T5 KGVT KGVT con

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Tuần 5
Chương 3: Không gian vevtor
Không gian vector, Không gain vector con
I

Khái niệm

1

Định nghĩa

Cho V = ∅ với các phần tử v ∈ V được gọi là vector. K là một trường



Phép cộng vector: u, v ∈ V ⇒ u + v ∈ V
Giả sử trên V có


Phép nhân một só với vector: k ∈ K, v ∈ V ⇒ kv ∈ V
V được gọi là một không gian vector (KGVT) trên K nếu thỏa mãn 8 điều kiện sau
(1) (Giao hoán) x + y = y + x
(2) (Kết hợp) x + (y + z) = (x + y) + z
(3) (Phần tử trung hịa) Có vector khơng θ: θ + v = v + θ = x
(4) (Phần tử đối xứng) Có vector đối (−v): v + (−v) = (−v) + v = θ
(5) k(x + y) = kx + ky
(6) (k1 + k2 )x = k1 x + k2 x
(7) (k1 k2 )x = k1 (k2 x)

(8) 1x = x
VD
(1) V là tập hợp các vector hình học, với phép cộng vector vfa phép nhân vector với một số thì
V là khơng gian vector trên R
(2) Với tập số phức C, xét
Cn =

(x1 , x2 , ..., xn ) xi ∈ C, ∀i = 1, n

Trang bị phép toán + và . như sau:
Với x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Cn và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Cn thì
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) ∈ Cn
kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn )
Dễ kiểm tra 8 tính chất của KGVT đều thỏa mãn, vậy Cn là KGVT trên C

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

2

Các tính chất đơn giản

Tính chất 1 V là K-KGVT, khi đó vector θ là duy nhất
Tính chất 2 V là K-KGVT, khi đó

(1) θx = kθ = θ
(2) (−1)x = −x

k = 0
(3) kx = θ ⇒ 
x=θ

II
1

Không gian vector con
Định nghĩa

Không gian vector con
Cho V là K-KGVT, ∅ = W ⊂ V . Với các phép toán của V áp dụng cho W mà W trở thành
KGVt thì W được gọi là KGVT con
Đóng kín
Cho W ⊂ V
(1) W được gọi là đóng kín với phép cộng nếu x, y ∈ W thì x + y ∈ W
(2) W được gọi là đóng kín với phép nhân với một số nếu x ∈ W , k ∈ R thì kx ∈ W
Định lý V là K-KGVT, ∅ = W ⊂ V . Điều kiện cần và đủ để W là KGVT con của V là
(1) Đóng kín đối với phép cộng vector
(2) Đóng kín đối với phép nhân một số với một vector
VD Trong R3 , cho W =

(x1 , x2 , 0) x1 , x2 ∈ R

Hiển nhiên W = ∅
Dễ thấy với x = (x1 , x2 , 0) và y = (y1 , y2 , 0) thì
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , 0) ∈ W

Do đó W đóng kín với phép tốn cộng
Ta cũng có W đóng kín với phép toán nhân với một số. Vậy W là một KGVT con

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

2

Không gian sinh bởi vector
Tổ hợp tuyến tính

Với V là K-KGVT, xét hệ vector {v1 , v2 , ..., vn }, vi ∈ V . Ta gọi v ∈ V là một tổ hợp tuyến tính
của {v1 , v2 , ..., vn } nếu tồn tại k1 , k2 , ..., kn ∈ K sao cho
n

v = k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn =

ki vi
i=1

Định lý Trong KGVT V , gọi W là tập hợp các tổ hợp tuyến tính của hệ vector đã cho
{v1 , v2 , ..., vn }. Khi đó W là KGVT con của V
Không gian con sinh bởi hệ vector
Trong KGVT V cho hệ {v1 , v2 , ..., vn }. Không gian con W gồm các tổ hợp tuyến tính của hệ vector

đã cho được gọi là không gian con sinh bởi hệ vector {v1 , v2 , ..., vn }
Kí hiệu: W = span{v1 , v2 , ..., vn }
VD Trong R3 cho e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Chứng minh rằng
R3 = span{e1 , e2 , e3 }
Giải
Để chứng minh R3 = span{e1 , e2 , e3 }, ta sẽ chứng minh
R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 }
và
R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 }
R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 }
Giả sử x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 . Khi đó ta có thể viết
x = (x1 , x2 , x3 ) = x1 (1, 0, 0) + x2 (1, 0, 1) + x3 (0, 0, 1) = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
Do đó x ∈ span{e1 , e2 , e3 }. Vậy R3 ⊂ span{e1 , e2 , e3 }
R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 }
Giả sử x ∈ span{e1 , e2 , e3 }, hay
x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
Thay e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1), ta được
x = x1 (1, 0, 0) + x2 (1, 0, 1) + x3 (0, 0, 1) = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3
Vậy R3 ⊃ span{e1 , e2 , e3 }

Nhóm Đại số - CLB Hỗ trợ học tập
If you fall asleep, you will dream. If you study now, you will live your dream

3