Giải tích i tuần 3

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Đạo hàm - Vi phân
I

Định nghĩa

1

Đạo hàm

Cho y = f (x) xác định trong miền X, ta có đạo hàm của f (x)
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
,x∈X
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x

y = f (x) = lim
Đạo hàm một phía

∆y
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim −
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
∆y

f (x0 + ∆x) − f (x0 )
Đạo hàm bên phải: f (x+
= lim +
0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
Đạo hàm bên trái: f (x−
0 ) = lim −

−
Nhận xét Hàm số f (x) tồn tại đạo hàm tại x0 ⇔ f (x+
0 ) = f (x0 )
y

Ý nghĩa hình học
f (x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x)
Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm x0 :
f (x0 ) =

∆y

y − y0
∆y
=
∆x
x − x0

⇔ y = y0 + f (x0 )(x − x0 )

O

∆x

x

Liên hệ giữa đạo hàm và liên tục
∃f (x0 ) ⇒ f (x) liên tục tại x0
Nhưng điều ngược lại thì khơng đúng. Chẳng hạn với f (x) = |x|. Hàm này liên tục tại x = 0
nhưng khơng có đạo hàm tại đó. Thật vậy:
|0 + ∆x| − |0|
−∆x
= lim −
= −1
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
|0 + ∆x| − |0|
∆x
f (0+ ) = lim +
= lim +
=1
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x

f (0− ) = lim −

f (0+ ) = f (0− )

Đạo hàm của hàm số ngược
Hàm số x = ϕ(y) có hàm ngược y = f (x). Nếu như hai điều kiện sau thỏa mãn:
i) y = f (x) liên tục tại x = x0 = ϕ(y0 )
ii) ϕ (y0 ) = 0
Khi đó ta có
f (x0 ) =

1
ϕ (y0 )

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Phép tốn và cơng thức Các hàm f (x), g(x) khả vi tại x = x0 . Khi đó
(1) (f ± g) (x0 ) = f (x0 ) ± g (x0 )
(2) (f g) (x0 ) = f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 )
(3)

f
g

(x0 ) =

f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 )
g(x0 )

2

, g(x0 ) = 0

Đạo hàm của một số hàm sơ cấp
(1) C = 0 (C ∈ R)
(2) (xα ) = αxα−1
(3) (ax ) = ax ln a
1
(4) (ln x) = , loga |x| =
x

ln x
ln a

1
(a > 0)
x ln a
1
1
(5) (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (tan x) =
, (cot x) = − 2
2
cos x
sin x
1
1

1
1
(6) (arcsin x) = √
, (arccos x) = − √
, (arctan x) =
, (arccot x) = −
2
1+x
1 + x2
1 − x2
1 − x2
=

(7) (Đạo hàm của hàm hợp) Nếu như ∃yu (u0 ), ∃ux (x0 ) thì y = y u(x) có đạo hàm tại x0 và
yx (x0 ) = yu (u0 ).ux (x0 )

2

Vi phân

Hàm f khả vi tại x0 nếu số gia của hàm f tại x0 viết được dưới dạng
∆f = A∆x + α(∆x)
trong đó A là một hằng số và α(∆x) là một VCB bậc cao hơn ∆x (∆x → 0)
Hàm f khả vi tại x0 ⇔ f có đạo hàm tại x0
Cơng thức tính vi phân Nếu y = f (x) và x là một biến độc lập thì
df = f (x)dx
Quy tắc tính vi phân: Với u = u(x) và v = v(x), ta có
(1) d(u + v) = du + dv

(2) d(αu) = αdu (α ∈ R)

(3) d(uv) = vdu + udv

(4) d

u
v

=

vdu − udv
v2

Ứng dụng vi phân tính gần đúng
Để tính gần đúng f (x0 + ∆), ta sử dụng cơng thức tính gần đúng
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (x0 ) = f (x0 ) + f (x0 )∆x

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

II

Đạo hàm và vi phân cấp cao

1

Đạo hàm cấp cao

Nếu hàm f khả vi n lần, để tính đạo hàm cấp n của f thì ta có thể áp dụng:
Định nghĩa f (n) (x) = f (n−1) (x)
Công thức Leibnitz Nếu u = u(x), v = v(x) là hai hàm khả vi n lần thì
n
(n)

(uv)

=
k=0

n (k) (n−k)
u v
k

Cơng thức đạo hàm cấp cao của một số hàm sơ cấp
(1) (ax )(n) = ax lnn a (a > 0)

(3)
(4)
(5)
(6)

(n)

