A
−1
AXBB
−1
= A
−1
CB
−1
⇔ I
n
XI
m
= A
−1
CB
−1
⇔ X =
A
−1
CB
−1

Ví dụ
a. Tìm ma trận X thỏa phương trình
X.

1 1
2 3

=

1 2
3 5

Ta có X =

1 2
3 5

.

1 1
2 3

−1
=

1 2
3 5

.
1

1

3 −1
−2 1

=

1 2
3 5

.

3 −1
−2 1

=

−1 1
−1 2

.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Ma trận nghòch đảo
Đònh nghóa
Tìm ma trận nghòch đảo bằng ma trận phần bù đại số
Tìm ma trận nghòch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp
Tính chất
Giải phương trình ma trận
Giải phương trình ma trận
Ví dụ

b. Cho A =


1 2 −1
2 5 1
−3 −7 1


và B =


1 −1 1
2 1 −3
−2 1 1


Tìm ma trận X thỏa phương trình AX = B.
Ta có |A| = 1, A
−1
=


12 5 7
−5 −2 −3
1 1 1


⇒ X = A
−1
B =

=


12 5 7
−5 −2 −3
1 1 1


.


1 −1 1
2 1 −3
−2 1 1


=


8 0 4
−3 0 −2
1 1 −1


.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM TOÁN CAO CẤP - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH