Giáo Trình Giải Tích - KHTN - Chương 3

Chương 3
HÀM SỐ THỰC THEO MỘT BIẾN SỐ THỰC
Trong chương này, bằng cách dùng khái niệm về giới hạn của dãy số,
chúng ta sẽ khảo sát khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của một
hàm số trong phần 1, 2 và 3. Cuối cùng, các hàm số sơ cấp cơ bản được giới
thiệu và khảo sát trong phần 4.
1. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Cho
{ }
∈ = +∞ −∞¡ ¡ Ua ,
và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của
a, có thể không xác đònh tại a, nghóa là f xác đònh trên một khoảng mở I, có thể
không xác đònh tại a, với
( )
= − α + αI a ,a
,
α > 0
, khi
∈ ¡a
;
( )
= α +∞I ,
,
α > 0

khi
= +∞a
và
( )
= −∞ −αI ,
,

α > 0
khi
= −∞a
.
1.1. Đònh nghóa. Ta nói hàm f có giới hạn
∈ ¡l
khi x tiến về a khi f biến mọi
dãy
( )
n
x
các phần tử của I, có giới hạn a,
≠
n
x a
, thành dãy
( )
( )
n
f x
hội tụ về
l, ký hiệu
( )
→
=
x a
lim f x l
hay
( )
→f x l

khi
→x a
.
Cho
∈
¡a
và f là hàm số xác đònh trên khoảng
( )
= − α
1
I a ,a
,
α > 0
. Ta
nói f có giới hạn bên trái
∈ ¡
1
l
khi x tiến về a, khi f biến mọi dãy
( )
n
x
các
phần tử của
1
I
hội tụ về a thành dãy
( )
( )
n

f x
hội tụ về
1
l
, ký hiệu
−
→
=
1
x a
lim l
.
Khi hàm số f xác đònh trên khoảng
( )
= + α
2
I a,a
,
α >
0
, ta có đònh nghóa tương
tự cho giới hạn bên phải
2
l
của f tại a, ký hiệu
+
→
=
2
x a

lim f (x) l
.
Chú ý rằng, để khảo sát giới hạn bên trái cũng như bên phải của f tại a, ta
lần lượt thay điều kiện
≠
n
x a
trong đònh nghóa cho giới hạn của f tại a bằng
điều kiện
<
n
x a
,
>
n
x a
.
Ví dụ 1. i)
→
=
x a
lim x a
;
→+∞
= +∞
x
lim x
;
→−∞
= −∞

x
lim x
.
ii)
→
=
1 1
x a
x a
lim
khi
≠
a 0
;
+
→
= +∞
1
x
x 0
lim
;
−
→
= −∞
1
x
x 0
lim
;

→+∞
=
1
x
x
lim 0
;
→−∞
=
1
x
x
lim 0
.
iii) Cho hàm số
( )
=
x
x
f x
với miền xác đònh
{ }
∗
=¡ ¡ \ 0
. Ta chứng minh
rằng
( )
→x 0
lim f x
không tồn tại. Thật vậy, xét dãy

( )
n
x
, với
( )
−
=
n
1
n
n
x
,
∗
∈ ¥n
.
39
Ta có
( )
∗
⊂ ¡
n
x
,
→∞
=
n
n
lim x 0
nhưng

( ) ( )
→∞ →∞ →∞
= = −
n
n
x
n
n
x
n n n
lim f x lim lim 1
không
tồn tại.
Ta cũng có thể chứng minh điều này bằng cách xét các dãy số
( )
n
x
và
( )
n
y
, với
= −
1
n
n
x
,
=
1

n
n
y
,
∗
∈ ¥n
. Ta có
( )
n
x
,
( )
∗
⊂ ¡
n
y
,
→∞ →∞
= =
n n
n n
lim x lim y 0
nhưng
( )
→∞ →∞
= = −
n
n
x
n