= an α(α − 1)...(α − n + 1)(ax + b)α−n
nπ
nπ
(sin x)(n) = sin x +
, (cos x)(n) = cos x +
2
2
nπ
(n)
sin(ax + b)
= an sin ax + b +
, cos(ax + b)
2
(−1)n−1 an (n − 1)!
(n)
ln(ax + b)
=
(ax + b)n
(−1)n−1 (n − 1)!
(n)
loga |x|
=
xn ln a

(2) (ax + b)α

2

(n)

= an cos ax + b +

nπ
2

Vi phân cấp cao

Để tính vi phân cấp n của hàm f (x), ta sử dụng định nghĩa
dn f = d dn−1 f
Trong trường hợp x là biến độc lập thì ta có
d2 x = d3 x = ... = dn x = 0
Do đó
dn f = f (n) (dx)n

III
1

Áp dụng
Ví dụ

VD1 Tính gần đúng nhờ vi phân A = 4, 032 + 9
√
Xét hàm f (x) = x2 + 9. Chọn x0 = 4, ∆x = 0, 03. Khi đó A = f (4, 03) = f (4 + 0, 03)
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

3

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Sử dụng cơng thức tính gần đúng, ta có
A = f (4 + 0, 03) ≈ f (4) + f (4).0, 03
√
√
= 42 + 9 +
x2 + 9

.0, 03
x=4

0, 03x
=5+ √
x2 + 9

x=4

= 5 + 0, 024 = 5, 024
1
(50)
VD2 Cho f (x) = 2
. Tính f (−2)
x + 2x + 1
1
Viết lại f (x) =
= (x + 1)−2
(x + 1)2
(50)

Khi đó f (50) (−2) = (x + 1)−2
= (−2)(−3)(−4)...(−51) (x + 1)−52
x=−2



ln (ex + x) (x > 0)
VD3 (GK 20181) Cho f (x) =
. Tính f (0+ )


0
(x = 0)

x=−2

= 51!

Theo định nghĩa, ta có
f (0+ ) = lim +
∆x→0

ln e∆x + ∆x
ln(1 + ∆x)
f (0 + ∆x) − f (0)
= lim +
= lim +
=1
∆x→0
∆x→0

∆x
∆x
∆x

VD4 Xét tính khả vi và tìm vi phân của các hàm số sau:


x


(x = 0)

1
a) f (x) = 1 + e x
b) g(x) = ln |x| (x = 0)



0
(x = 0)
a) Với x = x0 = 0 thì f có đạo hàm nên khả vi tại đó


 1
df = f (x)dx = 
1 +

1 + ex
Với x = 0 thì

∆x
f (0+ ) = lim+ 1 +
x→0

1
e ∆x

f (0− ) = lim− 1 +
x→0

1
e ∆x

∆x

1




2  dx


ex
1

x 1 + ex

−0
= lim+

∆x

∆x



x→0

1
1+

1
e ∆x

=0

−0
= lim+
x→0

1
1+

1
e ∆x

=1

Do đó hàm f không khả vi tại x = 0




ln |x|
|x| ≥ 1
b) Ta có g(x) =


− ln |x| 0 < |x| < 1
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Với x = x0 = ±1, hàm g có đạo hàm nên khả vi tại đó



 1 ln |x|
|x| > 1
g (x) = x

− 1 ln |x| 0 < |x| < 1

x

Với x = −1 thì
f (−1+ ) = lim +
∆x→0

− ln | − 1 + ∆x| + ln | − 1|
− ln(1 − ∆x)
= lim +
=1
∆x→0
∆x
∆x

f (−1− ) = lim −
∆x→0

ln | − 1 + ∆x| − ln | − 1|
ln(1 − ∆x)
= lim −
= −1
∆x→0
∆x
∆x

Do đó f (−1± ) = ±1 nên g không khả vi tại x = −1
Tương tự, ta cũng có f (1± ) = ±1 nên g cũng không khả vi tại x = 1

2

Bài tập

1. (GK 20191) Cho y = (x2 + 1)ex−1 . Tính y (40) (1)
2. Xét tính khả vi của các hàm số sau



 sin x (x = 0)
x
a) f (x) =


0
(x = 0)



xα sin 1 (x = 0)
x
3. Cho hàm số f (x) =


0
(x = 0)

b) f (x) =

1−

√
1 − x2

a) Xác định α để hàm f khả vi trên R
b) Xác định α để hàm f xác định và liên tục trên R
4. Cho f (x) = sin(β arccos x). Tính f (n) (x)



x (x ∈ Q)
5. Xét tính khả vi của hàm số f (x) =


0
x∈R\Q

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

5