Chuyen de hinh hoc khong gian quan he song song

MỤC LỤC


Chun đề Hình học khơng gian

A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1

(a)
Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

A

- Bước 1: Tìm hai điểm chung
- Bước 2: Đường thẳng

AB

và

B

(a)
của

(b)
và

cần thực hiện:

(b)
và

.

AB = (a) Ç (b)
là giao tuyến cần tìm (

).

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho

S

là một điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành
(SAC )

a) Tìm giao tuyến của
b) Gọi

N

là trung điểm

Bài 2.Cho hình bình hành
ABCD
.

.

(SAN )

. Tìm giao tuyến của

ABCD

(MAC )
a) Tìm giao tuyến của
b) Gọi

N

là trung điểm

Bài 4. Cho hình chóp

.

có đáy

(SAD)
;

b)

S.ABCD

ABCD

và

có đáy

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:
b) Gọi

là trung điểm của

BC

là hình thang (

và

(SAC )
;

ABCD

(ACD) (AMN )
(MCD)
và
;
và
.
AB P CD

(SBC )

(SAC )
N

.

khơng nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành

. Tìm giao tuyến của

(ABCD)
và

và

(AMN )

Bài 3. Cho hình chóp
giao tuyến của các mặt phẳng:
a)

M

(ACD)

(MBD)

S.ABCD

(SAB )

và điểm

và
BC

.

(SBD )
và

BC

ABCD

c)

). Tìm

(SBD)
và

là tứ giác lồi (

AB > CD

AD > CB

.
).

(SBD) (SBC )
(SCD ) (SAD)

(SBC )
và
,
và
,
và
.
(SAN )

. Tìm giao tuyến của

(ACD) (SAN )
(SCD )
và
,
và
.

DH > SH
KS > KC
H
SD
K
SC
c) Gọi
thuộc
sao cho
và
thuộc
sao cho

. Tìm giao tuyến
(AHK )
(SCD) (ABCD) (SAB )
của
với các mặt phẳng
,
,
.

S.ABCD
ABCD
Bài 5. Cho hình chóp
, đáy
là tứ giác có các cạnh đối diện khơng song song.
M
SCD
Lấy điểm
thuộc miền trong tam giác
. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:


Chun đề Hình học khơng gian

(SBM )

(SCD )

a)

và

;

(ABM )
c)

(ABM )
b)

(SAC )
và

(SCD)
và

(ABM )
;

d)

;
(SAD)

và

.

S.ABCD
ABCD
AB

Bài 6. Cho hình chóp
có đáy
là hình thang nhận cạnh
làm đáy lớn. Gọi
SA, SC M
E ,F
SD
là trung điểm
.
là một điểm tùy ý trên
. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng
sau:
(SAC )
a)

(SBD)
và

(SAD)
;

b)

(SBC )
và

ABCD

(MEF )
;

I

c)

và

a)

(ABC )
và

(IAF )
;

và

.

I

Bài 8.Cho tứ diện
với là trung điểm cạnh
(
IBC
)
(DMN )
AC
. Tìm giao tuyến của
và

.

AD

M ,N

. Gọi

A, B,C , D
Bài 9.Cho bốn điểm không đồng phẳng
BC
.
(MBC )
a) Xác định giao tuyến của

hai điểm trên cạnh

BC

AB

và

AC

AD

và

(MBC )

. Xác định giao tuyến của

ACD

M

và điểm
thuộc miền trong tam giác
BD
IJ
CD
và
sao cho
không song song với
.

(IJ M )
a) Tìm giao tuyến của

lần lượt là trung điểm

,

.

lần lượt là hai điểm nằm trên

Bài 10.Cho tứ diện

M ,N

AB

(DNA)
và

ABCD

là hai điểm tùy ý trên

. Gọi

I ,J

b) Cho
(IJ D)
.

là trọng tâm của các tam giác

(BEC )

b)

ABCD

.

E ,F

BD

Bài 7. Cho tứ diện
với là trung điểm
. Gọi
ABD
CBD
và
. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau:
(IEF )

(MAB )

và

I ,J

. Gọi

tương ứng là

(ACD)
và

.

N
JN
L
ABD

AB
b) Lấy điểm
thuộc miền trong của tam giác
sao cho
cắt
tại . Tìm giao tuyến
(MNJ )
(ABC )
của
và
.

Bài 11.Cho hình chóp

S.ABCD

, đáy

ABCD

có

(SAB )
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

AB

cắt

CD

tại

E AC
BD
F
,
cắt
tại .

(SCD) (SAC )
(SBD)
và
,
và
.


Chun đề Hình học khơng gian

(SEF )
b) Tìm giao tuyến của

(SAD) (SBC )
với các mặt phẳng
,
.
1
AI = IB
2

AB, AD
I ,J
ABCD
Bài 12.Cho tứ diện
. Gọi
là các điểm nằm trên
với
,
3
AJ = J D
(CIJ )
(BCD)
2
. Tìm giao tuyến của
và
.
I ,J
ABCD
K
AB BC
CD
Bài 13.Cho tứ diện
. Gọi
và
lần lượt là các điểm trên cạnh
,
và
sao
1

2
4
AI = AB BJ = BC CK = CD
(IJ K )
(ABD )
3
3
3
cho
,
,
. Tìm giao tuyến của
với
.
S
ABCD
Bài 14.Cho hình bình hành
và khơng nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi
(MNE )
M ,N ,E
AB BC SD
lần lượt là trung điểm của
,
,
. Tìm giao tuyến của
với các mặt
(SAD) (SCD) (SAB ) (SBC )
phẳng
,
,

,
.

ABCD
S
Bài 15. Cho hình bình hành
và khơng nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi
M ,E
AB SD N
B
C
lần lượt là trung điểm của
,
.
là điểm đối xứng với
qua . Tìm giao tuyến
(MNE )
(SCD ) (SBD) (SAD)
(SAB )
của
với các mặt phẳng
,
,
và
.
(P )

ABCD
M
cho tứ giác lồi

có các cạnh đối diện khơng song song.
(P )
là một điểm khơng nằm trong mặt phẳng
. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
Bài 16.Trong mặt phẳng

(MAB )
a)

(MCD)
và

(MAD )
;

b)

(MBC )
và

.

ABCD M
ABD N
Bài 17.Cho tứ diện
.
là một điểm bên trong tam giác
,
là một điểm bên trong
(AMN )

(BCD) (DMN )
(ABC )
ACD
tam giác
. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng
và
,
và
.
Bài 18.Cho tứ diện

ABCD

. Gọi

(IBC )
a) Tìm giao tuyến của
b) Gọi

M

AD, BC

I ,J

lần lượt là trung điểm của

.

(J AD )

với

là một điểm trên cạnh
(IBC )
(DMN )
mặt phẳng
và

.

AB N
AC
,
là một điểm trên cạnh
. Tìm giao tuyến của hai

M
S.ABC
SA N
Bài 19.Cho hình chóp
. Gọi
là điểm nằm trên cạnh
,
là điểm nằm trên cạnh
(
SBC
)
(
MNP
)

(SAC )
SB
P
và là điểm nằm trong mặt phẳng
. Tìm giao tuyến của
với
.


Chun đề Hình học khơng gian

SA, SB,CD
M ,N,P
. Gọi
lần lượt là các điểm nằm trên
. Tìm
(MNP )
(ABCD ) (SBC ) (SCD)
(SAD)
giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt phẳng
,
,
và
.
Bài 20. Cho hình chóp

S.ABCD

S.ABCD

ABCD

M ,N,P

O

Bài 21.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm . Gọi
lần lượt
(
MNP
)
BC ,CD, SO
là trung điểm của
. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
với các mặt phẳng
(SAB ) (SAD) (SBC )
(SCD)
,
,
và
.
I ,J

ABCD

AC , BC K
BD

lần lượt là trung điểm của
,
là điểm thuộc

Bài 22. Cho tứ diện
có
KD < KB
sao cho
. Tìm giao tuyến của:
(IJ K )
a)

(ACD)
và

(IJ K )
;

b)

(ABD)
và

.
M ,N

S.ABCD

Bài 23. Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi

lần lượt là trung điểm của
SB, SD P
PC < PS
SC
, là điểm thuộc
sao cho
. Tìm giao tuyến của:
(SAC )

(SBD)

a)

và

;

(MNP )
d)

(MNP )
b)

(SAB )

(SBD )
và

(MNP )

và

;

e)

(MNP )
;

c)

(SAD)
và

và
(MNP )

;

f)

S.ABCD

(SBD)

a)

và

;

(SMN )
d)

(SMN )
b)

(SAC )
và

(SAD)
và

(SMN )
;

e)

(ABCD)

AD

.
M ,N

là đáy lớn. Gọi

(SAB )
;

c)

(SCD )
và

và

a)
(SBD)

và

I ,J , K

(IJ K )
;

b)

;

.

Bài 25.Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi
BC ,CD, SA
. Tìm giao tuyến của:
(SAB )

lần lượt là

(SAB )

S.ABCD

(IJ K )

;

và

Bài 24.Cho hình chóp
có đáy là hình thang với
BC ,CD
trung điểm của
. Tìm giao tuyến của:
(SAC )

(SAC )

(SAD)
và

lần lượt là trung điểm của

(IJ K )
;

c)

(SBC )
và

(IJ K )
;

d)

và

.

ABCD

Bài 26. Cho tứ diện
khơng song song với
(MNP )
a)

BC

và

(ABC )
và

có
MP

lần lượt nằm trên cạnh

sao cho
AD
khơng song song với
. Tìm giao tuyến của:

(MNP )
;

b)

AB, AC , BD

M ,N ,P

(BCD)
và

(MNP )
;

c)

(ACD)
và

.

MN

Chun đề Hình học khơng gian

I
AD
SA
đáy là hình thang đáy lớn
. Gọi là trung điểm của
,
1
J D = AD
4
J
AD
K
SB
SK = 2BK
là điểm thuộc
sao cho
,
là điểm thuộc
sao cho
. Tìm
giao tuyến:

Bài 27. Cho hình chóp

(IJ K )
a)

S.ABCD

(ABCD)
và

(IJ K )
;

Bài 28.Cho hình chóp

b)

(SBD)
và

(IJ K )
;

c)

(SBC )
và

S.ABCD

O

có đáy là hình bình hành tâm
1
3
BM = BS SN = SA

SA, SB
4
4
sao cho
,
. Tìm giao tuyến của:
(OMN )

a)
(SCD)

(SAB )

(OMN )

và

;

b)

(SAD)
và

.
N,M

. Lấy

(OMN )

;

lần lượt thuộc

(SBC )

c)

và

(OMN )
;

d)

và

.
Phương pháp 2
Tương tự phương pháp 1 khi chỉ tìm ngay được 1 điểm chung

S

.

