2 cuc tri người dạy toán

CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I.

LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho hàm số

•

•

y = f ( x)

xác định và liên tục trên khoảng
và
.
f ( x ) < f ( x0 )
x ∈ ( x0 − h; x0 + h )
x ≠ x0
h>0
Nếu tồn tại số
sao cho
với mọi
và
thì ta nói hàm số
f ( x)
x0
đạt cực đại tại .
f ( x ) > f ( x0 )
x ∈ ( x0 − h; x0 + h )
x ≠ x0
h>0

Nếu tồn tại số
sao cho
với mọi
và
thì ta nói hàm số

f ( x)

đạt cực tiểu tại

x0

.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số

•

f ( x)

liên tục trên

K = ( x0 − h; x0 + h)

.
x0 − h

x
f ′( x )

Nếu

f ′( x) < 0

của hàm số

trên khoảng

f ( x)

x0 + h

x0

+

−

0

f ( x0 )

f ( x)

( x0 − h; x0 )

và

f ′( x) > 0

trên

( x0 ; x0 + h)

.

x
f ′( x )
f ( x)

Chú ý:

y = f ( x)

K \{x0 }
h>0
K
và có đạo hàm trên
hoặc trên
, với
.
f '( x) > 0
( x0 − h; x0 )
( x0 ; x0 + h)
x0
f '( x) < 0
Nếu
trên khoảng
và
trên

thì
là một điểm cực đại
của hàm số

•

x0 ∈ K

K

x0 − h

−

x0 + h

x0
0

f ( x0 )

+

thì

x0

là một điểm cực tiểu

 Nếu hàm số

f ( x)

đạt cực đại (cực tiểu) tại

x0

được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu)
f ( x0 )
f CD ( fCT )
của hàm số;
được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu
,
M ( x0 ; f ( x0 ) )
còn điểm
được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
 Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn
gọi tắt là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

y = f ( x)

 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số

hoặc cực tiểu tại

x0

thì

f ' ( x0 ) = 0

thì

x0

có đạo hàm trên khoảng

K

và đạt cực đại

.

 Khi ta xét từ trái sang phải nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua

cực đại; ngược lại đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua

x0

thì

x0

x0

thì

x0

là điểm

là điểm cực tiểu.

 Ta quan sát hai đồ thị dưới đây:

f ( x)

x0

Như vậy nếu
là điểm cực trị của hàm số
II.
CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

thì

f ′ ( x0 ) = 0

hoặc

f ′ ( x0 )

khơng xác định.

DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: dùng quy tắc 1
Cách 2: dùng quy tắc 2
Ví dụ 1: Điểm cực tiểu của hàm số

A.

x=0

.

y = x3 − 3x 2 + 2

B.

x=2

.

là
C.

x = −2

.

D.

y = −2

.


Lời giải
Chọn B

Cách 1 : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 1).
Tập xác định

Ta có :

D=¡

y′ = 3 x 2 − 6 x

.

, cho

 x = 0 ⇒ y ( 0) = 2
y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
 x = 2 ⇒ y ( 2 ) = −2

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận điểm cực tiểu của hàm số là

x=2

.

Cách 2 : Trình bày tự luận (dùng quy tắc 2).
Tập xác định

D=¡

y′ = 3 x − 6 x

.

2

Ta có :
Lại có

y′′ = 6 x − 6

, cho

; với

x = 0
y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2

y′′ ( 0 ) = −6 < 0

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là
Ví dụ 2: Giả sử điểm
P = 12a + b
.

M ( a; b )

x=2

và

y′′ ( 2 ) = 6 > 0

.

.

.

là điểm cực đại của đồ thị hàm số

y = − x4 + 6 x2 − 8x + 1

. Tính


A.

P = 298

.

B.

P =1

.

C.

P = 10

.

D.

P = −23

.

Lời giải
Chọn B
Tập xác định

Ta có :

D=¡

.

y′ = −4 x3 + 12 x − 8

, cho

 x = −2 ⇒ y ( −2 ) = 25
y′ = 0 ⇔ −4 x3 + 12 x − 8 = 0 ⇔ 
 x = 1 ⇒ y ( 1) = −2

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại

Từ đó suy ra

 a = −2
⇒ P = 12a + b = 1

b = 25

Nhận xét : ở phương trình

y′ = 0

( −2; 25)

.

.

x =1

Ví dụ 3: Xét
A.

2019

.

thì hàm số
B.

2020

y = 2sin 2 x − 3

.

là kép nên

x =1

không phải là điểm cực trị
( −2;1)
y′
của hàm số. Để nhận biết nghiệm kép nhanh nhất ta tiến hành xét dấu
trong khoảng
y′ ( 0 ) = −8 < 0
bằng cách tính
.

x ∈ ( 0; 2020π )

có nghiệm

có bao nhiêu điểm cực đại ?

C.

1010

Lời giải
Chọn B

.

D.

1009

.


y ′ = 4 cos 2 x

y′ = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x =

, cho

y ′′ = −8sin 2 x

suy ra

π
π
+ k ,k ∈¢
4

2

π  −8 khi k = 2n
π
y′′  + k ÷ = 
,( n ∈¢)
2  8 khi k = 2n + 1
4
x=

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm
x ∈ ( 0; 2020π ) ⇒ 0 <

π
+ nπ , n ∈ ¢
4

y = f ( x)

f ′ ( x ) = x 2019 ( x + 1)

xác định và liên tục trên tập

2020

1
A. .

( 2 − x)
B.

2

¡

.

.

π
−1
8079
+ nπ < 2020π ⇔
4
4
4

Mà
vậy có 2020 điểm cực đại cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số

.

, do

n∈¢

suy ra

n = { 0;1;...; 2019}

và có đạo hàm

. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

3
C. .

.

D.

0

.

Lời giải
Chọn B

Ta có

 x=0
⇔  x = −1
2
 x = 2
f ′ ( x ) = x 3 ( x + 1) ( 2 − x ) = 0

Mặt khác

f ′( x)

Ví dụ 5: Cho hàm số

đổi dấu khi đi qua

y = f ( x)

x=0

. Đồ thị của hàm số

và

.

x=2

y = f ′( x)

nên hàm số có
như hình bên.

2

điểm cực trị.


Hàm số
1

A. .

y = f ( x)

có bao nhiêu điểm cực trị?
2
B. .

3
C. .

Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy:
 x < −2
1 < x < 3
f ′( x) < 0

khi
.
 −2 < x < 0
0 < x < 1

 x > 3
f ′ ( x) > 0
khi
.
f ′( x) = 0
x = { −2; 0;1;3}
khi

.
Từ đó ta vẽ bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy ra hàm số

y = f ( x)

có 3 điểm cực trị.

BÀI TẬP LUYỆN DẠNG 1
Câu 1.

Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau

D.

0

.


Hàm số có giá trị cực đại bằng
A. 4.
Câu 2.

B. 5.

C.

−3

.

[2D1-2.2-1] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số
như sau

D. 0.

y = f ( x)

có bảng biến thiên

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
x=0
x =1
B. Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại
.
0
−1
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng và giá trị nhỏ nhất bằng .
1
D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng .
Câu 3.

[2D1-2.2-1] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số
hàm như sau:

Hỏi hàm số
A.

2

.

y = f ( x)
1
B. .

y = f ( x)

liên tục trên

¡

và có bảng xét dấu đạo

có bao nhiêu điểm cực trị?

3

C. .

3

D. .


Câu 4.

[2D1-2.2-1] (Chuyên Bắc Giang) Cho hàm số
cực đại của hàm số.

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị

y

4

−2

A.
Câu 5.

yCD = 0

.

B.

yCD = − 2

.

− 2 O

2

C.

2

x

yCD = 4

.

D.

C.

xCT = −1

và

xCT = 2

.

B.

D.

xCT = −2
xCT = −1

và

xCT = 1
xCT

và

.

y = ax 4 + bx3 + cx + d

[2D1-2.2-1] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số
( a, b, c, d ∈ ¡ ; a ≠ 0 )
có đồ thị như hình vẽ bên.

Các điểm cực tiểu của hàm số là
xCT = 0
A.
.

yCD = 2

.
49
=
32

.

Câu 6.

[2D1-2.1-2] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm giá trị cực đại của hàm số
y = x3 − 3x 2 − 9 x + 1
.
−26
−20
A. 6.
B. 3.
C.
.
D.
.

Câu 7.

[2D1-2.1-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số
y = x 4 − 2 x3 + x 2 + 2
.


A.

1
2

.

1

B. .

C.

0

.

D.

2

.

y=
Câu 8.

Câu 9.

[2D1-2.1-2] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Hàm số
nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.

có bao

[2D1-2.1-2] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho hàm số
2
f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( x + 2 )
có
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
3
2
4
1
A. .
B. .
C. .
D. .

y = f ( x)

Câu 10. [2D1-2.1-2] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho
y = f ( 2 x + 1)
Khi đó số cực trị của hàm số
là
0
2
1
A. .
B. .
C. .
Câu 11.

2x + 5

x +1

có đạo hàm

f ( x)

f ' ( x ) = ( x − 2)( x − 3) 2

.

3
D. .

y = f ( x)

f ′( x)

[2D1-2.3-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ 2017] Cho hàm số
có đồ thị
của
y = f ( x)
K
K
nó trên khoảng như hình vẽ bên. Khi đó trên , hàm số
có bao nhiêu điểm cực
trị?

.
A.

2

.

B.

3

.

C.

4

.

Câu 12. [2D1-2.4-3] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho hàm số
¡

và có đồ thị hàm số

y = f ′( x)

là đường cong ở

1

D. .

y = f ( x)

xác định trên


hình bên. Hỏi hàm số

A.

6

.

y = f ( x)

B.

5

có bao nhiêu điểm cực trị ?

.

C.

4

3
D. .

.

BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 1
1.B
11.D

2.B
12.D

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.B

9.A

10.C

DẠNG 2: Hàm số đạt cực trị tại điểm cho trước.
PHƯƠNG PHÁP:
 Định lí Fermat: Nếu hàm số

Ví dụ 1: Tìm
A.

m

m =1

.

để hàm số

f ( x)

đạt cực trị tại

x0

và

f ( x)

có đạo hàm tại

f ( x ) = − ( m 2 + 5m ) x3 + 6mx 2 + 6 x − 5

B.

m = { 1; −2}

.

C.

m = −2

Lời giải
Chọn B
f ' ( x ) = −3 ( m 2 + 5m ) x 2 + 12mx + 6
f ′′ ( x ) = −6 ( m 2 + 5m ) x + 12m

.

.

.

đạt cực đại tại
D.

x0 ⇒ f ' ( x0 ) = 0.

x = 1.
m ∈φ

.


Hàm số đạt cực đại tại
Với
Với

m =1

thì

m = −2

m = 1
x = 1 ⇒ f ' ( 1) = −3 ( m 2 + 5m ) + 12m + 6 = 0 ⇔ 
 m = −2

f ′′ ( 1) = −24 < 0

thì

nên nhận.

f ′′ ( 1) = 12 > 0

nên loại.

f ( x)

 Phương pháp tổng quát: Nếu hàm số

f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = f

( 3)

.

( x0 ) = ... =

f

( n −1)

có đạo hàm đến cấp

( x0 ) = 0

f

( n)

n

tại

x0

và

( x0 ) ≠ 0

và
, thì ta có được các điều sau:
f ( x)
x0
n
o Nếu lẻ thì
khơng đạt cực trị tại .

f ( x)
x0
n
o Nếu chẵn thì
là điểm cực trị của
, và:
( n)
f ( x)
f ( x0 ) > 0 ⇒ x0

là điểm cực tiểu của hàm số
.
( n)
f ( x)
f ( x0 ) < 0 ⇒ x0

là điểm cực đại của hàm số
.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên
x=0
tiểu tại
.
A.

7

.

m

thỏa mãn sao cho hàm số

B.

6

.

y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1

5
C. .
Lời giải

Chọn B
 y ( 1) ( 0 ) = a11! = 0, ∀m ∈ ¡

 y ( 2) ( 0 ) = a2 2! = 0, ∀m ∈ ¡
 ( 3)
 y ( 0 ) = a3 3! = 0, ∀m ∈ ¡
 ( 4)
2
 y ( 0 ) = a4 4! = −24 ( m − 9 )
Ta có
.
y(
Nếu

4)

( 0 ) > 0 ⇔ −3 < m < 3 ⇒ x = 0

là điểm cực tiểu của hàm số.

D. vô số.

đạt cực


Nếu

y ( 4 ) ( 0 ) < 0 ⇔ m < −3 ∨ m > 3 ⇒ x = 0
y(

4)

Nếu

( 0 ) = 0 ⇔ m = ±3 ⇒

m = −3 ⇒ y ′ = 8 x 7 − 30 x 4

Với
hàm số.

m = 3 ⇒ y′ = 8 x 7

Với
hàm số.

Vậy

là điểm cực đại của hàm số.

ta phải đi xét dấu của

y′

không đổi dấu khi qua

.

x=0⇒ x=0

đổi dấu từ “âm” sang “dương” khi qua

m ∈ { −2; − 1;0;1; 2;3}

không là điểm cực trị của

x=0⇒ x =0

là điểm cực tiểu của

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

BÀI TẬP LUYỆN DẠNG 2
Câu 1.

[2D1-2.8-2](THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018) Hàm số

cực tiểu tại
m>0
A.
.
Câu 2.

2

đạt

khi
B.

m=0

.

C.

m<0

.

D.

m≠0

.

[2D1-2.8-2] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số
A.

Câu 3.

x=2

y = x − 3x + mx − 2
3

m =1

m

để hàm số

y = mx3 + x 2 + ( m2 − 6 ) x + 1

.

B.

m = −4

.

đạt cực tiểu tại

C.

m = −2

x =1

.

.

D.

[2D1-2.8-2] (SGD Bắc Ninh - Lần 1 - 2017 - 2018) Tìm giá trị của tham số

1
1
y = x3 − ( m 2 + 1) x 2 + ( 3m − 2 ) x + m
3
2
A.

m=2

B.

m = −2

x =1
đạt cực đại tại
.
m =1

C.

D.

m=2
m

.

để hàm số

m = −1

Câu 4. [2D1-2.8-2] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số

y = x 4 − 2( m + 1) x 2 + m 2 − 1

hàm số
m < −1
A.
.

B.

m = −1

.

đạt cực tiểu tại
C.

m

x=0

.
m ≤ −1

.

D.

m ≤ −1 ∨ m ≥ 1

để


y=

x 2 + mx + 1
x+m

Câu 5.

[2D1-2.8-2] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017) Cho hàm số
m
x=2
Tìm
để hàm số đạt cực đại tại
? Một học sinh làm như sau :

2
x + 2mx + m2 + 1
y′ =
2
D = ¡ \ { −m}
( x + m)
Bước 1 :
,
.
x = 2 ⇔ y ′ ( 2 ) = 0 ( *)
Bước 2 : Hàm số đạt cực đại tại
.
 m = −3
( * ) ⇔ m 2 + 4m + 3 = 0 ⇔ 
 m = −1
Bước 3 :
.
Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Sai từ bước 2.
B. Đúng.
C. Sai từ bước 1.
D. Sai từ bước 3.

Câu 6.

[2D1-2.8-2] (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho biết hàm số
y = f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c
x = 1 f ( 3) = 29
đạt cực trị tại điểm
,

và đồ thị hàm số cắt trục tung
x
=
−
2
2
tại điểm có tung độ là . Tính giá trị của hàm số tại
.
f ( −2 ) = 4
f ( −2 ) = 24
f ( −2 ) = 2
f ( −2 ) = 16
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 7.

[2D1-2.2-3] (CỤM 7 TP. HỒ CHÍ MINH) Biết rằng đồ thị hàm số
2

điểm cực trị là
f ( 1) = −5
A.
.

Câu 8.

Câu 9.

A ( 0; 2 ) B ( 2; − 14 )
f ( 1)
,
. Tính
.
f ( 1) = 0
f ( 1) = −6
B.
.
C.
.

y = f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c

D.

f ( 1) = 7

.

có

.

m
[2D1-2.3-3] (Hồng Hoa Thám Hưng n) Tìm tất cả tham số thực

để hàm số
4
2
2
y = ( m − 1) x − ( m − 2 ) x + 2019
x = −1
đạt cực tiểu tại
m=0
m = −2
m =1
m=2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
[2D1-2.3-3] (Lý Nhân Tơng) Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số
y = x9 + (m − 2) x 7 − ( m 2 − 4) x 6 + 7
x=0
đạt cực tiểu tại
?
3
5
4
A. .
B. .
C. Vô số.

D. .

m

để hàm số


Câu 10. [2D1-2.3-3] (CHUYÊN HUỲNH MẪN ĐẠT 2019 lần 1) Cho hàm số
x5
m 3
y = - ( 2m - 1) x 4 x + 2019
m
5
3
. Có bao nhiêu giá trị của tham số
để hàm số đạt cực tiểu
x =0
tại
?
A.Vô số .
B.1 .
C.2 .
D.0 .
BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 2
1.B
Hướng dẫn:
Câu 8.

2.A

3.A

4.C

5.A

6.B

7A

8.D

9A

10.B

D=¡ .
Tập xác định:
y′ = 4 ( m − 1) x 3 − 2 ( m 2 − 2 ) x
Ta có:
* Điều kiện cần:

x = −1

2
f ' ( −1) = 0 ⇔ −4 ( m − 1) + 2 ( m − 2 ) = 0

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại
là
m = 0

⇔
⇔ 2 m 2 − 4m = 0
m = 2
.
* Điều kiện đủ:
y = − x 4 + 2 x 2 + 2019
m=0
Trường hợp 1:
hàm số trở thành
 x = −1
⇔  x = 0
 x = 1
y ' = 0 ⇔ −4 x 3 + 4 x = 0
Ta có:
Bảng biến thiên:

x = −1
m=0
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại
nên loại
.
4
2
y = x − 2 x + 2019
m=2
Trường hợp 2:
hàm số trở thành
.

 x = −1
⇔  x = 0
y ' = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x = 0
 x = 1

Ta có:
Bảng biến thiên:

x = −1
m=2
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại
. Chọn
.
4
2
2
y = ( m − 1) x − ( m − 2 ) x + 2019
m=2
x = −1
Vậy với
thì hàm số
đạt cực tiểu tại
.
Cách khác: Kiểm tra điều kiện đủ.
y = − x 4 + 2 x 2 + 2019
m=0
-Với
, hàm số trở thành
.
3

