Bo de thi hoc sinh gioi toan lop 8

Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 1:

(lớp 8)

Bài 1: (2 điểm)
4
5

Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7  .1,25)  31,64
B

(11,81  8,19).0,02
9 : 11,25

Trong hai sè A và B số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần ?
b) Số A 101998 4 có chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9
không ?
Câu 2: (2 điểm)
Trên quÃng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình
đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp
nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quÃng đờng
mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ?
Câu 3:
a) Cho f ( x)  ax 2  bx  c víi a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng: f ( 2). f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a  b 2c 0
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A

2
6 x

có giá trị lớn

nhất.
Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B và E
nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ AC. Dựng tam giác
vuông cân FAC, FAC = 900. F và C nằm ở hai nửa mặt phẳng
khác nhau bê AB.
a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE
b) FB EC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm chữ số tận cùng của

1


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

A 19

89

0

51

2

96

9

91

§Ị số 2
Câu 1: (2 điểm)
3 3

0,375 0,3 
 1,5  1  0,75

11 12  : 1890  115

A


a) TÝnh
 2,5  5  1,25  0,625  0,5  5  5  2005


3
11 12 

1
3

b) Cho B  

1 1 1

1
1
 3  4  ...  2004  2005
2
3 3 3
3
3
1
2

Chøng minh r»ng B .
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu

a c
5a  3b 5c  3d
 th×

b d
5a  3b 5c 3d

(giả thiết các

tỉ số đều có nghĩa).
b) Tìm x biÕt:

x 1 x 2 x 3 x 4




2004 2003 2002 2001

Câu 3: (2điểm)
a) Cho đa thức f ( x) ax 2  bx  c víi a, b, c là các số thực.
Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên.
Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b) Độ dài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba đờng cao tơng
ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC0. Trên cạnh BC
lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE.
Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt
ở M, N.
Chứng minh rằng:
2


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
a) DM = EN
b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố
định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm)
Tìm số tự nhiên n để phân số

7n 8
có giá trị lớn nhất.
2n 3

Đề số 3
Câu 1: (2 điểm)

a) Tính:
3
7


A = 0,75  0,6  


3   11 11

 :    2,75  2,2 
13   7 13


 10 1,21 22 0,25   5
225 
:



  49

7
3
9




B =

b) Tìm các giá trị của x ®Ĩ: x  3  x  1 3x
C©u 2: (2 ®iĨm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tỏ rằng: M

a
b
c


không là số
a b b c c a

nguyên.
b) Cho a, b, c thoả mÃn: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng:
ab  bc  ca 0 .

Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số dơng khác nhau x, y biết rằng tổng, hiệu và tích
của chúng lần lợt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12.
b) Vận tốc của máy bay, ô tô và tàu hoả tỉ lệ với các số 10; 2 và
1. Thời gian máy bay bay từ A đến B ít hơn thời gian ô tô chạy
từ A đến B là 16 giờ. Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B mất bao lâu ?
Câu 4: (3 điểm)

3


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
Cho c¹nh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh

AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng
minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
C©u 5: (1 ®iĨm)
Chøng minh r»ng:

1 1
1
1
9
 
 ... 

5 15 25
1985 20

Đề số 4
Bài 1: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dơng đều có:
A= 5n (5n  1)  6n (3n  2)

 91

b) T×m tÊt cả các số nguyên tố P sao cho P 2 14 là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2 điểm)
a) Tìm số nguyên n sao cho n 2 3  n  1
b) BiÕt

bz  cy cx  az ay  bx



a
b
c
a

b

c

Chøng minh r»ng: x  y  z
Bµi 3: (2 điểm)

An và Bách có một số bu ảnh, số bu ảnh của mỗi ngời cha
đến 100. Số bu ¶nh hoa cđa An b»ng sè bu ¶nh thó rõng của
Bách.
- Bách nói với An. Nếu tôi cho bạn các bu ảnh thú rừng của tôi thì
số bu ảnh của bạn gấp 7 lần số bu ảnh của tôi.

4


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
- An trả lời: còn nếu tôi cho bạn các bu ảnh hoa của tôi thì số bu
ảnh của tôi gấp bốn lần số bu ảnh của bạn.
Tính số bu ảnh của mỗi ngời.
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC có góc A bằng 1200 . Các đờng phân giác AD, BE, CF .
a) Chứng minh rằng DE là phân giác ngoài của ADB.
b) Tính số đo góc EDF và góc BED.
Bài 5: (1 điểm)

Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mÃn:
2

52 p 1997 52 p q 2

Đề số 5
Bài 1: (2 ®iĨm)
5
5
1
3
 1
13  2  10  . 230  46
27
6
25
4
 4
TÝnh:
2
 3 10   1
1   : 12  14 
7
 10 3   3

Bài 2: (3 điểm)
a) Chứng minh rằng: A 3638 4133

chia hết cho 77.

b) Tìm các số nguyên x để B x 1 x 2

đạt giá trÞ nhá nhÊt.

c) Chøng minh r»ng: P(x)  ax 3 bx 2 cx d có giá trị nguyên với mọi
x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên.
Bài 3: (2 ®iĨm)
a) Cho tØ lƯ thøc

a c
 . Chøng minh r»ng:
b d

5


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
ab a 2  b 2

cd c 2  d 2

2

a 2 b2
a b


c2 d 2
cd

và

b) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n 1 chia hết cho
7.
Bài 4: (2 điểm)
Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh
AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng
minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
Bµi 5: (1 ®iĨm)
Chøng minh r»ng: 3a  2b 17  10a b 17

(a, b Z )

Đề số 6
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2004!

chia hÕt cho

7a.
1 1 1
1
   ... 
3 4
2005
b) TÝnh P  2004 2 2003
2002
1



 ... 
1
2
3
2004

Bµi 2: (2 ®iĨm)
x

y

z

t

Cho y  z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z chøng minh r»ng biÓu thøc
sau có giá trị nguyên.

6


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
P

x  y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z

Bµi 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau 11
km để đi đến C. Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc
của ngời đi từ B là 24 km/h. Tính quÃng đờng mỗi ngời đà đi.
Biết họ đến C cùng một lúc và A, B, C thẳng hàng.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH BC (H  BC). VÏ AE  AB
vµ AE = AB (E và C khác phía đối với AC). Kẻ EM và FN cùng
vuông góc với đờng thẳng AH (M, N AH). EF cắt AH ở O.
Chứng minh rằng O là trung điểm của EF.
Bài 5: (1 điểm)
So sánh: 5255 và 2579

Đề số 7
Câu 1: (2 điểm)
Tính :

1

6
A
1

8

1
1

39 51
1

1

52 68

; B 512 

512 512 512
512
 2  3  ...  10
2
2
2
2

Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6

7


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
x

y

z

b) T×m x, y, z biÕt: z  y  1  x  z  1  x  y  2  x  y  z

(x, y, z  0 )

Câu 3: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có:
S 3n 2 2 n  2  3n  2 n

chia hÕt cho 10.

b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 23 y 2
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, AK là trung tuyến. Trên nửa mặt phẳng
không chứa B, bờ là AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; trên tia Ax lấy
điểm M sao cho AM = AC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C,
bờ là AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB và lấy ®iÓm N thuéc Ay sao
cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng
minh:
a) AC // BP.
b) AK MN.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác vuông với c
là số đo cạnh huyền. Chứng minh r»ng: a 2 n  b 2 n c 2 n ; n là số tự
nhiên lớn hơn 0.

Đề số 8
Câu 1: (2 điểm)
Tính:

8


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8

3 1
16 1
8 . 5 3 . 5
19 4 : 7
A 9 4
1 
24
 14
 2  2  . 34
34 
 17
1 1 1
1
1
1
1
B  




3 8 54 108 180 270 378

Câu 2: ( 2, 5 điểm)
1) Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức
2m + 1.
b) 3m 1  3
2) Chøng minh r»ng: 3n  2  2n  4  3n  2n

chia hÕt cho 30 với mọi n

nguyên dơng.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biÕt:
x y

2 3

;

y z

4 5

vµ x 2  y 2   16

b) Cho f ( x)  ax 2  bx  c . BiÕt f(0), f(1), f(2) đều là các số nguyên.
Chứng minh f(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên.
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. ở miền
ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và
ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông
góc với AH (M, N thuéc AH).
a) Chøng minh: EM + HC = NH.
b) Chøng minh: EN // FM.
Câu 5: (1 điểm)
Cho 2n 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2n 1 là hợp số.

9

Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8

§Ị sè 9
Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:
1 1 1
(1 2  3  ...  99  100)   
2 3 7
A
1  2  3  4  ...  99 

1
(63.1,2  21.3,6)
9
100

 1
2 3 2
4
 

 14 7  35 . ( 15 )

B 
1 3 2
2 5


10 25

. 7
5



Câu 2: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức A 3x 2 2 x 1 với x
b) Tìm x nguyên ®Ĩ

x  1 chia hÕt cho

1
2

x3

C©u 3: ( 2 ®iĨm)
a) Tìm x, y, z biết

3x 3 y
3z


và 2 x 2  2 y 2  z 2 1
8
64 216

b) Mét ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi
đi đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B
sớm hơn dự định 15 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa

mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đờng thẳng AB dựng đoạn AE
vuông góc với AB và
AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đờng thẳng
AC dựng đoạn AF vuông gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh
r»ng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
b) AM  EF.
C©u 5: (1 ®iĨm)
10


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
Chøng tá r»ng: 1 

1 1 1
1
1
1
1
1
1
   ... 




 ...

2 3 4
99 200 101 102
199 200

Đề số 10
Câu 1: (2 ®iĨm)
2 2
1
1

 0,25 
9 11  3
5
a) Thùc hiƯn phÐp tÝnh: M 
7 7
1
1,4  
1  0,875  0,7
9 11
6
0,4 

b) TÝnh tæng: P 1 

1 1 1 1 1 1

 
 

10 15 3 28 6 21

C©u 2: (2 điểm)
a) Tìm x biết: 2 x 3 2 4 x 5
2) Trên quÃng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất
đi từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang ®Õn
KÐp. VËn tèc ngêi thø nhÊt so víi ngêi thứ hai bằng 3: 4. Đến lúc
gặp nhau vận tốc ngêi thø nhÊt ®i so víi ngêi thø hai ®i là 2: 5.
Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ?
Câu 3: (2 điểm)
a) Cho đa thøc f ( x)  ax 2  bx  c (a, b, c nguyªn).
CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c
®Ịu chia hÕt cho 3.
b) CMR: nÕu

a c
7 a 2  5ac 7b 2  5bd
 th×

b d
7 a 2 5ac 7b 2 5bd

(Giả sử các tỉ số đều có

nghĩa).
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC,
từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt
tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
a) AE = AF

b) BE = CF
c) AE 

AB  AC
2

C©u 5: (1 ®iĨm)
11


B thi hc sinh gii Toỏn lp 8
Đội văn nghệ khối 7 gồm 10 bạn trong đó có 4 bạn nam, 6 bạn
nữ. Để chào mừng ngày 30/4 cần 1 tiết mục văn nghệ có 2 bạn
nam, 2 bạn nữ tham gia. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cách lựa
chọn để có 4 bạn nh trên tham gia.

Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
11 3 

1 2
1 31 . 4 7  15  6 3 . 19   14   31

.  1
A 

 .
5
1

1
93   50




 4 6  6 12  5 3 




b) Chøng tá r»ng: B 1 

1 1 1
1
1
 2  2  ...