Lúc này ta có hai trường hợp:

(a),(b)
- TH1: Hai mặt phẳng

Þ SI

theo thứ tự chứa hai đường thẳng

d1,d2

mà

d1 Ç d2 = I

(a ) Ç (b) = SI
là giao tuyến cần tìm (tức là

)

(a),(b)
- TH2: Hai mặt phẳng

lần lượt chứa hai đường thẳng

xSy
Dựng

song song với

d1

hoặc

d2

d1,d2

mà

d1 P d2

.

xSy = (a) Ç (b)

Þ xSy
là giao tuyến cần tìm. (tức là

)

Bài tập áp dụng
Bài 1. Chohình bình hành
Tìm giao tuyến của:
(SAD)
a)

ABCD

(SBC )
và

b)

a) Tìm giao tuyến của

b) Lấy điểm

thuộc

SC

là điểm khơng thuộc mặt phẳng chứa hình bình hành.
(SCD)

và

S.ABCD
(SAD)

M

S

(SAB )
;

Bài 2.Cho hình chóp

và

.

đáy là hình bình hành.

(SBC ) (SAB )

(SCD)
và
;
và
.

. Tìm giao điểm

N

của

SD

(ABM )
và

. Tứ giác

ABMN

là hình gì?


Chun đề Hình học khơng gian

Bài 3.Cho tứ diện

ABCD

lần lượt là trung điểm của

(MNP )
và

Q

của

Bài 4.Cho tứ diện

AD

(DBC )

Tìm giao tuyến của
Bài 5.Cho hình chóp

(MNP )
và

. Trên
(DMN )
và
.

.

E , F ,G, H

là hình bình hành. Gọi

lần lượt là

(SCD) (SAD)
(SBC )
và
;
và
.
(CDF )

b) Tìm giao tuyến của

b) Gọi
(ABN )

sao cho

AM
AN
=
AB
AC

.

(ABH )
và

S.ABCD

lấy điểm

M ,N

ABCD

có đáy
SA, SB, SC , SD

a) Tìm giao tuyến của

a) Trên cạnh

là hình bình hành.

lần lượt lấy các điểm

S.ABCD

(SAB )

SC

.

MNPQ

. Chứng minh tứ giác

trung điểm của các cạnh

Bài 6.Cho hình chóp

CD

.

AB, AC

ABCD

và

(ABD)

a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao điểm

AB, BC

M ,N,P

. Gọi

M

.

có đáy

ABCD

là hình bình hành.
(ABM )

. Tìm giao tuyến của

G

là trọng tâm của tam giác
(SBC ) (ABN )
(SCD)
và
,
và
.

ABCD

(SAD)
và

.

SG
ABD N
,
là trung điểm của

. Tìm giao tuyến của

I ,K

CDEF

Bài 7.Cho hai hình bình hành
và
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi
ABCD
CDEF
lần lượt là tâm của
và
. Tìm giao tuyến của:
(ABK )
a)

(CDEF )
và

(BCF )
;

b)

ABCD

(ACE )
và

.

I
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi
SK
1
=
(P )
SC
3
SD
K
SC
IK
là trung điểm của
và
là điểm thuộc
sao cho
. Mặt phẳng
đi qua
và
(ABCD )
AC
song song với
cắt mặt phẳng
theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó.

Bài 8.Cho hình bình hành

và tam giác

SCD

ABCD
SCD
Bài 9. Cho hình bình hành
và tam giác
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên
(P )
I ,K
IK
AB BC
các cạnh
,
lần lượt lấy
tùy ý. Mặt phẳng
đi qua
và song song với trung
(SCD)
CE
SCD
tuyến
của tam giác
cắt mặt phẳng
theo một giao tuyến. Tìm giao tuyến đó.


Chun đề Hình học khơng gian

AC , BF

ABCD ABEF
Bài 10. Cho hai hình vng
,
nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên
(P )
M ,N
AM = BN
MN
AB
lần lượt lấy
sao cho
. Mặt phẳng
qua
và song song với
lần lượt
(P )
(BCE ) (ADF )
P ,Q
AD
AF
cắt
và
tại
. Tìm giao tuyến của
với các mặt phẳng
,
.

ABCD CDEF
AE

Bài 11.Cho hai hình bình hành
,
nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên
(P )
M
M
AC
DE
lấy điểm
. Mặt phẳng
đi qua điểm
và song song với
và
. Tìm giao tuyến của
(P )
(ABCD) (CDEF )
với các mặt phẳng
,
.
Bài 12.Cho hình chóp
SA
và song song với
.

S.ABCD

. Gọi

(P )

a) Tìm các giao tuyến của

là hai điểm trên

(SAB )
với

(P )

AB,CD

M ,N

. Mặt phẳng

qua

MN

(SAC )
và

.
(P )

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

S.ABCD

.

M ,N

(P )

SB,CD

Bài 13.Cho hình chóp
. Gọi
là hai điểm bất kì trên
. Mặt phẳng
MN
SC
và song song với
.
(P )
(SBC ) (SCD ) (SAC )
a) Tìm các giao tuyến của
với các mặt phẳng
,
,
.

qua

(P )
b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

.

2. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm
năng xảy ra:

(a)
- Trường hợp 1:
Khi đó:

chứa đường thẳng

I = d Ç D Þ I = d Ç (a )

I

D

của đường thẳng

và

D

d

(a)
và mặt phẳng

cắt đường thẳng

d

tại

I

.

là xét hai khả


Chun đề Hình học khơng gian

(a)
- Trường hợp 2:

khơng chứa đường thẳng nào cắt

(b) É d
+ Tìm
+ Tìm

d

.

(a ) Ç (b) = D
v

I =dầD

;
;

ị I = d ầ (a)
.
Bi tp áp dụng

AC , BC

M ,N

ABCD

Bài 1.Cho tứ diện
có các điểm
lần lượt là trung điểm của
. Lấy điểm
(
MNK
)
CD
,
AD
BD K
BD
thuộc
( không là trung điểm của
). Tìm giao điểm của
và

.

