7 chủ đề bài tập theo dạng

Mục lục

Mục lục....................................................................................................................1
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức.............................................2

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có
nghĩa........................................................................................... 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức...........................................2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán...........3

Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét................................7

Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.................................................7
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm...........8
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình
bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.................9
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm..........................................10
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2
+ bx + c = 0 thoả mÃn điều kiện cho trớc..................................11
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.....12
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
bậc hai không phụ thuộc tham số...............................................12
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc
hai............................................................................................... 13

Chủ đề 3: Hệ phơng trình..............................................................17

Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản
................................................................................................... 17
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ..........................17

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mÃn điều kiện cho trớc...............................................................18
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I...........................................................19
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II..........................................................19
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số
................................................................................................... 20

Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị...........................................................20

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số...........................................................20
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng.....................................20
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol...............21

Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình 26

Dạng
đến
Dạng
Dạng
Dạng
Dạng

1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính
dòng nớc chảy).................................................................... 26
2: Toán làm chung - làn riêng (toán vòi nớc).........................26
3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm..............................27
4: Toán có nội dung hình học............................................27
5: Toán về tìm số..............................................................27

Dạng

Dạng
Dạng
Dạng

1:
2:
3:
4:

Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai........................30

Phơng
Phơng
Phơng
Phơng

trình
trình
trình
trình

có ẩn số ở mẫu.........................................30
chứa căn thức............................................30
chứa dấu giá trị tuyệt đối........................30
trùng phơng..............................................30


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Dạng 5: Phơng trình bậc cao.....................................................30

Phần II: Hình học.................................................................................................32
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình................32
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng
nằm trên một đờng tròn..................................................................32
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng
quy..................................................................................................35
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.............................................36
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng
thức hình học.................................................................................37
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian.............38

Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức - Biến đổi căn thức
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có
nghĩa.
Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các
biểu thức sau).
1)

3x −
1

8)

x 2 +3

2)

5 −2x
1

9)

x 2 −2

3)

7x −
14
2x −
1

4)

11)

3 −x

5)

12)

7x +2
x +3
7 −x
1

6)
7)

2x −x

13)

2

x 2 −3x +7

10)

14)

2x 2 −5x +3
1
x 2 −5x +6
1
x −3

+

3x
5 −x

6x −
1 + x +3

D¹ng 2: BiÕn đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
a)

3 5
;
5 3

b) x

2
(với x > 0);
x

c) x

2
;
5

d) (x − 5)

Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
a)

( 28 − 2 14 + 7 ) ⋅ 7 + 7 8 ;

d)

b)

( 8 − 3 2 + 10 )( 2 − 3 0,4) ;

e)

c)

(15 50 + 5 200 − 3 450 ) : 10 ;

f)

g)

3

3;

20 + 14 2 + 20 − 14 2 ;

h)

x
;
25− x2

e) x

7
x2

6 + 2 5 + 6 − 2 5;
11 + 6 2 − 11 − 6 2
3

5 2 +7 −3 5 2 −7

3

26 + 15 3 − 3 26 − 15 3

Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.
2


Các chuyên đề ôn thi vào 10
a) (

2 3 6
216 1
−
)⋅
3
8−2
6

14 − 7
15 − 5
1
+
):
1− 2
1− 3
7− 5

b)

c)

5 − 2 6 + 8 − 2 15
7 + 2 10

Bµi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh.
a)

(4 + 15 )( 10 − 6) 4 − 15

c)

3+ 5 − 3− 5 − 2

e)

6,5 + 12 + 6,5 − 12 + 2 6

(3 − 5) 3 + 5 + (3 + 5) 3 − 5

b)

4− 7 4+ 7 + 7

d)

Bài 5: Rút gọn các biÓu thøc sau:
a)

c)

1
7 − 24 + 1

−

1

3

b)

7 + 24 + 1

5+2 6
5−2 6
+
5− 6
5+ 6

3 +1 −1

−

3
3 −1 +1

3+ 5
3− 5

+
3− 5
3+ 5

d)

Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:
a) 6 + 2 5 − 13 + 48
c)

b) 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100

Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
a b+ b a
1
a)
:
, víi a > 0,b > 0 vµ a ≠ b.

ab
a− b
 a + a  a− a 
 1−
, víi a > 0 vµ a ≠ 1.
b)  1+


a + 1
a − 1

a a − 8+ 2a− 4 a
;
a− 4
1
d)
⋅ 5a4 (1− 4a+ 4a2 )
2a− 1
c)

3x2 + 6xy+ 3y2
2
e) 2

4
x y2
Bài 8: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc
1
1
a) A = x2 − 3x y + 2y, khi x =

;y =
5− 2
9+ 4 5
b) B = x3 + 12x− 8 víi x = 3 4( 5 + 1) − 3 4( 5 − 1);

(

)(

)

c) C = x + y , biÕt x + x2 + 3 y + y2 + 3 = 0;
d) D = 16− 2x+ x2 + 9 − 2x+ x2 , biÕt 16− 2x+ x2 − 9 − 2x+ x2 = 1.
e) E = x 1+ y2 + y 1+ x2 , biÕt xy + (1+ x2 )(1+ y2 ) = a.

D¹ng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức P =

x 3
x 1 − 2

3


Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.

