CHUYÊN đề BIỂU DIỄN số PHỨC và các bài TOÁN MAX MIN

CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC
BÀI 1: SỐ PHỨC
DẠNG TOÁN: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
I – LÝ THUYẾT
1.Biểu diễn hình học số phức:
Khái niệm: Điểm
số phức z  a bi

M  a;b

biểu diễn cho

M (x; y)
Chú ý: Để tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện nào đó ta gọi
x; y mà kết
biểu diễn số phức z rồi dựa vào điều kiện đã cho để tìm một hệ thức liên hệ giữa
luận tập hợp điểm. Nếu
ax  by  c  0 thì tập hợp điểm là đường thẳng
a)

(x  a)2  (y  b)2  r 2 thì tập hợp điểm là đường trịn tâm I (a;b) bán kính r
b)
II – DẠNG TỐN
1. Dạng 1:Điểm biểu diễn một số phức.
Phương pháp giải.(Dựa vào biểu diễn hình học của số phức)
Ví dụ 1:
Số phức z  2  3i có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là:
M  2; 3
M  2;  3
A.
.

B.
.
Lời giải
Chọn C
Trình bày chi tiết cách làm

C.

M  2;  3

.

D.

M  2; 3

D.

 2;3 .

Ví dụ 2:
Cho số phức z  2  3i . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z là

 2;3 .
A.
Lời giải
Chọn A

B.

 2; 3 .

C.

 2; 3 .

 2;3 .
Vì z  2  3i � z  2  3i Điểm biểu diễn của z có tọa độ
Ví dụ 3:

Oxy
Trên mặt phẳng tọa độ
cho điểm M
trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số
phức z . Tìm z ?
A. z  4  3i .
B. z  3  4i .
C. z  3  4i .
D. z  3  4i .


Lời giải
Chọn.
Ta có

C.

M  3;  4

. Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z  3  4i .

Ví dụ 4:
Cho số phức z có điểm biểu diễn là M .

1
z được biểu diễn
Biết rằng số phức
bởi điểm N gần với một trong bốn điểm P
, Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm N
w

gần với điểm nào nhất?
A. S .
B. Q .
C. P .
D. R .
Lời giải
Chọn.
B.
Cách 1: (Trắc nghiệm).

1
z  1 i
2 .
Ta có: z  a  bi theo hình vẽ có a  1, 0  b  1 nên ta chọn
1 4 2
w   i
z 5 5 và điểm cần tìm là Q .
Suy ra:
Cách 2: (Tự luận)

Ta có: z  a  bi theo hình vẽ có a  1, 0  b  1.
1
1
a
b
w 
 2 2 2 2i
z a bi a  b a  b có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn
Ta có:
1 nên ta chọn điểm Q là điểm cần tìm.
2. Dạng 2:Tập hợp điểm biểu diễn là một đường thẳng.

z   1 i   z  2i
Ví dụ 1: Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
là đường nào sau
đây ?
A. Đường thẳng.
B. Đường tròn.
C. Elip.
D. Parabol.
Lời giải:

Chọn.
Gọi

z  x  yi

Ta có:
�

A.
,

 x, y �� được biểu diễn bởi điểm M  x; y trong mặt phẳng  oxy

z   1 i   z  2i � x  yi  1 i  x  yi  2i

 x  1   y  1
2

2

 x2   y  2 �  x  1   y  1  x2   y  2 � x  3y  1  0
2

2

2

x  3y  1  0
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

2


Chú ý: Nếu
đường thẳng.

z  z1  z  z2 z1; z2
(

cho trước) thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

Ví dụ 2:Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa
mãn điều kiện

z  2i  z  1

.

A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4x  2y  3  0.
4x  2y  3  0
B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình
.
2x  4y  3  0
C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình
.
2x  4y  3  0
D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình
.
Lời giải
Chọn C
Gọi

 x, y ��
,
z  2i  z  1

z  x  yi

Ta có:

� x   y  2 i   x  1  yi � x2   y  2   x  1  y2 � 2x  4y  3  0
2

2

3. Dạng 3:Tập hợp điểm biểu diễn là một đường trịn, hình trịn.
Phương pháp giải.
z  2  5i  4
Ví dụ 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn
là:

A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm

I  2; 5

I  2;5
I  2; 5

và bán kính bằng 2 .
và bán kính bằng 4 .

và bán kính bằng 4 .
D. Đường trịn tâm O và bán kính bằng 2 .
Lời giải:
Chọn C
C. Đường tròn tâm

z  x  yi ,  x, y ��

.

z  2  5i  4 � x  2   y  5 i  4 �

 x  2   y  5  4 �  x  2   y  5
I  2;  5
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trịn tâm
, bán kính R  4 .
2

2

2

2

 16

z  z1  r(r  0) z1
Chú ý: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
, cho trước là một
z  2  5i  4 � z  (2  5i )  4
đường trịn có tâm I là điểm biểu diễn của z1 , bán kính r (
nên

tập hợp điểm là đường trịn tâm

I  2; 5

và bán kính bằng 4 )

z 2  2
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w   1 i  z  i

A. r  2 2 .
Lời giải

là một đường trịn. Tính bán kính r của đường trịn đó
B. r  4 .

C. r  2 .

D. r  2.


Chọn A
Cách 1:

w   1 i  z  i � z 

w i
1 i ; đặt w  x  yi ; x, y ��.

 x  yi  i   1 i   2  2
x  yi  i
x  yi  i
z


2

2
��

2

2
�
� z
1 i
2
1 i . Ta có
�

 x  yi  i   1 i   2  2 � x  xi  yi  y  i  1 4  4 � x  y  3
2

 x  y  1 i  4

�  x  y  3   x  y  1  16 � x2  y2  9  2xy  6y  6x  x2  y2  1 2xy  2y  2x  16
2

2

� 2x2  2y2  8x  4y  6  0 � x2  y2  4x  2y  3  0
2
2
Đường trịn có bán kính là R  2  1  3  2 2 .