2
′
′′
y = −4 x + 4 x y = −12 x + 4
,
.
 y ′ ( −1) = 0

 y ′′ ( −1) = −8 < 0
x = −1
m=0
Ta có:
, suy ra hàm số đạt cực đại tại
nên loại
.
4
2
y = x − 2 x + 2019
m=2
-Với
, hàm số trở thành
.
3
2
y′ = 4 x − 4 x y′′ = 12 x − 4
,
.
 y′ ( −1) = 0

 y′′ ( −1) = 8 > 0

x = −1
m=2
Ta có:
, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
nên chọn
.
m=2
Kết luận:
.
Câu 9.

y′ = 9 x 8 + 7 ( m − 2 ) x 6 − 6 ( m 2 − 4 ) x 5 ⇒ y′ ( 0 ) = 0, ∀m ∈ ¡

.

y′′ = 9.8 x 7 + 7.6 ( m − 2 ) x 5 − 6.5 ( m 2 − 4 ) x 4 ⇒ y′′ ( 0 ) = 0, ∀m ∈ ¡

Ta nhận thấy

y′′′ ( 0 ) = y ( 4) ( 0 ) = y ( 5) ( 0 ) = 0, ∀m ∈ ¡

.


y (6) = 9.8.7.6.5.4 x 3 + 7.6.5.4.3.2 ( m − 2 ) x − 6.5.4.3.2.1( m 2 − 4 )

Ta có
⇒ y (6) ( 0 ) = −6.5.4.3.2.1( m2 − 4 )

*TH1:

+

m = 2
y (6) ( 0 ) = 0 ⇔ 
 m = −2

+

thì:

m = 2 ⇒ y′ = 9 x8 ≥ 0, ∀x ∈ ¡
m = −2 ⇒ y′ = x ( 9 x − 28 )
6

*TH2:

.

nên hàm số đồng biến trên

2

không đổi dấu khi qua

x=0

¡

nên không đạt cực trị tại

nên không đạt cực trị tại

x=0

x=0

.

.

y (6) ( 0 ) ≠ 0 ⇔ m ≠ ±2

x=0
Khi đó để hàm số đạt cực tiểu tại
thì cần thêm
(6)
2
y ( 0 ) > 0 ⇔ −6.5.4.3.2.1( m − 4 ) > 0 ⇔ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 ⇒ m ∈ { −1; 0;1}

Vậy có 3 giá trị ngun của tham số

m

.

.

2
ù
y ¢= x 4 - 4 ( 2m - 1) x 3 - mx 2 = x 2 é

ê
ëx - 4 ( 2m - 1) x - mú
û
Câu 10. Ta có
.
y¢
x =0
x =0
Dễ thấy
là một nghiệm của đạo hàm
. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại
khi và chỉ
¢
¢
y
y
x =0
khi đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm
. Ta thấy dấu của
là dấu của hàm
2
g ( x) = x - 4 ( 2m - 1) x - m
g ( x)
x =0
x =0
số
. Hàm số
đổi dấu khi đi qua giá trị
khi
là

g ( x)
g ( 0) = 0 Û m = 0
nghiệm của
. Khi đó
.
2
g ( x) = x + 4 x
m=0
x =0
Thử lại, với
thì
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị
.
m
Vậy có 1 giá trị
thỏa mãn yêu cầu bài toán.

DẠNG 3: Cực trị của hàm số bậc 3.
Hàm số
o

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Tìm tập xác định:

D=¡

.

.

Tính

o

y′ = f ′ ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c

y′ = 0 ⇔ 2bx + c = 0 ⇔ x = −

c
2b

b≠0
với
.
2
2
y ′ = 0 ⇔ 3ax + 2bx + c = 0 ∆′ = b − 3ac
a≠0
Nếu
thì
,
.
Từ đó ta nhận xét
 a = 0

 b ≠ 0
 a ≠ 0


f ( x)
 b 2 − 3ac > 0
Để hàm số
có cực trị khi và chỉ khi
.
a = 0

f ( x)
b ≠ 0
Để hàm số
có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi
.
Nếu

a=0

.

thì

Để hàm số

f ( x)

có 2 điểm cực trị (1 CĐ và 1 CT) khi và chỉ khi

a ≠ 0
 2
b − 3ac > 0

.

Chú ý: Khi hàm số bậc ba đã có hai điểm cực trị.
 Giả sử

x1 , x2

là hai điểm cực trị thì

y′ = 0

x1 , x2

là nghiệm của phương trình
.
2
 2c 2b 
bc
g x = −
÷x + d −
9a
 3 9a 
 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
.

( )

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số

A.

0
.

B.

m

m>2

.

y=−
để hàm số

C.

x3
+ mx 2 − 2mx + 1
3

m>0

.

D.

Lời giải
Chọn D

Hàm số có hai điểm cực trị khi

m > 2
⇔ m 2 − 2m > 0 ⇔ 
b 2 − 3ac > 0
m < 0

có hai điểm cực trị.

.

m > 2
m < 0


.


Ví dụ 2: Giá trị của m để đồ thị
ba điểm
A.