3 ).

a2 + a
2a + a
−
+ 1.
Bµi 2: XÐt biĨu thøc A =
a − a +1
a

a) Rót gän A.
b) BiÕt a > 1, h·y so sánh A với A .
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
1
1
x

+
2 x − 2 2 x + 2 1− x

Bµi 3: Cho biĨu thøc C =

a) Rót gän biĨu thøc C.
4
9

b) TÝnh giá trị của C với x = .

1
c) Tính giá trị của x để C = .

3

a
1 +
2
a b
a − b2

a

Bµi 4: Cho biĨu thøc M =

2

a) Rót gän M.
b) Tính giá trị M nếu

2


b
:

2
2
a a b

a 3
= .
b 2

c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
 x −2
x + 2  (1 − x) 2

⋅
−
.
Bµi 5: XÐt biĨu thøc P = 

x
−
1
2
x
+
2
x
+
1



a) Rót gän P.
b) Chøng minh r»ng nÕu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bµi 6: XÐt biĨu thøc Q =

2 x −9
x + 3 2 x +1

−
−
.
x −5 x +6
x −2 3− x

a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là
số nguyên.
x−y
x 3 − y3

−
Bµi 7: XÐt biĨu thøc H = 
x−y
 x− y


:



(

)

2

x − y + xy

x+ y

a) Rót gän H.
b) Chøng minh H ≥ 0.
c) So s¸nh H víi H .


a  

1

2 a



:

Bµi 8: XÐt biĨu thøc A = 1 +
  a − 1 − a a + a − a − 1 .
a
+
1

 

a) Rót gän A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.

4

Các chuyên đề ôn thi vào 10

c) Tính các giá trÞ cđa A nÕu a = 2007 − 2 2006 .
Bµi 9: XÐt biĨu thøc M =

3x + 9x − 3
x +1
x −2
−
+
.
x+ x −2
x + 2 1− x

a) Rót gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là
số nguyên.
Bài 10: XÐt biĨu thøc P =
a) Rót gän P.
c) So s¸nh P víi

15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
.
x + 2 x − 3 1− x
x +3
1
2

b) Tìm các giá trị của x sao cho P = .
2
.
3

2
2
−
7 −5
7 +5
 2 x + x + 1  x − x 
Cho biểu thức: B = 
÷ 1 −
÷: 1 − x
x −1 
 1 + x 

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:
1.1

(

)

a) Rút gọn B.
b) Tính B khi x = 4 − 2 3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 12:
1.1

1.2

Tính giá trị của biểu thức:
Cho biểu thức: M =

3
3 + 1 −1

−

3
3 +1 +1

x x−y y
x− y
−
x − y x + y + xy

a) Rút gọn M.
b) Với điều kiện nào của x và y thì M = 0.
Bài 13:
1.1Tính giá trị của biểu thức:

3− 5
3+ 5
+
3+ 5
3− 5

 x+2

x
1  x −1
+
+
÷:
2
 x x −1 x + x +1 1− x 

1.2 Cho biểu thức: N = 

a) Rút gọn N.
b) Chứng minh rằng: N > 0 với x ≥ 0; x ≠ 1.
Bài 14:
1.1Tính giá trị của biểu thức: 2 + 3 + 2 − 3
1.2 Cho biểu thức: P =
a) Rút gọn P.

1
x x−x
+
x −1 + x
x −1
53
b) Tính P khi x =
9−2 7
1
+
x −1 − x

c) Tìm x để

P = 16.
Bài 15:
5


Các chuyên đề ôn thi vào 10

1.1Tớnh giỏ tr ca biểu thức:

2( 2 + 6)

3 2+ 3
3 x+ 9x − 3
x +1
x −2
−
+
1.2 Cho biểu thức: K =
x+ x −2
x + 2 1− x
a) Rút gọn K.
b) Tính K khi x = 3 + 2 2 .

c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên.
Bài 16:
1

 4 1
1 3

2
−
4,5 +
50 ÷:
2 2
5
 15 8

1
2 x
−
÷
x −1 x x + x − x −1 

1.1Tính giá trị của biểu thức:  ×
2

x  
1.2Cho biểu thức: A = 1 +
÷: 
x
+
1

 

a) Rút gọn A.
> 1.
Bài 17:

b) Tính A khi x = 4 + 2 3 .

Tính giá trị của biểu thức:

1.1 Cho biểu thức: B =

c) Tìm x để A

4−2 3 − 3

x2 + x
2 x+ x
+1−
x − x +1
x

a) Rút gọn B.
nhỏ nhất của B.
Bài 18:

b) Tìm x để B = 2.

1.1Tính giá trị của biểu thức:

c) Tìm giá trị

1
1
+
2+ 3 2− 3

 2 x+ x − 1 2 x x − x + x  x x

ữì
1

x
1

x
x

2 x 1

1.2 Cho biu thc: C = 1 + 

b) Cho C =

a) Rút gọn C.
minh: C >

6
1+ 6

× Tìm x ?.

c) Chứng

2
.

3

Bài 19:
1.1Tính giá trị của biểu thức: (2 2 − 5 + 18)( 50 + 5)
 x−5 x  
25 − x
x +3
x −5
− 1÷: 
−
+
÷
x +5
x −3
 x − 25
  x + 2 x − 15

1.2 Cho biểu thức: D = 
a) Rút gọn D.

b) Với giá trị nào của x thì D < 1.

Bài 20:
2
7
+
2 − 2 3− 2
 x x −1 x x +1  
1  x +1
x −1 

−
+
1.2Cho biểu thức: E = 
÷+  x −

÷
÷
x+ x  
x  x −1
x +1
 x− x

1.1Tính giá trị của biểu thức:

a) Rút gọn E.

b) Tìm x để E = 6.

6


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bi 21:
1.1 So sỏnh hai số:

2005 − 2004 và 2004 − 2003
x2 − x
2 x+ x 2( x − 1)
−

+
1.2 Cho biểu thức: P =
x + x +1
x
x −1

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P

c) Tìm x để biểu thức Q =

Bài 22: Tìm giá trị biểu thức sau:
1

a) A =

3

−

4

−

.

d) D = 2 + 2 + 2 + ... + 2

11 − 2 30
7 − 2 10
8+4 3
1
1
1
+
+ ........ +
b) B =
.
1+ 2
2+ 3
99 + 100
1
1
1
+
+ ........ +
c) C =
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3
100 99 + 99 100

n dấu căn

Bài 23: Rút gọn các biểu thức sau:


x
x
4 x −1  1
+
+
÷:
x−4  x−4
 x +2 2− x

a) A = 
b) B =
c) C =
d) D =

(

x− y

)

3

+ 2x x + y y

+

3

x x+y y
1

3
2
−
+
x +1 x x +1 x − x +1
x x + y y − xy
( x − y)

(

(

x+ y

x+ y

)

(

)+

Bài 24: Cho abc = 1. Tính: S =

xy − y
x− y

)

2 y

x+ y

1
1
1
+
+
.
1 + a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac

Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
1) x2 - 6x + 14 = 0 ;
2) 4x2 - 8x + 3 = 0 ;
3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;
4) -30x2 + 30x - 7,5 = 0
;
5) x2 - 4x + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - 2 = 0 ;
7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ;
8) 2 2 x2 + x + 1 =
3 (x + 1) ;
9) x2 - 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nghiƯm:
1) 3x2 - 11x + 8 = 0 ;
2) 5x2 - 17x + 12 = 0 ;
7

Các chuyên đề ôn thi vào 10

3) x2 - (1 + 3 )x + 3 = 0 ;
+3 2 =0;
5) 3x2 - 19x - 22 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ;
9) x2 - 12x + 27 = 0 ;

4) (1 -

2
2 )x - 2(1 +

2 )x + 1

6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;
8) x2 - 11x + 30 = 0 ;
10) x2 - 10x + 21 = 0.

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau lu«n cã nghiƯm.
1) x2 - 2(m - 1)x - 3 - m = 0 ;
2) x2 + (m + 1)x + m =
0;
3) x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0 ;
4) x2 + 2(m + 2)x - 4m 12 = 0 ;
5) x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ;
6) x2 - 2x - (m - 1)
(m - 3) = 0 ;
7) x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 ;

8) (m + 1)x2 - (2m - 1)x
-3+m=0;
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
Chøng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau
luôn có nghiệm:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt thì phơng
1
1
1
+
+
= 0 (ẩn x)
trình sau có hai nghiệm phân biết:
x a x b x c
Chứng minh rằng phơng trình: c2x2 + (a2 - b2 - c2)x + b2 = 0 v«
nghiƯm víi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 - (a - b)(a2 - b2)x - 2ab(a2 + b2) = 0 luôn có hai nghiệm
phân biệt.
Bài 3:
Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau
đây có nghiÖm:
ax2 + 2bx + c = 0
(1)
2
bx + 2cx + a = 0
(2)
2

cx + 2ax + b = 0
(3)
Cho bèn phơng trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = 0
(1)
2
2
x - 2bx + 4a = 0
(2)
2
2
x - 4ax + b = 0
(3)
2
2
x + 4bx + a = 0
(4)
Chøng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng
trình có nghiệm.
Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
8


Các chuyên đề ôn thi vào 10

2b b + c
1
x+
=0
b+c

c+a
2c c + a
1
bx 2 −
x+
=0
c+a
a+b
2a a + b
1
cx 2 −
x+
=0
a+b
b+c
ax 2

(1)
(2)
(3)

với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng
trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
BiÕt a ≠ 0 vµ 5a + 4b + 6c = 0, chøng minh r»ng phơng trình đÃ
cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) cã hai
nghiƯm nÕu mét trong hai ®iỊu kiƯn sau đợc thoả mÃn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;

5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình
bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 - 3x - 7 = 0.
TÝnh:
2

2

A = x1 + x 2 ;
C=

B = x1 − x 2 ;

1
1
+
;
x1 − 1 x 2 − 1
3

D = ( 3x1 + x 2 )( 3x 2 + x1 );

3

4

E = x1 + x 2 ;

F = x1 + x 2

4

1

1

Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là x 1 và x − 1 .
1
2
2
Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm của phơng trình: 5x - 3x - 1 = 0.
Không giải phơng trình, tính giá trị của các biÓu thøc sau:
3
2
3
2
A = 2x1 − 3x1 x 2 + 2x 2 − 3x1x 2 ;
2

1
x
x1
x
x
1 
B= 1 +
+ 2 + 2 −  −  ;
x 2 x 2 + 1 x1 x 1 + 1  x 1 x 2 
2

2

3x + 5x1x 2 + 3x 2
C= 1
.
2
2
4x1x 2 + 4x1 x 2

Bµi 3:
a) Gäi p vµ q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + 4 =
0. Không giải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với
p

q

hệ số bằng số mà các nghiƯm cđa nã lµ q − 1 vµ p − 1 .
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm lµ

1
1
vµ
.
10− 72
10+ 6 2

9

Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 4: Cho phơng tr×nh x2 - 2(m -1)x - m = 0.
a) Chøng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x1 ; x2 víi
mäi m.
b) Víi m ≠ 0, lËp ph¬ng trình ẩn y thoả mÃn y1 = x1 +

1
1
và y2 = x2 + .
x2
x1

Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x - 6 = 0. HÃy tính giá trị c¸c
biĨu thøc sau:
x1
x
A = ( 3x1 − 2x 2 )( 3x 2 − 2x1 ) ;
B=
+ 2 ;
x 2 − 1 x1 − 1

x1 + 2 x 2 + 2
+
x1
x2
Bµi 6: Cho phơng trình 2x2 - 4x - 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2.
Không giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 - x2 ; y2 = 2x2 - x1
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 - 3x - 1 = 0 cã hai nghiÖm x1 ; x2. HÃy

thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
C = x1 − x2 ;

D=

2

x1
y1 =
x2
y 1 = x 1 + 2

a) 
b) 
2
x2
y 2 = x 2 + 2

y 2 = x

1
2
Bµi 8: Cho phơng trình x + x - 1 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2. HÃy
thiết lập phơng trình Èn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
x1 x 2

y1 + y 2 = x + x
 y 1 + y 2 = x 1 2 + x 2 2

2

1
a) 
;
b)  2
y
y
 y 1 + y 2 2 + 5x 1 + 5x 2 = 0.
1
2
 +
= 3x 1 + 3x 2
 y 2 y 1
Bµi 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax - a = 0 (a tham sè, a ≠ 0) cã hai
nghiÖm x1 ; x2. HÃy lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả
mÃn:
1 1
1 1
y1 + y2 =
+
và
+
= x1 + x2
x1 x2
y1 y2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có
nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép
này.

b) Cho phơng tr×nh (2m - 1)x2 - 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2mx + m - 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.

10


Các chuyên đề ôn thi vào 10

- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó.
d) Cho phơng trình: (a - 3)x2 - 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phơng trình:

4x 2
2( 2m − 1) x
−
+ m 2 − m − 6 = 0 . Xác định m
4
2
2
x + 2x + 1
x +1

để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m2 + m - 2)(x2 + 4)2 - 4(2m + 1)x(x2 + 4) +
16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình
ax2 + bx + c = 0 thoả mÃn điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm
kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính
nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng
dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này
gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn 2x1 - x2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 sao cho A = 2x12
+ 2x22 - x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức ®· chØ
ra:
a) (m + 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 - (m - 4)x + 2m = 0 ;
2(x12 + x22) = 5x1x2
c) (m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ;
4(x12 + x22) = 5x12x22
d) x2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ;
3x1x2 - 5(x1 + x2) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mÃn hệ thức đà chỉ
ra:
a) x2 + 2mx - 3m - 2 = 0 ;
2x1 - 3x2 = 1

2
2
b) x - 4mx + 4m - m = 0 ;
x1 = 3x2
2
c) mx + 2mx + m - 4 = 0 ;
2x1 + x2 + 1 = 0
2
2
d) x - (3m - 1)x + 2m - m = 0 ;
x1 = x22
e) x2 + (2m - 8)x + 8m3 = 0 ;
x1 = x22
f) x2 - 4x + m2 + 3m = 0 ;
x12 + x2 = 6.
Bµi 4:

11


Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - 3 + m = 0. Tìm
điều kiện của m để phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt
x1 ; x2 sao cho nghiƯm này gấp đôi nghiệm kia.
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 - mx + m - 1 = 0. T×m m để phơng
2x x + 3

1 2
trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biÓu thøc R = x 2 + x 2 + 2(1 + x x )

1
2
1 2
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chøng minh r»ng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai
nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chøng
minh r»ng ®iỊu kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà
nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = 0. Xác định m để
phơng trình có hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n 1 < x1 < x2 < 6.
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Xác định m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - 1 < x1
< x2 < 1.
Bài 2: Cho f(x) = x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m
để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính
các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0.

a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1
và một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 - mx + m = 0 cã nghiƯm tho¶
m·n x1 ≤ - 2 ≤ x2.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:

12


Các chuyên đề ôn thi vào 10

a) Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0. T×m hệ thức liên hệ
giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào tham số
m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0.
Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phơng trình: 8x2 - 4(m - 2)x + m(m - 4) = 0. Định m để
phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai
nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai
số - 1 và 1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m - 1)2x2 - (m - 1)(m + 2)x + m =
0. Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm một hệ thức giữa các
nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.
a) Chøng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi
m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn:
x1 x 2
5
+
= .
x 2 x1
2

Bài 4: Cho phơng trình: (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m = 0.
a) Gi¶i và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x1 - x2| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m - 4)x2 - 2(m - 2)x + m - 1 = 0. Chøng
minh r»ng nÕu ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 - 3(x1 +
x2) + 2 = 0.
D¹ng 8: Mèi quan hƯ giữa các nghiệm của hai phơng trình
bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm
bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = 0 (1)
a’x2 + b’x + c’ = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0)
lần một nghiệm của phơng trình (1), ta có thể làm nh sau:
i)
Giả sử x0 là nghiệm của phơng trình (1) thì kx0 là một

nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ phơng trình:
ax 0 2 + bx 0 + c = 0
 2 2
a' k x 0 + b' kx 0 + c' = 0