AC , BC , BD

ABCD

K

M ,N ,P

Bài 2.Cho tứ diện
. Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm
sao cho
(MNP )
CD, AB, AD
MN
AB
không song song với
. Tìm giao điểm của
với mặt phẳng
.

SA, SB

SABC

M ,N

O

. Trên các cạnh
lấy hai điểm
tùy ý. Gọi
là điểm thuộc
(OMN )
ABC
miền trong tam giác
. Tìm giao điểm của
với các cạnh của của tứ diện.

Bài 3.Cho tứ diện

A, B,C , D
Bài 4.Cho bốn điểm khơng đồng phẳng
(MNP )
AC , BC
CD
. Tìm giao điểm của
với
.

ABCD

M ,N

. Gọi

AB, AD

I ,J

Bài 5.Cho tứ diện
. Gọi
là các điểm lần lượt nằm trên
3
AJ = J D
(BCD)
2
IJ
. Tìm giao điểm của
với
.

ABCD

I ,J

lần lượt là trung điểm của

L

Bài 6. Cho tứ diện
. Gọi
và
1
2
AI = AB BJ = BC CK =
3
3
sao cho

,
,

sao cho

1
AI = IB
2

AB, BC
lần lượt là các điểm trên các cạnh
4
CD
(IJ K )
5
AD
. Tìm giao điểm của
với
.

và

,

CD

SA, AB
M ,N,P
S.ABCD
BC

Bài 7.Cho hình chóp
. Lấy
lần lượt là các điểm trên
và
sao cho
chúng khơng trùng với trung điểm của các đoạn ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng
(MNP )
BD CD
với các đường thẳng
,
.

S.ABCD

Bài 8.Cho hình chóp
. Gọi
(
AMN
)
SD
Tìm giao điểm của
với
.

M ,N

tương ứng là các điểm thuộc các cạnh

SC

và

BC

.


Chun đề Hình học khơng gian

A, B,C , D
I ,K
Bài 9.Cho bốn điểm không đồng phẳng
. Gọi
theo thứ tự là hai điểm trong của
(ACD)
ABC
BCD
IK
J
J
tam giác
và
. Giả sử
cắt
tại . Hãy xác định điểm .
Bài 10.Cho tứ diện

AB, AC , AD

ABCD

. Trên các cạnh
BCD
là điểm tùy ý trong tam giác
.
a) Tìm giao điểm của

OA

b) Tìm giao điểm của

và

a) Trên

M

lấy điểm

(ABC )

. Gọi

O

(ADO )

; giao tuyến của

với

.

(MNP )
với

.

ABCD

Bài 11.Cho hình bình hành
SC

lần lượt lấy các điểm

(ADO )

BC

M ,N,P

và điểm

S

. Tìm giao điểm của

(ABCD)
nằm ngoài mặt phẳng

AM

.

(SBD)
với

.

M
SC
G
SAD
b) Giả sử
là trung điểm của
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
. Tìm giao điểm của
(
ABCD
)
(
SAB
)
MG
với các mặt phẳng
,
.

Bài 12.Cho hình chóp

a) Trên

SA

lấy điểm

S.ABCD

M

.

. Tìm giao điểm của

CM

(SBD)
với

.

BC
C
N
G
SAD
b) Trên phần kéo dài của
về phía
ta lấy điểm . Gọi
là trọng tâm của tam giác

.
(SCD ) (SBD) (SAB )
NG
Tìm giao điểm của
với các mặt phẳng
,
,
.
J ,K
I
ABCD
AB
Bài 13.Cho tứ diện
. Trên cạnh
lấy điểm và
lần lượt là các điểm thuộc miền
(ABC )
BCD
ACD
L
JK
trong của các tam giác
và
. Gọi là giao điểm của
và
.

a) Xác định điểm

L

.
(IJ K )

b) Tìm giao tuyến của

với các mặt của tứ diện

ABC

ABCD

.
(ABC )

S

Bài 14.Cho tam giác
và điểm
không thuộc mặt phẳng
SBC
AC N
SA G
,
là trung điểm
, là trọng tâm của tam giác
.
a) Tìm giao điểm của

NG

(ABC )
với

;

(P )
Bài 15. Trong mặt phẳng
(P )
S
ngồi
cho điểm .

cho tứ giác lồi

b) Tìm giao tuyến của

ABCD

. Gọi

NG

M

là trung điểm

(SBM )
với

.

có các cặp cạnh đối khơng song song và


Chun đề Hình học khơng gian

a) Trên

SA

lấy điểm

M

. Tìm giao điểm của

BM

(SCD)
và

.

C
N
G
SAD
về phía
ta lấy điểm . Gọi

là trọng tâm của tam giác
.
(SCD ) (SBD) (SAB )
NG
Tìm giao điểm của đường thẳng
với các mặt phẳng
,
,
.

b) Trên phần kéo dài của

BC

S.ABCD

AD

Bài 16.Cho hình chóp
có đáy là hình thang với đáy lớn
SB, SD
điểm bất kỳ thuộc
. Tìm giao điểm của:
a)

SA

(MCD)
và

;

b)

Bài 17.Cho hình chóp
I

a) Tìm giao điểm

J

b) Tìm giao điểm
c) Gọi

N

MN

S.ABCD

của
của

AB

là điểm thuộc

và

;

c)

SA

có đáy là hình bình hành và

. Gọi

lần lượt là hai

(MNC )
và
M

.
là trung điểm

SC

và

.
(ABM )

và

.