A; B; C ( 0; −1)

m=3

.

( Cm ) : y = 2 x3 + 3 ( m − 3) x 2 + 11 − 3m

có hai điểm cực trị A và B sao cho

thẳng hàng là
B.

m=4

.

C.

m =1

.

D.

m = −1

.

Lời giải
Chọn B

Xét phương trình
Đồ thị

( Cm )

x = 0
y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 ( m − 3) x = 0 ⇔ 
x = 3 − m

có hai điểm cực trị A và B khi và chỉ khi

3− m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
 2c 2b2 
bc
g x = −
÷x + d −
9a
 3 9a 

( )

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
⇒ AB : y = − ( m − 3) x + 11 − 3m
2

.

C ( 0; −1) ∈ AB : y = − ( m − 3 ) x + 11 − 3m ⇔ −1 = 11 − 3m ⇔ m = 4
2

Để A, B, C thẳng hàng thì

m

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị thực của tham số

để hàm số
x1 , x2
x1 + x2 + 2 x1 x2 = −8.
trị
thỏa mãn
A.

m = −1.

B.

m = 2.

y = x3 − 3( m + 1) x 2 + 12mx + 2019

C.

m = 1.

D.

Lời giải
Chọn A
y ' = 3x 2 − 6(m + 1) x + 12m

;
y ' = 0 ⇔ 3x − 6(m + 1) x + 12m = 0 ⇔ x 2 − 2(m + 1) x + 4m = 0
2

Để hàm số có 2 cực trị

x1 , x2 ⇔

(1)

.

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

⇔ ∆ ' > 0 ⇔ ( m − 1) 2 > 0 ⇔ m ≠ 1

.

.

có 2 điểm cực

m = −2.


Với điều kiện

m ≠1

ta có

 x1 + x2 = 2( m + 1)

 x1 x2 = 4m

.

x1 + x2 + 2 x1 x2 = −8 ⇔ 2m + 2 + 8m = −8 ⇔ m = −1.
Do đó

m = −1

Vậy
thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
y = 2 x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 6mx + m3
Ví dụ 4: Cho
. Tìm m để hàm số:
x1 ; x2
x1 < 2 < x2
a/ có hồnh độ cực trị
sao cho
x1 ; x2
x12 − 3x2 = 1
b/ có hồnh độ cực trị
sao cho
AB = 2
c/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho
d/ có đồ thị đạt hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vng tại O.
Lời giải
•
•

D=R
y ' = 6 x 2 − 6 ( m + 1) x + 6m
⇔ y'= 0

Hàm số đạt cực trị
có hai nghiệm phân biệt
2
⇔ ∆ ' > 0 ⇔ ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1
A ( 1; m3 + 3m − 1) , B ( m;3m 2 )

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
x1 < 2 < x2 ⇔ m > 2
a/ hoành độ cực trị:
1 − 3m = 1
m = 0
⇔
⇔


2
x12 − 3 x2 = 1
 m − 3 = 1  m = ±2
b/ hoành độ cực trị:
uuu
r
⇒ AB =
AB = ( m − 1;3m 2 − m3 − 3m + 1)

( m − 1)

2

2

m = 0
+ ( 3m 2 − m3 − 3m + 1) = 2 ⇔ 
m = 2

c/ uuu
r
uuu
r
OA = ( 1; m3 + 3m − 1) , OB = ( m;3m2 )
d/
uuu
r uuu
r
m = 0
OA.OB = 0 ⇔ m + 3m 2 ( m3 + 3m − 1) = 0 ⇔  4
2
3m + 9m − 3m + 1 = 0
Tam giác OAB vuông tại O.


⇔m=0

BÀI TẬP LUYỆN DẠNG 3
Câu 1.

[2D1-2.4-2] (Ba Đình Lần2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
y = x3 − 3 x 2 + 2mx + m có cực đại và cực tiểu?
A.

Câu 2.

m<

3
2.

C.

m≤

3
2.

D.

m>

3
2.

[2D1-2.7-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 ) Với giá trị nào của tham số

xCĐ + xCT = 2
A.

y = 2 x3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x − 1

thì đồ thị hàm số

m

Câu 3.

3
m<− .
2
B.

m =1

.

.

B.

m=2

.

C.

m = −1

.

có cực đại, cực tiểu thỏa mãn

D.

m = −2

[2D1-2.7-3](THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018)
y=

.

Cho hàm số

2 3 m 2
x − x − m2 x + 2
3
2

m
. Tìm tất cả các giá trị thực của
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
O A B
O
A B
, sao cho ba điểm , , thẳng hàng, trong đó
là gốc tọa độ.

A.
Câu 4.

Câu 5.

m=0

B.

m= 3

m = 24

m=

3

C.

D.

2
2

m1 m2
[2D1-2.7-3](THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Gọi
,
là các giá trị của
3
2
y = 2 x − 3x + m − 1
m
B C
tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị là ,
sao cho tam giác

m1m2
OBC
O
2
có diện tích bằng , với
là gốc tọa độ. Tính
.
−15
−20
6
12
A.
.
B. .
C. .
D.
.
[2D1-2.10-4] (THPT Kiến An - HP - Lần 1 - 2017 - 2018 ) Cho hàm số

(

)

y = x3 − 3 x 2 − m 2 − 2 x + m 2

có đồ thị là đường cong

( C)

. Biết rằng tồn tại hai số thực

m1 m2
,


của tham số

m

để hai điểm cực trị của

bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Tính

A.
Câu 6.

Câu 7.

T = 22 − 12 2

B.

và hai giao điểm của

T = m14 + m24

T = 11 − 6 2

với trục hoành tạo thành

.
T=

.

( C)

C.

3 2−2
2

T=

.

D.

15 − 6 2
2

.

f ( x ) = x3 − mx + 2

[2D1-2.10-4] (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho hàm số
,
m
a b
là tham số. Biết rằng đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hồnh độ là , ,

1
1
1
P=
+
+
f ′( a) f ′( b) f ′( c)
c
. Tính giá trị biểu thức
1
0
29 − 3m
3−m
3
A. .
B. .
C.
.
D.
.
y=

m

[2D1-2.13-4] Xác định các giá trị của tham số thực

1 3
x − x 2 + mx − m
3

để đồ thị hàm số
ABC
C
A
B
có các điểm cực đại và cực tiểu
và
sao cho tam giác
vng tại
trong đó tọa độ

điểm

2 
C  ;0÷
3 

m=

A.
Câu 8.

.

( C)

1
3

?

m=

.

B.

[2D1-2.13-4] Cho hàm số

1
2

m=

.

C.

1
6

m=

.

y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m2 − 1) x − m3 − m

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và

I ( 2; −2 )

D.
, với

. Tổng tất cả các số

thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính bằng

5

là

m
m

1
4

là tham số. Gọi
để ba điểm

I

,

A B
,
là

A B

,
tạo


−

A.
Câu 9.

2
17

.

B.

4
17

.

C.

14
17

.

D.

20
17

.

f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c

[2D1-2.15-4] (THPT Chuyên Lào Cai) Cho hàm số

là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Giả sử đường thẳng
P = abc + ab + c
nhất của
.
25
16
−
−
−9
9
25
A.
.
B.
.
C.
.

AB

đi qua gốc tọa độ. Tìm giá trị nhỏ

1
D. .

Câu 10. [2D1-2.9-3](Chuyên Quang Trung - Bình Phước - Lần 1 - 2018)
y=

x3
− ax 2 − 3ax + 4
3

.

Để

hàm

x12 + 2ax2 + 9a
a2
+
=2
a2
x22 + 2ax1 + 9a
5

a ∈  −3; − ÷
2

A.
.

thì

số

a

đạt

cực

A B
,

và giả sử

trị

x1

tại

Cho hàm số
x2

,

thỏa

mãn

thuộc khoảng nào ?

7

a ∈  −5; − ÷
2

B.
.

C.

a ∈ ( −2; − 1)

.

D.

 7

a ∈  − ; − 3÷
 2


.

BẢNG ĐÁP ÁN DẠNG 3
1.A
Hướng dẫn

Câu 5.

Ta có

2.C

3.C

4.A

y ′ = 3x 2 − 6 x − m 2 + 2

5.B

. Ta có

6.A

7B

∆ ′ = 9 + 3m 2 − 6 = 3m 2 + 3 > 0

8.D

9.B

10.B

nên đồ thị hàm số ln có hai

x1 x2
y′
điểm cực trị với
. Gọi ,
là hai nghiệm của .
2
2
 x 1
y =  − ÷. y ′ − m 2 + 1 x + m 2 + 1
 3 3
3
3
Ta có:
.
2
2
2
2




A  x1 ; − m 2 + 1 x1 + m 2 + 1 ÷
C  x2 ; − m 2 + 1 x 2 + m 2 + 1 ÷




3
3

3
3
Vậy hai điểm cực trị là
và
U ( 1; 0)
y ′′ = 6 x − 6 y ′′ = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 0
Điểm uốn:
,
. Vậy điểm uốn
.
U
Ta có, hai điểm cực trị ln nhận điểm uốn
là trung điểm.

∀m ∈¡

(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)


(

)

x3 − 3 x 2 − m2 − 2 x + m 2 = 0 ( 1)

Xét phương trình
⇔ ( x − 1) x 2 − 2 x − m 2 = 0

(

)

x = 1
⇔ 2
2
 x − 2 x − m = 0 ( 2)

.

x3
x4
( 2)
U ∈ Ox
Phương trình
ln có hai nghiệm thực phân biệt
và . Do
nên các điểm
B ( x3 ;0 )
D ( x4 ;0)
U ⇒ ABCD
và
luôn đối xứng qua
ln là hình bình hành.
ABCD
AC = BD
Để
là hình chữ nhật thì
.
2
2
4
2
2
2
 4
AC 2 = ( x1 − x2 ) + m 2 + 1 ( x1 − x2 ) = 1 + m 2 + 1  ( x1 − x2 )
9
 9


Ta có
4 2 − m2  4  4 2
2
2
 4 2
= 1 + m + 1   4 −
 = 1 + m + 1  m 2 + 1
3
 9
 

 3  9

(

(

(

)

(

)

)

)

(

) (

)

BD 2 = ( x3 − x4 ) = 4 + 4m 2
2

Và

2
4 4 2
1 + m + 1  m2 + 1 = 4 m2 + 1

3 9


(

Vậy ta có phương trình:

⇔ 1+

) (

(

⇔ m2 =

Câu 6. Đồ thị hàm số
m>3
khi
.

11
−3 2
2

nên

(

)

2
4 2
m +1 = 3
9

(

)

)

2

⇔ m2 + 1 =

⇒ m14 = m24 =

)

9
2

3
−1
2

T = 11 − 6 2

f ( x ) = x3 − mx + 2

.

cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hồnh độ là

a b c
, ,


Theo định lý vi-et ta có:

a + b + c = 0

 ab + bc + ca = − m
 abc = −2

.

(1)

 f ′ ( a ) = 3a − m

⇒  f ′ ( b ) = 3b 2 − m
 f ′ c = 3c 2 − m
f ′ ( x ) = 3x2 − m
 ( )
Ta có
,
.
f ′( a ) f ′( b) + f ′( b) f ′( c ) + f ′( c ) f ′( a )
1
1
1
P=
+
+
f ′( a ) f ′( b) f ′( c ) =
f ′( a ) f ′( b) f ′( c )
2

(

)

(
( 3a − m) ( 3b − m ) ( 3c

)

9 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 − 6m a 2 + b 2 + c 2 + 3m 2

=

2

Mặt khác ta có:

2

2

−m

)

.

(2)

 a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 = ( ab + bc + ca ) 2 + 2abc ( a + b + c )
 2 2 2
2
 a + b + c = ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca )
9 ( −m ) − 6m ( −2m ) + 3m 2

.(3)

2

P=
Từ (1), (2), (3) ta có:

( 3a

2

)(

)(

− m 3b 2 − m 3c 2 − m

) =0

.

Câu 7.

Ta có tam giác ABC vuông tại C nên gọi M là điểm uốn của đồ thị hám số đồng thời là trung
điểm của AB. Khi đó tam giác vng có đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền do vậy ta có
MC =

phương trình sau:

1
1

AB =
1 + p2
2
2

( x2 + x1 )

2

− 4 x1 x2

(*). Thay số:


p=

2
( m − 1)
3

Hệ số góc đường thẳng qua hai cực trị:
.
x + x = 2
y ' = x2 − 2 x + m ⇒  2 1
 x1 x2 = m
Ta có:
.
2

b

M 1, − ÷
x=−
3


3a
Tọa độ điểm uốn
(Chú ý điểm uốn
).
5 1
4
1
2
⇔
=
1 + ( m − 1) 4 − 4m ⇔ m =
3 2
9
2
Vậy ta có: (*)
.
x = m +1
⇔
( x − m ) 2 − 1
=
3
y′ = 3 x − 6mx + 3m − 3

 y′ = 0
 x = m −1

Ta có
;
.
m
Do đó, hàm số ln có hai cực trị với mọi .
A ( m + 1; −4m − 2 ) B ( m − 1; −4m + 2 )
AB = 2 5 ∀m ∈ R
Giả sử
;
. Ta có
,
.
2

Câu 8.

Mặt khác, vì
sin ·AIB =

Gọi

M

∆IAB

2

có bán kính đường tròn ngoại tiếp là

AB

=1 ·
⇒ AIB = 90o
2R

là trung điểm

AB

⇔ ( m − 2 ) + ( −4m + 2 )
2

Tổng tất cả các số
Câu 9.

m

2

hay

, ta có

∆AIB

vng tại

M ( m; −4m )

và

I

R= 5

.

AB 2
1
2
=5
IM = AB ⇔ IM =
2
4

m = 1
⇔
m = 3
= 5 ⇔ 17 m 2 − 20m + 3 = 0
17

1+

bằng

3 20
=
17 17

.

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 2b 2a 2  
ab 
AB : y =  −
÷x +  c − ÷
9  
9 
 3
Vì

AB

cũng đi qua gốc tọa độ

O ( 0;0 )

nên:

nên từ

AB
= 2R
sin ·AIB

.

suy ra