(*)

13


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số
để tìm m.
ii)
Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và
(2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0) (3)
2
a’x + b’x + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc
hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng hợp sau:
i)
Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:
( 3) < 0

( 4 ) < 0

Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii)
Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:
(3) ≥ 0

Δ (4) ≥ 0

S(3) = S(4)
P = P
(4)
 (3)

Chó ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ
phơng trình bậc nhất 2 Èn nh sau:
bx + ay = −c

b' x + a' y = c'

Để giải quyết tiếp bài toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo
m.
- Tìm m thoả mÃn y = x2.
- Kiểm tra lại kết quả.
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 - (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 - (9m - 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm
chung. Tìm nghiƯm chung ®ã:

a) 2x2 + (3m + 1)x - 9 = 0;
6x2 + (7m - 1)x - 19 = 0.
b) 2x2 + mx - 1 = 0;
mx2 - x + 2 = 0.
c) x2 - mx + 2m + 1 = 0;
mx2 - (2m + 1)x - 1 = 0.
Bµi 3: Xét các phơng trình sau:
ax2 + bx + c = 0
(1)
2
cx + bx + a = 0
(2)
T×m hƯ thøc giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng
trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
14


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 4: Cho hai phơng trình:
x2 - 2mx + 4m = 0 (1)
x2 - mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm
bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1).
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất
một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.

Bài 6: Cho hai phơng tr×nh:
x2 + mx + 2 = 0 (1)
x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng tr×nh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0
có 4 nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho các phơng tr×nh:
x2 - 5x + k = 0 (1)
x2 - 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2
lần một trong các nghiệm của phơng trình (1).
Một số bài làm thªm
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) 2x2 + 5x = 0
b) 2x2 - 1 = 0
c) x2 + 5
=0
d) 2x2 - 3x - 5 = 0
e) x2 -( 2 + 1)x + 2 =0
f) 2x4 7x2 - 4 = 0
Bài 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép:
a) 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0
c) 5x2 + 2mx - 2m + 15 = 0
b) mx2 - 2(m - 1)x + 2 = 0
d) mx2 - 4(m - 1)x - 8 = 0.
Bài 3: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm :
a) 2x2 - (4m + 3)x + 2m2 - 1 = 0
b) mx2 + (2m - 1)x + m + 2 = 0
Bài 4: Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

a) x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
b) (m + 1)x2 + 4mx + 4m - 1
=0
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình:
a) x2 + 2mx - 3m + 2 = 0 có 1 nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) 4x2 + 3x - m2 + 3m = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm cịn lại.
c) mx2 -

1
x - 5m2 = 0 có 1 nghiệm x = -2. Tìm nghiệm cịn lại.
2

15


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bi 6: Khụng gii phương trình x2 - 2x - 15 = 0. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm
của phương trình. Tính
a) x12 + x22

1

1

b) x 2 + x 2
1
2

c) x13 + x23

3 x12 + 3 x2 2 − 3
g)
x12 x2 + x1 x2 2

h)

d) x12 - x22
e) (x1 - x2)

2

x1
x2
+
x2 − 3 x1 x1 − 3x2

Bài 7: Lập phương trình có hai nghiệm là x1, x2 được cho trong mỗi
trường hợp sau:
a) x1 = - 4, x2 = 7;
b) x1 = - 5 , x2 = 3 + 5 ;
c) x1. x2 = 4;
2
2
x1 + x2 = 17 ;
Bài 8: Cho phương trình: x2 + px - 5 = 0 có nghiệm là x1, x2. Hãy lập
phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp
sau:
a) - x1 và - x2

b)

1
1
và
x1
x2

Bài 9: Cho phương trình x2 + (m - 3)x - 2m + 2 = 0.
a) Tìm giá trị của m để :
a1) phương trình có nghiệm x = -5. Tìm nghiệm cịn lại.
a2) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
a3) phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a4) Phương trình có 2 nghiệm cùng dương.
a5) Phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
a6) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả 2x1 + x2 = 3
a7) Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả (x1 - x2)2 = 4
b) Viết một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của phương trình độc
lập với tham số m.
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m - 1)x - 2m + 5 = 0. Định m để :
a) Phương trình có nghiệm.
b) Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 thoả :
α ) x1 + 2x2 = 9
β ) x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 6
γ ) A = 12 - 10x1x2 + (x12 + x22) đạt GTNN.
Bài 11: Cho phương trình: (m - 2)x2 - 3x + m + 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Giải và biện luận phương trình trên.
Bài 12: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm m để phương

trình có hai nghiệm để:
a) x12 + x22 = 52
b) x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN này.
Bài 13: Cho phương trình: x2 - mx - 7m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
16