. Tìm giao điểm của

MN

(SBD )
và

.
M ,N,P

S.ABCD

Bài 18.Cho hình chóp
có các cạnh đối khơng song song. Gọi
SA, AB, BC
điểm thuộc
. Tìm giao điểm của:
a)

MP

(SBD)
và

;

b)

SD

(MNP )

và

;

c)

SC

a) Tìm giao điểm
b) Tìm giao điểm
c) Tìm giao điểm

J
K

của

GM

của
của

AD
SA

lần lượt là các

(MNP )
và

O
S.ABCD
Bài 19.Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành tâm . Gọi
SB, AD
G
SAD
điểm của
và là trọng tâm của tam giác
.

I

.

(SBD)

AM
SD

(SAC )

M ,N

.
M ,N
lần lượt là trung

(ABCD)
và

.
(OMG )

và

.
(OMG )

và

.

S.ABCD

M ,I

SA, AC

P

Bài 20.Cho hình chóp
có
lần lượt là trung điểm của
, lấy điểm
thuộc
N
SC
SC = 3SN
AB

2PB = AB
sao cho
và điểm
thuộc
sao cho
. Tìm giao điểm của:
a)

SI

(MNP )
và

;

b)

AC

(MNP )
và

;

c)

BC

(MNP )
và

.


Chun đề Hình học khơng gian

I
S.ABCD
Bài 21.Cho hình chóp
có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối khơng song song và là
SA
điểm thuộc
. Tìm giao tuyến của:

a)

SD

(IBC )
và

;

b)

(SBD)

IC

và

;

c)

SB

(ICD )
và

.

M
P
ABCD
AC N
AD
Bài 22.Cho tứ diện
có
thuộc đoạn
,
thuộc đoạn
và
nằm bên trong
BCD
tam giác
. Tìm giao điểm của:

a)

CD

(ABP )
và

;

b)

Bài 23.Cho hình chóp
SA,CD, BC
.

c)

(BMN )
và

.

có đáy là hình thang đáy lớn

và
(IJ K )

AB

I ,J , K

. Lấy

nằm trên

;
(SAC )

b) Tìm giao tuyến của

và
(IJ K )

;
(SAD)

c) Tìm giao tuyến của

và

;

(IJ K )

SB
IC

;

AP

(SAB )

a) Tìm giao tuyến của

e) Tìm giao điểm của

và

S.ABCD

(IJ K )

d) Tìm giao điểm của

(ABP )

MN

và

;
(SJ K )

và

.

S.ABCD
AB
K
Bài 24.Cho hình chóp

có đáy là hình thang đáy lớn
. Lấy điểm
thuộc đoạn
BC I
SA J
AB
, là trung điểm của
, thuộc đoạn
.
a) Tìm giao điểm của

(SBD)

KI

Bài 25. Cho hình chóp

và

a) Tìm giao tuyến của
b) Lấy điểm

M

thuộc

;

S.ABCD

(SAD)
SC

có đáy

b) Tìm giao tuyến của

ABCD

(SCD)
và

.

là hình bình hành.

(SBC ) (SAB )
(SCD)
và
;
và
.

. Tìm giao điểm

S.ABCD

Bài 26. Cho hình chóp
AD, SA, SB
trung điểm của

.

(SAD)
a) Tìm giao tuyến của

(IJ K )

có đáy

(SBC )
và

.

N

của

ABCD

SD

(ABM )
và

. Tứ giác

ABMN

là hình gì?

M ,H,K

là hình bình hành. Gọi

lần lượt là


Chun đề Hình học khơng gian

(SCD)

(MHK )

b) Tìm giao tuyến của
c) Tìm giao điểm

N

và

của

.
(MHK )

BC

và

. Tứ giác

MHK N

là hình gì?

I ,J , K
S.ABCD
ABCD
AB
Bài 27.Cho hình chóp
có đáy
là hình thang đáy lớn
. Gọi
lần lượt
AD, BC , SB
là trung điểm của
.

(SAB )

(SCD)

a) Tìm giao tuyến của

và
(SCD)

b) Tìm giao tuyến của
c) Tìm giao điểm

d) Tìm giao điểm

M
N

.
(IJ K )

và

của

(IJ K )

SD

của

SA

.

và

.
(IJ K )

và

.

(IJ K )

e) Xác định thiết diện của hình chóp với

S.ABCD

Bài 28.Cho hình chóp
SB, BC , SD
trung điểm của
.

(SCD)
a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao điểm của
c) Tìm giao điểm của

có đáy

AB

ABCD

M ,N,P

là hình bình hành. Gọi

lần lượt là

(MNP )
và

CD

. Thiết diện là hình gì?

.

(MNP )
với

.
(MNP )

với

.

(SAC )
d) Tìm giao tuyến của

(MNP )

(MNP )

với

. Suy ra thiết diện của hình chóp với
.
M ,E,F
S.ABCD

ABCD
Bài 29.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung
AB, SA, SD
điểm của
.
(MEF )

(ABCD )

a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao điểm của
c) Tìm giao tuyến của
d) Gọi

O

và
BC
SC

là giao điểm của

.

(MEF )
và

.
(MEF )

và

AC

.
và

BD

. Tìm giao điểm của

SO

(MEF )
và

.


Chun đề Hình học khơng gian

S.ABCD

ABCD

Bài 30.Cho hình chóp
có đáy

OB, SO, BC
là trung điểm của
.
(NPO)
và
(SAB )

. Gọi

lần lượt

.
(AMN )

và

.

(MNP )

SA

E

M ,N,P

(SCD )

a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao tuyến của

là hình bình hành tâm

O

c) Tìm giao điểm của
với
.
ME
PN
d) Chứng minh
và
song song nhau.
MN

e) Tìm giao điểm của

(SCD)
và

.
(MNP )

f) Tìm thiết diện của hình chóp và

.

Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho hình chóp

S.ABCD

. Gọi

M

là điểm thuộc miền trong của tam giác

(SMB )
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
b) Tìm giao điểm của đường thẳng

.

(SAC )
và

BM

SCD

.
(SAC )

và mặt phẳng

.

(ABM )
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng

.

Bài 2. Cho hai hình thang khơng phải là hình bình hành
AB
và khơng cùng nằm trong một mặt phẳng.
(ACE )
a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng
b) Lấy

M

trên đoạn

DF

. Tìm giao điểm của

c) Chứng minh hai đường thẳng

S.ABC

AC

và

a) Tìm giao điểm của
b) Gọi

M

ABEF

và mặt phẳng
HI

có chung đáy lớn

(BDF ) (BCE )
(ADF )
và
;
và
.
(BCE )

và mặt phẳng

.

không cắt nhau.

SA, AB
theo thứ tự là trung điểm của

(IHK )

là trung điểm của

Bài 4. Cho hình chóp

và

I ,H

Bài 3. Cho hình chóp
. Gọi
SC
CK = 3K S
trên đoạn
sao cho
.
BC

BF

AM

ABCD

.

. Tìm giao điểm của

KM

(ABC )
và

.

BC N
SD
S.ABCD M
,
là điểm thuộc
,
là điểm thuộc
.

. Lấy điểm

K


Chun đề Hình học khơng gian

a) Tìm giao điểm
b)

DM

và

AC

I

của

BN

cắt nhau tại

(SAC ) J
(SAC )
MN
và
, là giao điểm của
và
.
K

S, K ,J

, chứng minh

thẳng hàng.
(BCN )

c) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

.

SD
S.ABCD G
SAB E
Bài 5. Cho hình chóp
,
là trọng tâm của tam giác

,
là trung điểm của
.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

(CGE )
a)

(ABCD)
và

(CGE )
;

b)

ABCD

M ,N

và

Bài 6. Cho tứ diện
. Gọi
BD BK > K D
,
. Tìm giao điểm của:
a)

CD

(MNK )
và

b)

(SAD)
.

AC , BC K
lần lượt là trung điểm của
,
là điểm trên đoạn

AD

(MNK )
và

.

S.ABCD
ABCD
Bài 7. Cho hình chóp
có đáy
là tứ giác có các cạnh đối khơng khơng song
(SCD)
SA, SB
M ,N
MN

song. Gọi
lần lượt là các điểm trên
. Giả sử
cắt
. Tìm giao điểm của
chúng.
SA, AB, BC
I ,J , K
S.ABCD
Bài 8. Cho hình chóp
. Gọi
là ba điểm lần lượt trên các cạnh
. Giả
(IJ K )
SD, SC
JK
CD
AD
sử
cắt
và
. Tìm giao điểm của mặt phẳng
với các đường thẳng
.
Bài 9. Cho hình chóp
BC
điểm trên cạnh
.
a) Tìm giao điểm

N

S.ABCD

của

có đáy

với

b) Tìm giao tuyến của
c)Gọi

M

là trung điểm

SD E
;
là

.
(SAC )

với

là giao điểm của

là hình bình hành.

(AME )

SC

(AME )
K

ABCD

SA

.
(MBC )

với

. Chứng minh

K

là trung điểm

SA

.

F
CD
S.ABCD
ABCD

Bài 10. Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
là trung điểm
;
(
AEF
)
E
SC
SE = 2EC
là điểm trên cạnh
sao cho
. Tìm thiết diện tạo bởi
với hình chóp.

Bài 11. Cho hình chóp
là trung điểm của cạnh
a) Tìm giao điểm

F

S.ABCD
SB

của

có đáy

ABCD

là hình bình hành. Gọi

.

CD

(AIE )
với mặt phẳng

.

I

là trung điểm

SD E
;


Chun đề Hình học khơng gian

d

b) Tìm giao tuyến

(AIE )
của

(SBC )

với

.

BC , AF ,d
c) Chứng minh

đồng qui.

S.ABCD
ABCD
F
SC E
Bài 12. Cho hình chóp
có đáy
là tứ giác lồi.
là trung điểm
;
là điểm
BC
BE = 2EC
trên cạnh
sao cho
.
SB

a) Tìm giao điểm của

(AEF )
với mặt phẳng

.

(AEF )
b) Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng

với hình chóp.

O
M
S.ABCD
ABCD
Bài 13. Hình chóp
có đáy
là hình bình hành tâm . Gọi
là trung điểm
SB
G
SAD
và là trọng tâm của tam giác
.

a) Tìm giao điểm
IC = 2I D
.
b) Tìm giao điểm
c) Tìm giao điểm

I

J

của

GM

(ABCD )
với

và chứng minh

(OMG )
của

với
(OMG )

K

của

với

AD

SA

I

nằm trên đường thẳng

CD

và

JA JD
. Tính tỉ số

.

KA KS
. Tính tỉ số

.

3. BA ĐIỂM TRONG KHƠNG GIAN THẲNG HÀNG
Phương pháp
Cơ sở của phương pháp là cần phải chứng minh ba điểm trong yêu cầu đề bài là điểm chung của
hai mặt phẳng nào đó, tức là:

d = (a) Ç (b)
- Tìm

;

- Chỉ ra (chứng minh)

d

A, B,C Þ A, B,C

đi qua ba điểm

Hoặc chứng minh đường thẳng

AB

đi qua

thẳng hàng.
C Þ A, B,C

thẳng hàng.