2
2
2 3 3
2004
2004

Câu 2: (2 điểm)
Cho phân số: C

3x 2
4x 5

(x Z)

a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.
Câu 3: (2 điểm)
a c
Cho
b d

ab (a b) 2

. Chøng minh r»ng:
cd (c  d ) 2

C©u 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác của
các góc B và C cắt AC và AB lần lợt tại E và D.
a) Chứng minh r»ng: BE = CD; AD = AE.
b) Gäi I là giao điểm của BE và CD. AI cắt BC ở M, chứng minh
rằng các MAB; MAC là tam giác vuông cân.
c) Từ A và D vẽ các đờng thẳng vuông góc với BE, các đờng
thẳng này cắt BC lần lợt ở K và H. Chứng minh rằng KH = KC.

12


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
C©u 5: (1 điểm)
Tìm số nguyên tố p sao cho:
3 p2 1 ;

24 p 2 1 là các số nguyên tố.

Đề số 12
Câu 1: (2 điểm)
a) Thực hiện phép tính:
3 3

7 13
A
11 11
2,75  2,2  
7 3
0,75  0,6 

;

B ( 251.3  281)  3.251  (1  281)

b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
Câu 2: ( 2 điểm)
a) Chứng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17
(a, b, c  Z).
b) BiÕt

bz  cy cx  az ay  bx


a
b

c
a

b

c

Chøng minh rằng: x y z
Câu 3: ( 2 điểm)

Bây giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao lâu thì hai
kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng.
Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC vuông cân tại A. Gọi D là điểm trên cạnh AC, BI
là phân giác của ABD, đờng cao IM của BID cắt đờng vuông
góc với AC kẻ từ C tại N. Tính góc IBN ?
Câu 5: (2 điểm)
13


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
Sè 2100 viết trong hệ thập phân tạo thành một số. Hỏi số đó
có bao nhiêu chữ số ?

Đề số 13
Bài 1: (2 ®iĨm)
5
3 3



2,5   1,25 
 0,375  0,3
3
11 12 .

a) Tính giá trị của biểu thức P  2005 : 
  0,625  0,5  5  5 1,5  1  0,75 


11 12



b) Chøng minh r»ng:
3
5
7
19
 2 2  2 2  ...  2 2  1
2
1 .2
2 .3 3 .4
9 .10
2

C©u 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dơng n thì:
3n 3 3n 1 2n 3 2n 2

chia hết cho 6.

b) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
D  2004  x  2003 x

Câu 3: (2 điểm)
Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau
khi đi đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó
đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A
đến B.
Câu 4: (3 điểm)

14


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt
phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia
đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không
chứa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trên tia đó lấy điểm
E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng:
a) DE = 2 AM
b) AM  DE.
C©u 5: (1 điểm)
Cho n số x1, x2, , xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng
minh rằng nếu x1. x2 + x2. x3 + …+ xn x1 = 0 thì n chia hết cho
4.

Đề số 14
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:

2

4
3


81,624 : 4  4,505   125
3
4


A
2
2
  11


  
2  13
:
0
,
88

3
,
53

(
2

,
75
)




:
25





 25

b) Chøng minh r»ng tæng:
S

1
1
1
1
1
1
1
 4  6  ...  4 n  2  4 n  .... 2002 2004 0,2
2
2
2

2
2
2
2
2

Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên x thoả mÃn.
2005 x 4  x  10  x  101  x  990  x  1000

b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d là
các số nguyên tố thì d chia hết cho 6.
Bài 3: (2 điểm)
a) Để làm xong một công việc, một số công nhân cần làm trong
một số ngày. Một bạn học sinh lập luận rằng nếu số công nhân
15


B thi hc sinh gii Toỏn lp 8
tăng thêm 1/3 thì thời gian sẽ giảm đi 1/3. Điều đó ®óng hay sai
? v× sao ?
b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
2a  b  c  d a  2b  c  d a  b  2c  d a  b  c  2d



a
b
c
d

TÝnh M 

a b b c c d d a



c d d a a b bc

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD và CE cắt
nhau tại I.
a) Tính các góc của DIE nếu góc A = 600.
b) Gọi giao điểm của BD và CE với đờng cao AH của ABC lần lợt
là M và N. Chứng minh BM > MN + NC.
Bài 5: (1 điểm) Cho z, y, z là các số dơng.
x

y

z

3

Chứng minh rằng: 2 x  y  z  2 y  z  x  2 z  x  y 4

Đề số 15
Bài 1: (2 điểm)
2
2

a) Tìm x biết: x  6 x  2  x  4

b) Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bá dÊu
ngc trong biĨu thøc: A(x) = (3  4 x  x 2 ) 2004 . (3  4 x  x 2 ) 2005
Bµi 2: (2 điểm)
Ba đờng cao của tam giác ABC có độ dài b»ng 4; 12; x
biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiên. Tìm x ?
Bài 3: (2 điểm)
x

y

z

t

Cho y z  t  z  t  x  t  x  y  x  y  z .
CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:

P

x y y  z z t t  x



z t t  x x  y y  z

16

Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
Bµi 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A có góc B = . Trên cạnh AC lấy
điểm E sao cho góc EBA=
D sao cho

1
. Trên tia đối của tia EB lấy điểm
3

ED = BC. Chứng minh tam giác CED là tam giác

cân.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn :
a 3 3a 2 5 5b và a 3 5c

Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính A 3 32 33  34  ...  32003  32004
b) T×m x biÕt x  1  x  3  4
Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng:
Nếu

x
y
z


a 2b c 2a  b  c 4a  4b  c

a

b

c

Th× x  2 y  z  2 x  y  z  4 x  4 y z
Bài 3: (2 điểm)
Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B, cách nhau
11km để đi ®Õn C (ba ®Þa ®iĨm A, B, C ë cïng trên một đờng
thẳng). Vận tốc của ngời đi từ A là 20 km/h. Vận tốc của ngời đi
17


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
tõ B là 24 km/h. Tính quÃng đờng mỗi ngời đà đi. Biết họ đến C
cùng một lúc.
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng
cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC lµ
trung trùc của HE. Gọi I, K lần lợt là giao điểm của DE với AB và
AC.
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
Bài 5: (1 điểm)
Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
x 2005 2006 x 2004  2006 x 2003  2006 x 2002  ....  2006 x 2  2006 x  1

§Ị sè 17
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x nguyên biết: 2 x  7  2 x  10 17

b) T×m x nguyên để biểu thức

4 x 11
có giá trị nguyên.
6x 5

Bài 2: (2 điểm)
a) Cho a, b, c, d khác 0 thoả mÃn: b2 = ac
Chứng minh rằng:

; c2 = bd.

a3  b3  c3 a

b3  c3  d 3 d

b) Cho a, b, c khác 0 thoả m·n:

ab
bc
ca


a b b c c a

18


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: M 

ab  bc  ca
a 2 b2 c2

Bài 3: (2 điểm)
Cho a là số nguyên dơng, biết a100 chia cho 73 d 2 vµ a101 chia
cho 73 d 69. Hái a chia 73 d bao nhiêu ?
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM.
Đờng thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của
tia AC lấy điểm E sao cho AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE
vµ MA. Chøng minh:
a) AM 

BC
2

b) AMN = ABN
c) BH = AC
Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c khác
1. Thoả m·n: a x bc ;

b y ca

;

c z  ab .

Chøng minh r»ng: x + y + z + 2 = xyz

Đề số 18
Bài 1: (2 điểm)
a) Tìm x, y, z biÕt:
y  z 1 x  z  2 x  y  3
1



x
y
z
xyz

b) T×m a1, a2 ,…,a9 . BiÕt:
a1  1 a2  2
a  8 a9  9

... 8

9
8
2
1

Bài 2: (2 điểm)

19


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8

TÝnh : A 

3
3
3

 ... 
4.7 7.10
97.100

1 1
1
1
B 

 ... 
6 24 60
990

Bài 3: (2 điểm)
Ba đội công nhân cùng lao động. Nếu chuyển 1/3 số ngời
đội I, và 1/4 số ngời ®éi II, vµ chun 1/5 sè ngêi ®éi III ®i làm
việc khác thì số ngời mỗi đội còn lại bằng nhau. Tính số ngời
mỗi đội ban đầu biết tổng số ngời ban đầu là 196 ngời.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hai gãc xoy vµ x’o’y’ cã ox // o’x’ , oy // oy. Gọi om là tia
phân giác của góc xoy, on là tia phân giác của góc xoy. Chứng
minh:
a) Nếu góc xoy và xoy cùng nhọn hoặc tù thì om // o’n.
b) NÕu gãc xoy vµ x’o’y’ cã mét gãc nhọn, một góc tù thì om

on.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm sè nguyªn tè P sao cho:
P + 2 , P + 8 , 4P2 + 1 là các số nguyên tố.

Đề số 19
Câu 1: (2 điểm)
a) Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ
số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
b) Tìm x, y thoả mÃn:

2x 1 4 y 2 2x  4 y  1


5
7
6x

20


Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp 8
C©u 2: (2 ®iĨm)
TÝnh:
a) A 1  4  7  10  ...  2998  3001
 1  1  1  1
b) B 1   1   1   ... 1  


2 

3 

4



n

C©u 3: (2 điểm)
Ba đơn vị vận tải cùng vận chuyển 762 tấn hàng. Đơn vị
thứ nhất có 15 xe trọng tải mỗi xe 5 tấn, đơn vị thứ hai có 20 xe
trọng tải mỗi xe 4,2 tấn, đơn vị thứ ba có 25 xe trọng tải mỗi xe
3,5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị đà vận chuyển bao nhiêu tấn hàng, biết
rằng mỗi xe huy động một số chuyến nh nhau.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = AC , góc A bằng 80 0. Trong tam
giác ABC lấy điểm I sao cho gãc BIC b»ng 10 0 vµ gãc ICB bằng
200. Tính góc AIB.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là hai số nguyên dơng biết rằng trong 4 mệnh ®Ò sau:
A. a + 1 chia hÕt cho b.
B. a = 2b + 5
C. a + b chia hÕt cho 3.
D. a + 7b là số nguyên tố.
Có 3 mệnh đề đúng, 1 mệnh đề sai. Tìm các cặp số a, b ?

Đề số 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Tính A  2100  299  298  ...  22  21  1

21


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
A cã phải là số nguyên tố không ? A có phải là số chính phơng
không ?
b) Tính tổng: B

10 10
10
10


... 
56 140 260
1400

c) Chøng minh r»ng: C 192004  52003 20031890 5
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm n N để phân số

3n 2
là tối giản ?
7n 1

b) Tìm hai số biết BCNN của chúng và ƯCLN của chúng có tổng
là 19.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên n sao cho: n +1 ; n + 3 ; n + 7 ; n + 9 ; n
+13 ; n + 15 đều là các số nguyên tố.

b) Hai ngời cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B. Ngời
thứ nhất đi từ A đến B rồi quay lại ngay, ngời thứ hai đi từ B
đến A rồi quay lại ngay. Hai ngời gặp nhau lần thứ hai tại điểm
C cách A 6 km, tÝnh qu·ng ®êng AB. BiÕt r»ng vËn tèc ngêi thø
hai b»ng 2/3 vËn tèc ngêi thø nhÊt.
C©u 4: (3 điểm)
Trên tia Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB = 5 cm vµ BC =
2cm.
a) TÝnh AC ?
b) Điểm O nằm ngoài đờng thẳng AB biết gãc AOB = 550 vµ
gãc BOC = 250. TÝnh gãc AOC ?
c) Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 1cm. TÝnh
CE ?
C©u 5: (1 ®iÓm)

22


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
Mét sè chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13. Hái
sè ®ã chia cho 1292 d bao nhiêu ?

Đề số 21
Câu 1: (2 điểm) Thực hiÖn phÐp tÝnh.
7  5
 3 4

 
.
24

 10 15 20  19
.
a)  1 1
 3   1  5
14  7    35   .   1 3 

 



b) 1  2  3  4  5  6  7  8  ...  1999  2000  2001 2002 2003
Câu 2: (2 điểm)
a) Tìm số nguyên m tho¶ m·n: (m 2  9)(m 2  37)  0
b) Cho x, a, b  Z

+

 x  3  2 a
tho¶ m·n: 
 3 x  1 4b

Câu 3: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mÃn: (100x + 10y + z)  21.
Chøng minh r»ng: (x - 2y + 4z)  21.
b) Cho

a
b
c
d




b c d a c d a b d a b c

Tìm giá trị của biểu thức: A

a b b c c d d a



c d a d a b b c

(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Câu 4: (2 điểm)
Trong một xởng cơ khí ngời thợ chính làm một chi tiết hết
5 phút, ngời thợ phụ lµm xong hÕt 9 phót. NÕu trong cïng mét
thêi gian cả hai ngời cùng làm việc thì số chi tiết làm đợc là 84
chiếc. Tính số chi tiết mà mỗi ngời đà làm đợc ?
Câu 5: (2 điểm)

23


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
Cho tam giác ABC, phân giác góc B cắt AC tại M. Kẻ MN // AB
cắt BC tại N. Phân giác góc MNC cắt MC tại P.
a) Chứng minh rằng: MBC = BMN

; BM // NP.

b) Gọi NQ là phân giác của góc BNM. CMR: NQ BM.

Đề số 22
Bài 1: (2 điểm)
Tìm x, y, z biết rằng:
1)

x y

2 3
x

;

x z

5 7

và x + 2y + 3z =164

y

z

2) z  y  1  x  z  1  x  y  2  x  y  z

(x, y, z 0 )

Bài 2: (2 điểm)

Tìm tỉ lệ ba đờng cao của tam giác biết rằng nếu cộng lần
lợt độ dài từng cặp hai cạnh của tam giác đó thì tỉ lệ các kết
quả là 5 : 7 : 8.
Bài 3: (2 điểm)
Lúc rời nhà đi bạn An xem thấy kim đồng hồ chỉ hơn 1 giờ và
khi đến trờng thì hai kim đồng hồ đà đổi vị trí cho nhau
(trong thời gian này hai kim đồng hồ không chập với nhau lần
nào). Tính thời gian An đi từ nhà đến trờng; lúc An rời nhà, An
đến trờng là mấy giờ. (Hai kim đồng hồ đợc nói tới ở đây là kim
phút và kim giờ).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài của tam giác các tam giác
vuông cân đỉnh A là BAE và CAF.

24


Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 8
1) NÕu I là trung điểm của BC thì AI vuông góc với EF và ngợc lại
nếu I thuộc BC và AI vuông góc với EF thì I là trung điểm của
BC.
2) Chứng tỏ AI =EF/2 (với I là trung điểm của BC).
3) Giả sử H là trung điểm của EF, hÃy xét quan hệ của AH và BC.
Bài 5: (1 điểm)
Tìm x nguyên dơng để M

2001 x
2002 x

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

giá trị ấy.

Đề số 23
Bài 1: (4 điểm)
Tìm phân số

a
biết:
b

a) a = ƯCLN (12, 18) và b = BCNN (5, 9)
b) a = ¦CLN (12, 20) và b

4 1
a:
5
5

Bài 2: (4 điểm)
a) Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng:
(3n 2 2n 3  3n  2n 1 ) 10

b) Chøng minh rằng: abba chia hết cho 11.
Câu 3: (4 điểm)
Số häc sinh khèi 7 cđa mét trêng khi xÕp hµng hàng 2,
hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 ngời, nhng xếp
hàng 7 thì vừa đủ. Biết sè häc ®ã cha ®Õn 300. TÝnh sè häc
sinh khèi 7 cđa trêng ®ã.
25