x
n n
lim f x lim 1
và
( )
→∞ →∞
= =
n
n
y
n
y
n n
lim f y lim 1
. ª
Bằng cách dùng tính chất của giới hạn dãy số, ta được
1.2. Mệnh đề. Cho
f
và
g
là hai hàm số xác đònh trên một lân cận
I
của
a
,
có thể không xác đònh tại
a
. Nếu
→
=

x a
lim f(x) l
và
→
=
x a
lim g(x) k
thì
i)
( )
→
+ = +
x a
lim f g (x) l k
,
ii)
∀λ ∈
¡
,
→
λ = λ
x a
lim f(x) l
,
iii)
→
=
x a
lim f (x) l
,

iv)
( )
→
⋅ = ⋅
x a
lim f g (x) l k
,
v)
→ →
= =
1 1 1
f f (x) l
x a x a
lim (x) lim
với điều kiện
≠
l 0
,
vi) Nếu
∀ ∈x I
,
≤f(x) g(x)
thì
≤l k
,
vii) Nếu
→ →
= =
x a x a
lim f(x) lim g(x) l

và
≤ ≤f(x) h(x) g(x)
,
∀ ∈x I
, thì
→
=
x a
lim h(x) l
,
với điều kiện là vế phải không xuất hiện dạng vô đònh, nghóa là không xuất
hiện dạng
∞ − ∞
trong i) và dạng
⋅ ∞
0
trong iv).
Chú ý rằng nếu
( )
→
=
x a
lim f x l
và
( )
→
=
x a
lim g x k
với

∈ ¡l,k
, thì
( )
( )
→
=
f x
l
k
g x
x a
lim
nếu không xuất hiện dạng vô đònh
0
0
và
∞
∞
.
Ta cũng nhận được kết quả tương tự cho giới hạn bên trái và giới hạn bên
phải.
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Cho
∈ ¡a
và f là một hàm số xác đònh trên một lân cận của a.
2.1. Đònh nghóa. Ta nói f liên tục tại a khi
→
=
x a
lim f(x) f (a)

.
40
Điều này bao hàm :
− f xác đònh tại a;
− giới hạn của f khi x tiến về a tồn tại;
− giới hạn của f khi x tiến về a bằng với giá trò của hàm số f tại a.
Ví dụ 2. Từ ví dụ 1, i), ta có hàm số
( )
=f x x
liên tục tại mọi
∈
¡a
. Hơn
nữa, bằng cách dùng mệnh đề 1.2, iv), ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng
→
=
n n
x a
lim x a
, với mọi
∈
¥n
. Do đó, hàm số
( )
=
n
f x x
cũng liên tục tại mọi
∈
¡a

. ª
2.2. Đònh nghóa. Cho f là một hàm số xác đònh trên
(

− α

a ,a
,
α > 0
. Ta nói f
liên tục bên trái tại a khi
−
→
=
x a
lim f(x) f (a)
.
Tương tự, với hàm số f xác đònh trên
)

+ α

a,a
,
α >
0
, ta nói f liên tục bên
phải tại a khi
+
→

=
x a
lim f (x) f(a)
.
f liên tục bên trái tại a f liên tục bên phải tại a
f không liên tục bên trái lẫn bên phải tại a
Ví dụ 3. Hàm số
( )

≠

=


=

x
x
khi x 0
f x
1 khi x 0
liên tục bên phải tại 0, hàm số
( )

≠

=


− =


x
x
khi x 0
g x
1 khi x 0
liên tục bên trái tại 0 nhưng hàm số
41
( )

≠

=


=

x
x
khi x 0
h x
0 khi x 0
không liên tục cả bên trái lẫn bên phải tại 0. ª
2.3. Mệnh đề.
f
liên tục tại
a
nếu và chỉ nếu
f
liên tục bên trái tại

a
và
f

liên tục bên phải tại
a
.
Kết hợp mệnh đề 1.2 và đònh nghóa 2.1, ta được
2.4. Mệnh đề. Cho
∈ ¡a
và
f
,
g
là hai hàm số xác đònh trên một lân cận của
a
. Nếu
f
và
g
cùng liên tục tại
a
thì
a)
+f g
liên tục tại
a
;
b)
∀λ ∈