Cách 2:

w   1 i  z  i � w   1 i  (z  2)  i  2(1 i )

(làm xuất hiện z  2)

� w   1 i  (z  2)  2  i � w  (2  i )   1 i  (z  2)

� w  (2  i )   1 i  (z  2) � w  (2  i )  1 i z  2  2 2
Kết luận
Phân tích cách làm
Mấy caí này mình làm nhưng chưa ưng ý

z  1  2; w  (1 3i )z  2
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn
.Tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là
đường trịn, tính bán kính đường trịn đó
A. R  3.
B. R  2.
C. R  4 .
D. R  5.
Lời giải
Chọn.

C. lỗi dấu chấm cuối câu

w  (1 3i )z  2 � w  (1 3i )(z  1)  1 3i  2
� w  (3 3i )  (1 3i)(z  1)



 





� w  3 3i  1 3i  z  1  1 3i

  z  1  4

Ví dụ 4:
z  1 3i �4
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả điều kiện
.
A. Hình trịn tâm I (1;3) , bán kính r  4 .
B. Đường trịn tâm I (1;3) , bán kính r  4 .

C. Hình trịn tâm I (1; 3) , bán kính r  4 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Giả sử

z  x  yi  x, y ��

z  1 3i �4 �

, ta có

z  1 3i  x  1  y  3 i

 x  1   y  3
2

D. Đường trịn tâm I (1;3) , bán kính r  4

2

.

�4 �  x  1   y  3 �16
2

2

.


Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z là hình trịn tâm I (1;3) , bán
kính r  4 .
Cách 2:
z  1 3i �4 � z  (1 3i ) �4

Kết luận
4. Dạng 4:Tập hợp điểm biểu diễn là một miền.
Ví dụ 1:
Cho số phức z  a  bi (a, b ��) . Để điểm biểu diễn của z nằm trong dải (- 2; 2), ở hình 1, điều
y
kiện của a và b là:

A. a, b �(2; 2) .
C. a ��; b �(2; 2) .

B. a �(2; 2); b ��.
D. a, b �[  2; 2] .

Lời giải
Chọn B
Các số phức trong dải đã cho có phần thực trong khoảng
(2; 2) , phần ảo tùy ý � Đáp án. B.
Ví dụ 2:

2

O

2

x

(H×nh
1)

Số phức z thỏa mãn điều nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần
gạch chéo như trên hình.
z  a  bi;| z |�2; a � 1;1
A. Số phức
.
z  a  bi;| z |�2; a � 1;1
B. Số phức

.
z  a  bi;| z | 2; a � 1;1
C. Số phức
.
z  a  bi;| z |�2; b � 1;1
D. Số phức
.
Lời giải
Chọn A
M  a, b 
Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp các điểm
biểu diễn số phức z trong phần gạch chéo

O  0, 0 
đều thuộc đường trịn tâm
và bán kính bằng 2 ngồi ra 1 �a �1
M  a, b 
Vậy
là điểm biểu diễn của các số phức z  a  bi có mơ đun nhỏ hơn hoặc bằng 2 và
có phần thực thuộc đoạn [-1;1]. Ta có đáp án là. A.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn số phức thuộc
phần tơ màu như hình vẽ
1 �z �2
A.
và phần ảo dương.
1 �z �2
B.
và phần ảo âm.
1 z  2
C.

và phần ảo dương.
1 z  2
D.
và phần ảo âm.
Lời giải
Chọn B


Ta thấy phần tơ màu là nửa dưới trục hồnh của hình vành khăn được tạo bởi hai đường trịn
đồng tâm

O  0, 0 

và bán kính lần lượt là 1 và 2
M  x, y 
Vậy đây chính là tập hợp các điểm
biểu diễn cho số phức z  x  yi trong mặt phẳng
| z |�2 và có phần ảo âm.
phức với 1 �
5. Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn là một đường Elip.
Phương pháp :
1. Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 , F2 , với F1 F2  2c ( c  0 ). Đường Elip là tập
hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1 , F2 được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của
Elip.
F  c;0  , F2  c; 0 
2. Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm 1
:
x2 y 2
 2  1,  a  b  0, b 2  a 2  c 2 

2
a
b
z  4  z  4  10
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số
z
phức là
A. 10 và 4 .
B. 5 và 4 .
C. 4 và 3 .
D. 5 và 3 .
Lời giải
ChọnD.
Giải theo tự luận
Cách 1: Giả sử z  x  yi, ( x, y �R ) có điểm biểu diễn là
M ( x; y ) . Giả sử F1 (4;0), F2 (0; 4) , khi đó tập hợp các điểm
M thỏa mãn là MF1  MF2  10 là đường elip ( E ) có các tiêu

điểm là F1 , F2 và trục lớn bằng 10.
Từ đó ta tìm được 2c  F1 F2  8 � c  4 . 2a  10 � a  5 suy
(E) :

x2 y 2

1
25 9
.

2

2
2
ra b  a  c  25  16  9 � b  3 . Từ đó
z  OM
Vì M di động trên ( E ) nên
lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán

trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay

max z  5; min z  3

. Do đó ta chọn đáp án D.
A  B �A  B
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng
suy ra
10 
z 4 �z
4 ( z 4) ( z 4) 2 z 2 z
z 5
max z  5
. Vậy
.
+ Mặt khác áp dụng

A. A  A

2

và bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:



100   1. z  4  1. z  4  �(12  12 ) z  4  z  4
2

50 �( z  4)( z  4)  ( z  4)( z  4)

2

2

,

ta

được


+ۣ50
 ( z 4)( z 4) ( z 4)( z 4)

50 2 z.z 32 

z

2

9

z

3

. Dấu bằng diễn ra khi

2
2
�
�x  0
�z  3
�x  y  9
��
��
�
2
2
2
2
z4  z4
( x  4)  y  ( x  4)  y
�y  �3 .
�
và chỉ khi �
Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu
(Giải theo Casio nếu có).

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
nhỏ nhất của

z

B. S  5  1 .

A.
Lời giải
Chọn A.
Giải theo tự luận
Cách 1:
Đặt
ý:

. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và

. Tính tổng S  M  m .

5 5 2
2
.

S

( z  2)i  1  ( z  2)i  1  6

C. S  6 .

D.

S

3 52

2 .

( z  2)i  1  ( z  2)i  1  6 � z  2  i  z  2  i  6 � z  i  2  z  2  i  6

A A

nên

z  2  i  z  ( 2  i )  z  2  i

(*) (chú

)

a2  a2 6
Đặt a  z  i , ta được
, gọi A điểm biểu diễn cho số phức a và hai điểm
F1 (2;0); F2 (2;0)

khi

đó

ta

AF1  AF2  6 � A �( E ) :

có

x2 y 2


1
9
5
.

Ta

có

y �D  �
 5; 5 �
�
�.
Khi đó ta được

z  a  i  x 2  ( y  1) 2  9 

9 y2
 ( y  1) 2
5
, khảo sát hàm số trên D . Từ đó

3 5
2 . Từ đó ta được đáp án A. lỗi
tìm được
Cách 2: Cho (*) ta có: Áp dụng bđt Bunhiacopxki
min z  5  1; max z 



36   1. z  2  i  1. z  2  i  �2 z  2  i  z  2  i
2

Ta được

2

Mặt khác ta có:

2

2

 (đặt b  2  i )

2

Q  z  2  i  z  2  i  ( z  2  i ).z  2  i  ( z  2  i).z  2  i

Q  ( z  b)( z  b)  ( z  b)( z  b)  z.z  zb  bz  b.b  z z  bz  zb  bb
2

Hay

2

2

 2 z  2 b  z  10

2

 �4�
z

20 36

z

2

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

�
�x  y 2  4
�z  2
��
�
( x  2) 2  ( y  1) 2  ( x  2) 2  ( y  1) 2
�
�z  2  i  z  2  i
2

�x 2  y 2  4
�x 2  y 2  4
2
4
��
��
�x� ;y�

8 x  4 y  0
5
5
�
�y  2 x
Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu

.


(Giải theo Casio nếu có).
Ví dụ 3: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có
phần thực khơng âm. Tính diện tích hình (H).
3
3


A. .
B. 2 .
C. 4 .
D. 6
Lời giải
ChọnA.
Giải theo tự luận
Giả sử z  a  bi, ( a, b �R) , khi đó z  a  bi , giả thiết của bài toán là
2a  2bi  (a  bi ) �3 � a  3bi �3 � a 2  9b 2 �9 �

a2 b2
 �1
9 1

. Vậy tập hợp các điểm biểu

x2 y 2
(E) : 
1
9
1
diễn cho số phức z là điểm M ( a; b) thuộc miền trong của elip
(kể cả các
điểm trên biên).
+ Bán trục lớn của ( E ) là a '  3 , bán trục bé của ( E ) là b '  1 nên diện tích cần tính của miền
( H ) là
S  a ' b '  3 . Vậy đáp án là.

A. Lỗi
Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu
(Giải theo Casio nếu có).
6. Dạng 6: Tập hợp điểm biểu diễn là một tập hợp khác.
2
Ví dụ 1: Cho số phức z  a  bi, (a �0, b �0; a, b �R) . Đặt f ( x)  ax  bx  2 . Biết
�1 � 5
f (1) �0; f � ��
�4 � 4 . Tính giá trị lớn nhất của z .

max z  2 5
A.
.
Lời giải
ChọnA.
Giải theo tự luận

B.

max z  3 2

.

C.

max z  5

a  b  2 �0
�
a  b �2
�
�a b
5
�
�
�   2 � � �a  4b �12
16 4
4
�
�a �0; b �0
�
a
�
0;
b
�

0
�
�

Từ giả thiết ta có:
Xét trên hệ tọa độ Oxy các đường thẳng
d : x  y  2  0; d ' : x  4 y  12  0 và các trục tọa độ

.

D.

max z  2 6

.

(I).

+ Đường thẳng
d �Ox  A(2;0); d �Oy  (0; 2)  B; d '�Ox  C (12;0); d '�Oy  D(0;3) và hai đường thẳng
d �d '  I (4; 2) .
+ Miền nghiệm của (I) được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ nằm trong tứ giác OAID kể cả các
điểm thuộc trên các cạnh của đa giác.
2

2
z  a 2  b 2  OM 2 z
+ Ta có:
,
lớn nhất khi và chỉ khi OM lớn nhất hay OM lớn nhất với

M (a; b) là điểm thuộc miền đa giác lồi OAID.


max z  2 5
+ Ta có: OA  2; OI  2 5; OD  3 . Từ đó suy ra
. Dấu bằng diễn ra khi và chỉ
khi z  4  2i .
2

Ví dụ 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa
A. Một parabol.
B. Một điểm.
Lời giải
ChọnA.
Giải theo tự luận

z  z  4 z  1  2i

2

là?
C. Một đường thẳng.

D. Một đường tròn.

Giả sử z  x  yi, ( x, y ��) , khi đó ta có z  x  yi từ đó ta được
4 y2  4 �
( x  1)2  ( y  2) 2 �
�
�

 x2  2x  5
� y  x  2x  1  y  4 y  4 � 4 y   x  2x  5 � y 
4
. Vậy quỹ tích cần tìm
2

2

2

2

là đường parabol. Chọn đáp án.A.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H là phần mặt phẳng chứa các điểm biểu diễn của các số

z
40
0;1
phức z thỏa mãn 40 và z có phần thực và ảo đều thuộc   . Tính diện tích của H
A. 1600 .
B. 400 .
C. 50(3  ) .
D. 1200  200 .
Lời giải
Chọn D.
Giải theo tự luận
+ Giả sử z  x  yi, ( x, y �R) ,

khi

đó

z
x
y

 i
40 40 40

theo
bài
ta
có:
0 �x �40; 0 �y �40 . Từ đó ta thấy điểm biểu
z
diễn M cho các số phức 40 là hình vng có
OABC như hình vẽ.

40 40 z
40 x
40 y

 2
 2
i
2
x  y 2 . Theo bài ta có:
z. z x  y
+ z
40 x

40 y
0� 2
�1
0� 2
�1
2
2
x y
x

y
(1) và
(2).

Từ

(1)

ta

được

x �0

và

x  y �40 x � ( x  20)  y �400 (1’).
2
2
2

2
Từ (2) ta được y �0 và x  y �40 y � x  ( y  20) �400 (2’).
Tập hợp các điểm biểu diễn cho miền (H) là nằm trong miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích của
miền này.
2

2

2

2

R 2
 100
+ Diện tích của một phần bốn cung trịn có bán kính R  20 là 4
.
Nên diện tích hình hoa văn tạo bởi cung AIO và cung

OIC

S  100  20  100  400  200 và diện tích cần tính bằng: S  40  S  1200  200 .
*

2

2

*

là

z  2, z2  3
Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
và nếu gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn
0
P  z12  4 z22
�
cho các số phức z1 , iz2 thì MON  30 . Tính
.

A. P  5 .
B. P  4 7 .
C. P  3 3 .
D. P  5 2 .
Lời giải
Chọn.B.
Giải theo tự luận
Cách 1: Chọn z1  2 , suy ra M (2;0) , (tọa độ của điểm iz2 có thể xem là giao điểm của đường

y
thẳng
iz2 

1
3
3
x
y
�x

2
2
3 và đường trịn có phương trình x  y  3 � chọn
2
2 hay

3
3

i
2 2

từ

đó

tìm

được

z2 

3 3
 i
2 2 .

Từ

đó

ta

được

2

�3 3 �
2
2
z  4z  4  4 �
�2  2 i �
� 2  6 3i � P  z1  4 z2  4 7
�
�
. Từ đó ta tìm được đáp án.B.
2
2
2
2
z1  4 z2  z1  4(iz2 )  ( z1  2iz2 )( z1  2iz2 )
Cách 2: Ta có:
, từ đó ta có:
2
1

2
2

P  z1  2iz2 . z1  2iz2

.

Theo bài gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz là A khi đó N là trung điểm của đoạn OA .
z  2iz  MA
Ta có: 1
, theo định lý cơ sin cho tam giác OMA ta có:
MA2  OM 2  OA2  2OM .OA.cos 300  4  4.3  2.2.2 3.

3
4
2
từ đó ta được MA  2 .

2

+

Q  z1  2iz2  ( z1  2iz2 ).z1  2iz2  ( z1  2iz2 ).( z1  2i z2 )

Q  z1 z1  2iz1.z2  2iz2 z1  4 z2 z2  4  12  2i ( z2 z1  z1 z2 )

suy ra

.

Nếu đặt z1  a  bi; z2  x  yi ,(a, b, x, y �R ) , ta có:
Q  16  2i  ( x  yi)( a  bi)  (a  bi)( x  yi)   16  2i(2bxi  2ayi)  16  4(bx  ay )
uuuu
r
uuur

iz


y

xi
OM

(
a
;
b
);
ON
 ( y; x) nên
2
Ta có:
nên ta có:
uuuu
r uuur
3
OM .ON  bx  ay  OM .ON .cos 300  2. 3.
3
2
. Từ đó ta được Q  16  4.3  28 , từ đó
z  2iz2  2 7
suy ra 1
. Từ đó ta được P  4 7 .
Nhận xét: Một bài toán quá hay (sao lại liên quan đến định lý cô sin và tích vô
hướng????).

z  2  i  z  4  7i  6 2
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và
nhỏ nhất của biểu thức
2 29  3 2
2
A.
.
Lời giải
Chọn.A.
S

P  z 1  i

. Giá trị của tổng S  M  m là

B. S  13  73 .

C. S  5 2  73 .

D.

S

73  5 2
.
2


Cách 1: Dùng hình học

+ Đặt z  a  bi, (a, b �R) , khi đó điểm biểu diễn cho số phức
z là M ( a; b) . Gọi A( 2;1); B (4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn

cho các số phức z1  2  i và z2  4  7i , khi đó giả thiết là

MA  MB  6 2 mà AB  6 2 nên từ đây suy ra M �AB
(đoạn).
+ Phương trình đường thẳng AB : x  y  3  0 từ đó đoạn AB
x � 2; 4
có phương trình như trên tuy nhiên
.
+ Gọi C (1; 1) khi đó ta có: P  MC , với M thuộc đoạn AB.

+
+

min MC  MH  d (C , AB) 

� 3 3�
5 2
H�
 ; �
2 đạt được khi � 2 2 �thuộc đoạn AB.

max MC  max  MA, MB  max





13, 73  73

.

5 2
5 2  2 73
 73 
2
2
+ Vậy đáp số là:
.
Cách 2: Dùng hình học và đại số
+ Đặt z  a  bi, (a, b �R) , khi đó điểm biểu diễn cho số phức
z là M ( a; b) . Gọi A( 2;1); B(4; 7) lần lượt là điểm biểu diễn
M m

cho các số phức z1  2  i và z2  4  7i , khi đó giả thiết là

MA  MB  6 2 mà AB  6 2 nên từ đây suy ra M �AB
(đoạn).
M � AB 
M (a; a  3); a � 2; 4
Vì
nên
(vì AB : x  y  3  0
).
+ Khi đó ta có:
P  (a  2) 2  (b  1)2  (a  1) 2  ( a  4) 2  2a 2  6a  17, a � 2;4 

. Khảo sát hàm số trên

ta được kết quả như trên.
Cách 3: Dùng bất đẳng thức mincopxki, như sau:
(a  2)2  (b  1) 2  ( a  4) 2  (b  7) 2  6 2

Giả sử z  a  bi, (a, b �R) , khi đó ta có:
Từ đó ta có:

(1).

(a  2)  (b  1)  (a  4)  (b  7) � (a  1  4  a)  (b  1  7  b)  6 2
2

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

2

2

(a  2)(7  b)  (4  a)(b  1)
b  a3
�
�
��
�
a � 2; 4 ; b � 1;7 

a � 2; 4
�
�

P  (a  1)2  (b  1) 2  2a 2  6a  17, a �D   2; 4 

2

.

. Biểu thức

. Khảo sát hàm số từ đó tìm được kết

quả của bài tốn.
7. Dạng 7: Max- Min trong số phức:
Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện ( z  1)( z  2i ) là số thực. Tính giá trị nhỏ nhất của mô –
đun của số phức z .


min z 

5
5 .

A.
Lời giải
Chọn.B.
Giải theo tự luận

B.

min z 

2 5
5 .

C.

min z 

3 5
5 .

D.

min z 

4 5
5 .

( z  1)( z  2i )  x( x  1)  y ( y  2)   xy  ( x  1)( y  2)  i
Giả sử z  x  yi, ( x, y �R ) , khi đó
,
theo bài do số phức trên là số thực nên xy  ( x  1)( y  2)  0 � y  2  2 x . Từ đó ta có:
2

� 4� 4 2 5
z  x  y  x  (2  2 x)  5 �x  � �
5 . Vậy đáp án cần tìm là.

� 5� 5
2z  i
A

z �1
2  iz . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn
. Đặt
2

2

2

2

A �1
A.
.
Lời giải
Chọn.A.
Giải theo tự luận

B.

A �1

.

C.

A 1

.

D.

A 1

2 A  Aiz  2 z  i � ( Ai  2) z  i  2 A � z 

Cách 1: Từ giả thiết suy ra
khác do
i  2 A
z �
1 ��
 
1
i 2A
Ai  2
Giả

.

i  2 A
Ai  2 (*). Mặt

Ai 2

(1).

A  x  yi, ( x, y �R ) ,

sử

B.

khi

đó

ta

có:

2 x  (2 y  1)i �(2  y)  xi � 4 x 2  (2 y  1) 2 �(2  y) 2  x 2
2
�
3��
x 2 3y�
3

x2

y2 1

A

1

. Vậy ta chọn đáp áp.

Cách 2: Từ (*) ta có thể dùng máy tính chọn
đó ta có:

A

A.

2
1 1
 i � A
2 2
2 (thỏa mãn A và D) khi

i  1  i
130

1
i (0,5  0,5i )  2
13
nên ta có thể thấy đáp án đúng là A hoặc.
D.
A  i � A 1
z 1
+ Chọn
, thế vào (*) ta được:
từ đó ta thấy đáp án đúng là.
A.
Nhận xét: Rõ ràng với cách biến đổi 1 học sinh phải có trình độ từ khá trở lên mới có thể biến
đổi và “khó” phát hiện ra đường hướng”

+ Cách giải 2: rõ ràng “một học sinh trung bình cũng có thể tiến hành.
z z  9 z2 z 2
Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1 1
và nếu gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn của
z 

z1 , z2
của

trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì tam giác OMN có diện tích bằng 6. Tính giá trị nhỏ nhất

P  z1  z 2

A. min P  8 .
Lời giải
ChọnA.

.
B. min P  6 .

C. min P  4 2 .

D. min P  3 2 .


Giải theo tự luận
z z  9 z2 z 2
z  3 z2  3t (t  0)
+ Từ 1 1
suy ra 1

và điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 và điểm
O thẳng hàng (các véc tơ còn cùng hướng). Trong đó điểm N ' đối xứng của điểm N qua trục
�x  3a
z1  3 z2 � �
Ox là điểm biểu diễn cho số phức z2 . Thế vào hệ thức trên ta được
�y  3b
+ Giả sử z1  x  yi; z2  a  bi, (a, b, x, y �R ) suy ra M ( x; y ); N (a; b); N '(a; b) . Ta có
uuuu
r
uuur
OM  ( x; y ); ON  (a; b) từ đó ta có: bx  ay  12 hay ab  2 (1).
Ta

có

P  4 z2  4 a 2  b 2 �4 2 ab  8

.

Dấu

bằng

diễn

ra

khi

và

chỉ

khi

�
�
a�2
�a  b
�
��
�
b�2
�ab  2
�
.
Vậy ta chọn được đáp án là.A.
z  2i
Ví dụ 4: Xét tập A gồm các số phức z thỏa z  2 là số thuần ảo và các giá trị m, n thỏa chỉ có duy nhất số

z  m  ni  2
phức z �A thỏa
. Đặt M  max(m  n ), N  min(m  n ) thì giá trị của tổng
M  N là?
A. 2 .
Lời giải
Chọn.D.
Giải theo tự luận

B. 4 .

C. 2 .

D. 4 .

Vận dụng tính chất ta có a thuần ảo thì a  a  0 , từ giả thiết suy ra:
z  2i z  2i
z  2i z  2i

0�

0
� z z  2 z  2iz  4i  z z  2iz  2 z  4i  0
z2 z2
z2 z2
2
� 2 z z  2( z  z )  2i ( z  z )  0 � x  y 2  2 x  2 y  0 . Vậy tập hợp A là đường trịn (C ) có
tâm I (1;1) , bán kính R  2 .
z  m  ni  2 � ( x  m) 2  ( y  n) 2  2
Ta có:
do phương trình này có nghiệm duy nhất nên
x  m; y  n . Vậy ta có: M  max( x  y ); m  min( x  y ) . Gọi T là một giá trị của x  y hay
x  y  T � x  y T  0

�
( x  1)2  ( y  1) 2  2
�
x  y T  0
+ Xét đường thẳng d : x  y  T  0 . Với ( x; y ) �(C ) và hệ �
.

2 T
d (I , d ) �
 R�
2
2 T 2
2
Hệ trên có nghiệm khi và chỉ khi
� T2

4
T� 0 �0 T

4 . Vậy M  4; m  0 . Nên M  m  4 . Ta chọn đáp án.

D.


ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT
Câu 1.

Câu 2.

Số phức z  2  3i có điểm biểu diễn là:
A  2;3
A  2;3
A.
.
B.
.

C.

A  2; 3 

.

D.

A  2; 3

.

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức z . Tìm phần thực và phần ảo của số
phức z


A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .
B. Phần thực là 3 và phần ảo là 4i .
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 4 .
D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3i .
Câu 3.

z  x  yi,  x, y �R  z  z  3  4i
M  x; y 
Tập hợp các điểm
biểu diễn số phức
:
là phương
trình một đường thẳng có dạng:
A. 6 x  8 y  25  0 .

B. 3 x  4 y  3  0 .
C. 6 x  8 y  25  0 .

Câu 4.

D. 6 x  8 y  25  0 .

Cho số phức z thỏa mãn
phẳng phức là hình:

Hình 1
A. Hình 1.
C. Hình 3.
Câu 5.

z 1  i  z  1 i

, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt

Hình 2
B. Hình 2.
D. Hình 4.

Hình 4

Trên mặt phẳng tọa độOxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện





zi  2  i  2

là

 x  1   y  2
A.
2

2

4

.

B. x  3y  2  0.

 x  1   y  2
D.
2

C. 2x  y  2  0 .
Câu 6.

Hình 3

2

4

.

z  1  3i �4
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả điều kiện
.
A. Hình trịn tâm I (1;3) , bán kính r  4 .
B. Đường tròn tâm I (1;3) , bán kính r  4 .
C. Hình trịn tâm I (1; 3) , bán kính r  4 .
D. Đường trịn tâm

I (1;3) , bán kính r  4
.


Câu 7.

z = x + yi, ( x, y �R )
Số Phức
thỏa mãn điều kiện nào thì có tập hợp các điểm biểu diễn là phần
gạch chéo của hình vẽ ?

A.

�
- 3 �x �2
�
�
�
1 �y �3
�

.
- 3 < x <- 2
�
�
�
�
1< y <3
C. �
.
Câu 8.

z = x + yi, ( x, y �R )
Số phức
thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn là phần gạch chéo
của hình vẽ ?

�
z �2
�
�
�x - y �0
A. �
.
�z �2
�
�
�x - y �0
C. �
.

Câu 9.

�
1 �x �3
�
�
�
- 3 �y �- 2 .
B. �
1< x <3
�
�
�
�
- 3 < y <- 2 .
D. �

�
z �2
�
�
�x - y < 0
B. �
.
�z �2
�
�
�x - y > 0
D. �

.

z2  z2 8
Cho số phức z thỏa mãn
. Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M
biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
A.
C.

 E :

x2 y 2

1
16 12
.

 C  :  x  2

2

B.

  y  2   64
2

.

D.

 E :

x2 y2

1
12 16
.

 C  :  x  2

2

  y  2  8
2

.

Câu 10. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Elip như hình vẽ. Số
phức z thỏa mãn điều kiện nào?


A.
C.

z - 3i + z + 3i = 10
z - 4 + z + 4 = 10

.

B.

.

D.

z - 3 + z + 3 = 10

.
z - 4i + z + 4i = 10

.

Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

2 z  i  z  z  2i

là hình gì?
A. Một đường thẳng.
B. Một đường Parabol.
C. Một đường Elip.
D. Một đường tròn
Câu 12. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Parabol như hình
vẽ. Số phức z thỏa mãn điều kiện nào?

A.
C.

4 z - 1- i = z - z + 4i
2 z - 1- i = z - z + 2i

.

B.

.

D.

4 z +1- i = z - z + 4i

2 z - 1- i = z - z - 2i

.
.

z + 3i = z + 2 - i
Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
, số phức z có mođun bé nhất là:
1 1
1 2
z= - i
z= - i
5 5 .
5 5
A. z = 3 + i .
B. z = 1- i .
C.
D.

 1  i  z  1  5i  2 2 và số phức z 2 thỏa mãn z  1  2i  z  i .

Câu 14. Cho số phức z1 thỏa mãn
z z
Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 2
61
41
61
A. 2 .
B. 2 .
C. 4 .

41
D. 4

z �2
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn
. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

z +i
z bằng:


1
A. 4 .

1A
11B
Câu 9.

3

D. 4

B. 1 .
C. 2 .
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KIỂM TRA
3A
4B
5A
6A
7A
8A
13D
14D
15D

2C
12C

9A

10B

z2  z2 8
Cho số phức z thỏa mãn
. Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm M
biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
x2 y 2
x2 y2
 E :  1
 E :  1

16 12
12 16
A.
.
B.
.

 C  :  x  2    y  2   64 .
C.
Lời giải
Chọn A
M  x; y  F1 (2;0) F2 (2;0)
Gọi
,
,
.
2

Ta có

2

D.

z  2  z  2  8 � ( x  2) 2  y 2 

Do đó điểm

M  x; y 

nằm trên elip

 E

 x  2

 C  :  x  2

2

2

  y  2  8
2

 y 2  8 � MF1  MF2  8
.

có 2a  8 � a  4, ta có F1 F2  2c � 4  2c � c  2.

x2 y2
 E  :   1.
2
2
2
16 12
Ta có b  a  c  16  4  12. Vậy tập hợp các điểm M là elip
.
Câu 10. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Elip như hình vẽ. Số
phức z thỏa mãn điều kiện nào?

A.

z - 3i + z + 3i =10

.

z - 4 + z + 4 = 10
C.
.
Bài giải:
Chọn B

B.
D.

z - 3 + z + 3 = 10

.
z - 4i + z + 4i = 10

.

Theo hình vẽ thì a = 5, b = 4 suy ra (E) có tiêu cự F1 (3;0), F2 (3;0) nên đáp án là B
Câu 11. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện:

2 z  i  z  z  2i

là hình gì?
A. Một đường thẳng.

B. Một đường Parabol.
C. Một đường Elip.
D. Một đường tròn
Bài giải:


Chọn B

2 z  i  z  z  2i � 2 x 2   y  1 
2

 2 y  2 � y 
2

x2
4 .

Câu 12. Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là một đường Parabol như hình vẽ.
Số phức z thỏa mãn điều kiện nào?

A.

4 z - 1- i = z - z + 4i

.

B.

2 z - 1- i = z - z + 2i
C.

.
Bài giải
Chọn.C
( 1;0)
Thay tọa độ
4 - i = 4i
Ta có:.A.
thỏa mãn.
4 2 - i = 4i
B.
không thỏa.
2 - i = 2i
C.
thỏa mãn.
2 - i = - 2i
D.
thỏa mãn
( - 3; 4) dẫn đến C thỏa mãn.
Thay
4 - 4 + 3i = 12i
A.
không thỏa.
2 - 4 + 3i = 10i
C.
thỏa mãn.
2 - 4 + 3i = 6i
D.
không thỏa.

D.

4 z +1- i = z - z + 4i

.

2 z - 1- i = z - z - 2i

z + 3i = z + 2 - i
Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
, số phức z có mođun bé nhất là:
1 1
1 2
z= - i
z= - i
5 5 .
5 5
A. z = 3 + i .
B. z = 1- i .
C.
D.
Bài giải:
( d ) : x - 2 y = 1 . Modun z
Tập hợp M là điểm biểu diễn z là đường thẳng có phương trình
nhỏ nhất khi M là hình chiếu O lên

( d)

1 2
z= - i
5 5 .

. Suy ra

 1  i  z  1  5i  2 2 và số phức z 2 thỏa mãn z  1  2i  z  i .
Câu 14. Cho số phức z1 thỏa mãn
Tính tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

z1  z 2


61
A. 2 .
Lời giải
Chọn B

41
B. 2 .

61
C. 4 .

41
D. 4

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trên mặt phẳng.
1  5i
2 2
 1  i  z  1  5i  2 2 �  1  i  . z 
1 i
Từ

� z  2  3i  2 � M � C 

có tâm

I  2;3

, bán kính R = 2.

z  x  yi;  x; y ��
Gọi 2
z  1  2i  z  i � x  y  2  0 � N � : x  y  2  0
từ
Ta có:

z1  z 2  MN

d  I;   

và

� MN min  d  I;    R 

7 2
2

7 2
7 2 4
2 
2
2

7 2
7 2 4
2
2
2
41

2 .

� MN max  d  I;    R 

Vậy

� MN min .MN max

z �2
Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn
. Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

z +i
z bằng:

1
A. 4 .
Bài giải:
Chọn D

B. 1 .

C. 2 .

z - z1 � z1 + z2 � z1 + z2
Áp dụng BĐT 2
1
1
z +i
i
1
1
1- �1�P =
= 1 + �1 + �1 +
2
z
z
z
z
2
Ta có

3
D. 4


IV – BÀI TẬP LUYỆN TẬP
NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU VÀ VẬN DỤNG THẤP
Câu 1.

Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i và B là điểm biểu diễn của số phức z  2  5i .

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.
B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.
C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O .
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y  x .

Câu 2.

Cho số phức z  1  2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
M  1; 2 
M  2;1
M  1; 2 
M  2; 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

6  3i ;  1 2i  i ;

Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức
điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành:
A. z  8  5i .
B. z  8  3i .
C. z  8  4i .

D. z  4  2i .

A  1;  2 
Trong mặt phẳng toạ độ, điểm
là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số sau?
A. z  1  2i .
B. z  1  2i .
C. z  1  2i .
D. z  2  i .
z

Tọa độ điểm biểu diễn của số phức
�2 3 �
�2 3 �
� ; �
� ; �
13
13
13 13 �.
�
�
A.

.
B. �

1
2  3i trong mặt phẳng phức là:
�2 3 �
� ; �
13 13 �
C. �
.
D.

z   2  3i  z  1  9i

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
điểm nào trong các điểm A, B, C , D ở hình bên?

A. Điểm D
Câu 7.

1
i . Tìm số phức có

B. Điểm C

. Số phức

C. Điểm B

w

�2 3 �
� ; �
�13 13 �.

5
iz có điểm biểu diễn là

D. Điểm A .

Điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z .Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .


A. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 .
C. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i .
Câu 8.

Cho số phức z  2i . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P , Q ở
hình bên.

A. Điểm M .
Câu 9.

B. Phần thực là 3 và phần ảo là 2 .
D. Phần thực là 3 và phần ảo là 2i .

B. Điểm N .

C. Điểm P .

D. Điểm Q .

1  3i  z  2i  4
Cho số phức z thỏa mãn 
. Điểm nào sau đây biểu diễn cho z trong các điểm
M , N , P, Q ở hình bên?

A. Điểm M .

B. Điểm N .

C. Điểm P .

D. Điểm Q .

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn iz  2  i  0 . Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng
tọa độ Oxy đến điểm M (3; 4) là:
A. 2 5 .

B. 13 .

C. 2 10 .

D. 2 2 .

Câu 11. Cho A , B , C tương ứng là các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z1  1  2i ,
z2  2  5i , z3  2  4i . Số phức z biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình
hành là
A. 1  7i .

B. 5  i .

C. 1  5i .

D. 3  5i .


uuu
r
Câu 12. Gọi A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 . Khi đó độ dài của véctơ AB
bằng:
z - z2
z + z2
z - z
z + z2
A. 1
B. 1
C. 2 1
D. 1
.

Câu 13. Cho A là điểm biểu diễn của các số phức: z  1  2i; M 1 , M 2 lần lượt là điểm biểu diễn của các
số phức z1 và z2 . Điều kiện cần để AM 1M 2 cân tại A là:
A.
C.

z1  z2

.
z1  z2  1  2i

.

B.

z1  1  2i  z2  1  2i

D.

z1  1  2i  z1  z2

.

.

2
Câu 14. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình z  2 z  5  0 .

Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức
M  2; 1
M  1; 2 
M  2; 1
A. 2
.
B. 1
.
C. 3
.
i 2017
3  4i

Câu 15. Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn số phức
3 �
� 4 3 �
�4 3 �
� 4
M�
 ; �
M� ; �
M�
 ; �
A. � 25 25 �.
B. �25 25 �.
C. � 25 25 �.

w  z0 .i 3
D.

?

M 4  2;1

.

z

3 �
�4
M � ; �
D. �25 25 �.

Câu 16. Trong mặt phẳng phức gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
z1   1  i   2  i  z2  1  3i z2  1  3i
,
,
. Tam giác ABC là
A. Một tam giác vuông (không cân).
B. Một tam giác cân (không đều, không vuông).
C. Một tam giác vng cân.
D. Một tam giác đều
Câu 17. Tìm tập hợp những điểm M biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa
z  2i  z  1
mãn điều kiện
.
A. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0 .
B. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0 .
C. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2 x  4 y  3  0 .
D. Tập hợp những điểm M là đường thẳng có phương trình 2 x  4 y  3  0 .

z = 3 + bi, ( b �R )
Câu 18. Các điểm biểu diễn các số phức
trong mặt phẳng tọa độ, nằm trên đường
thẳng có phương trình là:
A. y = b .
B. y = 3 .
C. x = b .
D. x = 3 .
2
2
Câu 19. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao cho z | z | là:
A. Gốc tọa độ.

B. Trục hoành.
C. Trục tung và trục hoành.

D. Trục tung.

z 1 i  2
Câu 20. Cho số phức z thỏa
. Chọn phát biểu đúng:
A. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.
B. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường Parabol.
C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 2 .
D. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường trịn có bán kính bằng 4 .
z = x + yi, ( x, y �R )
Câu 21. Số Phức
thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn là phần gạch chéo
của hình vẽ ?


�z �2
�
�
�
�y - 1 > 0
�
�
�x <1
A. �
.

�z �2

�
�
�
�y - 1 < 0
�
�
�x >1
B. �
.

�z �2
�
�
�
�y <1
�
�
�x <1
C. �
.

�z �2
�
�
�
�y - 1 > 0
�
�
�x >1
D. �

.

z 4
Câu 22. Cho số phức z có
. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số
phức w  z  3i là một đường trịn. Tính bán kính đường trịn đó
4
A. 4 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 4 2 .

Câu 23. Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì khác 0. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức
z  a . z  a  aa
z sao cho:
là:
A. Đường tròn.
B. Một điểm.
C. Đường thẳng.
D. Dường Elip.
Câu 24.



2
2
C. Đường tròn x  y  x  y  0 .

Câu 25.

Câu 27.

Câu 28.

D. Đường thẳng  x  y  1  0 .

1  i, 2  3i,1  2i . Số phức z biểu diễn
Gọi M , N , P lần lượtuulà
điểm
uu
rcác u
uur biểu
r diễn của các số phức
bởi điểm Q sao cho MN  3PQ  0 là :

2 1
 i
A. 3 3 .

Câu 26.

2 8
 i
B. 3 3 .

2 1
  i
C. 3 3 .

2 8

 i
D. 3 3 .

 1  i  z là một số thực. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là :
Số phức z thỏa mãn
A. Trục Ox .
B. Trục Oy .
C. Đường thẳng y  x . D. Đường thẳng y   x .
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
trịn có diện tích là :
A.  .
B. 3 .

w   1 i z 1

z  1 �1
, với z là số phức thỏa mãn
là hình

C. 4 .

D. 2 .

2
Cho số phức z  a  a i với a �R . Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của z nằm trên :
2
A. Đường thẳng y   x  1 .
B. Parabol y   x .

2

D. Parabol y  x .

C. Đường thẳng y  2 x .
Câu 29.



 z  1 z  i
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho
là số thực.
2
2
A. Đường thẳng x  y  1  0 .
B. đường tròn x  y  x  y  0 .

Cho số phức
thực âm là :

z  x  yi.  x, y �R 

z i
. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z  i là một số

A. Là các điểm trên trục hoành với 1  x  1 .

B. Các điểm trên trục tung với 1  y  1 .


x �1
�

�
x �1 .
C. Các điểm trên trục hoành với �

y �1
�
�
y �1 .
D. Các điểm trên trục tung với �

 1  z  là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là
Cho số phức z thỏa mãn
A. Đường tròn.
B. Parabol.
C. Hai đường thẳng.
D. Đường thẳng
2

Câu 30.

VẬN DỤNG CAO
Câu 31. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện

zi  (2  i )  2

là:

 x  1   y  2
A.
2

2

4

B. x  3y  2  0

 x  1   y  2
D.
2

C. 2x  y  2  0

2

4

z  4  z  4  10
Câu 32. Cho các số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của
A. S  8 .

z

. Giá trị của S  M  m là
B. S  14 .

C. S  12 .

D. S  10 .

z  3i  z  3i  10
Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số
phức z thỏa mãn điều kiện trên và có mơđun lớn nhất và nhỏ nhất. Gọi M (a; b) là trung điểm
Sab
của đoạn AB và là điểm biểu diễn cho số phức w . Khi đó
bằng.
7
9
S
S
2.
2.
A.
B.
C. S  5 .
D. S  4. .

z  2, z2  2
Câu 34. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 1
và nếu gọi M , N lần lượt là điểm biểu diễn
0
P  z12  4 z22
�
cho các số phức z1 , iz2 thì MON  45 . Tính
.

A. P  5 .

B. P  4 5 .

C. P  5 .

D. P  4. .

Câu 35. Trong mặt phẳng phức gọi A, B, C là điểm biểu diễn số phức i,1  3i, a  5i với a ��. Biết
tam giác ABC vng tại B . Tìm tọa độ của C ?
A.

C  3;5 

.

B.

C  3;5 

.

C.

C  2;5 

.

D.

C  2;5 

.

a  b  c 1
Câu 36. Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a  b  c  0 và
. Gọi A, B, C lần lượt là điểm
biểu diễn cho các số phức a, b và c . Tính diện tích S của tam giác ABC .
A.

S

3
2 .

B.

S

3
4 .

C.

S

3 3
4 .

D.

S

3 3
2 .

z  z 2  z3  3
Câu 37. Cho ba số phức z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  0 và 1
. Gọi
A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn cho ba số phức z1 , z2 , z3 . Tính diện tích S của tam giác
ABC .