Các chuyên đề ôn thi vào 10

c)Tỡm m phng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả : 2x1 + 3x2 = 0.
d) Tìm m nguyên để biểu thức A =

x1.x2
nhận giá trị nguyên.
x1 + x2 − 1

Bài 14: Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 - 3m + 2 = 0.
a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn: x12 + x22 =
16 .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm
của phương trình cùng dấu âm hay cùng dấu dương?
Bài 15: Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x + 6m + 1 = 0.
a)
Giải phương trình với m = - 1.
b)
Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
c)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
d)
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình
khơng phụ thuộc vào m.
Bài 16: Giải các phương trình sau:
a) x − x − 1 − 3 = 0
b) x4 - 7x2 - 144 = 0.
c) 2x4 - x3 - 6x2 - x + 2 = 0
d) 15 − x + 3 − x = 6
Chủ đề 3: Hệ phơng trình
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ
bản
Bài 1: Giải các hệ phơng trình
3x 2y = 4
4x 2y = 3
1) 
;
2) 
;
2x
+
y
=
5
6x
−
3y
=
5



2x + 3y = 5
3x − 4y + 2 = 0
3) 
4) 
;
4x
+
6y
=
10
5x
+
2y
=
14


2x + 5y = 3
4x − 6y = 9
5) 
;
6) 
3x − 2y = 14
10x − 15y = 18
Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau:
( 3x + 2 )( 2y − 3) = 6xy
( 2x - 3)( 2y + 4 ) = 4x ( y − 3) + 54
1) 

;
2) 
;
(
)(
)
(
)(
)
(
)
4x
+
5
y
−
5
=
4xy
x
+
1
3y
−
3
=
3y
x
+
1

−
12


 7x + 5y - 2
y + 27
 2y - 5x
+
5
=
−
2x
 x + 3y = −8
 3

4
3) 
;
4) 
 x + 1 + y = 6y − 5x
 6x - 3y + 10 = 5
 3
5x + 6y
7
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phơng trình sau
17


Các chuyên đề ôn thi vào 10

1
2
x + 2y + y + 2x = 3

1) 
;
4
3

−
=1
 x + 2y y + 2x

(
(

)
)

2
 3x
x +1 − y + 4 = 4

2) 
;
2x
5

−

=9
 x + 1 y + 4

2 x 2 − 2x + y + 1 = 0
4) 
;
3 x 2 − 2x − 2 y + 1 + 7 = 0

3y
x +1
 x −1 + y + 2 = 7

3) 
;
2
5

−
=4
 x − 1 y + 2

5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
5) 
2 4x 2 − 8x + 4 + 5 y 2 + 4y + 4 = 13.

Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả
mÃn điều kiện cho trớc
Bài 1: Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1).
2mx − ( n + 1) y = m − n


( m + 2 ) x + 3ny = 2m − 3

Định a và b biết phơng trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 cã hai nghiƯm lµ
x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x - y = m ;
x = y = 2m ;
mx - (m - 1)y = 2m - 1
2
b) mx + y = m + 1 ; (m + 2)x - (3m + 5)y = m - 5 ;
(2 - m)x - 2y
2
= - m + 2m - 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
mx+ 4y = 10 m
(m là thamsố)

x
+
my
=
4

a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 .
b) Giải và biện luận hệ theo m.
c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ cã nghiÖm duy nhÊt
(x ; y) sao cho x > 0, y > 0.
d) Với giá trị nguyên nào của m th× hƯ cã nghiƯm (x ; y) víi x, y là
các số nguyên dơng.
e) Định m để hệ có nghiÖm duy nhÊt (x ; y) sao cho S = x 2 - y2

đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi t¬ng tù víi S = xy).
f) Chøng minh r»ng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm
M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các
giá trị khác nhau.
( m 1) x − my = 3m − 1
2x − y = m + 5

Bài 4: Cho hệ phơng trình:

Giải và biện luận hệ theo m.
Với các giá trị nguyên nào cđa m th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y)
sao cho x > 0, y < 0.
Định m để hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ P = x 2 + y2 đạt giá
trị nhỏ nhất.
Xác định m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) thoả mÃn x 2 + 2y =
0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x 2).
18


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm
D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m
nhận các giá trị khác nhau.
x + my = 2
mx 2y = 1

Bài 5: Cho hệ phơng trình:

Giải hệ phơng trình trên khi m = 2.

Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0
và y < 0.
Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là
các số nguyên.
Tìm m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) mµ S = x - y đạt giá trị
lớn nhất.
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
x + y + xy = 11

VÝ dơ: Gi¶i hƯ phơng trình
Giải các hệ phơng trình sau:

2
2
x + y + 3( x + y ) = 28

2
2

x + y + x + y = 8
1)  2
2

x + y + xy = 7
xy + x + y = 19
3)  2
2
x y + xy = 84

x 2 + xy + y 2 = 4
2) 
x + xy + y = 2
2
2

x − 3xy + y = −1
4)  2
2

3x − xy + 3y = 13

(

)(

)

( x + 1)( y + 1) = 8
5) 
x ( x + 1) + y( y + 1) + xy = 17

 x 2 + 1 y 2 + 1 = 10
6) 
( x + y )( xy − 1) = 3


x + xy + y = 2 + 3 2
7)  2
2


x + y = 6

2
2
2

x + xy + y = 19( x − y )
8)  2
2

x − xy + y = 7( x − y )

2

( x − y ) − ( x − y ) = 6
9)  2
2

5 x + y = 5xy

(

)


x y + y x = 30
10)

x x + y y = 35

Dạng 2: Hệ đối xứng loại II
x 3 + 1 = 2y
Ví dụ: Giải hệ phơng trình 3
y + 1 = 2 x