¡
,
λ
f
liên tục tại
a
;
c)
⋅f g
liên tục tại
a
;
d)
1
f
liên tục tại
a
, với điều kiện
( )
≠f a 0
.
Nếu
( )
≠g a 0
thì bằng cách kết hợp (c) và (d), ta suy ra rằng hàm số
f
g

liên tục tại
a

.
Ví dụ 4. Từ ví dụ 2, ta suy ra hàm số
( )
=
n
f x x
liên tục tại mọi điểm
∈ ¡a
, với mọi
∈ ¥n
. Do đó, mệnh đề 2.4 cho thấy mọi đa thức

( )
−
−
= + + + +
n n 1
n n 1 1 0
P x a x a x ... a x a
,
với
−
∈ ¡
0 1 n 1 n
a ,a ,...,a ,a
, cũng liên tục tại mọi điểm
∈
¡a
. ª
2.5. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của

¡
. Ta nói
rằng f liên tục trên J khi f liên tục tại mọi điểm của J.
Nói khác đi, f liên tục trên
( )
a, b
khi
( )
∀ ∈
0
x a, b
,
( ) ( )
→
=
0
0
x x
lim f x f x
.
Ta nói hàm số f liên tục trên đoạn
 
 
a, b
khi f liên tục trên
( )
a, b
, liên tục
bên phải tại a và liên tục bên trái tại b.
Tương tự, ta nói hàm số f liên tục trên

)

+∞

a,
khi f liên tục trên
( )
+∞a,

và liên tục bên phải tại a. Sự liên tục của f trên
(

−∞

, b
được đònh nghóa tương
tự.
Ví dụ 5. i) Hàm số
( )

>

=


=

x
x
khi x 0

f x
1 khi x 0
liên tục trên
)

+∞

0,
.
42
ii) Mọi đa thức đều liên tục trên
¡
. ª
2.6. Đònh lý giá trò trung gian. Nếu
f
liên tục trên khoảng đóng và bò chận
 
 
a, b
thì với mọi
d
giữa
( )
f a
và
( )
f b
, tồn tại
 
∈

 
c a, b
sao cho
( )
=f c d
.
Đònh lý này cho thấy rằng mọi điểm d nằm giữa
( )
f a
và
( )
f b
đều là ảnh
của ít nhất một điểm c trong khoảng
 
 
a, b
. Điểm c này không nhất thiết duy
nhất như trường hợp hàm f có đồ thò cho bởi hình sau : tồn tại
 
∈
 
1 2 3
c ,c ,c a,b

sao cho
( ) ( ) ( )
= = =
1 2 3
f c f c f c d

.
Trường hợp hàm f không liên tục trên
 
 
a, b
, chẳng hạn như hàm số f xác
đònh bởi đồ thò trong hình sau
điểm
( ) ( )
 
∈
 
d f a ,f b
không là ảnh của bất cứ điểm c nào trong khoảng
 
 
a, b
.
2.7. Đònh lý tối ưu của Weierstrass. Nếu hàm số
f
liên tục trên khoảng
đóng và bò chận
 
 
a, b
thì
f
đạt giá trò lớn nhất
M
và giá trò nhỏ nhất

m
trên
 
 
a, b
, nghóa là : tồn tại
∗
 
∈
 
x a,b
sao cho với mọi
 
∈
 
x a, b
,
( )
(
)
∗
≤ =f x f x M

và tồn tại
∗
 
∈
 
x a,b
sao cho với mọi

 
∈
 
x a, b
,
( ) ( )
∗
≥ =f x f x m
.
Hai đònh lý trên có thể phát biễu chung lại thành một đònh lý như sau :
2.8. Đònh lý. Nếu
f
liên tục trên khoảng đóng và bò chận
 
 
a, b
thì tồn tại
m

và
M
trong
¡
sao cho
( )
   
=
   
f a, b m,M
.