Chun đề Hình học khơng gian

4. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN QUA MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là:
d
A B
I
Ta cần tìm trên hai điểm tùy ý ,
và chứng minh hai điểm đó thẳng hàng với điểm cố
định có sẵn trong khơng gian.

Þ d

đi qua điểm

I

cố định.

Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là:
- Bước 1: Tìm đường thẳng
- Bước 2: Tìm giao điểm

Þ I

là điểm cố định mà

I

D
của

d

(a )
cố định ở ngoài mặt phẳng cố định

D

và

chứa

d

di động.

d

đi qua.

5. BA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐỒNG QUY
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai
đường thẳng cịn lại.
- Bước 1: Tìm

I = d1 Ç d2

- Bước 2: Chứng minh
Þ d1,d2,d3

d3

đồng quy tại

I

.
đi qua

I

.

.

Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và dôi một ở trong ba mặt
phẳng phân biệt.
- Bước 1: Xác định


Chun đề Hình học khơng gian

ìï d ,d Ì (a); d Ç d = I
ïï 1 2
1
2
1
ïí d ,d Ì (b); d Ç d = I
2
3
2
ïï 2 3
ïï d3,d1 Ì (g); d3 ầ d1 = I 3
ợ

- Bc 2: Kt luận

d1, d2,d3

(a) (b) (g)
trong đó

,
,
phân biệt
đồng quy tại

I º I1 º I2 º I3

.

B. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Phương pháp

Cơ sở của phương pháp cần thực hiện hai bước cơ bản cho định nghĩa

ìï a,b Ì (a)
a P b Û ùớ
ùù a ầ b = ặ
ợ

- Bc 1: Kim tra hai đường thẳng ở trong cùng một mặt phẳng hay hiểu rằng điều đó hiển
nhiên xảy ra nếu chúng cùng nằm trong một hình phẳng nào đó.
- Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng cùng
song song với đường thẳng thứ ba), là hai đáy của hình thang, hai cạnh đối của hình bình hành…
để khẳng định hai đường thẳng đó khơng có điểm chung.
Suy ra điều phải chứng minh.

Bài tập áp dụng
I ,J
ABCD

ABC
ABD
Bài 1.Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trọng tâm các tam giác
và
. Chứng
IJ P CD
minh rằng
.


Chun đề Hình học khơng gian

S.ABCD

Bài 2.Cho hình chóp
SB
SA
trung điểm của
và
.

, có đáy là hình thang với đáy lớn

AB

M ,N

. Gọi

lần lượt là

MN P CD
a) Chứng minh:

.

b) Tìm giao điểm
c) Kéo dài

AN

P

và

của

DP

SC

(ADN )
với

.

cắt nhau tại

I

SI P AB P CD
. Chứng minh

. Tứ giác

SABI

là hình gì?

AB,CD BC , AD
M , N , P ,Q, R, S
ABCD
Bài 3.Cho tứ diện
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
,
AC , BD
.
MNPQ
a) Chứng minh
là hình bình hành.
MN , PQ, RS

b) Từ đó suy ra ba đoạn

cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
M , N , P ,Q

S.ABCD

Bài 4.Cho hình chóp
, có đáy là hình bình hành. Gọi
MN P BS, NP P CD, MQ P CD
BC , SC , SD, AD
nằm trên
sao cho
.

là các điểm lần lượt

PQ P SA
a) Chứng minh:
b) Gọi

K

.

là giao điểm của

MN

SK P AD P BC

PQ

và

. Chứng minh:

Qx P SC

Q

c) Qua
dựng các đường thẳng
(SCD )
Qy
của
với
.
Bài 5. Cho hình chóp
BC ,CD, SB, SD
.

S.ABCD

.

Qy P SB
và

(SAB )

Qx

. Tìm giao điểm của

với

và

M , N , P ,Q

có đáy là hình bình hành. Gọi

lần lượt là trung điểm

MN P PQ
a) Chứng minh rằng

b) Gọi
.

I

.

ABC J
SA
là trọng tâm của tam giác
, thuộc
sao cho

Bài 6.Cho hình chóp

S.ABCD

(SAD)

a) Tìm giao tuyến của

có đáy

ABCD

JS
1
=
JA 2

là hình bình hành.

(SBC ) (SAB )
(SCD)
và
;
và
.

IJ P SM
. Chứng minh


Chun đề Hình học khơng gian

b) Lấy điểm

M

thuộc

SC

. Tìm giao điểm

N

của

SD

(ABM )
và

. Tứ giác

ABMN

là hình gì?

M ,H,K
S.ABCD
ABCD
Bài 7.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung

AD, SA, SB
điểm của
.

(SAD)

(SBC )

a) Tìm giao tuyến của

và

.

(SCD)

(MHK )

b) Tìm giao tuyến của
c) Tìm giao điểm

N

và

của

.
(MHK )

BC

và

. Tứ giác

S.ABCD

ABCD

Bài 8.Cho hình chóp
có đáy
AD, BC , SB
là trung điểm của
.
(SAB )
và
(SCD)

c) Tìm giao điểm
d) Tìm giao điểm

M
N

của

I ,J , K

. Gọi

lần lượt

(IJ K )
.
(IJ K )

SD

SA

là hình thang đáy lớn

AB

.

và

của

là hình gì?

(SCD)

a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao tuyến của

MHK N

và

.
(IJ K )

và

.
(IJ K )

e) Xác định thiết diện của hình chóp với

S.ABCD

Bài 9.Cho hình chóp
SB, BC , SD
điểm của
.

có đáy

(SCD)
a) Tìm giao tuyến của
b) Tìm giao điểm của
c) Tìm giao điểm của

AB

ABCD

M ,N ,P

là hình bình hành. Gọi

lần lượt là trung

(MNP )
và

CD

. Thiết diện là hình gì?

.

(MNP )
với

.
(MNP )

với

.

(SAC )
d) Tìm giao tuyến của

(MNP )

(MNP )

với

. Suy ra thiết diện của hình chóp với
.
M ,E,F
S.ABCD
ABCD
Bài 10.Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi
lần lượt là trung
AB, SA, SD
điểm của
.
(MEF )
a) Tìm giao tuyến của

(ABCD )
và

.


Chun đề Hình học khơng gian

b) Tìm giao điểm của
c) Tìm giao tuyến của
d) Gọi

O

(MEF )

BC

và

.
(MEF )

SC

và

là giao điểm của

.

AC

và

BD

. Tìm giao điểm của

S.ABCD

ABCD

Bài 11.Cho hình chóp
có đáy
OB, SO, BC
là trung điểm của
.
(NPO)

(MEF )
và

.

là hình bình hành tâm

O

M ,N,P

. Gọi

lần lượt

(SCD )

a) Tìm giao tuyến của

và
(SAB )

.
(AMN )

b) Tìm giao tuyến của

và

.

(MNP )

SA

E

SO

c) Tìm giao điểm của
với
.
ME
PN
d) Chứng minh
và
song song nhau.
MN

e) Tìm giao điểm của

(SCD)
và

.
(MNP )

f) Tìm thiết diện của hình chóp và

S.ABC

Bài 12. Cho hình chóp
a) Tìm giao điểm

E

SA

của

.

AB, BC , SC

M ,N,P

. Gọi

là trung điểm

và

. Tứ giác

d) Tìm giao điểm

a) Tìm giao điểm
b) Tìm giao điểm

K

.

và

của

.

S.ABCD

BC

của

SA

đáy là hình bình hành tâm

(AMN )
và

; tìm giao điểm
(CMN )

và

(NPK )
c) Tìm giao tuyến của

là hình gì?

(ANP )

Bài 13. Cho hình chóp
SB, SD,OD
điểm của
.
I

MNPE

(SMC )
và

SM

.

.

b) Chứng minh rằng
c) Tìm giao tuyến

SB = AC

(MNP )

NP P ME P SB
(ANP )

. Cho

.
(SAC )

và

.

J

O

của

M ,N,P

. Gọi

CD

lần lượt là trung

(AMN )
và

.


Chun đề Hình học khơng gian

d) Tìm giao điểm của

SC

(NPK )
và

.
(AMN )

e) Tìm thiết diện hình chóp và

.

2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp là dùng điều kiện cần và đủ để chứng minh đường thẳng
(a)
mặt phẳng

.

d

song song với

D Ì (a)
- Bước 1: Quan sát và quản lí giả thiết tìm đường thẳng ưu việt

d P (a)
- Bước 2: Kết luận

.

Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là dùng định lý phương giao tuyến song song.
- Bước 1: Chứng minh

d = (b) Ç (g)
mà

ìï (b) Ç (a ) = a
ïï
ïí (g) Ç (a ) = b
ïï
ïï a P b
ỵ

d P (a)
- Bước 2: Kết luận

.

3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp 1

dP D
và chứng minh

.


Chun đề Hình học khơng gian

(a)
Cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng

(b)
và

song song nhau là:

(a)

a,b

- Bước 1: Chứng minh mặt phẳng
chứa hai đường thẳng
(b)
a¢,b¢

hai đường thẳng
cắt nhau trong mặt phẳng
.

cắt nhau lần lượt song song với

(a) P (b)
- Bước 2: Kết luận

theo điều kiện cần và đủ.

Phương pháp 2

(a )

a,b
- Bước 1: Tìm hai đường thẳng

cắt nhau trong mặt phẳng

a P (b)
- Bước 2: Lần lượt chứng minh

.

b P (b)
và

(a) P (b)
- Bước 3: Kết luận

.

4. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG
Phương pháp

d1 d2 d3
Cơ sở của phương pháp chứng minh các đường thẳng , , … đồng phẳng là:
d1 d2 d3
(b)
- Bước 1: Chứng minh , , … đôi một cắt nhau và cùng song song với một mặt phẳng
nào đó.
- Bước 2: Kết luận

d1,d2,d3,K Ì (a) P (b) Þ d1,d2, d3,K

(a)
đồng phẳng trong

.


Chun đề Hình học khơng gian

C. QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
1. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1
Để chứng minh đường thẳng

d

a,b

đường thẳng

(a)

vng góc với mặt phẳng
(a )

cắt nhau nằm trong

ta chứng minh

d

vng góc với hai

.

ü
ïï
ï
d ^ b ïïï
ý Þ d ^ (P )
a,b Ì (P )ùù
ù
a ầ b = I ùù
ùỵ
d ^a

.

Phng phỏp 2

dP D
S dụng tính chất:

D ^ (a )
, mà

d ^ (a)
thì

.

Phương pháp 3

(a) (b)
D
Nếu hai mặt phẳng
,
vng góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến , đường thẳng
(b)
(a)
D
nào nằm trong mặt phẳng
mà vng góc với giao tuyến
thì vng góc với mặt phẳng
.

Chun đề Hình học khơng gian

Phương pháp 4
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng
vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.

ü
ïï
(P ) ^ (R )
ïï
(Q) ^ (R )
ý ị a ^ (R)
ù
(P ) ầ (Q) = aùùù
ỵ

.

Phng phỏp 5
Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng kia.

d

vng góc với mặt phẳng này thì nó

2. HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI NHAU
Phương pháp 1

Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng này chứa một
đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia.