Giải tích i tuần 5

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
I

Tính chất của các tích phân bất định và các tích phân
thơng dụng

1

Định nghĩa

Với F (x) là ngun hàm của f (x) trên (a; b) thì F (x) = f (x), ∀x ∈ (a; b).
Tập tất cả các nguyên hàm của f (x) là F (x) + C. Ký hiệu.
ˆ
f (x)dx = F (x) + C

ˆ
2

Cách tính

2.1

f (x)dx

Hai tính chất của tích phân

Để tính biểu thức trên ta có thể áp dụng hai tính chất của tích phân.
• Tính chất 1. Nếu với α, β là hằng số và f (x) = αg(x) + βh(x) thì

ˆ
ˆ
ˆ
f (x)dx = α g(x)dx + β h(x)dx

• Tínhˆchất 2. Tính chất bất biến của tích phân bất định.
Nếu
f (x)dx = F (x) + C với biến độc lập x thì với mọi hàm khả vi u, ta có
ˆ
f (u)du = F (u) + C

2.2

Các cơng thức tích phân thơng dụng

xα

ˆ

, α = −1
α+1
1.
xα dx =

 ln(x) + C , α = −1
ˆ
2.

ax dx =

ax
+ C, a > 0; a = 1.
ln(a)

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

1


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

ˆ
sin xdx = − cos x + C.

3.
ˆ

cos xdx = sin x + C.

4.
ˆ
5.
ˆ
6.
ˆ
7.
ˆ

dx
= tan x + C.
cos2 x
dx
= − cot x + C.
sin2 x
dx
= arctan x + C.
1 + x2
√

8.
ˆ
9.
ˆ

dx
x
1
arctan
+ C.
=
a2 + x 2
a
a
√

10.
ˆ

√

11.

dx
= arcsin x + C.
1 − x2

dx
x
= arcsin + C.
2
a
−x

a2

√
dx
= ln | x + x2 ± a2 | +C.
x 2 ± a2

ˆ √
√
x√ 2
a2
12.
x2 ± a2 dx =
x ± a2 ± ln | x + x2 ± a2 + C.

2
2
ˆ √
x√ 2
a2
x
13.
a2 − x2 dx =
a − x2 + arcsin + C
2
2
a
ˆ
x
dx
14.
= ln | tan | +C
sin x
2
ˆ
dx
x π
15.
= ln | tan( + ) | +C.
cos x
2 4
ˆ
16.
tan xdx = − ln | cos x | +C.
ˆ

17.

II
1

cot xdx = ln | sin x | +C.

Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến
ˆ

ˆ
f (x)dx =

f (ψ(t)).ψ (t)dt

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

2


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

trong đó, x = ψ(t) là 1 hàm khả vi liên tục sau khi tính tích phân ở vế phải và chuyển về biến cũ
bởi phép thế t = ψ −1 (x)

Ta thường sử dụng phương pháp đổi biến để đưa tích phân cần tính về tích phân thơng dụng, để

đơn giản tích phân cần tính hoặc để khử căn thức, khử hàm lượng giác ngược và hàm logarit
ˆ
Tính I1 =

x
√
dx.
x2 + 1
Hướng dẫn giải

√

x2 + 1 ⇒ tdt = xdx. Khi đó
ˆ
ˆ
√
tdt
= dt = t + C = x2 + 1 + C
I1 =
t
ˆ √ 2
a + x2
Bài toán được giải quyết. Tính I2 =
dx
x4
Đặt t =

Hướng dẫn giải
Ta biến đổi biểu thức tích phân ban đầu
ˆ √ 2

ˆ
a + x2
1
I2 =
dx =
4
x
x3
Đặt t =

a2 .

1
x

2

+ 1 ⇒ t2 = a2 .

2

1
x

a2
+ 1.dx =
x2

ˆ

−1
x

1
+ 1 ⇒ tdt = a2 . .d
x

a2 .

1
x

2

+ 1.d

1
x

1
, khi đó ta được
x

ˆ

−1 2
−1
.t dt = 2 .t3 + C
2
a

3a
3

2
1
a
= 2
+ 1 + C
3a
x

I2 =

=

1
3a2

a
x

3
2

2

+1

+C

Bài toán được giải quyết

2

Phương pháp tích phân từng phần

Với u, v là hai hàm khả vi liên tục của biến x, ta có cơng thức:
ˆ
ˆ
udv = uv − vdu
Chú ý. Thứ tự chọn hàm số u (mấu chốt bài tốn)
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

3


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

1. Hàm Logarit/hàm lượng giác ngược.
2. Hàm đa thức.
3. Hàm lượng giác.
4. Hàm mũ.
Mẹo ghi nhớ
Nhất lơ, nhì đa, tam lượng, tứ mũ.
Tính

´

(x2 + x) sin xdx
Hướng dẫn giải

Đặt



u = x 2 + x

dv = sin xdx

⇒



du = (2x + 1)dx

. Do đó


v = − cos x
ˆ
2

I = −(x + x) cos x +

(2x + 1) cos xdx
ˆ
2

= −(x + x) cos x + sin x + 2 x cos xdx

Ta tính I1 =

´

x cos xdx Đặt



u1 = x

⇒


dv1 = cos xdx



du1 = dx

. Do đó


v1 = sin x

ˆ
I1 = x sin x −

sin xdx

= x sin x + cos x + C
I = − x2 + x cos x + 2x sin x + 2 cos x + sin x + C
ˆ
Bài tốn được giải quyết. Tính I = e3x sin 3xdx
Hướng dẫn giải


u = sin 3x



du = 3 cos 3xdx

ˆ
1
3

⇒
. Do đó I = sin 3x.e


dv = e3x dx
v = 1 e3x
3
´
TínhI1 = e3x cos 3xdx




u1 = cos 3x
du1 = −3 sin 3xdx
. Do đó
Đặt
⇒


dv1 = e3x dx
v1 = 1 e3x
3
Đặt

3x

−

e3x cos 3xdx

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

4


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

1
I1 = cos 3x.e3x +

3

ˆ
e3x sin 3xdx =

1
cos 3x.e3x + I
3

Suy ra
1
1
sin 3x.e3x − cos 3x.e3x − I
3
3
1 3x
I = e (sin 3x − cos 3x)
6
I=

Bài tốn được giải quyết.

ˆ
3

Tính

f (x)dx với f (x) =

P (x)

là một phân thức hữu tỉ
Q(x)

• Nếu f (x) là một phân thức hữu tỉ thực sự thì ta viết dưới dạng
Q(x) = (x − a)k (x − b)l ...(x2 + αx + β)r (x2 + γx + δ)s
trong đó, các nhị thức, các tam thức là khác nhau và các tam thức bậc 2 không có nghiệm
thực, sau đó ta viết
A1
A2
Ak
Bl
B1
+
+
...
+
+
+
2 + ... +
(x − a) (x − a)
(x − a)k (x − b)
(x − b)l
M2 x + N2
Mr x + Nr
M1 x + N1
+
+
+ 2
2 + ... +
2

2
(x + αx + β) (x + αx + β)
(x + αx + β)r
R1 x + L1
R2 x + L2
Rs x + Ls
+ 2
+
+ ... + 2
2
(x + γx + δ) (x2 + γx + δ)
(x + γx + δ)s

f (x) =

Ta xác định các hằng số A1 ...Ak , ...B1 ...Bl ...M1 ...Mr ...N1 ...Nr ...R1 ...Rs ...L1 ...Ls bằng phương
pháp đồng nhất hệ số hoặc bằng cách gán cho x các giá trị đặc biệt.
Từ đó viết tích phân cần tính thành tổng tích phân phân thức đơn giản. Bằng việc tính các
tính phân đơn giản, ta có thể dễ dàng suy ra tích phân cần tính ban đầu.
• Nếu f (x) là hàm phân thức không thực sự, ta chia đa thức P (x) cho đa thức Q(x) để đưa
´
f (x)dx về tổng của các tích phân một đa thức và tích phân của 1 phân thức thực sự.
ˆ
x
Tính tích phân I =
dx
3
x +1
Hướng dẫn giải

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

5


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Ta biến đổi tích phân bằng cách thêm bớt các hạng tử như sau.
ˆ

ˆ
x
x
I=
dx
=
dx
x3 + 1
(x + 1)(x2 − x + 1)
ˆ
ˆ
x+1
1
1
1
=
dx −

dx
2
3
(x − x + 1)
3
x+1
ˆ
1
(2x − 1) + 3
1
=
dx
−
ln |x + 1|
6
(x2 − x + 1)
3
ˆ
ˆ
(2x − 1)
1
3
1
1
dx
+
dx
−
ln |x + 1|
=

6
(x2 − x + 1)
6
(x2 − x + 1)
3
ˆ
ˆ
1
1
d(x2 − x + 1)
1
1
=
+
ln |x + 1|
√ 2 dx −
2
2
6
(x − x + 1)
2
3
(x − 12 ) + ( 23 )
√
1
2x − 1
= ln x2 − x + 1 + 3 arctan √
+C
6
3

Cách phân tích

x3

A
Mx + N
x
=
+ 2
Ta thực hiện nhân cả hai vế với x3 + 1 và biến
+1
x+1 x −x+1

đổi
⇒ x = A(x2 − x + 1) + (M x + N )(x + 1)
= (A + M )x2 + (M + N − A)x + A + N



−1



A=


A
+
M

=
0


3




1
⇒ −A + M + N = 1 ⇔ M =


3






1

 A

+N =0
N =
3
Bài toán được giải quyết.

4

Phương pháp hữu tỉ hóa

∗ Một tích phân được gọi là có thể hữu tỉ hóa nếu có thể sử dụng phương pháp đổi biến để chuyển
nó về tích phân của một phân thức hữu tỉ.
∗ Ta xét tích phân của một số lớp hàm số có thể hữu tỉ hóa được:
Ta dùng kí hiệu R(u, v) để chỉ phân thức hữu tỉ của u và v. Kí hiệu tương tự để chỉ một phân
thức hữu tỉ của nhiều biến hơn.

ˆ
R(cos x, sin x)dx

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

6


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

x
2
Các trường hợp đặc biệt:

Ta sẽ đặt t = tan

• R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x) thì ta đặt t = sin x
• R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x) thì ta đặt t = cos x

• R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x) thì ta đặt t = tan x hoặc t = cot x
ˆ
dx
Tính I =
sin x(2 + cos x − 2 sin x)
Hướng dẫn giải
Đặt t = tan

x
2
2t
1 − t2
⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx =
dt.
Từ
đó
ta
có
sin
x
=
;
cos
x
=
Ta
2
1 + t2
1 + t2
1 + t2

có
2
ˆ
dt
2
1 + t2
1
+
t
=
dt
I=
2
1 − t2
2
t(t2 − 4t + 3)
(2 +
− 2.
)
2
2
2
1
+
t
1
+
t
1

+
t
ˆ
1
5
1
= ( +
−
)dt
3t 3(t − 3) t − 1
1
5
= ln |t| + ln |t − 3| − ln |t − 1| + C
3
3
ˆ

Bài toán được giải quyết. Tính I =

´

2 tan x + 3
dx Đặt t = tan x ⇒ dt =
sin2 x + 2cos2 x

dx
.
cos2 x

Ta có biển

đổi sau
ˆ

ˆ
2 tan x + 3
2 tan x + 3 dx
I=
dx =
2
2
tan2 x + 2 cos2 x
ˆ sin x + 2cosˆ x
2t + 3
2t
3
=
dt
=
(
+
)dt
t2 + 2
t2 + 2 t2 + 2
t
3
= ln t2 + 2 + √ arctan √ + C
2
2

Bài toán được giải quyết.

ˆ

m

r

R(x n , ..., x s )dx
m
r
Để hữu tỉ hóa tích phân này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số , ..., sau đó biến
n
s
√
√
ˆ
3
2+ 6 x
x
+
x
√
đổi x = tk . Tính I =
dx
x(1 + 3 x)
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

7


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

Hướng dẫn giải
1

1

Hàm lấy tích phân có dạng R x, x 3 , x 6 .
Đặt x = t6 ⇒ dx = 6t5 dt. Ta được tích phân sau:
ˆ 5
ˆ 6
ˆ
t + t3 + 1
t + t4 + t 5
1
3
.6t dt = 6
I=
dt = 6 (t3 +
)dt = t4 + 6 arctan t + C
6
2
2
2
t (1 + t )
1+t

1+t
2
√
√
33 2
=
x + 6 arctan 6 x + C
2

Bài toán được giải quyết.
ˆ

ax + b
cx + d

R x,

m
n

, ...,

ax + b
cx + d

r
s

ax + b
Tương tự như bài toán trên, ta sử dụng phép đổi biến:

= tk Tính I =
cx + d

ˆ
√

dx
√
1 − 2x − 4 1 − 2x

Hướng dẫn giải
Đặt 1 − 2x = t4 ⇒ x = 12 (1 − t4 ) ⇒ dx = −2t3 dt
ˆ

ˆ
ˆ
ˆ
−2t3
t2
1
I=
dt = − 2
dt = − 2 (t + 1)dt − 2
dt
2
t −t
t−1
t−1
t2
= −2( + t + ln |t − 1|) + C

2
√
√
√
= − 1 − 2x − 2 4 1 − 2x − 2 ln 4 1 − 2x − 1 + C

Bài toán được giải quyết.

ˆ
R(x,

√
ax2 + bx + c)dx

Trong đó, a, b, c là các hằng số và a = 0.
Ta biến đổi tam thức bậc hai về một trong ba dạng

2
2
 a[(x + α) + β ]

2
2
ax2 + bx + c = 
 a[(x + α) − β ], a > 0

−a[β 2 − (x + α)2 ], a < 0
Sau đó chúng ta sử dụng phép đổi biến:
1. x + α = β tan t
Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập

Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

8


Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa
CLB Hỗ trợ học tập

2. x + α =

β
cos t

3. x + α = β sin t hoặc x + α = β cos t
ˆ
ˆ
Sau đó đưa tích phân về dạng R(cos x, sin x)dx. Tính I =

dx
√
(x − 1) −x2 + 2x + 3

Hướng dẫn giải
Do −x2 + 2x + 3 = 4 − (x − 1)2 nên ta đặt x − 1 = 2 sin t ⇒ dx = 2 cos tdt.
ˆ
ˆ
2 cos tdt
1
dt

1
t
I=
=
= ln tan + C
2 sin t.2 cos t
2
sin t
2
2
1
1
x−1
= ln tan( arcsin
) +C
2
2
2

Bài tốn được giải quyết.

Nhóm Giải tích 1 - CLB Hỗ trợ học tập
Life is like a piano. The white keys represent happiness and the black show sadness. But as you go
through life’s journey, remember that the black keys also create music.

9