43
2.9. Mệnh đề . Cho
I
là một khoảng trong
¡
. Nếu
→ ¡f : I
liên tục, đơn điệu
ngặt trên
I
thì
a)
( )
=f I J
là một khoảng trong
¡
, đóng và bò chận khi
I
đóng và bò
chận.
b)
f
là một song ánh từ
I
lên
J
.
c) ánh xạ ngược của
f
, ký hiệu

−
→
1
f : J I
, xác đònh bởi
( )
−
=
1
f y x
nếu và
chỉ nếu
( )
=y f x
, cũng liên tục, đơn điệu ngặt trên
J
(cùng bản chất như của
f
).
d) đồ thò của
f
và
−1
f
đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Ví dụ 6. i) Hàm số
( )
=
n
f x x

liên tục và tăng ngặt trên
)
+

= +∞

¡ 0,
,
(
)
+ +
=¡ ¡f
. Do vậy, hàm ngược của nó,
( )
−
=
n1
f x x
, cũng liên tục và tăng
ngặt trên
+
¡
. ª
Xét một ứng dụng của hàm số liên tục trong việc khảo sát dãy xác đònh
bằng hệ thức đệ quy cấp 1,
( )
+
=
n 1 n
u f u

,
1
u
cho trước,
trong đó
→f : I I
là một hàm số liên tục và I là một khoảng trong
¡
. Chẳng
hạn, dãy
( )
+
= + =
n 1 n n
u 1 u f u
,
>
1
u 0
cho trước,
trong đó
( )
= +f x 1 x
là hàm liên tục đi từ
( )
+∞0,
vào
( )
+∞0,
và dãy

( )
+
= =
+
n
n 1 n
n
u
u f u
u 3
,
>
1
u 0
cho trước,
trong đó
( )
+
=
x
x 3
f x
là hàm liên tục từ
( )
+∞0,
vào
( )
+∞0,
.
44

Chú ý rằng khi f là hàm tăng thì
( )
n
u
là dãy đơn điệu. Cụ thể, bằng quy
nạp, ta chứng minh được rằng
Nếu
≤
1 2
u u
thì
+
≤
n n 1
u u
, với mọi
∈
¥n
.
Nếu
≥
1 2
u u
thì
+
≥
n n 1
u u
, với mọi
∈

¥n
.
Tuy nhiên, nếu f là hàm giảm thì
( )
n
u
không là dãy đơn điệu (ta chỉ có
( )
2n
u
và
( )
+2n 1
u
là hai dãy đơn điệu, một tăng, một giảm).
Hơn nữa, nếu
→
f : I I
tăng và I bò chận thì
( )
n
u
đơn điệu và bò chận nên
hội tụ. Khi đó, gọi a là giới hạn của dãy
( )
n
u
, ta có
( ) ( )
+

→∞ →∞
= = =
n 1 n
n n
a lim u lim f u f a
,
khi f là hàm liên tục. Như vậy, giới hạn a thỏa phương trình
( )
=f x x
mà ta có
thể giải để tìm ra giá trò của a.
Ví dụ 7. Hàm
( )
= +f x 1 x
là hàm tăng nên dãy số
( )
+
= = +
n 1 n n
u f u 1 u
,
=
1
u 1
tăng do
= ≤ =
1 2
1 u u 2
. Hơn nữa, ta có
( )

   
⊂
   
f 0,2 0,2
và
 
∈
 
1
u 0,2
nên bằng phép chứng minh quy nạp, ta chứng
minh được rằng
( )
 
⊂
 
n
u 0,2
. Dãy
( )
n
u
đơn điệu và bò chận nên hội tụ với giới
hạn a thỏa phương trình
= +x 1 x
do hàm f là hàm liên tục. ª
45
3. ĐẠO HÀM
Cho
∈ ¡a

và f là hàm số xác đònh trên một lân cận của a, nghóa là tồn tại
α > 0
sao cho f xác đònh trên khoảng
( )
= − α + αI a ,a
.
3.1. Đònh nghóa. Ta nói f có đạo hàm tại a khi
( ) ( )
−
−
→
f x f a
x a
x a
lim
tồn tại. Khi đó,
giá trò của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu
( )
′
f a
. Như vậy,
khi f có đạo hàm tại a, ta có
( )
( ) ( )
−
−
→
′
=
f x f a

x a
x a
f a lim
, hay
( )
( ) ( )
+ −
→
′
=
f a h f a
h
h 0
f a lim
.
Ví dụ 8. i) Xét hàm số
( )
=f x x
. Tại mỗi điểm
∈ ¡a
, ta có
( ) ( )
−
−
=
f x f a
x a
1
,
∀ ∈ ¡x

