Phân dạng tính đơn điệu của hàm sô đầy đủ và chi tiết có lời giải

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
* Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x) xác định trên K
 Hàm số y  f ( x) đồng biến trên K nếu x1 , x2  K mà x1  x2  f  x1   f  x2 
 Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K mà x1  x2  f  x1   f  x2 
* Định lí:
 Hàm số y  f ( x) đồng biến trên K  y  0 ; x  K.
 Hàm số y  f ( x) nghịch biến trên K  y  0 ; x  K.
Chú ý: dấu “=” xảy ra ở một số hữu hạn điểm.
* Nhận xét:
- Hàm số đồng biến trên K , đồ thị có hướng đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến trên K , đồ thị có hướng đi xuống từ trái sang phải.
-

\  x0  để kết luận về tính đơn điệu của hàm số.

Khơng được dung kí hiệu '' '' (hợp), hay kí hiệu

1. Dạng 1. Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x) .
* Phương pháp:
- Tìm TXĐ
- Tính y’( hay f '( x) ). Tìm các giá trị xi , i  1, 2,...n làm cho y '  0 hoặc y ' không xác định.
- Lập bảng biến thiên( bảng xét dấu y ' ).
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận tính đơn điệu của hàm số.
a) Loại 1: Hàm đa thức bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d (a  0)
+) TXĐ: D 
+) y '  3ax 2  2bx  c
+) Nếu y '  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì:

. Nếu a  0 thì hàm số đồng biến trên
. Nếu a  0 thì hàm số nghịch biến trên
+) Nếu y '  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x



x1

+

y'

0



x2

-

0

+

Hàm số đồng biến trong các khoảng (; x1 ) và ( x2 ; )
Hàm số nghịch biến trong khoảng ( x1 ; x2 )
. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x

y'



x1

-

0



x2

+

0

-

Hàm số đồng biến trong khoảng ( x1 ; x2 )

Page

1

Hàm số nghịch biến trong khoảng (; x1 ) và ( x2 ; )
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y  x3  3x 2 .
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!

SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Giải:
* TXĐ: D 
x  0  y  0

* Ta có: y '  3x 2  6 x  0  
 x  2  y  4
* BBT:



x

0
+

y'

0



2
0

-

+


0
y

-4

* Kl: Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0) và (2; )
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)
Nhận xét: Nếu làm bài trắc nghiệm thì trong ví dụ trên thực chất ta chỉ cần lập( kẻ) trục xét dấu như sau là
đủ để kết luận về tính đơn điệu của hàm số, cũng chưa cần tính giá trị của y tại các nghiệm của y ' ( đó là
cực trị sẽ học ở bài sau).



x

0
+

y'

0



2
0

-

+

Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y   x3  x 2  x .
Giải:
* TXĐ: D 
* Ta có: y '  3x 2  2 x  1
* Vì y '  0 vô nghiệm và a  3  0 nên hàm số nghịch biến

hay (; )

Bài tập trắc nghiệm:

Câu 1. Hỏi hàm số y

1
3

x3

A. (; 1)

x2

3x

5

3
B. (1;3)

nghịch biến trên khoảng nào?
C. (3; )

Câu 2. Hàm số y   x3  3x 2  1 nghịch biến trên bao nhiêu khoảng?
A. 0
B. 1
C. 2
3
2
Câu 3. Hàm số y   x  3x  4 đồng biến trên khoảng nào?
A.  ;0 

B.  2;  

C.  0; 2 

D. (; )
D. 3
D. 1; 2 

Câu 4. Hàm số y  x3  3x 2  4 nghịch biến khi x thuộc khoảng nào sau đây?
A. (2; 0)
B. (3;0)
C. (; 2)
Câu 5. Cho hàm số f ( x)  x3  x 2  2 . Khoảng nghịch biến của hàm số là:

Page

2

2
;0)
3
Câu 6. Các khoảng nghịch biến của hàm số y   x3  3x 2  5 là:
2
)
3

A. (-1;1)

B. (0;

A.  ;1 va  2;  

B.  0; 2 

D. (0; )

C. (

D. (1;  )

C.  2;  

D.

Câu 7. Hàm số y   x3  3x 2  5 đồng biến trên các khoảng:
A.  ;1

B.  0; 2 

C.  2;  

D.

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Câu 8. Các khoảng nghịch biến của hàm số y  x3  3x  1 là:
A.  ; 1

B. 1;  

C.  1;1

D.  0;1

Câu 9. Các khoảng đồng biến của hàm số y  2 x3  6 x là:
A.  ; 1 va 1;  
B.  1;1

C.  1;1

D.  0;1

Câu 10. Các khoảng đồng biến của hàm số y  2 x3  3x 2  1 là:
A.  ;0  va 1;  

B.  0;1

C.  1;1

D.

Câu 11. Các khoảng nghịch biến của hàm số y   x3  3x 2  1 là:
A.  ;0  va  2;  

B.  0; 2 

C.  0; 2

D.

Câu 12. Các khoảng đồng biến của hàm số y  x3  5 x 2  7 x  3 là:
A.  ;1 va  ;  
B. 1; 7 
C.  5;7
3

 3
Câu 13. Các khoảng nghịch biến của hàm số y  3x  4 x3 là:

D.  7;3

7

1
1
A.  ;   va  ;  


2

2



1 1
B.   ; 
 2 2

1
D.  ;  

1
C.  ;  


2

2



Câu 14. Cho hàm số y  x  3x  2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
3

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0) và nghịch biến trên khoảng (0; ) .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (; ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (;0) và đồng biến trên khoảng (0; ) .
Câu 15. Hàm số y  x3  3x  1 có các khoảng đồng biến là:
A. (; )

B. (; 4) vµ (0; )

C. 1;3 

D. (;1) vµ (3; )

Câu 16. Các khoảng nghịch biến của hàm số y   x3  x 2  3x  1 là:
A.  ;1 va  2;  

B.  0; 2 

1
Câu 17. Hàm số y  x3  x 2  10 x đồng biến trên khoảng nào?
3
A.  0; 2 

B.

C.  2;  

D.

C.  ;1

D.  2;  

C.  ;  

D.  3;  

Câu 18. Hàm số y  x3  3x 2  9 x đồng biến trên khoảng nào?
A.  1;3

B.  3;1

1
Câu 19. Hàm số y   x3  2 x 2  4 x  1 nghịch biến trên khoảng nào?
3
A.  ;  
B. 1;  
C.  ; 1 và  3;  

D. 1; 3 

Câu 20. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (; )

x 1

B. y  x3  x
x3
Câu 21. Hàm số nào dưới đây thì đồng biến trên toàn trục số?
A. y  x3  3x 2  1
B. y   x3  x 2
A. y 

C. y 

x 1
x2

C. y  x3  x  1

D. y   x3  3x
D. y  2 x3  3x 2

Page

3

Câu 22. Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  1;3 ?
A. y 

3x  2
.
x 1

1
B. y   x3  x 2  3x  2.

3

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

C. y   x 4  8 x 2  2.
D. y  x 4  2 x 2  3.
Câu 23. Hàm số nào dưới đây thì nghịch biến trên tồn trục số?
A. y  x 3

B. y  x3  3x 2

D. y   x3  3x 2  3x  2

C. y   x3  3x  1

Câu 24. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1;1) ?
A. y  x3  3x

1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A B C B C

B. y   x3  3x

9

A

C. y  x 4  3x 2  2

D. y 

x 1
x 1

ĐÁP ÁN
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
A A A A C A D B C A B C B D B

b) Loại 2: Hàm đa thức bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c(a  0)
+) TXĐ: D 
+) y '  4ax3  2bx  2 x(2ax 2  b)
x  0
y '  0   2 b
x 
(*)
2a

+) Nếu b  0 thì pt(*) có nghiệm x  0 hoặc nếu a và b cùng dấu thì Pt(*) vơ nghiệm. Suy ra Pt
y '  0 có nghiệm duy nhất x  0 .

. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x

y'
-

0
0

. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x

y'
+

0
0



+


-

x  0
+) Nếu nếu a và b trái dấu thì y '  0 có 3 nghiệm phân biệt 
 x   b

2a
. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x
b
b



0

2a
2a
y'
+
+
0
0 0
. Nếu a  0  bảng biến thiên:
x
b


2a
y'
+
0

0
0

+

b
2a
0



-

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x 4  2 x 2  3 .

Page

4

Giải:
* TXĐ: D 
x  0
y  3

* Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2  1)  0  
 x  1  y  2
* BBT:
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

x
y'

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số



-1
0

-

0
0

+



1
0

-



+


3

y

2
2
* Kl: Hàm số đồng biến trên các khoảng (1;0) và (1; )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 1) và (0;1)

Nhận xét: - Các em chỉ cần xét dấu 1 khoảng bất kì, các khoảng còn lại sẽ đan xen dấu.
- Dấu của y ' ở khoảng ngồi cùng (1; ) ln cùng dấu với hệ số a .
Ví dụ 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y   x 4  2 x 2  3 .
Giải:
* TXĐ: D 
* Ta có: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2  1)  0  x  0  y  3
* BBT:
x
y'



0
0

+



-

-3
y



* Kl: Hàm số đồng biến trên các khoảng (;0)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; )
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Hàm số y   x 4  4 x 2  1 nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây?





A.  3;0 ;

2;





B.  2; 2





C. ( 2; )

Câu 2. Hàm số y   x 4  2 x 2  1 đồng biến trên bao nhiêu khoảng?
A. 0
B. 1
C. 2
Câu 3. Các khoảng nghịch biến của hàm số y  

1 4
x  2x 2  5 .
4

B.  1; 0  và (1; )

C.  0; 2 

A. (1;0)

 

D.  2;0 va

2; 



D. 3

D. (; 1) và (1; )

Câu 4. Hàm số y  x 4  2 x 2  1 đồng biến trên khoảng nào?
A.  1;0 

B. 1;  

C.  1;0  và 1;  

D. x 

1
3

Câu 5. Các khoảng đồng biến của hàm số y   x 4  x 2  1 là:
4
2
C. (; 

3
)
2

1 4
2
Câu 6. Hàm số y   x  2 x  3 nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
4
A.  ;0 
B.  0; 2 
C.  2; 

D.

D.  0; 

Page

5

A. (;  3) và (0; 3) . B. ( 3;0) và ( 3; )

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

1
Câu 7. Hàm số y  x 4  2 x 2  1 nghịch biến trong khoảng nào sau đây:
4
A.  ;0 
B. (0; 2)
C.  2;  

D.  0;  

Câu 8. Hỏi hàm số y  4 x 4  3 nghịch biến trên khoảng nào?
A.  ;0 

B.  0;  

 1

C.   ;  
 2


D.  ; 5 

 1

C.   ;  

 2


D.  0;  

Câu 9. Hỏi hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào ?
1

A.  ;  
2

ĐÁP ÁN
1 2 3
D C B

B.  ;0 

4
C

5
A

6
D

7
A

8

A

9
B

c) Loại 3. Hàm phân thức hữu tỉ nhất biến y 

ax  b
(ad  bc  0)
cx  d

 d
\  
 c
ad  bc
M
+) Ta có y ' 

2
(cx  d )
(cx  d )2

+) TXĐ: D 

d
d
+) Nếu M  0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng của TXĐ là (;  ) và ( ; )
c
c
d

d
Nếu M  0 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng của TXĐ là (;  ) và ( ; )
c
c
d
d
Chú ý: Nếu nói hàm số ln đồng biến(nghịch biến) trên \{  } hoặc x   là sai bản chất của
c
c
vấn đề.
2 x  3
.
Ví dụ. Xét tính đơn điệu của hàm số y 
x 1

Giải:
\ 1

* TXĐ: D 
* Ta có: y ' 

(2).1  (3).1
1

 0, x  1
2
( x  1)
( x  1)2

* BBT:

x
y'





-1
+

+


-2

y

-2



Page

6

* Kl: Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; )
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Cho sàm số y 

2x  1

(C) Chọn phát biểu đúng?
x 1

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

A. Hàm số nghịch biến trên
B. Hàm số đồng biến trên

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

\ 1

\ 1

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; 1) và (1; +)
x2
nghịch biến trên các khoảng:
x 1
A.  ;1 va 1;  
B. 1;  
C.  1;  

Câu 2. Hàm số y 

Câu 3. Hàm số y 

A.

D.

2x  5
đồng biến trên khoảng:
x3
B.  ;3
C.  3;  

Câu 4. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y 
A. Hàm số luôn nghịch biến trên R \ 1

\ 1

D.

\ 3

2x 1
là đúng?
x 1

B. Hàm số luôn nghịch biến trên  ;1 và 1;  
C. Hàm số luôn đồng biến trên

\ 1

D. Hàm số luôn đồng biến trên  ;1 và 1;  

x 1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên \ 1

Câu 5. Cho hàm số y 

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) và (1; )
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1) và nghịch biến trên khoảng (1; )
D. Hàm số nghịch biến trên
2x  1
Câu 6. Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
x 1
A. Hàm số đồng biến trên tập xác định
B. Hàm số đồng biến trên (-∞; - 1) và (1; )
C. Hàm số nghịch biến trên tập xác định
D. Hàm số nghịch biến trên (-∞; -1) và (1; )
Câu 7. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định của nó?
2x 1
x  5
A. y 
B. y 
C. y  x 4  2 x 2  5.
D. y  x3  2 x 2  5 x  1.
.
.
x 1
x2
ĐÁP ÁN:

1 2 3 4 5
6
7
A C C B B B
A
d) Loại 4. Hàm số khác

x2
đồng biến trên các khoảng nào dưới đây?
1 x
A. (;1) và 1; 2 
B. (;1) và (2; )

Page

7

Câu 1. Hàm số y 

C.  0;1 và 1; 2 

D. (;1) và (1; )

Giải:
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

\ 1

‫٭‬TXĐ: D 

( x 2 ) '(1  x)  x 2 (1  x) ' 2 x(1  x)  x 2 (1)  x 2  2 x


(1  x)2
(1  x)2
(1  x)2

‫٭‬Ta có: y ' 

x  0
y '  o   x2  2x  0  
x  2

‫٭‬BBT



x
y'

-

0
0 +

1
+



2
0

-

Chọn đáp án C

x2  8x  7
Câu 2. Hàm số y 
đồng biến trên khoảng nào?
x2  1
1
1
A. (-  ;  )
B. ( 2 ; +  )
C. (-2;  )
2
2
Giải:
* TXĐ: D 

1
D. (-  ;  ) và ( 2 ; +  )
2

1

2 x 2  3x  2
2
x   2
;
y
'

0

2
x

3
x

2

0


( x 2  1) 2
x  2

* Ta có y ' 
* BBT:

x




+

y'

1
2
0



2
-

0

+

* Chọn đáp án D
x
Câu 3. Hàm số y 
nghịch biến trên khoảng nào?
2
x x
A. (-1; +∞)
B. (0; 1)
C. [1; +∞)

Giải:
x  0
 D  (;0)  (1; )
* TXĐ: x 2  x  0  
x  1

D. (1; +∞)

2x 1

1. x 2  x  x.

x
1
2 x2  x 

2
2
2
x x
2( x  x) x  x 2( x  1) x 2  x

* Ta có: y ' 
* BBT:



x
y'

0



1

+

-

* Chọn đáp án D
Câu 4. Hàm số y  x  2  4  x nghịch biến trên:

Page

8

A. (3; 4)

B. (2;3)

C. ( 2;3)

D. (2; 4)

Giải:
* TXĐ: D   2; 4
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

1
1
* Ta có: y ' 

2 x2 2 4 x
y'  0  x2  4 x  x2  4 x  x  3
* BBT:
x
y'



2

3
+

4

0
2



-

y

2

2

* Chọn đáp án A
Câu 5. Cho hàm số y  3x 2  x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2 
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  ;  2;3
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3 
Giải:

* TXĐ: 3x 2  x3  0  x 2 (3  x)  0  x  3  D   ;3
* Ta có: y ' 

x  0
; y '  0  6 x  3x 2  
2 3x  x
x  2
6 x  3x 2
2

3

* BBT:
x
y'