Bài tập tơng tự:
Giải các hệ phơng trình sau:

19


Các chuyên đề ôn thi vào 10

x 2 + 1 = 3y
1)  2
 y + 1 = 3x

x 2 y + 2 = y 2
2)  2
xy + 2 = x 2

x 3 = 2x + y
3)  3
 y = 2y + x

x 2 + xy + y = 1
4) 
x + xy + y 2 = 1
y


x
−
3y
=
4

x
6) 
 y − 3x = 4 x

y

x 2 − 2y 2 = 2x + y
5)  2
 y − 2x 2 = 2y + x
1 3

2x
+
=

y x

7) 
2y + 1 = 3

x y

x 3 = 3x + 8y

8)  3
 y = 3y + 8x

x 2 − 3x = y
9)  2
 y − 3y = x

x 3 = 7x + 3y
10)  3
 y = 7y + 3x

D¹ng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại
số
Giải các hệ phơng trình sau:
x + y 1 = 0
1)  2
 x + xy + 3 = 0

 x 2 − xy − y 2 = 12
2) 
2
2
 xy − x + y = 8

2 xy − x 2 + 4 x = −4
3)  2
 x − 2 xy + y − 5 x = 4
2 ( x + y ) 2 − 3 ( x + y ) − 5 = 0
5) 
 x − y − 5 = 0

 x + 2 y + 2 xy − 11 = 0
4) 
 xy + y − x = 4

x − 2 y + 2 = 0
7) 
2
2 y − x = 0
 x 2 + y 2 − 2 xy = 1
9)  2
2
2 x + 2 y − 2 xy − y = 0

 x2 − y = 0
8) 
x − y + 2 = 0

5 ( x − y ) 2 + 3 ( x − y ) = 8
6) 
2 x + 3 y = 12

Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x - 5 ;
b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hµm sè y = ax2 khi:
a) a = 2 ;
b) a = - 1.

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng
20


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
(d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
(d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x 1/5.
(d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d): y =
-1/2x + 3.
(d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dơng trơc Ox mét gãc 300.
(d) ®i qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng
(): y = 2x - 3; (∆’): y = 7 - 3x t¹i mét điểm.
(d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5
(đơn vị dài).
Bài 2: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k - 1)x + k - 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y - 5 = 0.
c) Định k để (d) vuông góc với ®êng th¼ng x + 2y = 0.
d) Chøng minh r»ng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm
A(-1/2 ; 1).
e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua
một điểm cố định.
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol
Bài 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). HÃy tìm a và
vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và
- 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng

AB.
1
2

Bài 2: Cho hàm số y = x 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) vµ tiÕp xóc víi
(P).
Bµi 3:
1
4

Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y = x 2 và đờng
thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ độ thị (P).
b) Tìm m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P).
c) Chøng tá r»ng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P).
1
2

Bµi 4: Cho hµm sè y = − x 2
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết
phơng trình đờng thẳng MN.
c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song
song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
21


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 5:
Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax 2 (a 0) và đờng
thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1).
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1).
3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2).


4) Gọi (d) là đờng thẳng ®i qua ®iĨm C ;−1 vµ cã hƯ sè gãc m
3
2



a) Viết phơng trình của (d).
b) Chứng tỏ rằng qua ®iĨm C cã hai ®êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi
(P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau.
HàM Số BậC NHÊT
Bµi 1: Cho hµm sè: y = (3 − 2) x + 1
a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
b) Tính giá trị của y biết x = 3 + 2
c) Tính giá trị của x biÕt y = 3 + 2
Bµi 2: Cho hµm sè: y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số trên không?
3 7
1 5
A( ; ) , B( ; )
2 2

2 2

Bµi 3: Cho hµm sè: y = (m + 1)x + 5
a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1.
b) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m2 - 3)x + 2 có đồ thị (d).
a) Tìm m để hàm số đồng biến; nghịch biến?
b) Vẽ (d) với m = 2.
c) Tìm m để (d) đi qua A(1; 2).
d) Tìm m để (d) đi qua B(1; 8).
Bài 5: Cho hµm sè: y = (m - 1)x + m + 1 có đồ thị (d).
a) Tìm m để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vẽ (d)
với m vừa tìm đợc.
b) Tìm m để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Vẽ
(d) với m vừa tìm đợc.

c ) Tìm m biết (d) tạo với trục hoành một góc bằng 450.
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết (d) cắt trục tung tại
điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng -2.
Bài 7: Viết hàm số bËc nhÊt y = ax + b biÕt hµm sè:
a) Cã hƯ sè b b»ng 3 vµ song song víi ®êng th¼ng (d): 2x - y + 1
= 0.
b) Cã đồ thị đi qua A(3; 2) và B(1; -1)
c) Có đồ thị đi qua C(2; -1) và vuông góc với ®êng th¼ng (d’): y =
3x + 1.
22


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 8: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A( -2; 1) và ®i qua
®iĨm M thc ®êng th¼ng (d): 2x + y = 3 có hoành độ bằng

1
.
2

Bài 9: Xác định m ®Ĩ ®êng th¼ng y = x + m + 1 tạo với các trục
tọa độ 1 tam giác có diện tÝch b»ng 8 (®vdt).
 x + my = 2
mx − 2 y = 1

Bài 10: Cho hệ phơng trình:

a) Giải hệ phơng trình với m = 2.
b) Tìm số nguyên m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;
y) mµ x > 0; y < 0.
−2mx + y = 5
mx + 3 y = 1

Bµi 11: Cho hƯ phơng trình:

a) Giải hệ phơng trình với m = 1.
b) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài 12: Cho 3 đờng thẳng (d1): x + y = 1; (d2): x - y = 1; (d3):
(a+1)x + (a - 1)y = a + 1
a) Víi gi¸ trị nào của a thì (d1) vuông góc với (d3).
b) Tìm a để 3 đờng thẳng trên đồng quy.
c) CMR khi a thay đổi, đờng thẳng (d3) luôn đi qua 1 điểm cố

định.
Bài 13: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2; 5), B(-1; -1) và C(4; 9).
a) Viết phơng trình đờng thẳng BC.
b) CMR 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
c) CMR các đờng y = 3; 2y + x - 7 = 0 và đờng thẳng BC ®ång
quy.
HµM Sè bËc hai
Bµi 1: Cho hµm sè: y = ax2 (a 0) có đồ thị (P).
a) Xác định a biÕt (P) ®i qua A(-3; 12)
b) Víi a võa tìm đợc:
b1) Vẽ đồ thị (P).
b2) Tìm các điểm B, C thuộc (P) có hoành độ lần lợt là:

1
và
2

2.
b3) Các điểm sau có thuộc (P) hay không?
1 2
D ; ữ , E ( 6; 48 )
2 3
3
1
Bài 2: Cho hµm sè: y = f(x) = − x 2 có đồ thị (P) và hàm số: y = x 2
2
2

có đồ thị (d).
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
c) Không tính, hÃy so sánh:
c1) f(-2) vµ f(-3)
c2) f (1 − 2) vµ f ( 3 − 2)
23


Các chuyên đề ôn thi vào 10

Bài 3: Cho hàm số: y = (m2 - 4)x2.
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x < 0.
b) Vẽ đồ thị hàm số trên với m =

3
.
2

c) Với m cho ở câu b), hÃy tìm GTLN, GTNN của hàm số với -3 ≤ x
≤ 1
Bµi 4: Cho hµm sè: y = ax2 (a 0) có đồ thị (P).
4
3

a) Tìm a biÕt (P) ®i qua M ( −2; − ) .
b) Với a vừa tìm đợc, hÃy:
b1) Tìm giá trị của y biết x = -3.
b2) Tìm giá trị của x biết y = 13.
b3) Tìm các điểm A thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.
1
2

Bài 5: Cho hàm số: y = x 2 có đồ thị (P).
a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt bằng -1 và 2.
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc với
(P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hµm sè: y = (m + 1)x2 cã đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Víi m = - 2. T×m toạ độ giao điểm của (P) với đờng thẳng (d):
y = 2x - 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x - 3. Tìm tọa độ tiếp
điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc víi Parabol (P) biÕt:
a) (d): y = 4x - 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x - 1; (P): y = x2.
Bài 8:
8.1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2
điểm phân biệt:
a) (d): y = 3x - 4; (P): y = x2.
b) (d): y = - 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trờng hợp
trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phơng trình: y = ax2 và hai đờng thẳng
sau:
4
3

(d1): y = x − 1

(d2): 4x + 5y - 11 = 0

a) T×m a biÕt (P), (d1), (d2) ®ång quy.
b) VÏ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm đợc.
c) Tìm tọa độ giao điểm còn lại của (P) và (d2).
d) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với
(d1).
24


Các chuyên đề ôn thi vào 10
1
2

Bài 10: Cho Parabol (P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = 2x + m + 1.
a) T×m
b) T×m
c) T×m
d) T×m

m ®Ĩ (d) ®i qua ®iĨm A thc (P) cã hoµnh ®é b»ng - 2.
m ®Ĩ (d) tiÕp xóc víi (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dơng.
m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x 1

≠ x2 tháa m·n:

1 1 1
+ =
x12 x22 2

Bµi 11: Cho hàm số: y = ax2 có đồ thị (P) vµ hµm sè: y = mx + 2m
+ 1cã đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua M vµ tiÕp xóc víi Parabol (P).
Bµi 12:
y = 2x

1
2

Cho hàm số: y = x 2 có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):

3
2

a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
b) Tìm tọa độ giao ®iĨm A vµ B cđa (d) vµ (P). TÝnh chu vi AOB.
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc Ox để chu vi tam giác ABC đạt giá
trị nhỏ nhất.
Bài 13: Cho Parabol (P): y = ax2.
1
4

a) T×m a biÕt (P) ®i qua ®iĨm A thc ®êng th¼ng (d): y = x +

1
2

có hoành độ bằng 2.

b) Tìm giao điểm B còn lại của (d) và (P).
c) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) để diện tích ABC
đạt giá trị lớn nhất.
1
2

Bài 14: Cho hàm số: y = x 2 có đồ thị (P).
a) Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1
và 2.
b) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với
AB.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
d) Tìm điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác ABC cân
tại C.
1
4

Bµi 15: Cho hµm sè: y = − x 2 có đồ thị (P) và đờng thẳng (d):
y=

1
x 3.
2

a) Vẽ (d) và (P) trên cùng hệ trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
25