,
≠x a
. Do đó,
( ) ( )
( )
−
−
→
′
= =
f x f a
x a
x a
lim 1 f a
.
ii) Xét hàm số
( )
=
2
f x x
. Tại mỗi điểm
∈ ¡a
, ta có
( ) ( )
−
−
= +
f x f a
x a
x a

,
∀ ∈ ¡x
,
≠x a
. Do đó,
( ) ( )
( )
−
−
→
′
= =
f x f a
x a
x a
lim 2a f a
.
Biểu diễn hình học : Gọi
Γ
là đồ thò của hàm số f. Phương trình đường
thẳng
( )
D
đi qua hai điểm
( )
( )
A a, f a
và
( )
( )

+ +M a h,f a h
cho bởi
( ) ( )
( ) ( )
+ −
= − +
f a h f a
y x a f a
h
.
Khi “điểm M tiến về điểm A” trên
Γ
, đường
( )
D
quay về đường thẳng
( )
T

gọi là tiếp tuyến với
Γ
tại điểm A và do đó có phương trình
( ) ( )
( ) ( )
→
 
+ −
 
= − +
 

 
h 0
f a h f a
y lim x a f a
h
,
nghóa là
( ) ( ) ( )
′
= − +y f a x a f a
.
Như vậy, đạo hàm của f tại a có thể biểu diễn như là độ dốc (hệ số góc) của
tiếp tuyến với
Γ
tại điểm A. ª
46
Trong kinh tế học, giá trò
( )
′
f a
được gọi là giá trò lề (giá trò biên, biên tế)
của f tại a. Chẳng hạn, nếu
( )
C q
chỉ chi phí để sản xuất q sản phẩm thì khi đó
( )
′
C q
được gọi là chi phí lề ứng với mức sản lượng q. Các nhà kinh tế học ứng
dụng xấp xỉ giá trò này với thương số

( ) ( )
+ −C q 1 C q
1
khi q đủ lớn và khi đó chi phí
lề chính là chi phí phát sinh khi sản xuất thêm một đơn vò sản phẩm. ª
3.2. Đònh nghóa. Hàm số f được gọi là khả vi tại a khi tồn tại số thực b và một
hàm số
ε
xác đònh trên một lân cận của 0 sao cho với mọi
h
và
+a h
trong lân
cận của
a
( ) ( ) ( )
+ = + + εf a h f a bh h
với
( )
→
ε =
h 0
lim h 0
.
3.3. Mệnh đề.
f
có đạo hàm tại
a
nếu và chỉ nếu
f

khả vi tại
a
.
Chứng minh. Khi f có đạo hàm tại a, nghóa là
( ) ( )
( )
→
+ −
′
=
h 0
f a h f a
lim f a
h
,
thì bằng cách đặt
( )
( ) ( )
( )
 
+ −
 ′ 
ε = −
 
 
f a h f a
h
h f a
h
h

,
ta được
( )
( ) ( )
( )
+ −
′
ε = − →
f a h f a
h f a 0
h
khi
→h 0
và
( ) ( ) ( ) ( )
′
+ = + + εf a h f a f a h h h
nên f khả vi tại a.
Ngược lại, khi f khả vi tại a, tồn tại
∈ ¡b
sao cho với mọi h và
+a h

trong lân cận của a
( ) ( ) ( )
+ = + + εf a h f a bh h h
với
( )
→
ε =

h 0
lim h 0
.
Từ đó suy ra
( ) ( )
( )
+ −
= + ε
f a h f a
h
b h
h h
.
Vì
( ) ( )
ε = ε →
h
h
h h 0
khi
→h 0
, ta được
( ) ( )
→
+ −
=
h 0
f a h f a
lim b
h

