Một số bài toán luyện thi đại học liên quan đến hàm số

BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TIẾP TUYẾN

Câu 1: Cho hàm số . Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị đều có hệ số dương?
Giải
TXĐ:
Có:
Để hàm số có tất cả các hệ số tiếp tuyến dương 
  (vô nghiệm)
Vậy khơng tồn tại m thoả mãn bài tốn

Câu 2: Tìm điểm M có hồnh độ âm sao cho tiếp tuyến của hàm số tại M vng góc
với đường thẳng ?
Giải
TXĐ:
Có:
Do tiếp tuyến tại M vng góc với đường thẳng nên  
Do => Vậy M(-2;0)

Câu 3: Tiếp tuyến của hàm số có hệ số góc lớn nhất là?
Giải
TXĐ:
Ta có:
Gọi là điểm có hệ số góc của tiếp tuyến lớn nhất, đặt
Nên,
Dấu = xảy ra 
Vậy hệ số góc lớn nhất là:
Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số cùng với hai tiệm cận tạo thành tam giác có diện
tích là?
Thi thử ĐH Chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2019
Giải
TXĐ:

TGT 113

1


Ta có:
Gọi là điểm thuộc đồ thị
 Phương trình tiếp tuyến tại M là:
Tiệm cận
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại M với TCĐ và TCN

Giao điểm 2 tiệm cận


Câu 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R thoả mãn . Tiếp tuyến của đồ thị tại
điểm có hồnh độ bằng 1 là?
Thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2019
Giải
Tại có:
Tại :
Nên
Lại có: 
Tại :
Tại
Nên
Do vậy phương trình tiếp tuyến thoả mãn bài tốn là:

Chú ý: mấu chốt của phương trình tiếp tuyến là và do đó ta cần tìm cách để tính được
các giá trị đó

Câu 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi là điểm trên (C) có . Tiếp tuyến của (C) tại
cắt đồ thị tại điểm . Tiếp tuyến của (C) tại cắt đồ thị tại điểm ,…, tiếp tuyến của (C)
tại cắt đồ thị tại điểm (n=4,5…).
Gọi là toạ độ của điểm . Tìm để
Giải
Ta có:
TGT 113

2


Do , nên
Tiếp tuyến của C tại
Phương trình hồnh độ giao điểm của và (C):


Vậy

Vậy  

Câu 7:

BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Tập nghiệm của phương trình là?
Giải
Ta có: 
Với , xét tương giao đồ thị với đường thẳng ta thấy có 2 giao điểm tại
Với , xét tương giao đồ thị hàm số với đường thẳng ta thấy có 2 giao điểm tại

Vậy phương trình có tập nghiệm

Câu 2: Cho hàm số bạc 3 có đồ thị như hình vẽ:

TGT 113

3


Số nghiệm thực của phương trình: ?
Giải
Ta có:
Xét hàm số:  
Bảng biến thiên:
-∞
+

-∞

-1
0

-

2

1
0

+∞

+

-2

+∞

TH1: 
TH2: 
Vậy phương trình có tổng 14 nghiệm

Câu 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số nghiệm của phương trình trên [-π ; 2π] ?
Giải
Xét tương giao đồ thị hàm số và đường thẳng ta được
Do
Xét tương giao đò thị hàm số: và đường thẳng tại có 6 giao điểm
TGT 113

4


Vậy phương trình có 6 nghiệm

Câu 4: Cho hàm số bậc 4 có đồ thị là đường cong như hình bên. Số nghiệm thực phân
biệt của phương trình là?

Câu 49 mã 121 – Thi tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2020 đợt 1
Giải
Ta có:

TH1: 
TH2:
Xét hàm số
Bảng biến thiên:
-∞

0
||

+
0

+∞
-

+∞ || +∞

Vậy đồ thị hàm số cắt đồ thị tại 2 điểm
Vậy tổng giao điểm => có 9 nghiệm

DẠNG TỐN BIỆN LUẬN CĨ THAM SỐ

Câu 1: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

TGT 113

5


Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số có nghiệm thuộc đoạn

Giải
Đặt
Phương trình trở thành:
Xét hàm số
Có:
Với theo địo thị ta có đồng biến
Có:
Vậy
Do m nguyên nên

Câu 2: Cho hàm số bậc 3 có đồ thị như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số có 7 nghiệm phân biệt?
Giải
Từ đồ thị hàm số ta dựng được đồ thị hàm như sau:

TGT 113

6


Có:
Vậy
Để phương trình có 7 nghiệm thì phương trình có 4 nghiệm
Từ đồ thị ta được: 
Do đó có 3 giá trị nguyên của m

Câu 3: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm
A, B sao cho AB ngắn nhất?
Giải

TXĐ:
Phương trình hồnh độ giao điểm: 
Để (d) và (C) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt 
Đặt

Vậy 

Câu 4: Cho hai ha

TGT 113

7