0
-

+

2
0

3
-

2
y

0
* Chọn đáp án B
Câu 6. Hàm số y  sin x  x :
A. Đồng biến trên

B. Đồng biến trên  ;0 

C. Nghịch biến trên

D. Nghịch biến trên  ;0  và đồng biến trên  0;  

Giải:
* TXĐ: D 

* Ta có: y '  cosx  1  0x 
Suy ra hàm số nghịch biến trên
* Chọn đáp án C
Câu 7. Cho hàm số sinx  cosx  3x . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số nghịch biến trên (;0)
B. Hàm số nghịch biến trên (1;2)
D. Hàm số đồng biến trên (; )

C. Hàm số là hàm số lẻ

Page

9

Giải:
* TXĐ: D 





* Ta có y '  cosx  sinx  3  2sin( x  )  3  0 vì  2  2sin( x  )  2, x 
4
4
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên
* Chọn đáp án D
x
Câu 8. Cho hàm số y   sin2 x, x  0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2
 7 11 
 7   11 
; 
;
A.  0;
B. 
 và 

 12   12

 12 12 
 7   7 11 
;
C.  0;
 và 

 12   12 12 
Giải:
* TXĐ: D 

 7 11
;
D. 

 12 12

  11 
 và  12 ;  
 


7

 x  12
1
1

  0;  
* Ta có: y '   sin 2 x  0  sin 2 x    sin( )  
2
2
6
 x  11

12
* BBT:
x
7
11

0
12
12
+

0
0
+
y'
* Chọn đáp án A
Câu 9. Cho các hàm số sau:
1
(I) : y  x3  x 2  3x  4
3
(IV) : y  x3  4 x  sin x

x 1
(III) : y  x 2  4
x 1
(V) : y  x 4  x 2  2
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2
B. 4
C. 3
D. 5
Giải:
* Loại hàm (V) vì hàm bậc 4 trùng phương không thể luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
TXĐ của nó.
* Xét hàm (I): y '  x 2  2 x  3 , y '  0 vô nghiệm và a  1  0 nên hàm số đồng biến trên .
(II) : y 

2
 0, x  1 nên hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
( x  1)2
2x

* Xét hàm (III): y ' 
 0x  0 nên hàm số chỉ đồng biến trên (0; ) .
2 x2  4
* Xét hàm (II): y ' 

* Xét hàm (IV): y '  3x 2  4  cosx  0x bên hàm số đồng biến trên

.

Vậy có hàm (I), (II), (IV) thỏa mãn yêu cầu. Chọn đáp án C
Câu 10. Cho các hàm số sau:
(I) : y   x3  3x 2  3x  1
(II) : y  sin x  2 x

(IV) : y 

x2
1 x

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A. (I), (II)
B. (I), (II) và (III)
C. (I), (II) và (IV)
D. (II), (III)
Giải:

Page

10

(III) : y   x3  2

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

* Loại ngay hàm (III) và (IV) vì tập xác định của nó khơng phải là
đơn điệu trên toàn trục số.
* Chọn đáp án A

nên chúng không thể

2. Dạng 2. Cho biểu thức f '( x) , hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f (u( x))  v( x)
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2 ( x 2  1), x 
khoảng nào dưới đây?
A. (1;0)

B. (1; )

. Hỏi hàm số y  f ( x) đồng biến trên

C. (;1)

D. (0;1)

Giải:






x  0
Ta có f '( x)  0  x 2 ( x 2  1)  0  
 x  1
BXD
x
-1

+
x2

0
0

+

x2  1

+

0

-

f '( x)  x 2 ( x 2  1)

+

0

-



1
+

0

+

-

0

+

-

0

+

Từ BXD suy ra hàm số đồng biến trên (1; ) , Chọn B

Nhận xét: Vì x 2 là mũ chẵn( nghiệm kép) nên nó khơng làm thay đổi dấu của đạo hàm nên ta chỉ cần bảng

xét dấu như sau:
x

-1
1

+
0
0
+
f '( x)
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2019 ( x 2020 1), x 
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0;1)

. Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch

C. (1;1)

B. (;0)

D. (1; )

Giải:


Ta có f '( x)  0  x



BXD
x

x

2019

(x

2020

 x 2019  0
x  0
1)  0   2020

1  0  x  1
 x



2019

x 2020  1
f '( x)

-

-

+

0

-

-

0

+

0
0



1
+

0

+

-

0

+

-

0

+

Từ BXD suy ra hàm số nghịch biến trên (0;1) , Chọn A

Nhận xét: Bảng xét dấu thu gọn( khoảng ngồi cùng ln dương)
x
-1
0

f '( x)
0
+
0
-

1
0

Câu 3. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  ( x  2)( x 2  4), x 

. Hỏi hàm số y  f ( x)  2019

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; )
B. (2; )

C. (; 2)



+

D. (1; )

Giải:

Page

11



-1

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12




Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

x  2
Ta có y '  f '( x)  ( x  2)( x 2  4); f '( x)  0  ( x  2)( x 2  4)  0  

 x  2
BXD
x

-2
2

0
+
x2

x2  4
y'


+

0

-

0

+

-

0

+

0

+

Từ BXD suy ra hàm số nghịch biến trên (; 2) , Chọn C

Nhận xét: Ta có f '( x)  ( x  2)( x 2  4)  ( x  2)2 ( x  2) . Nghiệm x  2 là nghiệm kép( mũ chẵn) nên ta có
bxd:



x
f '( x)



-2
0

-

+

Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  (3  x)( x 2  1)  2 x, x 

. Hỏi hàm số

g ( x)  f ( x)  x 2  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (;1)

B. (3; )

C. (1;0)

D. (1;3)

Giải:



x  3
Ta có g '( x)  f '( x)  2 x  (3  x)( x 2  1); g '( x)  0  (3  x)( x 2  1)  0  
 x  1
BXD
x

-1
1
3

+
+
+
0
3 x
2
+
0

0
+
+
x 1

+

g '( x)



0

-

0

+

0

-

Từ BXD suy ra hàm số đồng biến trên (1;3) thỏa mãn, Chọn D

Câu 5. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  2 x, x 
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (;1)

B. (2; 4)

. Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1)  3x  1 đồng

C. (4; )

D. (1;0)

Giải:
Nhắc lại đạo hàm của hàm hợp:  f (u ) '  u '. f '(u )


Ta có g '( x)   f ( x  1) ' (3x) ' 1'  ( x  1) ' f '( x  1)  3  f '( x  1)  3
 ( x  1)2  2( x  1)  3  x 2  4
g '( x)  0  x 2  4  0  x  2



BXD
x
g '( x)




+

-2
0

-



2
0

+

Từ BXD suy ra hàm số đồng biến trên (4; )  (2; ) thỏa mãn, Chọn C

(Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì nó sẽ đồng biến(nghịch biến) trên mọi khoảng con

Page

12

của nó)
Câu 6. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2 ( x  1), x 
biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1;1)

B. (2;0)

. Hỏi hàm số g ( x)  f ( x 2 )  2 nghịch

C. (2;3)

D. (3; )

Giải:

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12



Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Ta có g '( x)   f ( x )  ' 2 '  ( x ) ' f '( x )  2 x. f '( x )  2 x.x ( x 2  1)
2

2

2

2

4

g '( x)  0  2 x.x 4 ( x 2  1)  0  x  0



BXD
x
g '( x)







0
0

-

+

Từ BXD suy ra hàm số nghịch biến trên (2;0) thỏa mãn, Chọn B

Câu 7. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  1, x 
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (3; 2)
B. (2; 1)

. Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1)  2 x  3

C. (1; 2)

D. (2; )

Giải: Chọn B
 Ta có g '( x)   f ( x  1) ' (2 x) ' 3'  ( x  1) ' f '( x  1)  2  f '( x  1)  2
 ( x  1)2  1  2  x 2  2 x

x  0

g '( x)  0  x 2  2 x  0  
 x  2



BXD
x
g '( x)




+

-2
0

-

0
0



+

Từ BXD suy ra hàm số nghịch biến trên (2; 1) thỏa mãn, Chọn B

Câu 8. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  ( x  3)(9  x 2 )  3x 2 , x  . Đặt g ( x)  f ( x)  x3  1 ,
khẳng định nào sau đây là đúng?

A. g (0)  g(1)
B. g (3)  g(4)
C. g (2)  g(3)
D. g (3)  g(3)
Giải:
Cần nhớ:
Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì x1 , x2  (a; b) mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
Nếu hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng (a; b) thì x1 , x2  (a; b) mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )



x  3
Ta có g '( x)  f '( x)  3x 2  ( x  3)(9  x 2 ); g '( x)  0  ( x  3) 2 (3  x)  0  
 x  3
BXD
x

3

+
0
g '( x)

g ( x)



Từ BXD suy ra:
o Hàm số đồng biến trên (;3) nên g (0)  g(1) , g (2)  g(3) , g (3)  g(3)

Page

13

o Hàm số nghịch trên (3; ) nên g (3)  g(4) , Chọn A
Câu 9. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  x 2  4 x  2019, x  . Đặt g ( x)  f ( x)  2919 x , khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. g (0)  g(1)
B. g (0)  g(1)
C. g (4)  g(5)
D. g (3)  g(0)
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Giải:



x  0
Ta có g '( x)  f '( x)  2019  x 2  4 x; g '( x)  0  x 2  4 x  0  
x  4
BXD
x

0

4

+
0
0
+
g '( x)

g ( x)



Từ BXD suy ra:
o Hàm số đồng biến trên (;0) nên g (3)  g(0)
o Hàm số nghịch biến trên (0; 4) nên g (0)  g(1)
o Hàm số đồng biến trên (4; ) nên g (4)  g(5)
Chọn B

3. Dạng 3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên
Loại 1. Cho bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x)
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'


+

-2
0

-

0
0

+

3

2
0



-

3

y

-1

Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2;0)
B. (; 2)
C. (0; 2)
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
-1
0


0
+
0
y'



D. (0; )
1
0



+


3

y

-2
Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B. (;0)

A. (0;1)

-2

C. (1; )

D. (1;0)

Câu 3. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'


+

-1
0

-

1
0

3



+


Page

14

y

-2

Hỏi hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

A. (1; )

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

C. (1;1)

B. (1; )

D. (;1)

Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'



-2
0

-

+





3
0

-

4

y



1
Hỏi hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; )

B. (2;3)

Câu 5. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
x
y'



C. (3; )

\{0} có bảng biến thiên như sau:

-1
0

+

D. (; 2)

0
-

2
0

-



+



-4



y

2


Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (; 1)  (2; )
B. (; 1)va(2; )
C. (1;0)va(0; 2)
D. (; 4)va(2; )
Câu 6. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên \{-1;0} có bảng biến thiên như sau:
x
-1
0
4

+
0
y'
 





+


y

0



Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (; 1)  (0; )
B. (; 1)va(4; )
D. (; ) \ 1;0

C. (; )
Câu 7. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
x
y'

\{-1;0} có bảng biến thiên như sau:





1
+

+


2

2

y

2

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (;1)  (1; )
B. Hàm số đồng biến trên (; 2)  (2; )

Page

15

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (;1) và (1; )
D. Hàm số đồng biến trên
Câu 8. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên

\ 1

\{1} có bảng biến thiên như sau:

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số



x
y'

-1
0

-

1
+

+

1



3
0

2

-

5

y

-1

2

4

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (2;1),(1;3)
B. Hàm số đồng biến trên (1; 2)  (2;5)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 1) và (3; )
D. Hàm số đồng biến trên (1;1),(4;5)
Câu 9. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'

2

3
0

+

4
-

2
y

2
Hỏi hàm số y  f ( x) đồng bến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 2; 2)

2

C. (3; )

B. (2;3)

D. (;3)

Câu 10. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:



x
y'

-4
0

-

0
0

+



-

4
0



+


2

y

1

1

Khẳng định nào sau đây là sai?

1
B. f ( )  f (0)
2

A. f ( x)  1, x 
ĐÁP ÁN:
1 2
A A

3
B

4
B

5
C

6
B

7
C

8
C

9
B

C. f (1)  f (0)

D. f (1)  f (2)

10
C

Loại 2. Cho bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f (u ( x))  v( x)
Câu 1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
x



0
+

y'

có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

0

-

4
3
0



+


1

Page

16

y



5
27

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
7
B. (1; )
3

4
A. (0; )
3

7
C. ( ; )
3

4
D. ( ; )
3

Giải:
 Ta có g '( x)   f ( x  1) '  ( x  1) ' f '( x  1)  f '( x  1)


Dựa vào BBT ta có: f '( x)  0  0  x 

4
3

 g '( x)  f '( x  1)  0  0  x  1 

4
7
1 x 
3
3

7
Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên (1; ) , Chọn B
3
Câu 2. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
có bảng biến thiên như hình vẽ sau:



x
y'



-1
0

+



2
0

-

+


3
y

-6

Hỏi hàm số g ( x)  f (3  x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 2)

B. (;1),(4; )

D. (6; 3)

C. (1;4)

Giải:
# Cách 1:
 Ta có g '( x)   f (3  x) '  (3  x) ' f '(3  x)   f '(3  x)


Dựa vào BBT ta có: f '( x)  0  1  x  2
 g '( x)   f '(3  x)  0  f '(3  x)  0  1  3  x  2  1  x  4



Vậy hàm số g ( x) đồng biến trên (1;4) , Chọn C

# Cách 2:
 Ta có: f '( x)  ( x  1)( x  2)
g '( x)   f '(3  x)  (4  x)(1  x)



BXD
x
g '( x)



1
0

-



4
0

+

-

Suy ra hàm số g ( x) đòng biến trên khoảng (1;4)
Câu 3. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
x
y'


+

có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
0
0

-

2
0



+


1

Page

17

y

-1

2
Hỏi hàm số g ( x)  f ( x )  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (2; )

B. (2;1)

C. (1;2)

D. (;0)

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Giải:
 Ta có: f '( x)  x( x  2)
g '( x)   f ( x 2 )  ' 1'  ( x 2 ) ' f '( x 2 )  2 xf '( x 2 )  2 x.x 2 ( x 2  2)



BXD

x

 2
0


-

g '( x)

0
0

+

-

2
0



+

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng ( 2; )  đồng biến trên khoảng (2; ) , Chọn A
Câu 4. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
y'



-1
0

-

0
0

+





1
0

-

+


0

y

-2

-2

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x 2  1)  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; )

B. (; )

C. (;1)

D. (;0)

Giải:
 Ta có: f '( x)  x( x  1)( x  1)
g '( x)   f ( x 2  1)  ' 2 '  ( x 2 ) ' f '( x 2  1)  2 xf '( x 2  1)  2 x.( x 2  1)( x 2  2) x 2



BXD
x
g '( x)





0
0

-

+

Suy ra hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (;0) , Chọn D
Câu 5. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên
x
y'



có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
0
0

-

2
0

+





-

4

y



Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm số g ( x)  f ( x 2  2 x  2) ?
0

A. Hàm số g ( x) đồng biến trong khoảng (;0)
B. Hàm số g ( x) nghịch biến trong khoảng (1; )
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trong khoảng (1;2)
D. Hàm số g ( x) đồng biến trong khoảng (; 2)
Giải:
 Ta có: f '( x)   x( x  2)
g '( x)  (2 x  2) f '( x 2  2 x  2)  (2 x  2).( x 2  2 x  2)( x 2  2 x)

Page

18



BXD
x
g '( x)


+

0
0

-

1

0

+

2
0



-

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (;0) , Chọn A

3. Dạng 3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị của nó
Loại 1. Cho đồ của hàm số y  f ( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x)
# Cần nhớ:
Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị của nó đi lên( từ trái sang phải) thì hàm số đồng biến trên (a; b)
Nếu trên khoảng (a; b) đồ thị của nó đi xuống( từ trái sang phải) thì hàm số nghịch biến trên (a; b)
y

Câu 1. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên
và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

3

A. (1;1)
B. (2; )

1
-1

C. (;3),(1; )

O

x

-1

D. (; 1), (1; )
Câu 2. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ.

y
4

Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (1;4)
B. (0; )
-1 O

C. (1;1)

1

x

1

x

1

x

D. (; 1), (1; )
Câu 3. Hàm số bậc bốn y  f ( x) xác định trên

y

và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (1; 2),(1; )

2

B. (; 1)
-1

C. (1;0), (1; )
D. (2; )

O

y

Câu 4. Hàm số bậc bốn y  f ( x) xác định trên
và có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

4
3

A. (;1), (0;1)
B. (; 1),(3; )
C. (; 1), (1; )

-1
4

D. (; 1), (0;1)
Câu 5. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

O

y
và có đồ thị như hình vẽ.

Page

19

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên
B. Hàm số nghịch biến trên

O

1

x

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

C. Hàm số đồng biến trên (1;4)
D. Hàm số đồng biến trên (;1)
Câu 6. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

y

và có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (3;1)

1
-1

B. Hàm số nghịch biến trên (; 1), (1; )

O

x

1

C. Hàm số nghịch biến trên (1;1)
D. Hàm số đồng biến trên (3;1)

-3

Câu 7. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

và có đồ thị như hình vẽ.

y

5

A. Hàm số đồng biến trên (;1)
B. Hàm số đồng biến trên (3; )
1

C. Hàm số nghịch biến trên (1;3)

O

D. Hàm số nghịch biến trên (3;5)
Câu 8. Hàm số y  f ( x) xác định trên

x

3

1

y

\ 1 và có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (;1), ((1; )
B. Hàm số đồng biến trên

1

O

x

C. Hàm số nghịch biến trên
D. Hàm số nghịch biến trên (;1), ((1; )

Câu 9. Hàm số y  f ( x) xác định trên

\ 1 và có đồ thị như hình vẽ.

y

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (;1), ((1; )
B. Hàm số đồng biến trên
1

O

C. Hàm số nghịch biến trên

x

D. Hàm số nghịch biến trên (;1), ((1; )
ĐÁP ÁN:
1
D

2
C

3
C

4
C

5
A

6
B

7
D

8
D

9
A

Loại 2. Cho đồ của hàm số y  f ( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số g ( x)  f (u( x))  v( x)
y
Câu 1. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên
và có đồ thị như hình vẽ.

Page

20

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

Giải:

A. (0; 2)

B. (2; 4)

C. (;0)

D. (2; )

1

O

1

3

x

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12



Ta có g '( x)   f ( x  1)  '  ( x  1) ' f '( x  1)  f '( x  1)



Dựa vào đồ thị ta có: f '( x)  0  1  x  3

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

 g '( x)  f '( x  1)  0  1  x  1  3  0  x  2



Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên (0; 2)

Chọn A
Câu 2. Hàm số bậc bốn y  f ( x) xác định trên

y

và có đồ thị như hình vẽ.

3

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (;  2)
B. ( 2; )
C. (0; )

-

2 x

O

2

D. (;0)
Giải:


Ta có g '( x)   f '( x)



Dựa vào BBT ta có: f '( x)  0  x  0
 g '( x)   f '( x)  0  f '( x)  0   x  0  x  0



Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên (0; ) , Chọn C

Câu 3. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

y

và có đồ thị như hình vẽ.

3

Hỏi hàm số g ( x)  f (3  x) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (1; 2)

2
-1

x

O

B. (1;4)
C. (;1),(4; )
D. (6; 3)
Giải:

-6



Ta có g '( x)   f '(3  x)



Dựa vào BBT ta có: f '( x)  0  1  x  2

 g '( x)   f '(3  x)  0  f '(3  x)  0  1  3  x  2  1  x  4


Vậy hàm số g ( x) nghịch biến trên (1;4) , Chọn B

Câu 4. Hàm số bậc hai y  f ( x) xác định trên

y

và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x 2  5) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (2;0)
-1
B. (0; 2)

O

C. (; 2)

x
-2

D. (1; )

Page

21

Giải:


Ta có: f '( x)  x  1
g '( x)  2 xf '( x 2  5)  2 x( x 2  4)



BXD

Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039

Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số



x
g '( x)

-2
0

-

0
0

+



2
0

-

+

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (2;0) , Chọn A
Câu 5. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ.

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x 2  2 x) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
y
A. (1; 1  2)
B. (1  2; 1  2)

1
-1

C. (1  2; )

O

x

1

D. (; 1)
-3

Giải:


Ta có: f '( x)  ( x  1)( x  1)
g '( x)  (2 x  2) f '( x 2  2 x)  (2 x  2)( x 2  2 x  1)( x 2  2 x  1)  2( x  1)3 ( x 2  2 x  1)



BXD



x

g '( x)

1  2
+
0

-1
0

-

1  2
+
0



-

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (1; 1  2) , Chọn A
Câu 6. Hàm số bậc bốn y  f ( x) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ.
y

Hỏi hàm số g ( x)  f ( x  1) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
2

4

A. (1; )

3

B. (; 1)
C. (;0)
O

-1

D. (0; )

x

1

Giải:


Ta có: f '( x)   x( x 2  1)
g '( x)  2 xf '( x 2  1)  2 x  ( x 2  1)[( x 2  1) 2  1]

 2 x( x 2  1)( x 4  2 x 2 )  2 x3 ( x 2  1)( x 2  2)



BXD
x
g '( x)


+

0
0



-

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (;0) , Chọn C
Câu 7. Hàm số bậc ba y  f ( x) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm

y
4

số g ( x)  f ( x  2 x  2) ?
2

Page

22

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (;0)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; )

O

2

x

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;2)
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 2)

Giải:


Ta có: f '( x)   x( x  2)
g '( x)  (2 x  2) f '( x 2  2 x  2)  (2 x  2)( x 2  2 x  2)( x 2  2 x)



BXD
x
g '( x)



0
0

+

1
0

-

+



2
0

-

Suy ra hàm số g ( x) đồng biến trên khoảng (;0) , Chọn A
Câu 8. Hàm số bậc bốn y  f ( x) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai khi nói về tính đơn điệu của hàm
y

số g ( x)  f (2 x 2  1) ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (; 

2
)
2

2
1

2
;1)
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (
2

-1

O

x

1

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; )
Giải:



Ta có: f '( x)  x( x 2  1)

g '( x)  4 xf '(2 x2  1)  4 x (2 x2  1) (2 x2  1)2  1   4 x(2 x2  1)4 x2 ( x  1)


BXD
x

g '( x)




+

2
2
0

0
-

0

+

2
2

0



1
-

0

+

Suy ra hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (0;1) là khẳng định sai, Chọn C

4. Dạng 4. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x)
# Cần nhớ:
Nếu đồ thị của hàm số f '( x) nằm phía trên trục Ox, x  (a; b) thì f '( x)  0, x  (a; b) .
Nếu đồ thị của hàm số f '( x) nằm phía trên trục Ox, x  (a; b) thì f '( x)  0, x  (a; b) .
Loại 1. Cho đồ của hàm số y  f '( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x)
y
Câu 1. Hàm số bậc ba y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (1; )

Page

23

B. (1;1)

-1

O

1

2

x

C. (; 1), (1; 2)
D. (0;1)
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

Giải:


 x  1
Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  
1  x  2



Suy ra hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng (; 1), (1; 2) , Chọn C

Câu 2. Hàm số bậc ba y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.

y

Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (1; )
B. (; 1)
C. (1;1)

-1

O

x

1

D. (0;1)
Giải:


Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  x  1



Suy ra hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng (; 1) , Chọn C

Câu 3. Hàm số bậc hai y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.

y

Hỏi hàm số y  f ( x) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (;1)  (3; )

1

B. (;1), (3; )

1

O

3

2

C. (1;3)

x

D. (; 2)
Giải:


Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  1  x  3



Suy ra hàm số y  f ( x) đồng biến trên các khoảng (1;3) , Chọn C

Câu 4. Hàm số bậc bốn y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.

y

Hỏi hàm số y  f ( x) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?
A. (2; 2)
B. (; 2), (1; 2)
C. (; 2), (0;1)

-2

-1

2

1

O

x

D. (2; 1),(1;2)
Giải:



y
 2  x  1
Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  
1  x  2

Suy ra hàm số y  f ( x) nghịch biến trên các khoảng (2; 1),(1;2) , Chọn D

Câu 5. Hàm số bậc ba y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây

Page

24

là khẳng định đúng về sự biến thiên của hàm số (C ) : y  f ( x) ?

-1

O

1

2

x

A. Hàm số (C ) đồng biến trong khoảng (;0), (2; )
B. Hàm số (C ) nghịch biến trong khoảng (1;2)
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />

Tài liệu ơn thi THPTQG mơn Tốn 12

Chủ đề: Tính đơn điệu của hàm số

C. Hàm số (C ) nghịch biến trong khoảng (1;1)
D. Hàm số (C ) đồng biến trong khoảng (1; 2)

Loại 2. Cho đồ của hàm số y  f '( x) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số y  f (u( x))
y

Câu 1. Hàm số bậc ba y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
g ( x)  f ( x  2) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

A. (;0)

1

-2

B. (; 1), (1; )

O

x

C. (; 4)
D. (; 2)
Giải:
# Cách 1:
 Ta có: g '( x)  f '( x  2)


Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  x  2



Hàm số g ( x) đồng biến  g '( x)  f '( x  2)  0  x  2  2  x  4



Vậy g ( x) đồng biến (; 4) , Chọn C

# Cách 2:
 Giả sử f '( x)  ( x  2)

 g '( x)  f '( x  2)  ( x  4)


BXD
x
g '( x)




+

-4
0



-

Vậy g ( x) đồng biến (; 4)

Câu 2. Hàm số bậc ba y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số

y

g ( x)  f (2  x) nghịch biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

A. (1; )
B. (; 1)

1

C. (1;1)

3

O

x

D. (;1)
Giải:


Ta có: g '( x)   f '(2  x)



Dựa vào đồ thị ta thấy: f '( x)  0  x  2



Hàm số g ( x) nghịch biến  g '( x)   f '(2  x)  0  f '(2  x)  0  2  x  3  x  1



Vậy g ( x) đồng biến (; 1) , Chọn B
y

Câu 3. Hàm số bậc hai y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
g ( x)  f ( x 2  1) đồng biến trên khoảng( các khoảng) nào dưới đây?

A. (;  2)

Page

25

B. (0; 2)

-1

O

3

x

C. ( 2;0)

D. ( 2; 2)
Tài liệu biện soạn và sưu tầm có gì sai sót rất mong Q Thầy Cơ và các em HS góp ý. Trân trọng cảm ơn!
SĐT+Zalo:0989.809.039
Facebook: />