,
47
nên f có đạo hàm tại a. ª
Chú ý : Kết quả này không còn đúng đối với hàm nhiều biến (xem chương
6).
3.4. Đònh nghóa. Cho f là hàm số xác đònh trên khoảng dạng
(

− α

a ,a
, với
α > 0
. Ta nói f có đạo hàm bên trái tại a khi
( ) ( )
−
→
−
−
x a
f x f a
lim
x a
tồn tại. Bấy giờ, giá trò của giới hạn được gọi là đạo hàm bên trái của f tại a, ký
hiệu
( )
−
′
f a
.

Tương tự cho trường hợp f xác đònh trên
)

+ α

a,a
, với
α > 0
, ta nói f có
đạo hàm bên phải tại a khi
( ) ( )
+
−
−
→
f x f a
x a
x a
lim
tồn tại và giới hạn này được ký hiệu
là
( )
+
′
f a
.
3.5. Mệnh đề.
f
có đạo hàm tại
a

nếu và chỉ nếu
f
có đạo hàm bên trái tại
a
,
f
có đạo hàm bên phải tại
a
và
( ) ( )
− +
′ ′
=f a f a
.
3.6. Đònh nghóa. Cho hàm số f xác đònh trên một khoảng mở J của
¡
. Ta nói f
có đạo hàm trên J khi f có đạo hàm tại mọi điểm của J.
Ta nói f có đạo hàm trên
 
 
a, b
khi f có đạo hàm trên
( )
a, b
, có đạo hàm
bên phải tại a và có đạo hàm bên trái tại b.
Ta cũng có các đònh nghóa tương tự cho trường hợp f xác đònh trên
)


+∞

a,

và
(

−∞

, b
.
3.7. Đònh nghóa. Khi f có đạo hàm trên khoảng mở J, ta đònh nghóa hàm đạo
hàm
′
f
của f bởi
( )
′
→
′
¡
a
f : J
x f x
“Hàm đạo hàm” của f còn được gọi vắn tắt là “đạo hàm” của f.
Ta nói hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng mở J khi f có đạo hàm
trên J và
′
f
liên tục trên J.

Cho f là hàm có đạo hàm trên một khoảng mở J. Khi
′
f
có đạo hàm trên
J, hàm đạo hàm của nó được gọi là “hàm đạo hàm bậc hai”, hay vắn tắt là “đạo
hàm bậc hai” của f trên J , ký hiệu
′′
f
.
48
Ta ký hiệu
(n)
f
, nếu có, cho “hàm đạo hàm bậc n” hay vắn tắt là “đạo hàm
bậc n” của f và khi đó, ta nói f có đạo hàm đến cấp n. Ta đònh nghóa
′
=
(1)
f f
,
′′
=
(2)
f f
, ...,
−
′
 
=
 

 
(n) (n 1)
f f
,
∈
¥n
. Hơn nữa, ta đặt
=
(0)
f f
.
Khi
(n)
f
tồn tại với mọi
∈
¥n
, ta nói f có đạo hàm vô hạn lần.
Ví dụ 9. Xét hàm số
( )
=
2
f x x
. Ta có
( )
′
=f x 2x
,

( ) ( ) ( )

′
′ ′′
= =f x f x 2
,
( ) ( ) ( )
′
′′ ′′′
= =f x f x 0

và do đó
( )
( )
=
n
f x 0
, khi
≥n 3
. Do đó, f có đạo hàm vô hạn lần. ª
3.8. Mệnh đề. Nếu
f
có đạo hàm tại
a
thì
f
liên tục tại
a
.
Chứng minh. Bằng cách dùng đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )
′

+ = + + εf a h f a f a h h h
với
( )
→
ε =
h 0
lim h 0
,
ta suy ra rằng
( ) ( )
→
+ =
h 0
lim f a h f a
. ª
3.9. Mệnh đề. Nếu
f
và
g
có đạo hàm tại
a
thì
a)
+f g
có đạo hàm tại
a
et
( ) ( ) ( ) ( )
′
′ ′

+ = +f g a f a g a
,
b)
∀λ ∈ ¡
,
λf
có đạo hàm tại
a
và
( ) ( ) ( )
′
′
λ = λf a f a
,
c)
⋅f g
có đạo hàm tại
a
và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′
′ ′
⋅ = ⋅ + ⋅f g a f a g a f a g a
,
d) Nếu
( )
≠g a 0
thì bằng cách kết hợp (c) với (d), ta suy ra
f

g
có đạo hàm
tại a và
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
′
′ ′
⋅ − ⋅
 
=
 
 
 
 
2
f a g a f a g a
f
a
g
g a
.
Chứng minh. Bằng cách viết
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
± − ± − −
= ±
− − −
f g x f g a f x f a g x g a
x a x a x a
,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
λ − λ −
= λ
− −
f x f a f x f a
x a x a
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅ − ⋅ − −
= +
− − −
f g x f g a f x f a g x g a
g x f a
x a x a x a
,
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
=
−
−
f f
g g

x a
f x g a f a g x
x a
x a g x g a
49
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
 
− −
 
= −
 
− −
 
f x f a g x g a
1
g a f a
x a x a
g x g a
,
và dùng các tính chất của giới hạn, ta suy ra các kết quả của mệnh đề. ª
Ta cũng nhận được các tính chất tương tự cho đạo hàm bên trái, đạo hàm
bên phải và đạo hàm trên một khoảng.
3.10. Mệnh đề (đạo hàm hàm hợp). Nếu
f
có đạo hàm trên khoảng
J
và

g
có đạo hàm trên khoảng
1
J
với
( )
⊂
1
g J J
thì
og f
có đạo hàm trên
J
và
( ) ( )
′
′ ′
= ⋅o og f g f f
.
Chứng minh. Cho
∈
a J
và
( )
= ∈
1
b f a J
. Tính khả vi của f tại a và của g tại b
cho
( ) ( ) ( ) ( )

′
+ = + + ε
1
f a h f a f a h h h
,
( ) ( ) ( ) ( )
′
+ = + + ε
2
g b k g b g b k k k
,
với
+ ∈
a h J
,
+ ∈
1
b k J
và
( ) ( )
→ →
ε = ε =
1 2
h 0 k 0
lim h lim k 0
.
Đặt
( )
=b f a
,

( ) ( ) ( )
′
= + − = + ε
1
k f a h b f a h h h
. Ta có
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
′ ′
+ = + + ε +
′ ′
+ + ε ε + ε
′ ′
= + + ε
o o
o
1
1 2 1
g f a h g f a g f a f a h h h
f a h h h f a h h h
g f a g f a f a h h h
với
( ) ( )

( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
′ ′ ′
ε = ε + + ε ε + ε →
1 1 2 1
h g f a h f a h f a h h h 0
khi
→
h 0
. Điều này chứng tỏ rằng
og f
có đạo hàm tại a và
( ) ( ) ( )
( )
( )
′
′ ′
=og f a g f a f a
. ª
3.11. Mệnh đề. Cho
f
là hàm liên tục và đơn điệu ngặt trên một khoảng
J

và
∈
a J
. Nếu
f

có đạo hàm tại
a
và
( )
′
≠f a 0
thì hàm ngược
−1
f
của
f
có
đạo hàm tại
( )
=b f a
và
(
)
( )
( )
−
−
 
′
 
 
′
=
1
1

1
f f b
f b
, nghóa là
(
)
( )
( )
−
′
′
 
=
 
1
1
f a
f f a
.
50
Ta cũng có kết quả tương tự cho đạo hàm trên một khoảng : nếu
f
đơn
điệu ngặt, có đạo hàm trên một khoảng
J
và
′
f
không triệt tiêu trên
J

thì
hàm ngược
−1
f
có đạo hàm trên
( )
f J
và
(
)
−
−
′
′
=
o
1
1
1
f f
f
.
Chú ý. Khi ta đã biết rằng hàm
(
)
−1
f
có đạo hàm, ta có thể tìm lại được
công thức cho đạo hàm hàm ngược bằng cách lấy đạo hàm hàm hợp
−

o
1
f f

(mệnh đề 2.10) :
(
)
( )
−
=o
1
f f y y
cho
(
)
( )
−
′
=o
1
f f y 1
,
nghóa là
( )
(
)
( )
− −
′
 

′
=
 
 
1 1
f f y f y 1
và
(
)
( )
( )
−
−
′
=
 
′
 
 
1
1
1
f y
f f y
. ª
3.12. Đònh nghóa. Cho f là một hàm khác không tại a và có đạo hàm tại a. Độ
co dãn của f tại a được xác đònh bởi
( )
−
=

−
→
′
= =
f (x) f (a)
f (a)
x a
x a
x a
a
af (a)
E f / x lim
f(a)
Trong kinh tế học, độ co dãn của hàm cầu f đo lường tỷ lệ thay đổi giữa độ
tăng trưởng tương đối hàm cầu,
−f (x) f (a)
f (a)
, với độ tăng trưởng tương đối của giá
cả,
−x a
a
, khi giá hàng ở gần mức a.
Chẳng hạn, khi
= −E 2
, nếu giá cả tăng
1%
, mức cầu giảm
2%
. ª
3.13. Mệnh đề. Cho

f
và
g
là hai hàm có đạo hàm trên khoảng
J
. Với mọi
∈x J
, ta có
( ) ( )
− =E f / x E f / x
và
( ) ( ) ( )
= +E fg / x E f / x E g / x
.
51
4. HÀM SỐ SƠ CẤP
Các hàm số sơ cấp được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản gồm ba cặp
hàm ngược của nhau
Hàm lũy thừa,
=
n
y x
, và hàm căn thức,
=
n
y x
, với
∈ ¥n
;
Hàm mũ,

=
x
y a
, và hàm lôgarít,
=
a
y log x
, với
< ≠0 a 1
;
Hàm lượng giác,
=y sin x
,
=y cos x
,
=y tan x
, và hàm lượng giác ngược,
=y arcsin x
,
=y arccos x
,
=y arctan x
;
thông qua các phép toán tổng, hiệu, tích, thương và hợp nối các hàm số. Do đó,
để khảo sát các hàm số sơ cấp, ta lần lượt khảo sát ba cặp hàm sơ cấp cơ bản
nêu trên.
4.1. Hàm
( )
= =
n

y f x x
và
( )
−
= = ≡
n
1 1/n
y f x x x
, với
∈
¥n
a) Hàm lũy thừa
=
n
y x
liên tục trên
= ¡D
, nghóa là
→
=
n n
x a
lim x a
, với
mọi
∈
¡a
;
→+∞
= +∞

n
x
lim x
;
→−∞
= +∞
n
x
lim x
khi n là số chẵn và
→−∞
= −∞
n
x
lim x
khi
n là số lẻ;
b) Hàm
=
n
y x
tăng ngặt trên
¡
khi n là số lẻ và khi n là số chẵn, hàm
=
n
y x
tăng ngặt trên
)


+∞

0,
và giảm ngặt trên
(

−∞

,0
; hàm ngược của hàm
lũy thừa, hàm căn thức
=
n
y x
, xác đònh bởi
= ⇔ =
n n
y x y x
,
với
∈ ¡x,y
khi n là số lẻ và với
)

∈ +∞

x,y 0,
khi n là số chẵn.
n chẵn n lẻ
Do đó, hàm

=
n
y x
liên tục trên miền xác đònh của nó, nghóa là
→
=
n
n
x a
lim x a
,
với mọi
∈ ¡a
khi n là số lẻ và với mọi
)

∈ +∞

a 0,
khi n là số chẵn. Hơn nữa
52