TỔNG hợp các đề THI TOÁN vào lớp 10 CHUYÊN THÁI BÌNH

TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN THÁI BÌNH
1. Năm học 2017-2018
Tốn chung

 1

3 x +5
A = 
+
÷
÷
 x −1 x x − x − x + 1  


(

)

x +1
4 x

Câu 1. (2đ) Cho
a) Rút gọn A
B = x − x +1 A
b) Đặt

(

)

2


− 1



với x > 0, x ≠ 1

. Chứng minh B > 1 với x > 0, x ≠ 1.

y = x2
Câu 2. (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ oxy cho Parabol (P):

y = 2mx + 2m + 8

và đường thẳng (d):

( với m là tham số)
a) Khi m = -4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P)
b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2. Tìm m để x1+2x2 = 2
 xy 2 + y 2 − 2 = x 2 + 3x

 x + y − 4 y − 1 = 0
Câu 3. (1đ) giải hệ phương trình
Câu 4. (1đ) Cho quãng đường AB dài 100km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến
B, xe ô tô thứ hai từ B về A. Sauk hi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của
mỗi xe biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30
phút.
Câu 5. (3.5đ) Cho đường tịn (O; R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kì trên (O), C khơng
trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tiếp tuyến tại A, b của (O) lần lượt tại P, Q. Gọi M là

giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC.
a) Chứng minh tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ = MN2.
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ.
c) Chứng minh PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường trịn ngoại tiếp tứ giác
PMNQ có bán kính nhỏ nhất.
1
1
1
+ 2 + 2 =3
2
x, y , z
x
y
z
Câu 6. (0,5đ) Cho ba số thực dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2 2
2 2
y z
z x
x y
P=
+
+
2
2
2
2

x( y + z ) y ( z + x ) z ( x 2 + y 2 )
biểu thức
Toán chuyên
Câu 1: (2,0 điểm)
1. Cho a, b là hai số thực bất kì, chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình ẩn x
sau vơ nghiệm


x 2 + 2ax + 2a 2 − b 2 + 1 = 0
x 2 + 2bx + 3b 2 − ab

=0

( 1)
( 2)
x+ y+z =0

2. Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:

xyz ≠ 0

và

. Tính giá trị biểu

thức:

P=

x2

y2
z2
+
+
y 2 + z 2 − x2 z 2 + x 2 − y 2 x2 + y 2 − z 2

Câu 2: (2,5 điểm)
1. Giải phương trình:

x 2 + 4 x + 12 = 2 x − 4 + x + 1

2. Giải hệ phương trình:
Câu 3: (1,0 điểm)

 2
 2

2
− 1÷ = 4 ( 4 + xy )
 x + y − 4 xy 
 x− y 


2
2
 x − y + 3 2y − y +1 = 2y − x + 3
x 3 − y 3 = 6 xy + 3

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình
Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có hai tia BA và CD cắt nhau tại E, hai
tia AD và BC cắt nhau tại F. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Các đường phân
·
·
BEC
BFA
giác trong của các góc
và góc
cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
·DEF+DFE=ABC
·
·
1)
và tam giác EKF là tam giác vuông.
2) EM.BD = EN.AC
3) Ba điểm K, M, N thẳng hàng
Câu 5: (1,5 điểm)
1) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1
1
3
+
+
≥
a 3a + 2b b 3b + 2c c 3c + 2a
5abc
2) Cho 5 số tự nhiên phân biệt sao cho tổng của hai số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng
của hai số còn lại. Chứng minh rằng tất cả 5 số đã cho đều không nhỏ hơn 5.
2. Năm học 2016-2017

Toán chung


Bài 1. (2.5điểm)
 x x + x−2
1 
1
P = 
−
:
÷
÷
x −1
x +1 x x − x


Cho
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P = 2
c) Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất.

với x > 0, x ≠ 1

Bài 2. (1.5 điểm)

y = x2

y = 2x − m + 3

Cho Parabol (P):

và đường thẳng (d):
( với m là tham số)
a) Tìm m để parabol (P) và đường thẳng (d) cùng đi qua điểm có hồnh độ là 1.
b) Tìm m để parabol (P) cắt đường thẳng (d) tạo hai điểm phân biệt A và B, sao cho tung
độ của điểm A gấp 9 lần tung độ của điểm B.
Bài 3. (2.0 điểm)
a) Giải phương trình:

x2 − 2 x − 2 − 2 2 = 0
 y 2 + y ( x − 4 ) + x + 1 = 0

2
2
2
2
( x + 1) + x + y + 2 xy − 8 y = 0

(

)

b) Giải hệ phương trình sau:
Bài 4. (3.5 điểm)
Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD, có AB = BC = a. GỌi
E là giao điểm của AB và CD, H là trung điểm của AB, F là giao điểm của BD và OE, I là giao
điểm của OB và HC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác EAD đều.
b) IF// AD.
c) F là trực tâm của tam giác OBC.
d) Tính độ dài HI theo a.

Bài 5. (0.5 điểm)
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
( x + y) ( y + z) ( z + x) ≥ 2( 1 + x + y + z)

Tốn chun
Bài 1. (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

5 x − ( x + 3) 2 x − 1 − 1 = 0


a, b

2) Cho hai số thực
bất kì. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có
2
x + 2ax + 3ab = 0
nghiệm:
(1)
2
x + 2bx − 8ab = 0
(2)
Bài 2. (2,5 điểm)

x, y

1) Tìm các số nguyên
thỏa mãn:
9 x 2 + 3 y 2 + 6 xy − 6 x + 2 y − 35 = 0

P ( x)
2) Cho
là đa thức bậc ba có hệ số bậc cao nhất bằng 1 và thỏa mãn
P ( 2016 ) = 2017, P ( 2017 ) = 2018
−3P ( 2018 ) + P ( 2019 )
. Tính giá trị của
.
Bài 3. (1,5 điểm)

Giải hệ phương trình

 y 3 + 8 x 4 − 2 y = 2(2 x 4 + 3)

 2 x 2 + x + y + 2 x + 2 y = 9 x − 2 x 2 + 19 y

Bài 4.(3,0 điểm)

( O)

I

IA, IB

Từ một điểm nằm bên ngồi đường trịn
, vẽ các tiếp tuyến
( A, B là các tiếp
điểm) và vẽ cát tuyến ICD (không qua tâm O) với đường tròn (C nằm giữa I và D).
1) Chứng minh AC.BD=AD.BC
2) Gọi K là giao điểm của CD và AB, E là trung điểm của OI. Chứng minh rằng
KA.KB = OE 2 − EK 2

.
3) Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh = .
Bài 5. ( 1,0 điểm)
2

Cho các số thực
F = x+ y+z
của biểu thức
.

3. Năm học 2015-2016
Toán chung

2

3 x 2 + 4 y + 5 x = 52

x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1

và thỏa mãn

. Tìm giá trị nhỏ nhất


Bài 1. (2.5điểm)
P=
Cho biểu thức
a) Rút gọn P.

2x + 2 x x −1 x2 + x

+
−
x
x− x x x +x

b) Tính giá trị biểu thức P khi

( x > 0; x ≠ 1)

x = 3− 2 2

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của x để P có nghĩa thì
nguyên.
Bài 2. (2 điểm)

7
P

chỉ nhận một giá trị

x 2 − 2mx + ( m − 1) = 0
3

Cho phương trình
với m là tham số
a) Giải phương trình với m = -1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình
phương nghiệm cịn lại.

Bài 3. (1 điểm) Giải phương trình:

9
2x
+
−1 = 0
2
x
2x2 + 9

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường trịn đường kính AH,
tâm O, cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi M là trung điểm của cạnh HC. Chứng
minh:
a) AE.AB = AF.AC.
b) MF là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AH.
·
·
HAM=HBO
c)
.
d) Xác định điểm trực tâm của tam giác ABM.
a, b, c

Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số dương
1
1
1
3
+ 2
+ 2
≥

2
a +1 b +1 c +1 2

thỏa mãn

ab + bc + ca = 3

Toán chuyên
Bài 1. (1,5 điểm)
2

Cho phương trình:

2 x − mx − 1 = 0

( với m là tham số).

. Chứng minh rằng:


x12 − 4 x2 2 = 0

x1 , x2
a) Tìm m sao cho phương trình trên có hai nghiệm

thỏa mãn

b) Chứng minh với mọi m phương trình trên có nghiệm

x

x
thỏa mãn

< 1.

Bài 2. (2,0 điểm)

18 x 2 − 2 x −

17
1
+9 x− = 0
3
3

a) Giải phương trình:
b) Tìm các số nguyên

x 2 + 3 y 2 + 4 xy + 4 x + 10 y − 12 = 0

x ≥ 0, y ≥ 0

x, y

với

thỏa mãn:

Bài 3. (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

 x − y + 1 + 1 = 4 ( x − y ) 2 + 3 ( x − y )
 2
4 x + 2 xy = 1

x, y

x2 + y2 − 4 x − 2 = 0

Bài 4. (1,0 điểm) Cho
thỏa mãn
2
2
10 − 4 6 ≤ x + y ≤ 4 6 + 10

. Chứng minh:

Bài 5. (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AO cắt đường
tròn (O) tại M ( M khác A). Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt đường trịn (O) tại N (N
khác C). Gọi K là giao điểm của MN với BC.
a) Chứng minh tam giác KCN cân.
b) Chứng minh OK vuông góc với BM.
c) Khi tam giác ABC cân tại A, hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và N cắt nhau tại
P. Chứng minh ba điểm P, B, O thẳng hàng.
600

Bài 6. (1,0 điểm). Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3a, AC = 4a và =
vng góc với BC tại H. Tính độ dài đoạn AH theo a.

Bài 7. (1,0 điểm). Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn
b2 c2 a 2
9
9
+ + +
≥
a b
c 2 ( ab + bc + ca ) 2

4. Năm học 2014-2015
Toán chung

abc = 1

. Chứng minh:

. Qua A kẻ AH


Bài 1. (2,0 điểm)
 2
3
5 x −7  2 x +3
A=
+
−
÷:
 x − 2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2  5 x − 10 x

( x > 0; x ≠ 4 )

Cho biểu thức
a) Rút gọn A.
b) Tìm x sao cho A nhận giá trị nguyên.

y = 2 ( m + 3) x − 2m + 2

y = x2

Bài 2.(2,5 điểm) Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d):
( với
m là tham số)
a) Với m = -5 tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
b) Chứng minh rằng với mọi m Parabol (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao
cho hai giao điểm đó có hành độ dương.
c) Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.

Bài 3. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

2
2
 2 x + 3 xy − 2 y − 5 ( 2 x − y ) = 0
 2
2
 x − 2 xy − 3 y + 15 = 0

Bài 4. ( 3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Tiếp tuyến tại B và C của
(O) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A.
a) Chứng minh tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT.

b) Chứng minh rằng: AB.CD = BD. AC.
c) Chứng minh rằng hai đường phân giác của góc BAC, góc BDC và đường thẳng BC
đồng quy tại một điểm.
d) Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC.

x ( x + 1) + y ( y + 1) + z ( z + 1) ≤ 18
Bài 5.(0,5 điểm) Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn
1
1
1
B=
+
+
x + y +1 y + z +1 z + x +1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tốn chuyên
Bài 1. (3,0 điểm)
1) Giải phương trình:

5 x − 6 + 10 − 3 x = 2 x 2 − x − 2

2) Giải hệ phương trình:

 x 3 + 8 xy 2 = 96 y
 2
2
 x + 32 y = 48

.

Bài 2. (2,0 điểm)
1) Cho phương trình

x2 − 2x − 4 = 0

x1 , x2
có hai nghiệm

x17 + x27

. Tính S=
a + ab + b 2 = c 2 + cd + d 2
2

2) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn:
a+b+c+d
minh:
là hợp số.

. Chứng

Bài 3. (1,0 điểm)
Cho a, b,c là ba số thực dương và có tổng bằng 1.
a − bc b − ca c − ab 3
+
+
≤
a + bc b + ca c + ab 2

Chứng minh:
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD với A,C cố định và B, D di động. Đường phân giác của góc
BCD cắt AB và AD theo thứ tự tại I và J ( J nằm giữa A và D). Gọi M là giao điểm khác A của hai
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD và AIJ, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ.
1) Chứng minh AO là phân giác góc IAJ.
2) Chứng minh bốn điểm A, B, D, O cùng thuộc một đường tròn.
3) Tìm đường trịn cố định ln đi qua M khi B, D di động.
Bài 5. (1,0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kì ln tồn tại ít nhất một số có tổng
các chữ số chia hết cho 11.

5. Năm học 2013-2014
Toán chung
Bài 1. (2.0điểm)

x
P = 
+
x
+
2


Cho biểu thức
1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

1
1 

+
÷( x − 4 )
x −2 x−4÷


( x ≥ 0; x ≠ 4 )


mx − y = 1

 x + my = m + 6

( 1)
( 2)

Bài 2. (2,0 điểm) Cho hệ phương trình
với m là tham số
1) Giải hệ phương trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: 3x – y = 1.
Bài 3. (2 điểm)

x 2 − ( 2m − 1) x + m 2 − m − 6 = 0

1. Cho phương trình bậc hai:
với m là tham số
Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Tìm
m để: -5 < x1 < x2 < 5.
( x + 2 ) ( x − 3) ( x 2 + 2 x − 24 ) = 16 x 2
2. Giải phương trình:
Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên đường thẳng BC lấy điểm M

nằm ngoài đoạn BC sao cho MB > MC và hình chiếu vng góc của M trên AB là điểm P (P nằm
giữa A và B). Kẻ MQ vng góc với đường thẳng AC tại Q. Chứng minh:
1. Chứng minh bốn điểm A, P, Q, M cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của
đường trịn đó.
2. BA.BP = BM.BH.
3. OH vng góc với PQ.
4. PQ > AH.
2x +

2013x − 1
2− x

2

− 3 2014 −

2013x − 1
2− x

2

= x + 2013 − 3 x + 1

Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình:

Tốn chun
Bài 1. (3,0 điểm)

 x 2 − ( x + y ) y + 1 = 0
 2

 x + 1 ( x + y − 2 ) + y = 0

(

)

1) Giải hệ phương trình:
x + 4 7 − x = 4 x −1 +
2) Giải phương trình:

( 7 − x ) ( x − 1) + 1

Bài 2. (2,0 điểm)
23x+13

1) Tìm số nguyên dương x lớn nhất sao cho
là một ước số của 2013!
2
( n + 3) ( 4n + 14n + 7 )
2)Tìm số nguyên dương n sao cho A =
là một số chính phương.


Bài 3. (1,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn:
1 1 1
+ + ≥ 4 ( a + b + c)
a b c
Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+
=2
1+ a 1+ b 1+ c

Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua B kẻ đường thẳng cắt đường trịn
tâm C bán kính CA tại D và E (D là điểm nằm trong tam giác ABC). Trên cạnh AB lấy điểm M
1
2
sao cho =
.
1) Chứng minh rằng:
a) BH.BC = BD.BE và tứ giác DHCE nội tiếp đường trịn.
b) HA là phân giác của góc DHE
2) Gọi N là giao điểm của MD và AH. Chứng minh D là trung điểm của MN.
Bài 5. (1,0 điểm)

Pi ( x ) = x 2 + x + ai

Cho 2013 đa thức

ak +1 − ak = a

( i=1; 2; 3; ...; 2013) thỏa mãn
Q ( x ) = P1 ( x ) + P2 ( x ) + ... + P2013 ( x )

( a là

hằng số, k = 1; 2; 3; …; 2012) và đa thức
có nghiệm thực.
P1007 ( x )
1) Chứng minh đa thức
có nghiệm.
Pi ( x )
2) Trong 2013 đa thức
trên , có nhiều nhất bao nhiêu đa thức vơ nghiệm?

6. Năm học 2012-2013
Tốn chung
Bài 1. (2.0điểm)

Cho biểu thức
a) Rút gọn A.


x
8 x +8
x +2 x+2 x +5
A = 
+
−
÷
÷: x + 2 x
x
+

2
x
+
2
x
x



b) Chứng minh rằng

A ≤1

( x > 0)


x 2 − 2mx + 2m − 5 = 0 ( 1)
Bài 2. (2,0 điểm) Cho phương trình
với m là tham số
a) Giải phương trình với m = 2.
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
2
x1 ( 1 − x22 ) + x22 ( 1 − x12 ) + 8 = 0
Bài 3. (2 điểm)
a) Cho ba đường thẳng:
(d1): y = x
(d2): y = mx-3 (với m là tham số)
(d3): y = 2x-1
Tìm m để ba đường thẳng trên cùng đi qua một điểm
b) Giải phương trình sau:

x 2 + 2 x + 4 = 3 x3 + 4 x

Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O. Từ điểm A nằm bên ngồi đường tròn kẻ các tiếp tuyến
AB và AC tới đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi I, J, K lần
lượt là hình chiếu vng góc của M trên AB, AC và BC. Gọi H là giao điểm của MB và IK, G là
giao điểm của MC và JK.
a) Chứng minh các tứ giác MKCJ và MHKG là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh HG // BC.
c) Tìm vị trí của M để MI.MJ lớn nhất
Bài 5. (0,5 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
ab
bc
ca
+ 5 5
+ 5
≤1
5
5
a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca

Tốn chun
Bài 1. (2,5 điểm)
a) Tính A=

( 4+

15

)(

10 − 6

b) Giải hệ phương trình:

)

4 − 15

 x 2 + y 2 + 1 = 2 ( x + y )

 y ( 2 x − y ) = 2 y + 1

Bài 2. (1,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
a
b
c
+
+
3+ b − a 3+ c −b 3+ a −c
thức: P =

a +b+c = 3

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu


Bài 3. (2,0 điểm)
Cho m, n là hai số nguyên dương thỏa mãn m+n–1 là một số nguyên tố và m + n – 1 là

một ước của 2(m2 + n2) – 1. Chứng minh rằng: m = n.
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O). Đường trịn tâm J đường kính
BC Cắt AB, AC lần lượt tại E, F. GỌi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác
AEF. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác AEF.
Chứng minh rằng:
a) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) song song với EF.
b) Ba điểm A, I, H thẳng hàng.
c) Ba đường thẳng KH, EF, IJ đồng quy.
Bài 5. (1,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. CD là một dây cung của nửa đường tròn(A,
B, C, D là bốn điểm phân biệt). M là điểm bất kì di động trên cung nhỏ CD. Gọi I, J lần lượt là
giao điểm của MA, MB với dây cung CD. Xác định vị trí của điểm M để đoạn thẳng IJ có độ dài
lớn nhất.

7. Năm học 2011-2012
Toán chung
Bài 1. (2,0 điểm)
P=
Cho biểu thức
1) Rút gọn P.

x −3
x +2
9− x
+
−
2− x 3+ x x + x − 6

P=

2) Tìm x sao cho

7
12

( x ≥ 0; x ≠ 4 )

.

y = x2

y = ( m − 1) x + 3 ( 4 − m )

Bài 2. (2 điểm) Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d):
là tham số)
1) Với m = -2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
2) Tìm m sao cho (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 2.
Bài 3. (2 điểm)

( với m


1) Giải hệ phương trình

1 + xy + xy = x

 1
1

−y y =
−8 y

x
x x

x 2 − ( 2k + 1) x + k 2 + 1 = 0

( 1)

2) Cho phương trình:
với k là tham số. Tìm giá trị nhỏ
2
2
F = x1 + x2 − x1 x2
x1 , x2
nhất của biểu thức
với
là nghiệm của phương trình (1).

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn(O; R) có đường cao AH =
Gọi D, E lầ lượt là hình chiếu vng góc của H trên AB và AC. Chứng minh rằng:
·
·
BAH=DEH
1)
.
2) Tam giác ADE và tam giác ACB đồng dạng.
⊥
3) AO DE.

4) Diện tích tam giá
c AED bằng diện tích tứ giác BCED.

2R

.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ
S = a 2 + b 2 + c 2 + 2abc
nhất của biểu thức
Toán chuyên
Câu 1. (3 điểm).

1). Giải hệ phương trình:
2). Giải phương trình:
Câu 2. (2 điểm).

1
 1
x − x = y − y

 x3 − 2 y + 1 = 0


3x 2 − 5 x + 6 = 2 x x 2 + x − 3

(

)

x 2 − 2 m 2 + 1 x + 2m 2 − 1 = 0

1). Cho phương trình:

( m là tham số)
x1 , x2

Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
1 1
+
x1 x2
=
đạt giá trị nguyên.

và P


x4 + x2 − y 2 + y + 4 = 0
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
Câu 3. (3,5 điểm).
Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B và C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho
nếu gọi H là hình chiếu vng góc của A trên d thì B, C nằm khác phía đối với H. Đường trịn
đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại điểm thứ hai là M và N. Gọi P, D lần lượt là giao điểm
của AH với MN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ( D khác A).
1). Chứng minh rằng tứ giác MPDB nội tiếp đường tròn.
CN BM
=
AB CA
2). Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:
3). Khi B, C thay đổi trên d sao cho các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

AMN tiếp điểm là M vàN cắt nhau tại K và tích HB.HC là khơng thay đổi. Chứng minh rằng K
thuộc đường thẳng cố định.
Câu 4. (1 điểm).
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
a3
b3
c3
3
+
+
≥
b ( c + a) c ( a + b) a ( b + c) 2
Câu 5. (0,5 điểm).
Tại mỗi đỉnh của đa giác đều 100 cạnh ta đánh một số bất kì trong các số tự nhiên lien
tiếp sau 1, 2, 3, 4, 5, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại bốn đỉnh của đa giác (kí hiệu các đỉnh A, B,
C, D với các số tương ứng a, b, c, d) sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và a + b = c + d.
8. Năm học 2010-2011
Toán chung
Bài 1. (2,0 điểm)
A=
Cho biểu thức
1) Rút gọn A.

x −7
x + 3 2 x +1
−
+
x −5 x +6
x −2
x −3

2) Tính giá trị của A khi

x = 3−2 2

( x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9 )

.

Bài 2. (2 điểm) Cho hai đường thẳng:
( d1 ) : y = ( m − 1) x − m 2 − 2m

( d 2 ) : y = ( m − 2 ) x − m2 − m + 1
(với m là tham số) cắt nhau tại G.
a) Xác định tọa độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3. (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:


a)

1
1
1
+
+ 2
=0
x + 1 x −1 x −1

b)

 x 
x2 + 
÷ =1
 x +1 

2

Bài 4. (3,5 điểm) Cho điểm M thuộc nửa đường trịn tâm O, đường kính AB. Điểm C thuộc đoạn
OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax, By với đường trịn. Đường thẳng
qua M vng góc với MC cắt Ax, By tại P, Q. Gọi E là giao điểm của AM với CP, F là giao điểm
của BM với CQ.
a) Chứng minh rằng:
+ Tứ giác APMC và tứ giác EMFC là tứ giác nội tiếp.
+ EF//AB.
b) Giả sử có EC.EP = FC.FQ. Chứng minh rằng: EC = FQ và EP = FC.
x 2 + y 2 + xy = 1
Bài 5. (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn
B = x 2 − xy + 2 y 2 .
lớn nhất của biểu thức
Tốn chun

. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị

Bài 1. (2,5 điểm)
1. Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 3 = 0
3

3

2011

2. Tính gía trị của biểu thức: A = (x – 3x -3)
Bài 2. (2,0 điểm)

2− 3 +

1
3

2− 3

với x =

Cho hệ phương trình:
( a, b, claf tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là:
a3 + b3+ c3= 3abc
Bài 3. (2,0 điểm)
1). Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn:
x=
2). Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ). Biết rằng P(m) = P(n) (m ≠ n).
4ac − b 2
4a 2
Chứng minh: mn ≥
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ
AB ( I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đường thẳng
BC, CA và AB.
1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.

2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất.


3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC,
CA và AB. Kẻ EQ vng góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC.
Bài 5. (0,5 điểm)
Giải bất phương trình:

2 x3 + 4 x 2 + 4 x − 3 16 x 3 + 12 x 2 + 6 x − 3 ≥ 4 x 4 + 2 x3 − 2 x − 1

9. Năm học 2009-2010
Toán chung
Bài 1. (2,5 điểm)
A=
Cho biểu thức
1) Rút gọn A.

2 x +4
x +7
x +1
+
−
x +3 x +2 x −3
x −1

A=

2) Tìm x sao cho

x +1

8

( x ≥ 0; x ≠ 1)

.

y = ( 2m − 1) x − m 2 + m

y = x2

Bài 2. (2 điểm) Cho Parabol (P):
và đường thẳng (d):
là tham số)
1) Chứng minh (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

( với m
x13 − x23 = 1

2) Tìm m sao cho (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 sao cho
.

Bài 3 (1,5 điểm) . Giải hệ phương trình:

 x 2 − xy + 1 = y − 2 x
 2
2
2 x + y = 9

Bài 4 (3 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) bán kính R (AB < AC). Đường
trịn tâm I đườngn ính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M, N không trùng với A). Gọi H là

hình chiếu vng góc của A trên BC.
a) Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
AB.AC
R=
2AH
b) Chứng minh rằng
.
c) Kẻ dây cung AE của đường trịn tâm I đường kính OA song song với MN. Gọi F là
giao điểm của MN và HE. Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng MN.


Bài 5 (1,0 điểm). Cho a, b , c là ba số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
a
b
c
3
+ 2
+ 2
≥
2
b +1 c +1 a +1 2

Toán chuyên
Bài 1. (2,0 điểm)
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1 
 1
< 2
−

( k + 1) k  k k + 1 ÷
1
1
1
1
88
+
+
+K +
<
2 3 2 4 3
2010 2009 45
b. Chứng minh rằng:

x 2 + ( m − 1) x − 6 = 0
Bài 2. (2,5 điểm): Cho phương trình ẩn x:
(1) (m là tham số)
a. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x = 1+
x1 , x2
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm
sao cho biểu thức:
2
2
( x1 − 9) ( x2 − 4)
A=
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. (2,0 điểm)

a. Giải hệ phương trình:

2
2

 x + y − xy = 3
 3
3

x + y = 9

x3 + 2 x 2 + 3x + 2 = y 3
b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB ( M khơng trùng
với O và B). Vẽ đường trịn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua
M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường trịn. Từ đó suy ra 3
điểm C, M, N thẳng hàng.
b. Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0,5 điểm)


·
xOy
= 120o
Cho
, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn
thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân
biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC
đều là các số nguyên dương.

10. Năm học 2008-2009
Tốn chung
(?)
Tốn chun
Câu 1. (,03 điểm): Giải phương trình và hệ phương trình:
x + 1 − 3x − 7 = x − 4
1)
 x3 = 3x + 8 y

 3

 y = 3 y + 8x
2)
Câu 2. (2,5 điểm). Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (b≠0) (1)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt mà nghiệm
này gấp 3 lần nghiệm kia là: 3b2 – 16ac = 0.
Câu 3. (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên:
(x2 +y)(x + y2) – (x – y)3 = 0
Câu 4. (3,0 điểm).
∆1 ∆ 2
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng và vng góc với nhau tại điểm H, A là điểm
∆1
∆2
thuộc đường thẳng
( A khác H). Từ điểm P bất kì trên đường thẳng
kẻ hai tiếp tuyến PE và
PF tới đường trịn tâm A bán kính R ( E, F là hai tiếp điểm, R < AH). Đường thẳng EF cắt đoạn
AH tại điểm I.
AE 2
AI=

AH
a) Chứng minh rằng:
b) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng PE và PF, đường thẳng
∆1
2R
MN cắt đường thẳng tại điểm J. Tính độ dài đoạn IJ theo R, biết AH =
x 2 +2y 2 +3z 2 =1
Câu 5. (0,5 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:
1
1
1
M=
+
+
1- 6yz 1- 3xz 1- 2xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: